DE INCERTEZA. UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1

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INCERTEZA DE MEDIC

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AO E PROPAGAC

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AO

DE INCERTEZA

UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguet´

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0.1. Introdu¸c˜ao

Ao se atribuir um valor numérico a uma grandeza temos associado ao mesmo uma incerteza. Esta incerteza se propaga quando a grandeza é usada em alguma opera¸cão matemática. Veremos como isto ocorre e as regras basicas para estimar esta propaga¸cão. Veremos também as formas de atribuirmos valores à incerteza que adotaremos na prática laboratorial e como escrevê-la de forma correta.

0.2. Estimativa de Incerteza

Suponha uma medi¸cão do per´ıodo de oscila¸cão de um pêndulo usando um cronômetro. Fazendo esta medi¸cão varias vezes podemos distinguir duas fontes de incerteza: a primeira é se o cronômetro mede o tempo de modo correto segundo o padrão internacional do tempo. A segunda fonte é do processo de medi¸cão. O instante em que acionamos o cronômetro para iniciar e terminar a marca¸cão do tempo será diferente em cada medi¸cão. O primeiro tipo de erro é um exemplo do chamado erro ou incerteza sistemática (“systematic” em inglˆes)e o segundo um exemplo de erro ou incerteza aleatória ( “random” em inglˆes). Os erros sistemáticos não podem ser descobertos por meio de análise estat´ıstica como ocorre com erros aleat´orios [1][2].

A incerteza final de uma grandeza ´e dada pela combina¸c˜ao de todos os tipos de incerteza conforme:

(0.1) σ =

√ σ2

1+ σ22+ . . . σ2N

onde σi com i = 1, . . . , N s˜ao as diversas incertezas.

Na prática são feitas algumas adequa¸cões uma vez que pode ser dif´ıcil discri-minar as diversas fontes de incerteza e seus valores. Além disso o número de dados pode ser pequeno impossibilitando uma defini¸cão precisa do métodos estat´ıstico a ser empregado.

Será adotado neste laboratório didático apenas uma das incertezas dadas a seguir como a incerteza resultante da medi¸cão ou do processo inicial de análise de dados. Estaremos admintindo que o número de dados seja grande, mais que 100 , e que sejam bem descritos pela fun¸cão distribui¸cão normal (gaussiana). Do ponto de vista experimental estaremos supondo que os procedimentos experimentais para a tomada de dados foram corretos e que os instrumentos de medi¸cão utilizados são todos certificados. Com isso teremos as três fontes de incerteza:

a - Instrumental: leitura direta em um instrumento que sugere um intervalo de confian¸ca entre um valor m´aximo xmax e m´ınimo xmin. Atribuimos

um valor m´edio para a grandeza ¯x = (xmax+ xmin)/2 e uma incerteza

(0.2) σ =|xmax− ¯x| = |xmin− ¯x|

1_{Material did´}_{atico para o Laborat´}_{orio de Eletricidade e Magnetismo elaborado por Milton} E. Kayama, docente do Departamento de F´ısica e Qu´ımica.

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Esta forma de atribuir a incerteza será utilizada também em em casos de medi¸cões indiretas. Por exemplo, em uma medi¸cão onde variamos a resistência elétrica para obtermos um dado valor de corrente medida em um amper´ımetro, pode ocorrer que este valor de corrente seja invariável para valores de resistˆencias entre xmaxe xmin. A incerteza será dada pela

metade do intervalo como expressa na equa¸c˜ao acima.

b - Estat´ıstica: consideremos N medi¸c˜oes independentes de uma grandeza y, realizadas sob as mesmas condi¸c˜oes, que resulte em valores y1, y2, ..., yN

para a grandeza. O valor m´edio < y > da grandeza ´e dado por:

(0.3) < y >=

∑N i=1yi

N

O valor da incerteza padr˜ao σ associada a < y > ´e a estimativa do desvio padr˜ao experimental da m´edia[3]:

(0.4) σ =

√∑N

i=1(< y >−yi)2

N (N− 1)

c - Gr´afica: consideremos N medi¸c˜oes independentes de paresx, y, realizadas sob as mesmas condi¸c˜oes, que resulte em valores (x1, y1); (x2, y2); ...; (xN, yN).

Em um ajuste destes pontos experimentais a uma reta y = ax + b em um gr´afico y×x, com todos os pontos yi’s com a mesma incerteza σyo m´etodo

dos m´ınimos quadrados (MMQ) fornece as incertezas nos coeficientes a e b: (0.5) σ_a2=N β σ 2 y σ 2 b = ∑N i=1x 2 i β σ 2 y onde (0.6) β = N N ∑ i=1 x2_i − ( N ∑ i=1 xi)2

F´ormulas para incertezas diferentes em y ou da reta passando pela origem s˜ao dadas no t´opico que descreve o MMQ.

0.3. Representa¸c˜ao num´erica de incertezas

Com muita frequência o valor de uma incerteza resulta de várias opera¸cãoe fei-tas em calculadoras ou computadores, que fornecem valores com um grande número de algarismos. Por outro lado uma incerteza ´e uma quantidade estimada. Assim ao escrevˆe-la tomamos um valor aproximado derivado deste valor num´erico com vários d´ıgitos, usando um pequeno número de algarismos significativos. Vale como regra geral:

Regra: o valor numérico da incerteza é representada com apenas 1 (um) algarismo significativo. Aceita-se usar dois algarismos caso o primeiro número seja 1 ou 2.

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0,12 ⇒ 0,1 ou 0,12 2,34 ⇒ 2 ou 2,3 0,398 ⇒ 0,4 0,042 ⇒ 0,04 0,56 ⇒ 0,6 7,12 ⇒ 7 0,0087 ⇒ 0,009 0,092 ⇒ 0,09

Um número como 0,35 pode ser arredondado para 0,3 ou 0,4. Não existe regra ou conven¸cão que defina que a aproxima¸cão vá para um lado ou outro.

A escrita da incerteza na forma correta é importante pois ela determina onde o valor numérico de uma grandeza deve ser truncado. Por exemplo, suponha um valor da acelera¸c˜ao g que depois de alguns c´alculos tenha resultado em um valor numérico 9,82344 com incerteza 0,418. Neste caso o valor numérico da incerteza que se adota ´e 0,4 apenas. Escrevemos o valor final na forma g= 9,8± 0,4 m/s2ou g= (9,8± 0,4) m/s2. O número de casa decimais na incerteza determina o número de casa decimais da grandeza.

0.4. Propaga¸c˜ao de Incertezas Considere

(0.7) y = f (x, z, t, ...)

ou uma grandeza y relacionado a outras x1± σ1, x2± σ2, x3± σ3, . . . atrav´es de uma fun¸c˜ao f . Supondo os xi independentes entre si e cada uma com incerteza σi

a incerteza final σy em y ´e dada por:

(0.8) σ2_y= N ∑ i=1 (∂f ∂xi )2σ_i2

Usando esta equa¸cão podemos determinar a incerteza resultante de diversas opera¸cões matemáticas. Os casos mais importantes são:

0.4.1. Soma e subtra¸c˜ao. Na soma e/ou subtra¸c˜ao: (0.9) y = x + z− t =⇒ σy2= σx2+ σz2+ σt2

ou, na soma e na subtra¸c˜ao de grandezas independentes entre si, as incertezas ao quadrado se somam.

0.4.2. Multiplica¸cão e divisão. Na multiplica¸cão e/ou divisão

(0.10) y = xz t =⇒ ( σy y )2 = (_σ x x )2 + (_σ z z )2 + (_σ t t )2

ou, na multiplica¸c˜ao e na divis˜ao de grandezas independentes entre si, as incertezas relativas ao quadrado se somam.

0.4.3. Potˆencia. Na potˆencia: (0.11) y = xm , m = n´umero real =⇒ σy =|mxm−1|σx ou σy y = mσx x

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0.4.4. Outros casos. Para fun¸c˜ao trigonom´etrica:

y = cos ax , a = constante =⇒ σy =|a sen ax|σx

(0.12)

y = sen ax , a = constante =⇒ σy =|a cos ax|σx

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onde ax ´e o argumento da fun¸c˜ao trigonom´etrica em radiano (n˜ao grau). Para o logaritmo na base a:

(0.14) y = log_ax =⇒ σy= _{ln a}1 σx x onde x e y s˜ao adimensionais. 0.5. M´edia ponderada

Consideremos a medi¸c˜ao de uma grandeza y usando diferentes meios e processos onde se obt´em um conjunto de valores como:

y1± σ1 y2± σ2 . . , . . . . . . , . . . . yN ± σN

O melhor valor que se pode atribuir para a grandeza ´e a m´edia ponderada dada por [4]: (0.15) y = ∑N i=1 yi σ2 i ∑N i=1 1 σ2 i com a incerteza: (0.16) σ =√∑1 N i=1 1 σ2 i

Chamamos de peso estat´ıstico ao valor de 1/σ2

i.

Por exemplo, suponha dois valores do comprimento l de uma mesa: l1=4,62 ± 0,12 m e l2=4,1 ± 0,3 m. Os pesos estat´ısticos são respectivamente 1/0,122 ≃ 69 e 1/0,32≃ 11. Como este peso é maior para l1 o seu valor é mais importante. A média ponderada é (4,62/0,122+4,1/0,32)/(1/0,122+1/0,32)=4,557 m. A incer-teza é 1/(1/0,122_+1/0,32₎1/2_{=0,11 m. Portanto o melhor valor que atribuimos ao} comprimento da mesa ´e l = 4,5 ± 0,1 m ou l = 4,55 ± 0,11 m.

0.6. Exerc´ıcios

0.6.1. Contas. Determine os valores finais usando as f´ormulas de propaga¸c˜ao de incertezas dadas no texto:

a- (5± 1) + (8 ± 2) - (10 ± 4) b- (5± 1) × (8 ± 2)

c- (10± 1)/(20 ± 2)

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Figura 1. Mesa entre paredes. Resp.:(a)3± 5; (b)40 ± 13; (c)0,50 ± 0,07; (d) 300 ± 13

0.6.2. Contas com f´ormula. Em um resistor com resistˆencia R e corrente I a potˆencia dissipada ´e P = RI2_{. Com R=470}_{± 50 Ω e I=0,13 ± 0,03 A calcule} os valores de P e sua incerteza. Escreva o valor de P na forma correta.

Resp.: 7,94 W com incerteza de 3,76 W ( e n˜ao algo como 2,72 W). Ent˜ao P = 8± 4 W.

0.6.3. Comprimento. Deseja-se determinar o comprimento de uma mesa que se localiza entre duas paredes como ilustra a figura abaixo. A medi¸cão é feita com um instrumento que tem uma incerteza final de σ= 0,2 cm. Uma primeira medi¸c˜ao mede-se o comprimento L da mesa; na segunda medi¸cão mede-se A, C e D e se obtem o comprimento L1 da mesa usando L1 = A− (C + D). Detemine o comprimento da mesa.

Solu¸c˜ao: Na primeira medi¸c˜ao mede-se 100,0 cm. Ent˜ao L=100,0 ± 0,2 cm. Na segunda medi¸c˜ao mede-se A=200,0 ± 0,2 cm, C=60,0 ± 0,2 cm , D=40,0 ± 0,2 cm. Ent˜ao L1= A− (C + D)=200,0 − (60,0 + 40,0)=100,0 cm. A incerteza ´e σL1=

√

σ2_{+ σ}2_{+ σ}2₌√_{3 σ =(1,7)(0,2)=3,4 cm. Ent˜}_{ao L}

1=100± 3 cm. Embora o comprimento da mesa seja igual nos dois casos, a incerteza no segundo é maior. Isso faz com que o segundo procedimento seja incorreto. Na atribui¸cão de um valor a uma grandeza, no caso o comprimento da mesa, o processo correto é o que leva a um valor com menor incerteza, no caso uma medida direta. Procedimentos com incerteza maior não são tolerados e são simplesmente incorretos.

0.6.4. Oscila¸cão. Com um cronˆometro acionado manualmente, com algum treino, é poss´ıvel medir tempos a partir de 1 segundo com incerteza de 0,1 segundo. Vamos supor a medi¸cão do per´ıodo de oscila¸cão de um pêndulo cujo valor aproxi-mado é≈ 0,5 s. Medir apenas uma oscila¸cão daria um resultado com incerteza de (0,1/0,5)=0,2 , ou seja, de 20%. Então é mais apropriado medir várias oscila¸cões e dividir o tempo final pela quantidade de oscila¸cões:

a - se medirmos 5 oscila¸c˜oes e o tempo de 2,4 ± 0,1 s, qual o per´ıodo τ da oscila¸c˜ao?

b - qual o valor de τ se medissemos 20 oscila¸c˜oes com um tempo de 9,4± 0,1 s ?

c - a incerteza de τ melhoraria infinitamente medindo o tempo de mais os-cila¸c˜oes?

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Resp.:(a) 0,48 ± 0,02 s ( ou 4%); (b) 0,470 ± 0,005 s ( ou 1%); (c)Não. Em primeiro lugar, o pêndulo vai parar de oscilar. Mesmo que encontre um meio de superar isto outras coisas irão impedir a busca da medi¸cão com alta precisão. Por exemplo, em uma medi¸cão de horas, a confian¸ca do cronômetro pode ser compro-metida. Al´em disso o periodo τ pode variar devido a mudan¸cas na temperatura, umidade e outros fatores.

0.6.5. Diâmetro. A medi¸c˜ao do diˆametro D de um disco circular resulta em D= 6,0± 0,1 cm. Este valor é usado para calcular o perimetro P e o raio R do disco usando P = πD e R = D/2. Quais as respostas? [ A f´ormula da propara¸cão de incerteza para divisão e multiplica¸c˜ao se aplica neste caso. Para o raio R calculado com D× 1/2 o numero 1/2 é naturalmente, exato.]

Resp.: P = 18,8± 0,3 cm; R= 3,00 ± 0,05 cm

0.6.6. Volume. Mede-se o raio de uma esfera e resulta em R =2,0± 0,1 m. Como se escreve o valor do volume V desta esfera?

Resp.: V = 34± 5 m3

0.6.7. Quadrado. Em um pˆendulo a rela¸cão entre a acelera¸cão da gravidade g, o comprimento L do pêndulo e o per´ıodo T de oscila¸c˜ao ´e dado por g = 4π2_L/T2_. Supondo os valores L=92,95± 0,01 cm e T =1,936 ± 0,004 s determine g.

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Bibliografia

[1] John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2nd edition, University Science Books, Sausalito, 1997;

[2] Semyon G. Rabinovich, Measurement Errors and Uncertainties, Theory and Practice, 3rd. edition, American Institute of Physics Press, Basking Ridge, 2005;

[3] Barry N. Taylor e Chris E. Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty

of NIST Measurement Results, National Institute of Standards and Technology, Technical note

1297, 1994;

[4] Jos´e Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blucher, S˜ao Paulo, 1992;