INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1
TÓPICOGil da Costa Marques
1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução
1.3 Conceitos Básicos
1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos
1.5.1 O Conjunto dos Números Reais 1.6 Intervalos
1.6.1 Vizinhança de um Ponto
1.6.2 Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta) 1.7 Operações Com Conjuntos
1.7.1 União ou Soma
1.7.2 Intersecção 1.7.3 Diferença
1.7.4 Produto Cartesiano de Conjuntos
1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos
1.2 Introdução
Georg Cantor (1845-1918) recebeu o crédito por ter revoluciona-do a matemática com a Teoria revoluciona-dos Conjuntos, foi desenvolvida por ele a partir de 1874.
Cantor iniciou seus estudos procurando uma formalização do con-ceito de infinito, e chegou à conclusão de que existem diferentes ordens de infinitos. A classificação dessas ordens se torna possível quando essa questão é formulada em termos de números, denominados por ele, transfinitos. A introdução desses conceitos levou-o a desenvolver um formalismo matemático conhecido hoje como Teoria dos Conjuntos.
De acordo com Howard Eves, citação encontrada em seu livro História da Matemática, “A moderna teoria matemática dos conjuntos é uma das mais notáveis criações do espírito humano”. Ela adquire enorme importância em várias áreas da matemática, fazendo com que esse ferramental seja essencial quando se trata do estudo dos fundamentos da matemática. Esse é o caso do cálculo diferencial e integral. E isso justifica sua inclusão num texto dedicado ao cálculo.
Pode-se considerar a Teoria dos Conjuntos como um formalismo interdisciplinar, ela serve como um elo entre a matemática, de um lado, a filosofia e a lógica, de outro lado. Donde se infere sua relevância para a ciência como um todo.
1.3 Conceitos Básicos
De acordo com Cantor, um conjunto M é uma coleção de objetos (m) definidos e separados mas formando um todo. Os objetos
per-tencentes à coleção são designados elementos do conjunto. Objetos podem ser entendidos no sentido mais abrangente possível. Podem ser tanto reais quanto imaginários. No entanto, na matemática é mais usual trabalharmos com objetos associados a números.
Figura 1.1: George Ferdinand
Ludwig Philipp Cantor, russo, nasceu em 3 de Março de 1845, morte em 6 de Janeiro de 1918. / Fonte: CEPA
Figura 1.2: Conjunto de
objetos. / Fonte: CEPA
Glossário Utilizamos a notação envolvendo o símbolo { } para designar conjuntos.
Assim, representamos o conjunto M formalmente, como:
O fato de um objeto m1 fazer parte, ou não, dos elementos de um conjunto é indicado, respectivamente, por:
Por exemplo, o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z é tal que seus elementos são dados por:
Muitas vezes, conjuntos são definidos a partir de uma restrição a ser satisfeita pelos seus elementos. Assim, utilizamos a seguinte notação para designar tais conjuntos:
Na notação acima, o símbolo m1| deve ser lido como “os elementos m1 são tais que”. Nessa notação, o conjunto dos números naturais seria especificado como o conjunto formado pelos números inteiros positivos, além do número zero. Admitindo-se os n1 como sendo números inteiros, escrevemos:
Quando não existem elementos satisfazendo uma determinada restrição dizemos que o conjunto é vazio. Ele é representado pelo símbolo
{ }
conjuntos M ={
m m m m1, , , ....2 3 4}
1.1∉
não pertence∈
pertence i m M∈ e m Mi∉ 1.2 e 1.3 1.4{
0, 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4...}
Z = − − − −Z
conjunto dos números inteiros 1.5{
i satisfazem a condição...}
M = m tal que 1.6{
}
N= n ni i ≥0 1.7 ∅ ∅ conjunto vazioGlossário
Por exemplo, o conjunto de elementos constituído por número reais tais que
mi2 = −1 definido, portanto, por:
é um conjunto vazio, uma vez que não existe número real que satisfaça á restrição imposta aos seus elementos.
Conjuntos iguais são aqueles que têm todos os seus elementos em comum. Por exemplo o conjunto de raízes do polinômio de segundo grau x2 – 3x + 2 = 0
é igual ao conjunto {1, 2}.
Para conjuntos A e B iguais, escrevemos: A = B
1.4 Subconjuntos e Intervalos
Denominamos subconjunto de um conjunto M a qualquer agregado de
ob-jetos, M1, cujos elementos são elementos de M. Dizemos que o conjunto M1 está contido em M e para indicar tal circunstância, escrevemos:
Por exemplo:
Escrevemos, analogamente, quando um conjunto
B contém o conjunto A (Figura 1.5):
Alguns dos subconjuntos dos números inteiros são:
1.8
{
= 1 2}
i i
M = m m −
Figura 1.4: Conjunto de
números. / Fonte: CEPA
1.9
1
M ⊂M
⊂
está contidoFigura 1.5: “A”: A é um subconjunto de B.
“B”: B é um subconjunto de A / Fonte: CEPA
1.10
{ } {
1,5 ⊂ 1,2,4,5}
⊃
contém 1.11 B ⊃ AZ
conjunto dos números inteirosZ
+ conjunto dos números inteiros positivos incluindo o 0 1.12{
0,1,2,3,4,...}
Z+ =Glossário Conjunto esse muitas vezes designado por conjunto dos números naturais (N). O
conjunto dos números obtidos anteriormente, tomando-se o negativo dos mesmos:
O conjunto dos inteiros excluindo-se o número zero:
Adotando-se a mesma notação, introduzimos ainda os subconjuntos dos nú-meros inteiros:
1.5 Conjuntos Numéricos
São aqueles cujos elementos são números. O conjunto de todos os números que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos do espaço localizados sobre uma reta orientada (com um ponto de referência denominado origem), é muitas vezes denominado reta real, ou simplesmente reta. Tal conjunto é representado pela letra R.
Figura 1.6 /
Fonte: CEPA
Alguns subconjuntos notáveis de R, são:
a) Conjunto dos números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
b) Conjunto dos números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
c) Conjunto dos números primos: {2,-2, 3, -3,5,-5, 7, -7,11,-11, 13,-13, 17, -17...}
d) Conjunto dos números positivos e múltiplos de 3 e menores do que 10: {3, 6, 9}
Z
− conjunto dos números inteiros negativos incluindo o 0 1.13{
0, 1, 2, 3, 4...}
Z− = − − − − *Z
conjunto dos números inteirosexcluindo o 0
{
}
1.14 * 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4... Z = − − − − 1.15{
}
* 1,2,3,4,... Z+ = 1.16{
}
* 1, 2, 3, 4... Z− = − − − −R
conjunto dos números inteiros excluindo o 0 Figura 1.7 / Fonte: CEPA Figura 1.8 / Fonte: CEPA Figura 1.9 / Fonte: CEPA Figura 1.10 / Fonte: CEPAO conjunto dos números racionais, será representado pela letra Q. Por definição, fazem parte
desse conjunto todos os números que podem ser escritos como quocientes de números inteiros. Explicitamente, escrevemos:
Em se tratando de números reais, é costumeira a introdução de outros conjuntos além daqueles já definidos. Assim, se excluirmos o elemento zero, colocamos (como feito acima) um asterisco R*, Q*, N*,... para indicar tal conjunto. Temos assim que para ni inteiro, por definição:
Dessa forma, definimos por exemplo, no caso dos números reais:
1.5.1 O Conjunto dos Números Reais
Para dois elementos pertencentes ao conjunto dos números reais valem as operações usuais como as de adição e multiplicação. Podemos introduzir ainda outra operação conhecida como
relação de ordem. Ela será representada pelo símbolo ≤. Se a e b forem dois elementos
distin-tos de R(a ≠ b) a notação a < b significa que para tais números vale a relação de ordem a ≤ b.
Se a,b, c e d ∈ R, a relação de ordem goza das seguintes propriedades:
•
para números arbitrários, tem-se que a ≤ b ou a ≥ b;1.17
{
/ ,}
Q= x x a b a Z b Z= ∈ ∈ ∗ 1.18{
}
N∗ = n ni > 0 iFigura 1.11 / Fonte CEPA
Figura 1.12 / Fonte CEPA
Figura 1.13 / Fonte CEPA Figura 1.14 / Fonte CEPA
Figura 1.15 / Fonte CEPA
1.19
{
0}
R+ = x R x∈ ≥ 1.20{
0}
R− = x R x∈ ≤ 1.21{
}
* 0 R+ = x R x∈ > 1.22{
}
* 0 R− = x R x∈ <Glossário
•
se as duas condições, a ≤ b e b ≤ a, forem satisfeitas, então b = a;•
se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c;•
se a ≤ b e c ≤ d, então a + c ≤ b + d.1.6 Intervalos
A partir de dois números reais, designados por a e b, de tal sorte que ambos
sejam números reais tais que a ≤ b, então podemos definir conjuntos especiais a
partir dos mesmos, aos quais designamos intervalos. Intervalo aberto é aquele definido por
Intervalo aberto à esquerda é o conjunto cujos elementos são dados por:
Intervalo aberto à direita é aquele para o qual seus elementos são dados por
Finalmente, definimos os intervalos fechados como aqueles cujos elementos incluem os extremos do intervalo. Ou seja,
Os intervalos acima podem ser entendidos como subconjuntos dos números reais estendidos. Isto é o conjunto de números reais aumentados, ou estendidos, de tal forma a incluir −∞ e +∞.
De acordo com essa interpretação, podemos introduzir os seguintes intervalos:
1.23
] [
a b, ={
x R a x b∈ < <}
Figura 1.16: Intervalo aberto
]a,b[ / Fonte CEPA
1.24
] ]
a b, ={
x R a x b∈ < ≤}
Figura 1.17: Intervalo semi-fechado
]a,b] / Fonte CEPA
1.25
[ [
a b, ={
x R a x b∈ ≤ <}
Figura 1.18: Intervalo semi-aberto
[a,b[ / Fonte CEPA
1.26
[ ]
a b, ={
x R a x b∈ ≤ ≤}
Figura 1.19: Intervalo fechado
[a,b] / Fonte CEPA
+∞
mais infinitoGlossário
Em particular, o intervalo
]
−∞ +∞,[
denota o conjunto de números reais. Utilizando essa simbologia, o conjunto R será representado pelo conjuntoaberto, mas sem limite definido, sem pontos extremos do intervalo:
Todo intervalo é dotado da propriedade:
Ou seja, se dois números pertencem a ele, então o mesmo vale para um número entre eles.
1.6.1 Vizinhança de um Ponto
Dado um ponto x0 no eixo real, ou um elemento do conjunto dos números reais, definimos a vizinhança completa desse ponto representada por V(x0) a um intervalo aberto I que o contenha. Ou seja, x0 ε I .
Definimos a vizinhança-ε de x0 sobre o eixo real, denotada por V xε
( )
0 , como sendo o intervalo aberto:
1.6.2 Comprimento de um segmento (distância entre
dois pontos numa reta)
Antes de introduzirmos o conceito de distância entre dois pontos pertencen-tes à reta, ou de comprimento de um segmento de reta, introduzimos o módulo, ou valor absoluto, de um número real.
Seja x um número real ou, analogamente, a coordenada cartesiana de um
ponto sobre uma reta. Escrevemos, assim, x R∈ . O módulo de um número real, ou seu valor absoluto, representado por |x|, é definido por:
1.28
]
−∞ +∞ =,[
R∀
qualquer 1.29 , , x y x z y z ∀ ∈ Ι ≤ ≤ ⇒ ∈ Ι 1.30( )
0]
0 , 0[
V xε = x −ε x +εGlossário
Da definição (1.31) segue que, se y for outro número real
Dados dois pontos quaisquer, x1 e x2, podemos introduzir um intervalo fecha-do que os contenha. Tal intervalo corresponde a um segmento de reta. Definimos o comprimento do segmento, ou distância entre esses dois pontos, como:
1.7 Operações Com Conjuntos
Definimos três operações envolvendo conjuntos. A união (ou soma), a inter-secção e a diferença de conjuntos.
1.7.1 União ou Soma
A união de dois conjuntos A e B é representada por:
é um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a um dos dois conjuntos, ou a ambos. Ou seja, os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Formalmente, escrevemos “A união B” da seguinte forma:
1.31 se 0 se 0 x x x x x ≥ = − < 1.32 0 , x ≥ xy = x y x x≤ 1.33
(
1, 2)
2 1 d x x = x x−Figura 1.20: União de conjuntos. / Fonte: CEPA
1.34 A B∪
∪
união 1.35{
ou}
A B∪ = x x A∈ x B∈Glossário
Exemplo: considere os conjuntos
Pode-se verificar que as seguintes propriedades são válidas:
•
A B B A = •
A(
B C) (
= A B)
C•
A⊂(
A B∪)
•
A B⊂ se, e somente se A B B =•
A A A =•
A∅ =A1.7.2 Intersecção
A intersecção de dois conjuntos , representada por:
que se lê “A intersecção B”, é um novo conjunto, aqui incluída a possibilidade de um conjunto vazio, cujos elementos são comuns a ambos os conjuntos. Formalmente, escrevemos:
No exemplo dado anteriormente:
1.36
{
1,2,4,6,7,9,11}
A = 1.37{
0,2,5,6,7,10,12}
B = 1.38{
0,1,2,4,5,6,7,9,10,11,12}
A B∪ = 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 A B Figura 1.21: Intersecção deconjuntos. / Fonte: CEPA
∩
intersecção 1.47 1.46{
}
A B = x x A e x B∈ ∈ 1.47{
2,6,7}
A B =•
A B B A = •
A(
B C) (
= A B)
C•
A B ⊃ A•
A A A =•
A ∅ = ∅•
A B⊂ se, e somente se A B A =1.7.3 Diferença
Podemos definir o conjunto diferença (C) de dois conjuntos A e B (A – B), como aquele cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas que não pertencem ao conjunto B. Ele é representado por:
Se B for um subconjunto de A, ou o próprio conjunto( B A⊂ ), dizemos que o conjunto diferença é o complemento de B em A.
Exemplos
•
{1, 2} − {vermelho, preto, branco} = {1, 2}.•
{1, 2, verde} − {vermelho, branco, verde} = {1, 2}.•
{1, 2} − {1, 2} = ∅.•
{1, 2, 3, 4} − {1, 3} = {2, 4}.1.7.4 Produto Cartesiano de Conjuntos
A partir de dois conjuntos A e B podemos criar um novo conjunto mediante uma operação
denominada produto cartesiano dos mesmos. Tal produto será representado por:
Este novo conjunto (o produto cartesiano de A e B) é construído mediante associação
de todo elemento de um conjunto a todo elemento pertencente ao outro. Assim, o produto
1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 C A B= −
Figura 1.22: A diferença entre
os conjuntos A e B represen-tado por A – B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em B. / Fonte: CEPA
1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 A B×
cartesiano A × B de dois conjuntos é formado por elementos que são pares ordenados (a, b)
tais que a é um elemento de A e b é um elemento de B.
Temos, assim, que:
Exemplos:
•
{1, 2} × {vermelho, branco} = {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}.•
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Algumas propriedades dos produtos cartesianos são:O produto cartesiano
é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos do plano. O produto cartesiano
é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biuní-voca com os pontos do espaço.
( )
{
, e}
A B× = x y x A y B∈ ∈ 1.60 1.61 1.62 A × ∅ = ∅ 1.63(
) (
) (
)
A B C× ∪ = A B× A C× 1.64(
A B C)
× =(
A C×) (
B C×)
1.65 R R× 1.66Figura 1.23: Plano cartesiano.
/ Fonte: CEPA
