1. DEFINIÇÃO - LISTA DE COMPLEXOS.pdf

NÚMEROS COMPLEXOS

1. DEFINIÇÃO

No conjunto dos números reais R, temos que a2 = a . a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C.

Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i2 = - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em C, e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma:

z = a + bi,

onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re(z) e b = Im(z). Desta forma:

i z z

z =Re( )+Im( )

Definimos ainda que dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, serão iguais quando a =c e b = d.

2. OPERAÇÕES ELEMENTARES

As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio.

Exemplo 1. Sejam z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i. Então, z1+z2 = (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i

z1-z2 = (3 + 2i) - (1 + 5i) = 2 – 3i

z1.z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i) = 6 +15i +2i + 10i2 = 6 + 17i – 10 = - 4 + 17i

Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número z =a−bi. Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador. Por exemplo, usando z1 e z2 dados acima, temos:

(

)

(

)

i i

i z

z

2 1 2 1 26

13 13 5 1

5 1 5 1

2 3

2

1 = − = −

− − +

+ =

3. PLANO DE ARGAND-GAUSS

Gauss associou a cada número complexo a+bi um par ordenado (a,b) com a,b∈R e representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de “Plano de Argand-Gauss” ou “Plano Complexo”:

Im

b P(a,b)

Exercício 1. Utilizando as idéias de Gauss represente os seguintes números no plano: a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i e) P5 = -2i

Im

Re

Obs.: Simbolizamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de afixo o ponto que representa o número.

Chamamos de módulo do complexo z a distância do afixo de z até a origem e o representamos por

z

θ 2

0≤ < , que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P.

Im

P ρ θ

Re O

Exercício 2. Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi

4. POTENCIAÇÃO

Recordemos as fórmulas de adição e subtração de arcos trigonométricos:

cos( ) cos cos sen sen

sen( ) sen cos sen cos

a b a b a b

a b a b b a

± =

± = ±



Tendo em mãos estas fórmulas, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números complexos na forma trigonométrica são facilmente efetuadas. Em primeiro lugar, consideremos os números complexos

z1 = r1(cos a + isen a) e z2 = r2(cos b + isen b)

Calcule z1.z2, colocando r1.r2 em evidência e agrupando os termos semelhantes (lembre-se que

1

2 ₌₋

i ).

z1.z2 = r1r2[cos(a+b) + isen(a+b)]

Note que o módulo do produto é o produto dos módulos dos fatores e o argumento é a soma dos argumentos dos fatores.

Utilizando um processo chamado Indução Matemática podemos provar que, se

z=r(cosθ+isen )θ , então, para todo n∈Ν,

zn = ρn

[

( )

( )

]

Esta fórmula é conhecida como Fórmula de Moivre.

5. RADICIAÇÃO

Chamamos de raiz n-ésima de um número complexo z o número complexo z_k tal que

( )

• i é raiz quadrada de −1 pois i2 =−1. • i é raiz cúbica de −i pois i3 =−i. • 2i é raiz quarta de 16 pois

( )

A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números racionais não inteiros. Desta forma, podemos utilizar a fórmula de Moivre para calcular também as raízes enésimas de um número complexo:

            + +       + = n k sen i n k r

zn n _cos θ 2 π _. θ 2 π

1 1

, onde 0≤θ +2 π <2π n

k

e 0≤k <n

Exemplo 2. Encontre as raízes quadradas de z=4+4 3i

1º. Passo: calcular o módulo de z: z = 42 +

( )

2º. Passo: determinar o argumento de θ π π

θ θ k sen z 2 3 2 1 8 4 cos 2 3 2 8 3 4 : ⇒ = +       = = = =

3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:

            + +       + =                         + +             + = π π π π π π π π k sen i k k sen i k z 6 . 6 cos 8 2 2 3 . 2 2 3 cos 8 2 1 2 1 2 1

Ou seja, para 6 2

6 6 cos 2 2 , 0 2 1 i isen z

k = +

     ₊ =

= π π

e para 6 2

6 7 6 7 cos 2 2 , 1 2 1 i isen z

k = −

     ₊ =

6. EXERCÍCIOS

1. Obtenha o produto w = z z z₁. ₂. ₃ onde

a) z i

z i

1 0 0

2 0 0

2 45 45

3 15 15

= +

= +

(cos sen )

(cos sen ) b)

) 43 sen 43

(cos 6

) 31 sen 31

(cos 4

) 14 sen 14

(cos 3

3 2 1

 

 

 

i z

i z

i z

+ =

+ =

+ =

c)

z i

z i

z i

1

2 3

16 160 160

5 325 325

308 308

= +

= +

= +

(cos sen )

(cos sen )

cos sen

 

 

 

R. a) w= 3 2(cos600+sen600) b) w = 72(cos88°+ isen88°) c) w = 80(cos73_º + isen73_º)

2. Sendo z= 2

4 4

(cosπ +isenπ) e utilizando a multiplicação definida acima, detemine z2, z3 e z4.

3. Determine o módulo e o argumento do número z4 para os complexos a) z = 3(cos125°+isen125°) b) z = 2(cos300_º + isen300_º)

R. a)ρ =81 e θ =140 b) ρ =16 e θ =120°

4. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica a) (1−i 3)8 b) ( 3+i)6

R. a) -128 - 128 3i b) -64

5. Dado o número complexo z = cos 45° + isen 45° , calcule w = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6

R. w = (-1 - 2

2 ) + 2 2 i

6. Escreva as expressões abaixo na forma a+bi:

a) (4−i)+i−(6+3i)i b)

(

)

(

)

2

3 2

i i

+ −

c) (4−i).(1−4i) d)

i i 5 4

3

+ −

R. a) 7−6i b)

2 i

− c) 17i d)

41 19

7− i

7. Calcule i2,i3,i4,i5 e observe que as potências começam a se repetir depois de i4. Comprove este fato, mostrando que i4n+r =ir e aplique este resultado para calcular:

a) 20

i b)

( )

10

1 1

     

− +

i i

d) 2 1992

1+i+i ++i

R. a) 1 b) -64 c) -1 d) 1 8. Sendo n um inteiro, que valores podem ter in +i−n?

R. 0, 2 ou -2

9. Determine a real para que

ai i a

+ +

1 seja real.

10.Determine a real para que

i ai

− +

1 2

seja um imaginário puro.

R. 2

11.Resolva em C as seguintes equações: a) z2 =2i b) z2 −2z =−1+i c)

3 1 1 3 1

+ =

+ z

z d) 3

2 2 6

2

− = z z

R. a) {1+i,−1−i} b) }

2 2 2 2 , 2

2 2 2

{ + + i − − i c)

2 3 3

3± i

−

d)

2 7

3± i

12.Representar na forma trigonométrica:

a) 1+ 3i b) −1+i c) 5 d) senθ −icosθ

R.a) _

  



 ₊

3 sin 3 cos

2 π i π b) 

  



 ₊

4 3 sin 4 3 cos

2 π i π c)2

(

)

  + +

   

  +

2 3 sin 2

3

cos θ π i θ π

13.Para que valores de n inteiro positivo

( )

R. n múltiplo de 4.

14.Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura abaixo?

R. −3+i 3

15.A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que 8

=

BF , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B e D.

R. B:2 2+i2 2;D:−2 2+i2 2

16.Calcule, dando a resposta na forma algébrica:

a)

(

)

(

)

12

2 5 2

3

5 −

   

 

+

− i d)

100

2 3 2 1

   

 

+

− i

R. a) 8i b) 256 c) 5−12 d)

2 3 2 1

i

+ −