Johanna Belen Tobar Quevedo
PROPOSTAS PARA MODELAGEM COMPUTACIONAL DE
SERIES TEMPORAIS E DE SISTEMAS MULTIVARIAVEIS
VARIANTES NO TEMPO NO ESPAÇO DE ESTADO.
Campinas 2013
Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
PROPOSTAS PARA MODELAGEM COMPUTACIONAL DE
SERIES TEMPORAIS E DE SISTEMAS MULTIVARIAVEIS
VARIANTES NO TEMPO NO ESPAÇO DE ESTADO.
Johanna Belen Tobar Quevedo
Orientador: Prof. Dr. Celso Pascoli Bottura
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Univer-sidade Estadual de Campinas para obtenção do título de Mestra em Engenharia Elétrica, na área de Au-tomação.
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA JOHANNA BELEN TOBAR QUEVEDO,
E ORIENTADA PELO PROF. DR. CELSO PASCOLI BOTTURA.
________________________________________
Campinas 2013
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP
Quevedo, Johanna Belen Tobar
Q39p Propostas para modelagem computacional de series temporais e de sistemas multivariaveis variantes no tempo no espaço de estado / Johanna Belen Tobar Quevedo. –Campinas, SP: [s.n.], 2013.
Orientador: Celso Pascoli Bottura.
Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
1. Identificação de sistemas. 2. Espaço de estado. 3. Análise de séries temporais. 4. Modelos matemáticos. 5. Modelagem de dados. I. Bottura, Celso Pascoli, 1938-II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Título em Inglês: Proposals for computer modelling of multivariable non-stationary time series and systems in the state space.
Palavras-chave em Inglês: Systems identification, State space, Time series analysis, Mathematical models, Data modeling.
Área de concentração: Automação
Titulação: Mestra em Engenharia Elétrica
Banca Examinadora: Gilmar Barreto, Annabell Del Real Tamariz Data da defesa: 04-04-2013
Programa de Pós Graduação: Engenharia Elétrica
iv
Á meu esposo Danni
Aos meus amados Pais
Á minha filinha Dannita
Ao minhas irmãs Dani e Cori
“Seu trabalho vai ocupar uma grande parte da sua vida,
e a única maneira de estar verdadeiramente satisfeito é
fazendo aquilo que você acredita ser um ótimo trabalho.
E a única maneira de fazer um ótimo trabalho é fazendo
o que você ama fazer. Se você ainda não encontrou,
continue procurando."
vi
Agradecimentos
Primeiro, quero agradecer a Deus que é o centro de minha vida, por todas as coisas que me tem agraciado.
Quero fazer um agradecimento especial ao meu orientador, Prof. Celso Pascoli Bot-tura, não só por fazer de mim uma profissional melhor, mas também pessoa melhor. Obrigada pela oportunidade de trabalharnos juntos, pelos conselhos e, sobretudo pela amizade e confiança.
Agradeço a meu amado esposo Danni, a minha filhinha Danna e a toda minha família pelo amor e a força com que me brindam dia a dia.
Ao Professor Gilmar Barreto pela guia e a ajuda ao longo do mestrado.
Aos meus queridos amigos Fabio, Marilia e Maria Clara que foram a nossa família no Brasil.
Com carinho a meus amigos Paul, Laryssa, Murilo, Tarci, Andre, Gina, Alejo, Ariadne. Finalmente à Unicamp.
Trabalhos publicados pelo autor
1. Tobar, J, Bottura, C. P., Giesbrecht, M., “Computational modeling of multivariable non-stationary time series in the state space by the AOKI_VAR algorithm”, IAENG International Journal of Computer Science 37, November 2010.
2. Tobar J., Bottura C. P., “Modelaje Computacional de Datos de Sistemas Lineares Ruidosos no Estacionarios por el Algoritmo MOESP_AOKI_VAR”,XIV CONGRESO LATINOAMERICANO DE CONTROL AUTOMATICO, ACCA SANTIAGO-CHILE, Agosto de 2010.
viii
Resumo
O objetivo principal deste trabalho é propor algoritmos para identificação de series temporais e de sistemas lineares multivariáveis estocásticos variantes no tempo no espaço de estado. Para isto primeiramente investigamos fundamentos teóricos, apresentando alguns conceitos básicos de series temporais, sistemas, elementos de identificação, modelos no espaço de estado e identificação variante no tempo.
Dois algoritmos são propostos, analisados e implementados, o que chamamos MOESP-AOKI-VAR baseado no MOESP (Multivariable Output-Error State space) e o que chamamos AOKI-MOESP-AOKI-VAR baseado no algortimo proposto por Masanao Aoki.
Os algoritmos são avaliados sobre “benchmarks”. Finalmente exemplos são apresentados bem como discussões sobre validação, previsão e modelagem de séries temporais e a modelagem de sis-temas multivariáveis estocásticos variantes no tempo, esperando contribuir no estudo deste tipo de sinais e sistemas.
Palavras-chave: Algoritmo AOKI_VAR, Algoritmo MOESP_AOKI_VAR, métodos de subespa-ços, series temporais não estacionárias, sistemas lineares não estacionários estocásticos.
Abstract
The main objective of this work is to propose algorithms for identifying non-stationary time se-ries and multivariable time-varying linear stochastic systems in the state space. In order first to do this we investigate theoretical foundations, presenting some basic concepts of time series, systems, identification elements, models in state space and time variant identification.
Two algorithms are proposed, analyzed and implemented, the one we called MOESP-AOKI-VAR based on the MOESP (Multivariable Output-Error State space) and the one we called AOKI-VAR based on the algorithm proposed by Masanao Aoki.
The algorithms are evaluated on "benchmarks". Finally examples are presented as well as discus-sions about validation, prediction and modeling of stochastic time series and modeling of stochastic time-varying multivariable systems, hoping to contribute to the study of this type of signals and sys-tems.
Key words: Algorithm AOKI_VAR, Algorithm MOESP_AOKI_VAR, subspace methods, non-stationary time series, linear non-non-stationary stochastic systems.
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
1 Introdução 1
2 Fundamentos teóricos. 5
2.1 Series temporais. . . 5
2.1.1 Modelagem de séries temporais vetoriais não estacionárias. . . 6
2.1.2 Modelagem das series temporais estocásticas estacionarias no espaço de estado. 7 2.1.3 Representação no espaço de estado do ruido não estacionário. . . 10
2.2 Sistema . . . 10
2.2.1 Sistema linear determinístico estacionário. . . 11
2.2.2 Sistema linear estocástico estacionário. . . 12
2.2.3 Sistema linear determinístico não estacionário. . . 12
2.2.4 Sistema linear ruidoso não estacionário. . . 13
3 Algoritmo AOKI_VAR 14 3.1 Introdução . . . 14
3.2 Algoritmo AOKI_VAR . . . 14
3.3 Validação de Series Temporais. . . 17
3.4 Modelagem Computacional de Series Temporais . . . 25
3.5 Previsão . . . 29
4 Algoritmo MOESP_AOKI_VAR 34 4.1 Introdução . . . 34
4.2 Algoritmo MOESP . . . 35
4.3 Identificação de sistema variante no tempo. . . 38
SUMÁRIO x 4.4 Algoritmo MOESP_VAR . . . 40 4.5 Modelagem determinística estocástica no espaço de estado do sistema não estacionário. 42 4.6 Algoritmo MOESP_AOKI_VAR . . . 44 4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
. . . 452.1 Sistema . . . 11
3.1 Recursivo e Interativo . . . 16
3.2 Validação do algoritmo AOKI_VAR . . . 18
3.3 Ruido inovado . . . 19
3.4 Sinal de Saida . . . 20
3.5 Erro . . . 20
3.6 Saída vs. Saída Identificada para j = 10 e k = 1 . . . 22
3.7 Erro para j = 10 e k = 1 . . . 22
3.8 Saída vs. Saída Identificada para j = 10 e k = 10 . . . 23
3.9 Erro para j = 10 e k = 10 . . . 23
3.10 Saída vs. Saída Identificada para j = 15 e k = 1 . . . 24
3.11 Erro para j = 15 e k = 1 . . . 24
3.12 Saída vs. Saída Identificada para j = 32 e k = 5 . . . 25
3.13 Erro para j = 32 e k = 5 . . . 25
3.14 Modelagem AOKI_VAR . . . 26
3.15 Series Temporais para j = 1 e k = 1 . . . 27
3.16 Saída Identificada para j = 1 e k = 2 . . . 28
3.17 Saída Identificada para j = 15 e k = 10 . . . 28
3.18 Saída Identificada para j = 26 e k = 1 . . . 29
3.19 Previsão AOKI_VAR . . . 29
3.20 Ruído . . . 30
3.21 Predição de Series Temporais para j = 1 e k = 1 . . . 30
3.22 Predição de Séries Temporais para j = 1 e k = 20 . . . 31
3.23 Predição de Séries Temporais para j = 13 e k = 2 . . . 32
3.24 Predição de Séries Temporais para j = 30 e k = 8 . . . 32
3.25 Predição de Séries Temporais para j = 32 e K = 5 . . . 33
LISTA DE FIGURAS xii
4.1 Saída do modelo determinístico . . . 48
4.2 Saída do modelo Estocástico. . . 49
4.3 Superposição de sinais . . . 49
4.4 Erro na modelagem. . . 50
4.5 Saída Identificada para j = 1 e k = 2 . . . 50
4.6 Erro para j = 1 e k = 2 . . . 51
4.7 Saída Identificada para j = 5 e k = 10 . . . 51
3.1 Matrizes de Covariâncias para j = 1 e k = 1 . . . 21 3.2 Matriz de Covariâncias para j = 1 e k = 1 . . . 26 3.3 Matriz de Covariância . . . 31
Capítulo 1
Introdução
Os métodos de subespaços nascem no final da década de 1980 inspirados nos trabalhos de Ru-dolph Kalman da década de 1960. Eles permitem a modelagem de séries temporais e a identificação de sistemas lineares no espaço de estado, que constituem motivações e objetivos importantes desta tese.
A modelagem computacional de dados é um problema central em processamento de sinais e em análise e projeto de sistemas de controle. Por modelagem computacional de dados entendemos a modelagem computacional de dados de séries temporais e de sistemas.
Se para uma variável de interesse, uma série temporal de observações estiver disponível e os dados passados contiverem informações sobre o desenvolvimento futuro da variável, a utilização de alguma função dos dados coletados para a predição de dados futuros da série é frequentemente utilizada por ser plausível, conveniente e mais simples.
A análise de múltiplas séries temporais é importante em muitas áreas, por exemplo: engenharias, economia, estatística, finanças, medicinas, hidrologia, de entre outras.
Em economia, por exemplo, é frequente o emprego da metodologia autoregressiva vetorial (em inglês: Vector AutoRegressive (VAR)) para a análise de múltiplas series temporais.
Se observações de múltiplas séries temporais (entenda-se por múltiplas series temporais como um conjunto de series temporais monoviariadas ou multivariadas) estão disponíveis, podemos modelar computacionalmente tais dados na forma acima, ou então, e isto será cada vez mais frequente em-pregando métodos de modelagem computacional de dados de séries temporais no espaço de estado. O entendimento e o estudo da teoria de sistemas dinâmicos e de processos estocásticos no espaço de estado são pré-requisitos essenciais e supostos conhecidos neste estudo para a modelagem e predição de séries temporais multivariáveis.
De forma análoga a identificação de sistemas multivariaveis pode ser realizada de múltiplas ma-neiras e será cada vez mais frequente através de metodologias de modelagem computacional de dados
de sistemas no espaço de estado.
Este problema é equivalente a encontrar uma realização para um sistema dinâmico que represente uma sequência de dados de entrada e saída no espaço de estado. Assim o problema principal tratado na identificação de sistemas no espaço de estado se resume na determinação de uma quádrupla de matrizes que pode representar dados de entrada e saída dentro de um intervalo de erro aceitável.
Diversas teses têm sido realizadas no Laboratório de Controle e Sistemas Inteligentes (LCSI) da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) nestes tópicos: Annabell Tamariz (2005), Gilmar Barreto (2002), Angel Fernando Cáceres (2005), David Geraldo Clavijo (2008), Mateus Giesbrecht (2013) e elas constituem referências importantes para esta tese.
Pelo dito acima, é claro então que existem múltiplas razões para justificar a realização deste tra-balho. Uma decorre da importância de entender as estruturas das séries temporais e de sistemas no espaço de estado. Esta compreensão é necessária em problemas de identificação de séries temporais e em problemas de identificação de sistemas. Outra razão é que estes desenvolvimentos estão se tornando importantes para as pessoas que estão envolvidas com séries temporais, sistemas, aprendi-zagem e controle inteligente.
Há outra razão muito importante pela qual este trabalho foi realizado que é o desenvolvimento da teoria e dos métodos para o caso em que as séries temporais e os sistemas são multivariáveis. Este vem sendo motivo de muitos estudos e pesquisas por causa das dificuldades na modelagem computacional de dados multivariados, embora a ênfase desta tese não seja no aspecto teórico e sim em métodos e algoritmos.
A estimação de parâmetros para determinar modelos via métodos clássicos, por exemplo, o mé-todo da predição de erro, não apresenta um alto grau de precisão e exige um elevado desempenho computacional. Nesta tese propomos dois algoritmos que permitem a determinação direta dos esta-dos de sinais e de sistemas lineares estocásticos através de métoesta-dos de subespaços que tornam mais simples e confiável à modelagem multivariada de series temporais e de sistemas.
Outra razão importante para a realização deste trabalho é que os processos reais em sua maioria são variantes no tempo e/ou mostram um comportamento não linear. Nesta tese, tratamos dos proble-mas de identificação de séries temporais e de sisteproble-mas lineares multivariáveis estocásticos variantes no tempo. Sinais e sistemas ruidosos multivariáveis variantes no tempo lineares satisfazem o prin-cipio da superposição, donde podemos descompô-los em suas partes determinísticas e estocásticas. Propomos estruturas que possam ser utilizadas para resolver os problemas de identificação de sinais e de sistemas estocásticos variantes no tempo a partir de algoritmos já propostos para sinais e sistemas invariantes no tempo. Consideramos conjuntos de modelos invariantes no tempo, que apresentam variações suficientemente pequenas para determinado intervalo de tempo.
3 de AOKI_VAR para o tratamento das séries temporais variantes no tempo, com base na hipótese de cada conjunto de dados, em suas respectiva janela temporal, muda lenta e continuamente e nunca abruptamente; é importante notar que o nome do algoritmo combina a contribuição de Masanao Aoki (1987), que chamamos algoritmo AOKI, com a palavra VAR que vem de “variante no tempo”.
Com a finalidade de que a contribuição na modelagem de séries temporais não estacionárias seja mais realista, um modelo de ruído não estacionário no espaço de estado, baseado no ruído branco, também é proposto neste trabalho.
O algoritmo proposto AOKI_VAR é avaliado sob-benchmarks. Discussões sobre validação, mo-delagem e predição de series temporais são também apresentada e exemplificadas.
Uma segunda estrutura computacional é proposta para ser usada na resolução do problema de identificação de sistemas lineares multivariáveis estocásticos variantes no tempo, com base na con-ceituação já citada. Ela se fundamenta nos algoritmos MOESP_VAR, MOESP_AOKI e AOKI_VAR propostos em Tamariz, Annabell and Bottura, Celso (2007), Tamariz, Annabell and Bottura, Celso (2005) e Tobar, Johanna, Bottura, Celso and Giesbrecht, Mateus (2010) respectivamente e que o chamamos MOESP_AOKI_VAR, desenvolvidos a partir dos algoritmos MOESP e AOKI.
O algoritmo proposto MOESP_AOKI_VAR é validado sobre um benchmark e alguns exemplos com os resultados obtidos são apresentados.
Esta tese tem a seguinte estrutura:
• No capítulo 2 os principais fundamentos teóricos de séries temporais, sistemas, identificação no espaço de estado, modelagem computacional de dados são apresentados. Ele inclui tanto as-pectos de realizações determinísticas como estocásticas, estacionarias como não estacionarias. • Propostas e implementações dos algoritmos AOKI_VAR e MOESP_AOKI_VAR são
realiza-das, implementadas e exemplificadas respectivamente nos Capítulos 3 e 4. • No Capitulo 5 as conclusões são apresentadas.
Em síntese são contribuições deste trabalho:
• A proposta e a implementação do algoritmo AOKI_VAR para identificação no espaço de estado de series temporais variantes no tempo.
• A proposta e a implementação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR para a identificação de sis-temas lineares ruidosos estocásticos multivariáveis no espaço de estado.
• Explicitação dos conceitos de validação, modelagem e predição de séries temporais baseada na modelagem computacional de dados no espaço de estado.
Capítulo 2
Fundamentos teóricos.
Neste capítulo, são apresentados conceitos básicos de series temporais e sistemas, assim como de identificação e modelagem computacional no espaço de estado. Também é feita uma introdução sobre modelagem computacional de dados estocásticos variantes no tempo.
2.1
Series temporais.
A modelagem computacional de dados é um problema fundamental em quase todas as disciplinas científicas, particularmente em engenharia e economia. Dados multivariáveis de entrada e saída, são chamados de sinais ou séries temporais e sua análise, geralmente serve pelo menos para um de dois possíveis efeitos, dentre outros:
• Modelagem de sinais que precisam ser reconhecidos ou valorizados pelos procedimentos de análise, como em aplicações em comunicações; ou em previsões de série temporais econômi-cas.
• Como sinais armazenam informações pertinentes aos sistemas dinâmicos que os produziram, ou sistemas dinâmicos hipotéticos que os poderiam ter produzido, a análise de sinais proporciona determinar os parâmetros desconhecidos do modelo do sistema [3]
Em geral, a modelagem computacional de dados no espaço de estado para sistemas lineares dinâmi-cos com multiplas entradas e multiplas saídas (MIMO) parte de medições da entrada e da saída em ambientes ruidosos. Ela é um problema central na modelagem de series temporais, processamento de sinais, identificação, analise e projeto de sistemas de controle e analise e projeto de sistemas e controle inteligentes.
2.1.1
Modelagem de séries temporais vetoriais não estacionárias.
Ao fazer escolhas entre cursos alternativos de ação, tomadores de decisão em todos os níveis estruturais muitas vezes precisam de previsões de variáveis. Se as observações de séries temporais estão disponíveis para uma variável de interesse e os dados do passado contêm informações sobre o desenvolvimento futuro de uma variável, é plausível usar para prever o futuro, alguma função dos dados coletados no passado. Em alguns sistemas não temos acesso a nenhum sinal de entrada, então um conjunto de dados de saída ordenado no tempo é chamado de série temporal.
Uma série temporal então é um conjunto de observações yk cada uma para cada momento
es-pecífico k, normalmente a intervalos iguais, e o problema de modelagem de dados é o de descrever matematicamente as propriedades deste sinal.
As séries temporais podem ser vistas como geradas por sistemas dinâmicos estocásticos que trans-formam informações presentes e passadas dos sinais ruidosos exógenos em observações futuras. O estado recolhe a informação contida nos sinais e transmite-as através do modelo dinâmico da série para gerar nova informação sobre o sinal.
As séries podem ser contínuas ou discretas dependendo do tipo de amostragem efetuada. Uma série temporal discreta não estacionaria pode ser representada por YT = y
1, y2, ..., yT sendo que cada
observação discreta yT é associada com um instante de tempo diferente, existindo uma uma relação
de dependência entre essas observações.
Os objetivos da análise de séries temporais se resumem em investigar o mecanismo gerador da série temporal, fazer previsões de valores futuros da série, fazer revisões de valores passados da série, descrever apenas o comportamento da série, procurar periodicidades relevantes nos dados.
O problema da modelagem de dados de uma série temporal vetorial é o de descrever matematica-mente as propriedades deste vetor estocástico não estacionário. Nesta tese, vamos considerar apenas as séries temporais discretas.
Podemos classificar os modelos para séries temporais em duas classes, segundo o número de parâmetros envolvidos:
• modelos paramétricos, para os quais este número de parâmetros é finito; • modelos não-paramétricos, que envolvem um número infinito de parâmetros.
Uma clássica possibilidade para o tratamento deste tipo de sinais é através da decomposição desta sé-rie temporal, yk, em seus movimentos básicos como: tendência, T ; movimento cíclico, C; movimento
sazonal, S e movimento irregular ou aleatório, I; então ykpode ser decomposto como:
2.1 Series temporais. 7 A tendência pode ser estimada, por exemplo, através de um gráfico onde plotamos os pontos e tra-çamos uma curva, ou pelo método dos mínimos quadrados, ou pelos métodos de semi-médias, onde podemos separar os dados em duas partes e calcular a média para cada uma das partes. Uma linha de tendência é desenhada entre dois pontos. A seleção do método a ser usado dependerá da sua eficiência para o tipo de resultado desejado.
A natureza determinística das componentes de nível, tendência e sazonalidade do modelo de des-composição clássica é bastante indesejável do ponto de vista prático. Uma maneira natural de con-tornar esse problema é permitir uma variabilidade nessas componentes, considerando-se os modelos estruturais ou modelos de espaço de estado.
2.1.2
Modelagem das series temporais estocásticas estacionarias no espaço de
estado.
Uma classe bastante geral de modelos, denominados modelos de espaço de estado (MEE) ou modelos lineares dinâmicos (MLD), foi introduzida por Kalman. Os métodos de subespaço têm como objetivos principais a modelagem de séries temporais e a identificação de sistemas lineares no espaço de estado, e se fundamentan nos trabalhos de Kalman.[14, 15]
Todo modelo linear de séries temporais q-dimensionais tem representação em espaço de estado, que relaciona o vetor de observações xk+1 e o vetor de ruídos vk, através de um processo de Markov
xk, p dimensional, denominado vetor de estado. Assim o modelo de espaço de estado de uma série
temporal multivariável estacionária pode ser descrito por um sistema linear multivariável discreto estocástico invariante no tempo:
(
xk+1 = Axk+ vk
yk = Cxk+ wk
(2.2) onde os termos vk, wksão, respectivamente, os ruídos de estado e de saída da série temporal devido à
sua natureza estocástica. Estes termos podem ser considerados como entradas para as quais ninguém tem qualquer controle.
No modelo linear dinâmico supõe-se que:
• O estado inicial X0tem média µ0 e matriz de covariânciasP0;
• Os vetores de ruídos vke wk são não correlacionados entre si e não correlacionados com o
estado incial.
branco de media zero e matrizes de covariância, representadas por: E " vk wk ! vT s wTs # = Q S ST R k = s 0 k 6= s (2.3)
onde E é o operador matemático esperança.
Definindo o vetor inovação ek, com E [ek] = 0 ∀k, ek ∈ Rlserialmente descorrelacionado,
processo estocástico estacionário no sentido débil, com matriz de covariância ∆ = E ekeTk,
pode-mos também representar a série temporal no espaço de estado pela forma inovativa: (
xk+1 = Axk+ Kek
yk = Cxk+ ek
(2.4)
onde xk ∈ Rné o vetor de estado do processo estocástico estacionário no sentido débil, e K é uma
matriz constante. O vetor de perturbação é " Kek ek #
e sua matriz de covariância é:
E (" Kek ek # ekKT eTK ) = " KE ekeTK KT KE ekeTK E ekeTK KT E ekeTK # = (2.5) K∆KT K∆ ∆KT ∆ !
Por analogia (2.3) e (2.5) são iguais. Para o modelo descrito na equação (2.4), podemos definir a matriz de observabilidade estendida por:
O =h CT ATCT AT2
CT · · · ATn−1
CT · · · i (2.6)
e a matriz de atingíbilidade estendida por
Ω =h M AM (A)2M · · · (A)n−1M · · · i (2.7) onde a matriz de covariância M = E xk+1ykTé dada por:
2.1 Series temporais. 9 M = AΠCT + K∆ onde Π = E xkxTk Π = AΠAT + K∆KT
e Λoé a matriz de covariância da saída do processo estocástico{yk}:
Λo = CΠCT + ∆
Supondo ∆ > 0, ∆ e K podem ser expressas como: 4 = Λo− CΠoCT
K = (M − AΠCT)∆−1 A partir destas equações temos:
Π = AΠAT + M − AΠCT Λo− CΠoCT
−1
M − AΠCTT (2.8) O problema de realização estocástica para séries temporais pode ser expresso nos seguintes pas-sos:
1. Determinar as matrizes Λo, A, M e C que representam um modelo para a sequência de
covari-âncias Λide um conjunto de saídas yk, supondo que a matriz de Hankel das covariâncias pode
ser fatoradas como H = OΩ.
2. Resolver a equação de Riccati (2.8), para a covariância Π. 3. Calcular 4 e K de Λo, A, M , C e Π.
Em termos de covariâncias, os parâmetros de Markov do sistema podem ser representados como:
Λi = CΠ0CT + R i = 0 GT AT−i−1CT i < 0 CAi−1G i ≥ 1 (2.9) Em outras palavras:
R = Λ0 − CP CT Q = P − AP AT S = M − AP CT (2.10)
Para melhor compreensão, ver [1, 2, 5, 10, 6].
2.1.3
Representação no espaço de estado do ruido não estacionário.
Procurando fazer nosso trabalho ficar o mais perto possivel da realidade, propomos aqui um mo-delo de ruido não estacionario no espaço de estado baseado no ruido branco.
Considere v (k) um processo estocástico com media zero e matriz de covariância:
Ev(k2, k1) = V (k1)δ(k2− k1) (2.11)
onde V (k1)≥0 é a sua intensidade.
No caso onde V (k1) é uma constante V , o processo é estacionário.
Com base em um ruído branco ekgeramos um ruído não estacionário ej,kque chamamos de ruído
inovado, por:
(
zk+1 = Akzk+ Kek
ej,k = ckzk+ ek
(2.12) onde Ak, Ck, Kksão variantes no tempo.
2.2
Sistema
Um sistema é uma combinação de componentes que atuam juntos e realizam um objetivo deter-minado; um sistema não necessariamente tem que ser físico. Temos diferentes tipos de sistemas, e, de fato, quase tudo com o que temos contato em nossa vida é um sistema ou forma parte de um sistema. Um sistema pode ser qualquer objeto no qual variáveis de diferentes tipos interagem e produzem sinais observáveis. Estes sinais observáveis são conhecidos como saídas; os estímulos externos que afetam o sistema, e que podem ser controlados, são chamados de entradas. Outros estímulos que afetam o sistema são as perturbações, que se apresentam de forma aleatória e incontrolada. Agora, adicionando a palavra dinâmico, temos que um sistema dinâmico é aquele cujo modelo matemático é constituído por equações diferenciais ou a diferenças, onde o tempo é uma variável independente; ou seja, é aquele em que alguns dos seus aspectos variam com o tempo; [4, 3, 2, 8].
2.2 Sistema 11
Figura 2.1: Sistema
O problema principal tratado na identificação de sistemas no espaço de estado pode ser definido como: Dado um número de medidas de entradas, uk, e de saídas yk, geradas por um sistema
desco-nhecido, determinar a ordem n do sistema e as matrizes A, B, C e D, a menos de uma transformação de similaridade e as matrizes de covariâncias do ruído Q, R e S.
• Estacionário ou não estacionário.- Se os parâmetros de um sistema variam com o tempo (ex. massa de um foguete) o sistema é classificado como não estacionário ou variante no tempo; caso contrário ele é chamado estacionário ou invariante no tempo.
• Determinístico ou aleatório.- Se as variáveis são bem definidas a cada instante, por exemplo, com um degrau ou senoide o sistema é determinístico. Se o valor de cada variável é dado em uma base probabilística, o sistema é classificado como aleatório.
• Contínuo ou amostrado.- Usualmente as variáveis mudam continuamente no tempo e então o sistema é classificado como contínuo. Mas essas variáveis podem ser intermitentes ou amos-tradas e o sistema é considerado amostrado. As variáveis podem também apresentar qualquer valor ou podem variar por partes (quantizadas).
2.2.1
Sistema linear determinístico estacionário.
Seja S um sistema discreto linear multivariável invariante no tempo, e sejam ut Rma sua entrada
no instante t Z. É bem conhecido, ver [6], que este sistema possui uma representação entrada-saida definida a partir das matrizes resposta ao impulso denotadas por ht, t = 0, ±1, ±2, · · · .
A saída do sistema no instante t é dada por:
yt = ∞
X
r=−∞
ht−τuτ (2.13)
Isto é, a resposta do sistema é a convolução discreta entre ht e ut. As matrizes ht são também
sistemas no espaço de estado, assim como também na identificação dos mesmos. Uma representação do sistema no espaço de estado tem a forma:
(
xk+1 = Axk+ Buk
yk = Cxk+ Duk
(2.14) Onde xk<né o vetor de estado, uk<m é o vector de entrada e yk<lé o vetor de saída, e as matrizes
A, B, C e D são matrizes constantes para todo instante k de dimensões apropriadas.
2.2.2
Sistema linear estocástico estacionário.
Para quantificar a incerteza na modelagem e/ou as perturbações externas do sistema, adicionamos os termos vk, wk nas equações de estado. Estes termos podem ser considerados como entradas sem
qualquer controle.
(
xk+1 = Axk+ Buk+ vk
yk = Cxk+ Duk+ wk
(2.15) onde os vetores de perturbação vk <ne wk <l são variáveis aleatórias de medias nulas com
covariância: M= E " vk wk ! vT s wTs # = Q S ST R k = s 0 k 6= s (2.16)
e as sequências (vk, k = 0, ±1, ±2, ...) e (wk, k = 0, ±1, ±2, ...)são processos estocásticos
de ruído gaussiano branco. Também pode-se representar um sistema linear estocástico, no espaço de estado pela forma inovativa:
(
xk+1 = Axk+ Buk+ Kek
yk = Cxk+ Duk+ ek
(2.17) onde ekcom E [ek] = 0,Wk é a inovação com sua matriz de covariância dada por ∆ = E ekeTk
e K é o ganho de Kalman. [2, 21, 11, 4]
2.2.3
Sistema linear determinístico não estacionário.
Um sistema linear determinístico não estacionário ou variante no tempo esta representado pelas seguintes equações no espaço de estado:
2.2 Sistema 13
(
xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Bj,kuj,k
yj,k = Cj,kxj,k + Dj,kuj,k
(2.18) Sendo j ∈ [j0, j0+ N − 1] e k ∈ [k0, k0+ T − 1] onde j0 mostra o primeiro intervalo de
ex-perimentação, k0 indica o primeiro instante do tempo do experimento, N mostra o numero total de
experimentos simples e T ≥ N . Em outras palavras
yH = OkXH + TkUH (2.19)
consultar as matrizes YH,Ok,XH,Tke UH em [21].
2.2.4
Sistema linear ruidoso não estacionário.
Um sistema linear ruidoso não estacionário está representado pelas seguintes equações do espaço de estado:
(
xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Bj,kuj,k + vj,k
yj,k = Cj,kxj,k+ Dj,kuj,k+ wj,k
(2.20) Sendo j ∈ [j0, j0+ N − 1] e k ∈ [k0, k0+ T − 1]onde j0 mostra o primeiro intervalo de
ex-perimentação, k0 indica o primeiro instante do tempo do experimento, N mostra o numero total de
experimentos simples T ≥ N e vj,k ∈ Rn ∧ wj,k ∈ Rl são variáveis aleatórias de media nula,
e as sequências (vk, k = 0, ±1, ±2, ...) ∧ (wk, k = 0, ±1, ±2, ...)são processos estocásticos não
estacionários gerados pelo sistema estocástico não estacionário representado no espaço de estado por: (
xj,k+1= Aj,kxj,k + Kj,kej,k
yj,k = Cj,kxj,k+ ej,k
(2.21) onde eké um processo estocástico de ruído branco.
Algoritmo AOKI_VAR
3.1
Introdução
As séries temporais multivariáveis variantes no tempo podem ser modeladas computacionalmente usando vários métodos, mas neste trabalho faremos uso dos métodos de modelagem no espaço de estado. Nesta seção apresentamos um algoritmo iterativo supondo pequenas variações no conjunto de matrizes do sistema que descreve a série temporal num intervalo determinado de operação, para este tipo de modelagem, com base nas propostas de Masanáo Aoki [1] sobre a modelagem de séries temporais e no aporte de Annabell Tamariz [21] para variações temporaisa de parámetros.
A validação de um modelo matemático é importante no momento de falar de precisão, nesta seção apresentamos uma discussão sobre validação da série temporal. Um benchmark é tomado para a validação e apresentação de exemplos.
Também é apresentada uma discussão sobre modelagem e previsão da série temporal, em que é principalmente importante determinar a ordem e a estrutura do modelo. Uma vez que o modelo é validado, ele pode ser usado para previsão. Exemplos são apresentados.
3.2
Algoritmo AOKI_VAR
O algoritmo que propomos é definido inicialmente para um número de N intervalos de experi-mentação para a identificação de sinal. Assim, o algoritmo AOKI_VAR aqui proposto será avaliado um número N de vezes com T amostras para uma janela, para determinar N conjuntos de sistemas de matrizes para cada experimento j. Seja Lj um inteiro específico para o jth intervalo de
experi-mentação Ij dado por:
Ij = [kj − Lj4, kj + Lj4] (3.1)
3.2 Algoritmo AOKI_VAR 15 com Lj = v ∗ ∇ e ∇ = S ∗ ∇jonde v e S são inteiros adequadamente fixados e ∇j é o
jthperíodo de amostragem. O algoritmo proposto irá tratar o modelo inovativo das séries tempo-rais não-estacionárias como um conjunto de modelos inovativos invariantes no tempo. Portanto, a modelagem das séries temporais não-estacionárias consistirá em um conjunto de N modelos esta-cionários que descreverá o sistema pelo algoritmo proposto. Como a matriz de covariância do vetor inovativo é variante no tempo cov ek = ∆k.
Para interpretar a identificação dos parâmetros do problema, temos um conjunto de índices j, k para contarem os dados da serie temporal não estacionaria para o kth instante de tempo para o jth
intervalo experimental para o sistema.
Portanto, nós podemos ver que j [j0, j0+ N − 1] e k [k0, k0+ T − 1], onde j0 é o primeiro
intervalo de experimentação, k0 é o primeiro instante de tempo, n é o numero total de experimentos
ou provas e T é o numero de amostras para um experimento simples.
Um sistema linear ruidoso não-estacionário é representado pelas seguintes equações de espaço de estado:
(
xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Kej,k
yj,k = Cj,kxj,k+ ej,k
(3.2) onde T ≥ N e ej,k é uma processo estocástico variante ao longo do tempo gerado pelo ruído
branco. O problema é determinar a descrição de espaço de estado " xj,k+1 yj,k # = " Aj,k kj,k Cj,k Dk # " xj,k ej,k # (3.3) com base nas seguintes sequências de dados de saída associados:
Yj,k = yj0,k0 yj0,k0+1 · · · yj0,k0+T −1 yj0+1,k0 yj0+1,k0+1 · · · yj0+1,k0+T −1 .. . ... · · · ... yj0+n−1,k0 yj0+n−1,k0+1 · · · yj0+n−1,k0+T −1 (3.4)
bem como na respectiva sequências de dados de entrada associados Uj,k para a mesma série de
exper-imentos, e o mesmo de horizonte de tempo de experimentação.
A matriz Yj,k representa o conjunto de N intervalos de experimentação, permitindo desenvolver
expressões gerais capazes de relacionar as entradas e saídas a partir de um instante inicial ko e
esta-belecendo uma experiência adequada na janela j, para um sistema discreto variante no tempo. Para alcançar nosso objetivo, nós utilizamos uma estrutura de algoritmo iterativo. Esse tipo de estrutura é descrito na Figura 1 e é baseado em [20], onde representações para estruturas iterativa e recursiva de
processamento de dados são apresentadas. O algoritmo recursivo é obtido trabalhando com os dados serialmente, uma amostra de cada vez, usando uma recursão. Por outro lado, o algoritmo iterativo utiliza o método de análise "en bloc", onde uma única estimativa é obtida ao operar sobre todo o conjunto de dados em uma única operação. Uma sequência destas operações "en bloc" caracteriza o processo iterativo; a solução "en bloc" ou "batch" pode ser considerada como uma única iteração sobre os dados.
Figure 3.1: Recursivo e Interativo
Para modelar as series temporais variantes no espaço de estado aplicamos um algoritmo iterativo supondo pequenas variações nas matrizes do modelo num intervalo prédeterminado de operação. Aos dados aplicamos este esquema iterativo que chamamos algoritmo AOKI_VAR, que é aqui resumido e onde as seguintes operações são executadas:
1. A partir de yj;kgerar as matrizes HjA, HjM, HjC, Hj, Yj−, Y + j Yj− = yj,1 yj,2 yj,3 · · · yj,T −1 0 yj,1 yj,2 · · · yj,T −2 0 0 yj,1 · · · yj,T −3 .. . ... ... · · · ... 0 0 . . . yj,T −k−1 yj,T −k (3.5)
3.3 Validação de Series Temporais. 17 Yj+= yj,2 yj,3 yj,4 · · · yj,T yj,3 yj,4 yj,5 · · · 0 yj,4 yj,5 yj,6 · · · 0 .. . ... ... · · · ... yj,N +1 yj,N +2 yj,N +3 · · · 0 (3.6) Hj = Yj+Yj−T T = Λj,1 Λj,2 · · · Λj,T Λj,2 Λj,3 · · · Λj,T +1 .. . ... . .. ... Λj,N Λj,N +1 · · · Λj,N +T +k (3.7) HjA= Λj,2 Λj,3 · · · Λj,k+1 Λj,3 Λj,4 · · · Λj,k+2 .. . ... . .. ... Λj,N +1 Λj,N +2 · · · Λj,N +k+1 (3.8) HjM = Λj,1 Λj,2 .. . Λj,N (3.9) HjC =h Λj,1 Λj,2 · · · Λj,T i (3.10) 2. Determine os valores singulares decompondo a matriz de Hankel das covariâncias
Hj = UjP1/2j P1/2 j V t j (3.11) 3. Calcule as matrizes Ae j,k, Cj,ke , Kj,ke e ∆j,k.
4. Atualize: itere no algoritmo como descrito acima, para obter o estado e as matrizes de covar-iâncias para yj,k para cada instante k de tempo e intervalo j de tempo.
5. Validar.
3.3
Validação de Series Temporais.
A validação de um modelo matemático pode ser definida como a demostração da sua acuidade: ”proximidade da verdade”, para uma aplicação particular. Neste sentido, acuidade é a ausência de
erros aleatórios e sistemáticos naquela aplicação. A validação do modelo de serie temporal requer: • A confirmação do modelo (ou seja, que prova que ele é digno de credíto e admissível) • A verificação do modelo (ou seja, que prova que ele é verdadeiro).
Nossa proposta de validação para o algoritmo AOKI_VAR tem o seguinte esquema, Figura 2:
Figure 3.2: Validação do algoritmo AOKI_VAR
Para confirmar e verificar a qualidade do algoritmo AOKI_VAR proposto implementamos o seguinte benchmark para sistemas variantes no tempo:
( xk+1 = Akxk+ Kkek yk = Ckxk+ ek (3.12) onde Ak= " −0,3 0 0 ak # (3.13)
3.3 Validação de Series Temporais. 19 com ak= − 1 3− 1 10sin( 2πk 400) (3.14)
As matrizes restantes são consideradas constantes:
Kk = " 5 4 5 4 7 10 7 10 # ; Ck = " 5 4 − 7 10 5 4 − 7 10 # (3.15) Usando o procedimento apresentado no inicio deste capitulo, a entrada para o sistema
(
xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Kej,k
yj,k = Cj,kxj,k+ ej,k
(3.16)
é um sinal aleatório que muda para cada iteração do algoritmo de acordo com (
zk+1 = Akzk+ kkek
ej,k = Ckzk+ ek
(3.17)
Para j = 1, os resultados da fase de validação do algoritmo AOKI_VAR proposto são apresentadas nas Figuras 3.3, 3.4 e 3.5 para k = 1.
Figure 3.4: Sinal de Saida
3.3 Validação de Series Temporais. 21 As matrizes ˆA, ˆB, ˆK,e ˆM, e os parâmetros de Markov são também apresentados na Tabela 3.1, bem como são mostrados, 4 (matriz de covariâncias do ruído) e ˆ4 (a matriz de covariâncias estimada do ruído), para este caso.
Table 3.1: Matrizes de Covariâncias para j = 1 e k = 1 4 0.9633 −0.0856 −0.0856 1.0092 ˆ 4 0.9176 −0.0801 −0.0799 1.2387 ˆ A = " 0, 174 −0, 21 0, 216 −1, 02 # ˆ K = " −1, 02 −0, 93 0, 17 −0, 18 # ˆ C = " −1, 10 −0, 05 −1, 15 −0, 04 # ˆ M = " −1, 1 −1, 15 0, 05 −0, 045 #
Para j = 10, os resultados da fase de validação do algoritmo AOKI_VAR proposto são apresen-tadas nas Figuras 3.6 e 3.7 para k = 1.
Para j = 10, os resultados da fase de validação do algoritmo AOKI_VAR proposto são apresen-tadas nas Figuras 3.8 e 3.9 para k = 10.
Para j = 15, os resultados da fase de validação do algoritmo AOKI_VAR proposto são apresen-tadas nas Figuras 3.10 e 3.11 para k = 1.
Para j = 32,os resultados da fase de validação do algoritmo AOKI_VAR proposto são apresen-tadas nas Figuras 3.12 e 3.13 para k = 5.
Figure 3.6: Saída vs. Saída Identificada para j = 10 e k = 1
3.3 Validação de Series Temporais. 23
Figure 3.8: Saída vs. Saída Identificada para j = 10 e k = 10
Figure 3.10: Saída vs. Saída Identificada para j = 15 e k = 1
3.4 Modelagem Computacional de Series Temporais 25
Figure 3.12: Saída vs. Saída Identificada para j = 32 e k = 5
Figure 3.13: Erro para j = 32 e k = 5
3.4
Modelagem Computacional de Series Temporais
Duas maneiras de estudar séries temporais aqui são brevemente consideradas: modelagem com-putacional no espaço de estado e previsão. Em nosso contexto, analisar séries temporais é
princi-palmente determinar a ordem e a estrutura do modelo (matrizes do sistema e de covariâncias) que gerou a série temporal. Assim, a modelagem de séries temporais, ou modelagem computacional de séries temporais, ou identificação de série temporais no espaço de estado envolve encontrar um mod-elo de série temporal que representa as suas características: ordem e estrutura, através de algoritmo computacional.
Supondo que o algoritmo AOKI_VAR já foi validado, ele pode ser usado para a modelagem de qualquer série temporal, como amostra a Figura 3.14.
Figure 3.14: Modelagem AOKI_VAR
Com base neste esquema, modelamos a série temporal não-estacionária apresentada na Figura 3.15 e obtivemos as matrizes ˆA, ˆB, ˆK, e ˆM, para j = 1 e k = 1:
ˆ A = " 0, 0337 −0, 1260 −0, 1260 −0, 5975 # ˆ K = " −0, 3476 −1, 0199 1, 0102 −0, 0278 # ˆ C = " −8, 6150 −0, 0367 0, 0234 −0, 0475 # ˆ M = " −4, 1824 −1, 1741 0, 0418 −0, 0501 #
Na tabela 3.2 a matriz de covariância do ruído estimada para j = 1 e k = 1 é apresentado Table 3.2: Matriz de Covariâncias para j = 1 e k = 1
ˆ
4 14.0581 −0.3927 −0.3835 1.0264
Para j = 1, os resultados da modelagem da série temporal multivariada pelo algoritmo AOKI_VAR proposto são apresentados na Figura 3.16 para k = 2.
3.4 Modelagem Computacional de Series Temporais 27
Figure 3.15: Series Temporais para j = 1 e k = 1
Para j = 15, os resultados de modelagem pelo algoritmo AOKI_VAR são apresentados na Figura 3.17 para k = 10.
Para j = 26, os resultados de modelagem do algoritmo AOKI_VAR são apresentados na Figura 3.18 para k = 1.
Figure 3.16: Saída Identificada para j = 1 e k = 2
3.5 Previsão 29
Figure 3.18: Saída Identificada para j = 26 e k = 1
3.5
Previsão
Uma vez que o modelo no espaço de estado de uma série temporal é validado, ele pode ser usado para previsão. Na figura 3.19 apresentamos uma proposta para previsão de valores futuros da série temporal com base no modelo obtido pelo algoritmo AOKI_VAR.
Os resultados da previsão pelo algoritmo AOKI_VAR são apresentados na Figura 3.21, e na tabela 3.3. Na Figura 3.20 o vetor de ruído inovativo para o modelo validado, para j = 1 e k = 1 são apresentados.
Figure 3.20: Ruído
3.5 Previsão 31
Table 3.3: Matriz de Covariância 4 1.1097 0.8081
0.8081 15.6649
As previsões para j = 1 e k = 20 são apresentadas na Figura 3.22 As previsões para j = 13 e k = 2 são apresentadas na Figura 3.23 As previsões para j = 30 e k = 8 são apresentadas na Figura 3.24 As previsões para j = 32 e k = 5 são apresentadas na Figura 3.25
Figure 3.23: Predição de Séries Temporais para j = 13 e k = 2
3.5 Previsão 33
Algoritmo MOESP_AOKI_VAR
4.1
Introdução
As necessidades do homem nas ultimas décadas levaram de aumento a produtividade de alguns setores e com elas à automação dos processos industriais, obrigando a indústria a adaptar-se às deman-das do mercado e a aumentar sua competitividade. Para alcançar tal objetivo é necessário aperfeiçoar os processos para maximizar a eficiência dos mesmos, consequentemente é necessário implantar con-troladores robustos e confiáveis. Para isso é imprescindível conhecer o comportamento dinâmico do processo.
Os métodos de identificação de sistemas têm evoluído de uma maneira enorme, procurando aten-der esse crescimento com modelos cada vez mais simples e precisos, por estas razões os estudos e pesquisas são cada vez de maior interesse.
A obtenção dos modelos é muito complexa para o caso de sistemas multivariáveis, e a confiabili-dade numérica pode ser pouco aceitável em problemas de sistemas de grandes dimensões, com grande número de entradas - saídas. No caso destes sistemas complexos, os Métodos de Subespaços surgem como uma alternativa muito útil na identificação dos mesmos. Para sistemas multivariáveis estes métodos provêm modelos confiáveis no espaço de estado diretamente a partir dos dados de entrada e saída. Os algoritmos envolvidos são numericamente robustos e não usam técnicas de otimização não lineares, o que significa que os algoritmos são rápidos (não iterativos) e precisos (não existem problemas de mínimos locais).[4]
Neste capitulo propomos um algoritmo para a modelagem de dados de sistemas lineares ruidosos multivariáveis não estacionário no espaço de estado. Nosso algoritmo proposto MOESP_AOKI_VAR fundamenta-se no algoritmo MOESP_VAR proposto A.D.R. Tamariz, C.P. Bottura, G. Barreto (2005) e no algoritmo MOESP_AOKI proposto em Caceres, Angel Fernando Torrico (2005), Tamariz, Annabell (2005), Tamariz, Annabell and Bottura, C.P (2007).
4.2 Algoritmo MOESP 35
4.2
Algoritmo MOESP
Os Métodos de Subespaços foram desenvolvidos a partir do final dos anos 1980. O termo "Método de Subespaço para Identificação" foi introduzido por Verhaegen e Deprettere (1991). Na atualidade existem muitas versões de Métodos de Subespaços: Canonical Variate Analysis (CVA) devido a Larimore (1990), Multivariable Output-Error State-Space (MOESP) devido a Verhaegen e Dewilde (1992), Numerical Algorithm for Subspace State-Space System Identification (N4SID) devido a Van Overschee e De Moor (1994), entre outros.
Os Métodos de identificação por Subespaços em tempo discreto referem-se a uma classe de algo-ritmos cuja principal característica é trabalhar com os subespaços gerados pelas linhas ou colunas das matrizes bloco de Hankel formadas pelos dados de entrada - saída, para calcular um modelo confiável no espaço de estado. Os modelos no espaço de estado são descritos matematicamente pelas equações:
(
xk+1 = Axk+ Buk
yk = Cxk+ Duk
Os passos para construção do algoritmo são dados por: 1. Construção da matriz de HankelYN eUN
YN = OkXN + τkUN (4.1)
YN = Yjk no caso variante no tempo.
A matriz UN contem os vetores de entrada uj,k.
2. Fatoração QR
Para o entendimento da fatoração QR é recomendável entender a projeção ortogonal.
Partindo de (4.1) podemos fazer a projeção de cada termo da equação no complemento ortogonal UN⊥.[2]
YN | UN⊥ = OkXN⊥+ τkUN | UN⊥ (4.2)
consequentemente
YN | UN⊥= OkXN | UN⊥ (4.3)
permitindo a obtenção da matriz de estado Xke da matriz de observabilidade Ok.
Outra forma de encontrar estas matrizes é mediante o uso da decomposição em valores singulares (SVD) e/ou da decomposição QR.
YN | UN⊥ = h U1 U2 i " P 1 0 0 0 # " VT 1 VT 2 # (4.4) U1 P1/21 P1/21 V1T = RQ (4.5)
onde podemos encontrar
Ok= U1
P1/2
1 (4.6)
e deduzir que o espaço coluna Oké igual ao espaço coluna de V1 e que
XN | UN⊥=
P1/2
1 V T
1 (4.7)
Uma vez calculada a extensão do espaço coluna Okpodemos calcular a matriz do sistema Ako.
Supondo que a matriz UN tem a mesma dimensão que Ok então existe uma matriz quadrada
regular T1 que satisfaz:
UN = OkT1 (4.8) como O(1)k Ako = Cko Cko+1Ako Cko+2Ako+1 .. . Cko+T −1Ako+T −2 Ako (4.9) O2 k = CkoAko Cko+1Ako+1 Cko+2Ako+2 .. . Cko+T −1Ako+T −1 (4.10)
Supondo que existe uma matriz XN, existe uma matriz quadrada regular T2que satisfaz:
XK = T2XN (4.11)
4.2 Algoritmo MOESP 37 " X1 · · · XN Y1 · · · YN −1 # = " Ak Bk Ck Dk # " X1 · · · XN −1 U1 · · · UN −1 # onde " X1 X2 · · · XN −1 U1 U2 · · · UN −1 # = " XN −1 UN −1 # e concluímos que: " XN −1 UN −1 #
tem o posto completo.
Finalmente podemos calcular as matrizes do sistema (AT2, BT2, CT2, D). Quando a entrada Ujo,k
é arbitrária e os parâmetros de Markov em TK são conhecidos de (4.1), podemos escrever:
OkXN = YN − TKUN
e usando a fatoração QR temos:
OkXN = [R21− TkR11 | R22]
Q1
Q2
(4.12) Se o posto de R22é n, podemos calcular a SVD da matriz como:
R22 = UnSnVnT (4.13)
3. Determinação das matrizes A e C
OkT = UN
UN(1)A = Uˆ N(2) ˆ
C = UN(1 : L; :)
4. Determinação das matrizes B e D
UN = R11Q1
YN = OkXN + TkUN = R21Q1+ R22Q2
R22= UNSNVNT
UNT−1XN + TkR11Q11= R21Q1+ UNSNVNTQ2
(UN⊥)TT
kR11= (UN⊥)TR21
como R11 é regular, podemos calcular as matrizes B e D do sistema. Finalmente o modelo no
espaço de estado está completo.
(
Xk+1 = AXk+ BUk
Yk = CXk+ DUk
4.3
Identificação de sistema variante no tempo.
Nosso algoritmo de identificação trabalha sob a hipótese de que os sistemas variantes no tempo podem ser considerados como um conjunto de modelos invariantes no tempo para um determinado intervalo no tempo. Assim a identificação de sistemas variantes no tempo consistirá num conjunto de n modelos invariantes no tempo, que descreverão o sistema para o experimento definido.
Uma expressão que relaciona as entradas ao vetor de estado de um sistema linear variante no tempo no instante kthé: xk = A(k−1)x0 + k−1 X l=0 A(k−l−1)Blul (4.14)
onde A(n) e A(n)representam as matrizes de transição satisfazendo: A(0) = A0 A(0) = I A(n)= AnA(n−1) = An. . . A2A1A0 A(n)= AnA(n−1) = An. . . A2A1 (4.15)
Para interpretar a identificação dos parâmetros do problema, temos um conjunto de índices j, k em uj,k que indica a entrada da amostra para o instante kth do tempo real para o intervalo jth de
experimentação do sistema (8). Por tanto podemos notar que j ∈ [j0,j0+ n − 1]e k ∈ [k0,k0+ T − 1]
onde j0 é o primeiro intervalo de experimentação, k0 é o primeiro instante de tempo, n é o numero
total de experimentos ou ensaios e T é o tempo necessario para um experimento simples. O problema que temos é estabelecer a descrição do espaço de estado.
" xj,k+1 yj,k # = " Ak Bk Ck Dk # " xj,k uj,k # (4.16)
4.3 Identificação de sistema variante no tempo. 39 baseados nas seguintes seqüências de dados de saídas associados como:
Yj,k = yj0,k0 yj0,k0+1 · · · yj0,k0+T −1 yj0+1,k0 yj0+1,k0+1 · · · yj0+1,k0+T −1 .. . ... · · · ... yj0+n−1,k0 yj0+n−1,k0+1 · · · yj0+n−1,k0+T −1 (4.17)
assim como nas respectivas sequências de entrada Uj,k para as mesmas series de experimentos
e sobre o mesmo intervalo de tempo. A matriz Yj,k representa o conjunto de (n − 1) intervalos
de experimentação. Ele permite-nos desenvolver expressões gerais capazes de se relacionar com entradas e saídas a partir de um tempo inicial k0e estabelecer um intervalo de experimentação correto
j, para um sistema discreto variante no tempo representado no espaço de estado por: (
xj,k+1 = Akxj,k+ Bkuj,k
yj,k = Ckxj,k + Dkuj,k
(4.18) Para o instante seguinte temos:
(
xj,k+2= Ak+1xj,k+1+ Bk+1uj,k+1
yj,k+1= Ck+1xj,k+1+ Dk+1uj,k+1
(4.19) Substituindo 4.19 em 4.18 temos que:
(
xj,k+2 = Ak+1Akxj,k + Ak+1Bkuj,k + Bk+1uj,k+1
yj,k+1= Ck+1Akxj,k+ Ck+1Bkuj,k + Dk+1uj,k+1
(4.20) e assim por diante.
A solução de 4.18 para qualquer instante no tempo k0 ≥ 0 pode ser escrita como:
yj,l = Cl,j+ Dluj,l l = 0 ClA(l−1)xj,l+ + l−1 X i=0 ClA(l−i−1)Biuj,i+ Dluj,l l > k0 (4.21)
A equação 4.18 pode ser descrita em forma compacta pelo modelo estendido:
YH = OkXH + TkUH (4.22)
YH = yj0,k0+ yj0,k0+1+ · · · yj0,k0+T −1+ yj0+1,k0+ yj0+1,k0+1+ · · · yj0+1,k0+T −1+ .. . ... ... yj0+n−1,k0+ yj0+n−1,k0+1+ · · · yj0+n−1,k0+T −1+ (4.23) e UH = u+j0,k0 u+j0,k0+1 · · · u+j0,k0+T −1 u+j0+1,k0 u+j0+1,k0+1 · · · u+j0+1,k0+T −1 .. . ... ... u+j0+n−1,k0 u+j0+n−1,k0+1 · · · u+j0+n−1,k0+T −1 (4.24) XH = h x+j 0,k0 x + j0+1,k0 · · · x + j0+n−1,k0 i (4.25) Oké uma matriz com estrutura semelhante à da matriz de observabilidade, dada por:
Ok = Ck0 Ck0+1A(k0) Ck0+2A(k0+1) Ck0+3A(k0+2) .. . Ck+T −1A(k0+T −2) (4.26)
Estas matrizes propiciam uma representação muito importante para estudar-se as propriedades de uma realização no espaço de estado a partir das seqüências multivariadas de entrada-saída, bem como para o desenvolvimento de algoritmos de identificação multivariável recursivos no espaço de estado, como o exposto neste trabalho. [21]
Algoritmo recursivo para a parte estocástica: ver em [24, 25] e no capitulo 3.
4.4
Algoritmo MOESP_VAR
Uma característica básica das diferentes abordagems MOESP é a utilização da fatoração QR, nesta teses utilizamos a fatoração QR de uma matriz composta
" UH
YH
#
e uma outra matriz com linhas ortogonais, para recuperar uma matriz com espaço coluna igual ao espaço coluna de Ok.
Um algoritmo recursivo para o problema MOESP com matrizes variantes no tempo é apresentado. Variações no algoritmo MOESP podem resultar da forma de realizar os cálculos na fatoração QR,
4.4 Algoritmo MOESP_VAR 41 ou seja, quando um novo par amostrado de entrada/saída uj,k, yj,k é dado, uma atualização parcial
da fatoração QR poderia, por exemplo, ser executada. Este novo par entrada/saída determina uma coluna adicional não processada, nas matrizes de Hankel UH e YH. Nossa proposta de algoritmo de
identificação trata um sistema variante no tempo como um conjunto de modelos invariantes no tempo. Desta forma a identificação do sistema variante no tempo consistirá de um conjunto de N modelos invariantes no tempo, que descreverão o sistema para o experimento definido.[22]
Passos do Algoritmo
Cálculo da matriz do sistema Ak.
Para seqüências de entradas [uk0uk0+1... uk0+T −1] e saídas [yk0yk0+1... yk0+T −1]:
1. Construir as matrizes Hankel YH e UH
2. Executar a compressão dos dados via fatoração QR: h UH YH i = " R11 0 R21 R22 # h Q1 Q2 i 3. Calcular a SVD de R22dada por:
R22=UH UH⊥ " P n 0 0 P 2 # VT n (V⊥ n) T
4. Resolver o conjunto de equações
UH(1)Ak= U (2) H
Atualização da fatoração QR:
Seja a fatoração obtida denotada como: " Rj0,11 0 Rj0,21 Rj0,22 # " QRj0,1 QRj0,2 #
onde o índice j0 representa o conjunto de medidas de entrada-saída processado no experimento
simples mais recente.
Suponhamos que durante este intervalo de tempo [j0, j0+ n−1] o modelo no espaço de estado é
invariante e igual à xk+1= Aj0xk+ Bj0uk yk= Cj0xk+ Dj0uk
Logo a equação em forma compactada que relaciona as diferentes matrizes de dados, pode ser representada por:
4.5
Modelagem determinística estocástica no espaço de estado do
sistema não estacionário.
Uma forma de representar sistemas lineares discretos multivariaveis ruidosos com entradas exó-genas variante no tempo no espaço de estado é dada por:
( xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Bj,kuj,k + vj,k yj,k = Cj,kxj,k+ Dj,kuj,k+ wj,k (4.27) com E " vj,k wj,k ! vj,sT wTj,s # = Qj Sj ST j Rj k = s 0 k 6= s (4.28)
A seguir propomos um teorema sobre a decomposição por superposição de sistemas lineares ruidosos variantes no tempo.
Teorema 1. Por superposição, o modelo linear ruidoso variante no tempo S na forma inovativa, dado por: S : ( xj,k+1 = Aj,kxj,k+ Bj,kuj,k + Kj,kej,k yj,k = Cj,kxj,k+ Dj,kuj,k + ej,k (4.29) pode ser descomposto nos subsistemas seguintes:
Sd : ( xd j,k+1 = Aj,kxdj,k+ Bj,kuj,k yd j,k = Cj,kxdj,k + Dj,kuj,k (4.30) e Se : ( xe j,k+1 = Aj,kxej,k+ Kj,kej,k ye j,k = Cj,kxej,k + ej,k (4.31) onde o superescrito d se refere ao determinístico e o superescrito e ao estocástico e
yj,k = yj,kd + yj,ke
O estado do sinal ruidoso é
xj,k = " xd j,k xej,k # onde
4.5 Modelagem determinística estocástica no espaço de estado do sistema não estacionário. 43 A = " Adj,k 0 0 Ae j,k # B = " Bej,k 0 # C =Cd j,k Cj,ke D = Dj,kd ,K = Kj,ke
Prova. Aplicando o principio de superposição pode se escrever o modelo linear na forma: yj,k = yj,kd + yj,ke = Cj,kd xdj,k+ Cj,ke xej,k+ Dj,kd uj,k + Kj,ke ej,k+ ej,k com yj,kd = Cj,kxdj,k+ Dj,kuj,k yej,k = Cj,kxej,k + ej,k onde yj,k = yj,kd + y e j,k = h Cd j,k Cj,ke i " xdj,k xej,k # + Ddj,kuk+ Kj,ke ej,k+ ej,k
Como o estado do sinal ruidoso é
xk= " xdk xek # , Então xj,k+1 = " xd k+1 xe k+1 # = " Ad j,kxdj,k + Ddj,kuj,k Ae j,kxej,k+ Kj,ke ej,k # = " Ad j,k 0 0 Ae j,k # " xd j,k xe j,k # + " Dd j,k 0 # uj,k+ ej,k
4.6
Algoritmo MOESP_AOKI_VAR
O objetivo principal do algoritmo é conseguir determinar as matrizes do sistema com espaços linha ou coluna especialmente estruturados. Um algoritmo recursivo para o problema deterministico e um algortimo iterativo para o problema estocástico com matrizes variantes no tempo são apresentados. Uma das vantagems deste algoritmo é não fazer uso de nenhuma técnica de atualização da SVD, apenas uma atualização parcial da fatoração QR por cada novo par amostrado de entrada/saída é feito, pois esta demandaria um elevado esforço computacional neste processo.
Desta forma a identificação do sistema variante no tempo consistirá de um conjunto de N modelos invariantes no tempo, que descreverão o sistema para o experimento definido.
Assim o procedimento para o algoritmo MOESP_AOKI_VAR é resumido como segue: 1. Montar as matrizes de Hankel YN e UN.
2. Executar compressão de dados através da decomposição QR UN YN = " R11 0 R21 R22 # Q1 Q2 (4.32)
Sendo R11e R22matrizes quadradas invertíveis .
3. Calcular SVR de R22como: R22 = h UN UN⊥ i P n 0 0 P 2 VnT (Vn) T (4.33)
4. Resolver o sistema de equações:
UN(1)AT = U (2)
N (4.34)
5. Atualização: Nós aplicamos o algoritmo recursivo mostrado na Seção 1.4.2. Obtendo assim as matrizes Ad
j,k, Bj,kd , Cj,kd , Dj,kd , de ydj,kpara instantes de tempo k e intervalos de tempo j.
6. Determinar o sinal yj;kc ≡ ¯y gerando as matrizes HA, HM, HC, H, Y−, Y+
Y−= ¯ y1 y¯2 y¯3 · · · yN −1¯ 0 y¯1 y¯2 · · · yN −2¯ 0 0 y¯1 · · · yN −3¯ .. . ... ... · · · ... 0 0 . . . yN −k−1¯ yN −k¯ (4.35)
4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
45 Y+ = ¯ y2 y¯3 y¯4 · · · y¯N ¯ y3 y¯4 y¯5 · · · 0 ¯ y4 y¯5 y¯6 · · · 0 .. . ... ... · · · ... ¯ yj+1 yj+2¯ yj+3¯ · · · 0 (4.36) H = Y+Y T − N = Λ1 Λ2 · · · Λk Λ2 Λ3 · · · Λk+1 .. . ... . .. ... Λj Λj+1 · · · Λj+k (4.37) HA= Λ2 Λ3 · · · Λk+1 Λ3 Λ4 · · · Λk+2 .. . ... . .. ... Λj+1 Λj+2 · · · Λj+k+1 (4.38) HM = Λ1 Λ2 .. . Λj (4.39) HC =h Λ1 Λ2 · · · Λk i (4.40) 7. Obter a decomposição em valores singulares da matriz de Hankel de covariâncias.H = UP1/2P1/2VT (4.41)
8. Calcular as matizes Ae
j,k, Cj,ke , Kj,ke e ∆j,k.
9. Actualização: iterar o algoritmo como descrito acima, para obter os estados e as matrizes de covariâncias para yj,k para cada instantes de tempo k e intervalo de tempo j .
10. Validar.
4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
Numericamente, o algoritmo proposto é inicialmente definido por um certo número T de inter-valos de experimentação conseguindo identificar as matrizes do sistema. Assim, o algoritmo aqui
proposto MOESP AOKI VAR vai ser avaliado T vezes para determinar T conjuntos de matrizes do sistema para cada experimento.
Se ∇ é um incremento pequeno, Lj é um numero inteiro especificado para cada intervalo IJ eo
j − esimo intervalo Ij é dado por:
Ij = [kj − Lj∇, kj + Lj∇] (4.42)
Para mostrar a eficácia do algoritmo proposto montamos um benchmark adaptado a partir de um exemplo de Ohsumi, T. Akira e Kawano (2002). A identificação no instante de tempo kj (sendo este
o ponto médio de cada intervalo Ij ) é determinada como kj+1 = kj+ v∇, onde v é fixado como um
valor inteiro, ∇ é um incremento de tempo de simulação dado por ∇ = M ∇t onde M é fixado como um valor inteiro; para nosso caso definimos Lj = 500 para todo j.
O sistema exemplificado é descrito a seguir:
A parte determinística é dada pelas seguintes matrizes de estado.
Ak = " −0.3 ak 1 −1 # onde ak= − 1 3− 1 10sen( 2πk 400) As matrizes restantes são consideradas constantes:
Bk = " −2 1 1 1 # ; Ck = " 1 3 1 2 # Dk = 0
A entrada do sistema é randômica mudando para cada iteração do algoritmo. O algoritmo proposto apresenta os seguintes resultados para k = 1 :
Aj,k = " −0.3000 0 0 −0.4040 # Bj,k = " −2 1 1 1 #
4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
47 Cj,k = " 1 3 1 2 # Cj,kBj,k = " 1 4 0 3 # Cj,kAj,kBj,k = " −0.6121 −1.5121 −0.2081 −1.1081 #Nós fazemos a identificação determinística-estocástica do sistema sujeito ao ruído. Os resultados obtidos através da execução da primeira parte do algoritmo MOESP AOKI VAR são apresentados a seguir: Adj,k = " −0.3000 0 −0.0000 −0.4077 # Bj,kd = " 4.1559 3.7636 −3.1924 1.5997 # Cj,kd = " 0.7705 0.6867 0.5137 0.6677 # Cj,kd Bj,kd = " 1.0098 3.9984 0.0031 3.0014 # Cj,kd Adj,kBj,kd = " −0.6478 −1.5118 −0.2308 −1.1086 #
Na figura 4.1 apresentamos a saída do modelo determinístico.
A seguir estão os resultados da execução da segunda parte do algoritmo MOESP_AOKI_VAR: ∆ = [1.6092] Aej,k = " −0.2092 −0.7319 0.7319 0.1218 # Kj,k = " −0.2582 1.1257 #
Cj,ke = h
−2.7437 1.0369 i onde ∆ é a matriz da covariância do ruído.
Na figura 4.2 apresentamos o sinal modelada, usando a segunda parte do algoritmo MOESP_AOKI_VAR. Na Figura 4.3, apresentamos a saída do sinal resultante da superposição dos sinais determinístico
e estocástico yd
j,k e yej,k. Finalmente fazemos uma verificação para validar o algoritmo combinado
proposto MOESP_AOKI_VAR e observamos na Figura 4.4 que para um conjunto de dados de entrada e saída, com ruído branco, o algoritmo MOESP_AOKI_VAR consegue descrever satisfatoriamente um sinal ruidoso.
Testamos o algoritmo MOESP_AOKI_VAR para otros instantes de tempo: Para j = 1 e k = 2 são apresentadas na Figura 4.5
Para j = 5 e k = 10 são apresentadas na Figura 4.6
4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
49Figure 4.2: Saída do modelo Estocástico.
Figure 4.4: Erro na modelagem.
4.7
Exemplo de aplicação do algoritmo MOESP_AOKI_VAR
51Figure 4.6: Erro para j = 1 e k = 2
Capítulo 5
Conclusões
Nesta tese nós propomos procedimentos computacionais para modelagem em contexto estocástico no espaço de estado de séries temporais não estacionárias multivariáveis que chamamos algoritmo AOKI_VAR, baseado no algoritmo AOKI e para a identificação no espaço de estado de sistemas lineares variantes no tempo multivariáveis discretos no tempo, que chamamos MOESP _AOKI_VAR baseado nos algoritmos AOKI_VAR e MOESP_VAR, e dado pela superposição destes.
Nos apoiamos na hipótese de que as variações no tempo são suficientemente lentas para assegurar a eficácia do método de identificação de subespaços tipo MOESP para sistemas dinâmicos lineares ruidosos não estacionários e do método de identificação de AOKI no espaço de estado para series temporais.
Discutimos também os procedimentos de validação, modelagem e previsão de séries temporais não estacionárias multivariáveis pelo algoritmo AOKI_VAR e apresentamos exemplos usando um benchmark proposto.
Os resultados mostraram que os algoritmos propostos e implementados em MATLAB garantem bons desempenhos para as modelagens de séries temporais e de sistemas. A nosso conhecimento, estas propostas são originais. Seus resultados podem ser considerados bons e as propostas úteis sob as hipóteses consideradas, mas nossos estudos, análises e resultados ainda podem ser considerados como preliminares e passíveis de aprimoramentos, devido às complexidades dos problemas tratados.
[1] Aoki, M., State Space Modelling of Time Series, Springer-Verlang, second edition, 1990. [2] Barreto, G., "Modelagem Computacional Distribuída e Paralela de Sistemas e de Séries
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[3] Bottura, C. P., Análise Linear de Sistemas, Editora Guanabara Dois, 1982.
[4] Cáceres, A. F. T., "Identificação e Controle Estocásticos Decentralizados de Sistemas Inter-conectados Multivariáveis no Espaço de Estado", Tese de Doutorado, FEEC, UNICAMP, 2005. [5] Clavijo D. G., Metodos de Subespaço para Identificação de Sistemas: Propostas de alterações, implementações e avaliações, Tese de Mestrado, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Com-putação, UNICAMP, 2008.
[6] Chen, C.T. Linear Systems Theory and Design. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1984. [7] Dewilde, P. and Van der V., Alle-Jan, "Time-Varying Systems and Computations", Kluwer
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[8] De Moor, B. and Van Overschee P., "Numerical Algorithms for State Space Subspace Systems Identification", Editado por alberto Isidori em Trends in Control - A European Perspective, 385-422, springer-Verlag, 1995.
[9] De Moor, B. and Van Overschee, P. and Favoreel,W. Numerical Algorithms for Subspace State-Space System Identication - An Overview. Applied and Computational Control, Signals and Circuits, Boston, 1(6):385–422, 1998.
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