Equipe de Matemática

Lista 2- O.M. I (

límpiada de Matemática do Integral )-2015

Equipe de Matemática

Série: 2º ano

Questões:

1. Considere a função real f, de variável real x, definida pelo seguinte determinante:

2cos(x) 2

f(x) para 0 x

1 2cos(x) π

  

Observe o gráfico da função f.

Determine os valores de x para os quais f(x)1.

2. A quantidade de soluções que a equação trigonométricasen x4 cos x4 1 2   admite no intervalo [0, 3 ]π é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

3. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T,em °C, possa ser expressa, em função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por

2 (t 105) T(t) 14 12sen . 364 π      _{ }  

Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de:

a) julho. b) setembro.

c) junho. d) dezembro. e) março.

4. A tabela indica o horário do pôr do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de cada um dos doze meses de 2013. O horário indicado na tabela (y) é dado em “minutos depois das 18 horas”. Por exemplo, em 1 de janeiro de 2013, o pôr do sol se deu às

18h02.

Mês Horário (y) Mês Horário Janeiro 2 2 0 Julho 2 2 0 Fevereiro 1,5 2 1 2   Agosto 2,5 2 1 2   Março 1,1 2 3 2   Setembro 2,9 2 3 2   Abril 1 2 1  Outubro 3 2 1 Maio 1,1 2 3 2   Novembro 2,9 2 3 2   Junho 1,5 2 1 2   Dezembro 2,5 2 1 2  

1. Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em função de x no intervalo x 2 .

6 π

π

 

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

6 π 3 π 2 π 2 3 π 5 6 π π 7 6 π 4 3 π 3 2 π 5 3 π 11 6 π 2π

2. Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x, cujo gráfico passe por todos os pontos definidos pelas duas tabelas anteriores. Em seguida, use essa função para prever o horário do pôr do sol quando x .

4 π  Adote: 62,4 e 21,4 5. Seja A a matriz 1 0 2 2 0           Sabe-se que n n vezes A     A A A A

Então, o determinante da matriz S A A2A3 A11 é igual a: a) 1

b) 31 c) 875 d) 11

6. Uma empresa da construção civil faz 3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo 2, para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 3 ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço.

Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal

Tipo da Casa Ferro (feixe) Madeira 3 (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) Tipo 1 3 2 2 3 Tipo2 4 4 3 5 Tipo3 5 5 4 6

Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Feixe de ferro Madeira 3 (m ) Telha (milheiro ) Tijolo (milheiro) 500,00 600,00 400,00 300,00

Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de:

a) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo total

5.200,00 7.100,00 8.900,00 83.300,00

b) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo total

4.400,00 7.100,00 9.100,00 82.700,00

c) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo total

4.400,00 7.100,00 8.900,00 81.700,00

d) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo total

4.400,00 7.400,00 8.900,00 82.900,00

e) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Custo total

4.500,00 7.100,00 8.800,00 82.400,00

7. No quadro abaixo, observa-se o balanço de vendas das três vendedoras da Perfumaria Soxeiro para os três perfumes mais vendidos no último sábado.

Vendedora

Perfumes (nº de

vidros) Faturamento (R$)

Alfa Beta Gama

Amanda 7 3 4 1.950

Bruna 5 10 8 3.600

Carol 4 5 6 2.350

Total 16 18 18 7.900

De acordo com esses dados, quanto custa um vidro do perfume Beta? a) R$100,00 b) R$150,00 c) R$160,00 d) R$180,00 e) R$ 200,00

8. Analise o esquema seguinte.

Se os pratos da balança estão equilibrados, então a soma dos pesos dos objetos , e , em kg, é :

a) menor que 1. b) maior que 2,5.

c) maior que 1 e menor que 1,5. d) maior que 1,5 e menor que 2. e) maior que 2 e menor que 2,5.

9. Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os procedimentos a seguir.

1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A, com quatro algarismos.

2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M. 3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera A 1.

4



4. Calcule a soma S = A + N + Y.

5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7. 6. Conhecendo X, consulte a tabela:

X Dia da semana correspondente 0 sexta-feira 1 sábado 2 domingo 3 segunda-feira 4 terça-feira 5 quarta-feira 6 quinta-feira

O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é: a) domingo b) segunda-feira c) quarta-feira d) quinta-feira 10.

O Sistema Monetário Colonial do Brasil mantinha uma clássica ordem de valores baseados nas dezenas, com seus valores dobrados a cada nível acima de moeda cunhada, portanto com valores de 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 960 réis; o que em grande parte minimizava a problemática do troco. No entanto, a província de Minas Gerais produziu um problema tão grave de troco, no início da segunda década do século XIX, que afetou diretamente os interesses da metrópole e exigiu medidas drásticas para evitar grandes perdas ao cofre português. [...]

Para resolver o problema, em 1818, a Casa da Moeda do Rio de Janeiro, desativada desde 1734, foi reaberta para cunhar uma das moedas mais intrigantes da história da numismática mundial, o Vintém de Ouro. O nome sugere uma moeda de vinte réis cunhada em ouro, no entanto é uma moeda de cobre que tem no seu anverso o valor de 37 ½ réis, batida no Rio de Janeiro para circular em Minas Gerais.

De acordo com o texto, se uma pessoa tivesse que efetuar um pagamento de 680 réis e só possuísse moedas de Vintém de Ouro, então, ao realizar esse pagamento, ele poderia receber de troco uma quantidade mínima de moedas, correspondente a uma moeda de: a) 40 réis.

b) 80 réis.

c) 10 e outra de 20 réis. d) 10 e outra de 40 réis.

e) 10, uma de 20 e uma de 40 réis.

11. Uma pessoa escolherá um plano de telefonia celular entre duas opções: A e B.

PLANO NOME DO PLANO MINUTOS INCLUÍDOS NO PLANO VALOR EXCEDENTE ENTRE CELULARES DA MESMA OPERADORA PREÇO MENSAL A MINAS 70 70 R$ 0,68 R$ 57,00 B GERAIS 60 60 R$ 0,76 R$ 49,00

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

I. Se a pessoa exceder 30 minutos de ligações para a mesma operadora, o plano A ficará mais vantajoso que o plano B.

II. Se a pessoa usar apenas 60 minutos no mês, o melhor plano será o B.

III. Se a pessoa exceder 10 minutos de ligações para a mesma operadora, os planos A e B ficarão equivalentes.

Assinale a alternativa CORRETA: a) Somente II e III são verdadeiras. b) Somente II é verdadeira.

c) Somente I e III são verdadeiras. d) Somente III é verdadeira.

12.Uma médica, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente, de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 3

em 3 horas, remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 6 horas da manhã, o próximo horário coincidente de ingestão dos mesmos será:

a) 12h. b) 14h. c) 16h. d) 18h. e) 20h.

13. O dia 04 de julho de um certo ano ocorreu numa sexta-feira. Então, 06 de fevereiro do ano seguinte foi:

b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira

14. Assinale o que for correto. 01) n n 2 n 2         _      02) 4 4 4 4 15 1 2 3 4                            

04) A soma das soluções da equação 11 10 10

x 3 2                     é 11. 08) A equação 10 10 x 2x 4         _ 

    tem duas soluções distintas.

16) n n n 1 1 2 2      _{ }             

15.Demonstre que o determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante dessa mesma matriz. Isto é, dada uma matriz A, com determinante diferente de zero, mostre que:

det A-1 = 1

Gabarito/Resolução Resposta da questão 1: X=𝝅 𝟔 ou X= 𝟓 𝟔 Resposta da questão 2: [D] Resposta da questão 3: [A]

A temperatura média máxima ocorre quando

2 (t 105) 2 (t 105)

sen 1 sen sen

364 364 2 2 (t 105) 2k 364 2 t 105 91 364k t 196 364k, k . π π π π π π    _{ }  _                    

Assim, tomando k0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho.

Resposta da questão 4:

a) Considere o gráfico.

b) Suponhamos que f seja da forma f(x)  a b cos(mxc), com a, b, c, m sendo números reais. O período de f é dado por 2 5 2 2 .

3 3 π π π   _  _   Logo, temos m1.

Como a imagem de f é o intervalo [1, 3], vem

[a b, a b][1, 3] a 2 e b1.

Em consequência, tomando o ponto , 2 , 6 π

 

 

2 2 cos c cos c cos 6 6 2 c . 3 π π π π       _  _ _  _      

Portanto, uma função possível é f(x) 2 cos x . 3 π     _  _   Se x , 4 π  temos f 2 cos 4 4 3

2 cos cos sen sen

4 3 4 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 6 2 4 1,4 2,4 2 4 2 0,25 1,75. π π π π π π π  _{ }  _                          

Daí, como 1,75min1min 0,75 60 s 1min 45 s, segue-se que o horário do pôr do sol é

18 h 1min 45 s. Resposta da questão 5: [D] Resposta da questão 6: [C] Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 10: [E] Resposta da questão 11: [B] Resposta da questão 12: [D] Resposta da questão 13: [E] Resposta da questão 14: 01 + 02 + 04 + 16 = 23. VVVFV Resposta da questão 15: