Teoría general de interiores
estelares y planetarios
Astrobiología
Lic. Ciencias de la Tierra
Antígona Segura Peralta
En un cuerpo de una cierta masa, M, el radio queda determinado
por la composición, transporte de energía en el interior del
cuerpo, su temperatura y presión internas.
De esta forma se puede determinar una relación entre la masa y el
radio de un cuerpo.
Relación masa radio
En un cuerpo de una cierta masa, M, el radio
queda determinado por la composición,
transporte de energía en el interior del cuerpo,
su temperatura y presión internas.
De esta forma se puede determinar una relación
entre la masa y el radio de un cuerpo.
De forma general, la relación masa radio queda
determinada por la fuerza que se opone a la
Relación masa radio
Cuerpo
Fuerza que se
opone a la
gravedad
Relación masa
radio
Estrellas
Presión del gas
R
*
M
*Enanas cafés
Presión
degenerada de
los electrones
R
M
-1/3Planetas
Fuerzas de
Coulomb
R
M
1/3De forma general, la relación masa radio queda determinada por
la fuerza que se opone a la contracción gravitacional de dicho
cuerpo.
Relación masa radio
• La estructura hidrostática de las estrellas es determinada
principalmente por el balance entre la gravedad y la
presión.
• A muy altas densidades otra fuente de presión se vuelve
significativa. Los electrones obedecen al principio de
exclusión de Pauli debido a que tienen espines
fraccionarios (1/2). Dos electrones no pueden ocupar
estados cuánticos idénticos.
• Entonces los electrones llenan todos los estados de energía
más bajos disponibles.
• Los electrones que son forzados a moverse a niveles de
energía mayores contribuyen a la degeneración de la
presión.
Relación masa radio
• Conforme baja la masa total del objeto
presión coulombiana empieza a dominar
sobre la degeneración de la presión.
• El resultado de esto es que las enanas cafés
frías y los planetas gigantes con
composiciones solares tendrán radios
similares al de Júpiter.
Relación masa radio
• La verdadera relación masa radio, derivada de modelos que toman en cuenta ecuaciones de estado realistas dan lugar a una dependencia más suave, del radio con la masa.
• La transición de las estrellas a las enanas cafés está marcada por el punto en el que domina la presión degenerada por electrones que inhibe la generación de energía por quemado de hidrógeno.
• La transición entre estrellas y enanas cafés está en las 0.07 M. • La transición de enanas cafés a planetas está alrededor de las 14 MJ
• En las enanas cafés la contribución de los electrones parcialmente degenerados se balancea con la contribución de las interacciones entre iones dando lugar a una relación que va como R M-1/8.
• Por debajo de la masa crítica el efecto coulombiano domina ligeramente sobre los efectos de la degeneración parcial dando una relación masa radio cercana a R
Hatzes & Rauer 2015 Low mass
planets
Giant planets
Tierra. 5.5 g/cm3
Hierro: 8 g/cm3
Silicatos: 2.5 g/cm3
Júpiter: 1.3 g/cm3
Hidrógeno metálico líquido: 4 g/cm3
H fluido supercrítico: 0.7 g/cm3
Modelos de interiores
• La masa y el tamaño de un cuerpo planetario nos
permiten determinar su densidad promedio.
• La densidad promedio nos da una aproximación a
primer orden de la composición del cuerpo.
• Para cuerpos pequeños una densidad de
1 gcm
-3implica un cuerpo de hielo o poroso, mientras que en
planetas grandes esta densidad indica una composición
de H y He.
• Densidades de
3 gcm
-3sugieren un cuerpo rocoso,
mientras que densidades mayore indican la presencia
de elementos más pesados como el hierro.
Modelos de interiores planetarios
• La forma de un cuerpo depende de su tamaño, densidad,
resistencia del material que lo forma, tasa de rotación e historia
geológica y térmica.
• Un objeto es aproximadamente esférico si el peso del manto y la
corteza sobre el interior es suficiente para deformar el cuerpo.
• Cualquier cuerpo “fluido” que no esté en rotación adquirirá una
forma geométrica que es su estado de mínima energía. Por “fluido”
nos referimos a un material deformable en periodos de tiempo
geológicos ( millones de años).
• La forma del cuerpo dependerá de su plasticidad y velocidad de
rotación.
• Un cuerpo rocoso con una densidad de
3.5 gcm
-3y una
resistencia de S
m= 410
9dinas cm
-2es aproximadamente esférico si
R
> 350 km, para cuerpos de hierro con
= 7.9 gcm
-3y S
m= 410
9Modelos de interiores: ecuaciones
• La relación entre la masa del planeta (M) y su
radio (R) se determina a partir de 4
ecuaciones:
– conservación de masa
– transporte de energía
– equilibrio hidrostático
– ecuación de estado: es la relación entre la
densidad, presión y temperatura para un material
determinado en equilibrio termodinámico.
Conservación de masa
• La masa total y la distribución de densidad, ,
están relacionadas de la forma:
M=4π න
0
𝑅
𝑟
2
𝜌 𝑟 𝑑𝑟
• La densidad depende de la composición,
temperatura y presión.
Equilibrio hidrostático
• A primer orden la estructura de un cuerpo
esférico está determinada por el balance entre
la gravedad y la presión al que se denomina
equilibrio hidrostático:
𝑑𝑃(𝑟)
𝑑𝑟
= −𝜌 𝑟 𝑔 𝑟
• De esta forma la presión P(r) puede
determinarse si se conoce la distribución de
densidad (r).
Aplicación para interiores planetarios
• Si la densidad de un cuerpo es constante entonces la
presión dentro de un cuerpo planetario P
c, está dada
por:
𝑃
𝑐
=
3𝐺𝑀
2
8𝜋𝑅
4
• Donde M y R son la masa y radio del cuerpo
• Esta cantidad establece un límite inferior para la
presión central.
• En el caso de cuerpos relativamente pequeños con
densidad uniforme, como la Luna, este método da una
buena aproximación para la presión central.
Composición química
• Para hacer modelos realistas de los interiores planetarios se
requiere determinar las fases en las que se encuentran los
materiales de los que está hecho el planeta.
• La relación de estas fases con la presión y la temperatura puede ser
derivada de manera empírica, es decir con experimentos y a partir
de modelos teóricos.
• Los experimentos están limitados a las presiones y temperaturas
que pueden ser reproducidas en el laboratorio.
• Los modelos teóricos están limitados por las suposiciones que
hacemos sobre las propiedades de la materia a altas presiones y
temperaturas.
• En el rango de presiones y temperaturas esperado en los interiores
planetarios resulta más difícil de predecir en qué estado (líquido o
sólido) se encontrará un material.
Experimentos
• La caracterización de las propiedades de
materiales a estas presiones y temperaturas es
uno de los más grandes retos de la física de altas
presiones tanto en el aspecto teórico como
experimental.
• Existen dos tipos de experimentos, los estáticos y
los dinámicos.
– En los estáticos se producen altas presiones a partir
de la compresión de materiales .
– Los dinámicos producen altas presiones a partir de
ondas de choque.
In an ultrafast laser shock experiment using hydrogen peroxide—a model system—a laser pulse impinges on an aluminum ablation layer, generating a small explosion that pushes the ablator to the left and drives a shock wave in the hydrogen peroxide. Built-in laser diagnostics allowed Livermore researchers to determBuilt-ine the pressure and density of the shocked sample. This research effort delivered ultrafast time-resolved experimental data that corroborated theoretical predictions on the exact same
Configuration of precompression target for laser-driven dynamic
compression experiments. The diamond plates are supported by tapered WC or SUS. A few grains of ruby are placed in the sample chamber for pressure measurements via ruby fluorescence method.
Modelos Ab-Initio
Se refieren a los cálculos basados en leyes básicas, en los que no se
usan parámetros empíricos ajustables. Específicamente se utiliza la
mecánica cuántica para determinar las interacciones entre núcleos y
electrones.
Becker, A., et al. (2014). Ab initio equations of state for hydrogen (H-REOS. 3) and helium (He-REOS. 3) and their implications for the interior of brown dwarfs. The Astrophysical Journal
Hidrógeno y helio: interiores de
gigantes gaseosos
• Las temperaturas típicas de los gigantes gaseosos van de 50-150 K
en sus envolturas hasta los 10,000-20,000K en sus centros.
• Las presiones alcanzan los 20-80 Mbar (2000-8000 GPa) en sus
centros.
• Siendo el hidrógeno el compuesto más abundante en los planetas
gigantes, es particularmente importante entender su
comportamiento.
• A bajas temperaturas y presiones el hidrógeno es un aislante en
forma de una molécula diatómica (H
2) fuertemente unida
• La fase gaseosa del H, que es el elemento predominante en los
gigantes gaseosos, se convierte en un fluido no ideal a densidades
de > 0.01 g/cm
3.• En Júpiter, esta densidad de H es alcanzada en un porcentaje de
0.01% de su masa total en las zonas externas y en Saturno en el
0.1%.
Hidrógeno y helio: interiores de
gigantes gaseosos
• Esta subida moderada de temperatura acompañada con
una presión que crece rápidamente hacia capas más
profundas causa que la materia en los interiores de los
gigantes se transforme en un fluido tibio y denso
caracterizado por su ionización, un fuerte acoplamiento de
iones y degeneración de electrones.
• A altas presiones (1 Mbar, 100 GPa) y temperaturas
moderadas (10
5K) se disocia y eventualmente se ioniza
transformándose en un metal alcalino. En esta forma, el
hidrógeno es llamado metálico.
• En planetas del tamaño de Júpiter y Saturno el hidrógeno y
tal vez también el He, se metaliza generando un fuerte
campo magnético.
Hidrógeno y helio: interiores de
gigantes gaseosos
• Se espera que a presiones > 3 Mbar (300Gpa)
el hidrógeno metálico molecular se disocie en
forma de hidrógeno atómico metálico.
• No existen mediciones que de esta transición.
• Los cálculos teóricos predicen que a muy altas
temperaturas el hidrógeno puede convertirse
en un plasma o en un gas degenerado.
Diagrama de fase del H
Shown are two pathways to metallic hydrogen, I the low temperature pathway and II the high temperature pathway. In pathway I phases for pure para hydrogen have lettered names: LP (low pressure), BSP (broken symmetry phase) and H-A (hydrogen-A). The plasma phase transition (PPT) is the transition to liquid metallic atomic hydrogen. Ranga P. Dias, Isaac F. Silvera Science 2017
Hielos: interiores de gigantes helados
• Las temperaturas esperadas en estos gigantes van de 50-100 K en la
atmósfera a varios cientos de K a presiones de hasta decenas de kbar en
sus interiores.
• La fase de hielo I de agua en Urano y Neptuno es sólo el 0.02% y la fase
líquida el 0.2% de la masa de la capa externa, debido a la temperatura que
sube adiabáticamente.
• En planetas del tamaño de Neptuno el agua prefiere (dependiendo de la
entropía) una fase conductora super iónica o la fase de plasma.
• Dependiendo de la temperatura y la presión, el hielo de agua puede
configurarse en al menos 15 formas cristalinas diferentes.
• Las moléculas de hielo pueden ser “empacadas” de forma más densa a
altas presiones de manera que la densidad del agua pasa de 0.92 gcm
-3que es el hielo común (fase I) a 1.66 gcm
-3para el hielo VII.
• Se espera que en estos gigantes haya varios tipos de hielos.
Diagrama de fase del agua
Rocas y metales: interiores de planetas
rocosos
• Los diagramas de fase para silicatos pueden ser muy
complejos.
• La fase sólida o la fase fundida pueden ser insolubles
consigo misma (inmiscible) a ciertas temperaturas, las
fases sólidas pueden existir en formas distintas a
diferentes temperaturas, el punto de fusión de una
mezcla en particular puede cambiar en presencia de
una mezcla particular, se pueden formar productos
intermedios, etc.
• Un ejemplo es el sistema de MgO-SiO
2que puede
presentar distintas fases sólidas.
Rocas y metales: interiores de planetas
rocosos
• A muy altas temperaturas T>2270 K, el fundido existe
en una sola fase en todo el rango posible de
composiciones.
• A T<2270 K el fundido comienza a ser inmiscible del
lado de los silicatos, de manera que coexisten los
líquidos ricos en silicatos y ricos en magnesio.
• Del lado rico en magnesio, la periclasa (MgO) se
cristaliza a T<3070K.
• A T<2120K, además de la periclasa, la fosterita
(Mg
2SiO
4) se cristaliza en mezclas con <40% de SiO
2.
• A 1830K, en fundidos con 40-60% SiO
2, la fosterita y la
ensatita (MgSiO
3) aparecen sin la periclasa.
Rocas y metales: interiores de planetas
rocosos
• La fosterita presenta un comportamiento eutéctico. La
fosterita pura se funde a 2170 K pero estando en una
mezcla su punto de fusión baja 50 K.
• La fase sólida que presenta una mezcla depende de la
temperatura y composición original del fundido.
• En el caso de la Tierra los minerales predominantes en el
manto superior son el olivino y el piroxeno. A ~400 km de
profundidad el olivino es transformado en espinela y a
~660 km la espinela se descompone en periclasa y
perovskita (MgSiO
3) . La perovskita es estable a muy altas
presiones por lo que probablemente sea el mineral que
domina el interior de la Tierra.
Rocas y metales: interiores de planetas
rocosos
• El núcleo de la Tierra está hecho de hierro aunque su
densidad es ~5-10% menor que la del hierro puro,
por lo que debe encontrarse mezclado con
elementos menos densos como el azufre, oxígeno e
hidrógeno.
• El diagrama de fase del hierro es bien conocido para
presiones de hasta 200 kbar, donde se pueden
distinguir 4 fases:
– α-Fe que es estable a presión y temperatura ambiente (bcc = body centered cubic)
– γ-Fe a temperaturas mayores (fcc = face centered cubic)
– δ-Fe justo abajo del punto de fusión (bcc= body centered cubic)
– A presiones mayores el α-Fe cambia a un formato hexagonal llamado ε-Fe (hcp= hexagonal close-packed).
Rocas y metales: interiores de planetas
rocosos
• Durante la formación de los planetas, a temperaturas
menores a 700 K el Fe reaccionó con el H
2O y el H
2S
formando FeO y FeS.
• Dentro de un cuerpo grande el FeO es incorporado a los
silicatos de magnesio como olivino y piroxeno.
• El FeS se espera que se asiente en el núcleo del planeta.
• La aleación de Fe y S tiene un comportamiento eutéctico. A
1 bar de presión el Fe se funde a 1808K y el FeS a 1469K.
• Una aleación de Fe y S con 27% de S y 73% Fe se funde a
1262 K.
• A presiones de 100 kbar la temperatura de fundido de la
mezcla es hasta 1000 K menor comparada con la
temperatura de fundido del Fe puro.
Ecuación de estado
• Expresión que relaciona la presión, densidad, temperatura y composición.
• En las atmósferas planetarias a temperaturas por debajo de los 50 bar se
puede utilizar la ley de gases ideales P=nkT.
• A temperaturas mayores las moléculas no pueden ser tratadas como
esferas infinitamente pequeñas. Los espacios intermoleculares decrecen a
1-2Å y las fuerzas de van der Waals se vuelven importantes.
• Normalmente la ecuación de estado de un compuesto se deriva a partir de
mediciones a temperatura ambiente y en ocasiones, a presiones y
temperaturas mayores.
• Los datos suelen ajustarse a una función, por ejemplo, para materia
condensada se usa:
𝑃 = 𝑐
1𝑓 1 + 2𝑓
2.51 + 𝑐
2𝑓 + 𝑐
3𝑓 + ⋯ ,
con 𝑓 =
12𝑐
0𝜌
2/3− 1 , donde c
nson constantes que se ajustan según los
datos.
Modelos de planetas sólidos
• El ancho de cada capa depende de su composición
elemental.
• Los parámetros que se requieren son:
– Masa total del planeta
– Composición total (Fe/Si y Mg/Si)
– Contenido de Mg en el manto (Mg# =Mg/[Mg+Fe])
• La razón Fe/Si junto con el número de Mg y la masa total
del planeta permiten determinar el tamaño del núcleo.
• El número de Mg sólo es conocido para la Tierra (0.9) y
Marte (0.7). Su valor depende del grado de diferenciación
de un planeta, entre más diferenciado el Mg# es más
cercano a 1, porque el Fe se decanta en el núcleo
planetario.
Modelos de planetas sólidos
• El siguiente paso es transformar la composición
elemental en composición mineral para el manto.
• Si y
LM
y y
UM
son el contenido de Fe de cada fase
en el manto superior e inferior entonces:
#Mg=
Mg
Mg+Fe
silicatos= 1 − 𝑦
𝐿𝑀= 1 − 𝑦
𝑈𝑀• Suponemos que el Mg y el Si se encuentran sólo en el
manto superior e inferior y se reparte en cantidades
iguales.
Modelos de planetas sólidos
• Si x
LMy x
UMson las porciones de perovskita en el
manto inferior y superior respectivamente, entonces:
Mg
Si
𝑈𝑀=
Mg
Si
𝐿𝑀⟺ x
𝐿𝑀= 1 −
x
𝑈𝑀2
• Para un valor dado de x
UMla cantidad deFe en el
manto queda determinada por estas ecuaciones.
• Puesto que el Fe está presente en el manto y el núcleo
la razón Fe/Si liga la masa y tamaño del núcleo
metálico (M
1) con x
LM. Pero sólo hay un conjunto de
valores M
1y x
LMque resultan en la masa total del
Determinación de la composición
elemental
• Cuando desconocemos la composición de un
planeta la primera aproximación para determinar
su contenido de elementos pesados es la
metalicidad de la estrella alrededor de la cual
gira.
• Para el Sol las razones de Fe/Si y Mg/Si son 0.977
y 1.072, respectivamente.
• Para el sistema solar otras posibilidad es utilizar la
composición elemental de las condritas ensatitas.
Ecuación de estado
• Esta ecuación relaciona la densidad con la temperatura y presión.
• Ejemplo de una ecuación de estado (Birch-Murnagham):
• Se utilizan dos aproximaciones en ciencias de la Tierra.
• Un método introduce el efecto de la temperatura en los parámetros que
describen la ecuación de estado isotérmica de un material utilizando su
coeficiente de expansión térmica c
T.
• El otro método disocia la presión estática y la presión térmica.
• El primero es usualmente elegido para el manto superior donde la presión
es menor a 25 GPa.
• La segunda formulación se utiliza preferentemente para el manto inferior
y el núcleo.
Formulación Birch-Murnaghan de 3er orden
Se determinan a temperatura ambiente: T
0: temperatura de
referencia,
0: densidad de referencia, K
0: módulo de
compresibilidad,K
’T,0,
P. presión y temperatura derivadas
del módulo de compresibilidad y los coeficientes de
Formulación de Mie-Grüneisen-Debye
Parámetros: T
0: temperatura de referencia,
0: densidad de referencia,
K
0, K’
T,0: módulo de compresibilidad y su presión derivada,
D0:
temperatura de Debye de referencia, n: número de átomos por fórmula
química y q y
0: exponentes de escalamiento.
La temperatura de Debye es la máxima temperatura que puede llegar un cristal debido a un sólo modo normal de vibración
PREM = Preliminary Reference Earth Model (obtenido a partir de datos sísmicos)
