Matemática Financeira Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Tema 1 – Fundamentos da Matemática Financeira
Contrato Pedagógico
• A Matemática Financeira é muito
importante para os cursos de
Administração, Ciências Contábeis e demais cursos.
• As aulas terão vários exemplos práticos. • Porém é muito importante que você faça
os exercícios propostos em aula, do Caderno de Atividades e do PLT (Programa Livro Texto).
Contrato Pedagógico
• Aprender entendendo o conceito de matemática financeira é o mais correto. • Nunca decore o conceito, pois ao decorar a
Contrato Pedagógico
• Se possível faça a impressão dos slides e utilize para acompanhar as aulas.
• Uma maneira de testar seu conhecimento é tentar resolver os exercícios da aula, sem ver a resolução.
• Muitos alunos possuem grande dificuldade em matemática básica, portanto o
aumento da carga de estudos é
importante.
Matemática Financeira
Estudo do Valor do Dinheiro no Tempo
Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo [...]. (Gimenes, 2012, p. 21, Programa Livro-Texto).
R$ 100,00
(Hoje) 3 meses Quanto vale?
Terminologia
• PV (Present Value) – Valor Presente é o valor inicial de uma operação, representado no instante “zero”. Valor
Atual, Principal ou Capital.
• FV (Future Value) – Valor Futuro é um valor que é representado num momento futuro. Pode ser chamado de Montante ou Capital + Juros.
Terminologia
• J – Juros – Representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva; R$.
• i – (interest rate) taxa de juros – A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período; Ex.: 1,5% ao mês. • n – número de períodos na operação.
É o prazo, o tempo.
Tempo Utilizado: Ano Comercial
• Um ano possui 360 dias. • Um mês possui 30 dias.
Diagrama das Operações Financeiras
Fluxo de Caixa – facilita a visualização da
operação financeira. 0 FV= 130 2 meses 1 3 PV= 100
Diagrama das Operações Financeiras
Do ponto de vista do financiador (banco):
A HP12c trabalha com esta mesma metodologia. 0 FV= 130 2 meses 1 3 PV= 100 Juros Simples
• “A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática.” (Gimenes, 2012, p. 23, Programa Livro-Texto).
• Exemplo 1. Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100,00 num Banco, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 10% ao mês, no regime de juros simples. Determine o saldo final acumulado nesta aplicação.
Juros Simples
Mês PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final
1 100,00 10% 2 3 10,00 110,00 100,00 10% 10,00 120,00 100,00 10% 10,00 130,00 + =
Fórmulas dos Juros Simples
FV = Valor Futuro ou Montante PV = Valor Presente
n = prazo / tempo i = taxa de juros (%)
J = Juros (R$) C=PV= Capital ou Valor Presente n = prazo / tempo
FV = PV.(1 + n . i)
J = PV . i . n
Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:
Utilizar no mínimo seis casas decimais, quando houver valores quebrados.
PV = 100 n = 3meses i = 10% aomês FV = ? i= 10%/100=0,10 FV = PV . (1 + n . i) FV = 100 . (1 + 3. 0,10) FV= 100 . ( 1 + 0,30) FV= 100 . (1,30) FV = 130,00 Exemplo 2
No regime de juros simples, quais os juros correspondentes à aplicação de R$ 12.000,00 por 4 meses, à taxa de 7% ao mês? J = ? (R$) PV= 12.000 n= 4meses i= 7%a.m. i=7/100=0,07 J = C. i . n J = 12000 . 0,07 . 4 J = 3.360,00
Exercício 3
Durante quantos meses um capital deve ser aplicado a juros simples para que
triplique de valor a uma taxa de 1,5% ao
mês? Exercício 3 n = meses ? PV = FV = i = 1,5%a.m. 1,5/100=0,015 FV = PV.(1 + n . i) 3 = 1.(1 + n . 0,015) 3 = 1 + n. 0,015 R$1,00 R$3,00 3 - 1 = n . 0,015 2 = n . 0,015 2 / 0,015 = n n = 133,33 meses Juros Compostos Continuando
Calculadora Financeira – HP12c
• A mais conhecida é a HP 12c Gold, existem outros modelos: Platinum e Prestige.
Calculadora Financeira – HP12c
• A HP12c é famosa pela facilidade dos cálculos financeiros:
Funções Financeiras
Calculadora Científica – Casio modelo fx-82ms
Instruções de como utilizar no Tema 3 Caderno de Atividades
Juros Compostos
• No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor presente, mas com uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período a período.
(GIMENES, 2012, p. 26) – PLT; • É o popular juros sobre juros.
Exemplo 1 – Juros Compostos
Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100,00 num Banco, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 10% ao mês, no regime de
juros compostos. Determine o saldo final
acumulado nesta aplicação.
Juros Compostos
MÊS PV (R$) i Juros (R$) FV = Saldo Final
1 100,00 10% 2 3 10,00 110,00 110,00 10% 11,00 121,00 121,00 10% 12,10 133,10
Fórmula dos Juros Compostos
FV = Valor Futuro ou Montante PV = Valor Presente
n = prazo / tempo i = taxa de juros (%)
• Potenciação = desafio matemático.
Resolvendo o Exemplo 1 na Fórmula:
Utilizar no mínimo 6 casas decimais, quando houver valores quebrados.
PV = 100 n = 3 meses i = 10% ao mês FV = ? i= 10% /100=0,1
Resolvendo o Exemplo 1 na HP12c
PV = 100 n = 3 meses i = 10% a.m. FV = ? -133,10 FV PV 100 n 3 i10 Aceita %, não precisa dividir por 100 f Clx
Exemplo 2
Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto terá disponível daqui a 14 meses?
(Gimenes, 2012, p. 76)
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
PV = 8.000 i = 2 % ao mês 2 % /100 = 0,02 n = 14 meses FV= ?
Exemplo 2 – Resolução pela HP12C
PV = 8.000 i = 2 % ao mês 2 % /100 = 0,02 n = 14 meses FV= ? FV PV 8 000 n 14 -10.555,83 i 2 f Clx
Exercícios Práticos
Juros Simples e Compostos Agora é sua vez
Exercício 1
Um investidor aplicou R$ 800,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual o montante acumulado ao final de 3 anos? PV = 800,00 i = 5%ao mês FV= ? n = 3anos=> 3.12 = 36meses /100 = 0,05 (Forma unitária) FV = PV.(1 + n . i) Resolução Exercício 1 PV = 800,00 i = 0,05 FV = ? n = 36 meses FV = PV.(1 + n . i) FV = 800.(1 + 36 . 0,05) FV = 800.(1 + 1,80) FV = 800. (2,80) FV = 2.240,00 Atenção: efetuar a multiplicação primeiro.
Exercício 2 – PV (Valor Presente)
Sua dívida junto à Financeira YK atualmente é de R$ 28.224,08. Se ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor originalmente devido, se a taxa de juros é de 7,5%a.m?
(Gimenes, 2012, p. 81, PLT)
Exercício 2 – PV (Valor Presente)
FV = 28.224,08 n = 4trim. PV = ? i = 7,5%a.m. n = 4 x 3=12m. i = 7,5%/100 = i = 0,075
Exercício 2 – PV (Valor Presente) na HP12C FV = 28.224,08 n = 4trim. PV = ? i = 7,5%a.m. n = 4 x 3 =12m. 12 n PV = -11.849,99 f CLx FV 28 224,08 i 7,5 aceita em %
Na HP12c, o resultado negativo não quer dizer que está errado, pois ela trabalha como fluxo de caixa.
Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)
Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 produzam R$ 700,00 juros em 7 meses?
(Gimenes, p. 91, 2012, PLT) Revisão de matemática básica:
Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)
Que taxa mensal faz com que R$ 2.150,00 produzam R$ 700,00 juros em 7 meses? i = ? Mensal PV = 2150 J = 700 n = 7 meses
FV = PV+J FV = 2150+700
FV = 2850
Exercício 3 – i (taxa de juros compostos)
7 SHIFT ^
Exercício 3 – i (taxa de juros compostos) na HP12c i = ? Mensal PV = 2150 J = 700 n = 7 meses FV = PV+J FV = 2150+700 FV = 2850 7 n i = 4,108%a.m. f CLx CHS 2 150 PV FV 2 850
*Na prova será aceito este padrão de resposta. Colocar todos os passos da HP12C.
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)
Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de 10%a.m. Depois de algum tempo, o valor disponível para o resgate era de R$ 1.610,51. Qual o tempo dessa aplicação?
(Gimenes, 2012, p. 86, PLT) Revisão matemática básica:
= 2.log 5
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n)
PV = 1000 i = 10%a.m. FV = 1610,51 n = ? Taxa ao mês Resposta em meses. i = 10/100 = 0,1 n=0,206963/0,041393=5m.
Exercício 4 – Cálculo do prazo (n) PV = 1000 i = 10%a.m. FV = 1610,51 n = ? Taxa ao mês Resposta em meses. 10 i n = 5 meses f CLx CHS 1 000 PV FV 1610,51
Juros Simples e Compostos
Finalizando
Mais Estudos
• É muito importante que você resolva mais exercícios.
• Não fique somente nos exercícios das aulas.
• O treino e a variedade de exercícios deverão complementar as aulas.
• Faça os exercícios do Caderno de Atividades e do PLT.
Juros Simples x Compostos MÊS PV i Juros (R$) Saldo Final
1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00 2 R$ 100,00 10% 10,00 120,00 3 R$ 100,00 10% 10,00 130,00
MÊS PV i Juros (R$) Saldo Final 1 R$ 100,00 10% 10,00 110,00 2 R$ 110,00 10% 11,00 121,00 3 R$ 121,00 10% 12,10 133,10 = Juros Simples Juros Compostos =
Gráfico Comparativo de Juros Simples e Compostos
Simples Composto
Exercício 1
A que taxa mensal de juros simples um capital deve ser aplicado para que triplique em 5 anos? i = ? % mensal PV = FV = n = 5 anos n = 5 x 12 = 60m 1,00 3,00
Exercício 1 – Resolução FV = PV . ( 1 + n . i ) 3 = 1 . ( 1 + 60 . i ) 3 = 1 + 60 i 3 – 1 = 60 i 2 = 60 i 2 / 60 = i i = 0,033333 (forma unitária) i = 0,033333 x 100 i = 3,33% a.m. Exercício 2
A Cia. Brasília tomou um empréstimo no Banco Ouro. No vencimento, pagou R$ 59.701,93. O prazo da operação foi de 9 meses. A taxa de juros compostos foi de 1,99% ao mês. Qual o valor do empréstimo? FV = 59.701,93 n = 9 meses i = 1,99% a.m. PV = ? /100 = 0,0199 (Forma unitária) Resolução Exercício 2
Exercício 3
Um consumidor comprou um aparelho à vista por R$ 449,80. O mesmo bem poderia ser pago algum tempo depois por R$ 600,00. A loja opera com uma taxa de 5%a.m. Qual o prazo disponibilizado pela loja para tal pagamento? (Gimenes, 2012, p. 86) Exercício 3 – Resolução PV = 449,80 FV = 600,00 i = 5,0%a.m. n = ? i = 5/100 = 0,05 Exercício 4
A Joãozinho Ltda. recebeu em pagamento um título de R$ 605,00 que vencerá em dois anos. No entanto, a empresa está precisando de dinheiro hoje para pagar uma despesa. Trabalhando sempre com juros compostos e com custo de oportunidade de 10% ao ano, por qual valor mínimo, em reais, deverá vender hoje este título?
Exercício 4 – Resolução FV = 605 i = 10% a.a. n = 2 anos PV = ? Para Reflexão
"O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”.
Albert Einstein
Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel. São Paulo: Pearson Education, 2012. Pearson – PLT – Programa do Livro-Texto
OTSUKA, Leonardo Takamasa. Matemática Financeira. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.
