Marina Nielsen Instituto de Física USP

Marina Nielsen

Marina Nielsen

Instituto de Física – USP

Introdução à QCD:

• Elementos

• Invariância de gauge

Introdução às Regras de Soma da QCD

Partículas Elementares (metade do sec. XX )

léptons

spin 1/2

mésons

spin inteiro

bárions

spin semi-inteiro

e (0.5 MeV)

_{π (138 MeV) p (938 MeV)}

ν

_e

(~ 0)

K (490 MeV)

n (938 MeV)

µ (105 MeV) ρ (770 MeV)

Δ (1230 MeV)

ν

_µ

(~ 0)

_{ω (770 MeV) Λ (1115 MeV)}

τ (1780 MeV) φ (1020 MeV) Ω (1670 MeV)

ν

_τ

(~ 0)

_{J/Ψ (3100 MeV) Λ}

_c

(2280 MeV)

Partículas Elementares (metade do sec. XX )

léptons

spin 1/2

mésons

spin inteiro

bárions

spin semi-inteiro

e (0.5 MeV)

_{π (138 MeV) p (938 MeV)}

ν

_e

(~ 0)

K (490 MeV)

n (938 MeV)

µ (105 MeV) ρ (770 MeV)

Δ (1230 MeV)

ν

_µ

(~ 0)

_{ω (770 MeV) Λ (1115 MeV)}

τ (1780 MeV) φ (1020 MeV) Ω (1670 MeV)

ν

_τ

(~ 0)

_{J/Ψ (3100 MeV) Λ}

_c

(2280 MeV)

...

...

Hádrons

EUROPEAN ORGANIZATION FOR NUCLEAR RESEARCH (CERN)

CERN-PH-EP-2015-153

LHCb-PAPER-2015-029

July 13, 2015

Observation of J/ p resonances

consistent with pentaquark states in

⇤

0

_b

! J/ K p decays

The LHCb collaboration

Abstract

Observations of exotic structures in the J/ p channel, that we refer to as

pentaquark-charmonium states, in ⇤

_{! J/ K p decays are presented. The data sample}

corresponds to an integrated luminosity of 3 fb

acquired with the LHCb detector

from 7 and 8 TeV pp collisions. An amplitude analysis is performed on the three-body

final-state that reproduces the two-body mass and angular distributions. To obtain

a satisfactory fit of the structures seen in the J/ p mass spectrum, it is necessary

to include two Breit-Wigner amplitudes that each describe a resonant state. The

significance of each of these resonances is more than 9 standard deviations. One has

a mass of 4380

_{± 8 ± 29 MeV and a width of 205 ± 18 ± 86 MeV, while the second is}

narrower, with a mass of 4449.8

_{± 1.7 ± 2.5 MeV and a width of 39 ± 5 ± 19 MeV.}

The preferred J

assignments are of opposite parity, with one state having spin 3/2

and the other 5/2.

Submitted to Phys. Rev. Lett.

arXiv:1507.03414v1 [hep-ex] 13 Jul 2015

EUROPEAN ORGANIZATION FOR NUCLEAR RESEARCH (CERN)

CERN-PH-EP-2015-153

LHCb-PAPER-2015-029

July 13, 2015

Observation of J/ p resonances

consistent with pentaquark states in

⇤

0

_b

! J/ K p decays

The LHCb collaboration

Abstract

Observations of exotic structures in the J/ p channel, that we refer to as

pentaquark-charmonium states, in ⇤

_{! J/ K p decays are presented. The data sample}

corresponds to an integrated luminosity of 3 fb

acquired with the LHCb detector

from 7 and 8 TeV pp collisions. An amplitude analysis is performed on the three-body

final-state that reproduces the two-body mass and angular distributions. To obtain

a satisfactory fit of the structures seen in the J/ p mass spectrum, it is necessary

to include two Breit-Wigner amplitudes that each describe a resonant state. The

significance of each of these resonances is more than 9 standard deviations. One has

a mass of 4380

_{± 8 ± 29 MeV and a width of 205 ± 18 ± 86 MeV, while the second is}

narrower, with a mass of 4449.8

_{± 1.7 ± 2.5 MeV and a width of 39 ± 5 ± 19 MeV.}

The preferred J

assignments are of opposite parity, with one state having spin 3/2

and the other 5/2.

Submitted to Phys. Rev. Lett.

c CERN on behalf of the LHCb collaboration, license CC-BY-4.0.

_{Authors are listed at the end of this Letter.}

arXiv:1507.03414v1 [hep-ex] 13 Jul 2015

Hádrons não são fundamentais

Maioria dos hádrons é instável ⇒ possível indicação

de que possuem estrutura:

onde está o

quarto quark?

onde está o

quarto quark?

onde está o

quarto quark?

Hádrons não são fundamentais

Maioria dos hádrons é instável ⇒ possível indicação

de que possuem estrutura:

quarks: propostos em 1964 por Gell-Mann

e Zweig como constituintes dos hádrons

(prótons e neutrons)

onde está o

onde está o

onde está o

Hádrons não são fundamentais

Maioria dos hádrons é instável ⇒ possível indicação

de que possuem estrutura:

férmions elementares:

léptons

(elétron, neutrino)

quarks

quarks: propostos em 1964 por Gell-Mann

e Zweig como constituintes dos hádrons

(prótons e neutrons)

onde está o

quarto quark?

onde está o

quarto quark?

onde está o

quarto quark?

para explicar todos os hádrons observados até 1964

Gell-Mann e Zweig precisavam de três quarks:

nome carga massa/M

_e

up +2/3 ~10

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

sabor carga massa/M

_e

up +2/3 ~15

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

Tipos de quarks

sabor carga massa/M

_e

up +2/3 ~15

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

Tipos de quarks

para explicar todos os hádrons observados até 1964

Gell-Mann e Zweig precisavam de três quarks:

nome carga massa/M

_e

up +2/3 ~10

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

sabor carga massa/M

_e

up +2/3 ~15

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

Tipos de quarks

sabor carga massa/M

_e

up +2/3 ~15

down -1/3 ~15

strange -1/3 ~250

Tipos de quarks

onde está o

quarto quark?

1974: charm!

charm(1974) +2/3 ~2500

charm(1974) +2/3 ~2500

charm(1974) +2/3 ~2500

(1975) descoberta do τ  mais dois quarks!

botton (1977) -1/3 ~9000

charm(1974) +2/3 ~2500

(1975) descoberta do τ  mais dois quarks!

botton (1977) -1/3 ~9000

_{próton u(2/3)u(2/3)d(-1/3) ⇒ Q=+1}

_{neutron u(2/3)d(-1/3)d(-1/3) ⇒ Q=0}

_Δ

++

_{u(2/3)u(2/3)u(2/3)}

_{⇒ Q=+2}

Problema: Princípio de Pauli ⇒ novo número quântico

_{próton u(2/3)u(2/3)d(-1/3) ⇒ Q=+1}

_{neutron u(2/3)d(-1/3)d(-1/3) ⇒ Q=0}

_Δ

++

_{u(2/3)u(2/3)u(2/3)}

_{⇒ Q=+2}

Problema: Princípio de Pauli ⇒ novo número quântico

cor

Interação

Forte

R=2 para N

c

=3

- - - -- -

R=2 para N

c

=3

- - - -- -

-R=10/3 para N

c

=3

up

down

charm

top

bottom

strange

Partículas Elementares

Três

famílias

de quarks

e leptons

Três famílias de neutrinos

e

+

e

Z

Partículas Elementares

QCD

Teoria das interações fortes

vermelho

Quarks ⇒ cor :

azul

verde

Partículas Elementares

QCD

Teoria das interações fortes

vermelho

Quarks ⇒ cor :

azul

verde

Gluons: objetos

bi

-

colores

_{⇒ gluons interagem entre si!}

como formular a teoria?

Equação de Dirac

M. C.:

E =

P

2

2m

M. Q.:

E = i

t

⇤

P =

i ⇤

_⇥

{

i

t

=

2

2m⇥

2

Eq. Schrödinger

M. C. Rel.:

E

2

= P

2

c

2

+ m

2

c

4

_c

1

₂

2

t

2

⇥

2

₊

m

2

c

2

2

⇥

=0

Eq. Klein-Gordon

Equação de Dirac

M. C.:

E =

P

2

2m

M. Q.:

E = i

t

⇤

P =

i ⇤

_⇥

{

i

t

=

2

2m⇥

2

Eq. Schrödinger

M. C. Rel.:

E

2

= P

2

c

2

+ m

2

c

4

_c

1

₂

2

t

2

⇥

2

₊

m

2

c

2

2

⇥

=0

Eq. Klein-Gordon

= c = 1, p

µ

_{= ⇥}

µ

_{, ⇥}

µ

₌

⇤

⇥

⇥t

,

⇤

⌥

⌅

⇥ p

µ

p

_µ

m

2

⇥

= 0

i

Equação de Dirac

M. C.:

E =

P

2

2m

M. Q.:

E = i

t

⇤

P =

i ⇤

_⇥

{

i

t

=

2

2m⇥

2

Eq. Schrödinger

M. C. Rel.:

E

2

= P

2

c

2

+ m

2

c

4

_c

1

₂

2

t

2

⇥

2

₊

m

2

c

2

2

⇥

=0

Eq. Klein-Gordon

(

µ

_p

µ

m) (

⇥

p

⇥

+ m)

= 0,

µ

| (

µ ⇥

+

⇥ µ

) = 2g

µ⇥

(

µ

_{= (i}

µ

_{= 0}

= c = 1, p

µ

_{= ⇥}

µ

_{, ⇥}

µ

₌

⇤

⇥

⇥t

,

⇤

⌥

⌅

⇥ p

µ

p

_µ

m

2

⇥

= 0

i

Invariância de Gauge

Lagrangeana de

um férmion livre:

Transformação de fase

global U(1) (Q ε = cte.) :

Transformação de fase local: ε → ε(x), termo cinético não é invariante

Saída: substituir a derivada partial pela derivada covariante que

contenha um campo vetorial:

Introduzindo um termo cinético para o campo de gauge temos:

Usando Q=-e → QED

Ponto importante: invariância de gauge implica interação

entre campo fermiônico e campo de gauge!

F

_µ⌫

= @

_µ

A

_⌫

@

_⌫

A

_µ

onde: é invariante de Gauge

Lagrangeana da QCD

Tr[λ

a

]=0

Matrizes de Gell-Mann

L

QCD

= ¯

q(iD

/

m

q

)q

1

4

G

a

µ⌫

G

µ⌫

a

L

QCD

Finalmente a fica (soma sobre sabores e cores

está subentendida):

devido à definição do campo tensorial temos agora

três tipos de vértices de interação:

Criação de par

Criação de par

T

|

|

|

|

|

|

|

Criação de par

Criação de par

T

|

|

|

|

|

|

|

Hadrons são neutros na cor: brancos

quarks são confinados

Criação de par

Criação de par

T

|

|

|

|

|

|

|

QCD

(dois regimes)

liberdade assintótica

(pequenas distâncias ou grandes momentos

tranferidos)

confinamento

(grandes distâncias ou pequenos momentos

tranferidos)

dois regimes

pequenas distâncias: teor. pert. é válida

grandes distâncias: teor. pert. não é válida

Espectros confinamento: como trabalhar?

dois regimes

pequenas distâncias: teor. pert. é válida

grandes distâncias: teor. pert. não é válida

Espectros confinamento: como trabalhar?

dois regimes

pequenas distâncias: teor. pert. é válida

grandes distâncias: teor. pert. não é válida

Espectros confinamento: como trabalhar?

reg. não perturbativo

teorias efetivas (χPT)

RSQCD

QCD na rede

Regras de Soma da QCD

Regras de Soma da QCD

Regras de Soma da QCD

Regras de Soma da QCD

a

⇧

_µ⌫

(q) = i

Z

d

4

x e

iq.x

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

_⌫

†

(0)]

_|0i

Regras de Soma da QCD

para o méson ρ

a

j

_µ

= ( ¯

d

_{a µ}

u

_b

)

_ab

Lado Teórico (Lado OPE):

mésonρ→ méson vetorial com J

PC

₌₁

--

_corrente

interpolante para o ρ

+

_:

⇧

_µ⌫

(q) = i

Z

d

4

x e

iq.x

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

_⌫

†

(0)]

_|0i

Regras de Soma da QCD

para o méson ρ

a

j

_µ

= ( ¯

d

_{a µ}

u

_b

)

_ab

Lado Teórico (Lado OPE):

mésonρ→ méson vetorial com J

PC

₌₁

--

_corrente

interpolante para o ρ

+

_:

como a corrente vetorial é conservada

pera aí, a corrente vetorial é conservada?

⇧

_µ⌫

(q) = i

Z

d

4

x e

iq.x

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

_⌫

†

(0)]

_|0i

⇧

_µ⌫

(x) =

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

_⌫

(0)]

_{|0i ) @}

µ

⇧

_µ⌫

_{! @}

µ

j

_µ

(x)

@

µ

j

(x) = @

µ

( ¯

d)

u + ¯

d

@

µ

(u)

Regras de Soma da QCD

para o méson ρ

a

j

_µ

= ( ¯

d

_{a µ}

u

_b

)

_ab

Lado Teórico (Lado OPE):

mésonρ→ méson vetorial com J

PC

₌₁

--

_corrente

interpolante para o ρ

+

_:

como a corrente vetorial é conservada

pera aí, a corrente vetorial é conservada?

(i

_µ

@

µ

m)q = 0

¯

q(i

_µ

@

µ

+ m) = 0

@

µ

j

_µ

(x) = @

µ

( ¯

d)

_µ

u + ¯

d

_µ

@

µ

(u) = ¯

d(im)u + ¯

d( im)u = 0

@

µ

⇧

_µ⌫

(x) = q

µ

⇧

_µ⌫

(q) = 0

eq. Dirac para quarks livres:

assim:

(i

_µ

@

µ

m)q = 0

¯

q(i

_µ

@

µ

+ m) = 0

@

µ

j

_µ

(x) = @

µ

( ¯

d)

_µ

u + ¯

d

_µ

@

µ

(u) = ¯

d(im)u + ¯

d( im)u = 0

@

µ

⇧

_µ⌫

(x) = q

µ

⇧

_µ⌫

(q) = 0

⇧

_µ⌫

(q) = (q

_µ

q

_⌫

q

2

g

_µ⌫

)⇧(q

2

)

_{) q}

µ

⇧

_µ⌫

= 0

como a corrente vetorial é conservada, a estrutura de

Lorentz da função de correlação é:

eq. Dirac para quarks livres:

(i

_µ

@

µ

m)q = 0

¯

q(i

_µ

@

µ

+ m) = 0

@

µ

j

_µ

(x) = @

µ

( ¯

d)

_µ

u + ¯

d

_µ

@

µ

(u) = ¯

d(im)u + ¯

d( im)u = 0

@

µ

⇧

_µ⌫

(x) = q

µ

⇧

_µ⌫

(q) = 0

⇧

_µ⌫

(q) = (q

_µ

q

_⌫

q

2

g

_µ⌫

)⇧(q

2

)

_{) q}

µ

⇧

_µ⌫

= 0

⇧(q

2

) =

g

µ⌫

_⇧

µ⌫

(q)

3q

2

=

i

3q

2

Z

d

4

x e

iq.x

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

†µ

(0)

_|0i

como a corrente vetorial é conservada, a estrutura de

Lorentz da função de correlação é:

eq. Dirac para quarks livres:

assim:

⇧(x) =

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

†µ

(0)

_{|0i = h0|T [( ¯}

d

_a

(x)

_µ

u

_a

(x))(¯

u

_b

(0)

µ

d

_b

(0))]0

_i

= (

_µ

)

_ij

(

µ

)

km

_{h0|T [ ¯}

d

a

_i

(x)u

a

_j

(x)¯

u

b

_k

(0)d

b

_m

(0)]0

_i

S

_ij,ab

q

(x

y) =

_{h0|T [q}

_i

a

(x)¯

q

_j

b

(y)]

_|0i

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 9

2.2

Lado da QCD

Ao considerarmos valores de x suficientemente pequenos (regime perturbativo), a Eq. (2.1) pode ser calculada pela soma dos diagramas de Feynman contidas na QCD perturbativa.

+

+

Figura 2.1: Diagramas de Feynman da QCD

A Fig.(2.1) ilustra as linhas cheia e ondulada que representam, respectivamente, os propa-gadores do quark e do gl´uon. Do princ´ıpio de incerteza de Heisenberg, pequenos valores de x implicam que n´os temos que considerar grandes momentos. Assim, se trabalharmos na regi˜ao assint´otica (Q2 _{→ ∞) podemos usar express˜oes nuas para os propagadores de quarks e gl´uons.} Entretanto, este limite assint´otico n˜ao ´e numericamente razo´avel e temos que trabalhar com mo-mentos da ordem de Q2 _{≈ 1 GeV}2. Note que, essa ordem de momentos ainda ´e completamente razo´avel para o regime perturbativo:

αs(1 GeV2)

π ≈ 0.1 − 0.7

Para sistemas cujo momento, k, ´e inferior ao ponto de renormaliza¸c˜ao, µ, da QCD (onde µ ≈ 0.5 GeV), estaremos cometendo erros grandes se usarmos os propagadores nus no c´alculo dos diagramas de Feynman. Portanto, para |k| > µ n´os podemos usar os propagadores nus, mas para |k| < µ n´os n˜ao sabemos o que usar. Para tentar resolver este problema, podemos considerar que o momento que flui atrav´es de uma das linhas ´e grande se aproximarmos |k| < µ por k = 0 na linha soft. Este procedimento ´e uma maneira de lidarmos com as contribui¸c˜oes de origem n˜ao-perturbativa, que graficamente podemos represent´a-las por:

Figura 2.2: Contibui¸c˜oes n˜ao-perturbativas da QCD

Dessa forma os condensados de quarks, gl´uons e quarks-gl´uons aparecem. Em geral, qualquer diagrama de Feynman pode ser preparado de forma a incorporar os condensados. Para este fim, ´e realizada a expans˜ao da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao em uma s´erie de operadores locais, ou operadores de Wilson (OPE):

u

d

x

0

o propagador do quark, q, é definido como:

⇧(x) =

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

†µ

(0)

_{|0i = h0|T [( ¯}

d

_a

(x)

_µ

u

_a

(x))(¯

u

_b

(0)

µ

d

_b

(0))]0

_i

= (

_µ

)

_ij

(

µ

)

km

_{h0|T [ ¯}

d

a

_i

(x)u

a

_j

(x)¯

u

b

_k

(0)d

b

_m

(0)]0

_i

S

_ij,ab

q

(x

y) =

_{h0|T [q}

_i

a

(x)¯

q

_j

b

(y)]

_|0i

⇧(x) = (

_µ

)

_ij

_kl

µ

S

_jk,ab

u

(x)

S

_mi,ba

d

( x)

=

T r

⇥

_µ

S

_ab

u

(x)

µ

S

_ba

d

( x)

⇤

assim:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 9

2.2

Lado da QCD

Ao considerarmos valores de x suficientemente pequenos (regime perturbativo), a Eq. (2.1) pode ser calculada pela soma dos diagramas de Feynman contidas na QCD perturbativa.

+

+

Figura 2.1: Diagramas de Feynman da QCD

A Fig.(2.1) ilustra as linhas cheia e ondulada que representam, respectivamente, os propa-gadores do quark e do gl´uon. Do princ´ıpio de incerteza de Heisenberg, pequenos valores de x implicam que n´os temos que considerar grandes momentos. Assim, se trabalharmos na regi˜ao assint´otica (Q2 _{→ ∞) podemos usar express˜oes nuas para os propagadores de quarks e gl´uons.} Entretanto, este limite assint´otico n˜ao ´e numericamente razo´avel e temos que trabalhar com mo-mentos da ordem de Q2 _{≈ 1 GeV}2. Note que, essa ordem de momentos ainda ´e completamente razo´avel para o regime perturbativo:

αs(1 GeV2)

π ≈ 0.1 − 0.7

Para sistemas cujo momento, k, ´e inferior ao ponto de renormaliza¸c˜ao, µ, da QCD (onde µ ≈ 0.5 GeV), estaremos cometendo erros grandes se usarmos os propagadores nus no c´alculo dos diagramas de Feynman. Portanto, para |k| > µ n´os podemos usar os propagadores nus, mas para |k| < µ n´os n˜ao sabemos o que usar. Para tentar resolver este problema, podemos considerar que o momento que flui atrav´es de uma das linhas ´e grande se aproximarmos |k| < µ por k = 0 na linha soft. Este procedimento ´e uma maneira de lidarmos com as contribui¸c˜oes de origem n˜ao-perturbativa, que graficamente podemos represent´a-las por:

Figura 2.2: Contibui¸c˜oes n˜ao-perturbativas da QCD

Dessa forma os condensados de quarks, gl´uons e quarks-gl´uons aparecem. Em geral, qualquer diagrama de Feynman pode ser preparado de forma a incorporar os condensados. Para este fim, ´e realizada a expans˜ao da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao em uma s´erie de operadores locais, ou operadores de Wilson (OPE): ! d4x eiq·x _{%0| T [ j}µ(x) j† µ_{(0)] |0& =} " d Cd(q2) ˆOd(0) (2.4)

u

d

x

0

o propagador do quark, q, é definido como:

⇧(x) =

_{h0|T [j}

_µ

(x)j

†µ

(0)

_{|0i = h0|T [( ¯}

d

_a

(x)

_µ

u

_a

(x))(¯

u

_b

(0)

µ

d

_b

(0))]0

_i

= (

_µ

)

_ij

(

µ

)

km

_{h0|T [ ¯}

d

a

_i

(x)u

a

_j

(x)¯

u

b

_k

(0)d

b

_m

(0)]0

_i

S

_ij,ab

q

(x

y) =

_{h0|T [q}

_i

a

(x)¯

q

_j

b

(y)]

_|0i

⇧(q

2

) =

i

3q

2

Z

d

4

x e

iq.x

T r

⇥

_µ

S

_ab

u

(x)

µ

S

_ba

d

( x)

⇤

⇧(x) = (

_µ

)

_ij

_kl

µ

S

_jk,ab

u

(x)

S

_mi,ba

d

( x)

=

T r

⇥

_µ

S

_ab

u

(x)

µ

S

_ba

d

( x)

⇤

assim:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 9

2.2

Lado da QCD

Ao considerarmos valores de x suficientemente pequenos (regime perturbativo), a Eq. (2.1) pode ser calculada pela soma dos diagramas de Feynman contidas na QCD perturbativa.

+

+

Figura 2.1: Diagramas de Feynman da QCD

A Fig.(2.1) ilustra as linhas cheia e ondulada que representam, respectivamente, os propa-gadores do quark e do gl´uon. Do princ´ıpio de incerteza de Heisenberg, pequenos valores de x implicam que n´os temos que considerar grandes momentos. Assim, se trabalharmos na regi˜ao assint´otica (Q2 _{→ ∞) podemos usar express˜oes nuas para os propagadores de quarks e gl´uons.} Entretanto, este limite assint´otico n˜ao ´e numericamente razo´avel e temos que trabalhar com mo-mentos da ordem de Q2 _{≈ 1 GeV}2. Note que, essa ordem de momentos ainda ´e completamente razo´avel para o regime perturbativo:

αs(1 GeV2)

π ≈ 0.1 − 0.7

Para sistemas cujo momento, k, ´e inferior ao ponto de renormaliza¸c˜ao, µ, da QCD (onde µ ≈ 0.5 GeV), estaremos cometendo erros grandes se usarmos os propagadores nus no c´alculo dos diagramas de Feynman. Portanto, para |k| > µ n´os podemos usar os propagadores nus, mas para |k| < µ n´os n˜ao sabemos o que usar. Para tentar resolver este problema, podemos considerar que o momento que flui atrav´es de uma das linhas ´e grande se aproximarmos |k| < µ por k = 0 na linha soft. Este procedimento ´e uma maneira de lidarmos com as contribui¸c˜oes de origem n˜ao-perturbativa, que graficamente podemos represent´a-las por:

Figura 2.2: Contibui¸c˜oes n˜ao-perturbativas da QCD

Dessa forma os condensados de quarks, gl´uons e quarks-gl´uons aparecem. Em geral, qualquer diagrama de Feynman pode ser preparado de forma a incorporar os condensados. Para este fim, ´e realizada a expans˜ao da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao em uma s´erie de operadores locais, ou operadores de Wilson (OPE): ! d4x eiq·x _{%0| T [ j}µ(x) j† µ_{(0)] |0& =} " d Cd(q2) ˆOd(0) (2.4)

u

d

x

0

o propagador do quark, q, é definido como:

finalmente temos:

CAP´ITULO 2. REGRAS DE SOMA DA QCD (QCDSR) 9

2.2

Lado da QCD

Ao considerarmos valores de x suficientemente pequenos (regime perturbativo), a Eq. (2.1) pode ser calculada pela soma dos diagramas de Feynman contidas na QCD perturbativa.

+

+

Figura 2.1: Diagramas de Feynman da QCD

A Fig.(2.1) ilustra as linhas cheia e ondulada que representam, respectivamente, os propa-gadores do quark e do gl´uon. Do princ´ıpio de incerteza de Heisenberg, pequenos valores de x implicam que n´os temos que considerar grandes momentos. Assim, se trabalharmos na regi˜ao assint´otica (Q2 _{→ ∞) podemos usar express˜oes nuas para os propagadores de quarks e gl´uons.} Entretanto, este limite assint´otico n˜ao ´e numericamente razo´avel e temos que trabalhar com mo-mentos da ordem de Q2 _{≈ 1 GeV}2. Note que, essa ordem de momentos ainda ´e completamente razo´avel para o regime perturbativo:

αs(1 GeV2)

π ≈ 0.1 − 0.7

Para sistemas cujo momento, k, ´e inferior ao ponto de renormaliza¸c˜ao, µ, da QCD (onde µ ≈ 0.5 GeV), estaremos cometendo erros grandes se usarmos os propagadores nus no c´alculo dos diagramas de Feynman. Portanto, para |k| > µ n´os podemos usar os propagadores nus, mas para |k| < µ n´os n˜ao sabemos o que usar. Para tentar resolver este problema, podemos considerar que o momento que flui atrav´es de uma das linhas ´e grande se aproximarmos |k| < µ por k = 0 na linha soft. Este procedimento ´e uma maneira de lidarmos com as contribui¸c˜oes de origem n˜ao-perturbativa, que graficamente podemos represent´a-las por:

Figura 2.2: Contibui¸c˜oes n˜ao-perturbativas da QCD

Dessa forma os condensados de quarks, gl´uons e quarks-gl´uons aparecem. Em geral, qualquer diagrama de Feynman pode ser preparado de forma a incorporar os condensados. Para este fim, ´e realizada a expans˜ao da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao em uma s´erie de operadores locais, ou operadores de Wilson (OPE):

u

d

q

q

Resta saber quem é

S

q

_(x)!