Sumário Adiçãodevetores MóduloouNormadeumvetor... 69

Prefácio xiii

 Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares 

. Introdução aos sistemas de equações lineares . . .  . Métodos de Escalonamento . . .  .. Método de Eliminação de Gauss . . .  .. Método de Gauss-Jordan . . .  . Posto de Matriz . . .  . Resolução de sistemas lineares por escalonamento . . .  .. Teorema de Rouché-Capelli . . .  .. Sistemas indeterminados e a escolha das variáveis livres . . .  .. Sistemas Lineares Homogêneos . . .  . Inversão de matrizes por escalonamento e matrizes elementares . . . 

 Vetores, uma introdução geométrica 

. Grandezas escalares e grandezas vetoriais . . .  .. Grandezas escalares e sistema referencial em uma reta . . .  .. Introdução às grandezas vetoriais . . .  .. Representação de vetores por segmentos orientados . . .  . Sistema de coordenadas e operações com vetores . . .  .. Sistema de coordenadas cartesianas no plano . . .  .. Sistema de coordenadas cartesianas no espaço . . .  .. Adição de vetores . . .  .. Módulo ou Norma de um vetor . . . 

.. Multiplicação de vetor por um escalar . . .  .. Propriedades da adição e da multiplicação por escalar . . .  . Dependência e independência linear, equações vetoriais da reta e do plano,

base de vetores . . .  .. Colinearidade e paralelismo, equação vetorial e equações

paramé-tricas da reta . . .  .. Coplanaridade, independência linear de dois vetores, equação

ve-torial e equações paramétricas do plano . . .  .. Dependência e independência linear . . .  .. Base de vetores para o plano e para o espaço . . . 

 Vetores, retas e planos, com matrizes e sistemas 

. Combinações Lineares . . .  . Dependência e independência linear, com posto . . .  . Bases e coordenadas . . .  .. Bases e coordenadas no plano R . . .  .. Bases e coordenadas no espaço R . . .  .. Bases de plano no espaço . . .  . Posições relativas entre retas e planos dados vetorialmente . . .  .. Entre duas retas, no plano e no espaço . . .  .. Entre reta e plano . . .  .. Entre dois planos . . .  . Retas e planos através de equações lineares . . .  .. Equação geral de reta no plano . . .  .. Equação geral de plano no espaço . . .  .. Mais sobre posições relativas . . .  .. Reta no espaço como intersecção de dois planos . . . 

 Produtos e aplicações 

. Produto escalar . . .  .. Produto escalar em um sistema de coordenadas . . .  .. Propriedades dos produtos escalares . . .  .. Sobre bases ortonormais e ortogonais . . .  .. Projeção ortogonal de um vetor sobre outro . . .  .. Exemplo de aplicação do produto escalar na Física . . .  .. Coordenadas em base o.n. e cossenos diretores . . . 

.. Bases ortogonais de planos no espaço . . .  .. Retas perpendiculares no plano . . .  .. Ângulo entre duas retas . . .  .. Reta perpendicular a plano e vetor normal a plano . . .  ... Vetor normal a plano e equação geral de plano . . .  ... Distância de ponto a plano . . .  .. Retas tangentes à circunferência no plano . . .  .. Planos tangentes à esfera no espaço . . .  . Produto vetorial . . .  .. Orientação geométrica . . .  ... Orientação sobre uma reta r . . .  ... Orientação no plano . . .  ... Orientação geométrica no espaço . . .  .. Definição geométrica do produto vetorial . . .  .. Propriedades do produto vetorial . . .  .. Cálculo do produto vetorial em coordenadas . . .  .. Algumas aplicações do produto vetorial . . .  ... Cálculo de áreas . . .  ... Equação geral do plano com produto vetorial . . .  ... Ortogonalização de bases no espaço . . .  ... Produto vetorial na Física . . .  . Produto misto e o volume do paralelepípedo . . .  .. Propriedades de determinantes e o produto misto . . .  . Mais geometria analítica de retas e planos . . .  .. Equações da reta na forma simétrica . . .  .. Posição relativa entre dois planos . . .  .. Retas no espaço e o produto vetorial . . .  .. Ângulo entre dois planos . . .  .. Ângulo entre uma reta e um plano . . .  .. Distâncias . . .  .. Simétrico de um ponto P em relação a um plano π . . . 

 Estudo das cônicas e uma introdução às curvas 

. Introdução às curvas . . .  .. Gráficos de funções de uma variável real . . .  .. Sobre parametrização de curvas . . . 

... Exemplos de parametrizações . . .  .. Curvas no plano através de equações (curvas implícitas) . . .  . Cônicas: secções planas do cone . . .  . Estudo da parábola . . .  .. Equação reduzida da parábola . . .  .. Equação de parábola com translação . . .  ... Mudança de coordenadas por translação dos eixos . . .  .. Equação de parábola com rotação . . .  ... Mudança de coordenadas por rotação dos eixos . . .  ... Mudança de sistemas de coordenadas envolvendo

trans-lação e rotação de eixos . . .  .. Mais propriedades da parábola . . .  . Estudo da elipse . . .  .. Equação reduzida da elipse . . .  .. Equação da elipse com translação . . .  .. Equação da elipse com rotação . . .  .. Equação de uma elipse na forma paramétrica . . .  .. Propriedade focal da elipse . . .  . Estudo da hipérbole . . .  .. Estudo da hipérbole na forma reduzida . . .  .. Equacionando hipérboles com translação ou rotação . . .  .. Propriedade focal da hipérbole . . .  . Classificação das cônicas . . .  . Coordenadas polares e cônicas . . .  .. Equações polares de cônicas com foco na origem . . . 

 Quádricas e superfícies 

. Introdução às quádricas . . .  . Quádricas e suas equações na forma reduzida . . .  . Quádricas transladadas, eliminação dos termos lineares e equação na forma

reduzida . . .  . Quádricas com termos mistos . . .  . Introdução às superfícies no espaço . . .  .. Superfícies cilíndricas . . .  .. Cones sobre curvas . . .  .. Superfícies de revolução . . . 

.. Gráficos de funções de duas variáveis . . .  .. Superfícies regradas . . .  . Outros sistemas de coordenadas no espaço . . .  .. Coordenadas esféricas . . .  .. Coordenadas cilíndricas . . . 

 Octave na Geometria Analítica 

. Introdução ao Octave . . .  .. Introdução a matrizes e vetores . . .  .. Introdução aos gráficos . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . .  . Atividades com Octave para o capítulo  . . . 

 GeoGebra na Geometria Analítica 

. Uma pequena introdução ao GeoGebra na Geometria Analítica . . .  . Atividades com GeoGebra para o capítulo  . . .  . Atividades com GeoGebra para o capítulo  . . .  . Atividades com GeoGebra para o capítulo  . . .  . Atividades com GeoGebra para o capítulo  . . . 

A Construções de Dandelin 

B Cônica por cinco pontos 

Respostas dos exercícios 

Referências 

Estas notas surgiram de experiências na disciplina Geometria Analítica destinada aos alunos ingressantes nos cursos das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universi-dade Federal de São Carlos. Esta disciplina, junto com o Cálculo Diferencial e Integral, constitui o primeiro contato do aluno com a linguagem matemática de nível superior e com a estrutura organizada da Matemática.

Para ajudar a transição do nível secundário a esses cursos, nos quais se procura do-minar os conceitos e as técnicas próprias das Ciências Exatas, este texto foi escrito em um tom mais informal que os textos tradicionais, evitando a estrutura rígida de “definição-lema-teorema-demonstração”.

Procurou-se valorizar as ideias intuitivas dos conceitos antes de trabalhar com as téc-nicas apropriadas, respeitando porém o devido processo de abstração e de dedução de re-sultados teóricos. O texto se propõe a conduzir a matéria equilibrando a visão geométrica com a conveniência da técnica algébrica.

A Geometria Analítica reúne técnicas e conceitos algébricos para se trabalhar nume-ricamente os problemas da Geometria. As técnicas introduzidas fazem parte da Álgebra Linear. Os objetos geométricos como ponto, reta, plano, cônica, quádrica, etc. são objetos algébricos e numéricos, dados como conjuntos de pontos cujas coordenadas satisfazem determinadas equações. Trabalhar com esses elementos leva a matrizes, sistemas lineares e outros elementos da Álgebra Linear. Assim, iniciamos nosso texto com o capítulo de Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares, para depois iniciarmos os tópicos propriamente de Geometria.

Esses tópicos de Geometria começam com a conceituação geométrica de vetor, que é o elemento básico dos espaços vetoriais da Álgebra Linear. Com essa passagem, inicia-mos o estudo de objetos e conceitos relacionados com pontos, retas e planos do espaço,

como posições relativas, distâncias, ângulos, áreas, volumes, trabalhando algebricamente e interpretando geometricamente os resultados.

Depois, passamos ao estudo de outros elementos geométricos como cônicas e quádri-cas, relacionados com equações quadrátiquádri-cas, mas cujo estudo passa por análise de matrizes. Os exemplos de cônicas e quádricas, juntamente com retas e planos, formam os primeiros exemplos de curvas e superfícies.

Como um recurso didático adicional, incluímos nos capítulos finais do texto a utiliza-ção de aplicativos computacionais na Geometria Analítica. Além de fornecer aos alunos os primeiros passos na utilização da tecnologia como apoio à aprendizagem de conceitos matemáticos, as atividades propostas têm como objetivo preparar os alunos à matemática própria da linguagem computacional, da programação e das limitações características do uso da tecnologia.

Vamos utilizar os aplicativos Octave e Geogebra, que podem ser obtidos livremente na rede mundial de computadores, para auxiliar no acompanhamento da teoria. Tam-bém pode ser observada a utilização de conceitos da Geometria Analítica na programação desses aplicativos. O Octave é um programa de computação numérica e gráfica, e possui grande versatilidade para trabalhar com matrizes. O Geogebra é um programa de Geo-metria Dinâmica que transforma a tela do computador numa prancheta de desenho, e permite manipular os objetos geométricos através do clicar do mouse ou da janela de en-tradas algébricas. Além disso, todos os objetos geométricos são acompanhados de suas caracterizações algébricas.

Existem outros programas livres que podem ser utilizados, como o Maxima, mais útil para o Cálculo Diferencial e Integral, que podem ser explorados também em Geometria Analítica, mas vamos trabalhar somente com os dois primeiros indicados. Observamos que existem os programas M, C, Maple, Mathematica e outros, comercia-lizados para fins científicos e profissionais. Indicamos também outros programas livres dedicados a fins específicos, como o Kdsurf,para visualizar superfícies no espaço.

Finalmente, alguns tópicos interessantes sobre cônicas, mas que em geral não são ob-jetos de estudo da disciplina Geometria Analítica, são apresentados nos Apêndices.

_{www.octave.org} _{www.geogebra.org}

_{M}

®

®

®



Mathematica

®

Nossa intenção é que o texto possa ser usado por alunos das áreas de Ciências e Tecno-logia, em estudos individuais, dando-lhes segurança e confiança para avançar em outras disciplinas do seu curso, em especial a Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis.

Além disso, gostaríamos que o texto fosse utilizado por todos que necessitem dos con-ceitos e técnicas de Geometria Analítica para estudo ou consulta. A linguagem de Álgebra Linear trabalhada neste texto irá ajudar aqueles que não estudam formalmente essa disci-plina em seus cursos de ciências ou de tecnologia, oferecendo uma introdução aos concei-tos e técnicas da Álgebra Linear presentes em muitas aplicações atuais das suas carreiras por meio de exemplos concretos e visíveis no plano e no espaço.

As listas de exercícios são parte integrante do texto, sendo que suas resoluções acom-panham, muitas vezes, o desenvolvimento da teoria. Grande parte vem com sugestões, e as respostas da maioria dos exercícios podem ser conferidas no final do livro. Fica a cargo do leitor descobrir como ler algumas das respostas dadas imediatamente após os exercícios.

Adotamos na representação decimal dos números a notação de ponto em vez da vír-gula, para não confundir com a separação de coordenadas em pontos e vetores.

Enfim, agradecemos aos alunos, tutores e professores de várias turmas de Geometria Analítica, que indicaram correções e ofereceram sugestões, contribuindo para o aperfei-çoamento do texto.

A  Departamento de Matemática UFSCar