Síntese de mecanismos com a utilização da teoria das posições multiplamente separadas

SÍNTESE DE MECANISMOS COM A UTILIZAÇÃO DA

TEORIA DAS POSIÇÕES MULTIPLAMENTE SEPARADAS

D i s s e r t a ç ã o s u b m e t i d a ã U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d S a n t a C a t a r i n a p a r a a o b t e n ç ã o do g r a u de m e s t r e em e n g e n h a r i a m e c â n i c a . B E R N A R D O G O N Ç A L V E S R I S O F L O R I A N Ó P O L I S S A N T A C A T A R I N A - B R A S I L F E V E R E I R O - 1 98 0

S Í N T E S E DE M E C A N I S M O S C O M A U T I L I Z A Ç Ã O DA T E O R I A DAS P O S I Ç Õ E S M U L T I P L A M E N T E S E P A R A D A S B e r n a r d o G o n ç a l v e s Riso E s t a d i s s e r t a ç ã o foi j u l g a d a a d e q u a d a p a r a a o b t e n ç ã o do t i t u l o de " M e s t r e em E n g e n h a r i a " , e s p e c i a l i d a d e : e n g e n h ^ ria m e c â n i c a , a re a de c o n c e n t r a ç ã o : p r o j e t o , e a p r o v a d a e m sua f o r m a final p e l o C u r s o de P õ s - G r a d u a ç ã ó . O r i e n t a d o r P r o f . A r n o B l a s s , Ph.D. C o o r d e n a d o r da P ó s - G r a d u a ç ã o em E n g e n h a r i a M e c â n i c a A p r e s e n t a d a p e r a n t e a B a n c a E x a m i n a d o r a , c o m p o s t a dos P r o f e s s o r e s : Jo¿ ^e J o ã o de E s p í n

Dr.Ing-Ã Mari i

e

Ao p r o f e s s o r J o s é C a r l o s Z a n i n i , p e l a orienta^ ção; Aos p r o f e s s o r e s e f u n c i o n á r i o s do D e p a r t a m e n ­ to de C i i n c i a s E s t a t í s t i c a s e da C o m p u t a ç ã o da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a , pe^ la c o l a b o r a ç ã o ; S C R E M E R S.A. - P r o d u t o s T ê x t e i s e C i r ú r g i c o s , p e l a o p o r t u n i d a d e de a p l i c a ç ã o da t e o r i a e pe^ lo a u x í l i o f i n a n c e i r o ; Ao C o n s e l h o N a c i o n a l de P e s q u i s a s , p e l a b o l s a de e s t u d o s d u r a n t e a o b t e n ç ã o dos c r é d i t o s ; E a t o d o s q u e c o n t r i b u í r a m c o m c r í t i c a s e sjj ges t õ e s .

s._y_M_£_R,i_o

P Ã G . R E S U M O ... ... vi i A B S T R A C T ... ... . vi i i C A P Í T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O ... . . . ... 1 R e v i s ã o B i b l i o g r á f i c a ... 2 A T r a n s f o r m a ç ã o da C u r v a t u r a . ... 3 A T r a n s f o r m a ç ã o de C o o r d e n a d a s ... 8 C A P Í T U L O II - E L E M E N T O S DA T E O R I A PMS ... ... 10 2.1 - I n t r o d u ç ã o ... 10 2.2 - T R Ë S PMS ... ... 11 2 .3 - Q U A T R O PMS ... 30 2 . 4 - C I N C O PMS ... ... 37 C A P I T U L O III - E X E M P L O S DE A P L I C A Ç Õ E S D A . TEORIA PMS. 47 3.1 - I n t r o d u ç ã o ... ... ... . 4 7 3.2 - M e c a n i s m o de R e g u l a g e m do F l u x o ... . 48 3.3 - M e c a n i s m o de C a r i m b a ç ã o ... . 51 3.4 - M e c a n i s m o de E n c a p a m e n t o ... ... 55

C A P I T U L O IV - C O N C L U S Õ E S E R E C O M E N D A Ç Õ E S ... 59 4.1 - C o n c l u s õ e s ... ... . 59 4.2 - R e c o m e n d a ç õ e s ... ... ... 61 A P E N D I C E S : 1. 0 P r o g r a m a PMS ... ... 63 2. Os C o e f i c i e n t e s G e n e r a l i z a d o s da C u r v a t u r a . . 70 3. A E s p e c i f i c a ç ã o do M o v i m e n t o ... . 73 4. A T r a n s f o r m a ç ã o F u n d a m e n t a l da T e o r i a PMS .. 78 5 . G l o s s á r i o ... 80 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... . 82

R E S U M O S ão a p r e s e n t a d o s e l e m e n t o s da T e o r i a das P o s i ç õ é s M ú l t i p l a m e n t e S e p a r à d a s ( T e o r i a PMS) para a s í n t e s e co- p l a n a r de m e c a n i s m o s a r t i c u l a d o s , u t i l i z a n d o u ma n o t a ç ã o u n i f o r m e p ar a 1, 2, 3, 4, 5 p o s i ç õ e s , c om b as e nos c o e f i ­ c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a , A m¿ . São m o s t r a d a s as c o n s i d e r a ç õ e s t e ó r i c a s que p e r m i t e m a o b t e n ç ã o de c a r a c t e ­ r í s t i c a s e s p e c i a i s c o m o t r a j e t ó r i a s c o m p o n t o s d u p l o s , cús p i d e s , t a n g e n t e s d e f i n i d a s p r e v i a m e n t e , etc. E s s a s c a r a c t e r í s t i c a s são e s p e c i f i c a d a s de m o d o c o m p a c t o e u n i f o r m e . A T e o r i a é a p l i c a d a e m tres c a s o s e s p e c í f i c o s : um m e c a n i s m o r e g u l a d o r do f l u x o de c a r r e t e i s , um m e c a n i s m o ' de c a r i m b a ç ã o e um m e c a n i s m o de e n c a p a m e n t o de c a r r e t e i s , t o d o s a p r e s e n t a n d o c a r a c t e r í s t i cas e s p e c i a i s de m o v i m e n t o . 0 p r o g r a m a c o m p u t a c i o n a l i m p l a n t a d o e u t i l i z a d o na Uni v e r s i d a de F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a é a d e q u a d o ao sis. t e ma geral de r e f e r ê n c i a e s u m a r i a m e n t e d e s c r i t o .

A B S T R A C T The b a s i s of The M u l t i p l y S e p a r a t e d P o s i t i o n s T h e o r y (MSP T h e o r y ) in C o p l a n a r M o t i o n is p r e s e n t e d f or l i n k a g e s y n t h e s i s in a u n i f o r m n o t a t i o n , u s i n g the general l i z e d c o e f f i c i e n t s of the c u r v a t u r e , for 1 , 2 , 3 , 4, 5 p o s i t i o n s . T h e o r e t i c a l a s p e c t s r e l a t e d to s p e c i a l f e a t u r e s as c o u p l e r c u r v e s w i t h d o u b l e p o i n t s , c u s p s , djs f i n e d t a n g e n t s , e t c . , are s h o w n in a s h o r t a n d u n i f o r m w a y . The T h e o r y is a p p l i e d to t h r e e s p e c i f i c case s : a f l o w r e g u l a t o r m e c h a n i s m , a s t a m p i n g m e c h a n i s m and a w r a p p i n g m e c h a n i s m , all of t h e m p r o d u c i n g s p e c i a l m o t i o n f e a t u r e s . The PMS c o m p u t e r p r o g r a m m e s e t up at the U n i v e £ s i t y of S a n t a C a t a r i n a is s u i t a b l e to be u s e d w i t h the g e n e r a l r e f e r e n c e s y s t e m and is b r i e f l y d e s c r i b e d in this w o r k .

C A P I T U L O I

I N T R O D U Ç Ã O

A T e o r i a das Pos i ç o es M ú l t i p l a m e n t e Separadas(Teo ria PMS) e s t á s i t u a d a e n t r e os m é t o d o s a l g é b r i c o s que utj[ 1 i zam p o n t o s de p r e c i s ã o p a r a a s í n t e s e de m e c a n i s m o s arti_ c u l a d o s . E s s e s .pontos de p r e c i s ã o d e f i n e m as ca r ac t e r í s t i ^ cas do m o v i m e n t o do a c o p l a d o r e p o d e m a p r e s e n t a r - s e separa^ dos de m o d o f i n i t o , i n f i n i t e s i m a l e m ú l t i p l o . C ó m isto, em uma m e s m a e s p e c i f i c a ç ã o a l g u n s p o n t o s p o d e m a p r e s e n t a r - s e s e p a r a d o s de m o d o f i n i t o , e o u t r o s s e p a r a d o s de m o d o infj_ ni t e s i m al . A t e o r i a PMS p e r m i t e q ue s e j a m e s p e c i f i c a d o s , no m á x i m o , c i n c o p o n t o s de p r e c i s ã o que são, em g e r a l , s u f i ­ c i e n t e s para a e s p e c i f i c a ç ã o de c a r a c t e r í s t i c a s e s p e c i a i s de m o v i m e n t o c o mo t r a j e t ó r i a s com p o n t o s d u p l o s ou triplos, c ú s p i d e s , t a n g e n t e s d e f i n i d a s , i n f l e x õ e s , t r e c h o s retilí_ n e o s , e t c . , a p r e s e n t a n d o - s e , p o r t a n t o , c o mo uma f e r r a m e n t a e x t r e m a m e n t e p o d e r o s a p ar a o p r o j e t o de m e c a n i s m o s . T o d a s as c a r a c t e r í s t i c a s e s p e c i a i s de m o v i m e n t o são e s p e c i f i c a d a s com um m á x i m o de q u i n z e p a r â m e t r o s de rrm v i m e n t o { a ff, b „ <¡>¿ }, l = 0, 1, 2, 3, 4, q u a n d o e u t i l i z a ­

do o s i s t e m a geral de ' r e f e r ê n c i a ou com um n ú m e r o de pa. r â m e t r o s l i v r e s a i n d a m a i s r e d u z i d o q u a n d o é u t i l i z a d o o s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r ê n c i a .

g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a , A ^ , que p e r m i t e m um t r a t a m e n to u n i f i c a d o de toda a t e o r i a PMS. R E V I S A O B I B L I O G R A F I C A T E S A R e E S C H E N B A C H [l] e l a b o r a r a m em 1 967 a pri_ m e i r a t e n t a t i v a de c r i a ç ã o de uma t e o r i a a n a l í t i c a de sTji t e se de m e c a n i s m o s q u e c o n s i d e r a s s e s i m u l t a n e a m e n t e posi_ ções f i n i t a m e n t e s e p a r a d a s (PFS) e p o s i ç õ e s infini tesimaj_ m e n t e s e p a r a d a s (PIS) do p l a n o a c o p l a d o r . A i n d a em 1967 T E S A R [2] d e s e n v o l v e u e s s a t e o r i a ate tr ê s p o s i ç õ e s multj^ p i a m e n t e s e p a r a d a s (3 PMS) c o n s i d e r a n d o s i m u l t a n e a m e n t e PFS e PIS. Em 1 9 6 8 T E S A R [3] a p r e s e n t o u a t e o r i a PMS a té q u a t r o p o s i ç õ e s o A i n d a n e s s e ano, T E S A R e S P A R K S [4] c o m p l e t a r a m a T e o r i a PMS c o m a s í n t e s e c o p l a n a r p a r a c i n c o po si ções „ Em 1 9 6 8 T E S A R , S P A R K S e W A L T E R S [5] a p r e s e n t a r a m um a r t i g o no qual e r a m d i s c u t i d o s n o v o s a s p e c t o s t e ó r i c o s e p r á t i c o s da T e o r i a PMS. Em 197 5, Z A N I N I [6 ] e l a b o r o u a sua te s e de d o u t £ r a m e n t o a p r e s e n t a n d o i n t e r p r e t a ç õ e s do s i g n i f i c a d o g e o m é t r i c o de PIS e c o m p a r a n d o os r e s u l t a d o s o b t i d o s a t r a v é s da a p l i c a ç ã o da T e o r i a PMS c o m a q u e l e s o b t i d o s a t r a v é s da _a p l i c a ç ã o de m é t o d o s de o t i m i z a ç ã o . A T e o r i a PMS foi e s t e n d i d a ã s í n t e s e de m e c a n i ^ mos e s f é r i c o s co m os a r t i g o s de T E S A R , D O W L E R e DU F F Y [7] [8 ] p u b l i c a d o s , r e s p e c t i v a m e n t e , em 1976 e 1978.

Na d i s s e r t a ç ã o ora a p r e s e n t a d a i r e a l i z a d a a u- n i f i c á ç ã o da T e o r i a PMS p l a n a em t e r m o s dos c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a , A m£ , q u e so t i n h a m s i d o utilj_ z a d o s pa r a 5 PMS. 0 s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n c i a e uti l i z a d o a p a r t i r de 3 PMS, urna vez q u e p e r m i t e g r a n d e s i m ­ p l i f i c a ç ã o a l g é b r i c a . T r e s a p l i c a ç õ e s o r i g i n a i s da T e o r i a PMS são a p r e s e n t a d a s c o m o e x e m p l o s » A T R A N S F O R M A D O DA C U R V A T U R A C o n s i d e r a d o o m a i s i m p o r t a n t e de t od a a s í n t e s e c i n e m á t i c a , o c o n c e i t o de t r a n s f o r m a ç ã o da c u r v a t u r a é a_ p r e s e n t a d o , a s e g u i r , p ar a o ca s o plano. Na F i g u r a 1.1 os p l a n o s z e E são s u p e r p o s t o s . 0 p l a n o Z e f i x o e s o b r e ele e s t á m a r c a d o o s i s t e m a f i x o X, Y de referencia.. 0 p l a n o E é m o ve l e d e s l o c a - s e s o b r e Z c a r r e g a n d o o s i s t e m a mo v e l x , y de r e f e r e n c i a .

P a r a que uma p o s i ç ã o do p l a n o m ovel f i q u e especi_ f i c a d a em r e l a ç ã o ao s i s t e m a f i x o de r e f e r e n c i a é n e c e s s á rio q u e s e j a m d e f i n i d a s as c o o r d e n a d a s (a, b ) da o r i g e m mÓ vel e o á n g u l o 4> e n t r e os e i x o s x, X . Os p a r á m e t r o s de po^ s i ç ã o {a, b, ¢)} t o r n a m - s e , e n t ã o , o c o n j u n t o de e s p e c i f i ­ c a ç õ e s pa r a um m o v i m e n t o o b t i d o ou a ob t e r . A s s i m , p a r a se e s p e c i f i c a r o m o v i m e n t o do p l a n o m ó v e l u t i l i z a n d o PMS ¿ = 0 , 1 , 2 , ... p o s i ç õ e s s u c e s s i v a s , a s s u m i d a s ao l o ng o do seu d e s l o c a m e n t o , d e t e r m i n a - s e o c o £ j u n t o {a, b, <|>}£ , p ar a cada p o s i ç ã o £ .

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A cada p o s i ç ã o £ do p l a n o m õ v e l , um p o nt o A per t e n c e n t e a e s t e p l a n o a s s u m e uma p o s i ç ã o A^, de c o o r d e n a ­ das X ¿ , em r e l a ç ã o ao s i s t e m a f i x o . Se A é um p o n t o de c í r c u l o , as p o s i ç õ e s A ¿ , £ = 0 , 1 , 2 , ... e s t ã ò s o b r e um c í r c u l o gA do p l a n o f i x o , com c e n t r o em 0 . Em c o n j u n to, os p o n t o s A e 0 f o r m a m um p a r de B u r m e s t e r (Figura 1.2). A De p o s s e d e s s e s c o n c e i t o s , p o d e - s e a p r e s e n t a r um e n u n c i a d o c o n c i s o pa r a a t r a n s f o r m a ç ã o da c u r v a t u r a : se o m o v i m e n t o de um p l a n o m o v e i com r e l a ç ã o a um s i s t e m a f ix o de r e f e r ê n c i a , é e s p e c i f i c a d o p e l o s p a r â m e t r o s de movimeji to (a, b, £ = 0 , 1 , 2 , ..., o p r o b l e m a de t r a n s f o r m ^ ção da c u r v a t u r a c o n s i s t e em d e t e r m i n a r a q u e l e s p o n t o s A ( x , y ) do p l a n o m õ vel que a s s u m e m p o s i ç õ e s A^, £ =0,1,2,... s o b r e c í r c u l o s do p l a n o f ix o com c e n t r o em 0A (X,Y).

U s a n d o - s e duas v e z e s e s t a t r a n s f o r m a ç ã o , são olb t idos os dois p a r e s (A, 0A ) e (B, 0B ) q u e p e r m i t e m a con,s t r u ç ã o do m e c a n i s m o m o s t r a d o na F i g u r a 1.3. Os pa res (A, 0A -) e (B, 0B ) d e t e r m i n a m p o s s í v e i s m a n i v e l a s , pois g a r a n t e m ao s i s t e m a m o v i m e n t o i m p o s t o , isto é, um g r a u de liberdci de. E s s e s i s t e m a e o q u a d r i l á t e r o a r t i c u l a d o , e o seu mo v i m e n t o faz com que o p l a n o a c o p l a d o r a s s u m a as p o s i ç õ e s p r é - e s t a b e l e c i d a s £ = 0 , 1 , 2 , ..., c o n f o r m e f o r a m especi_ f i c a d a s pel.os p a r â m e t r o s { a , b ,

Ao s i s t e m a a s s i m c o n s i d e r a d o , a p l i c a r ~ s e - ã o se gui n t e :

(b) <¡> é a c o o r d e n a d a - g e n e r a l i zada e s c o l h i d a . (c) as r e l a ç õ e s a = a ( $ ) e b = ¿>(<¡>) t o r n a m - s e as fun ções g e n e r a l i z a d a s de r e f e r e n c i a para a e s p e c i f i c a ção do m o v i m e n t o . (d) p o d e - s e a d m i t i r a r b i t r a r i a m e n t e (j> = t e, e n t ã o , d<j>/dt = 1 .

(e) os s i s t e m a s m óvel (x,y) e fi xo (X , Y) , p o d e m ser coji s i d e r a d o s c o i n c i d e n t e s na p o s i ç ã o i n i c i a l , de m o d o que a = b = <j> = 0 . (f) e de i n t e r e s s e o m o v i m e n t o da o r i g e m do s i s t e m a nrô v e l , p a r a a qual x = y = 0 . Suas c o o r d e n a d a s em r e l a ç ã o ao s i s t e m a f i x o são X = a e Y = b. A T R A N S F O R M A Ç A O DE C O O R D E N A D A S C o n s i d e r a n d o o p l a n o móvel na p o s i ç ã o especifica^ da po r {a, b , ¢ ) , f i c a m e s t a b e l e c i d a s as e x p r e s s õ e s , atra_

vis das q u a i s , d a d a s as c o o r d e n a d a s de um, p o n t o A ( x , y ) em r e l a ç ã o ao s i s t e m a m õ v e l , p o d e - s e c a l c u l a r as suas c o o r d e ­ n a d a s X, Y em r e l a ç ã o ao s i s t e m a f i x o ( F i g u r a 1.4 ) , e rec_i[ p r o c a m e n t e . Está t r a n s f o r m a ç ã o de c o o r d e n a d a s e n t r e o s i s t e ma f ix o e o s i s t e m a m o v e i é b a s i c a p ar a o t r a t a m e n t o a n a l í ti co da s í n t e s e c o p l a n a r .

C A P Í T U L O II E L E M E N T O S DA T E O R I A PMS 2.1 - I N T R O D U Ç Ã O A c o n c e p ç ã o a n a l í t i c a da T e o r i a PMS e n g l o b a , em um t r a t a m e n t o m a t e m á t i c o u n i f i c a d o , d e s l o c a m e n t o s f i n i t o s (P-P) e i n f i n i t e s i m a i s (PP) de um p l a n o m o v e i , p e r m i t i n d o a i n d a to d a s as c o m b i n a ç õ e s p o s s í v e i s d e s s e s d e s l o c a m e n t o s p ar a 3, 4 e 5 PMS . E s s e s d e s l o c a m e n t o s m ú l t i p l o s , t o m a d o s em r e l a ç ã o a unia p o s i ç ã o i n i c i a l de r e f e r ê n c i a , c o n s t i t u e m se no a s p e c t o f u n d a m e n t a l da t e or i a. N e s t a e x p o s i ç ã o f o r a m u t i l i z a d o s os c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a , A m ¿ , com a f i n a l i d a d e de unifi^ car a t e o r i a PMS em t e r m o s de uma n o t a ç ã o c o n c i s a e c o m p l y t a m e n t e a b r a n g e n t e . 0 s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r ê n c i a (<j>Q = a Q = b Q = a j ■= b j = 0 , b 2 = 1 ) p e r m i t e g r a n d e s i m p l i f i c a ç ã o a l é b r i c a e, p or isso, foi u t i l i z a d o a p a r t i r de 3 PMS. 0 s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r ê n c i a não c h e g a a se c o n s t i t u i r em uma l i m i t a ç ã o p r á t i c a , já que pode s e m p r e ser u t i l i z a d o , e m b o r a na e s p e c i f i c a ç ã o de 3, 4 e 5 PMS h a j a , em g e r a l , a n e c e s s i d a d e do uso de t r a n s f o r m a ç õ e s de c o o r d e n a d a s e de e s c a l a .

2.2 - T RÊ S PMS

Uma P o s i ç ã o

Ao se c o n s i d e r a r o d e s l o c a m e n t o de um p l a n o m ó ­ vel s o b r e um p l a n o . f i x o (Figura. 1.1), cada uma das p o s i ­ ções I = 0, 1, 2, ... f i n i t a m e n t e s e p a r a d a s (PFS) do pla^ no mÓvel e e s p e c i f i c a d a p e l o s p a r â m e t r o s de m o v i m e n t o {¿z £ , h % , <j> I ..= 0, 1, 2, .... Um p o n t o q u a l q u e r A ( x , y ) do p l a n o móv el ( F i g u r a 1.4) tem, e n t ã o , as suas c o o r d e n a ­ das d e f i n i d a s e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a f i xo de r e f e r ê n c i a X,Y, como X = X cos 4> - y s en cp + a ( 2 .2 .1 ) Y = X sen <j> + y cos <j) ■+ b o n d e <p p od e ser c o n s i d e r a d o o p a r â m e t r o i n d e p e n d e n t e do mc) v i m e n t o i m p o s t o , de m o d o qu e £ ' = a(<j>) e b = b (<$>).. Se os s i s t e m a s f i x o e m o v e i de r e f e r e n c i a f o r e m c o i n c i d e n t e s na p o s i ç ã o i n i c i a l I = 0 , e n t ã o <J> = a Q b 0 = ° * Duas P o s i ç õ e s Duas p o s i ç õ e s f i n i t a m e n t e s e p a r a d a s (2 PFS) do p l a n o m ó v el são e s p e c i f i c a d a s p or { a m > e ( a n ,2>n ,4> }, e d e f i n e m um p ó l o de r o t a ç ã o P m n . Se m e n são especj_ f i c a d a s c o m o p o s i ç õ e s s u c e s s i v a s , n = m + 1. Pa ra m, posjT_ ção i n i c i a l , m = 0 e n = 1 . Na p o s i ç ã o i n i c ia l os si s te? mas m ó vel e f i x o de r e f e r ê n c i a p o d e m ser t o m a d o s co i n c i

d e n t e s . Se, a l e m d i s s o , o p ó l o P fo r r e q u e r i d o na ori_ g e m c o m u m dos s i s t e m a s , as duas p o s i ç õ e s £ = 0 , 1 do p 1 _a no móvel s e r ã o e s p e c i f i c a d a s por {O, 0, 0} e {O, o_n de (j>i é o â n g u l o f i n i t o de g i r ó do p l a n o m Õ vel ao p a s s a r da p o s i ç ã o £ = 0 pa r a a p o s i ç ã o £ = 1 . 0 d e s l o c a m e n t o do p o n t o A ( x , y ) c o r r e s p o n d e n t e as duas p o s i ç õ e s m, n do p l a n o m ó v e l , f i n i t a m e n t e s e p a r a ­ das, po d e se r e s c r i t o c om o AX = X n - Xm C o n s i d e r a n d o a e q u a ç a o ( 2 . 2 . 1 ) ,

AX = x( cos 4>n cos 4>m ) y (sen <(>n sen <j)m ) + « n

-AY = x ( s e n <frn - sen cf>m ) + y (cos c¡>n - cos <|>m ) + - b m

(2.2.2)

0 p ol o P mn ë o ú n i c o p o n t o que não se d e s l o c a q u a n d o s ão c o n s i d e r a d a s as p o s i ç õ e s £ = m, n do p l a n o mó v e l . P o r t a n t o , para o p o l o P m n > AX = AY = 0 , o que leva as c o o r d e n a d a s do pó l o no s i s t e m a móv el , através de (2 .2 .2 ), * P B n ■ ---W t s e n <‘n - V - « s < V » , » 2 sen I V ™ 2 2 . 2 - ( 2 . 2 . 3 ) 1 ’ d) + é é + cb y P m n = <cos ^ (°n*a J + s e " - t y * (b n-b J > 2 sen

As c o o r d e n a d a s do p o l o P mn em r e l a ç ã o ao s i s t e m a f ix o de r e f e r ê n c i a p o d e m s e r o b t i d a s c o n s i d e r a n d o a inveja sa da t r a n s f o r m a ç ã o (2 .2 .1 ) e q u e Xp = x^ e y ^ = Kmn K mn K mn n yp mn a +a b -b <j> - é V n m n m „ . Y n Y m X = --- - --- -c o t ---mn 2 2 2 ' V fcm a n~a m ^ V + m Y p = - c o t ---mn 2 2 2 ( 2 . 2 . 4 ) Se m e n sao duas p o s i ç o e s p a r a l e l a s , = CO 0 e cot --- - -> oo , i n d i c a n d o qu e o pó l o P mn possui o r d e n a d a s i n f i n i t a m e n t e g r a n d e s . 0 t r a t a m e n t o a n a l í t i c o de duas p o s i ç õ e s i n f i n i t e s i m a l m e n t e s e p a r a d a s (2 PIS) p o d e s e r c o n s i d e r a d o a paj^ ti r do a c r é s c i m o A<j>, p e q u e n o , d a d o ao p a r â m e t r o i n d e p e n ­ d e n t e . C o m e s s e a c r é s c i m o , um p o n t o do p l a n o mov e i s o f r e um d e s l o c a m e n t o que p o d e s e r e x p r e s s o p e l a s a l t e r a ç õ e s AX e AY de suas c o o r d e n a d a s em r e l a ç ã o ao s i s t e m a fixo: AX = X (<J> + A<f>) - X (<J>) ( 2 . 2 . 5 ) AY = Y (4) + A<¡)) - Y (4>) C o n s i d e r a n d o as e q u a ç õ e s ( 2 . 2 .1 ) e (2.2.5) con-' j u n t a m e n t e , t e m - s e

AX = -X s e n <j> A (¡> - y c o S 4> A 4> + a ( <p + A ) - a (¢) AY = X cos 4> A cf) - y s e n <i> A + fc ( <j> + A 4> ) - b(<p) C o n s i d e r a n d o a g o r a os l i m i t e s A X dX 1 1 m --- = --- = X A(j) -> 0 d<j> AY dY 1 i m —— - = --- = Y ' A < J > 0- A(^ d<|) t e m - s e as e q u a ç o e s q u e r e p r e s e n t a m um d e s l o c a m e n t o i n f i n i ­ t e si m al de um p o n t o do p l a n o movei : dX = ( - X sen 4> - y cos $ + a ') d<f> ( 2 . 2 . 6 ) dY = ( X cos cf) - y sen <j> + b ' ) d<f>

Duas p o s ições, in f i n i t e s i ma 1 men te s e p a r a d a s , do pla^ no m ó ve l d e f i n e m um c e n t r o i n s t a n t â n e o de r o t a ç ã o C, p a ra o qual , X C = Y C = 0 A partir de (2.2.6), obtém-se, e n t ã o , as c o o r d e n a d a s do c e n t r o i n s t a n t â n e o de r o t a ç ã o e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a nu) vel como x c = a ' sen <p - b ' cos <j> ( 2 2 7 )

S u b s t i t u i n d o as e x p r e s s õ e s ( 2 . 2. 7 ) na e q u a ç ã o (2 .2 . 1 ), o b t é m - s e as c o o r d e n a d a s do c e n t r o i n s t a n t â n e o de r o t a ç ã o e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a fixo. X c = a - b '

(

2

.

2

.

8

)

Y c = b + a' C o n s i d e r a n d o uma v a r i a ç ã o c o n t í n u a p a r a o v a l o r de <j> na e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 7 ) , t e m - s e as e q u a ç õ e s p a r a m é t r i c a s q u e d e f i n e m o cerítrodo m õ v e l . P r o c e d e n d o do m e s m o m o d o em r e l a ç ã o a e q u a ç ã o ( 2 .2 .8 ), t e m - s e as e q u a ç õ e s que defj_ n e m o c e n t r o d o fixo. 0 t r a t a m e n t o a n a l í t i c o de 2 PFS e 2 PIS, consider r a d o g l o b a l m e n t e , é r e a l i z a d o sob o t í t u l o de duas posições múltiplamente separadas, 2 PMS. A n o t a ç ã o u t i l i z a d a p a ra PMS i n c l u i os í n d i c e s j, k e , c o m a s e g u i n t e s i g n i f i c a ç ã o : j = c o n t a d o r do n ú m e r o de PFS, p o d e n d o a s s u m i r os V £ lores 0, 1, 2, 3, 4. k = c o n t a d o r do n ú m e r o de PIS c o r r e s p o n d e n t e a uma dada p o s i ç ã o f i n i t a . Po d e a s s u m i r os v a l o r e s 0, 1, 2, 3, 4. £ = c o n t a d o r do n ú m e r o total de PMS P o d e a s s u m i r os v a l o r e s 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . C o n s i d e r a n d o os í n d i c e s j, k, £ , a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 1 ) toma a f o r m a geral (Apêndice 4) a d e q ü a d a ao tratàrneri to de PMS:

(jk X ( j ,k , £ ) = ---- r {x cos <J) - y sen ¢) ' d(f) * = * 3 d k ~ d 7 {a( ¢) } dk Y ( j , k , £ ) = ---- rr {:< sen cp + y cos ¢) ri a d(j)

_¢-4.

d¢

¢^¢-( 2 . 2 . 9 ) P a r a 2 PFS , os c o n t a d o r e s (j, k, £) a s s u m e m os v a l o r e s (0 , 0 , 0 ) p ar a a p r i m e i r a p o s i ç ã o e ( 1 , 0 , 1 ) pa r a a s e g u n d a . P ar a 2 P I S , os v a l o r e s são (0, 0, 0) p a r a a p r i m e i r a p o s i ç ã o e (0 , 1 , 1 ) pa r a a s e g u n d a . 0 s i g n i f i c a d o de PMS em c i n e m á t i c a ê m e l h o r c o m p r e e n d i d o em t e r m o s de d e s l o c a m e n t o s do p l a n o m õ v e l . Aqui , PMS i m p l i c a e m m o v i m e n t o s m i s t o s de PFS e PIS i n s e r i d o s d e n t r o de uma f i l o s o f i a a n a l í t i c a v á l i d a para t o dos os ti_ pos de m o v i m e n t o , s i m u l t a n e a m e n t e . C o n s i d e r a n d o a p o s i ç ã o de r e f e r e n c i a m = 0 e uma p o s i ç ã o geral n = £ , o c o n c e i ­ to de 2 PMS p o d e s er o b t i d o c o m b i n a n d o - s e os r e s u l t a d o s das e q u a ç õ e s ( 2 .2 .2 ) e ( 2 .2 .9 ) q u a n d o n = 1 , ou seja: A X = AX, = ( d 4> ) o > 1 _d(f>£ {x (cos ¢ - cos <j>0 ) - (sen <f> - sen <j) ) + a - a Q } SY = AY = { d<(.) 0 , 1 _d ^ {x (sen <f> - sen 4>Q ) + + (cos ¢ - cos 4>0 ) + b - b o >

¢ = ¢■

P e r m i t i n d o qu e os s i s t e m a s c o o r d e n a d o s s e j a m coijn c i d e n t e s na p o s i ç ã o i n i c i a l , 4>0 = a Q = b = 0 , e e n t ã o A X x = (d(¡)) d(J) { x(cos ¢) - 1 ) - y sen $ + a } , = 4,. A Y x = (d<j>) d (J) íx sen (j) - y (eos $ - 1 ) + b } ou, ma i s c o m p a c t a m e n t e , i n t r o d u z i n d o os " c o e f i c i e n t e s gene^ r a l i z a d o s da c u r v a t u r a " , A mJ?; , = f s e " ,k S i = --- £ _d<í>K } (2 .2.1 0) 6 i e m q u e <b = « = b = 0 , ^ v o o o A X 1 - (d<j>) a =ü.x - \ , . y + A s t AY, = ( d(J) ) - A 3ÍX + A 6 £

Tres P o s i ç õ e s

A r e s t r i ç ã o l i n e a r e i m p o r t a n t e p a r a o p r o j e t i s ­ ta que p o d e u s a - l a , por e x e m p l o , na s í n t e s e do m e c a n i s m o b i e l a - m a n i v e l a , e d e ve ser consi d e r a d a .,

C om o urna reta do p l a n o f i x o p o de ser d e s c r i t a por L o X + L j Y + L 2

0 ,

se o p o n t o A ( x , y ) a s s u m e 3 PMS s o b r e urna reta, e n t a o , p a r a c a d a p o s i ç ã o l = 0 , 1 , 2 , tem- s e: ( 2 .2 .1 1 ) o n d e (^£> £ - 0, 1, 2 são as c o o r d e n a d a s do p o n t o A e m r e l a ç ã o ao s i s t e m a fixo-, p a r a ca da p o s i ç ã o e s p e c i f i c a d a do p l a n o m õ v e l . Para e x c l u i r o c o e f i c i e n t e L 2 de f u t u r a s c o n s i d £ r a ç õ e s , p o d e - s e e s c r e v e r o s i s t e m a ( 2 .2 .1 1 ) como - *0 - L 0 < X x - V + L I <Y l - ¥ o) = ° * 2 - »0 = L o < X a - Xo> + L 1 < Y 2 - Vo) = 0 (2.2.1 2) Para q ue e x i s t a m s o l u ç o e s d i f e r e n t e s da t r i v i a l , o d e t e r m i n a n t e p r i n c i p a l do s i s t e m a ( 2 .2 .1 2 ) d e v e se r nulo:

x 2 - xo

Y . - Y o

y 2 - Yo

( 2 . 2 . 1 3 )

C o n s i d e r a n d o a e q u a ç a o ( 2 . 2 . 9 ) , os e l e m e n t o s des^ se d e t e r m i n a n t e p o d e m s er g e n e r a l i z a d o s e e s c r i t o s c o m o X £ - X 0 = ---- £ íx ( co s ¢) - cos <f>0 ) - y ( s e n ¢) - sen <J> ) } d<() <(>=<í>. d<(> ( a ( 4>) - a( <f> ) } 4,=4,. ( 2 . 2 . 1 4 ) { x ( s e n cp - sen <j> ) ' + y ( c o s 4> - cos ¢-,)) + d < T 0 0 ¢ = ^ d<j>

{*(<*») - * ( * J }

o nd e £ = I, 2. C o n s i d e r a n d o o s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n c i a , <j) = aQ - bQ = 0 e i n t r o d u z i n d o os c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a dos da c u r v a t u r a ( 2 . 2 . 1 0 ) , a e q u a ç ã o ( 2 , 2 . 1 3 ) a s s u m e a fo r ma , A „ x - A y + A A x + A y + A 3 2 if 2 5 2 if 2 3 2 6 2 D e s e n v o l v e n d o 0 d e t e r m i n a n t e ( 2 . 2 . 1 5 ) , e colocar^ do em e v i d ê n c i a as p o t ê n c i a s de x e y, r e s u l t a

( x 2 + y 2 ) ( A 31 A U2 - A U1 A 3 2 ) + x ( A 51 A lt2 +

+ ^ 3 1 ^ 6 2 “ ^ 3 2 ^ 6 1 ” ^ 1 ^ 5 2 ) + y ( ^ 6 1 ^ > + 2 +

0

( 2 . 2 . 1 6 )

A e q u a ç a o ( 2 . 2 . 1 6 ) m o s t r a q ue o l u g a r g e o m é t r i c o dos p o n t o s do p l a n o móvel q u e a s s u m e m 3 PMS s o b r e uma reta é um c í r c u l o . n eo s C , C Q2 e C 1 2 , p e r t e n c e m ao c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) por p o s s u T r e m , no m á x i m o , d ua s p o s i ç õ e s d i s t i n t a s para as três p o s i ç õ e s c o n s i d e r a d a s do p l a n o m ó v e l . P a r a o polo P 0 1 > X - X _{i o} = Y _i - Y„ = 0, _o e a p r i m e i r a l i nha do d e t e r m i n a n t e_r da e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 1 2 ) se an u l a . Pa ra P o 2 » e a s e g u n d a l i ­ nha que se a nu l a. Para P 1 2 > t e m - s e X 2 = Xi e Y 2 = Yi , e as duas l i n h a s do d e t e r m i n a n t e t o r n a m - s e i g u ai s .

Ago = Ago = 0 . Se, a l é m d i s s o , a x = b 1 = 0, e n t ã o , A S1 =

A = 0 , e o p o l o P 0 1 » ou o c e n t r o i n s t a n t â n e o C 01 , coiji cide c om a o r i g e m comum. N e s t e caso , o c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) t o r n a - s e Os p ó l o s P 0 1 , P 02 e P 12 ou os c e n t r o s i n s t a n t ã Q u a n d o <pQ = a Q = b Q = 0, os s i s t e m a s f i x o e nu) vel são c o i n c i d e n t e s na p o s i ç ã o i n i c i a l do p l a n o m ó v e l , e

+ y

^ 5 2 ^ 3 1 “ 1 ^ 2 ^ 3 1 “ A I4 i A 3 2 0 ( 2. 2 . 1 7 )

D e s e j a n d o - s e que o c i r c u l o seja t a n g e n t e aos ej_ xos X, X, o c o e f i c i e n t e de x na e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 1 7 ) d e ve s e r nul o . \ 2 " s, - » s , = « ( 2 . 2 . 1 8 )

A

E n t ã o , A 52 - A 62 ( 2 . 2 . 1 9 ) ou A si \ i

F i x a n d o a e s c a l a dos s i s t e m a s de m o d o que o diá m e t r o do c T r c u l o se j a u n i t a r i o * o c o e f i c i e n t e dé y d e v e s e r igual a -1 . ' A E „ A „ , - A e A , 52 31 62 = - 1 ( 2 .2 .2 1 ) f o r m a A |*2 A 31 - Aijj A g 2 S u b s t i t u i n d o ( 2 . 2 . 1 9 ) em ( 2 . 2 . 2 1 ) , o b t e m - s e A «+ 1 { & k 2 A 3 i - A 41 A 3 2 ) b =

---

(

2

.

2

.

2 2

)

A 2 + A* 3 1 4 1 A e q u a ç ã o do c i r c u l o , e n t ã o , po de s e r e s c r i t a na x 2 + y 2 - y = 0 (2.2.23 ) As c o n d i ç õ e s i m p o s t a s a c i m a , ou seja, < z = 2> = < j > „ = 0_{o o Y o}

e ma i s as c o n d i ç õ e s ( 2 . 2 . 1 8 ) e (2 .2.21 ) . c o n s t i t u e m - s e no s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n c i a , q u e a p r e s e n t a a v a n t a g e m de s i m p l i f i c a ç ã o - dos c a l c u l ó s e p o d e ser a p l i c a d o em graji de n ú m e r o de s i t u a ç õ e s p r á t i c a s . P o d e - s e o b t e r e x p r e s s õ e s s i m p l e s p a r a os v a l o r e s de a 2 e b z em c ad a c a s o de 3 PMS q u a n d o i u t i l i z a d o o sis^ t em a e s p e c i a l de r e f e r ê n c i a . 19 Caso: PPP (3 PIS) N e s t e cas o , <f> • = <j> = 0 e, e n t a o , J 'J d A 31 = --- {cos ¢ - 1 } = - s e n 4> = 0 d ¢) <p = (pQ

d

A 41 = ---- (sen ¢) = cos é = 1 de}) = d2 O { COS ¢ ) - 1 } = - C O S cf> = - 1 ( 2 . 2 . 2 4 ) d 4» <P = (P, d 2 A,, = ---- {sen 4>} = - s e n <J> = 0 d * 2 0 S u b s t i t u i n d o os r e s u l t a d o s ( 2 . 2 . 2 4 ) em ( 2 . 2 . 1 9 ) e (2 .2 .2 1 ), t e m - s e N e s t e c aso, os p o n t o s do c í r c u l o d e s c r e v e m trajj? t o r i a s com uma i n f l e x ã o i n s t a n t â n e a . D e v i d o a isso, p a r a

3 PIS, o c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) e d e n o m i n a d o c í r c u l o de i n f l e ­ xão. No s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n c i a , o c í r c u l o de i n ­ f l e x ã o é dado pela e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 2 3 ) . 29 C a s o : PP - P ( 2 P I S e 1 P F S ) N e s t e caso, <(> = 0 e é um á n g u l o f i n i t o quaj_ q ue r . A ,, = -s en <j> _{3 1 Y O} = 0 A 41 = cos <f>0 = 1 A 32 = cos (J)1 - 1 A , 2 = sen <¡>1 E n t ã o , a 2 = 0 e b 2 = 1 - eos (p 1 0 c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) t o r n a - s e o l u g a r g e o m é t r i c o dos p o n t o s do p l a n o m o v e l que t r a ç a m uma t r a j e t ó r i a que p o s s u i , i n s t a n t a n e a m e n t e , uma t a n g e n t e d e f i n i d a , e a te_r c e i r a p o s i ç ã o de ca da um d e s s e s p o n t o s , f i n i t a , e s t a r á soi b re e s s a t a n g e n t e , por i s s o , o c í r c u l o e d e n o m i n a d o c í r c u 1 o p o n t o - t a n g e n t e . 3Q C a s o : P - P - P ( 3 PFS) A g o r a , c|> = 0, mas <j>} e são â n g u l o s f i n i t o s q u a i s q u e r . A 3 j = cos <j) j - 1 A u = sen ^

A g2 = cos ¢2 - 1 A 42 = sen <J>2

E n t ã o ,

tf)2-(í,l ¢2 4*1

a 2 = -2 sen --- sen - sen

----2 2 2

e

¢ 2-^1 ¢2 4>j

b - 2 sen --- sen - cos

----2 2 2 P a r a e s t e caso, o c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) é o l u g a r geo^ m é t r i c o dos p o n t o s do p l a n o m ov e l c uj a s t r a j e t ó r i a s i n t e r ­ c e p t a m uma reta do p l a n o f i x o em três p o s i ç õ e s f i n i t a m e n ­ te s e p a r a d a s . E s t e c í r c u l o , d e n o m i n a d o c í r c u l o de três po^ s i ç õ e s , é d a d o no s i s t e m a geral de r e f e r e n c i a p e l a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 1 6 ) e no s i s t e m a e s p e c i a l pe l a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 1 7 ) . E q u a ç ã o G e n e r a l i z a d a da T r a n s f o r m a ç ã o da Curvatjj ra . A d e t e r m i n a ç ã o dos p o n t o s do p l a n o m ov e i q u e as^ s u m e m 3 PMS s o b r e um a r c o de c í r c u l o G ( X , Y ) p e r m i t e q u e s e j a m e s t a b e l e c i d a s as r e s t r i ç õ e s f í s i c a s c i r c u l a r e s q ue f o r n e c e m 0 m o v i m e n t o e s p e c i f i c a d o por 3 PMS.

A r e s t r i ç ã o c i r c u l a r e dada para os casos de PMS na f o r m a

d k

g (X,Y) = — r {Q ( X 2 + Y 2 } + 2Q 1X + 2 Q 2Y + Q 3 ) = 0

Na p o s i ç ã o i n i c i a l , £ = j = k = 0, e a e q u a ç a o ( 2 . 2 . 2 6 ) , toma a f o r m a 9o< W Q

A K

0 0 + Y n) + 20 1 0 Q + 2Q Y. + Q2 0 3

= o

( 2. 2 . 2 7 ) S u b t r a i n d o a e q u a ç a o ( 2 . 2 . 2 7 ) da e q u a ç a o (2.2.26), o b t é m - s e uma e x p r e s s ã o l i v re do c o e f i c i e n t e Q 3: G £ (X,Y) = g £ - g 0 = {Q 0 ( X ^ Y ^ X S - Y J ) + 2Q l ( X - X 0 ) + 2 Q 2 (Y - Y 0 ) } com i = 1 , 2 , ... ( 2 . 2 . 2 8 ) U s a n d o a t r a n s f o r m a ç ã o f u n d a m e n t a l (2. 2. 9) e cori s i d e r a n d o as c o n d i ç õ e s e s p e c i a i s <j>Q = a Q = b Q = O, a equji ção ( 2 . 2 . 2 8 ) a s s u m e a f o r m a ra2+ b z + x ( a cos <j) + b sen ¢) + + y ( - a sencf) + Z?coS(J)) + Q, X ( cos <f) - 1 ) - y sen (|) - a

+ Q

X sen (J) + y ( cos <f> - 1 ) +b c o m l = 1 , 2 , ( 2.2 .29)

I n t r o d u z i n d o os r e s t a n t e s c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a , <jk a 2 + b 2

A0£

_0,6

= ~ T {--- }

_{d<j> 2 4)=<J).}

u

d^

A = — - {a cos <J> + b sen cf>} ( 2 . 2 . 3 0 )

d(j)k

=

dk

A . = — ¡- {-a sen <|> + £> cos ¢)

d4)k

e c o n s i d e r a n d o os c o e f i c i e n t e s d a d o s em (2 .2 .1 0 ), a e q u a ­ ção ( 2 . 2 . 2 9 ) p o de s e r r e e s c r i t a c om o G £ = V A 0 ¿ + A u x + + M A 3 £ X ■ \ ¿ y + A 5 £ } + + Q 2 ( A n x + A 3¿y +. A 6 A ) = 0 c o m £ = 1 , 2 , ...

que e uma e x p r e s s ã o l i n e a r em t e r m o s das c o o r d e n a d a s x, y do p o n t o g e n é r i c o A. Uma e x p r e s s ã o m a i s c o n d e n s a d a pode s e r o b t i d a fa zen do R £ = A o £ + A i£ X + A 2 iy S Z = A3£ X " A4£y + A5£ T £ = A 4 £ X + A 3Zy + A 6 £

e, e nt a o , G J. = Q 0 R 4 + «, S . + Q 2 T i = 0 com £ = 1 , 2 , . . . ( 2 . 2 . 3 1 ) C o n s i d e r a n d o as p o s i ç õ e s £ = 1 , 2 , a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 3 1 ) r e s u l t a no s i s t e m a

Q0 R1 + Q1 s . + q 2 t : = 0

Qo R 2 + Q, s 2 + Q 2 t 2 = 0 q ue f o r n e c e as c o o r d e n a d a s _{M o a} , Y _{o a} do c e n t r o de c u r v a t u _— ra 0 a :

X

= - 1± = Rl J > ~ * 2 Tl

°a % S T - S T 1 2 2 1 ( 2 . 2 . 3 2 ) Na F i g u r a 2. 2 . 1 , o p o n t o P 01 c o r r e s p o n d e ao p o l o ou c e n t r o i n s t a n t â n e o de r o t a ç ã o p a r a as p o s i ç õ e s I = 0 , 1 .

0 p o n t o A ( r , 8 ) e um p o n t o qualquer, do p l a n o m óvel e 0a (r*,e*)

é o c e n t r o do c í r c u l o s o b r e o qual o p o n t o A a s s u m e 3 PMS . C o n s i d e r a n d o a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 3 2 ) , ,/a { ( R , T 2 - RzT 1 ) *+ ( R 2S j- R , S 2 ) 2} 1/2 -r* = ( X . + Y 2 ) --:—--- :--- ---Oa o a ' c t ç t o z i ! - ¿ i ! 2 C o m o A 01 = Ajj = A 21 = 0 , e n t ã o R 1 = 0 , De mo

Figura 2 .2 .1 - T r a n s f o r m a ç ã o da curvatura para 3 P M S

Nos casos P P P e P P - P , 0 i * O

do que r * Mas S T _{2 1} - S T_{1 2 J J ' ' " 3 2 "i t l} 2 2 2 2 2 2 s i + T i - (x + y ) ( A 3i + a u ) e ^2 ~ ^02 + A 1 2X + ^ 2 2 ^ E n t ã o (fl02 + A j 2 x + A 22y ) ( x 2 + y 2 ) l/2 ( A 3 * + A , J ) I/2 ( X 2 + y 2 - y) ( A 3 2 A^ x - A 31A It2) ou, em c o o r d e n a d a s p o l a r e s , ■_ ( A o 2 + A 12 r cos 0 + A 2 2 r sen 6 ) ( A 3 i + A ^ j ) 1^ 2 r * = ---(sen 0 - r) ( A 32 A 1+1 - A 31.AI(2) No c a s o PPP, t e m - s e a e q u a ç ã o de E u l e r - S a v a r y r s e n e r* = ---sen 0 - r No c as o PP-P, r s e n (6 + <j>j) + s e n z (4>1/ 2 ) r* = :--- ---sen 0 - r . r 2 (t* + s' 1

/

2 S T - S T o 2 I j ■>) 1 2 v) I A . .A

No c a so P - P - P

» *

r sen (0 + <f>2 - <f> 1 / 2 ) + sen sen(<J>,/2 ) sen 0 - r ( 2 . 2 . 3 3 ) N o t a n d o q u e no c a s o PPP <j>. = <¡>Q = 0 para £ 0, 1, 2 e que no c a s o P P - P = <pQ = 0 para £ = 0, 1 , a e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 3 3 ) p o d e s er c o n s i d e r a d a v á l i d a para t o d os os c a s o s de 3 PMS , e j u n t a m e n t e com

♦i

c o m p o e a s o l u ç ã o do p r o b l e m a da t r a n s f o r m a ç a o da c u r v a t u r a pa ra 3 PMS no s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n c i a . 2,3 - Q U A T R O PMS As e s p e c i f i c a ç õ e s de 4 PMS p o d e m se r f e i t a s com as s e g u i n t e s c o m b i n a ç õ e s p r i n c i p a i s : P P P P , P P P - P , P P - P P , P P - P - P e P - P - P - P , o n d e P-P r e p r e s e n t a duas p o s i ç õ e s firvi_ t a m e n t e s e p a r a d a s , e, PP, duas p o s i ç õ e s i n f i n i t e s i m a l m e h t e s e p a r a d a s . 0 p r o b l e m a da t r a n s f o r m a ç ã o da c u r v a t u r a para 3 PMS é s a t i s f e i t o po r t o d o s os p o n t o s do p l a n o m ó v e l , p o i s c a d a p o n t o a s s u m e três p o s i ç õ e s I = 0 , 1 , 2 , que d e f i n e m um c í r c u l o s o b r e 0 p l a n o fixo. A s s i m , 0 p r o b l e m a de 3 PMS p o s s u i °°2 s o l u ç õ e s . Se são e s p e c i f i c a d a s 4P MS ,

1

= 0, 1, 2, 3, 0 p r o b l e m a da t r a n s f o r m a ç ã o da c u r v a t u r a p a ssa a per

m i t i r » s o l u ç õ e s , pois a c o n d i ç ã o a d i c i o n a l r e p r e s e n t a d a p e l a q u a r t a p o s i ç ã o r e s t r i n g e as so-Tuções aos p o n t o s de u- ma c urva: a c ú b i c a dos p o n t o s de c T r c u l o . 0 P o n t o e a Reta de Bali G e n e r a l i z a d o s 0 p o n t o de Bali é o p o n t o do p l a n o mó v e l q u e as s u m e 4 PMS s o b r e uma reta L X + L Y + L

₀

₁

₂

= 0 (2.3.1 )

_'

_'

do p l a n o fixo: a reta de Ball. As p o s i ç õ e s (X^, Y ¿ ), £ = 0, 1, 2, 3 do p o n t o de Bali ( x ^ , ) d e v e m s a t i s f a z e r a e_ q u a ç ã o ( 2 . 3 . 1 ) . A s s i m , L 0 X ¿ + + L 2 = 0 ( 2 . 3 . 2 ) com £ = 0 , 1 , 2 , 3 Para r e m o v e r o c o e f i c i e n t e L 2 de f u t u r a s conside^ r a ç õ e s , cada e q u a ç ã o do s i s t e m a ( 2 . 3 . 2 ) p o d e s e r s u b t r a í d a da e q u a ç ã o c o r r e s p o n d e n t e a £ = 0 , o b t e n d o - s e

= Lo < \ - Xo> + M * * -

( 2 - 3 - 3>

coni £ = 1 , 2 , 3 ou A £ = . L o ^ D X £ ^ + M D Y £ ) = 0 ( 2 . 3 . 4 ) com £ = 1 , 2 , 3

0 t r a t a m e n t o de PMS e x i g e q ue seja o b t i d a uma e_x p r e s s ã o para a f u n ç ã o l i n e a r g e n e r a 1 i z a d a ,.o q u e po de s e r

r e a l i z a d o c o n s i d e r a n d o - s e DY^ os d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s que s o f r e um p o n t o do p l a n o movei q u a n d o e s t e as s um e PMS em r e l a ç ã o ã p o s i ç ã o i n i c i a l £ = 0 . Os d e s l o c a ­ m e n t o s f i n i t o s são d a d o s pela e q u a ç ã o ( 2 .2 .2 ) e os d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s , f i n i t o s (k = 0 ) ou i n f i n i t e s i m a i s (k > 0 ), são o b t i d o s a t r a v é s da t r a n s f o r m a ç ã o f u n d a m e n t a l ( 2 . 2 . 9 ) , na f o r m a D X ^ { Í x( cos <j) - 1 ) - y sen <j) + a

} d<p

.k X sent}) + y ( cos 4> - 1 ) + b

4)-4)

} d 4) J. ou, em t e r m o s dos c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u ­ ra ( 2 .2 .1 0 ) , D X £ ■ < A = £ * - ' W + A ^ d *

D\ - <A, £ X + A. ^ +

^

( 2 . 3 . 5 ) S u b s t i t u i n d o as e x p r e s s õ e s ( 2 . 3 .5 ) na e q u a ç a o ( 2 . 3 . 2 ) , o b t é m - s e a f u n ç ã o l i n e a r g e n e r a l i z a d a dada por

= L-,(A „ X - A „y + A „ ) + L ( A n x + A „y + A . ) = 0

£ 0 V 3 £ 5 l ! l ' 3 £ s £ '

com £ = 1 , 2 , 3

Lj 3 A 3 3x - A 4 3y + A 5 3 L q DY 3 A 4 3 X + A 3 3-V + A 63

Para ¿ = 1 , 2 , a e q u a ç ã o ( 2 . 3. 3 ) é s a t i s f e i t a p o r t o d o s os p o n t o s do c í r c u l o ( 2 . 2 . 1 6 ) que e 0 l u g a r geo> m é t r i c o dos p o n t o s do p l a n o móv e l que p o s s u e m 3 PMS s o b r e uma r et a do p l a n o fixo. C o n s e q u e n t e m e n t e , 0 p o n t o de Bali e s t ã s o b r e e s s e c í r c u l o ( F i g u r a 2 . 3 . 1 ) .

E s c o l h e n d o B ' ( r ' , 0^') c om o um p o n t o s o b r e a re ta de Bali, mas de tal modo' q u e P 01B ‘ lhe s e j a n o r m a l ,

L

i tan 0 £ 1 = tan ( 0^ + 3 ) =

---0 En tã o ,

tan 0 , + tan 6 _b A, x, - A, „y, + A c ,_{33 b *4 3J b 53} 1 - .tan Qb tan 3 A ^ x ^ + A 33y & + A 63

Como

X, _b = r , _b cos 0, = sen 0, cos 0,_{b b b}

y, = r, sen 0 , = s e n 2 0 , b b b b ( 2 . 3 .6 ) e n t a o , a p a r t i r da e q u a ç a o ( 2 . 3 . 6 ) , o b t e m - s e a e x p r e s s ã o geral p a ra a d e t e r m i n a ç ã o do p o n t o de Bali: tan 0 , b A 5 3 + A 6 3 t a n 3 A 3 3 + A 6 3 + A , 3 t a n 2

X + y tan (0^ + 3 ) - {cot + t a n ( e & + 6 ) } s e n 2 0& = 0 E x p r e s s ã o G e n e r a l i z a d a da C u r v a dos P o n t o s de C í r c u l o 0 l u g a r g e o m é t r i c o dos p o n t o s do p l a n o móvel q ue a s s u m e m 4 PMS s o b r e um c í r c u l o G( X ,Y ) = 0 do p l a n o f i x o é c h a m a d o c u r v a dos p o n t o s de c í r c u l o . C o n s i d e r a n d o a f o r m a geral do c í r c u l o no p l a n o f i x o d ad a pela e q u a ç ã o ( 2 . 2 . 2 5 ) para l = 0, 1, 2, 3, a re m o ç ã o da c o n s t a n t e Q 3 p od e s e r o b t i d a c o m o s i s t e m a (2.2.28) p a r a £ = 1 , 2 , 3, c o n s t i t u í d o de três e q u a ç õ e s ho mo g ên e as a tris i n c ó g n i t a s : Q 0 , Qj e Q 2 . 0 d e t e r m i n a n t e p r i n c i p a l d e s s e s i s t e m a deve s e r n u l o p a r a q u e s e j a m a d m i t i d a s soljJ çõ es d i f e r e n t e s da t r i v i a l . U s a n d o a t r a n s f o r m a ç ã o fundjj m e n t a l ( 2 . 2 . 9 ) , os c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a ( 2 . 2 . 1 0 ) , ( 2 . 2 . 3 0 ) e as c o n d i ç õ e s e s p e c i a i s .( c¡) = a Q = bQ = = a i = b i = 0 ), t e m - s e A i i X + A 2 iy + A 0 i ^ j X - A ^ j y + A s j Aiti^ + A 3 1y + A 61 A j 2 X + A 2 2 y + ^ 0 2 ^ 3 2 ^ ” ^ h 2 y ^ 5 2 A i t 2 X + A 3 2 y + A 6 2 :::0 A 13X + A 2 3y + A 03 A 3 3 X - A 43y + A 53 A 4 3 x + A 33y + A 63 (2.3.7). on de A = A = A = A = A = 0 . 0 1 1 1 2 1 5 1 6 1

Os e l e m e n t o s do d e t e r m i n a n t e da e q u a ç ã o ( 2 . 3 .7 ) s ã o f u n ç õ e s l i n e a r e s de x e y . D e s e n v o l v e n d o e s s e d e ­ t e r m i n a n t e , o b t é m - s e a e x p r e s s ã o g e r a l da c ú b i c a dos poji t o s de c í r c u l o : ( x 2 + y 2 ) { Ax + B y } + C x 2 + Dy 2 + Ex y + Fx + Gy = 0 ( 2 . 3 .8 ) onde A = A i 2 ( A 1+i. A3 3 - A3 1 A i* 3 ) + A 1 3 ( A 3 iAtt 2 - A 4 1 A 3 2 ) B = A 2 2 ( ^>4i ^3 3 - A 3 1 Ai, 3) + A 2 3 ( A 3 j A 4 2 - A 4 1 A 3 2 ) C = A 0 2 ( A l t i A 3 3 - A 3 1 A 4 3 ) + A o 3 ( ^ 3 1 A i+ 2 _ A i í i A 3 2 ) + + Ai2(AitiAs3 - A 3 i A 6 3 ) + A 1 3 ( A 31 A g 2 - h n i & s i ) D = Ao2 ( Ai*iA'33 - A 3 1 A 4 3 ) + Ao 3 ( A 3 1 Al, 2 - A 1 4 1 A 3 2 ) + + A 2 2 ( A 3 i A 5 3 - A _{4 1}A _{6 3}) - A 2 3 ( A 3 i A 5 2 + A 1* 1 A 6 2 ) E = A1 2( A3i A53 + A i* i A 63 ) - A i3( A3 1A s2 + A i, i A 62 ) + + A 2 2 ( A i, 1 A 5 3 - A 3 i A 6 3 ) - A2 3(Ait i A5 2 “ A 3 1 A 6 2 ) F = A 0 2 (Ait i A 5 3 - A 3 i A 6 3 ) + A 0 3 ( A 3 \ 2 ~ A 4 1 A 5 2 ) G = A 02 ( A 3 i A 5 3 + A i) 1 A g 3 ) - A0 3( A3 1A5 2 + h h l &6 2 ) P a r a 0 c a s o de 4 P I S , e c o n s i d e r a n d o a s c o n d i ­ ç õ e s e s p e c i a i s (_<J>0 = a 0 = ¿ 0 = « í = £ x = «2 - 0 , ¿ 2 - 1 ) * a e q u a ç ã o ( 2 . 3 . 8 ) toma a f o r ma da c ú b i c a de c u r v a t u r a e s t a

c i o n ã r i a : ( x 2 + y 2 ) { ( a 3 + 3) X + b 3y } - 3 x y = 0 2.4 - C I N C O PMS As c o m b i n a ç õ e s p r i n c i p a i s de 5 PMS ( P P P P P , P P P P - P, P P P - P P , P P P - P - P , P P - P P - P , P P - P - P - P , P - P - P - P - P ) p e r m i t e m a e s p e c i f i c a ç ã o de m o v i m e n t o s c om uma g r a n d e v a r i e d a d e de c a r a c t e r í s t i c a s ( F i g u r a s 2 . 4 . 1 , 2 . 4 . 2 , 2 . 4 . 3 , 2 .4 . 4 , 2.4.5, 2 . 4 . 6 e 2 . 4 . 7 ) , de o n d e r e s u l t a a p o t e n c i a 1 i d a d e da T e o r i a PMS.. 0 p r o b l e m a da t r a n s f o r m a ç ã o da c u r v a t u r a para 4 P MS a p r e s e n t a i n f i n i t a s s o l u ç õ e s , pois os p o n t o s de círcjj lo c o r r e s p o n d e n t e s c o n s t i t u e m uma c ú b i c a f ( x , y ) ■= 0 do p l a n o m o v e i . Se são e s p e c i f i c a d a s 5 PMS s u c e s s i v a s , £ 0, 1, 2, 3, 4, a q u a n t i d a d e de s o l u ç õ e s e f i n i t a . C o n s i ­ d e r a n d o f o 12 3 c o m o a c ú b i c a dos p o n t o s de c í r c u l o corres^ p o n d e n t e as q u a t r o p o s i ç õ e s £ = 0, 1, 2, 3 e f 0 i 24 » o m e s m o em r e l a ç ã o ãs p o s i ç õ e s £ = 0, 1, 2, 4, e n t ã o , as i n t e r s e c ç õ e s d e s s a s c ú b i c a s c o n s t i t u e m - s e nos p o n t o s do p l a n o m õv e l que p o s s u e m 5 PMS s o b r e um c í r c u l o do p l a n o fi_ x o . Ora, a t e o r i a das c u r v a s a l g é b r i c a s a s s e g u r a q ue e x i s t e m n o v e i n t e r s e c ç õ e s e n t r e duas c ú b i c a s . D e s s a s , os p o l o s ou c e n t r o s i n s t a n t â n e o s P 0 i , P 12 e P 0 2 são p o n t o s c o m u n s ãs c ú b i c a s f o i 23 e f o i 24 a p r e s e n t a n d o - s e ,

A

t >

Figura 2 . 4 . 1 . - 5 PFS, P-P-P-P-P, definem dez

pólos de rotação

X

tangentes ò trajetó ria

A

4 >

Figura 2.4.4.

5 P M S , PPP-P-R As 3 PIS

definem a curvatura

K = V r

em

um trecho da trajetória

X

A

- 0

Figura 2 . 4 . 6 . - 5 P M S, P PP P -P . As 4 PIS definem

X

uma c u rv a tu ra K = Vr e sua derivada K1

p o r t a n t o , co m o três i n t e r s e c ç õ e s r ea i s. Dois p o n t o s c o m ­ p l e x o s r e p r e s e n t a m m a i s duas i n t e r s e c ç õ e s . São as q u a t r o i n t e r s e c ç õ e s r e s t a n t e s que s a t i s f a z e m o p r o b l e m a de 5 PMS. Se t odos e s t e s q u a t r o p o n t o s f o r e m r e a i s , e x i s t e m q u a t r o p a r e s de B u r m e s t e r que l e v a m a seis s o l u ç õ e s o r i g i n a i s . Se a p e n a s duas i n t e r s e c ç õ e s f o r e m re a i s , o p r o b l e m a tem solju ção ú n i c a . 0 p r o b l e m a n ão t e r ã s o l u ç ã o se os q u a t r o p o n ­ tos f o r e m c o m p l e x o s . 0 c í r c u l o de B u r m e s t e r é d a d o em r e l a ç ã o ao si_s tema f i x o p e l a e x p r e s s ã o G ( X , Y ) = Q 0 ( X 2 + Y 2 ) + 2 Q rX + 2 Q 2Y + Q 3 = 0 a p a r t i r da q u a l , u t i l i z a n d o o s i s t e m a e s p e c i a l de r e f e r e n cia (<}>0 = a Q = b Q = 0 ) e os c o e f i c i e n t e s g e n e r a l i z a d o s da c u r v a t u r a ( 2 . 2 . 1 0 ) e ( 2 . 2 . 3 0 ) , o b t é m - s e a e q u a ç ã o de res^ t r i ç ã o c i r c u l a r g e n e r a l i z a d a A + A . . Q x + A „ „ Q y + A „(Q x + Q„y) + °£ 0 1 £ 0 2 £ ° 3 £ 1 V 1 + A ₂ - Qiy) + A n _{1 5 £ v 1} + A _{6 £ 2} o , = 0 _{■ v} (2.4 . 1)_' para £ = 1 , 2 , 3 , 4 c u j a s i n c ó g n i t a s sao (x, y ) , as c o o r d e n a d a s do p o n t o de B u r m e s t e r no p l a n o m ó v e l , e Q i Q 2 X --- Y = ---0» 0.

as c o o r d e n a d a s do c e n t r o de B u r m e s t e r no p l a n o fixo. C o m o e x i s t e uma e q u a ç ã o para c a da uma das q u a t r o p o s i ç õ e s £ = 1, 2, 3, 4, o s i s t e m a ( 2 . 4 . 1 ) é d e t e r m i n a d o . D i v i d i n d o - s e a e q u a ç ã o ( 2 . 4 .1 ) por Q , o b t é m - s e a e q u a ç a o não l i n e a r A o £ + A i £ X + A 2 £ y + — --- + — :---+ xQi + y Q 2 x Q 2 - yQi --- + --- :— « o «o Qi Q 2 + A sí — + A st — = 0 ’ ( 2 . 4 . 2 ) ^ o V o £ = 1 , 2 , 3 , 4 que é l i n e a r i z a d a q u a n d o se c o n s i d e r a o n o v o c o n j u n t o de se te i n c ó g n i t a s Z 0 Qo ~ X Qo Z 2 - y Q 0

z 3 = xQi + yQ2

Z4 = x Q2 - y'Qi

z 5 = Qi

z 6 = Q 2

de m o d o q u e a e q u a ç ã o ' ( 2 .4 .2 ) t o r n a - s e

-I A Z = 0 , £ = 1 , 2 , 3 , 4 ( 2 . 4. 3 )

m=0

que se c o n s t i t u i em q u a t r o r e l a ç õ e s l i n e a r e s , uma para c a d a v a l o r de £ .

Z ] Z 5 + Z 2 Zg

( 2 .4 . 4) z0 z , = Z , Z6 - z 2 z 5

j u n t a m e n t e com as e q u a ç õ e s ( 2 .4 . 3) r e p r e s e n t a m seis rela ções em t e r m o s de seis i n c ó g n i t a s Z m / Z 0 , m = 1 , 2 , ..., 6 , de m o d o q ue e x i s t e m q u a t r o s o l u ç õ e s q ue p o d e m ser tod as re ais', todas c o m p l e x a s ou duas r e ai s e duas c o m p l e x a s . E s s a s s o l u ç õ e s tem a f o r m a Z j Z 2 X = (--- ) y = (-) n 7 _{L o} n n _{¿ o n} 7 „ T- 5 Z 6 X " " ‘“ ’n Y " = ‘“zT ’ C o n s i d e r a n d o a s o l u ç ã o p ar a o c a s o de 5 PMS do p l a n o movei e s u p o n d o que Z 0 , Z 1 e Z 2 s e j a m v a l o r e s c o ­ n h e c i d o s , p o d e - s e r e e s c r e v e r a e q u a ç ã o ( 2 .4 .3 ) na f o r m a A 3£ Z 3 + A 4S,Z 4 + A 5 £ Z 5 + A 6 £ Z 6 " A O % 1 0 7 A 1 % 1 1 " A 2 % Z 2 £ = 1 , 2 , 3 , 4 (2.4. 5 ) U s a n d o a r e g r a de C r a m e r , a s o l u ç ã o do s i s t e m a l i n e a r (2.4. 5 ) t om a a f o r m a Z. ₁₊₂ = Z B. + Z C, + Z D. _{0 1 1 1 2 1} ( 2 . 4. 6 )_{V '} i = 1 , 2 , 3 , 4 o nd e

ã s p o s i ç õ e s £ , i . Se A -* 0 , Q e um c í r c u l o de B u r m e s t e r de 152 — g e n e r a em reta, de m o d o qu e um p o n t o de B u r m e s t e r po s s u i 5 PMS s o b r e urna reta» Se A i O , a e q u a ç ã o ( 2 . 4. 5 ) f o r n e c e e x p r e s s õ e s p ar a Z 3 , Z 4 , Z 5 e Z 6 e m t e r m o s de Z 0 , Zj e Z 2 . S u b s t i ­ t u i n d o e s t a s e x p r e s s õ e s na e q u a ç ã o ( 2 . 4 . 4 ) , o b t é m - s e as cc) n i c a s de B o t t e m a no p l a n o m óvel: D „ y 2 + {(Dj + C J x + B ^ - D j }y + C 3x 2 + ( B 3- C x ) x - B x = 0 D 3y 2 + { ( C 3- D „ ) x + B 3 - D 2 }y - C^x* + ( C 2- B , J x + B 2 = 0 (2.4.7) Os q u a t r o p o n t o s de B u r m e s t e r são as i n t e r s e c ­ ções d e s s a s cóni cas . Combi n a n d o - s e as d u a s quadrjã t i c a s ( 2 . 4 .7 ) para a e l i m i n a ç ã o de y , o b t é m s e a q u a r t i

-r- 4 r 3 r- 2 r-E 1x + E 2 x + E 3x + E 4x + E s = 0 o n d e E j = (c - h ) 2 - f ( c - h) (a - f) + h ( a - f ) 2 , E 2 = ( h - c ) [2 ( p - d ) + f ( b - g ) ] + ( a - f ) [ f ( p - d ) + + g ( h - c) + p(a - f) + 2 h ( b - g ) ] , E 3 = (d - P ) 2 + 2 ( h - c ) ( q - e ) + ( b - g ) [ f ( p - d ) + + g ( h - c ) + h ( b - g ) ] + ( a - f ) [ f ( q - e ) + + g ( p - d) + q (a - f ) + 2 p ( b - g)] , = ( b - g ) [ f ( q - e ) + g ( p - d ) + 2 q ( a - f ) + + p ( b - g ) ] + ( q - e ) [ 2 ( p - d ) + g ( a - f ) ] , E s = ( e - q ) 2 + g ( q - e ) ( b - g ) + q ( b - g ) 2 D 3 + C (, ^ ^ - D ^ C 3 a = --- b = ■ c = --D ₄ D _i* D_i* B 3 - c ! -Bi C 3 - D, d = --- e = --- f = ---D f Du . D 3 B 3 + D 2 -C„ C 2 - B„ g = --- h = --- p = ---d 3 d 3

b 2 As r a í z e s r e a i s e c o m p l e x a s da q u ã r t i c a p o d e m ser c a l c u l a d a s p or um p r o c e s s o a n a l í t i c o , o b t e n d o - s e os q u a t r o v a l o r e s de x n . Os c o r r e s p o n d e n t e s v a l o r e s de y n p o d e m , e n t ã o , s er c a l c u l a d o s por ( h - c ) ( x n ) 2 + (p - d ) x n + ( q - e ) n (a - f ) x n + (b - g) e os c e n t r o s de B u r m e s t e r são d e t e r m i n a d o s a t r a v é s das e x ­ p r e s s õ e s - -(83 + C 3 x n + D 3 y n ) Y n = - ( B , + C , x n + 0 4 y n ) n = 1, 2, 3, 4

E X E M P L O S DE A P L I C A Ç Õ E S DA T E O R I A PMS 3 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O A t e o r i a PMS foi u t i l i z a d a no p r o j e t o dos m e c a ­ n i s m o s de r e g u l a g e m do f l u x o , c a r i m b a ç ã o e e n c a p a m e n to pa ra uma m á q u i n a de e m b a l a r c a r r e t e i s de e s p a r a d r a p o . A m a ­ q u i n a foi c o n c e b i d a c om tres m ó d u l o s d i s t i n t o s : a) o p r i m e i r o , d e n o m i n a d o m ó d u l o de a l i m e n t a ç ã o , r e c e b e de m o d o d e s o r d e n a d o os c a r r e t e i s e as c a p a s , q u e são o r d e n a d o s e e n v i a d o s ao s e g u n d o m ó d u l o p ar a s e r e m s u b m e t i d o s ao i n í c i o do p r o c e s s a m e n t o de e m b a l a g e m . b) o s e g u n d o , d e n o m i n a d o m ó d u l o de p r e p a r a ç ã o , r e c e b e os c a r r e t e i s e as c a pa s o r d e n a d a m e n t e , r e g u l a o seu f l ux o , c a r i m b a e e n c a p a os c a r r e t e i s e, por sua vez, e n v i a - o s pa r a o t e r c e i r o m ó d u l o . No s e g u n d o m o d u l o f o r a m p r e v i s t o s m e c a n i s m o s a r t i c u l a d o s p a r a e x e c u t a r as t a r e f a s de r e g u l a g e m do fl u x o , c a r i m b a ç ã o e enca, p a m e n t o . c) o t e r c e i r o , d e n o m i n a d o m ó d u l o de e m p a c o t a m e n t o , recjí be os c a r r e t e i s e n c a p a d o s , o r d e n a - o s e c o l o c a - o s na e m b a l a g e m . Os m e c a n i s m o s a r t i c u l a d o s p r e v i s t o s p ar a e s t e m o d u l o a i n d a não f o r a m d i m e n s i o n a d o s . N e s t e c a p í t u l o p r e t e n d e - s e a p r e s e n t a r o procedj_ C A P Í T U L O I I I

m e n t o u t i l i z a d o na s í n t e s e c i n e m á t i c a dos m e c a n i s m o s de re g u l a g e m do fl u x o , c a r i m b a ç ã o e e n c a p a m e n t o p r e v i s t o s para o s e g u n d o m o d u l o . 3.2 - M E C A N I S M O DE R E G U L A G E M DO F L U X O As o p e r a ç õ e s de c a r i m b a ç ã o e e n c a p a m e n t o e x i g e m , do m o d o c o m o f o r a m c o n c e b i d a s , o f l u x o i n t e r m i t e n t e das ca

pas e dos c a r r e t é i s . E s ta i n t e r m i t ê n c i a p o d e r i a ser obtj_ da a t r a v é s de d i f e r e n t e s d i s p o s i t i v o s , e n t r e e l e s , a roda de G e n e b r a c om seis rasg o s. E m b o r a a m á q u i n a p u d e s s e u t i l i z a r uma roda de Ge n e b r a a c i o n a d a do m o d o c l á s s i c o , t e n t o u - s e o b t e r e s s e a c i o n a m e n t o a t r a v é s de um r o l e t e i n s t a l a d o na b a r r a a c o p l a d o ­ ra de um q u a d r i l á t e r o a r t i c u l a d o . As c a r a c t e r í s t i c a s p r i n c i p a i s d e s e j á v e i s do movi_ m e n t o do r o l e t e são a e n t r a d a s u a v e nos r a s g o s da roda de G e n e b r a , uma t r a j e t ó r i a a p r o x i m a d a m e n t e c i r c u l a r d u r a n t e o a c i o n a m e n t o , um a c i o n a m e n t o se m a c e l e r a ç õ e s e uma trajetjõ ria e x t e r n a c u r t a e s e m i n t e r f e r e n c i a co m a roda. T r a t a - s e de um p r o b l e m a de s í n t e s e de t r a j e t ó r i a e a e s p e c i f i c a ç ã o a d o t a d a para o m o v i m e n t o foi a de 2 PIS, c o m a c o n f i g u r a ­ ç ão PP - PP - P . Na e n t r a d a da roda, a s s i m c om o na s a í d a , 2 PIS d e f i n e m t a n g e n t e s ã t r a j e t ó r i a do r o l e t e . A e s p e c i ­ f i c a ç ã o de 1 PFS no t r e c h o e x t e r n o c o m p l e t a a c o n f i g u r a ç ã o de 5 P M S .

c o p i a d o r , u s o u - s e o s i s t e m a geral de r e f e r e n c i a para e v i ­ tar uma t r a j e t ó r i a co m c ú s p i d e ( F i g u r a 3.2.1 ).

P a r a ' & = 0 , a 0 = 0 , 4 2 4 e b 0 = 0 , 2 4 5 f o r a m to

m a d o s c o m o as c o o r d e n a d a s do p o n t o de a c o p l a m e n t o c o m a ro da. C o m o o p r o b l e m a Ó de s í n t e s e de t r a j e t ó r i a , os angui los <j)j são l i v r e s para o t i m i z a ç ã o . Na e s p e c i f i c a ç ã o qu e g e r o u o m e c a n i s m o d e f i n i t i v o t o m o u - s e cpQ = 30° . A e s p e c i f i c a ç ã o de a x e b x d e p e n d e da d e f i n i ç ã o das t a n g e n t e s ãs t r a j e t ó r i a s de dois p o n t o s do p l a n o m o ve i no i n s t a n t e c o r r e s p o n d e n t e ã p o s i ç ã o i = 0 . A t a n g e n t e a t r a j e t ó r i a do r o l e t e t em i n c l i n a ç ã o de 30° no p o n t o de a co p l a m e n t o , e n t ã o o c e n t r o i n s t a n t â n e o de r o t a ç ã o C 0 l( X C Ql , ! Y C 0 j ) d e v e e s t a r s o b r e a n ormal y = - 1 ,732 X + 0 , 9 8 0

Para X C Q] = -0,6 , Y C 0 j = 2 , 0 1 9 , e a x e b x são d ad o s por

a i = Y C 0l - h o = 1 >774 b x = a 0 - X C Q1 = 1 , 0 2 4 . P ar a a p o s i ç ã o l = 2 * na s a í d a da ro d a de 6 e n ^ bra, f o r a m e s p e c i f i c a d o s , 0-2 = 0 , 4 2 4 b 2 = - 0 , 2 4 5 (j)j = (j)i = 55°

T © . o O ro 1 5 5 ° 1 o O N m sj* m t o O <3* CVJ h - O J Q CNJ O O J rH O O H o ’ 1 01 O «fr O O J N CVJ O O O N rO < r O rH o O o O rH o rH o — o O rH rH C J o rH (Ni ro

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