Existência de soluções positivas para uma classe de problemas elípticos em R^N

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística

Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística

Existência de soluções positivas para uma

classe de problemas elípticos em R

N

Artur Breno Meira Silva

Natal-RN Agosto de 2019

Existência de soluções positivas para uma classe de

problemas elípticos em R

Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Es-tatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtenção do título de Mestre.

Área de Concentração: Modelagem Matemá-tica

Linha de Pesquisa: Matemática Computaci-onal.

Orientador

Prof. Dr. Ailton Rodrigues da Silva

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística – PPGMAE

Natal-RN Outubro de 2019

Silva, Artur Breno Meira.

Existência de soluções positivas para uma classe de problemas elípticos em R^N / Artur Breno Meira Silva. - 2019.

163 f.: il.

Dissertação (Mestrado)-Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciência Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística, Natal, 2019. Orientador: Dr. Ailton Rodrigues da Silva.

Coorientador: Dr. Fagner Lemos de Santana.

1. Equações Elípticas Dissertação. 2. Método Variacional -Dissertação. 3. Solução Positiva - -Dissertação. 4. Método de Penalização - Dissertação. 5. Princípio de Concentração de Compacidade - Dissertação. I. Silva, Ailton Rodrigues da. II. Santana, Fagner Lemos de. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 517.956.22

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Agradeço primeiramente a Deus, por todas as bênçãos e alegrias que me dá todos os dias.

Aos meus pais, por todos os ensinamentos, por sempre me apoiarem e por não medirem esforços para me ajudar.

A minha namorada, Islla Heloyse, pela compreensão e paciência durante esse momento em que estive distante e por sempre me incentivar.

Ao professor Ailton Rodrigues, por sua enorme contribuição para a conclusão deste trabalho e para a minha formação acadêmica. Mesmo não estando em um programa na área de análise, eu tive a oportunidade de seguir nessa linha de pesquisa que é a minha principal área de interesse.

Ao professor Fagner Lemos, por todos os ensinamentos, conselhos e orientações. Aos professores Claudianor, Diego e Geilson, pelas contribuições a este trabalho. Aos professores do PPgMAE por todos os ensinamentos.

Aos professores da graduação, em especial Luis Gonzaga e Thiago Bernardino com os quais aprendi muito e foram professores de fundamental importância para que eu chegasse aqui hoje.

Ao professor Marcelo Bourguignon, por ter respondido o meu e-mail às 23h da noite de um domingo confirmando que eu tinha conseguido a bolsa de estudos. Se não fosse por essa confirmação eu teria optado por assumir um concurso e teria me distanciado do tão sonhado mestrado.

A Sonayde e sua família, por me receberem em sua casa nos primeiros meses do mestrado.

Aos colegas do PPgMAE, pelos momentos compartilhados de estudos e conversas. A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. À CAPES, pelo apoio financeiro.

problemas elípticos em R

Autor: Artur Breno Meira Silva Orientador: Dr. Ailton Rodrigues da Silva Co-Orientador: Dr. Fagner Lemos de Santana

Resumo

Neste trabalho, estudamos a existência de soluções positivas para a seguinte classe de problemas:    −εp_∆ pu + V (x)up−1= H(u), em RN, u > 0 em RN_{, u ∈ W}1,p_(RN_), (Pε)

onde ε > 0 é um parâmetro positivo, 2 ≤ p < N, ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) denota o

operador p-Laplaciano, H : R → R é uma função contínua verificando algumas condições e V : RN

→ R é uma função de classe C2 _{que pertence a duas classes de potenciais. O}

nosso estudo está dividido em duas partes: na primeira, mostramos os mesmos resultados obtidos por Alves (2015) para p ≥ 2, estabelecendo a existência de solução positiva para o problema (P) quando H tem crescimento subcrítico; na segunda, mostramos a existência

de solução positiva considerando H com crescimento crítico. As principais ferramentas utilizadas são os Métodos Variacionais, Teorema do Passo da Montanha, Princípio de Concentração de Compacidade devido a Lions e o Método de Penalização de Del Pino e Felmer.

Palavras-chave: Equações elípticas; Método Variacional; Solução positiva; Método de Pe-nalização; Princípio de Concentração de Compacidade.

problems in R

Author: Artur Breno Meira Silva Advisor: Dr. Ailton Rodrigues da Silva Co-Advisor: Dr. Fagner Lemos de Santana

Abstract

In this work, we study the existence of positive solutions for the following class of problems:    −εp_∆ pu + V (x)up−1= H(u), em RN, u > 0 em RN, u ∈ W1,p_(RN), (Pε) where ε > 0 is a positive parameter, 2 ≤ p < N, ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) denotes the

p-Laplacian operator, H : R → R is a continuous function satisfying some conditions and V : R → R is a function of class C2 _{which belongs to two classes of potentials. Our}

study is divided in two parts: firstly we show the same results obtained by Alves (2015) for p ≥ 2, establishing the existence of positive solution for the (P) problem when H has

subcritical growth; in the second we show the existence of positive solution considering H with critical growth. The main tools used are the Variational Methods, Mountain Pass Theorem, Lions’ Concentration-Compactness Principle and del Pino and Felmer’s Penalization Method.

Keywords: Elliptic equation; Variational method; Positive solution; Penalization method; Concentration-Compactness Principle.

V0, V∞ – Denotam inf

x∈RNV (x) e sup

x∈RN

V (x), respectivamente. Br – Bola aberta de raio r e centro 0.

Br(a)– Bola aberta de raio r e centro a.

Br – Bola fechada de raio r e centro 0.

Ω = Ω/ = {y/; y ∈ Ω}

p∗ = pN

N − p, p < N – Expoente crítico de Sobolev. [u < a] := {x ∈ RN_{; u(x) < a}.} ∆pu :=div(|∇u|p−2∇u) = N X i=1 ∂u ∂xi  |∇u|p−2∂u ∂xi 

– Denota o operados p-Laplaciano. u+_{, u}− _{– Denotam, respectivamente, as partes positiva e negativa de u. Ou seja,}

u+(x) = max{u(x), 0} e u−(x) = max{−u(x), 0}.

Suppf – Denota o suporte da função f.

on(1) – Denota uma sequência de números reais que converge para zero quando n → +∞.

f = O(g)quando x → x0 – Significa que existe uma constante C tal que |f(x)| ≤ C|g(x)|

para todo x suficientemente próximo de x0.

q.t.p. – É uma abreviação para quase todo ponto.

X ,→ Y, X ,→→ Y – Denotam que X está imerso continuamente em Y e X está imerso compactamente em Y , respectivamente.

*– Denota a convergência fraca. ∂Ω– Denota a fronteira do conjunto Ω. Ω– Denota o fecho do conjunto Ω.

1 Introdução p. 12 2 Existência de soluções positivas para uma classe de problemas

en-volvendo o operador p-Laplaciano: Caso subcrítico p. 18 2.1 A estrutura variacional . . . p. 19 2.1.1 Regularidade do funcional associado ao problema (Q) . . . p. 28

2.2 O problema auxiliar . . . p. 39 2.2.1 Geometria do Passo da Montanha . . . p. 44 2.2.2 Condição de Palais-Smale . . . p. 45 2.2.3 Existência de solução para o problema (Q,Ω) . . . p. 56

2.3 Propriedades das soluções de (Q,Ω) . . . p. 65

2.4 Existência de solução para o problema (P) . . . p. 77

2.4.1 Existência de solução para o problema (P) com V pertencente a

Classe 1 . . . p. 77 2.4.2 Existência de solução para o problema (P) com V pertencente a

Classe 2 . . . p. 86 3 Existência de soluções positivas para uma classe de problemas

en-volvendo o operador p-Laplaciano: Caso crítico p. 88 3.1 O Problema auxiliar . . . p. 89 3.1.1 Geometria do Passo da Montanha . . . p. 91 3.1.2 Condição de Palais-Smale . . . p. 104 3.2 Solução do problema auxiliar . . . p. 116

3.3 Existência de solução para o problema (P∗

) . . . p. 120

3.3.1 Existência de solução para o problema (P∗

) com V pertencente a

Classe 1 . . . p. 120 3.3.2 Existência de solução para o problema (P∗

) com V pertencente a

Classe 2 . . . p. 126

Referências p. 128

Apêndice A -- Espaços de Lebesgue e Espaços de Sobolev p. 131 A.1 Espaços de Lebesgue . . . p. 131 A.2 Espaços de Sobolev . . . p. 132 A.2.1 Imersões de Sobolev . . . p. 136 Apêndice B -- Resultados e definições utilizados na dissertação p. 138 B.1 Resultados e definições de Análise Funcional . . . p. 138 B.2 Resultados e definições de Teoria da Medida . . . p. 139 B.3 Resultados Auxiliares . . . p. 140 B.4 Princípio de Concentração de Compacidade de Lions . . . p. 141 Apêndice C -- Estimativas na norma L∞

(RN) para o caso crítico p. 143 C.1 Estimativas na norma L∞

(RN) . . . p. 143 C.2 Demonstração alternativa: solução do problema (P∗

,Ω) pertence ao

es-paço L∞

(RN) . . . p. 149 Apêndice D -- Teorema do Passo da Montanha p. 157 D.1 Teorema do Passo da Montanha . . . p. 159 D.2 Variedade de Nehari . . . p. 160 Apêndice E -- Motivação de solução fraca para o problema (P) p. 162

1

Introdução

Neste trabalho, mostramos a existência de soluções positivas para a seguinte classe de problemas elípticos:    −εp_∆ pu + V (x)up−1= H(u) em RN, u > 0 em RN_{, u ∈ W}1,p_(RN_), (Pε)

onde ε > 0 é um parâmetro positivo, 2 ≤ p < N, ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) denota o

operador p-Laplaciano, H : R → R é uma função contínua, chamada de não linearidade, verificando algumas condições e V : RN _{→ R é uma função de classe C}2, chamada de

potencial, que pertence a duas classes de funções que serão apresentadas ao longo da dissertação.

O problema (Pε) tem uma motivação física, pois surge ao tentar encontrar soluções

da equação de Schrödinger iε∂Ψ

∂t = −ε

2_{∆Ψ + W (z)Ψ − h(Ψ), para todo z ∈ R}N_{, (NLS)}

onde as soluções dessa equação são funções de ondas estacionárias da forma Ψ(x, t) = exp(−iEt/ε)u(x), onde u é uma solução do problema (Pε) para o caso em

que p = 2. Mostrar a existência de solução para o problema (Pε), quando p = 2, equivale

a estudar a existência de soluções de ondas estacionárias para a equação (NLS). Essa equação aparece em problemas envolvendo óptica não linear, física de plasma e física de matéria condensada.

Na literatura encontramos diversos trabalhos que estudam a relação entre a geometria do potencial e a existência de soluções, como também o comportamento da família de soluções, do problema (Pε). Por exemplo, em (FLOER; WEINSTEIN, 1986) foi provado que

a equação não linear de Schrödinger com o potencial V e a não-linearidade cúbica, iε∂Ψ ∂t = − ε2 2m · d2Ψ dx2 + V Ψ − γ|Ψ| 2_Ψ

tem soluções de ondas estacionárias concentradas perto de cada ponto crítico não dege-nerado de V se γ > 0, V é limitado e ε é suficientemente pequeno. O trabalho (FLOER; WEINSTEIN, 1986) foi generalizado por (OH, 1988) - (OH, 1989).

Motivado por esses trabalhos sobre as equações não lineares de Schrödinger, em ( RA-BINOWITZ, 1992) foi mostrado, usando o célebre Teorema do Passo da Montanha, a

exis-tência de solução para a equação não linear de Schrödinger −∆u + V (x)u = f (x, u), x ∈ RN_,

introduzindo a seguinte condição em V : 0 < inf

x∈RNV (x) < lim inf_|x|→+∞V (x).

Em (DEL PINO; FELMER, 1996), usando o método que ficou conhecido por Método de

Penalização de del Pino e Felmer, foi mostrado a existência de soluções positivas que se concentram em torno do mínimo local de V . Os autores perceberam que era suficiente que a condição sobre o potencial V imposta por Rabinowitz fosse satisfeita localmente, mais precisamente, mostraram a existência de solução supondo que existe um conjunto aberto e limitado O compactamente contido no RN de modo que

0 < γ ≤ V0 = inf

x∈OV (x) < minx∈∂OV (x). (V1)

No artigo (DEL PINO; FELMER; MIYAGAKI, 1998), foi considerado o caso onde o potencial V

tem uma geometria de sela e h(t) = |t|p−2_{t com p ∈ (2, 2}∗_{) se N ≥ 3 e p > 2 se N = 1, 2.}

Essencialmente, os autores consideraram que V : RN

→ R é uma função de classe C1

positiva, limitada inferiormente por uma constante positiva e assumiram a existência de dois subespaços vetoriais X, Y ⊂ RN_{, X 6= {0}, com R}N _{= X ⊕ Y tais que}

(A1) Existe um número λ ∈ (0, 1), tal que

c0 = inf

R>0_|x|=R,x∈Xsup V (x) < infy∈Yλ V (y),

onde Yλ é o cone sobre Y dado por

(A2) Existem constantes positivas b, γ tais que

V (¯z) ≤ sup

x∈X

V (x) = c1 implica |V0(¯z + z)| ≤ b exp (γz) ∀ z ∈ RN.

(A3) V satisfaz a condição Palais–Smale no nível c para qualquer c0 < c ≤ c1, ou seja,

qualquer sequência (zn) para a qual V (zn) → c e V0(zn) → 0 possui subsequência

convergente. (A4) c1 < 2

2(p−1) N +2−p(N −2)_c

0.

Em (DEL PINO; FELMER, 1997) foi mostrado que existe ₀ > 0 tal que para todo 0 <  < 0 o problema (Pε) tem uma solução com exatamente um ponto máximo x∈ Ω,

tal que V (x) → c e ∇V (x) → 0quando  → 0. Para tanto, assumiram

(B0) V é de classe C1 e existe α > 0 tal que V (x) ≥ α para todo x ∈ Ω.

Além disso, que existe um conjunto aberto e limitado Λ com fronteira suave tal que Λ ⊂ Ω e subconjuntos fechados B, D ⊂ Λ com B conexo e D ⊂ B. Definindo Γ o conjunto das classe de todas as funções contínuas φ : B → Λ tais que φ(y) = y para todo y ∈ D e o valor min–max c como

c = inf

φ∈Γsup_y∈BV (φ(y)),

assumiram adicionalmente (B1) sup

y∈D

V (y) < c.

(B2) Para toda φ ∈ Γ, φ(B) ∩ {y ∈ Λ; V (y) ≥ c} 6= ∅.

(B3) Para todo y ∈ ∂Λ tal que V (y) = c, tem-se ∂τV (y) 6= 0, onde ∂τ denota a derivada

tangencial.

Motivado pelos artigos citados, (ALVES, 2015) mostrou a existência de solução positiva

para o problema (Pε), para o caso em que p = 2, considerando as condições:

(H0)Existe V0 > 0 tal que V (x) ≥ V0, ∀x ∈ RN.

(H1) V ∈ C2(RN) e V,∂V_∂x

i e

∂2_V

∂xi∂xj são limitadas em R

N _{para todo i, j ∈ {1, . . . , N}.}

(H2) V verifica a condição Palais-Smale, isto é, se (xn) ⊂ RN é tal que (V (xn)) é

limitada e ∇V (xn) → 0, então (xn)possui subsequência convergente em RN.

(H3)Existe um domínio limitado Λ ⊂ RN, tal que ∇V (x) 6= 0 para todo x ∈ ∂Λ.

Ao longo desta dissertação, diremos que o potencial V pertence a Classe 1 quando V verifica (H0) − (H2)e que pertence a Classe 2 quando verifica (H0), (H1) e (H3).

Diversos trabalhos estudaram o problema (Pε) onde o potencial V satisfaz (V1),

consi-derando a não linearidade com crescimento crítico, destacamos (ALVES; SOUTO et al., 2001),

(ALVES; MIYAGAKI et al., 2001) e (DO Ó, 2005). Em (SANTOS; FIGUEIREDO, 2017) os

auto-res mostraram a existência de solução para o problema (Pε), quando p = 2, considerando

essas duas classes de potenciais e a não-linearidade do tipo descontínua. Recentemente, em (FIGUEIREDO; SANTOS, 2019), os autores consideraram uma classe de problemas não

locais de Kirchhoff assumindo que V pertence a classe 1 ou classe 2 com não-linearidade do tipo descontínua envolvendo expoente crítico.

Fazendo uma revisão bibliográfica da literatura não encontramos citações de (ALVES,

2015) envolvendo o operador p-Laplaciano onde V pertence a classe 1 ou classe 2. Motivado por este fato e pelos trabalhos supracitados, nesta dissertação, mostraremos a existência de soluções positivas para a classe de problemas (Pε) considerando V pertencente a classe

1 ou a classe 2.

A principal diferença encontrada entre o estudo do problema (Pε) para o operador

Laplaciano (p = 2) e o operador p-Laplaciano foi para mostrar a regularidade da família de soluções do problema auxiliar. Para o caso do Laplaciano, devido um Teorema tipo Agmon-Douglis-Nirenberg, é possível mostrar por meio de um argumento do tipo boots-trap que a família de soluções são C1,α_(RN_{). Já no caso do p-Laplaciano, usamos um}

argumento envolvendo iteração de Moser para concluir que as solução são C1,α loc(R

N_).

Esta dissertação está dividida em dois capítulos e cinco apêndices organizados da seguinte forma:

No Capítulo 2, usando como texto base o trabalho (ALVES, 2015) mostramos a

exis-tência de solução positiva para o problema (Pε) considerando H(t) = f(t), t ∈ R, com

crescimento subcrítico. Num primeiro momento, apresentamos a estrutura variacional na qual o estudo se desenvolve e mostramos que o funcional associado ao problema é de classe C1. Em seguida, através do Método de Penalização de Del Pino e Felmer, construímos um problema auxiliar e mostramos que o funcional associado a esse novo problema sa-tisfaz as condições do Teorema do Passo da Montanha devido a Ambrosetti-Rabinowitz.

Através do teorema citado, conseguimos garantir a existência de pontos críticos e, conse-quentemente, soluções do problema auxiliar. Para mostrar a limitação na norma L∞ _das

soluções fazemos uso da iteração de Moser. Além disso, usando resultados de ( DIBENE-DETTO, 1982) e (TOLKSDORF, 1984) mostramos que a família de soluções do problema

auxiliar são C1,α loc(R

N_{) ∩ L}∞

(RN). Para a positividade das soluções usamos a Desigualdade de Harnack encontrada em (TRUDINGER, 1967).

O resultado principal deste Capítulo é enunciado como segue:

Teorema 1.1. Suponha que V pertence à Classe 1 ou 2 e f satisfaz (f1) − (f4). Então,

existe 0 > 0 tal que o problema (P) tem uma solução positiva para todo  ∈ (0, 0).

No Capítulo 3, seguindo as ideias do capítulo 2 juntamente com os trabalhos de ( AL-VES; SOUTO et al., 2001) e (DO Ó, 2005), estudamos o problema (P_ε) considerando as

mesmas classes de potenciais, porém com não linearidade envolvendo crescimento crítico de Sobolev, mais precisamente, do tipo H(t) = f(t) + |t|p∗₋₂

t, t ∈ R, onde p∗ = _{N −p}pN é o expoente crítico de Sobolev e f tem crescimento subcrítico. Neste capítulo, também usa-mos o Método de Penalização de Del Pino e Felmer e usa-mostrausa-mos que o problema satisfaz a condição (PS)c para c < _N1S

N

p. Para mostrar que o funcional satisfaz a condição (PS)

c,

devido a falta de compacidade para o expoente crítico, surge dificuldades, se comparado com o caso subcrítico, para mostrar a convergência da integral que envolve a não linea-ridade. Para contornar essa falta de compacidade, usamos o Princípio de Compacidade de Lions e um lema técnico baseado em (MIYAGAKI, 1997) e (ALVES, 1996) mostrando

que para  suficientemente pequeno o nível do passo da montanha está abaixo de 1 NS

N p, onde S é a constante ótima da imersão de D1,p_(RN₎ em Lp∗_(RN₎. Na sequência, usando

uma técnica devida a (BREZIS; KATO, 1979) baseada no método de iteração de Moser e,

adaptando para o nosso problema, um resultado encontrado em (ALVES; SOUTO, 2012),

mostramos a limitação na norma L∞_{da família de soluções do problema auxiliar para}

con-cluir a positividade e que a família de soluções do problema auxiliar é C1,α

loc(RN)∩L ∞

(RN₎.

Vale destacar que foi necessário algumas hipóteses adicionais em relação a f do capítulo 2, primeiramente, para controlar o nível do passo da montanha em relação a constante da imersão D1,p

(RN) ,→ Lp∗_(RN) e também para poder caracterizar o nível do passo da montanha como o ínfimo sobre a variedade de Nehari.

O principal resultado do Capítulo 3 é:

Teorema 1.2. Suponha que V pertence à Classe 1 ou 2 e f satisfaz (f1) − (f5). Então,

No Apêndice A, apresentamos os Espaços de Lebesgue e os Espaços de Sobolev, mos-tramos que o espaço W1,p

(RN)é Banach e enunciamos os principais resultados utilizados como Teorema da Convergência Dominada e as imersões de Sobolev. No Apêndice B, abordamos os resultados de Análise Funcional e Teoria da Medida que foram utilizados no trabalho e o Segundo Lema de Concentração de Compacidade de Lions. No Apêndice C, mostramos os dois resultados de regularidade usados na limitação na norma L∞_.

Mos-tramos ainda, adaptando os argumentos da iteração de Moser encontrada em (GERMANO,

2018), uma demonstração alternativa para mostrar que a solução do problema auxiliar pertence ao espaço L∞

(RN). No Apêndice D definimos derivada de Gateaux, enunciamos os dois Teoremas do Passo da Montanha e definimos a variedade de Nehari a fim de ca-racterizar o nível do passo da montanha. Por fim, no Apêndice E, motivamos a definição de solução fraca para o problema (Pε).

2

Existência de soluções positivas

para uma classe de problemas

envolvendo o operador

p-Laplaciano: Caso subcrítico

Neste capítulo, estamos interessados em mostrar a existência de solução positiva para a seguinte classe de problemas elípticos:

   −p_∆ pu + V (x)up−1= f (u) em RN, u ∈ W1,p_(RN), u > 0 em RN, (P) onde ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) é o operador p-Laplaciano, N ≥ 3, 2 ≤ p < N,  > 0 é um

parâmetro positivo, V : RN _{→ R é uma função de classe C}2, chamada de potencial, que

satisfaz:

(H0)Existe V0 > 0 tal que V (x) ≥ V0, para todo x ∈ RN.

(H1) V,

∂V ∂xi

e ∂2V ∂xi∂xj

são limitadas em RN para quaisquer i, j ∈ {1, . . . , N}.

Além disso, o potencial V verifica uma das seguintes hipóteses:

(H2) Se (xn) ⊂ RN é tal que (V (xn)) é limitada e ∇V (xn) → 0, então (xn) possui

subsequência convergente em RN. Nesse caso, dizemos que V verifica a condição de

Palais-Smale1_;

(H3)Existe um domínio limitado Λ ⊂ RN, tal que ∇V (x) 6= 0 para todo x ∈ ∂Λ.

Em relação a função f : R → R, chamada de não linearidade, assumimos que é contínua e satisfaz as seguintes condições:

(f1) lim sup s→0+

f (s) sp−1 = 0.

(f2) Existe q ∈ (p, p∗), tal que lim sup s→+∞ f (s) sq−1 = 0, onde p ∗ = pN N − p·

(f3) (Condição de Ambrosetti-Rabinowitz) Existe θ > p tal que

0 < θF (s) ≤ sf (s) ∀ s > 0, onde F (s) = Z s

0

f (t)dt.

Uma vez que estamos interessados em provar a existência de soluções positivas, vamos considerar a seguinte hipótese

(f4) f (s) = 0para todo s ≤ 0.

Um exemplo de não linearidade que verifica (f1) − (f4) é a função f : R → R dada

por: f (x) =    a1sα−1+ a2sβ−1, se s > 0, 0, se s ≤ 0, com p < α < β < q e a1, a2 ≥ 0.

O principal resultado deste capítulo é enunciado como segue:

Teorema 2.1. Suponha que V pertence à Classe 1 ou 2 e f satisfaz (f1) − (f4). Então,

existe 0 > 0 tal que o problema (P) tem uma solução positiva para todo  ∈ (0, 0).

2.1

A estrutura variacional

Nesta seção, apresentamos o espaço ambiente no qual o nosso estudo se desenvolve bem como algumas propriedades deste espaço. Além disso, definimos o funcional energia associado ao problema (P) e mostramos que o mesmo é de classe C1.

Em W1,p

(RN), para cada  > 0, definimos a seguinte função k k_: W1,p_(RN_{) → R} u 7→ kuk = Z RN |∇u|p₊ Z RN V (x)|u|p _p1 .

Note que essa função está bem definida. De fato, dado u ∈ W1,p_(RN₎,

Z RN |∇u|p_{dx < +∞ e} Z RN |u|p_{dx < +∞.}

Sendo V limitada, Z RN V (x)|u|pdx ≤ V∞ Z RN |u|p_{dx < +∞,} onde V∞= sup x∈RN

V (x), mostrando que k k_ está bem definida.

Vamos mostrar que k k é uma norma em W1,p(RN). Para este propósito, começamos

observando que k kV, : W 1,p_(RN_{) → R definida por} k k_V,= Z RN V (x)|u|pdx 1_p

é uma norma em W1,p_(RN_{). De fato,}

N1) Se kukV,= 0, então, por (H0),

0 ≤ V 1 p 0 Z RN |u|p_dx 1_p ≤ Z RN V (x)|u|pdx 1_p = 0.

Assim, como V0 > 0, kukp = 0 o que implica u = 0. Por outro lado, se u = 0

kuk_V,= Z RN V (x)0pdx 1_p = 0. N2) Seja u ∈ W1,p (RN)e λ ∈ R, kλuk_V = Z RN V (x)|λu|pdx _p1 = |λ| Z RN V (x)|u|pdx 1_p = |λ| kuk_V,. N3) Sejam u, v ∈ W1,p_(RN_). ku + vk_V, = Z RN V (x)|u + v|pdx _p1 = Z RN  V (x)1p|u + v| p dx 1_p = |V (x) 1 p_{(u + v)|} p ≤ |V (x) 1 pu| p + |V (x) 1 pv| p = Z RN V (x)|u|pdx 1_p + Z RN V (x)|v|pdx 1_p = kuk_V,+ kvk_V,, mostrando que k kV, é uma norma em W

1,p_(RN_).

Na sequência vamos verificar que k k é uma norma em W

N1) Se kuk= 0, então 0 ≤ kuk_V, ≤ Z RN |∇u|p_{dx +} Z RN V (x)|u|pdx 1_p = 0,

isso implica, pelo fato de k kV, ser norma, que u = 0. Se u = 0, então

kuk_ = Z RN |∇0|p₊ Z RN V (x)0p 1_p = 0. N2) Sejam u ∈ W1,p_(RN_{) e λ ∈ R,} kλuk_ = Z RN |∇(λu)|p_{dx +} Z RN V (x)|λu|pdx 1_p .

Pela linearidade do gradiente, kλuk_ = Z RN |λ|p|∇u|pdx + Z RN V (x)|λ|p|u|pdx _p1 = |λ| Z RN |∇u|pdx + Z RN V (x)|u|pdx 1_p = |λ| kuk_. N3) Sejam u, v ∈ W1,p (RN), ku + vk_ = Z RN |∇u + ∇v|p+ Z RN V (x)|u + v|p _p1 = k∇u + ∇vkp_p+ ku + vkp_V, 1 p ,

pela Desigualdade triangular, ku + vk_ ≤   k∇uk_p+ k∇vk_pp+kuk_V,+ kvk_V,p 1_p .

Por outro lado, pela Desigualdade de Minkowski (Ver Teorema B.1),   k∇uk_p+ k∇vk_p p +kuk_V,+ kvk_V, p1_p ≤ k∇ukp_p+ kukp_V, 1 p +  k∇vkp_p+ kvkp_V, 1_p , o que implica, ku + vk_ ≤ Z RN |∇u|p+ Z RN V (x)|u|p 1_p + Z RN |∇v|p+ Z RN V (x)|v|p 1_p

ou seja,

ku + vk_ ≤ kuk_+ kvk_. O espaço vetorial W1,p_(RN_{) munido da norma k k}

 será denotado por W.

Afirmação 2.1. As normas k k e k k1,p são equivalentes.

De fato, considerando m = min{1, V0}, temos

kuk_1,p = Z RN |∇u|p_{dx +} Z RN |u|p_dx _p1 = 1 m1p Z RN m|∇u|pdx + Z RN m|u|pdx 1_p ≤ 1 m1p Z RN |∇u|p_{dx +} Z RN V (x)|u|pdx 1_p = 1 m1p kuk_. (2.1)

Por outro lado, de (H1) existe V∞ = sup x∈RN

V (x). Considerando M = max{1, V∞}, temos

kuk_ = Z RN |∇u|p_{dx +} Z RN V (x)|u|pdx 1_p ≤ Z RN M |∇u|pdx + Z RN M |u|pdx 1_p = M1p Z RN |∇u|pdx + Z RN |u|pdx 1_p = M1pkuk 1,p. Desde que W1,p

(RN)é um espaço de Banach reflexivo com a norma k k_1,p (ver Apên-dice A.2), pela equivalência que acabamos de mostrar, W é um espaço Banach reflexivo.

Conforme foi dito na introdução, faremos uso de métodos variacionais para obtermos pontos críticos para o funcional energia associado ao problema (P). Entendemos por uma

solução fraca do problema (P), como sendo uma função u ∈ W, tal que

p Z RN |∇u|p−2_{∇u∇vdx +} Z RN V (x)|u|p−2uvdx = Z RN f (u)vdx, ∀v ∈ W.

defi-nimos um problema equivalente a (P), qual seja    −∆pu + V (x)up−1 = f (u) em RN, u > 0 em RN_{, u ∈ W}1,p_(RN_). (Q)

Observação 1. O problema (Q) é equivalente ao problema (P) no seguinte sentido: se

u ∈ W é solução de (P), então v(x) = u(x) é solução de (Q); por outro lado, se v ∈ W

é solução de (Q), então u(x) = v(−1x) é solução de (P).

De fato, seja u solução de (P). Considerando v(x) = u(x) e, para todo w ∈ W,

w(x) = ˜w(x), temos Z RN V (x)|v(x)|p−2v(x)w(x)dx = Z RN V (x)|u(x)|p−2u(x) ˜w(x)dx. Considerando a função x 7→ h1(x) = x

, pelo Teorema da Mudança de Variável, Z RN V (x)|u(x)|p−2u(x) ˜w(x)dx = Z RN V (h1(x)|u(h1(x)|p−2u(h1(x)) ˜w(h1(x))−Ndx = Z RN V (x)|u(x)|p−2u(x) ˜w(x)−Ndx. (2.2) Agora, definindo x 7→ h2(x) = x, temos

v(x) = (u ◦ h2)(x) e w(x) = ( ˜w ◦ h2)(x). Assim, Z RN |∇v(x)|p−2_{∇v(x)∇w(x)dx =} Z RN |∇(u ◦ h2)(x)|p−2∇(u ◦ h2)(x)∇( ˜w ◦ h2)(x)dx. (2.3)

Vamos calcular primeiramente |∇(u ◦ h2)(x)|p−2:

|∇(u ◦ h2)(x)|p−2 =   N X i=1  ∂(u ◦ h2) ∂xi (x) 2   p−2 2 =    N X i=1   N X j=1 ∂(u) ∂xj (h2(x)) · ∂h2j ∂xi (x)   2   p−2 2 .

onde h2j é a j-ésima função coordenada de h2. Note que,

∂h2j ∂xi (x) =    0 se i 6= j,  se i = j.

Então, |∇(u ◦ h2)(x)|p−2 =   N X i=1  ∂(u) ∂xi (x) 2   p−2 2 = p−2|∇u(x)|p−2_. (2.4)

Calculando o produto interno ∇(u ◦ h2)(x)∇( ˜w ◦ h2)(x),

∇(u ◦ h2)(x)∇( ˜w ◦ h2)(x) = N X i=1 ∂(u ◦ h2) ∂xi (x) · ∂( ˜w ◦ h2) ∂xi (x) = N X i=1      N X j=1 ∂u ∂xj (h2(x)) · ∂h2j ∂xi (x)   N X j=1 ∂ ˜w ∂xj (h2(x)) ∂h2j ∂xi (x) !    = 2 N X i=1 ∂u ∂xi (x)∂ ˜w ∂xi (x), ou melhor, ∇(u ◦ h2)(x)∇( ˜w ◦ h2)(x) = 2∇u(x)∇ ˜w(x). (2.5) Substituindo (2.4) e (2.5) em (2.3) Z RN |∇v(x)|p−2∇v(x)∇w(x)dx = p Z RN |∇u(x)|p−2∇u(x)∇ ˜w(x)dx. Usando novamente a mudança de variável x 7→ h1(x) =

x , p Z RN |∇u(x)|p−2_{∇u(x)∇ ˜w(x)dx = }p Z RN |∇u(x)|p−2_{∇u(x)∇ ˜w(x)}−N dx. Sendo assim, Z RN |∇v(x)|p−2∇v(x)∇w(x)dx = p Z RN |∇u|p−2∇u(x)∇ ˜w(x)−Ndx. (2.6) Por outro lado,

Z RN f (v(x))w(x)dx = Z RN f (u(x)) ˜w(x)dx

por mudança de variável, Z RN f (u(x)) ˜w(x)dx = Z RN f (u(x)) ˜w(x)−Ndx. Desse modo, Z RN f (v(x))w(x)dx = Z RN f (u(x)) ˜w(x)−Ndx. Afirmação 2.2. ˜w ∈ W.

De fato, note que ˜w ∈ Lp_(RN), pois Z RN | ˜w(x)|pdx = Z RN  w(−1x) p dx,

e, usando a mudança de variável x 7→ h2(x) = x,

Z RN  w(−1x) p dx = N Z RN |w(x)|p_{dx < +∞}

Resta mostrar que |∇ ˜w| ∈ Lp_(RN_{). De fato,}

Z RN |∇ ˜w(x)|pdx = Z RN |∇(w ◦ h1)(x)|pdx = Z RN   N X i=1  ∂(w ◦ h1) ∂xi (x) 2   p 2 dx = Z RN    N X i=1   N X j=1 ∂(w) ∂xj (h1(x)) · ∂h1j ∂xi (x)   2   p 2 dx = Z RN   N X i=1  −1∂(w) ∂xi (−1x) 2   p 2 dx = −p Z RN |∇w(−1x)|pdx

Considerando novamente a mudança de variável x 7→ h2(x) = x,

−p Z RN |∇w(−1x)|pdx = −p Z RN |∇w(x)|p_N_dx = N −p Z RN |∇w(x)|p_dx.

Dessa forma ˜w ∈ W. Assim, para todo w ∈ W,

Z RN V (x)|u(x)|p−2u(x) ˜w(x)dx + Z RN |∇v(x)|p−2_{∇v(x)∇w(x)dx =} = Z RN V (x)|u(x)|p−2u(x) + ˜w(x)−Ndx + p Z RN |∇u(x)|p−2_{∇u(x)∇ ˜w(x)dx} = Z RN f (u(x)) ˜w(x)−Ndx = Z RN f (v(x))w(x)dx,

mostrando que v é solução de (Q). Analogamente, se v ∈ Wé solução de (Q), mostra-se

que u(x) = v(−1_{x)é solução de (P} ).

dis-sertação. O primeiro deles, chamado crescimento de f, será útil para demonstrar a re-gularidade do funcional. Além disso, também serão usados para mostrar que o funcional associado ao problema (Q) satisfaz as hipóteses do Teorema do passo da montanha.2

Lema 2.1. Dado ξ > 0 existe cξ > 0 tal que

|f (s)| ≤ ξ|s|p−1_{+ c}

ξ|s|q−1, ∀ s ∈ R. (2.7)

Demonstração. De (f1) temos que dado ξ > 0, existe δ > 0 tal que

|f (s)|

|s|p−1 < ξ, ∀ s ∈ (0, δ),

o que implica |f(s)| < ξ|s|p−1_{, para todo s ∈ (0, δ). De (f}

2), existe k > δ tal que

|f (s)|

|s|q−1 < ξ, ∀ s > k.

Logo,

|f (s)| < ξ|s|q−1, ∀ s > k. (2.8) Sendo s 7→ f (s)

sq−1 contínua, existe M > 0 tal que

|f (s)| |s|q−1 ≤ M, ∀ s ∈ [δ, k], ou seja, |f (s)| ≤ M |s|q−1, ∀ s ∈ [δ, k]. (2.9) Por (2.8) e (2.9), |f (s)| ≤ cξ|s|q−1, ∀ s ≥ δ,

onde cξ = ξ + M. Recordando que f(s) = 0 para todo s ≤ 0 podemos concluir que

|f (s)| ≤ ξ|s|p−1_{+ c}

ξ|s|q−1, ∀ s ∈ R.

A observação a seguir segue diretamente do resultado anterior. Observação 2. Dado ξ > 0 existe cξ > 0 tal que

|F (s)| ≤ ξ p|s| p₊cξ q|s| q_, ∀ s ∈ R. (2.10) 2_{Ver Apêndice D}

De fato, basta observar que para todo s > 0, |F (s)| = Z s 0 f (t) dt ≤ Z s 0 (ξ|t|p−1+ cξ|t|q−1) dt = ξ p|s| p + cξ q |s| q e para s ≤ 0, |F (s)| = Z s 0 f (t) dt = 0 ≤ ξ p|s| p₊cξ q |s| q_.

Lema 2.2. Existem d1, d2 > 0 tais que, para todo s > 0,

F (s) ≥ d1sθ− d2.

Demonstração. Da condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f3),

0 < θ t ≤

f (t)

F (t), ∀ t > 0. Assim, para qualquer s > 1,

0 < Z s 1 θ t dt ≤ Z s 1 f (t) F (t) dt, o que implica 0 < θ ln s ≤ ln F (s) − ln F (1), ∀ s > 1 então, por propriedades do logaritmo,

0 < ln sθ ≤ lnF (s)

F (1), ∀ s > 1. Como o logaritmo é crescente,

sθ ≤ F (s)

F (1), ∀ s > 1, consequentemente

F (s) ≥ d1sθ, ∀ s > 1, (2.11)

onde d1 = F (1). Pela continuidade da F , existe M > 0 tal que F (s) ≥ −M para todo

s ∈ [0, 1]. Daí, considerando d2 = d1+ M, temos

F (s) ≥ −M = d1− d2 ≥ d1sθ− d2, ∀ s ∈ [0, 1]. (2.12)

2.1.1

Regularidade do funcional associado ao problema (Q

)

Nesta subseção, nosso objetivo é mostrar que o funcional I : W → R, associado ao

problema (Q), definido por

I(u) = 1 p Z RN |∇u|p_{dx +}1 p Z RN V (x)|u|pdx − Z RN F (u)dx (2.13) é de classe C1_(W , R) com I_0(u)v = Z RN

(|∇u|p−2∇u∇v + V (x)|u|p−2_{uv)dx −}

Z

RN

f (u)vdx, ∀u, v ∈ W.

Observe que uma solução fraca do problema (Q) é exatamente um ponto crítico do

funcional I.

Primeiramente, vejamos que I está bem definido. Dado u ∈ W, temos

Z RN |∇u|p_{dx < +∞} Z RN V (x)|u|pdx ≤ V∞ Z RN |u|p_{dx < +∞.}

pois u, |∇u| ∈ Lp_(RN_{)e V é limitada. Por último, usando (2.10), dado δ > 0, existe c} δ> 0 tal que Z RN F (u)dx ≤ δ p Z RN |u|pdx + cδ q Z RN |u|qdx. (2.14)

Desde que q ∈ (p, p∗_{), temos que W}

 ,→ Lq(RN). Logo, u ∈ Lp(RN) ∩ Lq(RN) e, assim, Z RN F (u)dx ≤ δ p Z RN |u|p_{dx +}cδ q Z RN |u|q_{dx < +∞,}

mostrando que o funcional está bem definido.

Na sequência, vamos mostrar que I é de classe C1(W, R). Para tanto, considere os

funcionais I1, I2, I3 : W → R definidos por

I1(u) = Z RN |∇u|pdx, I2(u) = Z RN V (x)|u|pdx e I3(u) = Z RN F (u)dx.

Dessa forma, podemos escrever I(u) = I1(u)+I2(u)−I3(u)para todo u ∈ We, portanto,

vamos provar que Ii ∈ C1(W, R) para i ∈ {1, 2, 3}. Pela Proposição D.1, para mostrar

que Ii ∈ C1(W, R), é suficiente mostrar os seguintes itens:

(i) Para cada u ∈ W existe a derivada de Gateaux

∂Ii

∂(·)(u) : W → R. (ii) Para cada u ∈ W,

∂Ii

∂(·)(u) ∈ (W)

0

(iii) Se un → uem W, temos ∂Ii ∂(·)(un) → ∂Ii ∂(·)(u)em W 0 . Afirmação 2.3. I1 ∈ C1(W, R).

(i) Para cada u ∈ W existe a derivada de Gateaux

∂I1 ∂(·)(u) : W → R. Dados u, v ∈ W, temos ∂I1 ∂v(u) = limt→0 I1(u + tv) − I1(u) t = limt→0 Z RN |∇u − t∇v|p_{− |∇u|}p t dx.

Considere h1 : [0, 1] → R definida por h1(s) = |∇u + st∇v|p. Note que h1 é diferenciável

em (0, 1) e contínua em [0, 1] com

h0₁(s) = p|∇u + st∇v|p−2(∇u + st∇v)t∇v, h1(1) = |∇u + t∇v|p e h1(0) = |∇u|p.

Pelo Teorema do Valor Médio, existe α ∈ (0, 1) tal que h1(1) − h1(0) = h01(α),

isto é,

|∇u + t∇v|p− |∇u|p = p|∇u + st∇v|p−2(∇u + αt∇v)t∇v, ou ainda,

|∇u + t∇v|p_{− |∇u|}p

t = p|∇u + st∇v|

p−2_{(∇u + αt∇v)∇v.}

Aplicando o limite quando t → 0 na igualdade anterior, lim

t→0

|∇u + t∇v|p_{− |∇u|}p

t = limt→0p|∇u + αt∇v|

p−2_{(∇u + αt∇v)∇v = p|∇u|}p−2_∇u∇v.

Além disso, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,     |∇u + t∇v|p_{− |∇u|}p t     = p|∇u + αt∇v|p−2(∇u + αt∇v)∇v ≤ p|∇u + αt∇v|p−2_{|∇u + αt∇v||∇v|} = p|∇u + αt∇v|p−1|∇v|. Considerando |αt| < 1,     |∇u + t∇v|p_{− |∇u|}p t     ≤ p|∇u + ∇v|p−1_|∇v| ≤ p |∇u| + |∇v|
p−1 |∇v|.

Sendo u, v ∈ W, temos

(|∇u| + |∇v|)p−1∈ Lp−1p _(RN₎ e |∇v| ∈ Lp_(RN_), Aplicando a Desigualdade de Hölder (ver Teorema A.2), para p e p

p−1 sendo expoentes

conjugados,

(|∇u| + |∇v|)p−1|∇v| ∈ L1

(RN)

Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, concluímos ∂I1 ∂v(u) = limt→0 Z RN |∇u + t∇v|p _{− |∇u|}p t dx = p Z RN |∇u|p−2∇u∇vdx.

(ii) Para cada u ∈ W,

∂I1

∂(·)(u) ∈ (W)

0_.

De fato, sejam v, w ∈ W e λ ∈ R. Então,

∂I1

∂(v + λw)(u) = p Z

RN

|∇u|p−2_{∇u∇(v + λw)dx.}

Pela linearidade do gradiente, do produto interno e da integral, p Z RN |∇u|p−2_{∇u∇(v + λw)dx = p} Z RN |∇u|p−2_{∇u(∇v + λ∇w)dx} = p Z RN |∇u|p−2_{∇u∇vdx + λp} Z RN |∇u|p−2_∇u∇wdx = ∂I1 ∂v(u) + λ ∂I1 ∂w(u)

donde segue ∂I1

∂(v + λw)(u) = ∂I1

∂v(u) + λ ∂I1

∂w(u), mostrando que ∂I1

∂(·)(u) é linear. Resta mostrar que ∂I1

∂(·)(u) é limitada. Para qualquer v ∈ H

1_(RN₎,     ∂I1 ∂v(u)     =     Z RN |∇u|p−2_∇u∇vdx     ≤ Z RN |∇u|p−2_{|∇u∇v|dx.}

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, Z RN |∇u|p−2_{|∇u∇v|dx ≤} Z RN |∇u|p−1_|∇v|dx.

Novamente, aplicando a Desigualdade de Hölder para os expoentes p p−1 e p, Z RN |∇u|p−1|∇v|dx ≤ k∇uk p p−1 k∇vkp ≤ k∇uk p p−1kvk. Portanto,     ∂I1 ∂v(u)     ≤ C1kvk_, mostrando que ∂I1 ∂(·)(u) é limitada.

(iii) I1 tem derivada de Gateaux contínua.

De fato, seja (un) uma sequência em W tal que un → uem W. Dado v ∈ W, temos

p∇un|p−2∇un∇v − p|∇u|p−2∇u∇v

  =     Z RN p|∇un|p−2∇un∇vdx − Z RN p|∇u|p−2∇u∇vdx     = p     Z RN

(|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u)∇vdx

    ≤ p Z RN 

(|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u)∇v

 dx. Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz,

p Z

RN

(|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u)∇v

dx ≤ p Z

RN

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

|∇v|dx.

Observe que |∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

 ∈ L p p−1_(RN₎, pois Z RN 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1_{dx ≤ 2}p−1p Z RN   |∇un|p−1   p p−1 _+|∇u|p−1  p p−1  dx = 2p−1p Z RN |∇un|pdx + 2 p p−1 Z RN |∇v|p_dx.

Pela Desigualdade de Hölder para os expoentes p e p p−1,

p Z

RN

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

 |∇v|dx ≤ p 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 k∇vk_p. Assim sendo,     ∂I1 ∂v(un) − ∂I1 ∂v(u)     ≤ p 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 k∇vk_p. (2.15) Vejamos que 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 → 0.

Como un → uem W, segue que

|∇un− ∇u| → 0 em Lp(RN).

Logo, pelo Teorema A.3, a menos de subsequência, ∇un→ ∇u q.t.p. em RN

e existe h ∈ Lp

(RN)tal que

Desse modo,

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 _{→ 0} q.t.p. em RN e 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 _{≤ 2p−1}p _|∇u n|p + |∇u|p
≤ 2 p p−1 hp+ |∇u|p
, ∀ n ∈ N, com 2p−1p hp+ |∇u|p
∈ L1(RN).Pelo Teorema da Convergência Dominada,

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 p p−1 = Z RN 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1_{dx → 0.} Logo, por (2.15), ∂I1 ∂v(un) − ∂I1 ∂v(u)v _∗ = sup kvk_1,p<1 v∈W     ∂I1 ∂v(un) − ∂I1 ∂v(u)     ≤ sup kvk_1,p<1 v∈W p 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 k∇vk_p ≤ p 

|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u

  p p−1 → 0,

mostrando que ∂I1

∂(·)(un) → ∂I1

∂(·)(u). Segue de (i), (ii) e (iii) que I1 ∈ C

1_(W , R) e I₁0(u)v = ∂I1 ∂v(u) = p Z RN |∇u|p−2∇u∇vdx. Afirmação 2.4. I2 ∈ C1(W, R).

(i) Para cada u ∈ W existe _∂(·)∂I2(u) : W→ R.

Considere h2 : [0, 1] → R definida por h2(s) = V (x)|u + stv|p com t ∈ [0, 1]. Note que

h2 é diferenciável em (0, 1) e contínua em [0, 1] com

h0₂(s) = pV (x)|u + stv|p−2(u + stv)tv, h2(1) = V (x)|u + tv|p e h2(0) = V (x)|u|p.

Pelo Teorema do Valor Médio, existe α ∈ (0, 1) tal que h2(1)−h2(0) = h02(α)o que implica

V (x)|u + tv|p_{− V (x)|u|}p

t = pV (x)|u + αtv|

p−2_{(u + αtv)v.}

Aplicando o limite quando t → 0 na igualdade anterior, lim t→0 V (x)|u + tv|p_{− V (x)|u|}p t = limt→0pV (x)|u + αtv| p−2 (u + αtv)v = pV (x)|u|p−2uv.

Além disso, para |αt| < 1,     V (x)|u + tv|p_{− V (x)|u|}p t     = pV (x)|u + αtv|p−2(u + αtv)v = pV (x)|u + αtv|p−1|v| ≤ p2p−1V∞ |u|p−1|v| + |αt|p−1|v|p
≤ p2p−1_V ∞ |u|p−1|v| + |v|p
.

Aplicando a desigualdade de Hölder para os expoentes p e p

p−1 chegamos que

p2p−1V∞(|u|p−1|v| + |v|p) ∈ L1(RN).

Pela definição da derivada de Gateaux e usando o Teorema da Convergência Dominada, ∂I2 ∂v(u) = limt→0 Z RN V (x)|u + tv|p _{− V (x)|u|}p t dx = p Z RN V (x)|u|p−2uvdx.

(ii) Para cada u ∈ W,

∂I2 ∂(·)(u) ∈ W 0 . De fato, sejam v, w ∈ W e λ ∈ R, ∂I2 ∂(v + λw)(u) = p Z RN V (x)|u|p−2u(v + λw)dx. Pela linearidade da integral,

p Z RN V (x)|u|p−2u(v + λw)dx = p Z RN V (x)|u|p−2uvdx + λp Z RN V (x)|u|p−2uwdx = I₂0(u)v + λI₂0(u)w

donde segue ∂I2

∂(v + λw)(u) = ∂I2 ∂v(u) + λ ∂I2 ∂w(u). Para qualquer v ∈ W,     ∂I2 ∂v(u)v     =     p Z RN V (x)|u|p−1uvdx     ≤ pV∞ Z RN |u|p−1|v|dx Aplicando a desigualdade de Hölder,

|∂I2 ∂v(u)| ≤ pV∞ |u|p−1 p p−1 kvk_p ≤ C kvk_, com C = pV∞ |u|p−1 p p−1. Logo, ∂I2 ∂(·)(u) ∈ W 0 .

Seja (un) uma sequência que converge para u em W. Para todo v ∈ W,     ∂I2 ∂v(un)v − ∂I2 ∂v(u)     =     p Z RN V (x)|un|p−2unvdx − p Z RN V (x)|u|p−2uvdx     =     p Z RN

V (x)(|un|p−2un− |u|p−2u)vdx

    ≤ pV∞ Z RN  |un|p−2un− |u|p−2u  |v|dx.

Observe que |un|p−2un− |u|p−2u ∈ L

p p−1(RN), pois  |un|p−2un− |u|p−2u  ≤ |un|p−1+ |u|p−1∈ L p p−1(RN). Usando a desigualdade de Hölder para os expoentes p e p

p−1, obtemos     ∂I2 ∂v(un) − ∂I2 ∂v(u)     ≤ pV∞ Z RN  |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1_dx p−1_p kvk_p. Pela imersão de W em Lp(RN), |I₂0(un)v − I20(u)v| ≤ pV∞C Z RN  |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1_dx p−1_p kvk_. Assim, ∂I2 ∂v(un) − ∂I2 ∂v(u) _∗ = sup v∈W kvk_<1     ∂I2 ∂v(un) − ∂I2 ∂v(u)     ≤ pV∞C Z RN  |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1_dx p−1_p .

Como (un)converge para u em Lp(RN), pelo Teorema A.3, existe w ∈ Lp(RN)tal que, a

menos de subsequência, un → u q.t.p. em RN e |un| ≤ w q.t.p em RN. O que implica  |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1 _{→ 0} q.t.p em RN e |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1 _{≤ 2}p−1p |u n|p+ |u|p
≤ 2 p p−1 |w|p+ |u|p
∈ L1(RN). Pelo Teorema da Convergência Dominada, podemos concluir que

Z RN  |un|p−2un− |u|p−2u   p p−1_{dx → 0.} Consequentemente ∂I2 ∂(·)(un) converge para ∂I2 ∂(·)(u)em W 0 .

Pela Proposição D.1, segue de (i), (ii) e (iii) que I2 ∈ C1(W, R) e I₂0(u)v = ∂I2 ∂v(u) = p Z RN V (x)|u|p−2uvdx. Afirmação 2.5. I3 ∈ C1(W, R).

(i) Para cada u ∈ W existe

∂I3

∂(·)(u) : W → R.

Sejam u ∈ W e considere h3 : [0, 1] → R definida por h3(s) = |F (u + stv)| com

t ∈ [−1, 1]. Note que h3 é diferenciável em (0, 1) e contínua em [0, 1] com

h0₃(s) = f (u + stv)tv, h3(0) = f (u) e h3(1) = f (u + tv).

Pelo Teorema do Valor Médio, existe α ∈ (0, 1) tal que h(1) − h(0) = h0_{(α), isto é,}

f (u + tv) − f (u) = f (u + αtv)tv

ou ainda,

f (u + tv) − f (u)

t = f (u + αtv)v. Aplicando o limite quando t → 0 na desigualdade anterior,

lim

t→0

f (u + tv) − f (u)

t = limt→0f (u + αtv)v = f (u)v.

Além disso, para |αt| < 1, usando o crescimento de f, obtemos     f (u + tv) − f (u) t     = |f (u + αtv)v| ≤ ξ|u + αtv|p−1_{|v| + c} ξ|u + αtv|q−1|v| ≤ ξ2p−1(|u|p−1|v| + |αt||v|p) + cξ2q−1(|u|q−1|v| + |αt||v|q) ≤ ξ2p−1_(|u|p−1_{|v| + |v|}p_{) + c} ξ2q−1(|u|q−1|v| + |v|q).

Desde que u ∈ W, temos |u|p−1 ∈ L

p

p−1(RN). Usando a desigualdade de Hölder pode-mos concluir que |u|p−1_{|v| ∈ L}1

(RN). Pela imersão de W em Lq(RN), u, v ∈ Lq(RN) e,

consequentemente, |u|q−1 _{∈ L}q−1q _(RN₎. Aplicando a Desigualdade de Hölder, |u|q−1|v| ∈ L1_(RN_{). Então, podemos concluir que o lado direito da última desigualdade está em}

L1_(RN_{). Pelo Teorema da Convergência Dominada,}

∂I3 ∂v(u) = limt→0 Z RN f (u + tv) − f (u) t dx = limt→0 Z RN f (u + αtv)vdx = Z RN f (u)vdx. Portanto, ∂I3 ∂v(u) = Z RN f (u)vdx.

(ii) Para cada u ∈ W, ∂I3 ∂(·)(u) ∈ W 0 . Dados v, w ∈ W e λ ∈ R, ∂I3 ∂(v + λw)(u) = Z RN f (u)(v + λw)dx = Z RN f (u)vdx + λ Z RN f (u)wdx = ∂I3 ∂v(u) + λ ∂I3 ∂w(u). Para qualquer v ∈ W, pelo crescimento de f,

    ∂I3 ∂v(u)     =     Z RN f (u)vdx     ≤ Z RN |f (u)||v|dx ≤ α Z RN |u|p−1_{|v|dx + c} α Z RN |u|q−1_|v|dx.

Usando a Desigualdade de Hölder para os expoentes p e p

p−1, assim como q e q q−1,     ∂I3 ∂v(u)     ≤ α |u|p−1 p p−1 kvk_p+ cα |u|q−1 q q−1 kvk_q. Por definição, |u|p−1

p ≤

|u|p−1

. Além disso, como W está imerso em L

q_(RN_{), existe}

c1 tal que kvkq ≤ c1kvk. Assim, considerando C = α |u| p−1 p p−1 + c1cα |u|q−1 q q−1,     ∂I3 ∂v(u)    

≤ C kvk_,mostrando a limitação de ∂I3 ∂(·)(u). Logo, ∂I3

∂(·)(u) ∈ W

0 

(iii) I3 tem derivada de Gateaux contínua.

Seja (un) uma sequência que converge para u em W. Para todo v ∈ W

    ∂I3 ∂v(un) − ∂I3 ∂v(u)     =     Z RN f (un)vdx − Z RN f (u)vdx     ≤ Z RN |f (un) − f (u)||v|dx. (2.16) Fixado r > 0, Z RN |f (un)−f (u)||v|dx ≤ Z Br |f (un)−f (u)||v|dx+ Z RN\Br |f (un)||v|dx+ Z RN\Br |f (u)||v|dx. (2.17) Substituindo a desigualdade (2.17) em (2.16)     ∂I3 ∂v(un) − ∂I3 ∂v(u)     ≤ Z Br |f (un) − f (u)||v|dx + Z RN\Br |f (un)||v|dx + Z RN\Br |f (u)||v|dx.

Primeiramente vamos analisar a integral em Br. Pela imersão de W em Lp(RN)e Lq(RN),

temos que

Pelo Teorema A.3, a menos de subsequência, (un)converge para u q.t.p. em RN e existem

w1 ∈ Lp(RN) e w2 ∈ Lq(RN)tais que

|un| ≤ w1 q.t.p. em RN e |un| ≤ w2 q.t.p. em RN.

Desse modo, [f(un) − f (u)]v → 0 q.t.p. em Br. Além disso, dado ξ > 0, pelo Lema 2.1,

existe cξ tal que

|f (un) − f (u)||v| ≤ |f (un)||v| + |f (u)||v|

≤ ξ|un|p−1|v| + cξ|un|q−1|v| + ξ|u||v|p−1+ cξ|u|q−1|v|

≤ ξw₁p−1|v| + cξwq−12 |v| + ξ|u| p−1_{|v| + c} ξ|u|q−1|v|. Desde que up−1_{, w}p−1 1 ∈ L p p−1(B r), uq−1, wq−12 ∈ L q q−1(B r) e v ∈ Lp(Br) ∩ Lq(Br), ξw1|v| + cξwp−12 |v| + ξ|u||v| + cξ|u|p−1|v| ∈ L1(Br).

Pelo Teorema da Convergência Dominada, Z

Br

|f (un) − f (u)||v|dx → 0. (2.18)

Temos ainda que Z RN\Br |f (un)||v|dx ≤ ξ Z RN\Br |un|p−1|v|dx + cξ Z RN\Br |un|q−1|v|dx ≤ ξ Z RN\Br w₁p−1|v|dx + cξ Z RN\Br wq−1₂ |v|dx. (2.19) Usando a desigualdade de Hölder,

ξ Z RN\Br w₁p−1|v|dx + cξ Z RN\Br wq−1₂ |v|dx ≤ ξ kvk_Lp_(RN_\B r) Z RN\Br w₁pdx !p−1_p + cξkvk_Lq_(RN_\B r) Z RN\Br wq₂dx !q−1_q , o que implica Z RN\Br |f (un)||v|dx ≤ ξ kvk_Lp_(RN_\B r) Z RN\Br wp₁dx !p−1_p + cξkvkLq_(RN_\B r) Z RN\Br wq₂dx !q−1_q . (2.20)

Pela imersão de W1,p

(RN\Br) em Lp(RN\Br) e Lq(RN\Br), existem c1, c2 > 0 tais que

kvk_Lp_(RN_\B r)≤ c1kvk e kvkLq(RN\Br) ≤ cwkvk. (2.21) Substituindo (2.21) em (2.20), Z RN\Br |f (un)||v|dx ≤   ξc1 Z RN\Br w₁pdx !p−1_p + cξc2 Z RN\Br w₂qdx !q−1_q   kvk Considere r > 0 tal que

Z RN\Br w₁pdx <  1 2c1 _p−1p e Z RN\Br wq₂dx < ξ 2cξc2 !_q−1q . Logo, Z RN\Br |f (un)||v|dx ≤ ξ kvk_, ∀ξ > 0. (2.22)

De forma similar é possível mostrar que Z RN\Br |f (u)||v|dx ≤ ξ kvk_, ∀ξ > 0. (2.23) De (2.17), (2.18), (2.22) e (2.23) Z RN |f (un) − f (u)||v|dx ≤ on(1) + 2ξ kvk_, ∀ξ > 0. (2.24) Sendo assim, ∂I3 ∂(·)(un) − ∂I3 ∂(·)(u) _∗ = sup v∈W kvk_<1     ∂I3 ∂v(un) − ∂I3 ∂v(u)     = sup v∈W kvk_<1     Z RN f (un)vdx − Z RN f (u)vdx     ≤ sup v∈W kvk_<1 Z RN |f (un) − f (u)||v|dx ≤ sup v∈W kvk_<1 on(1) + 2ξ kvk  ≤ on(1) + 2ξ.

Aplicando o limite quando ξ converge para 0, ∂I3 ∂(·)(un) − ∂I3 ∂(·)(u) _∗ ≤ on(1),

mostrando que ∂I3 ∂(·)(un) → ∂I3 ∂(·)(u). Logo, I3 ∈ C1(W, R) e I30(u)v = ∂I3 ∂v = Z RN

f (u)vdx, para todo u, v ∈ W.

Portanto, das Afirmações 2.3, 2.4 e 2.5, concluímos que I ∈ C1(W, R) e sua derivada

é

I_0(u)v = Z

RN

(|∇u|p−2∇u∇v + V (x)|u|p−2uv)dx − Z

RN

f (u)vdx, ∀ u, v ∈ W.

2.2

O problema auxiliar

Na procura por soluções para o problema (Q), vamos estudar a geometria do funcional

associado ao problema com o objetivo de encontrar ponto crítico. Para tanto, vamos fazer uso do Teorema do Passo da Montanha devido a Ambrosetti e Rabinowitz (ver Teorema D.2).

O funcional I satisfaz as duas geometrias do Teorema do Passo da Montanha, porém

não é mostrado em (ALVES, 2015) que I_satisfaz a condição (PS). Com o intuito de

contor-nar essa situação vamos definir um problema auxiliar, baseado no método de penalização de Del Pino e Felmer, e mostrar a existência de solução para o problema auxiliar.

Para definir o problema auxiliar, mostraremos primeiramente o seguinte resultado: Lema 2.3. Fixado o número k = pθ

θ−p > p existe a > 0 tal que

a = min  s > 0; f (s) sp−1 = V0 k  , onde V0 > 0 é dado em (H0). Demonstração. Seja A = ns > 0; _sf (s)p−1 = V0

k o. Vejamos que esse conjunto é diferente do

vazio. Observe que por (f1), dado ξ = V_k0, existe δ > 0 tal que

f (s) sp−1 <

V0

k , ∀ s ∈ (0, δ).

Por outro lado, pelo Lema 2.2, existem d1, d2 > 0 tais que, para todo s > 0,

(d1sθ− d2) ≤ F (s).

Pela condição de Ambrosetti-Rabinowitz (f3), θF (s) ≤ sf(s) para todo s > 0, o que

implica

θ(d1sθ−p− d2s−p) ≤

f (s) sp−1·

Como θ > p, lim s→+∞θ(d1s θ−p_{− d} 2s−p) = +∞. Daí, lim s→+∞ f (s) sp−1 = +∞.

Logo, existem s1, s2 ∈ R, com s2 > s1 > 0, tais que

f (s1) sp−1₁ < V0 k < f (s2) sp−1₂ . Desde que a função s 7→ f (s)

sp−1 é contínua em [s1, s2], segue, do Teorema do Valor

Inter-mediário, que existe a0 ∈ [s1, s2] tal que

f (a0)

ap−1₀ = V0

k , mostrando que A 6= ∅.

Agora, vamos mostrar que A possui um menor elemento. Desde que A é limitado inferiormente por 0, existe a = inf A. Suponha, por absurdo, que a = 0. Como o ínfimo de um conjunto é um ponto aderente do conjunto, existe uma sequência (an) ⊂ A tal

que an → a = 0. Assim, para todo δ > 0 existe n ∈ N tal que an ∈ Vδ = (0, δ),

consequentemente sup f(Vδ) ≥ V_k0 para todo δ > 0. Logo,

lim sup t→0+ f (t) tp−1 = lim_δ→0+sup f (Vδ) ≥ V0 k > 0

o que contradiz a condição (f1). Desse modo a > 0. Como s 7→ _tf (t)p−1 é contínua para todo t > 0 e existe (an) ⊂ A tal que an → a, então lim

n→+∞

f (an)

ap−1n

= f (a)

ap−1. Por outro lado,

lim

n→+∞

f (an)

ap−1n

= V0

k . Pela unicidade do limite, f (a) ap−1 =

V0

k , implicando que a ∈ A.

Dado um domínio limitado Ω ⊂ RN_{, vamos usar os números a e k do Lema 2.3 para}

definir as funções ˜f : R → R e g : RN _{× R → R, dadas por}

˜ f (s) =          0, s ≤ 0, f (s), 0 ≤ s < a, V0 ks p−1_{, s ≥ a,}

característica associada a Ω, isto é, χΩ(x) =    1, x ∈ Ω, 0, x ∈ RN_\Ω.

Usando as funções acima, estudaremos a existência de uma solução positiva para o seguinte problema    −∆pu + V (x)up−1= g(x, u), x ∈ RN, u ∈ W, (Q,Ω) onde g(x, s) = g(x, s), ∀ (x, s) ∈ RN × R.

Lema 2.4. Dado ξ > 0 existem constantes positivas c1 = c1(ξ) e c2 = c2(ξ) tais que

| ˜f (s)| ≤ c1|s|p−1+ c2|s|q−1, ∀ s ∈ R. (2.25)

Demonstração. Dado ξ > 0, pelo Lema (2.1), existe cξ tal que

|f (s)| ≤ ξ|s|p−1_{+ c} ξ|s|q−1. Se s < a, então | ˜f (s)| = |f (s)| ≤ ξ|s|p−1_{+ c} ξ|s|q−1. Se s ≥ a, então | ˜f (s)| = V0 k |s| p−1_≤ V0 k |s| + cξ|s| q−1_. Considerando c1 = max{ξ, V0/k} e c2 = cξ, | ˜f (s)| ≤ c1|s|p−1+ c2|s|q−1, ∀ s ∈ R.

Afirmação 2.6. A função g satisfaz, para todo x ∈ RN, as seguintes condições:

(g1) g(x, s) ≤ 0, ∀ s ≤ 0. (g2) lim sup s→0+ g(x, s) sp−1 = 0. (g3) lim sup s→+∞ g(x, s) sq−1 = 0. (g4)i 0 < θG(x, s) := θ Z s 0 g(x, t) dt ≤ sg(x, s), ∀ x ∈ Ω e ∀ s > 0. (g4)ii 0 < pG(x, s) ≤ sg(x, s) ≤ V0 k s p_, ∀ x ∈ RN_{\Ω e ∀ s > 0.}

e da definição de g. Para todo x ∈ RN\Ω e 0 < s < a,

pG(x, s) ≤ θG(x, s) = θF (s) ≤ sf (s) = sg(x, s).

Além disso, sendo s < a, pelo Lema 2.3, f (s) sp−1 6= V0 k. Suponha que f (s) sp−1 > V0 k. Por (f1),

existe 0 < δ < s tal que f (t) tp−1 <

V0

k para todo t ∈ (0, δ). Fixando t0 ∈ (0, δ), temos que a

função t 7→ f (t) tp−1 é contínua em [t0, s] e f (t0) tp−1₀ < V0 k < f (s) sp−1·

Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t1 ∈ [t0, s] tal que

f (t1)

tp−1₁ = V0

k (2.26)

o que contradiz o fato de a ser o menor valor para o qual ocorre a igualdade (2.26). Sendo assim, f (s) sp−1 < V0 k , o que implica sg(x, s) = sf (s) < V0 k s p , ∀ x ∈ RN\Ωe ∀ 0 < s < a. Para x ∈ RN_{\Ω e s > a,} pG(x, s) = pV0 pk s p ₌ V0 k s p _{= sg} (x, s).

Afirmação 2.7. Dado ξ > 0 existem Mξ, cξ > 0 tais que

|g(x, s)| ≤ Mξ|s|p−1+ cξ|s|q−1, ∀ s ∈ R. (2.27)

De fato, dado ξ > 0, para todo (x, s) ∈ {Ω × R} ∪ {Ωc_{× (−∞, a]},}

g(x, s) = f (s) ≤ ξ|s|p−1+ cξ|s|q−1. Para (x, s) ∈ Ωc_{× (a, +∞),} g(x, s) = V0 k s p−1_.

Logo, considerando Mξ = max

n ξ,V0

ko,

Afirmação 2.8. Dado ξ > 0 existem Mξ, cξ > 0 tal que G(x, s) ≤ Mξ|s|p+ cξ qs q . (2.28)

De fato, para todo (x, s) ∈ {Ω × R} ∪ {Ωc_{× (−∞, a]},}

G(x, s) = F (s) ≤ ξ p|s| p + cξ qs q . Para (x, s) ∈ Ωc_{× (a, +∞)}, G(x, s) = V0 pks p_. Considerando Mξ = max  ξ p, V0 pk  , temos G(x, s) ≤ Mξ|s|p+ cξ qs q_, ∀ (x, s) ∈ Ω × R.

O problema (Q,Ω) está fortemente relacionado com (Q), pois se u é uma solução de

(Q,Ω) verificando

u(x) < a, ∀ x ∈ RN\Ω,

onde Ω = Ω/ = y/; y ∈ Ω , então u será uma solução para (Q). De fato, se u

solução de (Q,Ω), então Z RN |∇u|p−2_{∇u∇vdx +} Z RN V (x)up−1vdx = Z RN g(x, u)vdx, ∀v ∈ W.

Se u(x) < a para todo x ∈ RN_\Ω

, então, pela definição de g

g(x, u) = f (u), ∀ x ∈ RN. Daí, Z RN |∇u|p−2∇u∇vdx + Z RN V (x)up−1vdx = Z RN g(x, u)vdx = Z RN f (u)vdx, ∀v ∈ W,

mostrando que u é solução de (Q).

Associado a (Q,Ω), temos o funcional energia J : W → R dado por

J(u) = 1 p Z RN (|∇u|p+ V (x)|u|p)dx − Z RN G(x, u)dx, onde G(x, s) = Z s 0 g(x, t)dt, ∀ (x, s) ∈ RN × R.

De forma análoga como foi provado para I é possível mostrar que J ∈ C1(W, R) e

J_0(u)v = Z

RN

(|∇u|p−2∇u∇v + V (x)|u|p−2uv)dx − Z

RN

g(x, u)vdx, ∀u, v ∈ W.

Então, pontos críticos de J correspondem a soluções fracas de (Q,Ω).

2.2.1

Geometria do Passo da Montanha

Com o intuito de aplicar o célebre Teorema do Passo da Montanha para o funcional J, a seguir, mostraremos que o mesmo verifica as chamadas geometrias do passo da

montanha.

Teorema 2.2. O funcional J verifica as duas geometrias do Teorema do Passo da

Mon-tanha para todo  > 0, isto é,

(I1) Existem ρ > 0 e α > J(0) = 0 tais que

inf

kuk_=ρJ(u) ≥ α.

(I2) Existe e ∈ W com kek_ > ρ e J(e) < 0.

Demonstração. (I1) Pela definição de J e usando o crescimento de G (Afirmação 2.8),

temos J(u) = 1 pkuk p  − Z RN G(x, u)dx ≥ 1 pkuk p  − ξ p Z RN |u|p_{dx −} cξ q Z RN uqdx = 1 pkuk p  − ξ pkuk p p− cξ q kuk q q. Pelas imersões W ,→ Lp(RN) e W ,→ Lq(RN), 1 pkuk p  − ξ pkuk p p− cξ q kuk q q ≥ 1 pkuk p  − C1kuk p  − C2kuk q  = C3kukp_ − C1kukq_.

Logo, J(u) ≥ C3kuk p

 − C1kuk q

, para todo u ∈ W. Note que

C3kuk p

 − C1kuk q

 > 0, ∀u ∈ W tal que kuk <

 C₃ C1 q−p . Escolhendo ρ = 1 2  C₃ C1 q−p ,

temos que

0 < ρ < C3 C1

q−p

e C3ρp− C1ρq > 0.

Tomando α = (C3ρp− C1ρq)/2 > 0, para todo u ∈ W tal que kuk = ρ,

J(u) ≥ C3kuk p

 − C1kuk q

 = C3ρp− C1ρq> α,

mostrando que J satisfaz (I1).

(I2) Fixe ϕ ∈ C0∞(RN), ϕ ≥ 0, e seja K = Suppϕ.

J(tϕ) = 1 pktϕk p  − Z RN G(x, tϕ)dx = 1 pkϕk p |t| p₋ Z K G(x, tϕ) dx = 1 pkϕk p |t| p₋ Z K∩[0<tϕ<a] G(x, tϕ) dx − Z K∩[a≤tϕ] G(x, tϕ) dx. Como G é não-negativa, J(tϕ) ≤ 1 pkϕk p |t| p₋ Z K∩[0<tϕ<a] G(x, tϕ) dx.

Recorde que, por definição, G(x, s) = F (s)para todo (x, s) ∈ RN× [0, a). Pelo Lema 2.2,

G(x, s) = F (s) ≥ d1sθ− d2, para todo (x, s) ∈ RN × (0, a). Assim,

− Z K∩[0<tϕ<a] G(x, tϕ) dx ≤ − Z K∩[0<tϕ<a] d1|t|θ|ϕ|θ dx + Z K∩[0<tϕ<a] d2 dx = −C1|t|θ+ C2, onde C1 = d1 Z K∩[0<tϕ<a] |ϕ|θ _{e C} 2 = Z K∩[0<tϕ<a] d2 dx. Por conseguinte, J(tϕ) ≤ 1 pkϕk p |t| p_{− C} 1|t|θ+ C2 t→∞ −−−→ −∞

Logo, existe t0 > 0 tal que kt0ϕk> ρ e J(t0ϕ) < 0.

2.2.2

Condição de Palais-Smale

Nesta subseção, temos por objetivo mostrar que o funcional J satisfaz a condição de

Palais-smale.

Sejam X um espaço de Banach, I ∈ C1_{(X, R) e c ∈ R.}

I, ou simplesmente, (un) é uma sequência (PS)c para I, quando

I(un) → c e I0(un) → 0.

Definição 2.2. Dizemos que o funcional I satisfaz a condição Palais-Smale no nível c, ou simplesmente, que I satisfaz a condição (PS)c, se toda sequência (PS)c admite uma

subsequência convergente. Dizemos que I satisfaz a condição (PS) quando I satisfaz a condição (PS)c para todo c ∈ R.

O próximo resultado mostra que as sequências (P S) para o funcional Jsão limitadas.

Lema 2.5. Se (un) é uma sequência (PS)c para J, então (un) é limitada em W.

Demonstração. Seja (un) uma sequência (PS)c para J, isto é,

J(un) → c e J0(un) → 0. (2.29)

Observe que (2.29) implica que existe uma constante M > 0 tal que, para todo n ∈ N,

|J(un)| ≤ M (2.30)

e, dado ξ > 0, existe n0 ∈ N tal que, para todo n > n0,

J_0(un) _∗ ≤ ξ, o que implica |J_0(un)un| ≤ ξ kunk_, ∀ n > n0. (2.31) Observe que J(un) − 1 θJ 0 (un)un = 1 pkunk p  − Z RN G(x, un)dx − 1 θ kunk p  + 1 θ Z RN g(x, un)undx =  1 p− 1 θ  kunkp_ + 1 θ Z RN g(x, un)un− θG(x, un) dx.

Considerando, para cada n ∈ N, Λn = Ω ∪ {x ∈ RN\Ω; un(x) < a} temos, por definição,

g(x, un) = f (un) e G(x, un) = F (un), para todo x ∈ Λn. Assim, pela condição (f3),

1 θ Z Λn g(x, un)un− θG(x, un) ≥ 0. Daí,

1 θ Z RN g(x, un)un− θG(x, un) dx = 1 θ Z Λn g(x, un)un− θG(x, un)  + 1 θ Z RN\Λn g(x, un)un− θG(x, un)  ≥ 1 θ Z RN\Λn g(x, un)un− θG(x, un), o que implica J(un) − 1 θJ 0 (un)un ≥  1 p− 1 θ  kunkp_ + 1 θ Z RN\Λn g(x, un)un− θG(x, un). (2.32) Pela definição de g e G 1 θ Z RN\Λn g(x, un)un− θG(x, un) = 1 θ Z RN\Λn  V0 k u p n− θV0 pk u p n  = p − θ pkθ Z RN\Λn V0upn.

Como p − θ < 0 e V0 ≤ V (x)para todo x ∈ RN, temos que

p − θ pkθ Z RN\Λn V0upn dx ≥ p − θ pkθ Z RN\Λn V (x)up_ndx ≥ p − θ pkθ Z RN V (x)up_ndx. (2.33) Juntando (2.32) e (2.33), J(un) − 1 θJ 0 (un)un≥  1 p − 1 θ  kunk p  + p − θ pkθ Z RN V (x)up_ndx. Agora, observe que, pelo fato de p − θ < 0 e 2p < pk,

p − θ pkθ Z RN V (x)up_ndx ≥ p − θ 2pθ Z RN V (x)up_ndx ≥ p − θ 2pθ Z RN V (x)up_ndx +p − θ 2pθ Z RN |∇un|pdx = p − θ 2pθ kunk p . Dessa forma, J(un) − 1 θJ 0 (un)un ≥  1 p− 1 θ  kunkp_ + p − θ 2pθ kunk p  = (θ − p) 2pθ kunk p . (2.34)

Por outro lado,

J(un) − 1 θJ 0 (un)un≤ |J(un)| + 1 θ|J 0 (un)un|.

Por (2.30) e (2.31), para todo n > n0,

J(un) − 1 θJ 0 (un)un≤ M + ξ θkunk. (2.35)

Combinando (2.34) com (2.35), obtemos (θ − p) 2pθ kunk p  ≤ ξ θ kunk+ M ≤ ξ θ kunk p  + ξ θ + M, ∀ n > n0, ou ainda, θ − p − 2pξ 2pθ kunk p  ≤ ξ θ + M, ∀ n > n0. Considerando ξ pequeno suficiente tal que θ − p − 2pξ > 0, obtemos

kunk_ ≤ M , ∀ n ∈ N, onde M = max{ku1k_, ku2k_, . . . , kun0k,  2pθ θ−p−2pξ  ξ θ + M  1 p }. Portanto, (un) é limi-tada em W.

O próximo resultado é crucial para mostrarmos o funcional associado ao problema auxiliar satisfaz a condição (P S).

Lema 2.6. Seja (un) uma sequência (PS) para J. Então, para cada ζ > 0 existe

R = R(ζ) > 0 tal que lim sup n→+∞ Z RN\BR(0) |∇un|p+ V (x)|un|p dx < ζ.

Demonstração. Dado ζ > 0, fixe R > 0 e considere ηR ∈ C∞(RN)tal que

ηR(x) =    0, se x ∈ BR 2, 1, se x ∈ RN\BR.

com 0 ≤ ηR≤ 1 e |∇ηR| ≤ C_R. A sequência (ηRun)é limitada em W, pois

kηRunk_ = Z RN |∇ηRun|pdx + Z RN V (x)|ηRun|pdx 1_p = Z RN |un∇ηR+ ηR∇un|pdx + Z RN V (x)|ηR|p|un|pdx 1_p ≤  2p Z RN |un|p|∇ηR|pdx + 2p Z RN |ηR|p|∇un|pdx + Z RN V (x)|ηR|p|un|pdx 1_p ≤  2 p_Cp Rp Z RN |un|pdx + 2p Z RN |∇un|p+ Z RN V (x)|un|pdxdx 1_p .

Escolhendo R suficientemente grande tal que 2pCp Rp < V0, 2p_Cp Rp Z RN |un|pdx ≤ Z RN V0|un|pdx ≤ Z RN V (x)|un|pdx. Daí, kηRunk ≤  2p Z RN |∇un|p+ 2 Z RN V (x)|un|pdxdx 1_p ≤ 2 kunk.

Uma vez que (un) é uma sequência (PS) para J, pelo Lema 2.5 existe M > 0 tal que

kunk ≤ M para todo n ∈ N. Por consequência, (ηRun) é limitada em W.

Por outro lado, observe que Z RN ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx = J0(un)ηRun+ Z RN g(x, un)ηRundx − Z RN un|∇un|p−2∇un∇ηRdx.

Escolhendo R de modo que Ω ⊂ BR

2 teremos, por definição, ηR = 0 em Ω. Então, Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx = J0(un)ηRun+ Z RN\Ω g(x, un)ηRun dx − Z RN\Ω un|∇un|p−2∇un∇ηRdx. Usando (g4)ii, Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ J0(un)ηRun+ Z RN\Ω 1 kV (x)|un| p ηRdx − Z RN\Ω un|∇un|p−2∇un∇ηRdx.

Sendo ηR≥ 0 por definição,

Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ J0(un)ηRun+ 1 k Z RN\Ω V (x)|un|pηRdx + 1 k Z RN\Ω ηR|∇un|p dx − Z RN\Ω un|∇un|p−2∇un∇ηRdx, donde segue,  1 − 1 k  Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ J0(un)ηRun− Z RN\Ω |un||∇un|p−2∇un∇ηR dx ≤ J_0(un)ηRun+ Z RN\Ω |un||∇un|p−2|∇un∇ηR| dx

ou seja, Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ C1J0(un)ηRun+ C1 Z RN\Ω |un||∇un|p−2|∇un∇ηR| dx, (2.36) com C1 = 1 − 1_k
−1

. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, Z RN\Ω |un||∇un|p−2|∇un∇ηR| dx ≤ Z RN\Ω |un||∇un|p−2|∇un||∇ηR| dx ≤ C R Z RN\Ω |un||∇un|p−2|∇un| dx = C R Z RN\Ω |un||∇un|p−1 dx. (2.37)

Desde que W ,→ Lp(RN\Ω), un ∈ Lp(RN\Ω) e |∇un|p−1 ∈ L

p p−1_(RN\Ω). Pela desigual-dade de Hölder, C R Z RN\Ω |un||∇un|p−1dx ≤ C R Z RN\Ω |un|p dx !1_p Z RN\Ω |∇un|p dx !p−1_p .

Como (un)é limitada em W, particularmente em LP(RN\Ω),

C R Z RN\Ω |un||∇un|p−1dx ≤ C2 R Z RN\Ω |∇un|p dx !p−1_p . (2.38) Juntando (2.36), (2.37) e (2.38), Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ C1J0(un)ηRun+ C3 R Z RN\Ω |∇un|p dx !p−1_p . Como RN_\B R⊂ RN\Ωe ηR= 1 em RN\BR, Z RN\BR |∇un|p+ V (x)|un|p dx = Z RN\BR ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ Z RN\Ω ηR|∇un|p+ V (x)|un|p dx, o que implica Z RN\BR |∇un|p+ V (x)|un|p dx ≤ C1J0(un)ηRun+ C3 R Z RN |∇un|pdx 1_p ≤ C1J0(un)ηRun+ C4 R kunk. (2.39)