Existência e não existência de soluções para uma classe de problemas elípticos com potencial singular

(1)

EXIST ÊNCIA E N ÃO EXIST ÊNCIA DE SOLUÇ ÕES PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS ELÍPTICOS COM POTENCIAL SINGULAR

Tese apresentada por Reginaldo

De-marque da Rocha ao Curso de

Doutorado em Matemática - Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Doutor. Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais.

Orientador: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki Co-orientador: Paulo C´esar Carri˜ao

(2)

(3)

Aos meus orientadores Prof. Paulo César Carrião e Prof. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki por terem me aceito como pupilo na árdua tarefa de transformar um estudante em um pesquisador. Agradeço por todos os ensinamentos e sábios conselhos que levarei por toda a vida.

Aos professores José Valdo, Marco Aurélio, Grey, Emerson, Hamilton e Fábio por terem aceito avaliar este trabalho. Agradeço a todos os elogios e cr´ıticas que muito enriqueceram o meu trabalho.

Aos professores e funcionários do Departamento de Matemática da UFMG em especial ao professores Remy, Rogério e Suzana pelos excelentes cursos ministrados que tive o privilégio de participar.

Aos irmãos em orientação Patr´ıcia e Narciso pela amizade e pelas contribuições contidas neste trabalho oriundas dos saudosos seminários como o Prof. Carrião.

A todos os colegas do Departamento de Matemática da UFMG em especial Luis Guilhermo, Heleno, Reginaldo Braz, Luciano, Alexandre, Justino e Rafael pelas produtivas conversas sobre matemática e também pelas “improdutivas” conversas de corredor.

(4)

mim.

`

A minha esposa Cássia Regina pelo incansável e inabalável companheirismo frente as diver-sas adversidades e pelos não-enumeráveis momentos de alegria em sua presença.

Aos meus sogros D. Cida e S. Jos´e e `a minha cunhada Gislene e seu esposo Rosevelt por torcerem por mim e estarem sempre presentes em todos os momentos.

Não podendo mencionar a todos, gostaria ainda de agradecer a todos que de alguma forma contribuiram para a produção deste trabalho.

(5)

Neste trabalho estudamos a existência e não existência de soluções não triviais para uma classe de problemas el´ıpticos não lineares com potencial singular do tipo

L(u) +V(x)_|u_|q−2u=f(u), x_∈RN_,

onde _L é o operador p-Laplaciano ou o operador biharmônico, V : RN _→ R _{é uma função}

(6)

In this work we study the existence and non existence of non trivial solutions for a class of nonlinear elliptic problems with singular potential of type

L(u) +V(x)_|u_|q−2u=f(u), x_∈RN_,

where_Lis the p-Laplaciano or the biharmˆonic operator,V :RN _→ R_{is a measurable function}

with radial or cylindrical simmetry, also which have singularities in a subspace of RN_{, and}

(7)

p∗ _:= N p

N−p expoente cr´ıtico da imers˜ao de Sobolev

p∗(s) = p∗ := p(_NN₋−_ps) expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev

pα := _NN p₋_α

p∗

α :=p+ Npα−p

mα := 2 + ₂_N₋₄₋4α _α 2∗∗_:= 2N

N−4 expoente cr´ıtico da imers˜ao de Sobolev

Br(x0) bola abertaN−dimensional de centro emx0e raior

Br bola aberta de centroN−dimensional na origem e raior

Bk

r(x0) bola abertak−dimensional de centro emx0 e raior O(k) ´e o grupo ortogonal deRk

X′ _{espac¸o dual do espac¸o}_X

k · k∗ norma do espac¸oX′ C∞

0 (RN) espac¸o das func˜oes de classeC∞com suporte compacto emRN C∞

0,r(RN) espaço das funcões radiais emC0∞(RN) Lp₍_RN_;_V₎ _espaço_Lp _{com peso}_V₍_x₎

D1,p₍_RN₎ _{fecho de}_C∞

(8)

D2,2₍_RN₎ _{fecho de}_C∞

0 (RN)na normak∆uk2 W1,p∗(_RN;V) D1,p(_RN)

∩Lp₍_RN_;_V₎

W1,p∗(_RN) W1,p∗(_RN;V)_comV ≡1

W1,p∗

k (RN;V)

u_∈W1,p∗(_RN;V);u(y, z) =u(gy, z),

∀g _∈O(k)

W1,p∗

r (RN) ´e o espac¸oW

1,p∗ N (RN)

W2,2₍_RN_;_V₎ _D2,2₍_RN₎_∩_L2₍_RN_;_V₎

W2,2

r (RN;V) espaço das funções radiais emW2,2(RN;V) kukp :=

R

RN|u|pdx

_p1

norma do espac¸oLp₍_RN₎ kukp,V :=

R

RN|u|pV(x)dx

1_p

norma do espac¸oLp₍_RN_;_V₎ ku_k₁_,p := R

RN|∇u|pdx

1_p

norma do espac¸oD1,p₍_RN₎ ku_k:=_ku_kp₁_,p+_ku_kp_p_∗_,V

1

p

norma do espac¸oW1,p∗(_RN;V)

→ convergência forte em um espaço de BanachX ⇀ convergência fraca em um espaço de BanachX ֒→ imersão cont´ınua entre espaços de Banach

֒_→_→ imers˜ao compacta entre espac¸os de Banach

C uma constante positiva qualquer que pode mudar a cada linha ∆pu:= div(|∇u|p−2∇u) o operador p-Lapalaciano

∆2_u_{:= ∆(∆}_u₎ _{o operador biharmˆonico}

(9)

Agradecimentos 3

Resumo 5

Abstract 6

Notac¸˜oes 7

Introduc¸ ˜ao 10

1 Existência de soluções envolvendo o p-Laplaciano 21

1.1 O espac¸o de Sobolev com peso . . . 22

1.2 Um caso radial simples . . . 34

1.2.1 Identidade de Pohoˇzaev e resultados de n˜ao-existˆencia . . . 34

1.2.2 Resultados de Existˆencia . . . 39

1.2.3 Resultados de Imers˜ao . . . 40

1.2.4 Demonstrac¸˜ao dos Teoremas 1.9 e 1.10 . . . 43

1.3 O caso cil´ındrico . . . 53

1.3.1 Identidade de Pohoˇzaev e resultados de n˜ao existˆencia . . . 53

1.3.2 Resultados de existˆencia . . . 61

1.3.3 Resultado de compacidade . . . 62

1.3.4 Demonstrac¸˜ao dos Resultados . . . 64

2 Existência de soluções radiais envolvendo o biharmônico 81 2.1 O espaço de Sobolev com peso . . . 82

(10)

2.2 Resultados de Existência . . . 84 2.3 Resultados de Imersão . . . 85 2.4 Demonstração dos Teoremas 2.2 e 2.3 . . . 93

A Resultados B´asicos 99

(11)

Existência, não existência e propriedades qualitativas de soluções não triviais para equações el´ıpticos não lineares envolvendo potenciais singulares foram recentemente estudadas por di-versos autores, principalmente envolvendo o operador Laplaciano e motivados, em sua maioria, pela obtenção de ondas solitárias para equação de Schrödinger e Klein-Gordon ou por extremo de desigualdades de Hardy-Sobolev, veja por exemplo os trabalhos [1, 8, 9, 10, 11, 13, 31, 38, 43, 46, 47, 48, 50, 52, 53] e suas referências. Neste trabalho consideramos problemas de existência e não existência de soluções não triviais para umas classe de equações diferenciais el´ıpticas não lineares emRN _{do tipo}

L(u) +V(x)_|u_|q−2u=f(u), x_∈RN_,

onde_L é um operador diferencial,V : RN _→R _{é uma função mensurável com simetria radial}

ou cil´ındrica, podendo apresentar tamb´em singularidades em um subespac¸o deRN _e_f _:R_→R

é uma função cont´ınua. Mais especificamente trabalhamos com os operadores p-Laplaciano e biharmônico, com o potencialV da forma V(x) := V(|y|), onde x = (y, z) ∈ Rk_×RN−k _e

f verificando certas propriedades, que serão estabelecidas mais adiante, para garantir existência ou não existência de solução.

No Cap´ıtulo 1 estudamos o problema envolvendo o operador p-Laplaciano 

 

−∆pu+V(|y|)|u|p∗(s)−2u=f(u)

u∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N} (1)

onde (y, z) _∈ Rk _×RN−k_, _p_∗₍_s_{) =} p(N−s)

N−p é o expoente de Hardy-Sobolev, o potencial V : [0,+_∞) _→ (0,+_∞] é mensurável ef é uma função cont´ınua. O p-Laplaciano é um operador

(12)

que aparece em alguns problemas de mecânica dos fluidos (no estudo dos fluidos não newtoni-anos), de extração de petróleo, de elasticidade não linear, de glaceologia e em algumas reações de difusão, veja [28].

O caso radial, quandok =N, foi estudado por Badiale e Rolando em [11] para s=p = 2. Su, Wang e Willem em [46] estudam o caso quandos=p, mais especificamente a equac¸˜ao

−∆pu+V(|x|)|u|p−2u=Q(|x|)|u|s−2u,

onde V e Q são funções cont´ınuas não negativas, obtendo soluções ground state, isto é, uma solução fraca não trivialuque tende a zero quando_|x| → +∞. Eles generalizam e melhoram os resultados de Badiale e Rolando parap= 2. Su e Tian em [45] estendem os resultados de Su, Wang and Willem para o caso

−∆pu+V(|x|)|u|q−2u=Q(|x|)|u|s−2u,

ou seja, o lado esquerdo da igualdade não é homogêneo em u. Eles estabelecem diversas imersões de Sobolev deD1,p

r (RN)∩Lp(RN;V)emLs(RN;Q)para intervalos desdependendo de p, q e N e das hipóteses sobre V e Q. Resultados envolvendo singularidades também no operador podem ser vistos em [6, 27, 54] e suas referências.

O caso cil´ındrico, quando k < N, foi inicialmente estudado por Badiale e Tarantello em [13]. Neste artigo, eles obtiveram a seguinte desigualdade de Hardy-Sobolev

Z

RN

|u_|p∗

|y_|s dx≤C Z

RN|∇

u_|p

p_p∗

(2)

para todau_∈D1,p₍_RN_{), onde}_C _{´e um constante positiva independente de}_u_{. Esta desigualdade} generaliza a desigualdade an´aloga obtida por Caffarelli, Kohn e Nirenberg em [24] para o caso

k =N, como uma interpolação entre a desigualdade de Hardy, ondes=p, e a desigualdade de Sobolev correspondente as= 0. Como aplicação deste resultado eles estudam o problema

  

−∆u =V(_|y_|)_|u_|p−2_u u >0, emRN_,

(13)

proposto a eles pelos astrof´ısicos G. Bertin e L. Ciotti, para N = 3, como um modelo de dinâmica de galáxias. Existem muitos trabalhos envolvendo o operador Laplaciano. Badiale, Benci e Rolando em [9] estudam o problema (1) no caso em que p = s = 2 e V(|y|) = |y_|−2 _{usando um teorema de compacidade devido a Solimini [42]. Eles também aplicam seus}

resultados na obtenção de ondas solitárias para equações de Schrödinger e de Klein-Gordon. Badiale, Guida e Rolando em [10] estendem esses resultados para o caso em queV(_|y_|) =_|y_|−α_. Badiale e Rolando em [12] fazem um estudo no caso em que o potencialV é subhomogêno e tem uma simetria do tipoV(x) = V(_|y1|, . . . ,|yk|), onde x = (y1, . . . , yk, z) ∈ RN1 × · · · ×

RNk_×_RN0_{. Outros trabalhos envolvendo o operador Laplaciano com simetria cil´ındrica podem}

ser vistos em [14, 18, 25, 36] e suas referências. Casos envolvendo o operador p-Laplaciano são menos frequentes na literatura. Em 2003, Xuan em [53] estuda a existência e multiplicidade de soluções do seguinte problema de Dirichlet em dom´ınios limitados contendo a origem

    

−∆pu=λ|u|r−2u+|

u_|q−2_u

|y_|s emΩ

u= 0, em∂Ω,

(4)

onde1< r < p < q _≤ p∗(s)eλ > 0. Mais recentemente em 2010, Bhakta e Biswas em [17] mostram resultados de existência, não-existência e regularidade para o problema

    

−∆pu= |

u_|p∗(s)−1 |y_|t emΩ

u >0, emΩ,

(5)

ondeΩ é um dom´ınio limitado. Em 2009, Assunção, Carrião e Miyagaki em [7] estudam um problema envolvendo potencial singular em um subespaço de RN _{porém para um operador e}

uma não linearidade também envolvendo tal singularidade. Eles estudam a seguinte equação

−div _|xN|−ap|∇u|p−2∇u

+λ_|xN|(−a+1)p|u|p−2u=α|xN|−bq|u|q−2u+βk(x)|xN|−cr|u|r−2uemRN+,

onde RN

(14)

tamb´em estudam um problema envolvendo potencial singular no operador.

A principal dificuldade em se passar do caso p = 2 para o caso geral está no fato de que o espaço D1,p₍_Rn₎ _{não é um espaço de Hilbert e o operador p-Laplaciano é um exemplo de} uma aplicação dualidade (veja [29]), sendo necessário técnicas mais sofisticadas para se obter o Princ´ıpio da Criticalidade Simétrica. Assim, afim de introduzir estas técnicas rapidamente, na Seção 1.2 estudamos a existência e não existência de soluções para o caso radial aplicando as mesmas ideias apresentadas por Badiale e Rolando em [11] obtendo resultados análogos aos deles. Apesar dos nossos resultados de existência serem casos particulares dos resultados de existência de Su, Wang e Willem em [46] e Su e Tian em [45], eles não trabalharam resultados de não existência. Mais precisamente, trabalhamos o problema

  

−∆pu+V(|x|)|u|p−2u=f(u)

u_∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N,} (6)

onde o potencialV : [0,_∞)_→ (0,_∞] é uma função mensurável, a não linearidadef :R _→R

´e cont´ınua e satisfazem:

(Vα) ExistemA, α >0tais queV(s)≥ _sAα para quase todos >0.

(V1) V _∈L1₍_{a, b}₎_{para algum intervalo}₍_{a, b}₎_com_{b > a >}_0.

(fm,p) ExistemM >0em > ptais que|f(s)| ≤M|s|m−1para todos∈R.

Podemos ver que a propriedade(Vα) implica queV tem uma singularidade na origem, en-quanto que(V1)permite outras singularidades.

O caso mais simples no qual nossos resultados são válidos é dado pelo problema 

   

−∆pu+

A

|x_|α|u|

p−2_u₌

|u_|m−2u

u∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N.}

(7)

Neste caso é natural estudar a não existência de solução clássica para este problema. Assim, sendop∗ ₌ pN

N−p o expoente cr´ıtico de Sobolev epα:= N p

(15)

Teorema 0.1 Seα _∈(0, p)em _6∈(pα, p∗), ouα =pem 6=p∗, ouα ∈(p, N)em6∈ (p∗, pα),

ou α ≥ N e m ∈ (0, p∗₎_{, então a equação do problema (7) não tem solução clássica} _u _∈ D1,p₍_RN₎_∩_Lp₍_RN_{, V}₎_∩_Lm₍_RN₎_.

Note que o conjunto(α, m) _∈R2_{onde não existe solução clássica do problema (7) é}

repre-sentado pela seguinte regi˜ao

bC

b

b b

b

p p

p∗ m

α N

não existe solução

pα

Em seguida estudamos a existência de soluções fracas não negativas para o problema (6). Para enunciarmos nossos resultados de existência denotaremosp∗

α =p+Npα−p e consideraremos algumas propriedades adicionais sobref eV. DefinaF(s) :=Rs

0 f(t)dte considere as seguintes

propriedades

(V2) ExistemB, β, µ0>0tais queV(µs)_≤µ−β_BV₍_s₎_{para quase todo}_{µ > µ0} _e_{s >}_0; (f1) existeγ > ptal queγF(s)≤f(s)s,∀s ∈R;

(f2) F(s∗)>0para algums∗ ∈(0,∞); (f3) F(s)>0,∀s∈(0,∞);

(f4) f ´e ´ımpar;

(fm,p) ExistemM >0em > ptais que|f(s)| ≤M|s|m−1para todos∈R. (Fm) existeη >0tal queF(s)≥η|s|m,∀s∈R.

(16)

i) V : [0,+_∞) _→ (0,+_∞] satisfazendo As−α _≤ _V₍_s₎ _≤ _Cs−α_{, onde}_C _≥ _A_, _β ₌ _α _e

B ≥C/A.

ii) Seα_≥β > 0eB =µ0 = 1, ent˜ao

V(s) :=         

+_∞, s = 0;

As−α_{, s} _∈₍₀_,_1];

As−β_{, s} _∈_[1_,₊_∞₎_.

iii) Dadoss0 >0,A >0,µ0 = 1eα_≥β > 0seja

V(s) :=   

+∞, s ∈[0, s0];

B(s₋s0)−β _s _∈₍_s0,₊_∞₎_,

ondeB =B(s0, A, α, β)´e suficientemente grande.

Teorema 0.3 Sejam V : [0,∞) → (0,∞] uma função mensurável satisfazendo (V1) e f ∈

C0₍_R_;_R₎_satisfazendo₍_f1₎_{. Suponha v´alidas}₍_f

m,p)e(Vα)comα ∈ (0, p)em ∈ (p∗α, p∗), ou

α∈(p,∞)em∈(p∗_{, p}∗

α). Suponha ainda que ouV satisfaz(V2)ef satisfaz(f2), oufsatisfaz (f3). Então o problema (6) tem uma solução radial não negativau _∈W1,p₍_RN_;_V₎_{no seguinte}

sentido

Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}h+V(_|x_|)_|u_|p−2uhdx= Z

RN

f(u)hdx, _∀h _∈W1,p(RN_;_V₎_. ₍₈₎

C0₍_R_;_R₎ _satisfazendo ₍_f1₎ _e ₍_f4₎_{. Suponha v´alidas} ₍_f

m,p), (Vα) e (Fm) com α ∈ (0, p) e

m _∈ (p∗

α, p∗), ouα ∈ (p,∞)em ∈ (p∗, p∗α). Então o problema (6) admite infinitas soluções

radiaisu_∈W1,p₍_RN_;_V₎_{no sentido da equac¸˜ao (8).}

Novamente note que o conjunto(α, m) _∈ R2 _{onde existe solução fraca do problema (6) é}

(17)

bC

b

b b

b

p p

p∗ m

α N

existe soluc¸˜ao

pα

Na Seção 1.3 trabalhamos o problema (1) no caso em que V(_|y_|) = _|y_|−s _{e, utilizando a} identidade de Pohoˇzaev, obtivemos o seguinte resultados de não existência

Teorema 0.5 Sejam2 _≤ k < N,1 < p < N, 0 < s < N ₋ N_p−p es > N_N(k₋−_pp∗∗₍(_kk₋₁₎−1)), quando

N > kp e 1 < p < _k₊_NkN₍_k₋₁₎. Seja ainda f ∈ C0₍_R_;_R₎ _satisfazendo ₍_f1₎ _e ₍_f3₎ _{tal que} f(u)u_∈L1₍_RN₎_{. Se}_{γ > p}∗_em₍_f

1), então a equação

−∆pu+ |

u|p∗−2

|y_|s u=f(u), em(R

k_{\ {}₀_}₎_×_RN−k_. ₍₉₎

não tem solução clássicau_∈C2₍₍_Rk_{\ {}₀_}₎_×_RN−k₎_∩_D1,p₍_RN₎_∩_Lp∗(_RN;V)_satisfazendo ∇u∈Lq_loc(RN₎_para_{q >}_max_{_q_k_{, q}_s_{, q}_s,k_}_{, onde}

qk:=

pk

k₋1, qs =

p∗(p₋1)

p∗−1

eqs,k =

kp(N ₋s)(p₋1)

kp(N ₋s)₋k(N ₋p)₋N(p₋s)

Como consequência imediata do Teorema 0.5, mostramos que não existe solução clássica para a equação

−∆pu+|

u|p∗−2

|y_|s u=|u|

m−2_u, _em₍_Rk

\ {0_})_×RN−k_, ₍₁₀₎

quandom ₆=p∗_{. Com base neste último resultado estudamos a existência de solução fraca para}

o problema

    

−∆pu+|

u|p∗−2u |y_|s =|u|

p∗

−2_u

u_∈W1,p∗(_RN;_R), u ≥0.

(18)

Utilizando um teorema de compacidade devido a Solimini [42] e os resultados de regulari-dade devidos a Vassilev [48] estudamos a existência de soluções. Uma dificulregulari-dade é a obtenção do Principio da Criticalidade Simétrica, pois o espaço D1,p₍_RN₎_{não é um espaço de Hilbert,} onde adaptamos ao nosso caso os resultados de Browder em [23] e de Boccardo e Murat em [19]. Uma outra dificuldade é a da modificação das reescalas geradas pelo Teorema de Solmini e obtenção das convergências no nosso espaço de Sobolev com peso. obtivemos os seguintes resultados

Teorema 0.6 Sejam 2 _≤ k < N, 1 < p < N, 0 < s _≤ p, s < k ou k = p. Ent˜ao existe

u∈W1,p∗

k (RN;V)n˜ao trivial tal queu≥0e Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}ϕ dx+ Z

RN

|u_|p∗−2u

|y_|s ϕ dx= Z

RN|

u_|p∗−2uϕ dx, (12)

∀ϕ∈W1,p∗(_RN;V).

Teorema 0.7 SejamN > k≥2,1< p < N. Se0< s≤pes < kouk =p, então o problema (11) tem uma solução fraca não negativau_∈Lq₍_RN₎_∩_W1,p∗

k (RN;V)para todo p∗

p′ < q≤+∞

e existeC :=C(RN_{, p,}_k_u_k

1,p)tal que

u(x)_≤ C

|x_|t, para todot <

N −p p₋1. No Cap´ıtulo 2 estudamos o problema

  

∆2_u₊_V₍_|_x_|₎_u₌_f₍_u₎

u_∈D2,2₍_RN_;_R₎_{, N} _≥₅ (13)

onde o potencialV : [0,∞)→(0,∞]é uma função mensurável satisfazendo(Vα)e(V1), a não linearidadef :R_→R _{é cont´ınua e satisfaz}₍_f_m,₂_).

(19)

4, 5, 26, 37, 49]. Contudo problemas envolvendo potencial singular tem sido menos frequentes na literatura, veja [5, 49].

Neste cap´ıtulo nós estendemos os resultados envolvendo os operadores Laplaciano e p-Laplaciano obtidos em [11, 46] para o caso do operador Biharmônico. Na Seção 2.3, com base nas ideias em [46], generalizamos o Lema Radial em [37] e estabelecemos as estimativas necessárias para obter os resultados de imersão cont´ınua para o nosso espaço de sobolev com peso. Depois, como em [11], obtivemos as imersões compactas usando o Lema de Compacidade de Strauss e estabelecemos a estimativa necessária para a obtenção do Princ´ıpio de Criticalidade de Palais Smale. A principal dificuldade no caso do operador Biharmônico é que em algumas estimativas aparecem termos do tipoR _|u_||u′_|_dx_{, que são mais dif´ıceis de ser controlados visto}

que nosso espaço de sobolev com peso não contém termos envolvendo derivadas de primeira ordem. Na Seção 2.4, sendomα := 2 +₂_N₋₄₋4α _α, provamos que o problema (13) adimite solução radial não trivial se α _∈ (0,4) e m _∈ (mα,2∗∗) ou α ∈ (4,2N − 4) e m ∈ (2∗∗, mα) ou

α_∈[2N ₋4,_∞)em_∈(2∗∗_,_∞_{), ou seja, se}₍_{α, m}₎_{´e um ponto da regi˜ao abaixo}

bC

b

b b b

b

4 2

2∗∗ m

α

2N −4

N

existe soluc¸˜ao

mα

Mais especificamente, obtivemos os seguintes resultados

Teorema 0.8 Sejam V : [0,∞) → (0,∞] uma função mensurável satisfezendo (V1) e f ∈

C0₍_R_;_R₎_satisfazendo₍_f1₎_{. Suponha v´alidas}₍_f

m,2)e(Vα)comα ∈ (0,4)ep ∈ (mα,2∗∗)ou

α ∈ (4,2N −4)em ∈ (2∗∗_{, m}

α)ouα ∈ [2N −4,∞)em ∈ (2∗∗,∞). Suponha ainda que

ouV satisfaz(V2)ef satisfaz(f2), ouf satisfaz(f3). Então o problema (13) tem uma solução radial não trivialu∈W2,2₍_RN_{, V}₎_{no seguinte sentido}

Z

RN

∆u_·∆h+V(_|x_|)uh dx= Z

RN

(20)

Teorema 0.9 Sejam V : [0,_∞) _→ (0,_∞] uma função mensurável satisfazendo (V1) e f _∈ C0₍_R_;_R₎ _satisfazendo ₍_f1₎ _e ₍_f4₎_{. Suponha válidas} ₍_f

m,2), (Vα) e (Fm) α ∈ (0,4) e m ∈ (mα,2∗∗)ouα ∈ (4,2N −4)em ∈ (2∗∗, mα), ouα∈ [2N −4,∞)em ∈(2∗∗,∞). Ent˜ao o

(21)

1

Existência de soluções envolvendo o

p-Laplaciano

Neste cap´ıtulo estudaremos problemas semilineares el´ıpticos envolvendo o operador p-Laplaciano do tipo

  

−∆pu+V(|y|)|u|p∗(s)−2u=f(u)

u_∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N} (1.1)

onde(y, z) _∈ Rk_×RN−k_, ₀_{< s < N} ₋ N−p

p , o potencialV : [0,∞) → (0,∞] é uma função mensurável, a não linearidadef :R_→R _{é cont´ınua e satisfazem:}

(Vα) ExistemA, α >0tais queV(s)≥ _sAα para quase todos >0.

(V1) V _∈L1₍_{a, b}₎_{para algum intervalo}₍_{a, b}₎_com_{b > a >}_0.

(fm,p) ExistemM >0em > ptais que|f(s)| ≤M|s|m−1para todos∈R.

(22)

1.1 O espac¸o de Sobolev com peso

Sejam N _≥ k _≥ 2, N > p > 1 e 0 < s < N ₋ N_p−p. Seja p∗ = p∗(s) = p(_NN₋−_ps) e consideremosx= (y, z)∈Rk_×RN−k_{, e por um abuso de notação, para}_k₌_N _{consideraremos} RN ₌Rk_×RN−k_e_x₌_y_{. O operador p-Laplaciano é definido por}_∆_p_u_{:= div(}_|∇_u_|p−2_∇_u₎

Considere o espac¸o de Sobolev

D1,p(RN_{) :=}

u_∈Lp∗(RN_); ∂u

∂xi ∈

Lp(RN₎_,_∀_i_{= 1}_,_{· · ·} _{, N}

com a norma_kuk1,p =k∇ukp. Sabemos queD1,p(RN) é espaço de Banach e que é o fecho de

C∞

0 (RN)sobre a norma dada. Vejamos algumas propriedades que este espac¸o possui.

Proposição 1.1 D1,p₍_RN₎_{é uniformemente convexo.}

Demonstrac¸˜ao: Dadoε∈(0,2), sejamu, v ∈D1,p₍_RN₎_{tais que}

ku_k1,p,kvk1,p≤1eku−vk1,p > ε.

Sep_≥2, em [2], vemos que para todox, y _∈R

x+y

2 p +

x−y

2 p ≤ 1 2(|x|

p₊_|_y_|p₎_.

Com isso,

u+v

2 p 1,p +

u−v

2 p 1,p = Z RN

∇u+∇v

2 p +

∇u− ∇v

2 p dx ≤ Z RN 1 2(|∇u|

p₊

|∇v_|p)dx

= 1 2

kukp1,p+kvk p

1,p

≤1.

Da´ı,

u+v

2 p 1,p

≤1₋

u₋v

2 p 1,p ⇒

u+v

2 1,p

<1₋

1₋1₋ε 2

p1_p

(23)

Portanto, tomandoδ = 1₋ 1₋ ε

2

p1_p

, vemos queδ_∈(0,1)e temos o resultado. Sep_∈(1,2), novamente, em [2], temos que, sendo 1

p +

1

p′ = 1, para todosx, y ∈R

x+y

2 p′ +

x₋y

2 p′ ≤ 1 2|x|

p₊1 2|y|

p _p−11

.

Al´em disso, comop−1 ∈ (0,1)vale a desigualdade de Minkowiski invertida, ou seja, para todosu, v _∈Lp−1₍_RN₎_{tem-se que}

ku+vkp−1 ≥ kukp−1+kvkp−1.

Neste caso,

u+v

2 p′ 1,p +

u₋v

2 p′ 1,p =

∇u+_∇v

2 p′ p−1 +

∇u_{− ∇}v

2 p′ p−1 ≤

∇u+∇v

2 p′ +

∇u− ∇v

2 p′ p−1 =   Z RN

∇u+_∇v

2 p′ +

∇u_{− ∇}v

2

p′!p−1

dx

 

1

p−1

≤ Z

RN

1 2(|∇u|

p₊

|∇v_|p)dx

_p−11

= 1 2

ku_kp₁_,p+_kv_kp₁_,p

1

p−1

≤1.

Logo,

u+v

2 p′ 1,p

≤1−

u₋v

2 p′ 1,p

<1−ε 2

p′

e o resultado segue como antes.

Segue queD1,p₍_RN₎ _{é reflexivo. Sabemos ainda que em} _D1,p₍_RN₎_{convergência fraca} im-plica convergência pontual a menos de subsequência.

Note que o espac¸oLp∗(_RN;V), com a norma definida porkuk

p∗,V := R

RNV(|y|)|u|p∗dx

(24)

convexo. Sabemos também que convergência fraca implica convergência pontual a menos de subsequência.

Defina o espac¸o de Banach

W1,p∗

(RN_;_V_{) :=}_D1,p₍RN₎_∩_Lp∗

(RN_;_V₎

com a norma definida por_ku_k := _ku_k₁p_,p+_ku_kp_p_∗_,V

1

p

. No caso em queV _≡ 1denotaremos este espac¸o simplemente porW1,p∗(_RN).

Proposição 1.2 W1,p∗(_RN;V) _{é uniformemente convexo.}

Demonstrac¸˜ao: Em [2], vemos queD1,p₍_RN₎_×_Lp∗(_RN;V)_{com a norma definida por}k(u, v)k=

ku_kp₁_,p+_kv_kp_p_∗_,V

1

p

´e uniformemente convexo.

Defina a aplicaçãoP :u∈W1,p∗(_RN;V)7→(u, u)∈D1,p(_RN)×Lp∗(_RN;V). Note queP é uma isometria linear eP(W1,p∗(_RN;V))_{é um subespaço fechado de}D1,p(_RN)

×Lp∗(_RN;V). Neste caso, [21] garante queP(W1,p∗

(RN_;_V₎₎ _{´e uniformemente convexo e segue da isometria}

queW1,p∗(_RN;V) _{´e uniformemente convexo.} ConsequentementeW1,p∗(_RN;V)

´e reflexivo e da imers˜ao cont´ınuaW1,p∗(_RN;V)֒

→D1,p₍_RN₎ temos que convergência fraca implica convergência pontual a menos de subsequência.

Defina por fim o espac¸o

W1,p∗

k (RN;V) :=

u∈W1,p∗

(RN_;_V_);_u₍_{y, z}_{) =}_u₍_{gy, z}₎_, _∀_g _∈_O₍_k₎ _,

o qual ´e um subespac¸o fechado deW1,p∗(_RN;V). No caso especial em quek =N _denotaremos

W1,p∗

N (RN;V) = W1,p ∗

r (RN;V)devido à simetria radial de suas funções.

Definição 1.3 Uma ação de um grupo topológico G sobre um espaço de Banach X é uma aplicação cont´ınua

(g, u)_∈G_×X _7→gu_∈X

tal que

(25)

(gh)u=g(hu)

u_∈X _7→gu_∈X ´e linear.

Uma ação é dita isométrica quando para todog ∈Ge para todou∈Xtemos que

kgu_k=_ku_k.

O espac¸o de pontos invariantes ´e definido por

XG :={u∈X : gu=u, ∀g ∈G}.

Uma aplicaçãoϕ:X _→R_{é dita invariante sobre G se}

ϕ◦g =ϕ, ∀g ∈G.

Obeteremos agora o Princ´ıpio da Criticalidade Sim´etrica.

Proposição 1.4 Sejam X um espaço de Banach estritamente convexo e reflexivo, uma ação isométrica de um grupo topológicoGsobreX eI : XG →Ruma aplicaçãoC1(XG;R). Seja

T :XG →X′ uma aplicac¸˜ao tal queT(u)|X′

G =I

′₍_u₎_e_T₍_u₎_{´e invariante sobre}_G_{. Se}_u_∈_X

G

´e um ponto cr´ıtico deI, ent˜aoT(u) = 0.

Demonstrac¸˜ao:

Suponha, por absurdo, que existau0 ∈XGtal queI′(u0) = 0eT(u0)6= 0. Definimos a aplicac¸˜ao dualidadeJ :X _{→ P}(X′₎_por

J(u) :={φ ∈X′;hφ, ui=kuk2_,_k_φ_k

∗ =kuk}.

(26)

propriedade

∀φ∈X′, ∃!u∈Xtal que_hφ, ui=kuk2_e_k_φ_k

∗ =kuk. (1.2)

Com isso, paraT(u0)_∈X′_{existe um ´unico}_u_˜_∈_X _{tal que}_h_T₍_u0₎_,_u_˜_i₌_k_u_˜_k2 _e_k_T₍_u0₎_k ∗ =

ku˜_k. Da invariância deT(u0) sobre G e da isometria da ação de grupo temos que para todo v _∈X

hT(u0), gvi=hT(u0), vipara todog ∈G,

e

kgu˜_k=_ku˜_kpara todog _∈G.

Da´ı,

(i) _hT(u0), gu˜_i=_hT(u0),u˜_i=_ku˜_k2₌_k_g_u_˜_k2 _{para todo}_g _∈_G_;

(ii) _kT(u0)k∗ =ku˜k=kgu˜kpara todog ∈G.

Logo,gu˜tamb´em satisfaz a propriedade (1.2) e pela unicidadeu˜=gu˜para todog _∈G, ou seja, ˜

u ∈ XG. Da´ı, ku˜k2 = hT(u0),u˜i = hI′(u0),u˜i = 0e portantokT(u0)k∗ = ku˜k = 0 o que

contradiz o suposto inicialmente. Defina funcionalI :W1,p∗(_RN;V)

→R_por

I(u) = 1

p

Z

RN|∇

u|p₊_V₍_|_y_|₎_|_u_|p∗

dx− Z

RN

F(u)dx.

De(fp∗)temos queI ∈C1(W1,p∗(RN;V);R)com derivada de Fr´echet emu∈W1,p∗(RN;V) dada por

hI′(u), h_i= Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}h +V(_|y_|)_|u_|p∗

uh dx₋

Z

RN

f(u)h dx.

A proposição a seguir é obtido seguindo as ideias de Boccardo e Murat em [19] e de Ghous-soub e Yuan em [31] (veja também [6] e [40]).

Proposição 1.5 Seja _{un} ⊂ Wk1,p∗(RN;V) uma sequência limitada tal que I′(un) → 0. Se

(27)

Demonstração: Como un ⇀ u em W1,p∗(RN;V), então un → u q.s em RN, a menos de subsequência. Sejaen := (|∇un|p−2∇un− |∇u|p−2∇u)· ∇(un−u)e note que, pelo Lema A.6,

en≥0.

Para cadaε ∈N_{definimos a func¸˜ao}_τ_ε_:R_→R_por

τε(s) =   

s, se_|s_{| ≤}ε, εs/_|s_|, se_|s_|> ε.

Note que Z

RN

V(_|y_|)_|τε(un−u)|p∗dx≤ Z

RN

V(_|y_|)_|un−u|p∗dx <∞,

da´ı,τε(un−u)∈Lp∗(RN;V).

Pela regra da cadeia em [32] temos que

∇τε(un−u) =   

∇(un−u), se|un−u| ≤ε, 0, se_|un−u|> ε.

Da´ı,_∇τε(un−u)∈Lp(RN). ´

E facil ver que τε(un −u)(gy, z) = τε(un −u)(y, z), ∀g ∈ O(k). Logo τε(un − u) ∈

W1,p∗

k (RN;V).

Da desigualdade de H¨older temos que

Z

RN

en(x)dx ≤

Z

RN

|∇u_n|p−2∇u_n− |∇u|p−2∇u

p p−1 _dx

p−_p1 Z

RN|∇

(un−u)|pdx 1_p

Usando a desigualdade de H¨older e a desigualdade (a +b)r _≤ ₂r−1₍_ar ₊_br₎ _{na primeira} integral do lado direito obtemos que

Z

RN

|∇u_n|p−2∇u_n− |∇u|p−2∇u

p

p−1 _dx_≤₂_p−p1−1

Z

RN|∇

un|p+|∇u|pdx Com isso, da limitac¸˜ao de_{un}emW1,p

∗

(28)

Sejaϕ _∈C∞

0 (RN)comsuppϕ⊂Bm+1,0≤ϕ ≤1eϕ|suppBm ≡1. Sejam

Mℓ :={x∈RN;|u(x)|> ℓ} e mℓ :={x∈RN;|u(x)| ≤ℓ},

da´ı, Z RN ϕe 1 p

ndx = Z

Mℓ

ϕe

1

p

ndx+ Z

mℓ

ϕe

1

p

ndx (1.3)

Da desigualdade de Hölder e da limitação de_{en}emL1(RN)temos que

Z Mℓ

ϕe

1

p

ndx ≤ Z

Mℓ

endx 1_pZ

Mℓ

ϕp−p1dx

p −1 p ≤ Z RN

endx 1_pZ

Mℓ∩Bm+1

ϕp−p1dx

p −1

p

≤C

Z

Mℓ∩Bm+1

dx

p−_p1 ≤C

Z

Mℓ∩Bm+1

|u_| ℓ dx

p−_p1

≤C

 

Z

RN

|u_|p∗

ℓp∗ dx

_p1∗ _Z Bm+1

p ∗₋₁

p∗  

p−1

p

≤ C

ℓp−p1

,

(1.4) ondeCn˜ao depende nem deℓe nem den.

Sejam

Mn,ε :={x∈RN; |un(x)−u(x)| ≥ε} e mn,ε :={x∈RN; |un(x)−u(x)|< ε},

da´ı, Z mℓ ϕe 1 p

ndx= Z

mℓ∩mn,ε

ϕe

1

p

ndx+ Z

mℓ∩Mn,ε

ϕe

1

p

ndx. (1.5)

(29)

Z

mℓ∩Mn,ε

ϕe

1

p

ndx ≤ Z

mℓ∩Mn,ε

endx !1_p

Z

mℓ∩Mn,ε

ϕp−p1dx

!p−_p1

≤C

Z

mℓ∩Mn,ε∩Bm+1

ϕp−p1dx

!p−_p1

≤C_|Mn,ε∩Bm+1|

p−1

p

Como_|Bm+1|<+∞eun→uq.s emRN, pelo Teorema de Ergoroff,{un|Bm+1}converge

em medida parau. Da´ı, existen0 _∈N_{tal que se}_n_≥_n0_{, ent˜ao}

n

x∈RN_; _|_u_n₍_x₎₋_u₍_x₎_{| ≥} ε

2 ∩Bm+1 o

<

ε

2, da´ı,

|Mn,ε∩Bm+1|< ε

2 < ε, ∀n≥n0. Assim,

lim sup n→+∞

Z

mℓ∩Mn,ε

ϕe

1

p

ndx≤Cε

p−1

p . _(1.6)

Por outro lado, Z

mℓ∩mn,ε

ϕe

1

p

ndx= Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

ϕe

1

p

ndx

≤ Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

ϕendx !1_p

Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

ϕdx

!p−_p1

≤C

Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

(30)

=C

Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

|∇un|p−2∇un· ∇(un−u)ϕdx

− Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

|∇u|p−2_∇_u_{· ∇}₍_u

n−u)ϕdx !1_p

=C

Z

mℓ∩mn,ε∩Bm+1

|∇un|p−2∇un· ∇τε(un−u)ϕdx

Z

RN−|∇

u|p−2_∇_u_{· ∇}_τ

ε(un−u)ϕdx 1_p

≤C

Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇τε(un−u)ϕdx

− Z

RN|∇

u|p−2_∇_u_{· ∇}_τ

ε(un−u)ϕdx 1_p

.

(1.7)

Note que o funcionalH:W1,p∗(_RN;V)

→R_{definido por}

hH, w_i:= Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}w ϕ dx

´e limitado, da´ı, comoun⇀ uemW1,p∗(RN;V), temos que

Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}τε(un−u)ϕdx ≤ |h

H, un−ui| →0, (1.8)

(31)

Tamb´em temos que,

Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇τε(un−u)ϕdx

= Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇(τε(un−u)ϕ)dx− Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇ϕ τε(un−u)dx.

(1.9)

Da desigualdade de Hölder e da limitação de_{un}e comoτε ≤εtemos que

Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇ϕ τε(un−u)dx ≤

ε

Z

RN|∇

un|p−1|∇ϕ|dx

≤ k∇unkpp−1k∇ϕkpε≤Cε

(1.10)

ComoI′₍_u

n)→0,{τε(un−u)}´e limitada,τε ≤εe da desigualdade de H¨older temos que

Z

RN|∇

un|p−2∇un· ∇(τε(un−u)ϕ)dx

= hI

′₍_u

n), ϕτε(un−u)i − Z

RN

V(|y|)|un|p∗−2unϕτε(un−u)dx

+ Z

RN|

un|p ∗₋₂

unϕτε(un−u)dx

≤ |hI′(un), ϕτε(un−u)i|+ε Z

RN

V(|y|)|un|p∗−1|ϕ|dx+ Z

RN|

un|p ∗

−1_|_ϕ_|_dx

≤o(1) +Cε.

(1.11)

Logo, tomando limite superior em (1.9), usando (1.10) e (1.11) temos que

lim sup n→+∞

Z

RN|∇

(32)

Do mesmo modo, passando o limite superior em (1.7), usando (1.8) e (1.12) temos que

lim sup n→+∞

Z

mℓ∩mn,ε

ϕe

1

p

ndx≤Cε. (1.13)

Passando o limite superior em (1.5), usando (1.6) e (1.13) temos que

lim sup n→+∞

Z mℓ

ϕe

1

p

ndx ≤o(ε). (1.14)

Substituindo (1.4) e (1.14) em (1.3) temos que

lim sup n→+∞

Z

RN

ϕe

1

p

ndx≤

C

ℓp−p1

+o(ε). (1.15)

Fazendoε→0eℓ→+∞temos que

lim n→+∞

Z Bm

e

1

p

ndx= lim n→+∞

Z

RN

ϕe

1

p

ndx→0,

ou seja,e

1

p

n →0emL1(Bm). Sep_≥2, ent˜ao do Lema A.6

Z Bm

|∇un− ∇u|dx≤ Z

Bm

e

1

p

ndx→0,

da´ı,_∇un→ ∇uq.s emBm.

Se1< p < 2, ent˜ao tomes = p2−_p2p+2, t = _sp1 e note ques >1et >0. Do Lema A.6 e da

(33)

Z Bm

|∇un− ∇u|2tdx ≤ Z

Bm

et_n(|∇un|+|∇u|)(2−p)tdx

≤ Z

Bm

est_n

1_s Z

Bm

(_|∇un|+|∇u|)

(2−p)ts s−1

s−_s1

= Z

Bm

e

1

p

n

1_sZ

Bm

(_|∇un|+|∇u|)

(2−p)ts s−1

p →0.

quandon _→ +_∞.Da´ı, _|∇un− ∇u|2t → 0 emL1(Bm), portanto, a menos de subsequˆencia, ∇un→ ∇uq.s emBm.

Logo, tomando uma subsequˆencia diagonal,

(34)

1.2 Um caso radial simples

Nesta seção estudaremos a existência de solução fraca para o caso particular do problema (1.1) em quek =N es=p, ou seja, o problema

  

−∆pu+V(|x|)|u|p−2u=f(u)

u_∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N} (1.16)

O caso mais simples no qual nossos resultados são válidos é dado pelo problema 

   

−∆pu+

A

|x_|α|u|

p−2_u₌

|u_|m−2u

u∈D1,p₍_RN_;_R₎_, ₁_{< p < N.}

(1.17)

Neste caso, na próxima seção, estudaremos a não existência de solução clássica deste último problema.

1.2.1 Identidade de Pohoˇzaev e resultados de n˜ao-existˆencia

Através de identidades integrais provaremos o resultado de não-existência para o problema (1.17)da introdução.

Lema 1.6 Sejamf ∈C0₍_R_;_R₎_e_u_∈_C2₍_RN_;_R₎_{uma solução clássica para a equação}

−∆pu+

A

|x_|α|u|

p−2_u₌_f₍_u₎ _em_RN

\ {0_}, 1< p < N. (1.18)

SejaF(s) := Rs

0 f(t)dt,∀s∈R. Se

Z

RN|∇

u|p₊ |u|p

(35)

ent˜ao

N −p p

Z

RN|∇

u|p_dx₊N −α

p

Z

RN

A|u|p

|x_|α dx=N Z

RN

F(u)dx. (1.20)

Demonstração: Sabemos que as seguintes identidades são válidas

(x· ∇u)∆pu= div

|∇u|p−2_∇_u₍_x_{· ∇}_u₎₋ 1 p|∇u|

p_x

+ N −p

p |∇u|

p_;

(x· ∇u)A|u| p−2_u

|x_|α = div

A|u|p

p_|x_|αx

− N −α

p

A|u|p |x_|α ;

(x_{· ∇}u)f(u) = div (F(u)x)₋NF(u).

Para cadaR2 > R1 >0, multiplicando a equação (1.18) por(x_{· ∇}u)e aplicando o Teorema da Divergência sobre o anelΩ := ΩR1,R2 :=BR2 \BR1, nós obtemos

− Z

∂Ω|∇

u_|p−2(x_{· ∇}u)(_∇u_·ν)dσ+1

p

Z ∂Ω

|∇u_|p+A|u| p

|x_|α

(x_·ν)dσ₋

Z ∂Ω

F(u)(x_·ν)dσ

= N −p

p

Z

Ω|∇

u_|pdx+ N −α

p

Z

Ω A_|u_|p

|x_|α dx−N Z

Ω

F(u)dx (1.21) ondeν(x)´e o vetor normal apontando para fora de∂Ωemxedσ´e a medida(N₋1)₋dimensional de∂Ω. Como∂Ω =∂BR1 ∪∂BR2 temos queν(x) = (−1)

i x

Ri em∂BRi,i= 1,2. Ent˜ao,

Z

∂B_Ri |∇

u_|p−2₍_x_{· ∇}_u₎₍_∇_u_·_ν₎_dσ

≤ 1 Ri Z

∂B_Ri |∇

u_|p−2₍_x_{· ∇}_u₎2_dσ_≤_R

i Z

∂B_Ri|∇

u_|p_dσ_; (1.22) Z ∂B_Ri

|∇u|p₊ A|u|p |x|α

(x·ν)dσ

≤Ri Z

∂B_Ri |∇

u|p₊A|u|p

|x|α dσ; (1.23) Z ∂B_Ri

F(u)(x_·ν)dσ

≤Ri Z

∂B_Ri|

F(u)_|dσ, (1.24)

(36)

Afirmação 1 Existe uma sequênciaR1,n →0,0< R1,n <1tal que

R1,n Z

∂BR1,n

|∇u|p₊ |u|p

|x_|α +|F(u)|dσ→0.

Assim, de (1.22)-(1.24), temos que

− Z

∂BR₁_,n

|∇u_|p−2(x_{· ∇}u)(_∇u_·ν)dσ+ 1

p

Z ∂BR₁_,n

|∇u_|p+A|u| p

|x|α

(x_·ν)dσ

− Z

∂BR1,n

F(u)(x·ν)dσ

≤CR1,n Z

∂BR1,n

|∇u|p₊ |u|p

|x|α +|F(u)|dσ →0.

Com isso, fazendoR1 :=R1,n em (1.21) e passando o limite, obtemos

− Z

∂BR₂

|∇u_|p−2(x_·∇u)(_∇u_·ν)dσ+1

p

Z ∂BR₂

|∇u_|p+ A|u| p

|x|α

(x_·ν)dσ₋

Z ∂BR₂

F(u)(x_·ν)dσ

= N −p

p

Z BR₂

|∇u_|pdx+N −α

p

Z BR₂

A_|u_|p

|x_|α dx−N Z

BR₂

F(u)dx. (1.25)

Para concluir, assumiremos a seguinte afirmac¸˜ao

Afirmação 2 Existe uma sequênciaR2,n → ∞,R2,n >1tal que

R2,n Z

∂BR₂_,n

|∇u_|p+ |u| p

|x_|α +|F(u)|dσ→0.

Com isso, fazendoR2 := R2,n em (1.25), das estimativas (1.22)-(1.24) e passando o limite, obtemos que

N₋p p

Z

RN|∇

u_|p_dx₊N −α

p

Z

RN

A_|u_|p

|x|α dx=N Z

RN

(37)

Demostração da Afirmação 1: Defina

S(r) := Z

∂Br

|∇u_|p+ |u| p

|x|α +|F(u)|dσ e note que

Z ∞

0

S(r)dr= Z

RN|∇

u_|p+ |u| p

|x|α +|F(u)|dx < ∞. Sejag : R _∈ (0,_∞) _7→ inf

0<r≤RrS(r) ∈

R_{. Temos que} _g _{´e decrescente e} _g₍_R₎ _≥ ₀_, _∀_R _∈

(0,+∞), da´ı, lim

R→0+g(R) = sup

R>0

g(R)≥0. Se lim

R→0+g(R)>0, ent˜ao existemR0 >0eλ >0tais queg(R0)> λ. Da´ı,

λ < g(R0)_≤rS(r),_∀r_≤R0 _⇒S(r)_≥ λ

r,∀r≤R0.

Ent˜ao, Z

RN|∇

u_|p+ |u| p

|x_|α +|F(u)|dx≥ Z R0

0

S(r)dr_≥

Z R0

0 λ

rdr=∞,

o que ´e um absurdo, portanto lim

R→0+g(R) = 0.

Neste caso, g(R) = 0, ∀R > 0, ou seja, inf

0<r≤RrS(r) = 0, ∀R > 0. Com isso, para cada

n _∈ N_{, tome}_R ₌ 1

n. Ent˜ao, como inf

0<r≤_n1

rS(r) = 0, existe0 < rn ≤ 1_n tal quernS(rn) < _n1, portantorn→0+ernS(rn)→0.

A demonstração da Afirmação 2 segue de forma análoga, bastando agora definir a função

g(R) = inf

R<rrS(r)∈

R_{, notar que}_g₍_R₎_{´e crescente e concluir que} _lim

R→+∞g(R) = 0.

Lema 1.7 Sejau_∈C2₍_RN _{\ {}₀_}_,_R₎_{uma solução clássica da equação}

−∆pu+

A_|u_|p−2_u

|x|α =|u|

(38)

Seu _∈D1,p₍_RN₎_∩_Lp₍_RN_{, V}₎_∩_Lm₍_RN₎_{, ent˜ao} Z

RN

|∇u|p₊ A|u|p |x_|α

dx= Z

RN|

u|m_dx. _(1.27)

Demonstrac¸˜ao: Multiplicando (1.26) poru, usando a identidadediv(_|∇u_|p−2_u_∇_u_{) =} _u_∆

pu+ |∇u|p_{e aplicando o Teorema da Divergˆencia no anel}_{Ω =}_B

R2 \B¯R1, temos que

1

R1

Z ∂BR₁

|∇u_|p−2u(_∇u_·x)dσ₋ 1 R2

Z ∂BR₂

|∇u_|p−2u(_∇u_·x)dσ

+ Z

Ω

|∇u|p₊ A|u|p |x|α

dx= Z

Ω|

u|m_dx.

Comou_∈D1,p₍_RN_{), ent˜ao}_u _∈_Lp∗

(RN₎_e_|∇_u_|p−1 _∈_Lp′₍RN_{). Usando a desigualdade de}

H¨older generalizada, onde _p1∗ +

1

p′ +

1

N = 1, temos que 1 Ri Z

∂B_Ri |∇

u_|p−2u(_∇u_·x)dσ

≤ Z

∂B_Ri |∇

u_|p−1_|u_|dσ

≤ Z

∂B_Ri|∇

u_|pdσ

!_p1′ Z

∂B_Ri |

u_|p∗dσ

!_p1∗ _Z

∂B_Ri

dσ

!_N1

=NωNR

N−1

N

i

Z

∂B_Ri|∇

u_|p_dσ !_p1′

Z ∂B_Ri|

u_|p∗

dσ

!_p1_∗

≤NωN Ri Z

∂B_Ri |∇

u|p₊_|_u_|p∗

dσ

!_p1∗+_p1′

.

Assim como na Afirmação 1, exitem sequênciasR1,n →0+eR2,n → ∞tais que

Ri,n Z

∂B_Ri

|∇u|p₊_|_u_|p∗

dσ →0, i= 1,2

(39)

Teorema 1.8 Seα _∈(0, p)em _6∈(pα, p∗), ouα =pem 6=p∗, ouα ∈(p, N)em6∈ (p∗, pα),

ouα ≥ N e0 < m ≤ p∗_{, então a equação (1.26) não tem solução clássica}_u _∈ _D1,p₍_RN₎_∩

Lp₍_RN_{, V}₎_∩_Lm₍_RN₎_.

Demonstração: Supondo, por contradição, queu seja uma solução clássica u _∈ D1,p₍_RN₎_∩

Lp₍_RN_{, V}₎_∩_Lm₍_RN_{). Neste caso, podemos aplicar o Lema 1.6 e o Lema 1.7. Assim,} multipli-cando a equação (1.27) por₋N_m e somando com a equação (1.20), obtemos

N −p

p −

N m

Z

RN |∇

u|p_dx ₌

N m −

N −α p

Z

RN

A|u|p |x_|α dx.

Sendou_6≡0, temos que está última igualdade só ocorre quando

N ₋p

p −

N m

N m −

N ₋α p

≥0,

o que contradiz as hip´oteses do Teorema.

1.2.2 Resultados de Existˆencia

Teorema 1.9 Sejam V : [0,_∞) _→ (0,_∞] uma função mensurável satisfazendo (V1) e f _∈ C0₍_R_;_R₎ _satisfazendo₍_f

1). Suponha v´alidas (fm) e(Vα)com α ∈ (0, p)e m ∈ (p∗α, p∗), ou

α _∈ (p,_∞) e m _∈ (p∗_{, p}∗

α). Suponha ainda que ou V satisfaz (V2) e f satisfaz (f2), ou f

satisfaz(f3). Então o problema (1.16) tem uma solução radial não negativau ∈ W1,p(RN;V)

no seguinte sentido

Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}h+V(_|x_|)_|u_|p−2uhdx= Z

RN

f(u)hdx, _∀h_∈W1,p(RN_;_V₎_. _(1.28)

C0₍_R_;_R₎ _satisfazendo₍_f1₎_e ₍_f4₎_{. Suponha v´alidas}₍_f

m), (Vα)e (Fm)comα ∈ (0, p)em ∈ (p∗

α, p∗), ou α ∈ (p,∞) e m ∈ (p∗, p∗α). Então o problema (1.16) admite infinitas soluções

(40)

Os Teoremas 1.9 e 1.10 serão provados na Seção 1.2.4 usando o Teorema do Passo da Mon-tanha (Teorema A.10), o qual o leitor pode ver em [39] e [51].

1.2.3 Resultados de Imers˜ao

Nesta seção estudaremos as imersões cont´ınuas e compacta do espaçoW1,p₍_RN_;_V₎ intro-duzido na Seção 1.1.

Proposic¸˜ao 1.11 W1,p

r (RN;V)֒→Lp ∗

α(RN₎_.

Demonstração: Pela Proposição A.1, temos que existe CN,p > 0 tal que para todo u ∈

W1,p

r (RN;V)

|u(x)_{| ≤}CN,pk∇ukp|x|−

N−p

p , q.s_emRN_. _(1.29)

Neste caso,

|u(x)_|p∗α ₌_|_u₍_x₎_|p_|_u₍_x₎_|Npα−p

≤CN,p|u(x)|pk∇uk

pα N−p

p |x|−α

≤A−1CN,pk∇uk

pα N−p

p V(|x|)|u(x)|p, q.semRN. Da´ı,

Z

RN|

u(x)_|p∗αdx≤Ck∇uk pα N−p

p Z

RN

V(_|x_|)_|u(x)_|pdx_≤C_ku_kNpα−pkukp =Ckukp∗α,

e portanto_kukp∗

α ≤Ckuk.

Como W1,p

r (RN;V) ֒→ D1,p(RN) ֒→ Lp ∗

(RN₎ _e _W1,p

r (RN;V) ֒→ Lp ∗

α(RN_{), temos que}

W1,p

r (RN;V)(RN;V) ֒→ Lp ∗

(RN₎_∩_Lp∗α(RN_{). Por interpolação, temos as seguintes imersões}

cont´ınuas:

W_r1,p(RN_;_V₎_֒_→_Lm₍RN₎_, _∀_α _∈₍₀_{, p}₎_e_∀_m _∈_[_p∗

α, p∗]. (1.30)

W_r1,p(RN_;_V₎_֒_→_Lm₍RN₎_, _∀_α_∈₍_p,_∞₎_e_∀_m_∈_[_p∗_{, p}∗

(41)

Proposição 1.12 As imersões (1.30) e (1.31) são compactas param₆=p∗

α, p∗.

Demonstração: Queremos aplicar o Lema de Compacidade de Strauss, Proposição A.3. Seja _{un} ⊂ Wr1,p(RN;V) limitada e sejam P(s) := |s|m, Q(s) := |s|p

∗

+_|s_|p∗

α_{. Pela}

reflexividade,un⇀ uemWr1,p(RN;V)a menos de subsequˆencia e temos ainda que: (i) lim

|s|→∞ P(s)

Q(s) = lims→0 P(s)

Q(s) = 0; (ii) lim

|x|→∞|un(x)−u(x)|= 0uniformemente com respeito an;

(iii) |un(x)−u(x)|m →0q.s emRN; (iv) sup

n Z

RN

Q(un−u)dx <∞.

Em que,(ii) é devido a (1.29) e a limitação de_{k∇(un−u)kp}, (iii) segue, a menos de sub-sequência, da convergência fraca emW1,p

r (RN;V) e por fim (iv)segue das imersões (1.30) e (1.31) e da limitação de_{un}emWr1,p(RN;V).

Ent˜ao, pelo Lema de Compacidade de Straussun→uemLm(RN).

Proposic¸˜ao 1.13 Seu∈W1,p

r (RN;V), ent˜ao existeC :=C(N, α, p, A)>0tal que Z

RN|

u_|p∗α−1_|_v_|_dx_≤_C_k_u_kp∗α−1_k_v_k_, _∀_v _∈_W1,p₍_RN_;_V₎_.

Demonstração: Usando a desigualdade de Hölder, Z

RN|

u|p∗

α−1|_v|_dx ₌

Z

RN|

x|αp|u|p

∗

α−1 |v|

|x|αpdx

≤ Z

RN|

x|αp ′

p |u|p

′

(p∗

α−1)_dx

_p1′ Z

RN

|v|p |x|αdx

1_p

≤ Z

RN|

x_|αp

′

p |u|p

′

(p∗

α−1)_dx

_p1′ Z

RN

A−1V(_|x_|)_|v_|pdx

1_p

≤ Z

RN|

x|αp ′

p |u|p

′

(p∗

α−1)_dx

(42)

Note que,p′₍_p∗

α−1) =p+ p ′

pα

N−p. Usando (1.29) obtemos Z

RN|

x|αp ′

p |u|p

′

(p∗

α−1)_dx ₌

Z

RN

|u_|p |x|α|x|

αp′

p +α|u| p′_pα

N−pdx

≤Ck∇uk

p′_pα

N−p

p Z

RN

|u|p |x_|α|x|

αp′

|x|−Np−p p′pα N−pdx

≤Ck∇uk

p′_pα

N−p

p Z

RN

|u|p |x_|αdx

≤A−1C_k∇u_k

p′pα N−p

p Z

RN

V(_|x_|)_|u_|pdx

≤Ckuk

p′_pα

N−p

p kukp =Ckukp ′

(p∗

α−1)_,

o que completa a demonstrac¸˜ao.

Proposic¸˜ao 1.14 Seu∈W1,p

r (RN;V), ent˜ao existeC =CN,p>0tal que Z

RN|

u_|p∗−1_|v_|dx_≤C_ku_kp∗−1_kv_k, _∀v _∈W1,p(RN_;_V₎_.

Demonstração: Decorre da desigualdade de Hölder e da imersão de Sobolev.

Proposic¸˜ao 1.15 Se u _∈ W1,p

r (RN;V), ent˜ao existe C = CN,α,A,p > 0 tal que para todo

m∈[p∗

α, p∗]oum∈[p∗, p∗α], de acordo com queα ∈(0, p)ouα∈(p,∞), temos que Z

RN |

u_|m−1_|v_|dx_≤C_ku_km−1_kv_k, _∀v _∈W1,p(RN_;_V₎_.

Demonstração: Segue por interpolação das Proposições 1.13 e 1.14.

Lema 1.16 Assuma queV satisfaz(V2) e seja F ∈ C0₍_R_;_R₎_satisfazendo ₍_f2₎_{. Ent˜ao existe} u_∈W1,p

r (RN;V)tal que Z

R

F(u)dx >0.

(43)

1.2.4 Demonstrac¸˜ao dos Teoremas 1.9 e 1.10

Os Teoremas 1.9 e 1.10 ser˜ao obtidos como consequˆencia dos lemas abaixo. Defina o funcionalI :W1,p

r (RN;V)→Rpor

I(u) := 1

p

Z

RN

(|∇u|p₊_V₍_|_x_|₎_|_u_|p₎_dx₋ Z

RN

F(u)dx, ∀u∈W_r1,p(RN_;_V₎_.

De(fm)e das imers˜oes (1.30) e (1.31) obtemos queI ∈C1(Wr1,p(RN;V);R)com derivada de Fr´echet emu∈W1,p

r (RN;V)dada por

hI′(u), h_i= Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}h+V(_|x_|)_|u_|p−2uhdx₋

Z

RN

f(u)hdx _∀h_∈W_r1,p(RN_;_V₎_.

No seguinte lema obteremos, do Princ´ıpio da Criticalidade Simétrica, que os pontos cr´ıticos deI são soluções do problema (1.16).

Lema 1.17 Todo ponto cr´ıtico deI :W1,p

r (RN;V)→Rsatisfaz (1.28). Demonstrac¸˜ao: Sejau0 ∈ W1,p

r (RN;V)um ponto cr´ıtico deI. Da Proposic¸˜ao 1.2 vimos que

W1,p₍_RN_;_V₎_{é uniformemente convexo, portanto é reflexivo e estritamente convexo. Definimos} a ação topológica do grupoO(N)sobreW1,p₍_RN_;_V₎ _por₍_{g, u}₎ _∈ _O₍_N₎_×_W1,p₍_RN_;_V₎ _7→

gu:=u_◦g _∈W1,p₍_RN_;_V_).

De(fm)e da Proposic¸˜ao 1.15 podemos definirT :Wr1,p(RN;V)→(W1,p∗(RN;V))′ por

hT(u), h_i:= Z

RN|∇

u_|p−2_∇u_{· ∇}h+V(_|x_|)_|u_|p−2uhdx₋

Z

RN

f(u)hdx.

Por construc¸˜aoT(u)_|₍_W1,p

r (RN;V))′ =I

′₍_u_{). Fazendo mudanc¸a de vari´aveis, vemos que}_T₍_u₎

´e invariante porO(N), ou seja, dadoh_∈W1,p∗(_RN;V)

hT(u), h_◦g_i=_hT(u), h_ipara todog _∈O(N).

Do mesmo modo, vemos que