Microeconomia 2 – Gradua¸c˜
ao
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Solu¸c˜
ao dos Exerc´ıcios de Teoria da Escolha Social
Prof. Jos´
e Guilherme de Lara Resende
1. Mostre que a regra de vota¸c˜ao majorit´aria aos pares, conforme definida em sala, satisfaz as propriedades de anonimato, neutralidade entre as alternativas e resposta positiva.
S: Suponha apenas duas alternativas e considere a fun¸c˜ao Di como definida na nota de aula e a regra de vota¸c˜ao majorit´aria f descrita na nota de aula. Vamos mostrar que f satisfaz as propriedades:
(i) Anonimato: f (D1, ..., DI) = f (Dπ(1), . . . , Dπ(I)), onde π : {1, . . . , I} → {1, . . . , I} ´e uma
permuta¸c˜ao (π ´e uma bije¸c˜ao).
Prova: Seja π : {1, . . . , I} → {1, . . . , I} uma permuta¸c˜ao qualquer. Temos que:
I X i=1 Di = I X i=1 Dπ(i) ⇒ sign I X i=1 Di ! = sign I X i=1 Dπ(i) ! ,
onde a primeira igualdade ´e consequˆencia da propriedade de comutatividade da adi¸c˜ao. Como f (D1, . . . , DI) = signPI
i=1D
i, ent˜ao vota¸c˜ao majorit´aria satisfaz o crit´erio de
anonimato.
(ii) Neutralidade entre as alternativas: f (D1, . . . , DI) = −f (−D1, . . . , −DI). Prova: Consequˆencia de sign ser uma fun¸c˜ao ´ımpar :
f (D1, . . . , DI) = sign I X i=1 Di ! = sign − I X i=1 −Di ! = −sign I X i=1 −Di ! = −f (−D1, . . . , −DI)
(iii) Resposta Positiva. Se D = f (D1, . . . , DI) ≥ 0 e ˜Di = Di para todo i 6= i0, e ˜Di0 > Di0,
ent˜ao f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = 1.
Prova: Sejam (D1, . . . , DI) e ( ˜D1, . . . , ˜D
I) dois conjuntos de preferˆencias quaisquer
tais que f (D1, . . . , DI) ≥ 0 e ˜Di = Di para todo i 6= i0, e ˜Di0 > Di0. Se D =
f (D1, . . . , DI) ≥ 0, ent˜ao: sign I X i=1 Di ! ≥ 0 ⇒ I X i=1 Di ≥ 0
Como ( ˜D1, . . . , ˜DI) ´e tal que ˜Di = Di para todo i 6= i0, e ˜Di0 > Di0, ent˜ao: I X i=1 ˜ Di > I X i=1 Di ≥ 0 Logo, f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = signPI i=1D˜ i= 1.
2. Mostre que uma regra de escolha social que satisfaz as propriedades de resposta positiva e neutralidade entre as alternativas satisfaz a seguinte propriedade:
Propriedade de Resposta Negativa. Se D = f (D1, . . . , DI) ≤ 0 e ˜Di = Di para todo i 6= i0, e ˜Di0 < Di0, ent˜ao f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = −1.
Interprete intuitivamente a propriedade acima.
S: Considere conjuntos de alternativas tais que D = f (D1, . . . , DI) ≤ 0 e ˜Di = Di para todo
i 6= i0, e ˜Di0 < Di0. Observe que:
f (D1, . . . , DI) ≤ 0 ⇔ −f (D1, . . . , DI) ≥ 0 ⇔ f (−D1, . . . , −DI) ≥ 0 ,
onde a ´ultima equivalˆencia ´e consequˆencia da propriedade de neutralidade entre as alterna-tivas. Como ˜Di = Di para todo i 6= i
0, e ˜Di0 < Di0, ent˜ao − ˜Di = −Di para todo i 6= i0, e
− ˜Di0 > −Di0. Logo, resposta positiva implica:
f (− ˜D1, . . . , − ˜DI) = 1 ⇔ −f (− ˜D1, . . . , − ˜DI) = −1 ⇔ f ( ˜D1, . . . , ˜DI) = −1, , onde a ´ultima equivalˆencia ´e novamente consequˆencia da propriedade de neutralidade entre as alternativas. Logo vale a propriedade de resposta negativa. A intui¸c˜ao dessa propriedade ´e an´aloga a intui¸c˜ao da propriedade de resposta positiva. Se o conjunto de preferˆencias individ-uais considerado ´e tal que ou y est´a sendo escolhido ou as duas alternativas s˜ao consideradas socialmente indiferentes, ent˜ao se a preferˆencia de um indiv´ıduo mudar, pendendo mais para a alternativa y, ent˜ao a regra de escolha social resultara em y sendo escolhido (ou continuar a ser escolhido).
3. Considere uma elei¸c˜ao com 3 candidatos, A, B e C, e quatro eleitores, onde as preferˆencias desses eleitores ´e descrita na seguinte tabela, em ordem decrescente de preferˆencia:
Eleitor 1 Eleitor 2 Eleitor 3 Eleitor 4
A A B C
B B C B
C C A A
Assuma que o m´etodo de vota¸c˜ao ´e dado pela contagem de Borda (vota¸c˜ao em lista). Suponha que ningu´em vote estrategicamente.
a) Calcule um sistema de pesos para o sistema de Borda onde o candidato A ganha, se tal sistema de pesos existir.
S: Considere o seguinte sistema de pesos: primeira alternativa recebe 1 ponto, a segunda alternativa recebe 3 pontos e a terceira alternativa recebe 3,5 pontos. Nesse caso ent˜ao temos que a alternativa A ganha, j´a que:
• A: 1 + 1 + 3,5 + 3,5 = 9; • B: 3 + 3 + 1 + 3 = 10; e • C: 3,5 + 3,5 + 3 + 1 = 11.
b) Calcule um sistema de pesos para o sistema de Borda onde o candidato B ganha, se tal sistema de pesos existir.
S: Considere o sistema de pesos tradicional da contagem de Borda: primeira alternativa recebe 1 ponto, segunda alternativa recebe 2 pontos e terceira alternativa recebe 3 pontos. Nesse caso ent˜ao temos que a alternativa B ganha, j´a que:
• A: 1 + 1 + 3 + 3 = 8; • B: 2 + 2 + 1 + 2 = 7; e • C: 3 + 3 + 2 + 1 = 9.
c) Considere o sistema de pesos calculado para o item b). Existe algum incentivo para algum eleitor votar estrategicamente?
S: Depende do que definirmos para o caso de empate. Se, por exemplo, o eleitor 1 escolher a alternativa em caso de empate, ent˜ao se ele declarar A,C,B, todas as trˆes alternativas empatam com 8 pontos, o que permite a ele escolher A, sua alternativa preferida.
4. Considere as seguintes regras de vota¸c˜ao:
Regra de Copeland: Fixe uma alternativa, digamos x. Compare essa alternativa x com toda outra alternativa y. Em cada compara¸c˜ao, agracie 1 se a maioria prefere x a y, −1 se a maioria prefere y a x e 0 se ocorre empate. Some os pontos de todas as compara¸c˜oes da alternativa x. Repita esse procedimento para toda alternativa existente. A alternativa com a maior soma (Copeland score) ´e o vencedor de Copeland.
Regra de Simpson: Fixe uma alternativa, digamos x. Para toda outra alternativa y, calcule o n´umero N (x, y) dos eleitores que preferem (fracamente) x a y. O score de Simpson para a alternativa x ´e o menor N (x, y) em y
min
y N (x, y)
. Repita esse procedimento para toda alternativa existente. A alternativa com o maior score de Simpson ´e chamada de vencedor de Simpson.
Regra de Borda Modificada: Cada eleitor ordena as cinco alternativas da mais preferida `a menos preferida (sem empates). A alternativa ordenada por ´ultimo recebe 0 pontos, a quarta recebe 1 ponto, a terceira recebe 2 pontos, a segunda recebe 3 pontos e a primeira recebe 4 pontos. Some os pontos de todos os eleitores. A alternativa com maior pontua¸c˜ao ´e chamada de vencedor de Borda.
Considere a seguinte ordena¸c˜ao (estrita) de preferˆencias, entre 9 eleitores e cinco alternativas: N´umero de eleitores: 1 4 1 3 a c e e b d a a c b d b d e b d e a c c
a) Identifique os vencedores de Copeland e de Simpson.
S: Os scores de Copeland, denotados por SC(x), s˜ao: SC(a) = 1 + 1 + 1 − 1 = 2, SC(b) = −1 + 1 − 1 + 1 = 0, SC(c) = −1 − 1 + 1 + 1 = 0, SC(d) = −1 + 1 − 1 + 1 = 0, SC(e) = +1 − 1 − 1 − 1 = −2. Portanto, o vencedor de Copeland ´e a alternativa a e a ordena¸c˜ao social por este m´etodo ´e a b ∼ c ∼ d e.
Os scores de Simpson, denotados por SS(x), s˜ao: SS(a) = min{5, 5, 5, 1} = 1, SS(b) = min{4, 5, 4, 5} = 4, SS(c) = min{4, 4, 5, 5} = 4, SS(d) = min{4, 5, 4, 5} = 4, SS(e) = min{8, 4, 4, 4} = 4, Portanto os vencedores de Simpson s˜ao b, c, d e e e a ordena¸c˜ao social por este m´etodo ´e b ∼ c ∼ d ∼ e a.
b) Calcule o vencedor de Borda para o crit´erio acima. Compare o vencedor de Borda com o vencedor de Copeland.
S: Os scores de Borda, denotados por SB(x), s˜ao: SB(a) = 4 + 0 + 3 + 9 = 16, SB(b) = 3 + 8 + 1 + 6 = 18, SB(c) = 2 + 16 + 0 + 0 = 18, SB(d) = 1 + 12 + 2 + 3 = 18, SB(e) = 0 + 4 + 4 + 12 = 20. Portanto, o vencedor de Copeland ´e e e a ordena¸c˜ao social por este m´etodo ´e e b ∼ c ∼ d a. O crit´erio de Borda resulta em uma ordena¸c˜ao social que ´e o inverso da ordena¸c˜ao social resultante do crit´erio de Copeland, para as preferˆencias descritas no exerc´ıcio.
c) Encontre trˆes sistemas de pesos positivos (diferentes de zero) para uma regra do tipo de Borda tal que o primeiro eleja c, o segundo eleja b e o terceiro eleja d.
S: Vamos descrever trˆes sistemas de pesos poss´ıveis. Observe que existe uma infinidade deles.
i. Para eleger c, podemos usar os seguintes pesos: a alternativa ordenada por ´ultima recebe 0 ponto, a quarta recebe 1 ponto, a terceira recebe 5 pontos, a segunda recebe 6 pontos e a primeira recebe 10 pontos. Neste caso, temos SB(a) = 10 + 0 + 6 + 18 = 34, SB(b) = 6 + 20 + 1 + 15 = 42, SB(c) = 5 + 40 + 0 + 0 = 45, SB(d) = 1 + 24 + 5 + 3 = 33, SB(e) = 0 + 4 + 10 + 30 = 44.
ii. Para eleger b, podemos usar os seguintes pesos: a alternativa ordenada por ´ultima recebe 0 ponto, a quarta recebe 2 pontos, a terceira recebe 4 pontos, a segunda recebe 5 pontos e a primeira recebe 6 pontos. Neste caso, temos SB(a) = 6+0+5+15 = 26, SB(b) = 5+16+2+12 = 35, SB(c) = 4+24+0+0 = 28, SB(d) = 2+20+4+6 = 32, SB(e) = 0 + 2 + 6 + 18 = 26.
iii. Para eleger d, podemos usar os seguintes pesos: a alternativa ordenada por ´ultima recebe 0 ponto, a quarta recebe 4 pontos, a terceira recebe 5 pontos, a segunda recebe 9 pontos e a primeira recebe 10 pontos. Nesse caso, temos SB(a) = 10 + 0 + 9 + 27 = 46, SB(b) = 9 + 20 + 4 + 15 = 48, SB(c) = 5 + 40 + 0 + 0 = 45, SB(d) = 4 + 36 + 5 + 12 = 57, SB(e) = 0 + 16 + 10 + 30 = 56.
5. Verifique quais condi¸c˜oes do Teorema de Arrow as regras de escolha social listadas abaixo satisfazem. Argumente de modo convincente caso a regra satisfa¸ca alguma condi¸c˜ao e forne¸ca um contra-exemplo caso contr´ario.
a) Vota¸c˜ao majorit´aria aos pares;
S: Mostrar: [satisfaz todas as condi¸c˜oes, menos levar sempre a preferˆencias transitivas (exemplo: paradoxo de Condorcet)].
b) Vota¸c˜ao majorit´aria normal;
S: Mostrar: [satisfaz todas as condi¸c˜oes, menos PFP e IIA]. c) Regra ditadorial;
S: Mostrar: [satisfaz todas as condi¸c˜oes, menos a de n˜ao ser a ditadorial]. d) Contagem de Borda.
S: Mostrar: [satisfaz todas as condi¸c˜oes, menos IIa (ver exemplo dado na nota de aula)]. 6. Argumente de modo convincente que se existem apenas duas alternativas, a regra de vota¸c˜ao
majorit´aria satisfaz as hip´oteses do Teorema de Arrow.
S: Dom´ınio universal segue por constru¸c˜ao: qualquer que seja o conjunto de preferˆencias con-siderado, ´e poss´ıvel contar o n´umero de pessoas que prefere cada alternativa ou ´e indiferente,
para ent˜ao decidir o vencedor ou se ocorre um empate (indiferen¸ca social) entre as alterna-tivas). O princ´ıpio fraco de Pareto ´e consequˆencia de que se todos os indiv´ıduos preferirem uma alternativa qualquer, ent˜ao est´a alternativa vence a vota¸c˜ao e ´e escolhida. O m´etodo ´e claramente n˜ao ditadorial (a alternativa social n˜ao ´e decidida por apenas um indiv´ıduo, qualquer que sejam as preferˆencias dos outros indiv´ıduos da sociedade. Finalmente, inde-pendˆencia das alternativas irrelevantes segue diretamente do fato de existirem apenas duas alternativas, ent˜ao na compara¸c˜ao entre essas duas, n˜ao existe qualquer outra alternativa para se considerar se ´e ou n˜ao irrelevante no processo de decis˜ao social.
7. Considere uma elei¸c˜ao com quatro candidatos, A, B, C e D e cinco eleitores, onde as pre-ferˆencias desses eleitores s˜ao descritas na seguinte tabela, em ordem decrescente de preferˆencia:
Eleitor 1 Eleitor 2 Eleitor 3 Eleitor 4 Eleitor 5
A A B C D
B D C B B
C C A D C
D B D A A
Assuma que o m´etodo de vota¸c˜ao ´e regra da maioria simples, onde cada eleitor vota em apenas uma das alternativas e a alternativa mais votada ´e a escolhida.
a) Suponha que ningu´em vote estrategicamente, ou seja, cada eleitor seleciona a sua alter-nativa preferida. Qual ´e a alternativa eleita?
S: A alternativa A, que recebe dois votos, enquanto as alternativas B, C e D recebem um voto cada.
b) Mostre que para as preferˆencias exibidas na tabela acima, existe possibilidade de voto ´
util, ou seja, algum ou alguns eleitores selecionarem uma alternativa diferente da sua preferida.
S: Se, por exemplo, os eleitores 4 e 5 votarem na alternativa B, B passa a ser escolhida (3 votos contra 2 de A). Nesse caso, os eleitores 4 e 5, ao votarem estrategicamente, con-seguem implementar a sua segunda melhor alternativa, no lugar de A, a pior alternativa para eles.
c) Qual ou quais condi¸c˜oes do Teorema de Arrow o sistema de vota¸c˜ao descrito acima n˜ao satisfaz? Justifique a sua resposta.
S: S: O sistema n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de independˆencia das alternativas irrelevantes (IIA). Podemos provar isso de duas formas: direta (mostrando que esse sistema no satisfaz a condi¸c˜ao IIA) ou indiretamente (mostrando que o sistema satisfaz todas as outras condi¸c˜oes do teorema de Arrow - logo, n˜ao pode satisfazer a condi¸c˜ao IIA). Resolver de algum desses dois modos.
8. (P1-1/2019) Existem trˆes indiv´ıduos na sociedade, {1, 2, 3}, trˆes alternativas, {A, B, C}, e o dom´ınio das preferˆencias ´e irrestrito. Suponha que a rela¸c˜ao de preferˆencia social, S, ´e dada
por vota¸c˜ao majorit´aria, ou seja, cada indiv´ıduo escolhe uma das alternativas, coloca em uma urna, onde contam-se o n´umero de votos e ´e escolhida a alternativa com maior n´umero de votos (se ocorrer empate, ent˜ao o indiv´ıduo 1 escolhe a alternativa preferida, em um voto de minerva), ordenando as alternativas seguintes pelo n´umero de votos recebido. Assuma que cada indiv´ıduo conhece as preferˆencias de todos os outros eleitores.
(a) Considere o seguinte conjunto de preferˆencias, onde i denota a rela¸c˜ao de preferˆencia
estrita de i:
Indiv´ıduo 1: A 1 B 1 C
Indiv´ıduo 2: B 2 C 2 A
Indiv´ıduo 3: C 3 A 3 B
Se todos os trˆes indiv´ıduos votarem na sua alternativa preferida, qual ser´a escolhida? S: Cada alternativa ter´a um voto. Como o indiv´ıduo 1 tem o voto de minerva, ent˜ao a alternativa A ser´a escolhida e a preferˆencia social ser´a A S B S C.
(b) Existe algum indiv´ıduo que tem incentivo para voto ´util, ou seja, para votar n˜ao na alternativa preferida, mas sim em outra?
S: Sim. O indiv´ıduo 2 tem incentivo para votar em C, de modo a impedir que a sua alternativa menos preferida, A, seja escolhida, e a fazer que C seja escolhida. Por´em isso levaria o indiv´ıduo 1 a votar em B, para impedir que C seja escolhido. Note que isso gera incentivos para que todos mudem o seu voto, dado o voto dos outros, o que significa que essa situa¸c˜ao n˜ao configura um equil´ıbrio de Nash (discutiremos esse conceito na segunda parte do curso).
(c) Quais das hip´oteses do Teorema de Arrow s˜ao satisfeitas pela regra de vota¸c˜ao acima? Quais n˜ao s˜ao satisfeitas? Argumente de modo claro e sucinto.
S: As hip´oteses satisfeitas s˜ao (mostrar cada uma delas): 1) leva sempre a preferˆencias completas e transitivas, 2) dom´ınio universal, 3) crit´erio de unanimidade de Pareto, e 4) ´
e n˜ao ditadorial. Por´em, ela n˜ao satisfaz a hip´otese de independˆencia das alternativas irrelevantes (IAI). Para ver isso, considere os dois conjuntos de preferˆencias representados abaixo:
Grupo 1: A 1 B 1 C Grupo 2: A 1 B 1 C
B 2 C 2 A C 2 A 2 B
C 3 A 3 B C 3 A 3 B
Note que para os dois conjuntos, a ordena¸c˜ao das alternativas A e C s˜ao iguais. Por´em, a regra de escolha social aplicada `as preferˆencias do primeiro conjunto leva a escolha social de A (A S C), j´a para o segundo conjunto, a regra leva a escolha social de C
(C S A). Isso mostra que a IAI n˜ao ´e satisfeita. Outro modo de concluir que IAI n˜ao
´
e satisfeita ´e utilizando o Teorema de Arrow. Como a regra de escolha social dada na quest˜ao satisfaz todas as hip´oteses do Teorema, menos IAI, ent˜ao o Teorema implica que ela n˜ao pode satisfazer IAI.
9. (JR) Suponha que existam trˆes indiv´ıduos numa sociedade, {1, 2, 3}, trˆes alternativas, {x, y, z}, e que a regra de escolha social f ´e a vota¸c˜ao majorit´aria aos pares, com dom´ınio irrestrito, de modo que a qualquer indiferen¸ca obtida ´e resolvida votando x primeiro do que y e depois z, se a regra resultar em uma preferˆencia social transitiva. Se a regra n˜ao resultar numa preferˆencia social transitiva, ent˜ao o ordenamento social ser´a x S y S z.
(a) Considere o seguinte grupo de preferˆencias individuais: Indiv´ıduo 1: x 1 y 1 z
Indiv´ıduo 2: y 2 z 2 x
Qual ´e o ordenamento social neste caso?
S: Fazendo os trˆes casos de vota¸c˜ao majorit´aria aos pares, obtemos: x vs y ⇒ x tem dois votos ⇒ x S y
y vs z ⇒ y tem dois votos ⇒ y S z
x vs z ⇒ z tem dois votos ⇒ z S x
⇒ x S y, y S z, z S x | {z } S n˜ao ´e transitiva!
ou seja, como neste casa as preferˆencias individuais n˜ao resultaram em uma preferˆencia social transitiva, usando a regra de vota¸c˜ao majorit´aria aos pares, ent˜ao a preferˆencia social ser´a x S y S z.
(b) Qual seria a preferˆencia social se em (a) a preferˆencia de 1 fosse y 1 z 1 x? E se fosse
z 1 y 1 x?
S: No primeiro caso, a vota¸c˜ao majorit´aria aos pares resulta em uma preferˆencia social transitiva, dada por y S z S x. No segundo caso, a vota¸c˜ao majorit´aria aos pares
tamb´em resulta em uma preferˆencia social transitiva, agora dada por z S y S x.
(c) Argumente que f satisfaz o princ´ıpio fraco de Pareto.
S: Suponha que a alternativa a ´e prefer´ıvel `a alternativa b, para todo indiv´ıduo i: a i b,
para todo i. Logo, dada a escolha entre a e b, todos votar˜ao em a e teremos que a S b.
Portanto, f satisfaz o Princ´ıpio Fraco de Pareto. Note que h´a um complicador aqui: Precisamos mostrar que sempre que a i b, para todo i, n˜ao h´a perigo de obtermos pela
regra de vota¸c˜ao majorit´aria aos pares uma preferˆencia social intransitiva, que ent˜ao seria definida de modo arbitr´ario pela regra dada.
(d) Prove que f n˜ao ´e ditadorial.
S: Suponha que i qualquer ´e o ditador e considere um conjunto de preferˆencias individuais em que todos ordenem as alternativas de modo contr´ario ao ditador. Logo a alternativa pior de i ser´a o vencedor de Condorcet para este grupo de preferˆencias individuais e portanto i n˜ao ´e um ditador.
(e) Conclua que f n˜ao satisfaz IAI usando o Teorema de Arrow.
S: Segue do Teorema de Arrow: o n´umero de alternativas ´e trˆes, f leva sempre a pre-ferˆencias socias completas e transitivas, ´e de dom´ınio universal, satisfaz o Princ´ıpio Fraco de Pareto e ´e n˜ao ditadorial. Logo, pelo Teorema de Impossibilidade de Arrow, f tem que violar IIA, j´a que o Teorema afirma que n˜ao existe regra de escolha social que satisfa¸ca todas essas propriedades.
(f) Mostre diretamente que f n˜ao satisfaz IAI criando dois grupos de preferˆencias e obtendo a preferˆencia social de cada um deles de modo que viole IAI.
S: Considere o grupo de preferˆencias abaixo:
Indiv´ıduo 1: x 1 z 1 y
Indiv´ıduo 2: z 2 x 2 y
Indiv´ıduo 3: z 3 x 3 y
Comparando com o grupo de preferˆencias descrito no item (a), que resultou na ordena¸c˜ao social x S y S z, vemos que as ordena¸c˜oes individuais entre x e z nos dois grupos ´e
igual, mas o resultado social em cada uma delas entre x e z ´e diferente: em (a), x S z.
Para o grupo de preferˆencias descrito na solu¸c˜ao deste item, obtemos que a preferˆencia social ´e z S x S y, ou seja, que z S x. Logo, IIA n˜ao ´e satisfeita, j´a que nos
dois grupos de preferˆencias individuais, o ordenamento entre x e z ´e igual, por´em o ordenamento social entre x e z, considerando os dois grupos, ser´a diferente.
