Laboratório de Comunicações

Universidade Federal do Pará

Centro Tecnológico

Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação

Laboratório de Processamento de Sinais – LaPS

Grupo de Telecomunicações – GT

Laboratório de Comunicações

Informações Gerais

Disciplina: Laboratório de Comunicações Código: TE05120

Carga Horária: 30 horas (15 aulas) Créditos: 02

Caráter: Obrigatória (Engenharia Elétrica) Pré-requisito: TE05119 - Teoria das Comunicações

Professor: Agostinho Luiz da Silva Castro Sala 241 – Centro Tecnológico Telefone: 3201 8634 (Ramal 24) Email:agcastro@ufpa.br

http://www.laps.ufpa.br/agostinho/TE05120 - Laboratório de Comunicações/

Horário das aulas: Segunda-Feira: 16:40 – 18:10 Quarta-Feira: 16:40 – 18:10

Local: Sala 04 – Laboratório de Eng. Elétrica e da Computação Dias das aulas:

Agosto: 22(22) – (27) – 29 Novembro: 5(7) – 12(14) – 19(21) – 26(28) Setembro: 3(5) – 10(12) – 17(19) – 24(26) Dezembro: 3(5) – 10(12) – 17(19)

Outubro: 1(3) – 8(10) - (17) - 22(25) - 29

Prováveis das Avaliações:

Vide programa das turmas

Ementa:

Geração de sinais no Matlab. Análise Espectral no Matlab. Analisador de Espectro Baseado em FFT. Modulação AM no Matlab. Modulação AM em bancada. Modulação FM. Amostragem, quantização e codificação. Conversores A/D e D/A. Comunicação serial via RS 232 do microcomputador PC. Análise da Interferência Intersímbolos através do diagrama de olho. Comunicação via Modem

Bibliografia:

[1] – LATHI, B., “Modern Digital and Analog Communication System”, Oxford University Press, Inc., 3ª Edição, 1998, ISBN 0-19-511009-9, 781 pp.

[2] – COUCH II, L., “Modern Communication System – principles and applications”, Prentice-Hall, 1995, ISDN 0-02-325286-3, 598 pp. [3] – HAYKN, S., “Communication System”, Jonh Wiley & Sons, Inc., 1994, ISDN 0-471-57178-8.

[4] – KAMEN, E. W., HECK, B. S., “Fundamentals of Signals and Systems using Matlab”, Prentice-Hall, New Jercey, 1997.

[5] – PROAKIS, J. G., “Contemporary Communication Systems using Matlab”, PWS publishing Company, 1998.

Avaliação

A avaliação final de cada aluno será baseada nos seguintes critérios: 1. Presença regimental de acordo com as Normas da UFPA.

Em um curso de 30h com 15 aulas, o número máximo de faltas permitidas será de 4 para que o aluno não fique reprovado por falta. Será tolerado um atraso máximo de 15 minutos. Após este tempo será contabilizada a falta.

2. Três (03) testes

Estes testes serão realizados no decorrer do curso. Os testes abordarão os conteúdos das experiências e serão: escritos e/ou simulados em computador, individuais, sem consulta e terão uma duração máxima de 1 hora e 40 minutos.

3. A nota final de cada aluno será determinada com base na seguinte expressão: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + = 3 3 _ 2 _ 1 _

_Final NotaTeste NotaTeste NotaTeste Notal

Para efeitos de conceito e de acordo com a Coordenação do Curso de Engenharia Elétrica, a seguinte tabela será utilizada.

SF Frequência menor que 75%

SAP O aluno não fez as provas (avaliações) INS [0 – 5[

REG [5 – 7[ BOM [7 – 9[ EXC [9 – 10] OBSERVAÇÕES:

Cada turma de Laboratório de Comunicações apresenta um número máximo de 18 alunos. Este número constitui-se em um valor satisfatório para o qual estão alocados os recursos dos laboratórios. Dessa forma:

1. Torna-se improdutivo o aumento do número de alunos e como consequência são serão permitidos alunos na condição de ouvintes.

2. Não será permitida a troca de turma. O aluno matriculado em uma determinada turma deverá, necessariamente, assistir as aulas na sua turma.

Regras para a utilização do LabCOM

Para que o Laboratório de Comunicações possa atender satisfatoriamente a todos os alunos, torna-se necessário a adoção de alguns procedimentos para a utilização do mesmo. 1. Ao ligar os computadores, proceda da seguinte forma:

1º. Ligue o estabilizador; 2º. Ligue a CPU;

3º. Ligue o monitor.

Obs. Os procedimentos 2 e 3 podem ser executados independentes da ordem. 2. Para desligar o computador, proceda da seguinte forma:

1º. Termine a execução de todos os programas e realize o shutdown através do botão iniciar;

2º. Desligue somente a CPU, quando o sistema informar que é seguro fazer; 2º. Desligue o monitor;

3º. Desligue o estabilizador.

Obs. Estes procedimentos devem ser executados seguindo a ordem estabelecida acima. 3. Nunca deixe o computador ligado, após seu uso!

4. Dúvidas, sobre algum procedimento em aula não esclarecido, chamar o professor responsável ou o monitor.

5. Será disponibilizada uma pasta a equipe gravar suas simulações. Para tanto e nos casos em que se deseje gravar um arquivo para o disco rígido do computador, certifique-se de que o arquivo esteja sem vírus.

AVISO: os arquivos ficarão gravados no computador durante 1(uma) semana, depois serão deletado! Providencia o devido backup pessoal antes do término dês período. Todos os procedimentos descritos acima visam a manutenção do nosso laboratório. É essencial que o preservemos, para posteriormente usufruirmos.

Certos de contar com a colaboração de todos, Cordialmente

1

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G

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™

1.0 - Objetivos:

• Familiarização com o MATLAB

• Familiarização com o módulo Simulink do Matlab

• Montagem do ambiente de trabalho para as experiências e simulações do Laboratório de Comunicações

• Exercícios envolvendo a geração de sinais no Matlab e no Simulink 2.0 - Material/Equipamentos necessários

• Microcomputador • Software Matlab 3.0 - Introdução Teórica

3.1 Entrada de Dados - MATLAB

Prompt do MATLAB >> Sinal de atribuição do MATLAB = (a) Definição de valores escalares para variáveis

>> A=3 atribui o valor 3 a variável A, confirma a atribuição e retorna o prompt A =

3 >>

>> B=3; atribui o valor 3 a variável B e retorna o prompt >>

(b) Definição de vetores

>> C=[1 2 3]; atribui o vetor linha (1 2 3) a variável C

>> D=[0:0.1:0.5]; atribui o vetor linha (0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5) a variável D

>> E=[4;5;6]; atribui o vetor coluna 4 5 6 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ a variável E (c) Definição de matrizes

>> m=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; atribui à variável m a matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

>> m1=[m;10 11 12]; atribui à variável m1 a matriz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ OBS.:

TODA VARIÁVEL DEFINIDA FICA ARMAZENADA NA MEMÓRIA ENQUANTO O MATLAB NÃO FOR FINALIZADO OU SE EXECUTAR O COMANDO clear PARA LIMPAR TODOS OS VALORES DAS VARIÁVEIS

3.2 Operações Fundamentais Operação Símbolo Adição (+) Subtração (-) Multiplicação (*) Divisão (/) Potência (^) 3.3 Funções Fundamentais

(a) Funções Matemáticas

Função Representaçã o

Módulo >>abs(A) Raiz Quadrada >>sqrt(A)

Seno >>sin(A) Cosseno >>cos(A) (b) Funções Gráficas Função Representação plot >>plot(x,y) loglog >>loglog(t,y) semilogy >>semilogy(t,y) semilogx >>semilogx(t,y) Outros comandos utilizados na apresentação de gráficos

title(´texto´) → coloca o título no gráfico

xlabel(´texto´) → coloca um texto no eixo horizontal ylabel(´texto´) → coloca um texto no eixo vertical

No comando plot podemos também escolher o símbolo e a cor que desejarmos para o gráfico, a omissão desses parâmetros automaticamente seleciona o valor default. Maiores detalhes podem ser obtidos através do help on line do Matlab. Isto é realizado digitando-se, no prompt do Matlab, help comando ou função desejada, como mostrado na figura abaixo.

Exemplo:

plot(x,y,´*r´) - esboça um gráfico representando seus pontos através do símbolo ´*´ e na cor vermelha (r - red)

Uma função comumente utilizada em simulações de sistemas de comunicações é a função stem. A função stem plota uma seqüência discreta de dados. Exercite o uso do comendo help para obter maiores informações através do help on line do Matlab.

3.4 - Funções do Toolbox de Comunicações

Para você saber quais as funções que o toolbox de comunicações utiliza, digite no prompt do Matlab™

>>help comm

3.5 - Acesso ao módulo do Simulink

• No Ambiente de Trabalho do Windows, execute o Matlab clicando sobre este ícone

• Identifique o Prompt do Matlab e digite Simulink na linha de comando ou clique no ícone do Simulink na barra de ferramentas do Matlab.

ou,

3.5.1 - Janela Simulink

Os blocos existentes na janela Simulink, representam novas janelas que podem ser abertas, sendo que cada janela conterá um conjunto de blocos específicos, tais como: Sources

Blocos onde estão relacionadas as fontes. Tais como: Gerador de Sinais, Fonte Senoidal, Fonte DC, etc.

Sinks

Blocos que possibilitam a visualização do desempenho de um sistema Discrete

Blocos para a representação de sistemas discretos Ports & Subsistems

Blocos de conexão entre bibliotecas ou diagramas

1º TAREFA:

Simule no Matlab uma onda senoidal com as seguintes características Amplitude = 5 V

Freqüência = 1 KHz

e plote o gráfico correspondente (utilize as funções xlabel, ylabel, title e grid) 2º TAREFA:

Repita o exercício 1, simulando agora no Simulink e observe o sinal gerado através do osciloscópio. 3º TAREFA:

Utilizando o resultado do exercício 1, verifique quantas amostras foram necessárias para representar o sinal gerado (utilize a função length)

4º TAREFA:

Simule um sinal senoidal considerando somente 100 amostras para representá-lo. Considere as mesmas características do exercício 1. Apresente os resultados através de gráfico e tabela no prompt do Matlab.

5º TAREFA:

Plote o gráfico correspondente a seqüência { 0 0 1 2 1 0 -1 0 0 }, utilize a função stem e as demais funções de apresentação gráfica.

6º TAREFA:

Considere as seqüências { 0 0 1 2 1 0 -1 0 0 } , { 1 02 01 0 -1 0 0 } e os sinais senoidais y1 e y2 com freqüências 1 kHz e 500 Hz e amplitudes 5V e 3,5 V respectivamente. Utilize a função subplot para esboçar os 4 gráficos simultaneamente em uma única tela. (Nota: não esqueça de utilizar as funções de apresentação gráficas)

7º TAREFA:

Utilizando o Simulink, gere várias formas de onda (senoidal, quadrada) e observe estas ondas em um único osciloscópio. (Nota: Utilize o MUX para ver os dois sinais em um único osciloscópio) OBS. Atente para o fato de que o argumento das funções senoidais no Matlab são sempre expressos em radianos.

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E

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S

S

M

AM

1.0 Objetivos

• Simular, no Matlab/Simulink, as técnicas de Modulação/Demodulação AM 2.0 Material/Equipamentos Necessários

• Microcomputador

• Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica

O principal objetivo de um sistema de comunicação é transmitir sinais, que contenham informação ou sinais banda-base, através de um canal de comunicação que separa o transmissor do receptor. O termo banda-base é usado para designar a faixa de freqüências representativa do sinal original entregue pela fonte de informação. O canal de comunicação pode ser uma linha de transmissão, uma fibra óptica, o espaço livre, etc. Em qualquer caso a utilização eficiente da faixa de freqüências destes canais requer uma mudança na faixa de freqüências do sinal banda-base para outra faixa mais adequada à transmissão. Esta translação em freqüência é realizada através do processo de modulação.

Na recepção, necessita-se recuperar o sinal original. A recuperação do sinal original é realizada através do processo conhecido como demodulação. As características do sinal que são variadas pelo sinal modulante, podem ser: a amplitude, a fase e a freqüência. Quando o parâmetro variado é somente a amplitude realiza-se uma modulação em amplitude (AM), quando o parâmetro variado é a fase realiza-se uma modulação em fase (PM) e quando o parâmetro variado é a freqüência realiza-se uma modulação em freqüência (FM).

Nesta experiência abordará algumas técnicas utilizadas para a geração de sinais modulados em amplitude.

3.1 Simulação de Sistemas AM (Modulação e Demodulação) 1o TAREFA:

Monte no Simulink um modulador AM/DSC-SC e analise as formas de onda. Nota: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio, esboce os espectros de amplitudes e comente os resultados!. Especifique os valores para as freqüências do sinal modulador e da portadora, justificando a escolha!.

Expressão de um sinal AM DSB-SC → S

( )

(

) (

)

Ap → amplitude da portadora, Am → amplitude da moduladora, fm → freqüência do sinal

modulador, fc →freqüência da portadora.

2o TAREFA:

Monte no Simulink um modulador AM/DSB e analise as formas de onda para diferentes valores do índice de modulação m>1 (m =1,5), m =1 e m <1 (m =0,5). Nota: Apresente os gráficos obtidos no

osciloscópio, esboce os espectros de amplitudes e comente os resultados!. Especifique os valores para as freqüências do sinal modulador e da portadora, justificando a escolha!.

Expressão de um sinal AM DSB → S t( )_AM = A_p[1+k A_{a m}cos(2πf t_m )]cos(2πf t_c ), onde:

Ap →amplitude da portadora, Am →amplitude da moduladora, m → índice de modulação (m = kaAm), fm→freqüência do sinal modulador, fc→freqüência da portadora.

3o TAREFA:

Projete no Simulink os demoduladores AM do tipo Detetor de Envoltória e Detetor Coerente. Analise os empregos destes demoduladores para os moduladores montados nas tarefas 1 e 2. Nota: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio e comente os resultados!. Especifique os valores usados na tarefa, justificando a escolha!.

4o TAREFA:

Determine o índice de modulação da tarefa 2 através da regra do trapézio. Compare os resultados com os valores da tarefa 2. Analise as figuras que aparecem no osciloscópio em função do índice de modulação: Apresente os gráficos obtidos no osciloscópio e comente os resultados!. Especifique os valores usados na tarefa, justificando a escolha!.

5º TAREFA:

Baseado nos projetos anteriores projete um sistema BASK (modulador/demodulador) assumindo que se deseja transmitir, usando uma portadora analógica, o seguinte sinal apresentado abaixo:

tempo (s) Amplitude

0 0.001 0.002 0.003 0.004 1

3

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S

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A

1.0 Objetivos

• Simular, no Matlab/Simulink, as técnicas de Modulação/Demodulação FM/PM 2.0 Material/Equipamentos Necessários

• Microcomputador

• Software Matlab/Simulink 3.0 Introdução Teórica

O principal objetivo de um sistema de comunicação é transmitir sinais, que contenham informação ou sinais banda-base, através de um canal de comunicação que separa o transmissor do receptor. O termo banda-base é usado para designar a faixa de freqüências representativa do sinal original entregue pela fonte de informação. O canal de comunicação pode ser uma linha de transmissão, uma fibra óptica, o espaço livre, etc. Em qualquer caso a utilização eficiente da faixa de freqüências destes canais requer uma mudança na faixa de freqüências do sinal banda-base para outra faixa mais adequada à transmissão. Esta translação em freqüência é realizada através do processo de modulação.

Na recepção, necessita-se recuperar o sinal original. A recuperação do sinal original é realizada através do processo conhecido como demodulação. As características do sinal que são variadas pelo sinal modulante podem ser: a amplitude, a fase e a freqüência. Quando o parâmetro variado é somente a amplitude realiza-se uma modulação em amplitude (AM), quando o parâmetro variado é a fase realiza-se uma modulação em fase (PM) e quando o parâmetro variado é a freqüência realiza-se uma modulação em freqüência (FM).

Esta experiência abordará algumas técnicas utilizadas para a geração de sinais modulados em freqüência e fase.

4.0 Sistemas de Modulação FM (Frequency Modulation)

Modulação em frequência (FM) é aquela onde a frequência instantanea da portadora é variada linearmente com o sinal de mensagem.

Expressão de um sinal modulado em frequência: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∫

Onde kf é uma constante chamada de sensibilidade em frequência expressa em Hz/V. Pode-se definir ainda dois outros parâmetros chamados de:

• Desvio de frequência: ∆f =kfAm • Índice de modulação: m f f ∆ = β

A partir do valor do índice de modulação surgem então duas situações definidas como: FM Faixa Estreita e FM Faixa Larga. Em sistemas FM Faixa estreita o índice de modulação assume valores pequenos em relação a 1 rd e para sistemas FM faixa larga o índice de modulação é grande com relação a 1 radiano. A largura de faixa de sistemas FM faixa estreita é igua a 2 vezes a largura de faixa do sinal de mensagem enquanto que a largura de faixa do sinal FM faixa larga pode ser estimada pela regra de Carson ( _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∆ = β 1 1 2 f B )

5.0 Sistemas de Modulação PM (Phase Modulation)

Modulação em fase é aquela onde o ângulo é variado linearmente com o sinal de mensagem. Expressão de um sinal modulado em fase:

[

]

)

(t A f t k m t s = _p π _c + π _p

Onde kp é uma constante chamada de sensibilidade em fase expressa em rad/V. As modulações em fase e em frequência são comumente referenciadas como modulação angular. Dessa forma, a partir de uma modulação pode-se obter a outra modulação e vice-versa. As relações entre as modulações FM e PM são mostrada abaixo.

Modulador de Fase

Sinal FM

m(t)

Figura 1 - Geração de Sinais FM a partir de um modulador PM

Modulador FM Sinal PM m(t) d/dt

Figura 2 - Geração de sinais PM a partir de um modulador FM

1o TAREFA:

Projete, usando o simulink, um modulador FM.

a) Realize a simulação para vários valores do índice de modulação de modo a gerar sinais FM faixa estreita e FM faixa larga. Indique os valores do índices que você utilizou para ambos o casos.

b) Determine graficamente a largura de faixa para os sinais FM faixa larga e faixa estreita gerados no item anterior e verfique se os valores encontrados estão de acordo com os valores teóricos.

OBS. Para obter os gráfico no domínio da frequência utilize o bloco TO WORKSPACE no simulink e use o comando psd no prompt do Matlab.

2o TAREFA:

Usando o modulador FM projetado na primeira tarefa, projete um modulador PM.

3o TAREFA:

4

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A

D

S

M

CW

1.0 Objetivos

• Analisar o comportamento do ruído gaussiano de faixa estreita bem como simular e avaliar o desempenho dos sistemas de modulação CW na presença do ruído.

2.0 Material/Equipamentos Necessários

• Microcomputador • Software Matlab/Simulink

3.0 Introdução Teórica

Uma dos principais objetivos do estudo dos sistemas de modulação é a análise dos efeitos do ruído no desempenho do receptor. Para tanto, utiliza-se a Relação Sinal-Ruído (RSR – Signal

to Noise Ratio - SNR) como um parâmetro para descrevermos a fidelidade com que o processo de

demodulação “recupera” a mensagem original a partir do sinal modulado contaminado pelo ruído. A RSR é definida como a relação entre a potência média do sinal e a potência média do ruído, obtidas em um mesmo ponto.

Ruído do Média Potência Modulado Sinal do Média Potência RSR=

Adicionalmente, define-se como uma Figura de Mérito do sistema a relação entre as RSRs obtidas na saída do receptor e a RSR do canal.

3.1 Modelo do receptor

1o TAREFA:

Monte no Matlab/Simulink um “medidor de potência” para a determinação da potência média de um sinal. Lembre-se que a potência média de um sinal pode ser determinada pela expressão abaixo: ∫ = − t T t ave xt dt T P 1 ()2 2º TAREFA:

Verifique os valores obtidos no “medidor de potência” com os valores calculados pelo Matlab através do comando mean. Use o comando hist para obter os histogramas do sinal sinais medidos. Esboce os gráficos normalizados com relação ao máximo valor obtido.

3º TAREFA:

Decomponha o ruído branco em suas componentes em fase e em quadratura. Analise a componente em fase e mostre que a envoltória desta componente segue uma distribuição de Rayleigh e a fase, do mesmo sinal, uma distribuição uniforme.

4º TAREFA:

Analise o desempenho de um sistema AM DSB-SC na presença do ruído branco. Utilize o modulador/demodulador usado na experiência passada com as seguintes características:

Sinal de mensagem: Amplitude=1V, freq.=500Hz Portadora: Amplitude=1V, freq.=10kHz

Filtro passa-faixa: largura da faixa de 2kHz Filtro passa-baixas: largura de faixa de 1kHz.

Apresente os valores da RSR do canal, RSR na saída do demodulador e a figura de mérito do sistema.

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Q

U

M

/S

1.0 –Objetivos

• Simular os processos de Amostragem e Quantização utlizando o Matlab/Simulink

2.0 – Materiais / Equipamentos Utilizados • Microcomputador

• Software Matlab/Simulink

3.0 – Introdução Teórica

Amostragem

“Um sinal limitado em faixa pode ser representado, sem distorção, por suas amostras, tomadas em intervalos igualmente espaçados, desde que a taxa ou freqüência de amostragem seja igual ou maior que o dobro da máxima freqüência contida no espectro do sinal”.

Critério de Nyquist

→

f

≥

2

f

PROCESSO DE AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO

t t

QUANTIZAÇÃO

O processo de quantização consiste em aproximar os valores das amostras para níveis pré-fixados de modo que o sinal resultante assuma somente valores dentro de um conjunto discreto e finito de níveis, chamados Níveis de Quantização.

Relação Níveis de Quantização / Números de Bits utilizados na Codificação

n

Q

=

2

onde, Q → níveis de quantização e n → números de bits

TAREFAS 1º TAREFA:

Gere um sinal senoidal com amplitude igual a 10Vpp e freqüência de 60 Hz. Amostre-o utilizando a taxa que achar adequada.

a) Qual a taxa de amostragem utilizada? Justifique sua escolha!

b) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? c) Quantas amostras foram tomadas a partir da taxa escolhida?

d) Qual o tempo de duração das amostras? 2o TAREFA:

Com os mesmos dados do enunciado da tarefa 1, amostre o sinal tomando exatamente 20 amostras.

a) Justifique a taxa de amostragem utilizada

b) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? c) Qual o tempo de duração das amostras?

3º TAREFA:

Repita a tarefa 2, especificando um “duty cycle” de 20% para o gerador de pulsos. a) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? b) Qual o tempo de duração das amostras?

4o TAREFA:

Um sinal senoidal com amplitude de 10Vpp e freqüência de 10 Hz é amostrado tomando-se 16 amostras com duração de 3,125 ms. Qual o período de amostragem e o “duty cycle” do gerador?

5º TAREFA:

Utilizando o bloco “Zero Order Hold”, que implementa a função de um “Sample and Hold” simule o processo de amostragem e retenção a partir dos dados da tarefa 2.

a) Apresente os gráficos obtidos (sinal senoidal, pulsos e sinal amostrado)? b) Compare os processos de amostragem e amostragem com retenção. 6o TAREFA:

Utilizando o bloco “Quantizer (NonLinear)” quantize com 16 níveis o sinal amostrado da tarefa 5.

a) Apresente os gráficos obtidos?

b) Compare os processos de amostragem, amostragem com retenção e quantização.

c) Estabeleça um sistema de codificação binário para os níveis de quantização especificados.

6

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:

A

E

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M

1.0 - Objetivos:

• Aplicar a Teoria de Fourier (série e transformada) no estudo da análise espectral de sinais utilizando o Matlab.

2.0 - Material/Equipamentos necessários • Microcomputador

• Software Matlab 3.0 - Introdução Teórica

1

P

Representação de sinais através das Séries de Fourier e da Transformada de Fourier Série Trigonométrica de Fourier

[

]

∑

Série Trigonométrica Compacta de Fourier

∑ ω +φ + = +∞ =1 0 n n n o A cos(n t ) a ) t ( x

Série Exponencial ou Complexa de Fourier

∑ =+∞ ∞ − ωt jn ne c ) t ( x , = t+∫T − ω T t jn n x(t)e dt T c 1 Transformada de Fourier X( )ω = x t e( ) j tω dt −∞ +∞ −

∫

Transformada Inversa de Fourier x t( )= X( )ej td −∞ +∞

∫

Usando o Matlab plote a forma de onda do sinal x(t) e .t sen( t)

3 2 1 0 − = . 20 TAREFA:

Considere o sinal x t( )= A₁cost+ A₂cos(4t+π / )3 + A₃cos(8t+π / )2 definido no intervalo de --∞<t<+∞.Utilize o MATLAB para gerar x(t) para valores arbitrários de A1, A2 e A3 (A1=0.5, A2=1.0,

A3=0 - A1=1, A2=0.5, A3=0 - A1=1, A2=1, A3=0). Observe os gráficos para vários valores de An Plote os

respectivos espectros de amplitude e fase do sinal apresentado acima. (Utilize a função stem e input para plotar o espectro)

3 TAREFA:

Considere o sinal apresentado abaixo

-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 1

A

t

Encontre a Série Exponencial de Fourier do Sinal e esboce os gráficos no domínio do tempo e da freqüência, variando a quantidade de harmônicas no sinal. Analise o gráfico no domínio do tempo e explique o efeito conhecido como Fenômeno de Gibbs.(Dica: você poderá utilizar os seguintes comandos do Matlab for, ones, input, stem e plot, entre outros).

40 TAREFA:

Encontre a transformada de Fourier do sinal da tarefa anterior plote o espectro de amplitude e analise o espectro de amplitude para T=2, T=5 e T=10. Comente os resultados.

50 TAREFA:

Considere o sinal x(t)=e-btu(t) onde b é uma constante real e u(t) a função degrau unitário. A partir da Transformada de Fourier esboçe os espectros de amplitude e fase.

2

P

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (DFT) E A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

(FFT)

A DFT é usada geralmente para analisar vetores que representam N amostras (eventualmente quantizadas) de sinais originalmente analógicos. Depois de haver a amostragem, este sinal passa a ser representado por estes N números, que compõem um simples vetor, não tendo informação acerca de qual freqüência de amostragem foi utilizada ou qual a duração do sinal (em segundos, por exemplo) que corresponde a estas N amostras. Como não há informação de "segundos" (tempo) no vetor de entrada da DFT, a mesma não pode fornecer um vetor de saída com informação em "Hz" (freqüência). A ligação entre as amostras e os instantes de tempo decorrentes entre elas é dada pela freqüência de amostragem fs. Este valor de fs precisa ser usado explicitamente pelo usuário para poder interpretar o resultado da DFT em Hz. Segue um exemplo.

Ex: Geração de um cosseno amostrado de 5 V de amplitude, freqüência de 10 Hz e fase de 90 graus, com duração de 2 segundos, com freqüência de amostragem de fs = 40 Hz (Ts = 1 / fs). No Matlab fica:

Ts=1/40; t=0:Ts:2;

Pode-se saber quantas amostras este sinal tem usando-se a instrução N=length(x), que deve dar 81.

Use a instrução stem(x) e observe que a abcissa não corresponde a segundos, e sim ao índice do vetor x. Para inserir a informação de tempo, é necessário fazê-lo explicitamente com a instrução stem(t,x). A mesma coisa deve ser feita com a DFT. Para usar a DFT basta saber como gerar o eixo de freqüências em Hz.

Enquanto a transformada de Fourier apresenta o espectro de um sinal em um eixo de freqüências contínuo, a DFT tem necessidade de discretizar este eixo, apresentando seus resultados apenas em algumas freqüências. Outro detalhe é que a parte correspondente ao espectro do nível DC até a maior freqüência vem antes da parte de freqüências negativas do espectro. O espaçamento ∆f entre estas freqüências (chamadas de raias de freqüências) é sempre o mesmo. O cálculo de ∆f é simples pois o mesmo corresponde ao inverso do tempo de duração do sinal sob análise, ou seja, o tempo que corresponde às N amostras do sinal de entrada x. Sabendo-se que o intervalo de tempo entre 2 amostras é o período de amostragem Ts, o tempo correspondente a N amostras é duração_do_sinal = N Ts. Sendo assim, o intervalo entre as raias de freqüência da DFT é ∆f=1/ (N Ts). Para o cosseno do exemplo anterior ∆f=1/(81 x 0,025) = 0,4938 Hz. Pode-se observar que ∆f tem uma outra interpretação, podendo ser descrito como ∆f = fs / N.

Sabe-se então que a DFT irá corresponder a N raias de freqüência, com espaçamento ∆f entre elas. Com esta informação, o eixo das freqüências pode ser gerado para uma interpretação adequada do espectro do sinal. Há ainda um detalhe: a DFT representa as freqüências negativas até as positivas do espectro. Sendo assim, metade das N raias de freqüência deveriam ser associadas às freqüências negativas e a outra metade às freqüências positivas. Mas há o nível DC (0 Hz), e quando N é par, N-1 (onde se desconta uma raia para o nível DC) é ímpar e a divisão por 2 (parte negativa e positiva) não é um inteiro. Para N par, a DFT resolve este incômodo "retirando" a raia de maior freqüência (última) do espectro positivo. Isto não é problema na análise de sinais reais, já que há simetria do espectro e esta maior freqüência da parte positiva do espectro seria obtida fazendo-se o complexo conjugado da menor freqüência da parte negativa do espectro. Uma questão importante: quanto é esta maior freqüência ?

Para o exemplo do cosseno, N=81, tendo-se 40 raias na parte negativa e 40 na parte positiva do espectro. A separação entre as raias ∆f=1/ (N Ts) = 0,4938 Hz. A freqüência da i-ésima raia é i vezes ∆f (i x ∆f). A maior freqüência é então 40 vezes ∆f = 19,752 Hz e a menor freqüência é -40 ∆f = -19,752 Hz. Observe que, como o sinal foi amostrado em 40 Hz, a maior freqüência que poderia ser representada seria menor do que 40 Hz / 2 = 20 Hz. Este é o "raciocínio" inverso do teorema de amostragem de Nyquist, que diz que um sinal de freqüência máxima de 20 Hz deve ser amostrado com fs maior do que 40 Hz.

Para calcular a magnitude do espectro do cosseno, tem-se então: X=fft(x);

X=fftshift(X); fmax=19.752 deltaf=0.4938

eixo_freq=-fmax:deltaf:fmax; stem(eixo_freq,abs(X));

A DFT é calculada a partir das seguintes fórmulas (as mesmas usadas pelo Matlab), onde N é o número de pontos da DFT, x[n] é o sinal no tempo e X[k] é o sinal na freqüência:

Fórmula de análise da DFT: X k x n e j nk N n N [ ]= [ ] − = −

∑

∑

Determine "manualmente" a DFT da seqüência x[n] = {2, 0, 2, 0}. Use a função fft do Matlab, com os comandos: x=[2 0 2 0] e depois X=fft(x) para calcular a mesma DFT. Compare os resultados.

70 TAREFA:

No Matlab, crie os sinais (a) x[n]={1, 1, 0, 0} e (b) x[n]={1, 1, 0, 0, 0}, ache suas DFT's e verifique a diferença entre o uso de N par versus N ímpar, atentando para a simetria dos números X[k], já que x[n] é um sinal real.

80 TAREFA:

Considere que um sinal analógico s(t) foi amostrado com freqüência de amostragem de 2.000 Hz e quantizado, gerando-se s[n]. Foi calculada a DFT do sinal digital s[n], usando-se uma DFT de N=8 pontos. O gráfico do módulo da DFT é dado abaixo. Todos os pontos do gráfico da fase da DFT são iguais a zero. Considerando que a amostragem do sinal foi realizada de forma adequada, atendendo à taxa de Nyquist, responda: (a) qual a resolução espectral da análise (espaçamento entre as raias da DFT) em Hz ? (b) quais os valores do sinal s[n] no domínio do tempo ?

90 TAREFA:

Gere 4 períodos dos seguintes sinais periódicos, todos com amplitude de pico de 5 V, no domínio do tempo: (a) senóide de 100 Hz multiplicada por senóide de 20 Hz e (b) onda quadrada de 100 Hz. Use a freqüência de amostragem que você achar adequada para representar os sinais. Calcule os espectros e crie os gráficos usando os valores do eixo da freqüência em Hz. Sua análise espectral está usando que valor para a resolução em freqüência (espaçamento entre as raias da DFT) ?