VaR via Simulação. Análise de Risco (5) R.Vicente

(1)

VaR via Simulação

Análise de Risco (5) R.Vicente

(2)

Resumo

z

Monte Carlo para Avaliação Risco

z

Carteiras com Derivativos

z

Múltiplos Fatores de Risco

z

Números Pseudo-aleatórios

z

Cenários de Stress: Estudo de Caso

z

Cenários Ad-hoc

z

Cenários por Fator de Risco e Netting

(3)

Monte Carlo para Avaliação de

Risco: Idéia Geral

Seja uma carteira com função preço que dependa de um vetor de fatores de risco .

( )

V S

1 2

( ,

,...,

_m

)

S

=

S S

S

Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira em cada um destas realizações:

[

]

(

)

_t

( )

S t

+Δ =

t

D

_Δ

S t

Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco:

( ) ( )

(

)

1,...,

n n

t t

(4)

Monte Carlo para Avaliação de

Risco: Idéia Geral

Os N cenários de P&L serão:

O VaR da carteira com confiança de será:

(

₁

₋

_α

)

_%

( ) ( )

1,...,

n n t t t

V

_+Δ

V

n

N

Δ

=

−

=

{

}

( ) ( ) { } 1 1

sup

:

n N N n V V n n

VaR

V

_Δ _<Δ

Nα

= =

⎧

⎫

⎪

=

_⎨

Δ ∈ Δ

≤

_⎬

⎪

⎩

∑

1 ⎭

(5)

Exemplo: DEaR de PETR4

A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente:

( )

V S

=

qS

q

é a quantidade de ações e é a cotação de PETR4.

S

Escolhemos uma janela de tempo dia e um Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica estocástica:

1 t

Δ =

1

(1

)

t t

S

₊

=

S

+

σε

~

N

(0,1)

ε

VOLATILIDADE DE 1 DIA

(6)

Passo 1: Estimação de Vol

Cotações PETR4 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00 65,00 2 6/ 01/ 01 2 6/ 03/ 01 2 6/ 05/ 01 2 6/ 07/ 01 2 6/ 09/ 01 2 6/ 11/ 01 2 6/ 01/ 02 2 6/ 03/ 02 2 6/ 05/ 02 2 6/ 07/ 02

Retornos e Volatilidade EWMA

-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 01 01 01 01 01 01 02 02 02 02

(7)

Passo 2: Gera N=5000 Cenários

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 35,6 3 36,1 4 36,6 6 37,1 8 37,6 9 38,2 1 38,7 2 39,2 4 39,7 6 40,2 7 40,7 9 41,3 1 41,8 2 42,3 4 42,8 6 43,3 7 43,8 9

S(t+1)

1

(1

)

t t

S

₊

=

S

+

σε

LOG-NORMAL

(8)

Passo 3: Avalia P&L para cada um

dos Cenários

( ) ( )

(

1)

( )

n n

V

q S

⎡

t

S t

⎤

Δ

=

_⎢

_⎣

+ −

_⎥

_⎦

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (42. 742) (37. 577) (32. 412) (27. 247) (22. 082) (16. 916) (11. 751) (6.5 86) (1.4 21) 3.74 4 8.90 9 14.0 75 19.2 40 24.4 05 29.5 70 34.7 35 39.9 00

P&L

(9)

Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (42. 742) (37. 577) (32. 412) (27. 247) (22. 082) (16. 916) (11. 751) (6.5 86) (1.4 21) 3.74 4 8.90 9 14.0 75 19.2 40 24.4 05 29.5 70 34.7 35 39.9 00

P&L

VaR = 29.013

28.372 VaR

=

ασ

V

=

(10)

Carteiras com Derivativos

Para exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteiras altamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhante àquele que provocou a quebra do Barings em 1995

( Delta*Ativo-Call-Put): 2 2

( )

rT

( )

rT

(

)

V S

=

Xe

−

N d

−

Xe

−

N

−

d

1

(1

)

t t

S

₊

=

S

+

σε

Gerando cenários como antes:

Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário:

( ) ( )

(

)

( ( ))

n n

V

V S

V S t

(11)

Carteiras com Derivativos

S(t+1) call

put

V(t+1) P&L

37,86864 -2,180261 -2,360794 6,819538 -0,259042 40,05286 -3,471554 -1,467875 7,076427 -0,002153 40,25085 -3,603757 -1,402082 7,069417 -0,009163 38,50176 -2,521693 -2,069113 6,959721 -0,118859 41,35245 -4,380707 -1,077437 6,94759 -0,13099 41,35031 -4,379136 -1,078001 6,947956 -0,130624 39,8541 -3,341245 -1,53632 7,078665 8,51E-05 40,29917 -3,636374 -1,386384 7,066992 -0,011588 40,11299 -3,511456 -1,447642 7,074799 -0,003782 39,67229 -3,224187 -1,601075 7,076426 -0,002154 40,78518 -3,972077 -1,236076 7,027401 -0,051179 39,18249 -2,919277 -1,785969 7,0495 -0,02908

(12)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -1,24 -1,06 -0,88 -0,70 -0,52 -0,34 -0,16 0,02 0,20 0,38 0,56 0,74 0,92 1,10 1,28

P & L

Carteiras com Derivativos

VaR MC 0,63

VaR Delta -VaR Delta-Gama 0,30

(13)

Carteiras com Múltiplos

Fatores de Risco

Quando a função preço depende de mais de um fator de risco é necessário adequar a geração de cenários às correlações entre os fatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira que contenha Dólar e PETR4:

(

_PETR

,

_USD

)

_{PETR PETR} _{USD USD}

V S

S

=

q

S

+

q

S

(

1)

S ( )(1

)

~

(0, )

k k k k

S t

+ =

t

+

σ ε

ε

G

N

ρ

Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações entre os ativos:

A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L’s obtidos :

( ) ( )

(

)

( ( ))

n n

V

V S

V S t

(14)

Gerando números aleatórios com Covariância

Dada: Decomposição de Cholesky

É possível gerar a partir de variáveis aleatórias independentes empregando a decomposição de Cholesky. Para isso basta observarmos que:

T j k jl l km m jl km l m jl km lm

A A

A

A A

ρ

ε

ξ

ε ε

ξ

ξ ξ

δ

=

G

~

N

(0, )

ε

G

ρ

ξ

G

(15)

Gerando números aleatórios com Covariância

Dada: Correlação EWMA

Correlação PETR4-DÓLAR EWMA

-20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 26/08/01 26/09/01 26/10/01 26/11/01 26/12/01 26/01/02 26/02/02 26/03/02 26/04/02 26/05/02 26/06/02 26/07/02

(16)

Carteiras com Múltiplos Fatores

1,00 0,00 1,00 -0,13 1,00 -0,13 -0,13 0,99 0,00 0,99 -0,13 1,00 Matriz de Correlação 1 2 1 1,00 -0,13 2 -0,13 1,00 Decomposição de Cholesky

(17)

Carteiras com Múltiplos Fatores

q1

1000

S1

39,90

σ1

3,1%

q2

50 S2

3.097,90

σ2

1,8%

V

194.795,00

Correlação

3,8%

-9,0%

ξ1

ξ2

ε1

ε2

S1

S2

V

P&L

-1,665584 -0,432565 -1,665584 -0,217017 37,86864346 3.085,92 192.164,55 (2.630,45) 0,125332 -1,665584 0,125332 -1,667988 40,05285602 3.005,81 190.343,26 (4.451,74) 0,287676 0,125332 0,287676 0,087691 40,25085186 3.102,74 195.387,93 592,93 -1,146471 0,287676 -1,146471 0,431282 38,50175677 3.121,71 194.587,34 (207,66) 1,190915 -1,146471 1,190915 -1,288747 41,35244753 3.026,75 192.689,77 (2.105,23) 1,189164 1,190915 1,189164 1,029846 41,35031168 3.154,76 199.088,27 4.293,27 -0,037633 1,189164 -0,037633 1,18428 39,85410223 3.163,29 198.018,39 3.223,39 0,327292 -0,037633 0,327292 -0,078991 40,2991677 3.093,54 194.976,11 181,11

(18)

Carteiras com Múltiplos Fatores

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 (10 .36 8) (9.14 0) (7.91 1) (6.6 82) (5.45 4) (4.2 25) (2.9 97) (1.768) (5 39) ₆₈9 1.91 8 3.1 47 4.37 5 5.6 04 6.8 33 8.06 1 9.2 90

(19)

Geração de Números Pseudo-aleatórios

através do mapa logístico

(20)

Geração de Números Pseudo-aleatórios

através do mapa logístico

Medida de Lebesgue =1 para

4

(21)

Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1 – ponto fixo

Ponto fixo instável x=3/4

(22)

Geração de Números Pseudo-aleatórios através

do mapa logístico: Limitações 2 –

Medida

invariante

A medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passe pelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é não-uniforme:

A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida

(23)

Geração de Números Pseudo-aleatórios:

Gerador Congruencial Linear

1 (mod )

, ,

i

I

aI

b

m

a b m

+

=

+

∈ `

(24)

Geração de Números Pseudo-aleatórios:

Gerador Congruencial Linear

m

e

b

são primos entre si (

MDC(m,b)=1

);

a=1(mod p)

para todo fator primo

p

de

m

;

a=1(mod 4) se m=0(mod 4).

Ex:

a=7, b=13 e m=18

Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod

3).

(25)

Cenários de Streess: Estudo de Caso

Total Return Swap da SK Securities

Co.

Início : Janeiro 1997

Vencimento: Janeiro de 1998 Pricipal: N=US$ 53 milhões Payoff: 0 0 1 2 0 2 2 2

3

5 B

1 max 0,

R

max 0,1

Y

0, 97

N

B

R

Y

⎡

_⎛

_⎞

_⎟

_⎛

_{− −}

_⎞

_⎟

_⎛

_⎞

_⎟

⎤

⎜

⎢

_⎜

_{− +}

_⎟

_⎜

_⎟

₊

_⎜

₋

_⎟

₋

⎥

⎢

_⎝

_⎜

⎜

_⎟

_⎠

⎜

_⎜

_⎝

_⎠

_⎟

⎜

_⎜

_⎝

_⎠

_⎟

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

B_k: cotação baht/usd no semestre k R_k: cotação rupia/usd no semestre k Y_k: cotação yen/usd no semestre k

(26)

Estudo de Caso: Total Return

Swap da SK Securities Co.

0 0 1 2 0 2 2 2 3 5 B 1 max 0, R R R max 0,1 Y 0, 97 N B R Y ⎡ ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎛_⎜ _{− −} ⎞_⎟ ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎤ ⎢ _⎜ _{− +}_⎟_⎟ _⎜ _⎟_⎟₊ _⎜ ₋ _⎟_⎟₋ ⎥ ⎢ _⎝_⎜⎜ _⎟_⎠ ⎜_⎜_⎝ _⎠_⎟ ⎜_⎜_⎝ _⎠_⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ CENÁRIO FAVORÁVEL:

• Valorização ( B₀>B₂ ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.

Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10% Payoff= US$ 69 MM (Lucro)

CENÁRIO DESFAVORÁVEL:

• Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen. Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0%

(27)

Estudo de Caso: Total Return

Swap da SK Securities Co.

CENÁRIO FAVORÁVEL:

• Valorização ( B₀>B₂ ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.

Razões para entrar no contrato:

1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12% JPY e 8% DEM);

2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de 5%/ano.

(28)

Estudo de Caso: Simulação Histórica

0 10 20 30 40 (7. 131) (6. 083) (5. 034) (3. 986) (2. 937) (1. 889) ₍₈₄₀₎ 208 1. 257 2. 305 3. 354 4. 402 5. 451

Profit & Loss

Fr e que nc y

VaR(1%)=5,8 MM

(29)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20 25 30 35 40 45 50 55 60 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 Iene Rúpia Baht

(30)

Estudo de Caso: Perda Realizada

após Crise Asiática

2.375,00

25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)

96-97 2,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426,66 2471,11 25,84 116,10 (3.016) 97-98 8% 166% 73% 3% 2572,81 12490,86 53,74 125,49 (187.138)

Cotação em Jan/97

Perda de US$ 187 MM

(32 vezes maior !)

(31)

Cenários Ad-hoc

2.375,00

25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)

Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496,77 2624,78 28,62 121,78 (36.174) Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624,78 2900,83 31,63 121,78 (70.225) Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900,83 3543,08 38,64 121,78 (128.587) Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543,08 5285,66 57,64 121,78 (197.338) Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915,71 6455,92 70,40 121,78 (218.922) Cotação em Jan/97

PRÓ

CONTRA

Facilidade de

cálculo

Dificuldade na

determinação da

plausibilidade dos

cenários

(32)

Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F

Volatilidade Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady Bonds

Futuro de Dólar Opções de Dólar Títulos Cambiais Futuro de DI Títulos Pré Swaps Pré Swaps Dólar Ações Internas Futuro de Ação Opções sobre Ações Brady Bonds Opção IDI Títulos IGPM Swaps IGPM FRA de Cupom Mercados a vista Estrutura a Termo

Fatores de Risco

(33)

Exemplo de decomposição de Carteira em

Fatores de Risco

Carteira

• Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias

• Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias • Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias

(34)

Decomposição: Título Cambial

Título Cambial

1 VF

P

S

C

=

+

1

1 ln

ln

1 ln

ln

USD USD

P

VF

C

S

P

C

VF S

PU

S

PU

⎛ ⎞

′

_⎟

⎛

₊

⎞

_⎟

⎜

_⎟

₌

_⎜

_′

_⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎜

_⎟⎟

⎜

_⎝

_′

_⎠

⎝ ⎠

+

⎛

⎞

⎛ ⎞

′

_⎟

_⎜

′

_⎟

⎜

_⎟

=

_⎜

⎟

_⎟

+

⎜

_⎜

_⎟

⎜

⎝ ⎠

_⎝

_⎠

(35)

Decomposição: PU de Futuro de DI

Futuro de DI

100.000

1 P

i

=

+

1 ln

ln

1 P

i

PU

P

i

PU

⎛ ⎞

′

_⎟

⎛

₊

⎞

_⎟

⎛

′

⎞

_⎟

⎜

_⎟

₌

⎜

_⎟

₌

⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎜

_⎟⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎝

_′

_⎠

⎜

⎝ ⎠

+

⎝

⎠

PRÉ

(36)

Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPA

Futuro de IBOVESPA

(1

)

F

=

IBV

+

i

(

)

(

)

1 ln

ln

1 ln

ln

IBV

i

F

IBV

i

IBV

PU

IBV

PU

⎛

_′

⎞

⎛

_′

⎞

_⎟

_⎜

+

_⎟

⎜

_⎟

₌

_⎜

_⎟

⎜

_⎟⎟

_⎜

⎟

_⎟

⎜

_⎜

_⎟

⎝

⎠

_⎜⎝

+

_⎠

⎛

′

⎞

_⎟

⎛

′

⎞

_⎟

⎜

=

_⎜

⎟

_⎟

−

_⎜

⎟

_⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

PRÉ (PASSIVO) BOVESPA

(37)

Decomposição em Fatores de Risco

Posição Prazo Título Cambial 3410.000.000 Futuro de DI 6.000.000 216 Futuro de IBOVESPA 4.000.000 49 Mercado Vértice Posição Dólar SPOT 10.000.000 IBOVESPA SPOT 4.000.000 Pré 30 (1.466.667) Pré 60 (2.533.333) Pré 90 -Pré 120 -Pré 180 3.600.000 Pré 270 2.400.000 Cupom de USD 30 8.666.667 Cupom de USD 60 1.333.333 Cupom de USD 90 -Cupom de USD 120

(38)

-Decomposição em Fatores de Risco

(

% % %

)

1 2

...

STRESS STRESS F F Fn

V

VaR

V

⎛

_Δ

⎞

_⎟

⎜

=

_⎜

_⎟

_⎟⎟

⎜⎝

⎠

=

Δ +Δ + +Δ

(39)

Pool de Cenários

Cenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5 -10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15% -30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% (1.000.000) (800.000) (600.000) (400.000) (200.000) - 300.000 600.000 900.000 1.200.000 1.500.000 (1.200.000) (960.000) (720.000) (480.000) 240.000 - 160.000 320.000 480.000 640.000 800.000 51.373 41.067 30.413 20.360 10.053 - (40.133) (79.160) (117.627) (155.133) (243.480) 14.867 12.333 9.067 5.800 3.267 - (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600)

(40)

Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente

Plausíveis

PIOR CASO BULLISH BEARISH

(1.000.000) (1.000.000) 1.500.000 (1.200.000) 800.000 (1.200.000) (243.480) 51.373 (243.480) (46.467) 14.867 (30.600) (2.489.947) (133.760) 25.920

Dólar

IBOVESPA

Pré

Cupom de USD

(41)

Bibliografia

•

Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (

www.riskmetrics.com

)

; • Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002

•Vieira Neto, C.A. , Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e Mais Abrangente, Resenha BM&F 139

• Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001).

Leituras Complementares

Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods for Value-at-Risk