CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO IRRACIONAL NO ENSINO FUNDAMENTAL: UM GUIA DIDÁTICO PARA O PROFESSOR

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CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO IRRACIONAL NO

ENSINO FUNDAMENTAL: UM GUIA DIDÁTICO PARA O

PROFESSOR

Janaina de Ramos Ziegler – janarziegler@gmail.com Universidade Franciscana Santa Maria - RS Andressa Franco Vargas – andressavargas1@yahoo.com.br Universidade Franciscana Santa Maria – RS Eleni Bisognin – eleni@ufn.edu.br Universidade Franciscana Santa Maria – RS Resumo O presente trabalho tem por objetivo apresentar um Produto Educacional que visa contribuir para a introdução do conceito de número irracional no Ensino Fundamental. Por meio da elaboração de um guia didático, esse Produto Educacional foi elaborado para auxiliar o trabalho do professor na organização e construção de atividades de introdução e reforço sobre os números irracionais, utilizando o software GeoGebra como recurso didático. Nesse guia são apresentadas questões sobre a localização dos números irracionais na reta numérica e as etapas da construção da atividade. Acredita-se que este material pode auxiliar o professor em sua prática docente, pelo uso de um recurso que pode ser utilizado em sala de aula por professores da Educação Básica.

Palavras-chave: Números Irracionais; Ensino Fundamental; Geogebra;

1 INTRODUÇÃO

Dentre os objetivos de conhecimento apresentados na Base Nacional Comum Curricular - BNCC temos alguns ligados ao estudo de números irracionais. No 9º ano do Ensino Fundamental, o aluno deve desenvolver a habilidade de “Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.” (BRASIL, 2017, p. 317).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN para o Ensino Fundamental, os números irracionais devem ser abordados no 4.º ciclo dessa etapa, o que hoje equivale ao 8.º ou 9.º ano. Nessa fase do desenvolvimento cognitivo do estudante, ele precisa ser desafiado, a partir de situações problemas em que os números racionais não são suficientes para determinar a resposta, tornando-se necessário a conceituação de um novo número, o irracional.

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O importante é que o aluno identifique o número irracional como um número de infinitas casas decimais não-periódicas, identifique esse número com um ponto na reta, situado entre dois racionais apropriados, reconheça que esse número não pode ser expresso por uma razão de inteiros; conheça números irracionais obtidos por raízes quadradas e localize alguns na reta numérica, fazendo uso, inclusive, de construções geométricas com régua e compasso. Esse trabalho inicial com os irracionais tem por finalidade, sobretudo, proporcionar contra-exemplos para ampliar a compreensão dos números (BRASIL, 1998, p. 83).

Pensando neste cenário, o presente trabalho tem por objetivo apresentar um produto educacional que visa contribuir na introdução do conceito de número irracional no ensino fundamental, por meio da elaboração de um guia didático para auxiliar o trabalho do professor. Entendemos que este problema de compreensão de número irracional é uma questão de reflexão, uma vez que, representa

[...] uma ideia matemática sofisticada, não trivial e pouco intuitiva, dificultando a abordagem deste assunto em sala de aula. Esta intrínseca característica teórica remete a uma necessária busca de recursos didáticos e epistemológicos para discutir a problemática de introduzir esse campo numérico de modo significativo, no ensino básico. (POMMER, 2012, p. 24)

Deste modo, fica evidente a importância da utilização de materiais manipuláveis ou recursos computacionais adequados aos alunos dessa faixa etária, que provocam o desenvolvimento do pensamento matemático e que podem facilitar o processo de ensino e aprendizagem, uma vez que admitem significados diversos sobre o conceito.

2 O PRODUTO EDUCACIONAL

Caraça (1951, p. 48), no capítulo “Crítica do problema da medida”, apresenta a dificuldade dos pitagóricos em responder a pergunta: Como medir a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos unitários, tendo por unidade a medida do cateto?

Ao tentar responder a pergunta acima, os pitagóricos chegaram ao valor 2 , número que não se encaixava nos critérios de números racionais, ou seja, que pode ser representado por uma fração. Os números como o encontrado pelos pitagóricos mais tarde foram chamados de números irracionais. A pergunta que fica agora é: Como representar números irracionais na reta numérica? A partir deste questionamento elaboramos um guia didático para auxiliar o professor a trabalhar este conceito em sala de aula.

2.1 Tipo de produto: Material textual (guia didático).

2.2 Objetivo: Contribuir para a formalização do conceito de número irracional nos anos finais do Ensino Fundamental, auxiliando o professor em sua prática de sala de aula.

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2.3 Público-alvo: Professores do Ensino Fundamental – Anos Finais.

2.4 Nível de escolaridade: Professores da Educação Básica, mais precisamente, atuantes em turmas de anos finais do Ensino Fundamental, uma vez que o conceito de número irracional é um dos conceitos que começam a ser introduzidos no 9º ano do Ensino Fundamental, prezando por reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica, conforme consta na Base Nacional Comum Curricular -BNCC (BRASIL, 2017).

2.5 Descrição do produto: Construído e organizado para ser um guia didático para professor e orientar o trabalho com relação a construção do conceito de número irracional e sua representação na reta numérica.

Guia didático: Com o auxílio do software GeoGebra, mostraremos o passo a passo para a construção de números irracionais e sua localização na reta numérica. Nossa primeira construção será o número _{2 . Para isso, siga as orientações a seguir.}

a) Primeiro Passo: Abra o software GeoGebra e clicando no item “segmento”, construa um segmento unitário clicando na origem do plano cartesiano (0,0) e no eixo x no ponto (1,0). Após construa outro segmento, clicando novamente no ponto do eixo x (1,0) e no ponto (1,1) do plano. Agora, construa outro segmento clicando na origem do sistema, o ponto (0,0) e no ponto (1,1) do plano.

Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento que representa a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e selecione o item “propriedades”. Na janela “propriedades”, podemos modificar a cor e o estilo do segmento. Neste exemplo escolhemos vermelho com estilo nº 5. Construa uma circunferência de raio igual ao segmento que representa a medida da hipotenusa, para isso, selecione “circunferência dados centro e ponto” e clique no ponto (0,0) e no ponto (1,1), que são as extremidades da hipotenusa (Figura 1). Figura 1: Construção de triângulo retângulo e circunferência

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Fonte: Produzidos pelas autoras

b) Segundo Passo: Agora selecione “interseção de dois objetos” e selecione o eixo x e a circunferência. Após este procedimento, o software mostrará os dois pontos em que o eixo intersecta a circunferência, conforme figura 2.

Figura 2: Interseção da circunferência e eixo x

c) Terceiro Passo: Na “janela álgebra” temos os itens criados até o momento, vamos desabilitar a visualização da circunferencia clicando na bolinha. Posteriomente vamos criar um “arco circular” selecionando na origem (0,0) no ponto de intersecção da circunferencia com o eixo x, na parte positiva do eixo, e depois no ponto (1,1), figura 3.

Figura 3: Construção de arco

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d) Quarto Passo: Clique com o botão direito do mouse sobre o arco criado e selecione “propriedades”. Na janela de “propriedade” troque a cor do arco, neste caso vermelho, e o estilo, optamos por pontilhado.

e) Quinto Passo: O ponto final do arco pontilhado representa o valor na reta numérica de 2 . Para escrever isso, clique em “texto” e na caixa “texto” selecione o símbolo de √ e digite o 2, clique em “ok” e o texto será inserido. Para modificar o texto, clique com o botão direito em 2 e no item propriedade modifique sua cor e se desejar seu tamanho e estilo. Neste exemplo modificamos a cor para vermelho, o tamanho pra médio e o estilo para negrito, conforme figura 4.

Figura 4: Ponto _{2 na reta}

f) Sexto Passo: Para verificar quanto vale 2 numericamente, clique com o botão direito do

mouse na 2 , selecione “propriedade” e na aba “texto” digite o sinal de igual e selecione “objeto”. Ou seja, o objeto que representa a medida da hipotenusa, neste caso o “h”. Clique em “ok” e o valor aparecerá na tela.

Este valor da hipotenusa ainda pode ser encontrado por meio de arredondamentos, onde podemos escolher o número de casas decimais desejadas para cada construção. Ainda, é possível representar outros números irracionais seguindo estes mesmos passos, como por exemplo, 3. Vejamos como seria está construção.

g) Sétimo Primeiro Passo: Selecione o item “reta perpendicular” e clique no ponto que representa a 2 e no eixo x. Assim, será gerado uma reta vertical. Repita o processo, selecione “reta perpendicular” e clique no ponto (1,1) e no eixo y. (FIGURA 6)

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h) Oitavo Segundo Passo: Agora selecione “interseção de dois objetos” e clique nas retas perpendiculares criadas no passo anterior. Crie um segmento que uma a origem (0,0) e o ponto de intersecção das retas, este segmento representa a 3. Clicando com o botão direto, no segmento construído, selecione “propriedades” e modifique sua cor e estilo. Neste exemplo, modificamos para azul e estilo nº 5. Vamos desabilitar as retas perpendiculares clicando nas bolinhas na “janela álgebra”.

i) Nono Passo: Para verificar o valor numérico de 3 na reta, construa uma circunferência de raio igual ao segmento (azul), selecionando “circunferência dados centro e ponto” e clicando no ponto (0,0) e na extremidade oposta do segmento (azul). Selecione “interseção de dois objetos” e clique no eixo x e na circunferência (Figura 7).

Figura 7: Construção de triângulo retângulo

j) Décimo Passo: Na “janela álgebra” desabilite a visualização da circunferencia apouco gerada, clicando na bolinha. Posteriomente selecione “arco circular”, clicando na origem (0,0), no ponto de intersecção da nova circunferencia com o eixo e depois a extremidade do segmento azul, nesta ordem. Clique com o botão direito do mouse sobre o arco criado e selecione “propriedades”. Na janela de “propriedade” troque a cor do arco, neste caso azul, e o estilo, optamos por pontilhado.

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k) Décimo Primeiro Passo: O ponto final do arco pontilhado representa o valor na reta numérica de 3. Para escrever isso, clique em “texto” e na caixa “texto” selecione o símbolo de √ e digite o 3, clique em “ok” e o texto será inserido. Para modificar o texto, clique com o botão direito do mouse em 3 e no item “propriedade” modifique sua cor e, se desejar, seu tamanho e estilo. Neste exemplo, modificamos a cor para azul, o tamanho para médio e o estilo para negrito.

Para verificar uma aproximação de 3, clique com o botão direito do mouse em 3, selecione “propriedade” e na aba “texto” digite o sinal de igual e selecione “objeto”. Ou seja, o objeto que representa a medida da hipotenusa azul, neste caso o “k”. Clique em “ok” e o valor aparecerá na tela, conforme figura 8.

Figura 8: Valor aproximado de 3

Esse processo pode ser seguido para construir outros irracionais que por limitação não podem ser descritas nesse trabalho.

2.6 Dinâmica de aplicação: O guia didático aqui apresentado pode ser aplicado em turmas de Ensino Fundamental, Anos Finais, isto, com o intuito de introduzir ou reforçar a questão do entendimento sobre números irracionais. O conteúdo parte da matriz curricular de Matemática neste nível. Este fato nos faz pontuar que este material pode ser utilizado pelos professores em suas rotinas de sala de aula, como um suporte metodológico para sua prática, inclusive em tempos de ensino remoto.

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com o intuito de contribuir com a prática do professor no aspecto de inserção e conceptualização do número irracional no Ensino Fundamental, o guia pode ser visto como uma forma de contribuição da academia para a Educação Básica, uma vez que apresenta formas de auxiliar a aprendizagem dos alunos sobre um conceito básico de Matemática.

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Ainda, este guia pode facilmente ser utilizado pelos professores, pois faz uso de um

software de fácil acesso e gratuito. O GeoGebra, assim como o produto elaborado, pode ser

facilmente utilizado tanto em aulas presenciais quanto remotas, já que o professor pode gravar vídeos manipulando os objetos, ou então mandar o arquivo para o aluno, permitindo a manipulação e consequentemente, reflexões a partir do que foi observado.

Encerramos esta reflexão pontuando que uma aula lúdica não necessariamente é aquela que instiga o aluno a brincar, ou jogar, mas também pode ser pautada em atividades livres, onde o sujeito pode expressar de forma criativa o seu pensamento sobre determinada ação, manipulando objetos e dando significados a estes. Desta forma, entendemos que este guia didático vai ao encontro destes aspectos, quando oportuniza ao professor pensar e modificar sua prática pelo uso de recursos didáticos.

4 REFERÊNCIAS

BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2017. Disponível em:

http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.

Acesso em: 30 mar. 2021.

______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (3.° e 4.° ciclos do Ensino Fundamental). Brasília: MEC/SEF, 1998.

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Fotogravura Nacional, 1951. p. 166.

POMMER, W. M. A construção de significados dos Números Irracionais no ensino básico: uma proposta de abordagem envolvendo os eixos constituintes dos Números Reais. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo. São Paulo: s.n., 2012. 235 p.