Modelo Kronig-Penney
Outline
1 Equação de Schrödinger
2 Forma matricial
3 Discussão Física
O potencial
O modelo de Kronig-Penney com uma barreira “Dirac” é o mais simples dos modelos analíticos para partículas a uma dimensão num potencial periódico.
O potencial periódico é dado por
V (x ) = U ∞ X
n=−∞
δ(x − na)
onde a é a periodicidade do potencial e U o coeficiente dos deltas de Dirac.
Função de onda
A solução da equação de Schrödinger para uma energia E no intervalo na < x < (n + 1)a é dada por
ψ(n)(x ) = Aneiκ(x −na)+Bne−iκ(x−na) onde κ =p2mE/~2e A
ne Bnsão constantes a determinar pelas condições de fronteira em x = na.
A função de onda é assim
ψ(x ) = .. . A0eiκ(x )+B0e−iκ(x) se 0 < x < a A1eiκ(x −a)+B1e−iκ(x−a) se a < x < 2a A2eiκ(x −2a)+B1e−iκ(x−2a) se 2a < x < 3a ..
Condições de fronteira: continuidade da função
A condição de fronteira
ψ(n+1)((n + 1)a) = ψ(n)((n + 1)a) dá uma primeira condição
An+1eiκ[(n+1)a−(n+1)a]+Bn+1e−iκ[(n+1)a−(n+1)a] =Aneiκ[(n+1)a−na]+Bne−iκ[(n+1)a−na] que simplifica para
Condições de fronteira: discontinuidade da derivada
A condição de fronteira
ψ0(n+1)((n + 1)a) − ψ0(n)((n + 1)a) = 2mU ~2 ψ
(n)((n + 1)a)
dá a segunda condição
iκAn+1eiκ[(n+1)a−(n+1)a]− iκBn+1e−iκ[(n+1)a−(n+1)a] −iκAneiκ[(n+1)a−na]+iκBne−iκ[(n+1)a−na] = 2mU
~2
Aneiκ[(n+1)a−na]+Bne−iκ[(n+1)a−na] que simplifica para
iκAn+1− iκBn+1 =iκAneiκa− iκBne−iκa+ 2mU
~2
Aneiκa− Bne−iκa
Juntando as condições
As duas condições são
An+1+Bn+1 =Aneiκa+Bne−iκa iκAn+1− iκBn+1 =iκAneiκa− iκBne−iκa+2mU
~2
Aneiκa+Bne−iκa
dividindo a segunda por iκ temos An+1+Bn+1 = Aneiκa+Bne−iκa
An+1− Bn+1 = Aneiκa− Bne−iκa− 2iQ(κ)Aneiκa− 2iQ(κ)Bne−iκa onde definimos Q(κ) = 2mU
~2κ que depende da energia. As equações têm a solução
An+1 = Aneiκa− iQ(κ)Aneiκa− iQ(κ)Bne−iκa Bn+1 = Bne−iκa+iQ(κ)Aneiκa+iQ(κ)Bne−iκa
Forma matricial da equação
Esta equação
An+1 = Aneiκa− iQ(κ)Aneiκa− iQ(κ)Bne−iκa Bn+1 = Bne−iκa+iQ(κ)Aneiκa+iQ(κ)Bne−iκa pode escrever-se da forma matricial
An+1 Bn+1
=(1 − iQ(κ))e
iκa −iQ(κ)e−iκa iQ(κ)eiκa (1 + iQ(κ))e−iκa
An Bn =MAn Bn
onde definimos uma matriz M que não depende de n. Vamos ter assim que
An Bn =MnA0 B0
Valores próprios de M
A matriz
M =(1 − iQ(κ))e
iκa −iQ(κ)e−iκa iQ(κ)eiκa (1 + iQ(κ))e−iκa
tem valores próprios λ dados pela solução da equação quadrática (1 + Q(κ)2) − λ
1 − iQ(κ))eiκa+ (1 + iQ(κ))e−iκa
+ λ2− Q(κ)2=0 Definindo a funçãoreal
X (κ) = 1 2
(1 − iQ(κ))eiκa+ (1 + iQ(κ))e−iκa
A equação quadrática fica
Valores próprios de M
A equação
λ2− 2λX (κ) + 1 = 0 tem então duas soluções
λ±=X (κ) ± q X (κ)2− 1 Se |X (κ)| ≤ 1 então λ±=X (κ) ± i q 1 − X (κ)2 definindo cos(φ) = X (κ) temos
λ±=e±iφ Se |X (κ)| > 1 então
λ+ >1 e λ−= 1 λ
Condição para soluções físicas
Vamos estar numa situação parecida com o problema de
espalhamento, onde não há soluções estacionárias normalizáveis da equação de Schrödinger, mas podemos construí-las a partir de soluções que não divergem para ±∞.
No caso de |X (κ)| > 1 escolhendo para (A0,B0)o vector próprios de M associado a λ+temos que os coeficientes de (An,Bn)vão crescer exponencialmente para n → +∞. No caso de λ−esses coeficientes vão crescer exponencialmente para n → −∞. Estas soluções matemáticas não são aceitáveis.
Condição para soluções físicas II
No caso |X (κ)| ≤ 1 e escolhendo para (A0,B0)um dos vectores próprios de M, vamos ter que os coeficientes
An Bn ± =e±inφA0 B0 ±
ou seja os coeficientes vão adquirindo uma fase cada vez que se atravessa uma das barreiras delta.
Relação com o Teorema de Bloch
Se |X (κ)| ≤ 1 e (A0,B0)é um dos vectores próprios de M temos que An Bn ± =e±inφ(κ)A0 B0 ± Se definirmos k = φ(κ) a = 1 aarccos(X (κ)) temos que
ψ(n)(x ) = Aneiκ(x −na)+Bne−iκ(x−na)
= e±ik (na)A0eiκ(x −na)+B0e−iκ(x−na)
= e±ik (na)ψ(0)(x − na)
A função X (κ)
Analisando a função X (κ) = 1
2
(1 − iQ(κ))eiκa+ (1 + iQ(κ))e−iκa = <(1 − iQ(κ))eiκa= < (1 − i2mU ~2κ )eiκa = <F (κ)
onde definimos F (κ) temos que |F (κ)| > 1 e |F (κ)| é uma função decrescente de κ, enquanto que o seu argumento é uma função decrescente (para κ > 0) variando entre π/2 e 0. Vamos ter assim uma função F (κ) que se enrola à volta do círculo unitário no plano complexo, e portanto X (κ) vai sempre alternando entre as situações |X (κ)| ≤ 1 e |X (κ)| > 1, ou seja entre bandas de energia permitidas e proibidas.
Análise dimensional
As constantes do problema são ~, m, a e U. Escolhendo as três primeiras grandezas para o nosso sistema de dimensões, podemos definir o coeficiente adimensional da barreira de potencial como
e
U = U2ma ~2 Definindo ainda ˜κ = κa e ˜k = ka vamos ter
e
F (˜κ) = (1 − i2 eU ˜ κ )e
A função e
F (˜
κ)
A função eF (˜κ)para eU = 4 no plano complexo é a seguinte:
As bandas
Conclusão
Obtemos bandas de energia permitidas e bandas de energia proibidas (hiatos).
Na resolução deste problema as soluções aparecem com a forma de funções de Bloch. Mas a sobreposição das soluções com κ e −κ têm a mesma energia, são soluções da equação de
Schrödinger, mas não são funções de Bloch. Para eU → 0 obtemos o limite da partícula livre.
Para eU → ∞ obtemos o limite da partícula num poço de potencial de largura a.
Use o notebook associado a esta apresentação para analisar o problema.
