UM ESTUDO DE MEDIDAS DE CENTRALIDADE E CONFIABILIDADE EM REDES
Thiago Santos Attias Silva
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Tecnologia, Centro Federal de Educação Tec-nológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Tecnologia.
Orientadores:
Leonardo Silva de Lima, D.Sc. Carla Silva Oliveira, D.Sc.
Rio de Janeiro Maio de 2010
Um Estudo de Medidas de Centralidade e Confiabilidade em Redes.
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Tecnologia do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos à obtenção do título de Mestre em Tecnologia.
Thiago Santos Attias Silva
Aprovada por:
Presidente, Prof. Leonardo Silva de Lima, D.Sc. (orientador)
Prof. Carla Silva Oliveira, D.Sc. (ENCE/IBGE) (co-orientador)
Prof. Nair Maria Maia de Abreu, D.Sc. (UFRJ)
Prof. Lino Guimarães Marujo, D.Sc.
Rio de Janeiro Maio de 2010
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Ficha catalográfica preparada pela Biblioteca Central do CEFET-RJ S586 Silva , Thiago Santos Attias
Um estudo de medidas de centralidade e confiabilidade em redes / Thiago Santos Attias - 2010
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Dissertação (Mestrado) - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, 2010
Bibliografia : f.52-54
Orientador: Leonardo Silva de Lima . Co-orientadora: Carla Silva Oliveira
1.Redes modeladas por grafos 2.Teoria dos grafos 3.Redes - Confiabi-lidade 4.Medidas de CentraConfiabi-lidade I.Lima, Leonardo Silva de (orient) II.Oliveira, Carla Silva (co-orient.) III.Título.
RESUMO
Um Estudo de Medidas de Centralidade e Confiabilidade em Redes
Thiago Santos Attias Silva Orientadores:
Leonardo Silva de Lima Carla Silva Oliveira
Resumo da Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologia do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisistos à obtenção do título de Mestre em Tecnologia.
A confiabilidade de uma rede modelada por um grafo é dada pela probabilidade que este apresenta de permanecer conexo após falha em um subconjunto de seus vértices e/ou arestas. As medidas de centralidade de um grafo são utilizadas para medir o grau de relevância de um vértice em relação aos demais vértices do grafo. Dentre as medidas de centralidade podem ser destacadas as centralidade de grau, informação, intermediação e de autovetor. A principal questão investigada nesse trabalho é a seguinte: Qual o par de vértices não adjacentes que deve ser conectado por uma aresta de modo que o grafo resultante tenha máximo aumento na confiabilidade da rede? Os testes computacionais apresentados nesse trabalho indicam que as medidas de centralidade podem ser úteis para responder essa questão.
Palavras-chave: Grafos; Confiabilidade; Medidas de centralidade.
Rio de Janeiro Maio / 2010
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ABSTRACT
A Study of Centrality Measures and Network Reliability
Thiago Santos Attias Silva Advisor(s):
Leonardo Silva de Lima Carla Silva Oliveira
Abstract of dissertation submitted to Programa de Pós-Graduação em Tecnologia do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, as partial fulfillment of the require-ments for the degree of Technology Master.
The reliability of a network modeled by a graph is defined as the probability to the graph remains connected after removing a subset of its edges and/or vertices. Centrality measures of a graph are use-ful to measure the relevance of a vertex related to the others vertices of the graph. Among all centrality measures one can cite degree centrality, closeness centrality, betweenness centrality and eigenvector centrality. The main question investigated in this work is the following: Which pair of non adjacent ver-tices must be connected by an edge such that the resulting graph has maximum reliability increment? The computational tests presented in this work pointed out that the centrality measures can be useful to answer this question.
Keywords:
Graph; Reliability; Centrality measures.
Rio de Janeiro Maio / 2010
Introdução 1
I Conceitos Básicos 4
I.1 Teoria dos Grafos . . . 4
I.2 Conceitos Básicos Aplicados em Confiabilidade . . . 7
II Confiabilidade em Redes 11 II.1 Falhas em Arestas . . . 12
III Medidas de Centralidade 18 III.1 Tipologia de Fluxo em Redes . . . 18
III.1.1 Tipos de Trajetória . . . 19
III.1.2 Difusão de Fluxo . . . 20
III.1.3 Processos envolvendo fluxo em redes . . . 20
III.2 Medida de Proximidade (Closeness) . . . 23
III.3 Medida de Intermediação (Betweenness) . . . 25
III.4 Medida de Intermediação de Fluxo (Flow Betweenness) . . . 26
III.5 Medida de Autovetor (Eigenvector ) . . . 29
III.6 Medida de Informação (Degree) . . . 31
III.7 Cálculo das Medidas de Centralidade . . . 32
IV Confiabilidade em Redes e Medidas de Centralidade 36
Conclusão 50
Introdução
O desempenho de empresas prestadoras de serviços públicos é medido por diferentes gru-pos envolvidos como, por exemplo, os seus clientes e os órgãos reguladores competentes para cada segmento. Por exemplo, a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica), no setor de eletricidade e a ANATEL (Agência Nacional de Telecomunicações), no setor de telecomunicações. Indicadores de confiabilidade e suas medidas são muito utilizados para quantificar a qualidade de um serviço, e também estão associados, pela própria definição, à continuidade de funcionamento de um sistema. Em alguns casos, como no setor elétrico, este indicador é utilizado como parâmetro para definição do valor da tarifa de energia e do percentual de reajuste anual da mesma [1].
A continuidade de fornecimento de um serviço está associada, dentre outros fatores, a investimen-tos no setor de manutenção do sistema. A gestão da manutenção se desenvolveu inicialmente, no ambiente fabril, principalmente a partir de 1950, já no setor de serviços, seu desenvolvimento foi mais tardio, criando uma defasagem tecnológica da manutenção em relação à fabricação. Desde então, o avanço da manutenção, no âmbito da prestação de serviços, ocorreu em três principais linhas de ação: métodos de gerenciamento, aumento da confiabilidade de equipamentos e sistemas, além do desenvolvimento de alternativas tecnológicas para os equipamentos existentes [29]. Isto representa uma forte motivação para o avanço das técnicas de análise de confiabilidade em redes. Além disto, ao analisar a qualidade de um serviço prestado, não se pode deixar de considerar a percepção do cliente em relação ao serviço que lhe é oferecido. Para isto, pode ser utilizada uma ferramenta de mensuração da qualidade de serviços percebida pelo cliente chamada SERVQUAL, desenvolvida e apresentada em [26] e utilizada em outros trabalhos, como pode ser visto em [19]. Esta ferramenta, também considera a confiabilidade como um de seus parâmetros de análise.
Quanto maior a confiabilidade de um sistema, menor a possibilidade de falhas e mais garantida será a manutenção da qualidade dos serviços. Entretanto, no mundo real, a construção de uma rede considerada infalível é economicamente inviável. Neste âmbito, um dos principais objetivos ao planejar
a construção ou expansão de uma rede, é obter um elevado grau de confiabilidade, com o menor inves-timento financeiro possível, ou seja, maximizar a razão entre a confiabilidade e o custo, considerando as restrições do projeto. Em algumas situações é necessário expandir pontos específicos da rede, em função das necessidades do sistema. A Teoria dos Grafos pode ser utilizada como uma importante ferramenta de análise em diferentes tipos de redes existentes, como um sistema elétrico de potência, uma rede de telecomunicações, uma malha ferroviária, dentre outros. O cálculo da confiabilidade de um grafo que modela uma rede é um problema muito difícil de ser resolvido, do tipo NP-Hard [30]. Em determinadas situações são consideradas aproximações, visando simplificar a rede estudada e, consequentemente, facilitar a obtenção do valor de sua confiabilidade. Em [11], são apresentados métodos para calcular a confiabilidade de uma rede, onde considera-se que apenas as arestas pos-sam falhar, sendo os vértices infalíveis. Em [15] são consideras falhas apenas nos vértices. Pode ser vista em [30], uma aproximação combinatorial para o cálculo da confiabilidade de um grafo, supondo a possibilidade de falha, tanto nos vértices, quanto nas arestas. Para isto, é necessário conhecer e avaliar as particularidades de cada problema, visando definir qual tipo de aproximação poderá ser aplicada a cada caso.
A identificação dos principais elementos de um sistema é importante para auxiliar a tomada de decisão no momento de escolher em qual trecho da rede deve-se investir em determinado instante. Em uma rede de transmissão de fluxo pode existir um ponto que seja o único ou o principal elo de ligação entre importantes trechos. Este ponto deve ser identificado para que tenha um tratamento especial, sob o ponto de vista da confiabilidade, visto que em caso de defeito no mesmo o impacto para o sistema será relevante. Medidas de centralidade podem ser utilizadas para identificar os principais pontos de uma rede, sob diferentes aspectos. Existem medidas que determinam maior grau de relevância para elementos com maior número de relações diretas com os demais, outras indicam relevância para pontos que se encontram mais próximos do restante dos elementos da rede, dentre outras. Ao realizar uma análise em um caso real, através das medidas de centralidade deve-se verificar qual delas se adequa melhor às características particulares de cada caso, conforme será apresentado no Capítulo 4. Em [13], [7] e [14] são apresentadas diferentes medidas de centralidade, com suas aplicações e interpretações de resultados. Neste trabalho são abordadas as principais medidas de centralidade, suas particularidades e aplicações, além de uma possível relação com o cálculo da confiabilidade em redes.
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Objetivo
O objetivo geral deste trabalho é apresentar os principais conceitos e aplicações de confiabili-dade e de medidas de centraliconfiabili-dade em redes modeladas por grafos, indicando uma possível relação entre as medidas de centralidade e o cálculo da confiabilidade.
Metodologia
Ao longo deste trabalho, foram utilizados alguns softwares para auxiliar a apresentação e obtenção dos dados. Para desenhar os grafos, foi utilizado o software YED [32] e para calcular os valores das medidas de centralidade utilizou-se o software Netdraw [10]. A pesquisa bibliográfica foi realizada em diversas fontes, com ênfase em periódicos da Capes, e nas revistas Networks e Social
Networks.
Motivação
A análise da confiabilidade de uma rede e a identificação de seus principais elementos são im-portantes ferramentas para diversos estudos práticos, como por exemplo, a expansão e manutenção de sistemas elétricos, de transportes e de telecomunicações. Estes estudos estão diretamente relaciona-dos à qualidade de prestação de serviços de uma empresa e seus resultarelaciona-dos podem ser utilizarelaciona-dos como importantes indicadores no auxílio a tomadas de decisão.
Estrutura do Trabalho
Foi realizada uma revisão bibliográfica sobre confiabilidade em redes e medidas de centrali-dade em grafos. No Capítulo 2, são apresentados os conceitos básicos da Teoria de Grafos e outros conceitos relevantes. No Capítulo 3, são apresentadas definições e métodos de cálculo da confi-abilidade em redes, além de algumas possíveis simplificações. Já no Capítulo 4, são definidas as principais medidas de centralidade existentes, além de apresentar exemplos sobre estes conceitos. O capítulo 5 mostra uma possível relação entre as medidas de centralidade e a escolha do melhor ponto para expansão de uma rede, sob o ponto de vista da confiabilidade da rede. Finalmente, o capítulo 6, apresenta as conclusões e propostas para trabalhos futuros.
Conceitos Básicos
Neste capítulo são apresentados os principais conceitos e definições, incluindo exemplos re-ferentes à Teoria dos Grafos e Confiabilidade de redes, necessários para a compreensão dos tópicos abordados ao longo deste trabalho.
I.1 Teoria dos Grafos
Um grafo é uma estrutura G(V ; E), onde V é um conjunto discreto cujos elementos são de-nominados de vértices ou nós e E, um conjunto de subconjuntos a dois elementos deV, cujos ele-mentos são denominados arestas deG. O grafoG(V ; E)é de ordem n, quando|V | = ne de tamanho m, se|E| = m, 0 ≤m≤ n(n − 1)/2. Um grafoG(V, E)é dito valorado quando existe uma ou mais funções relacionandoV e/ouE a conjutos de números.
Um grafo com |V | = 1 e |E| = 0 é denominado trivial. Um grafo com m = 0 é denominado
totalmente desconexo ou vazio. Os vértices interligados por uma aresta são denominados adjacentes.
Um percurso ou itinerário, é uma família de ligações sucessivamente adjacentes. Um percurso é fechado quando a última ligação da sequência for adjacente à primeira e aberto nos demais casos. Um percurso aberto pode possuir subpercursos fechados, e se duas ou mais arestas tiverem um vértice em comum, elas são denominadas incidentes, caso contrário são independentes.
Um grafo é um caminho se seus vértices podem ser ordenados de tal maneira que o primeiro seja adjacente ao segundo, o segundo adjacente ao terceiro, e assim sucessivamente, até que o penúltimo seja adjacente ao último e que não haja outras adjacências entre os vértices além dessas. Em outras palavras, um grafo G(V ; E)é um caminho se V admite uma permutação tal queE(G)={(vi, vi+1),
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1 ≤ i < n}. Os vértices v1 evn são denominados extremos do caminho. Um ciclo é um caminho que começa e termina no mesmo vértice. Quando uma aresta de ligação envolver apenas um único vértice, ou seja, tiver como origem e destino o mesmo vértice, ela é denominada laço. As arestas de um grafo podem possuir ou não um sentido de orientação de fluxo. Um arco é uma aresta de ligação orientada entre dois vértices. Um grafo orientado ou digrafo é aquele cujas arestas são orientadas, como por exemplo o grafo da Figura I.1.
Figura I.1: Digrafo.
Um grafoG0 = (V0; E0) é um subgrafo deG = (V ; E), quando V0 ⊆ V e E0 ⊆ E. É comum representar G0 como subgrafo de Gatravés deG0 ⊆ G. Um subgrafo G0 de Gé gerador seV0(G0)
= V (G)eE0(G0) ⊆ E(G), ou seja,G0 é constituído apenas pela supressão de arestas de G. Para G0 obtido através da supressão de vértices de G, tal que ∀ ν
x, νy ∈ V0, se (νx, νy) ∈ E0 então (νx, νy) ∈ E,G0 é denominado subgrafo induzido deG.
O grau de um vértice vi ∈ V, denotado por d(vi), é o número de arestas ligadas diretamente a ele. A partir disto, a sequência de graus de um grafo G, é dada por dG = (d(v1), ..., d(vn)), onde d(v1) ≥ ... ≥ d(vn). O grau mínimo deG, denotado porδ(G), é definido como δ(G) = d(vn) e o grau máximo, denotado por∆(G)é definido por∆(G) = d(v1). Um grafo é ditok − regularquando d(vi) = k, 1 ≤ i ≤ n. Quandod(vi) = n − 1, 1 ≤ i ≤ n, o grafo é dito completo e denotado por Kn. Uma clique deGé um subconjunto de vértices cujo subgrafo induzido por ele,G0, forma um grafo completo.
Dois grafosG = (V1; E1)eH = (V2; E2)são iguais quandoV1 = V2eE1 = E2. Grafos isomorfos são aqueles que possuem a mesma estrutura. De outro modo, dois grafos GeH são denominados isomorfos quando existir uma bijeção f tal que, para todo vi ∈ V1 e para todowj ∈ V2, wj = f (vi) de modo que as relações de adjacência sejam preservadas, isto é (vk, vr) ∈ E1, se e somente se,
Figura I.2: Grafos Isomorfos.
Há diversas representações matriciais associadas a grafos e o seu uso está, habitualmente, rela-cionado à necessidade de realização de cálculos envolvendo dados estruturais. Dentre as matrizes mais conhecidas, tem-se as matrizes de adjacência, incidência, laplaciana, laplaciana sem sinal e outras. Neste trabalho serão utilizadas as matrizes de adjacência, denotada por, A(G)e laplaciana, denotada porL(G). A matriz de adjacência deG,A(G), é a matriz de ordemn, cujas entradas são:
aij =
1, se (vi, vj) ∈ E paravi, vj ∈ V ; 0, nos outros casos.
É facil verificar queA(G)é simétrica, ou seja,aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n. A Figura I.3 exibe um grafo com 4 vértices e 5 arestas.
Figura I.3: GrafoG.
A matriz de adjacência do grafo da Figura I.3 é:
A(G) = 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
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eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O númeroCij = (−1)i+jMij é denominado cofator de bij. A matriz [Cij], ∀i, j = 1, ..., né denominada matriz de cofatores de B e sua transposta é denominada adjunta deB, denotada porAdj(B).
SejaD, D(G) = (dii), 1 ≤ i ≤ n, a matriz diagonal, cujos elementos de sua diagonal principal, dii = d(vi), são os graus dos vértices do grafoG. A matrizL(G) = D(G) − A(G), onde A(G)é a matriz de adjacência deG, é denominada matriz laplaciana ou laplaciano do grafoG, [3]. A Figura I.4 exibe um grafo com 5 vértices e 6 arestas.
Figura I.4: Grafo G.
A matriz Laplaciana do grafo da Figura I.4 é:
L(G) = 2 −1 0 0 −1 −1 3 −1 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 −1 3 −1 −1 0 0 −1 2
I.2 Conceitos Básicos Aplicados em Confiabilidade
A definição de Confiabilidade de Redes depende basicamente de dois parâmetros de vulnera-bilidade: a conectividade de aresta e o cardinal de conectividade de aresta. O objetivo central desta seção é apresentar as definições da Teoria dos Grafos com aplicação mais direta na de solução de problemas de Confiabilidade de Redes.
A conexidade de um grafo está relacionada à possibilidade de transmissão de fluxo de um vértice a outro, utilizando as arestas existentes. Um grafo conexo possibilita a ligação entre todos os seus vértices atráves das arestas nele existentes, já em um grafo desconexo isto não é possível. O conceito de conexidade está inteiramente associado às definições de confiabilidade e vulnerabilidade de uma rede modelada por um grafo. É válido destacar, que a análise da conexidade em grafos orientados
e não orientados, não é realizada da mesma forma, visto que deve-se observar o sentido de fluxo permitido em cada aresta de um digrafo. Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos. A conectividade
de aresta, denotada porλ(G)ou simplesmenteλ, é dada pelo menor número de arestas cuja remoção torna o grafoGdesconexo. A conectividade de vértice, denotada por, κ(G)ou simplesmente κ, por sua vez, é dada pelo menor número de vértices cuja remoção torna o grafoGdesconexo ou trivial. Um
corte de arestas emGou conjunto separador deGé um conjunto de arestas cuja remoção desconecta G ou o torna trivial. Se uma única aresta for responsável pelo corte, esta é chamada de ponte. De maneira análoga, define-se o corte de vértices como o conjunto de vértices cuja remoção, juntamente com as arestas ligadas a ele, desconecta o grafo ou o torna trivial. Se um único vértice determinar um corte, este será denominado ponto de articulação.
O Teorema a seguir determina o máximo valor deλ(G) eκ(G) quandon em são previamente conhecidos.
TEOREMAI.1. [20]: Dentre todos os grafos com nvértices em arestas, a conectividade máxima de arestas é igual à conectividade máxima de vértices e, ambas são iguais a 0, quando m < n − 1e iguais ab2m
n c, quandom ≥ n − 1. Recorre que seGé máximo emλ(G), entãoλ(G) = δ(G).
Outra observação importante e bastante útil para o cálculo deλ(G), é a relação existente entre os valores deκ(G),λ(G)eδ(G), que é expressa através da seguinte inequação.
κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G). (I.1)
O número de conjuntos de cortes de arestas com uma dada cardinalidadei, denotado pormi(G)
e o número de subgrafos geradores conexos contendoiarestas, denotado porSi(G), são parâmetros importantes e fundamentais para os cálculos de confiabilidade, que serão apresentados nos capítulos a seguir. Quando ifor igual ao número de arestas m de um grafo G, tem-se Si = 1, pois, neste caso, o próprio grafoGé o único subgrafo gerador conexo contendomarestas. Abaixo é apresentado um grafoG com 5 vértices e 6 arestas e uma tabela, contendo todos os valores deSi(G)emi(G), 1 ≤ i ≤ 6.
SejaGo grafo dado na Figura I.5. As Figuras I.6, I.7 e I.8, mostram todos os subgrafos conexos geradores conexos com 4, 5 e 6 arestas.
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Figura I.5: Um grafoGe seus valores deSiemi.
Figura I.6:S4(G) = 11.
Figura I.7:S5(G) = 6.
A Figura I.5 nos permite observar queSi+ m(|E|−i)= Qi(G0),1 ≤ i ≤ n, onde: Qi(G0) = |E| i = |E|!
i!(|E| − i)!. (I.2)
Um modo de se calcular o número de subgrafos geradores contendo exatamenten − 1arestas é mostrado no próximo capítulo e envolve o conceito de matriz Laplaciana do grafoG.
Capítulo II
Confiabilidade em Redes
Sabe-se que o cálculo da confiabilidade de uma rede representada através de um grafo é um problema difícil de ser resolvido. Com isso, é importante, para facilitar os cálculos necessários, que algumas aproximações sejam consideradas sempre que possível. De modo geral, qualquer elemento de uma rede é passível de falha. Entretanto, pode-se considerar, em determinados casos, que apenas as arestas possuam alguma probabilidade de falha e os vértices sejam confiáveis [11], ou os vértices possam falhar e as arestas não [15], ou ainda, é possível considerar que qualquer elemento possa falhar [30]. Este trabalho designa maior destaque ao primeiro caso.
No estudo de confiabilidade, é necessário definir se uma possível configuração de operação da rede se encontra em um estado aceitável ou não, dentro de determinados critérios de classificação, apresentados a seguir. A partir desta definição, podemos iniciar os cálculos de confiabilidade de um referido sistema. Dentre as possíveis classificações de uma rede temos:
• K-Terminal - Uma rede deste tipo é representada por um grafo Ge considerada operante, se o subgrafo G0, formado pelas arestas em funcionamento, mantém todos osK vértices conec-tados. Este modelo pode ser aplicado em uma rede de suprimentos, onde apenasK unidades necessitam estar conectadas para considerar o sistema operante.
• Two-Terminal - É um caso particular da classificaçãoK-terminal, onde apenas dois vértices, ditos terminais, do subgrafoG0 precisam estar conectados para que o estado do sistema seja consi-derado aceitável ou operante. Esta classificação é bastante utilizada em análise de sistemas de transmissão, onde consideram-se os vértices de origem (fonte) e destino (carga), como os que necessitam estar conectados, mesmo após falhas em linhas de transmissão existentes (arestas).
• All-Terminal - Também um caso particular da classificaçãoK-terminal, ondeKé igual ao número total de vértices do grafo inicialG. Uma rede de distribuição elétrica ou telefônica que considere o atendimento a todos os clientes existentes, fator fundamental para o seu funcionamento, é um exemplo de aplicação desta classificação.
II.1 Falhas em Arestas
Uma rede é modelada por um grafo não orientado G com n vértices e m arestas. Neste grafo cada vértice é perfeitamente confiável e somente as arestas eestão propensas à falhas, com probabilidade de falhaρe. Para calcular a confiabilidade de uma rede, ou seja, a probabilidade desta permanecer operante, mesmo após uma ou mais falhas, conforme o critério de classificação adotado, é necessário determinar a probabilidade de ocorrência de cada possível estado de funcionamento da rede considerado operante e depois somar os resultados obtidos. O número total de possíveis estados é dado por2m, ondemé o número de arestas da rede. A probabilidade de ocorrência de cada estado da rede é dada pelo seguinte produtório:
Y e²E0 (1 − ρe) Y e²(E\E0) ρe, (II.1)
ondeE é o conjunto de arestas do grafoGeE0 é o conjunto formado pelas arestas do grafo que se encontram em funcionamento.
Na Figura II.1, tem-se a representação de uma rede de suprimentos, representada pelo grafoG, onde as probabilidades de falha nas arestas sãoρe1,ρe2,ρe3,ρe4 eρe5 para as arestase1, e2, e3, e4e
e5, respectivamente. O sistema é considerado operante se houver qualquer ligação entre os vértices F (fonte) eD(destino).
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Figura II.1: GrafoG.
Considere o estado de funcionamento das arestas e1, e2, e3, e4 e e5 do grafo G da Figura II.1, representado pela matriz linha (I(e1), I(e2), I(e3), I(e4), I(e5)), onde I(ej) = 1, se a arestae1 está em funcionamento e I(ej) = 0, se a aresta ej falha . Em 7 dos 32 = 25, possíveis estados do sistema, o mesmo permanecerá operante, conforme os critérios definidos anteriormente. Os estados considerados operantes são indicados abaixo.
(1,0,1,0,1); (1,1,1,0,1); (1,0,1,1,1); (0,1,0,1,1); (1,1,0,1,1); (0,1,1,1,1) e (1,1,1,1,1). Sendo assim, a confiabilidade do sistema é dada por:
ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+
ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5,
ondeρeé a probabilidade da arestaese manter em operação.
Em alguns casos pode-se considerar ρ = ρ1 = ρ2 = . . . = ρm. Nestas situações é possível calcular a probabilidade deGpermanecer conexo (critério de classificação All-Terminal), após a falta de operação de algumas de suas arestas, através da expressão II.2.
R(G; ρ) = m X i=n−1
Si(1 − ρ)iρm−i, (II.2)
ondeSi é o número de subgrafos geradores conexos contendoiarestas.
Empiricamente esta consideração pode ser feita principalmente quando estamos tratando de uma rede cujas arestas são meios de comunicação constituídos de um mesmo material e tecnologia. Para o grafo da Figura II.2, o cálculo deR(G; ρ)é dado por:
R(G; ρ) =P5i=4Si(1 − ρ)iρm−i= 5(1 − ρ)4ρ1+ 1(1 − ρ)5ρ0. Paraρ = 0.2, temos:
Figura II.2: GrafoG.
Para pequenos valores deρpode-se aproximar o cálculo deR(G; ρ)pelo valor do primeiro termo da expressão II.2 [21]. Para estes casos, tem-se:
R(G; ρ) = Sn−1(1 − ρ)n−1ρm−(n−1) (II.3)
Considerando uma rede existente de qualquer natureza, pode-se aumentar o valor de sua confia-bilidade, através da inserção de novas arestas com a mesma probabilidade de falha ρ. Para o grafo da Figura II.2, a confiabilidade das novas redes geradas, a partir da inserção de uma aresta, entre qualquer um de seus vértices não consecutivos, terá sempre o mesmo valor, visto que, por se tratar de um grafo ciclo, todas as redes geradas pela inserção de uma aresta, podem ser modeladas por grafos isomorfos, conforme mostrado na Figura II.3.
Figura II.3: Grafos gerados a partir da Figura II.2.
Neste casoR(G1; ρ) = R(G2; ρ) = R(G3; ρ) = R(G4; ρ) = R(G5; ρ) =
P6
i=4Si(1 − ρ)iρm−i = 11(1 − ρ)4ρ2+ 6(1 − ρ)5ρ1+ 1(1 − ρ)6ρ0.
Considerandoρ = 0.2, temosR(G1; 0.2)= 0.8355. O que representa um aumento de12%em relação à confiabilidade da rede inicialR(G; 0.2).
De maneira similar, ao inserir uma nova aresta emG1, com a mesma probabilidade de falhaρ, são obtidos dois novos grafos,G11eG12, não isomorfos, apresentados nas Figuras II.4 e II.5, respectiva-mente. Neste caso,R(G11; ρ) 6= R(G12; ρ)e ambas são maiores queR(G1; ρ). Contudo, é importante
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destacar que grafos não isomorfos podem possuir o mesmo valor de confiabilidade, o que não ocorreu neste exemplo.
Figura II.4:G11.
Veja que para o grafoG11da Figura II.4 o valor deR(G11; ρ)é dado por: R(G11; ρ) =
P7
i=4Si(1 − ρ)iρm−i. Se ρ = 0.2, R(G
11; ρ) = 0.894, o que representa um aumento de 7.00% em relação à R(G1; 0.2).
Figura II.5:G12.
Para o grafoG12da Figura II.5, tem-se:R(G12; ρ) =
P7
i=4Si(1 − ρ)iρm−i
Paraρ = 0.2,R(G12; 0.2) = 0.917, o que representa um aumento de9.75%em relação àR(G1; 0.2). A inserção de novas arestas no grafo anterior, poderá aumentar o seu valor de confiabilidade, até que o grafo se torne completo, onde não há mais possibilidade de novas inserções. Observa-se nos exemplos anteriores, que o valor da confiabilidade de uma rede depende de sua topologia, até mesmo se as topologias tiverem o mesmo número de vértices e arestas. Além disto, podem existir grafos G(V ; E)eH(V0; E0), que para determinados valores deρ, tem-seR(G; ρ) > R(H; ρ), e para outros valores de ρ, tem-se R(G; ρ) < R(H; ρ), conforme pode ser verificado através dos grafos da Figura II.6 e dos cálculos apresentados abaixo.
Figura II.6: GrafosG(V ; E)eH(V ; E).
Os polinômios deR(G; ρ)eR(H; ρ)são dados por:
R(G; ρ) = 32(1 − ρ)5ρ3+ 24(1 − ρ)6ρ2+ 8(1 − ρ)7ρ1+ 1(1 − ρ)8ρ0. R(H; ρ) = 30(1 − ρ)5ρ3+ 25(1 − ρ)6ρ2+ 8(1 − ρ)7ρ1+ 1(1 − ρ)8ρ0. A partir dos polinômios acima, pode-se concluir que:
R(G; ρ) < R(H; ρ), para0 < ρ < 1/3, R(G; ρ) = R(H; ρ), paraρ= 1/3, R(G; ρ) > R(H; ρ), para1/3 < ρ < 1.
Existem ainda casos onde um grafoG(V ; E)possui o maior valor de confiabilidade,R(G; ρ), dentre todos os outros possíveis grafos de mesma ordem|V |e tamanho|E|, para todo valor deρ, no intervalo
(0, 1). Este grafoG(V ; E)é denominado UOR (Uniformly Optimally Reliable) [5]. Os grafos UOR vêm sendo estudados por diversos autores em diferentes trabalhos, como pode ser visto em [2], [17] e [23]. Uma classe de grafos também estudada, por sua baixa vulnerabilidade e forte confiabilidade, é a classe de grafos de Harary. Os estudos mostram que parab2m
n ≥ 3c, há um subconjunto dos grafos de Harary que são os mais confiáveis dentre todos os grafos com nvértices emarestas. Para maiores detalhes e revisão da literatura do assunto, veja [31].
Importante observar que os estudos para melhoria da confiabilidade de uma rede, não devem contemplar apenas a inserção de novas arestas ou melhoria do valor de confiabilidade desta aresta, mas também qual a melhor topologia de uma determinada rede para um dado valor de ρ. Pode-se observar que o cálculo dosSi para grafos maiores, é bastante desgastante de ser executado de forma manual e até mesmo computacional. Este cálculo constitui um problema NP-Hard [11] e por isso são mostradas algumas conhecidas simplificações utilizadas para o cálculo deR(G; ρ). Entretanto, o valor deSn−1 pode ser calculado utilizando conceitos da Teoria Espectral em Grafos. A seguir, o Teorema 3.1 apresenta um resultado interessante para o cálculo deSn−1.
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TEOREMAII.1. [3] Todo cofator da matriz Laplaciana deG,L(G), é igual ao número de árvores gera-doras deG, denotado porσ(G), ou seja.
AdjL(G) = σ(G)J, (II.4)
ondeJ é a matriz de ordemncujas entradas são iguais a 1 eσ(G) = Sn−1.
Considerando o grafoGe sua matriz Laplaciana, exibidos na Figura I.4, temos queCij = σ(G) = Sn−1 = 11,∀ i, j = 1, ...n.
De acordo com a definição de conectividade de arestaλ(G), considerandoGum grafo conexo, se um dado número de arestas inferior ao valor de λ(G) for retirada deG, o subgrafo gerado continua sendo conexo. Ou seja, sempre que λ(G)for maior que a quantidade de arestas a ser removida de um dado grafo G, todos os subgrafos gerados a partir deGserão conexos e o número total desses grafos pode ser obtido utilizando a expressão I.2.
A confiabilidade de um grafo pode ser calculada através da análise do problema de forma inversa. Pode-se medir a confiabilidade através da função de não confiabilidade, ou seja, calculando a pro-babilidade do grafo tornar-se desconexo após a falha de algumas arestas. Isto é dado pela seguinte expressão: P (G; ρ) = m X i=λ mi(1 − ρ)i(ρ)m−i, (II.5)
ondeρé a probabilidade de não falha das arestas do grafo.
Pela função da propriedade complementar da probabilidade, temos
R(G; ρ) + P (G; ρ) = 1.
A análise inversa do problema é bastante útil e pode facilitar o cálculo da confiabilidade em deter-minados casos, especialmente para valores elevados de ρ. Em [21], é mostrado que para ρ → 1, o cálculo deP (G; ρ)pode ser aproximado pelo valor do primeiro termo de(II.5), ou seja,
Medidas de Centralidade
As medidas de centralidade são uma importante ferramenta, aplicada em diversos estudos, como redes sociais [13], redes de transportes [16], mercado financeiro [12], dentre outros. No âmbito das redes sociais é um dos conceitos mais estudados [8]. Elas podem ser utilizadas para medir o grau de relevância dos vértices de uma rede representada através de um grafo G, ou seja, o quanto um vértice vk é mais ou menos importante em relação aos demais vérticesvi, 1 ≤ i ≤ n, i 6= k, sendo n o número total de vértices da rede. Existem diferentes tipos de medidas de centralidade, dentre elas destacam-se as de Proximidade (Closeness) [13], Intermediação (Betweenness) [13], Autovetor (Eigenvector ) [7] e Informação (Degree) [25]. Além disto, em [13] também é apresentada uma medida de centralidade de grafos, baseada na centralidade de seus vértices. A partir do resultado de cada medida de centralidade, é possível ordenar os vértices da rede em função de sua importância relativa, entretanto um vérticevk não estará obrigatoriamente na mesma posição de acordo com a análise de todas as medidas. Isto ocorre pois a expressão utilizada para o cálculo de cada medida de centralidade está associada a um significado distinto das demais. Sendo assim, ao analisar uma rede através da centralidade de seus vértices, deve-se identificar o contexto do problema para escolher qual medida é a mais adequada para cada análise, conforme apresentado nas seções a seguir.
III.1 Tipologia de Fluxo em Redes
O modo como o fluxo percorre e se difunde através da rede varia de acordo com o processo que está sendo realizado. Por exemplo, um livro pode ser transferido apenas de uma pessoa para outra a cada instante, já uma mensagem de e-mail pode ser enviada de uma pessoa para diversas
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outras ao mesmo tempo. Este tipo de análise, possibilita a comparação e a distinção entre diferentes processos, além de auxiliar na escolha da medida de centralidade mais indicada para analisar cada caso. Nas seções a seguir, são apresentadas características de alguns modos de tráfego e difusão do fluxo em redes.
III.1.1 Tipos de Trajetória
• Caminho (Path)
Processos de difusão de fluxo, cuja trajetória é considerada um caminho, são aqueles onde o fluxo percorre a rede de um vértice a outro através de duplicação e, ao longo de sua trajetória, este fluxo jamais retorna a um vértice já visitado anteriormente. Por exemplo, em um processo de transmissão de infecção, onde um indivíduo vi é infectado e se torna imune à doença, vi pode transmitir a doença aos demais membros da rede, entretanto não pode ser infectado novamente.
• Caminho Geodésico (Geodesic Path)
Nestes casos o fluxo trafega pela rede de forma similar ao caminho, entretando flui sem-pre através dos menores caminhos. Um motoqueiro ao entregar uma pizza busca os menores caminhos pelas ruas desde a pizzaria até chegar ao seu destino e entregar a mercadoria, visto que o caminho é previamente conhecido. Neste processo não pode haver repetição dos vértices nem das arestas já utilizadas.
• Trilha (Trail)
Nestes casos o fluxo pode passar, sem restrições, pelo mesmo elemento para alcançar novos alvos. Entretanto, isto ocorre sempre sem a utilização do mesmo canal de comuni-cação, ou seja, o fluxo pode passar pelo mesmo vértice diversas vezes, todavia não pode haver repetição de arestas. Por exemplo a propagação de uma notícia é considerada uma trilha, visto que uma pessoa pode ser informada através de diferentes meios e propagar a informação, con-tudo, a mensagem dificilmente será repetida entre as mesmas pessoas da rede.
• Percurso (Walk )
Esta trajetória não apresenta qualquer restrição de fluxo durante o processo, ou seja, o fluxo pode voltar para um vértice já visitado, inclusive através da mesma aresta utilizada an-teriormente. Um exemplo deste processo é o fluxo monetário, onde uma cédula recebida por
uma pessoa A de uma pessoa B na compra de um material, pode ser reutilizada e, futuramente, voltar da pessoa A para a B, de forma direta ou indireta. Ou seja, a cédula pode percorrer ou-tras pessoas até voltar para a pessoa A ou retornar diretamente da pessoa B para a pessoa A. Todo caminho é uma trilha e toda trilha é um percurso aleatório, entretanto, nem todo percurso aleatório é um trilha e nem toda trilha é um caminho.
III.1.2 Difusão de Fluxo
Esta classificação refere-se a maneira como o fluxo é difundido pela rede, ou seja, como ele é expandido desde a origem até atingir os demais elementos da rede.
• Duplicação em série
Ocorre quando a cada instante o fluxo é transmitido de um vértice para um único outro, ficando ambos os elementos, o vértice emissor e o receptor, de posse do fluxo transmitido. A transmissão de doença de uma pessoa para outra ou a transmissão de informação através de uma conversa particular, são exemplos deste tipo de duplicação. Em ambos os casos, a difusão é feita de um vértice para o outro, ficando os dois vértices proprietários do fluxo após o contato.
• Duplicação paralela
Ocorre de maneira análoga à duplicação em série, entretanto o fluxo pode ser transmitido de um vértice para diversos outros simultaneamente. É o que acontece com mensagens envi-adas para grupos de e-mail, notícias publicenvi-adas em jornal e informações passenvi-adas em paletras para diversos expectadores.
• Transferência
Neste caso o fluxo é transmitido de um vértice para outro sem deixar cópia no vértice emissor. A transferência pode ser realizada para apenas um vértice ou para um conjunto deles no mesmo instante. No fluxo econômico, por exemplo, uma cédula ou moeda é transferida de uma pessoa A para outra B. Após isto, apenas a pessoa B mantém posse da moeda.
III.1.3 Processos envolvendo fluxo em redes
Nesta seção, são apresentados alguns exemplos de processos envolvendo fluxo em redes e os modos de tráfego deste fluxo pelas redes, visando auxiliar a identificação e distinção entre os diversos processos existentes.
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• Fluxo de mercadorias
Sendo uma mercadoria um objeto indivisível, ela pode passar de uma pessoa A para uma pessoa B, posteriormente para uma pessoa C e assim por diante. Facilmente este objeto pode retornar para a pessoa A, visto que a N-ésima pessoa, por exemplo, pode não saber que a pessoa A já esteve com o objeto. Entretanto, uma pessoa que entregou a mercadoria para outra, não irá receber novamente a mesma mercadoria da mesma pessoa e nem reenviar esta mercadoria para a mesma pessoa, caso ela receba novamente de alguém, ou seja, se uma pessoa B entregar um livro para uma pessoa C, e depois a pessoa B receber novamente este livro de uma pessoa H, a pessoa B certamente não irá emprestar o livro novamente para a pessoa C, visto que ela sabe que a pessoa C já leu o livro. Sendo assim, nestes casos a trajetória utilizada é a trilha, visto que pode haver repetição de vértice, mas não de aresta durante o percurso do fluxo na rede.
• Moeda
Uma moeda ao circular pela economia, muda de proprietáro a cada transação efetuada. De forma similar às mercadorias, a moeda é indivísivel e só pode estar em um lugar por vez. Ela flui pela rede sem deixar cópias pelos vértices já visitados. Contudo, diferente de uma mercadoria, as moedas não possuem restrições em relação à sua trajetória, que é classificada como percurso (Walk). Sendo assim, durante o seu percurso, uma moeda pode retornar a um vértice já visitado, inclusive através de uma aresta já utilizada.
• Informação Privada
Considere a transmissão de uma informação sigilosa. O fato de ser secreta, não impede o fluxo da informação pela rede. Entretanto, em geral, o fluxo percorre de pessoa para pessoa individualmente. Diferente dos casos anteriores, conforme o fluxo avança pela rede uma cópia é deixada nos vértices já visitados, visto que todos possuem o conhecimento da informação. Sendo assim, a tranferência se dá através de duplicação seriada. Esta notícia irá fluir de pessoa para pessoa, sendo assim, uma pessoa G pode tornar a passar a informação para uma pessoa
A, que já sabia da notícia, considerando que a pessoa G não tinha conhecimento que a pessoa A já havia recebido a notícia. Com isso, o fluxo percorre a rede com a restrição de não repetir
• Mensagens digitais
Mensagens enviadas através da internet, como publicidade para promover o uso de al-gum produto, são enviadas a partir de uma pessoa para diversas outras e podem ser lidas por várias pessoas ao mesmo tempo. Sendo assim, uma mensagem pode estar em diversos lu-gares ao mesmo tempo, em função de sua transfência ocorrer por duplicação paralela. Esta mensagem pode ser transmitida de volta para um vértice já visitado, mas dificilmente será pela mesma aresta, de forma similar ao fluxo da informação privada.
• Comportamento pessoal e Opinião
Uma pessoa pode influenciar o comportamento de outra ou o de um grupo pessoas. Considere o presidente de uma empresa que é admirado por seu comprometimento com o tra-balho, este atributo indivídual pode ser transmitido para todas as pessoas a sua volta de uma só vez, pessoas estas que por sua vez, podem transmitir este mesmo fluxo à outras, mantendo uma cópia em si. Ao longo deste processo, as arestas e os vértices já visitados podem ser repetidos.
• Infecção
Seja uma rede de infecção, onde uma doença contagiosa é transmitida de pessoa para pessoa por duplicação. Se considerarmos que uma vez infectada a pessoa ficará imune, durante todo o processo de transmissão não haverá repetição de vértices já visitados nem arestas já utilizadas.
• Rede de entrega de produtos
Um centro de distribuição de produtos possui uma característica própria que é o envio destes produtos da origem até um destino pré-fixado. Esta transmissão de fluxo, tende a ocorrer através do menor caminho possível. Portanto, em uma rede deste tipo, o fluxo seguirá sempre pelo caminho geodésico, desde o ponto de origem até a chegada ao destino.
Considerando os exemplos apresentados na seção acima, pode-se construir uma tabela relacio-nando casos práticos com as classificações refentes à tipologia do fluxo em redes. A tabela abaixo, adaptada de [8], mostra algumas destas relações aplicadas a casos de redes sociais.
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Tabela III.1: Classificação de processos na tipologia do fluxo em redes Duplicação Paralela Duplicação Seriada Transferência Caminho Geodésico Não há Reprodução Mitótica Entrega de Produtos
Caminho Servidor de Internet Infecção Viral Cadeia de Medicamentos Trilha Mensagem Digital Informação Privada Fluxo de Mercadorias Percurso Opinião Conselhos Fluxo Monenátio
Com o entendimento dos conceitos descritos acima, pode-se iniciar as definições das medidas de centralidade. Verifica-se que certas medidas são mais indicadas para analisar processos representa-dos por determinarepresenta-dos tipos de trajetória e difusão do fluxo.
III.2 Medida de Proximidade (Closeness)
A medida de proximidade está relacionada com a distância total de um vértice vi aos demais da rede. Seu valor é dado pela menor distância, ou distância geodésica, total de um vértice a todos os outros da rede [13]. SejaDuma matriz simétrica de ordemn, cujo elementodij representa a menor distância do elementoipara oj,1 ≤ i,j ≤ n. O cálculo da centralidade de proximidade do vérticevi é dado por: CC(vi) = n X j=1 dij (III.1)
De acordo com a definição acima, o elemento mais central é aquele com o menor valor deCC(vi). A centralidade de proximidade representa a velocidade de acesso de um elementovi aos demais da rede. O elemento com o menor valor de centralidade de proximidade é aquele que se comunica com maior agilidade com todos os outros. Esta medida é importante na análise da velocidade de acesso do fluxo de dados ou de informação a partir de um vértice para todos os demais existentes na rede. Por exemplo, em uma rede de transportes, o vértice com menor valor de centralidade de proximidade é aquele que consegue acessar de forma mais ágil todos os demais vértices da rede. Esta medida também pode ser utilizada para auxiliar na tomada de decisão em relação à escolha de uma região para instalação de um centro de distribuição de mercadorias. A região com o menor valor de centralidade de proximadade é aquela que poderá realizar com maior rapidez o processo de descolamento das mercadorias para as outras regiões. Em [16], é realizado um estudo onde os vértices representam algumas estações de trem do Rio de Janeiro. Neste caso, a medida de proximidade é utilizada para apontar vértices que necessitam de melhoria em relação à qualidade dos
serviços.
Em redes de transmissão de fluxo, a medida de proximidade funciona como um indicador do tempo de chegada de algo que esteja fluindo pela rede [9]. Vértices com baixo valor numérico desta medida possuem uma distância relativa pequena para os demais vértices e por isso tendem a receber o fluxo antecipadamente, considerando que a transmissão do fluxo é realizada através dos menores cami-nhos e que o fluxo é gerado por todos os outros vértices com a mesma probabilidade. Organizações com baixo valor de proximidade em uma rede de compartilhamento de tecnologia em processos de pesquisa e desenvolvimento, estão aptas a desenvolver produtos antes de seus concorrentes. Por outro lado, pessoas com baixo valor desta medida, em uma rede de infecção por doenças sexuais, possuem maior probabilidade de serem contaminadas mais cedo. Outra aplicação típica é na avali-ação do ponto mais provável de se receber primeiro a informavali-ação em um processo de difusão de notícias, entretanto como este processo não percorre necessáriamente os menores caminhos, a or-dem dos valores da medida de proximidade não será obrigatoriamente a mesma de recebimento da informação.
A interpretação desta medida relacionada ao tempo de chegada do fluxo até um destino, somente é valida nos casos onde a origem do fluxo é um ponto qualquer, porém conhecido, e o destino possa ser qualquer vértice da rede, analogamente a um algoritmo computacional não deterministico. Se o tráfego não fluir pelos menores caminhos, a interpretação desta medida como um indicador do tempo até a chegada do fluxo perde o sentido. Sendo assim, pode-se aplicar esta medida a duas classes de processos envolvendo transmissão de fluxo: processos onde o tráfego flui através dos menores caminhos e aqueles onde o fluxo é difundido por duplicação paralela. Neste último caso, todos os tipos de trajetórias ocorrem simultaneamente, inclusive o caminho geodésico e com isso, o efeito para a rede será o mesmo. O uso desta medida como indicador de tempo para avaliar outros processos não deve ser considerado [8].
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Os valores da medida de proximidade dos vértices do grafoG, dado na Figura III.1 são: CC(1) = 11,CC(2) = 12, CC(3) = 13,CC(4) = 10,CC(5) = 9, CC(6) = 12eCC(7) = 17. Assim, o vértice mais central deGév5.
III.3 Medida de Intermediação (Betweenness)
A centralidade de intermediação atribui importância a um vértice em função da passagem de fluxo por ele para interligar outros dois vértices da rede, através do menor caminho possível. Pode ser definida como a porcentagem de vezes que um vértice vk necessita do vértice vi, cuja centralidade está sendo medida, para atingir um vérticevj, através do menor caminho possível, sendo,k 6= i 6= j e 0 < j < k ≤ n, onde n é o número de vértices da rede. O vértice com maior centralidade de intermediação é aquele que participa de maneira mais ativa em um processo de interação, onde os caminhos mais curtos são percorridos. Seu valor é calculado através do somatório da quantidade de caminhos geodésicos que passam por um determinado vértice, para interligar cada possível par de outros vértices da rede, em relação ao total destes caminhos geodésicos que interligam os pares. O cálculo da centralidade de intermediação para um vérticevi é dado pela expressão a seguir.
CB(vi) =X j<k
gjk(vi) gjk
, i 6=, j 6=, k (III.2)
onde gjk é o número de caminhos geodésicos que interligam o vérticej ao vérticek e gjk(vi) é a quantidade destes caminhos que passam porvi.
A aplicação desta medida em processos de transmissão de fluxo deve considerar algumas obser-vações, conforme a seguir: o fluxo deve ser indivisível, visto que pela definição quando ocorrer uma situação onde o fluxo tenha mais de um menor caminho para seguir, ele irá escolher apenas um deles aleatoriamente e seguirá até seu destino. A difusão do fluxo se dá através de transferência de um vértice para outro, ao invés de duplicação, seja paralela ou seriada. Por último, o tráfego irá fluir sem-pre através dos menores caminhos, ou seja, o fluxo possui um destino fixado e conhece os melhores caminhos para chegar até lá.
Processos como redes de informação ou infecções, cujo fluxo é difundido através de duplicação e não transferência e também não possuem um destino fixado, não se adequam nas características apresentadas acima, sendo assim, não se deve utilizar a medida de intermediação como indicador de importância de um vérticevi no processo de transmissão de doenças ou fluxo de informações, exceto
nos casos ondeviseja um importante ponto de articulação, que interligue grande parte dos vértices a diversos outros. Neste casoviexerce uma ação relevante de controle sobre o fluxo da rede.
De acordo com as definições apresentadas, esta medida possui maior aplicação em casos de entrega de mercadorias, onde o destino e a melhor rota são conhecidos. Nestes casos, o vértice com o maior valor de centralidade de intermediação pode controlar o fluxo da rede. Em alguns casos o vértice com alto valor de intermediação é o ponto de articulação entre pontos isolados da rede, ou seja, o único elo de ligação entre eles.
Figura III.2: GrafoG.
Na Figura III.2, é fácil verificar que o vértice2é um importante ponto de articulação da rede. O vér-tice2participa 8 vezes dos menores caminhos para interligar todos os possíveis pares de vértices do grafoG. Estes caminhos são para interligar os seguintes pares de vértices: (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (5, 4) e (5, 6). Os valores da medida de intermediação dos vértices do grafo G são: CB(1) = 0,CB(2) = 8,CB(3) = 0,CB(4) = 4,CB(5) = 0,CB(6) = 0.
III.4 Medida de Intermediação de Fluxo (Flow Betweenness)
Embora o uso tradicional da medida de intermediação remeta a casos onde são considerados apenas os caminhos mínimos, existem processos reais onde há necessidade de uma interpretação mais ampla para esta medida. A centralidade de intermediação de fluxo foi apresentada em [14] e sua análise é baseada no fluxo máximo em uma rede. Para obtenção de seu valor, é necessário calcular o parâmetro CF(vi), que é dado pelo somatório dos fluxos que obrigatoriamente precisam passar por um vértice vi, para transmitir o fluxo máximo entre todos os demais pares de vértices da rede, considerando um ponto de origemvse um ponto de destino,vt,i 6= s 6= t. Sendo assim, tem-se:
CF(vi) = n X s<t n X mst(vi), (III.3)
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ondemst(vi)é o fluxo que necessita passar por vi, quando o fluxo máximo percorre a rede desde a origem até o destino.
Dividindo o resultado deCF(vi) pelo fluxo total entre todos os outros pares de vértices da rede, ondevi não é o vértice de origem nem de destino, é possível determinar o valor da medida de inter-mediação de fluxo, que varia entre 0 e 1, a partir da seguinte expressão:
CF0 (vi) = Pn s<t Pn mst(vi) Pn s<t, s6=i, t6=i Pn mst, (III.4)
ondemsté o fluxo máximo que percorre a rede desde a origem até o destino.
Esta medida é interpretada como a proporção do fluxo que depende do vérticevi, durante a trans-missão do fluxo máximo entre os demais pares de vértices da rede.
A Figura III.3 apresenta um grafoG(5, 6), valorado em suas arestas. A valoração de aresta indica a capacidade de transmissão de fluxo pelas mesmas. Para calcular o valor deC0
F(vi)de cada um dos vértices do grafoG, é necessário o cálculo de todos os valores dos parâmetrosmstemst(vi).
Figura III.3: GrafoG.
Por exemplo, o fluxo máximo entre os vérticesva evb, mab, vale 6, sendo constituído por duas unidades de fluxo que percorrem o caminho(va, vd, vc, vb), uma que percorre o caminho(va, vc, vb)e outras três que passam diretamente do vérticevapara o vérticevb. Destas 6 unidades de fluxo máximo entre va evb, duas passam pelo vérticevd, logomab(vd) = 2. De maneira análoga são calculados os demais fluxos máximosmst, para cada par de vértice do grafoGda Figura III.3, além do fluxo que necessita passar pelo vérticevi, mst(vi). Os resultados são apresentados nas Tabelas III.2 e III.3 a seguir, respectivamente.
Tabela III.2: Valores demst do grafoG. mab = 6 mac = 6 mad= 4 mae= 2 mbc= 6 mbd= 4 mbe= 2 mcd = 4 mce = 2 mde = 2
Tabela III.3: Valores demst(vi)do grafoG.
mbc(va) = 1 mbd(va) = 2 mbe(va) = 1 mcd(va) = 2 mce(va) = 0 mde(va) = 1 mac(vb) = 3 mad(vb) = 1 mae(vb) = 0 mcd(vb) = 1 mce(vb) = 0 mde(vb) = 0 mab(vc) = 3 mad(vc) = 2 mae(vc) = 2 mbd(vc) = 2 mbe(vc) = 2 mde(vc) = 2
mab(vd) = 2 mac(vd) = 2 mae(vd) = 0 mbc(vd) = 2 mbe(vd) = 0 mce(vd) = 0
mab(ve) = 0 mac(ve) = 0 mad(ve) = 0 mbc(ve) = 0 mbd(ve) = 0 mcd(ve) = 0
consequentemente o resultado para a medida de intermediação de fluxo de cada vértice do grafo G. O cálculo deC0
f(va), por exemplo, é dado por:
CF0 (va) = mbc(va) + mmbd(va) + mbe(va) + mcd(va) + mce(va) + mde(va) bc+ mbd+ mbe+ mcd+ mce+ mde
= 0.35 (III.5)
Tabela III.4: Valores da medida de intermediação de fluxo dos vértices deG. Vértice Pns<tPnmst CF(vi) CF0 (vi) a 20 7 0.35 b 20 5 0.25 c 20 13 0.65 d 24 6 0.25 e 30 0 0.00
Em [24] é apresentada uma medida, denominada Intermediação de Percurso Aleatório
(random-walk betweenness). Neste caso, de forma similar à medida de intermediação de fluxo, não são
con-siderados apenas os caminhos mínimos e sim todos os possíveis caminhos existentes entre todos os pares de vértices. Entretanto é dado um peso maior para os caminhos geodésicos existentes. Esta medida é baseada em percursos aleatórios e conta com qual frequência um vértice vi é atravessado pelo fluxo aleatório que interliga um par de outros vérticesvkevj,i 6= k 6= j.
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III.5 Medida de Autovetor (Eigenvector)
A centralidade de autovetor, definida em [7], atribui relevância para um vértice em função de sua relação com os demais vértices da rede. Se um vértice está ligado a outros que se encontram em uma posição central na rede, o referido vértice terá centralidade de autovetor alta, ou seja, caso um vértice vi esteja ligado a apenas um vértice vk, que por sua vez esteja influenciando diversos outros vértices, que também atuam sobre vários outros, certamente vi terá centralidade alta, mesmo influenciando diretamente apenas um vértice vk. A centralidade do vértice vi é dada por xi, que satisfaz a seguinte equação:
λxi = ai1x1+ ai2x2+ ... + ainxn (III.6)
Em notação matricial, temos:
Ax = λx (III.7)
As soluções deλ e(x1, ..., xn), para equação acima, correspondem respectivamente aos auto-valores e aos autovetores da matriz de adjacência da rede. Utilizam-se os auto-valores dos autovetores associados ao maior autovalor da matriz para identificar os vértices de maior influência na rede [6]. Quanto maior for o valor dexi, maior será a centralidade do vérticevi, denotada porCE(vi).
Através de III.7 conclui-se que a posição de um elemento vi na rede é uma função linear dos elementos aos quais ele está conectado.
A Figura III.4 apresenta um grafoGcom 5 vértices e 6 arestas. Abaixo é apresentado exemplo do cálculo dos valores da centralidade de autovetor para cada vértice.
Figura III.4: GrafoG.
A(G) = 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
A matriz de autovalores deA(G)é dada por:
λA(G)= −2.00 −1.17 0.00 0.68 2.48
A matriz de autovetores deA(G)é dada por:
xA(G)= 0.50 0.20 0.50 0.58 0.36 0.50 0.43 0.50 0.18 0.53 0.00 0.74 0.00 0.52 0.43 0.50 0.43 0.50 0.18 0.53 0.50 0.20 0.50 0.58 0.36
O quinto elemento da matrizλA(G) é o maior deles, sendo assim o valor da medida de autovetor para cada vérticevi é dado pelo elemento correspondente da quinta coluna da matriz dos autovetores de A(G), ou seja, o valor da centralidade de autovetor para cada vértice é:CE(v1) = 0.36,CE(v2) = 0.53, CE(v3) = 0.43,CE(v4) = 0.53eCE(v5) = 0.36. Neste caso, os vértices mais centrais sãov2 ev4.
Esta medida é ideal para analisar casos de difusão de informação, infecção ou de comportamento pessoal, onde consideram-se múltiplos caminhos simultâneos com percursos aleatórios. Nestes ca-sos, um elemento conectado a vértices que por sua vez, conectam-se a um grande número de outros vértices é um potencial transmissor indireto de informações, pensamentos ou doenças. Um vértice
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com alto valor desta centralidade terá grande probabilidade de transmitir o fluxo para muitos outros elementos da rede de forma indireta, através dos elementos aos quais ele se conecta.
III.6 Medida de Informação (Degree)
A medida de Informação determina um importante aspecto da posição estrutural do vértice [28]. Inicialmente proposta em [25], atribui relevância ao vértice em função do número de relações diretas que este vértice estabelece com os demais da rede. Seu valor é calculado pelo grau do vértice em questão, conforme a seguinte expressão:
CD(vi) = d(vi), 1 ≤ i ≤ n. (III.8)
Cabe lembrar queCD(vi)também pode ser obtido através da soma dos elementosi − simalinha da matriz de adjacênciaAG, que representa a referida rede, conforme a equação III.9 abaixo:
CD(vi) = n X j=1
aij (III.9)
Também pode-se definir a centralidade de informação como o número de caminhos de compri-mento unitário que tem origem em um vértice. Sendo assim, em processos de difusão de fluxo em redes, esta medida deve ser aplicada a casos cujas ligações indiretas entre vértices não são levadas em consideração, visto que seu cálculo contabiliza apenas ligações diretas entre os vértices. Existem casos onde a relação existente entre um vérticevie outrovj é uma relação única, ou seja, o resultado obtido em função desta relação não seria o mesmo, caso o vérticevise relacionasse da mesma forma com outro vérticevk, sendok 6= j. Outras considerações referentes a este processo podem ser vistas em [22].
Esta medida também pode ser considerada uma medida de efeito imediato, que acontece em um tempo t + 1[8], ou de influência, onde um vértice interfere diretamente em outros. Um vértice com alta centralidade de informação, mantém contato direto com muitos outros. Por exemplo, em uma rede de infecção viral, um vértice com alto valor de centralidade de informação terá grande probabilidade de transmitir o vírus para muitas outras pessoas de forma direta e imediata, sem passar por terceiros. Em uma análise mais ampla esta medida é similar a medida de autovetor. Em casos de trasmissão de doenças, onde um vértice vi, ligado diretamente avj e indiretamente a vk, está infectado com a doença, os vérticesvj evktambém podem ser infectados, entretanto em caso de infecção é provável
que o vérticevj seja atingido antes do vérticevk, visto que vj possui risco de contágio imediato, em função de sua ligação direta comvi.
A Tabela III.5 sintetiza a relação entre os tipos de tráfego e difusão do fluxo e as medidas de centralidade, considerando as características já apresentadas neste capítulo.
Tabela III.5: Fluxo em Redes e Medidas de Centralidade
Duplicação Paralela Duplicação Seriada Transferência
Caminho Geodésico Proximidade Proximidade
Intermediação
Caminho Proximidade Intermediação
Informação de Fluxo
Trilha Proximidade
Informação
Percurso Proximidade Informação
Informação Intermediação de
Autovetor Percurso Aleatório
Analisando a Tabela III.5, pode-se observar que há processos onde mais de uma medida de cen-tralidade pode ser aplicada simultaneamente, entretanto também podem existir processos onde não é possível aplicar nenhuma das medidas vistas anteriormente. Por exemplo, em uma rede de entrega de produtos, onde o entregador utiliza sempre os menores caminhos, é classificada pelo tipo de trajetória como caminho geodésico e pela difusão de fluxo como transferência, conforme a Tabela III.1. As medi-das adequamedi-das para analisar este caso são as de proximidade e intermediação, conforme Tabela III.5. Neste caso, a medida de proximidade indica o melhor ponto para se instalar o centro de distribuição, tendo em vista o acesso mais ágil deste vértice aos demais vértices da rede, considerando uma dis-tribuição uniforme entre todos os vértices. Já a medida de intermediação, indica qual vértice possui maior influência em relação a quantidade de fluxo transmitido na rede, através dos menores caminhos.
III.7 Cálculo das Medidas de Centralidade
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Figura III.5: GrafoG.
A partir do grafo da Figura III.5, pode-se calcular os valores das medidas de centralidade de cada vértice deGe verificar quais deles são os mais relevantes, de acordo com cada medida. A Tabela III.6 apresenta os valores das diferentes medidas de centralidade de todos os vértices do grafoGda Figura III.5, calculados utilizando o software Netdraw [10]. Pode-se observar que a ordem de relevância dos vértices em relação às medidas, não é a mesma para todas elas, conforme destacado na Tabela III.7.
Tabela III.6: Valores das medidas de centralidade dos vértices do grafoGda Figura III.5. Informação Intermediação Proximidade Autovetor
v1 5 42 38 0.288 v2 1 0 50 0.144 v3 1 0 50 0.144 v4 1 0 50 0.144 v5 1 0 50 0.144 v6 2 40 34 0.265 v7 3 43 32 0.379 v8 2 14 36 0.314 v9 3 26 34 0.373 v10 3 31 38 0.411 v11 1 0 46 0.148 v12 3 22 46 0.344 v13 2 0 57 0.228 v14 2 0 57 0.228
Pode-se verificar com os dados da Tabela III.7, a seguir, que o grau de relevância de um vértice vi, varia em função da medida de centralidade escolhida para sua análise. Sendo assim, conclui-se que é fundamental a escolha da medida mais adequada ao analisar cada problema, ou cada particu-laridade dentro do mesmo problema, em função de suas características, de acordo com as definições
