Brito Sylvia Helena Morette Villani

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

NOÇÕES DE TEORIA DA ELASTICIDADE

EDDIE MANCINI

DIGITAÇÃO DO TEXTO:

Rui Roberto Casale

ELABORAÇÃO DOS DESENHOS:

Francisco Carlos Guete de Brito Sylvia Helena Morette Villani

SÃO CARLOS, JUNHO DE 1997

NOÇÕES DE TEORIA ELASTICIDADE

1. INTRODUÇÃO

As teorias elementares de Resistência dos Materiais não resolvem problemas mais complexos da prática da Engenharia. Assim, por exemplo, a teoria técnica da flexão de vigas não vale para vigas de maior altura (vigas parede); as teorias simples de torção valem apenas para os casos de torção sem empanamento da seção transversal. Não existem ferramentas para estudar o estado de tensão na vizinhança das forças externas aplicadas, para estudar concentrações ou incrementos de tensões em ângulos reentrantes, etc.

Para atacar tais problemas é necessário contar com os recursos da Teoria matemática da Elasticidade, da qual faremos a seguir uma pequena introdução.

2.. TENSÕES E DEFORMAÇÕES

2.1 -RELAÇÕES ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES

O estado de deformação em tomo de um ponto O de um sólido deformável é dado pelas deformações elásticas longitudinais Ex, Ey, Ez, segundo três eixos x, y e z; entre si ortogonais, e as distorções yxy, Yrz, Yxz, dos ângulos retos, nos planos (x, y), (y, z) e (x, z), respectivamente.

Sejam u, v, w os deslocamentos do ponto O de coordenadas (x, y, z), variáveis de forma contínua de ponto para ponto, isto é u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) são funções contínuas. Suporemos também u, v e w pequenos.

Dado o elemento da Fig. 1 a de volume dx, dy, dz, então o deslocamento na direção x, do ponto

ª'

a uma distância dx de Q, será:

ôu

U+ -

ax·

dx

y

b

a

dy

X

o

dx a

z

Fig. 1 - Elemento infinitesimal

A deformação na direção x, Ex, será o incremento : . dx do comprimento dx, dividido pelo comprimento original dx, isto é:

De maneira análoga podemos obter

àv

Ey = -

Oy e ^{E = -ôw} z

az

Quanto à variação que sofre o ângulo reto, temos que o ângulo entre O'a"

e O' a' será : e o ângulo entre O'b" e O'b' é dado por : , conforme Fig. 1 b.

A distorção total do ângulo reto no plano (x, y) será portanto

Da mesma forma, nos outros planos, vale

àw Ou y = - + -

xz àx

oz

Em resumo, teremos:

E = -ôv

y ày

ôv Ou y = - + -

xy àx ày

àw ôv y = - + -

yz ày ôz

àw

E z = -

ÔZ (1)

(2a)

(2b)

(2c)

A dilatação cúbica, ou seja, a variação sofrida pela unidade de volume, será dada por

AdV àu ôv àw

e=--=E +E +E = - + - + -

dV ^X y z àxày ôz ⁽³⁾

2.2 - RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

No caso aqui tratado, de um corpo de material isótropo, elástico linear, vale a lei de Hooke que relaciona as 6 componentes de tensão em um ponto com as seis componentes de deformação, da seguinte forma:

'txy

y _xy

=-

_G ^y _yz

= -

^'tyz

_G

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal, J..L é o coeficiente de Poisson e G é o módulo de elasticidade transversal que sabemos valer

G = - - -E 2(1 + J..L)

No caso de crz =O, podemos obter

(5)

(6a)

(6b)

e também

(Se)

No caso de Ez

=

O, encontramos

(7a)

(7b)

(7c)

3. ESTADOS PLANOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

No caso de uma chapa de pequena espessura, carregada por forças no contorno, aplicadas paralelamente ao plano médio, conforme Fig. 2, vemos que as tensões crz, 'txz, 'tyz são nulas nas superfícies laterais desta chapa.

y

--

X

z

Fig. 2 - Estado plano de tensão

No caso da chapa ser fina podemos supor, com boa aproximação, que no interior da mesma as tensões crz, 'txz, 'tyz também se anulam. Este caso corresponde ao chamado estado plano de tensão que, portanto será determinado conhecendo as tensões cr x, cr Y, 'tX)" que também são supostas não variar com a ordenada z.

Observamos que a deformação ez não é nula e vaie -

~

^{( cr x + cr Y ) uma}

vez que crz é nula.

No outro caso extremo, temos um sólido com a dimensão em z predominante em relação às outras, como o caso de um cilindro de grande comprimento. Neste caso supomos que o carregamento transversal não varia com z. Se as extremidades são fixas temos, na seção centrai, (por simetria),

ez

=

^O, que também será nula nas seções extremas, pois w

=

^O.

As deformações y yz e y xz também serão nulas, pois temos

av

àw

y = - + - = 0 yz

az

^àl;

pois admitimos que y e y_ não variam com z, e como vimos w

=

^O.

Se ez =O, concluímos que

Este segundo caso define o estado plano de deformação.

Em ambos os casos, para a solução do problema, basta determinarmos as tensões crx, cry, -rxy, consistindo portanto no que chamamos um "problema plano".

4. TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM UM PONTO

4.1 -ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO

Seja o ponto P, sujeito a um estado plano de tensão, sendo cr x, cr Y, txy

as tensões atuantes no prisma elementar da Fig. 3.

a) ^b)

rJxMcos!j

TxyMcose

X

Msena

Fig. 3- Estado de tensão

Conforme a figura anterior, dado o prisma elementar, sujeito às tensões normais O"x, na face vertical, cry na face horizontal e txy (tensão de cisalhamento ), desejamos calcular as tensões crx' e tx·y·, na face inclinada de ângulo

e.

^As

tensões normais de tração são positivas e as tensões de cisalhamento obedecem à convenção indicada na figura.

Sendo M. a área da face inclinada, as faces vertical e horizontal possuem áreas Mcose e M.senO , respectivamente.

Pelo equilfbrio do prisma elementar, temos as equações:

a) 2:Fx' =O

ou

- cry(Msene)sene- 'txy (Msene)cose =O

b) 2:Fy= O

't x'y'M + cr X ( M cosO) sen e - 't xy ( M cose) cose

- cry(MsenO)cose + 'txy(Msene) sene =O

Das expressões anteriores, tiramos

() x' =()X COS² e+() y Sen² e+ 2'txy Sene COSe

2 2

't x'y' = - (()X - () y ) sen e COSe + 't xy ( COS e - Sen e)

ou então, usando as relações trigonométricas:

2 1+ cos2e c o s e = - - -

2

obtemos:

2 1- cos2e esene=

2

(8a)

(8b)

(9a)

e

(crx-cry) 'tx'y' =-

2 sen28 + 'txy cos28 (9b)

Para cri encontramos

(10)

Somando membro a membro as equações (9a) e (10) obtemos

(11)

Podemos mostrar que existem dois ângulos, defasados de 90°, em que a tensão de cisalhamento é nula, aos quais correspondem as tensões normais cr1 e cr2, que são os valores máximo e mínimo, respectivamente, e denominadas tensões principais. Seus valores são:

é:

(12)

Os planos onde ocorrem são fornecidos anulando 'txv na equação 9b ), isto

2'txy tg28 = ---=--

p cr -cr _{X y} (13)

4.2 - ESTADO DE DEFORMAÇÃO EM PONTO

Dadas as deformações Ex, Ey, yxy correspondentes aos eixos x e y, desejamos calcular a deformação específica longitudinal se ao longo da direção que forma, com o eixo x, um ângulo

e.

Consideremos o triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB, conforme Fig. 4a, e o triângulo A'B'C', mostrado na Fig. 4b, que corresponde ao primeiro deles, na sua posição deformada.

a) ^b)

y y

B' B

A

o

X

O'

_X

Fig. 4 - Estado de deformação

Se ~s é o comprimento do lado AB, o comprimento de A'B' será dado por

~s(1+Ee).

Da mesma forma os lados AC e BC, no triângulo ABC, de comprimentos

~e ~y terão agora os novos comprimentos ~(1+sx) e ~y(1+sy) correspon- dentes aos segmentos A'C' e B'C', no triângulo A'B'C'. O ângulo reto em C passa agora a medir (

~

^{+ y}

^{x:y) .}

Pela lei dos cossenos, com relação ao triângulo A'B'C', temos

(A'B')2

={A'C')2 + (B'C')2

-

2(A'C')(B'C')co~~

^{+y xy)}

ou

Mas da Fig. 4a, temos

&c= & cose e Lly = Lls sen e

e para yxy pequeno, podemos escrever

co~~ +Yxy)

^=-senyxy

^=-rxy

Por simples substituição encontramos

Ee =Ex cos2

e+ Ey sen2

e+ Y

xy

^{sene cose (14)}

Se tivermos, conforme a Fig. 5, os eixos x' e y' nas direções indicadas, a aplicação da equação (14) fornece

(15)

e para a direção y', correspondente a 9+90°, encontramos

(Ex + Ey) (Ex - Ey) y xy

&y· = - cos29--sen29

2 2 2 (16)

y y

\ y'

\

\

-f+ ^'lx'y'

B' ^\ _\

\

e

\

\ _{. /}

\ ^/ x'

\ ^{/ /}

\ ^{/ /}

A' ^{\ /}

\

e

X X

Fig. 5 - Mudança de eixos

Das equações anteriores (15) e (16) por simples adição, obtemos

Poderíamos também provar que vale a expressão:

Y x'y' ( & x - & y ) Y xy

- - = - sen29 +-cos29

2 2 2 (17)

4.3- EQUAÇ0ES DE EQUilÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE

Em um problema plano genérico, as tensões crx, cry, 'txy variam de ponto para ponto, isto é, são funções das coordenadas x e y.

As equações de equilíbrio do sólido elementar de dimensões dx, dy e 1 estabelecem relações entre as variações das tensões entre si.

Consideremos a Fig. 6 onde representamos o elemento dx, dy e 1 sujeito às tensões, a que está submetido, aplicadas pelo restante do sólido.

Fig. 6 - Variação das tensões

Vemos, nesta figura, que quando há, por exemplo, uma variação dx na coordenada x, a variação correspondente em crx é 00

C: .

dx . O mesmo se passa com as demais tensões.

Admitimos também que o elemento possa estar sujeito à forças de massa X (na direção x) e Y (na direção y), sendo as mesmas definidas por unidade de volume. Estas forças podem ser causadas, por exemplo, pela ação da gravidade (peso do corpo); podendo ser forças centrífugas (por exemplo, no caso do corpo estar em rotação) e também forças magnéticas.

As forças totais de massa obtém-se fazendo o produto de X e Y pelo volume do elemento, isto é, Xdx.dy.1 e Ydx.dy.1.

Pelo equilíbrio à rotação do elemento, podemos escrever a equação abaixo, tomando momentos em relação ao ponto central do mesmo.

de onde, desprezando os infinitésimos de terceira ordem, encontramos:

(18)

Tendo em conta o equilíbrio à translação na direção x, a soma de todas as forças nesta direção deve se anular, isto é:

Pelo equilíbrio na direção y resulta uma equação análoga e, em conjunto, podemos escrever as seguintes equações diferenciais de equilíbrio:

OOx

&tyx

(19a) - - + - - + X = O

àx ày e

mxy ooy

(19b) --+--+Y=O

àx ày

Para exemplificar, no caso em que a única força de massa é o peso do corpo, temos X= O e, sendo y o peso específico do mesmo, Y = y.

Observamos agora, no tocante à deformação do corpo, que não podemos atribuir valores Ex, Ey, Exy independentes e arbitrários ao estado de deformação.

uma vez que, por contigüidade entre os elementos, estes devem manter entre si uma compatibilidade entre suas deformações, tendo em vista a continuidade do corpo.

A expressão matemática desta compatibilidade é escrita relacionando as deformações Ex, Ey, yxy em termos de suas variações diferenciais:

(20)

Como ^{Ex, Ey} e y xy dependem apenas dos deslocamentos u e v, podemos formar as seguintes derivadas

Pelo exame das equações anteriores, vemos, por comparação, que:

2 ~2 :::,2

a

Ex u Ey u Yxy - - + - - -

ay2 ax2 - axay

⁽²¹⁾

que é a equação de compatibilidade para os sistemas planos.

Para exprimir a equação de compatibilidade, em termos de tensões, lançamos mão da Lei de Hooke. No caso do estado plano de tensão vale:

'txy

y = -

xy

G

Estas equações substituídas na equação de compatibilidade (21) e utilizando as equações de equilíbrio (19a) e (19b) permitem obter

(22)

onde m

=

^{1/~ é} o inverso do coeficiente de Poisson.

No caso do estado plano de deformação utilizamos as equações (7b) e (7 c) e encontramos

2( )

^m

(ax ^8Y)

V crx +cry =-(m-1) 8x + 8y (23)

No caso de inexistência das forças de massa ou as mesmas serem constantes (como no caso da força gravitacional) resulta

(24)

Além das condições (19a), (19b) e (22) ou (23) as tensões crx, cry e -rxy devem satisfazer as condições de contorno, isto é, os seus valores na superfície do corpo devem coincidir com os valores efetivos das tensões aí aplicadas. Se são conhecidas as tensões Pn e Pt. normal e tangencial à superfície, mostradas na Fig. 7,

Fig. 7 - Condições de contorno

então, no contorno, crx, cry e -rxy devem satisfazer

(25a)

(25b)

No caso particular de faces paralelas aos eixos x e y, sendo Px e

py

as componentes na direção dos mesmos, teremos

(26)

5. FUNÇÃO DE TENSÕES DE

Em um problema plano prático, as tensões devem satisfazer as equações de equilfbrio:

oox mxy

- - + - - + X = O àx

Oy

mxy ooy

--+--+Y=O àx

Oy

e também a equação de compatibilidade

2 :::!2 :::!2

o

^{Sx u Zy u Yxy}

- - + - - ----=-

ay2 ax2 - axay

e as condições de contorno.

Conforme Airy, se considerarmos, no caso das forças volumétricas X e Y constantes, uma função F(x,y) tal que

(27a)

(27b) e

(27c)

as equações de equilíbrio anteriores são automaticamente satisfeitas.

Impondo que F(x,y) satisfaça também a condição de compatibilidade

é necessário que F(x,y) obedeça

ou, simbolicamente,

(28)

Se as forças de massa são nulas, as equações (27) ficam

(29)

A solução de um caso prático plano consiste agora em obter uma função F(x,y) que resolva

e tal que as tensões crx, cry e -cxy, calculadas conforme as expressões (27) ou (29), satisfaçam as condições de contorno.

5.1 -CONDIÇÕES DE CONTORNO IMPOSTAS SOBRE A FUNÇÃO DE AIRY

Consideremos a Fig. 8, onde está mostrado um elemento ABC, na borda da placa.

y

/ /

/ /

A

B~/~~~~~~~

C

/ /

////1~---~-1

// (n,x) dx / (n,y)

Fig. 8 - Elemento de borda

X

As tensões Px e

py

são aplicadas na borda, por unidade de comprimento da mesma.

Sendo t a espessura de placa

(30a)

e

(30b)

Pelo equilíbrio à translação horizontal do elemento ABC da borda

(31 a) ou

Px = crx cos(n,x) + ^'t cos(n,y) (31b)

Pelo equilíbrio à translação vertical do elemento

Pyds = cr ydx + -rdy (32a)

ou

Py = cr y cos(n, y) +-r cos(n,x) (32b)

Tendo em vista as relações (29), as equações (31 b) e (32b) podem ser escritas

a

²

^F a

²

^F

Px = - ₂ cos(n,x)- ₂ cos(n,y)

Oy

õxày (33a)

a

²

F a

²

F

Py = õx₂ cos(n,y)- õxày cos(n,x) (33b)

Nas equações anteriores, fica claro que a função de tensões está sujeita às condições de contorno.

Se a orientação da coordenada .§. no contorno é no sentido anti-horário

dy dx

cos(n,x)=ds e cos(n,y)=-ds

e daí, segue

e

a

^{2F dy}

a

^{2F dx.}

p - - - + - - -

X - ày 2 · ds 8xày ds

_ 8²F dx 8²F dy Py--

ax

^{2 .} ds- 8x8y ds

que podem ser escritas na forma

(34a)

(34b)

(35a)

(35b)

Imaginemos agora uma barra fictícia, com o mesmo contorno da placa, e sujeita ao mesmo carregamento desta, conforme Fig. 9.

A barra é cortada no ponto K onde são introduzidas as forças V e H e o momento M.

Na seção L da barra fictícia

(36a)

(36b)

(36c)

barra fictícia

Fig. 9 - Barra fictícia

Admitindo que na placa, no ponto K', correspondente ao ponto K da barra fictícia, vale

(OF) =-V'

^e

(OF) =H'

Ox K' Oy K'

(37)

então, no ponto L', em vista de (35a) e (35b)

(OF)

àx L'=

-V'-

^{JK' L'}

Pyds

^(38a)

X

e

(OF) L'

ày L'

=

H'+

fK,

^{Pxds (38b)}

Em conclusão, temos que os valores V1 e H1, na seção arbitrária L da barra fictícia, são iguais, em valor absoluto, às derivadas ( : ) e (

:J

^{no ponto}

L' correspondente da chapa, uma vez que se ponha V = V' e H = H'.

As expressões (38a) e (38b) justificam-se da seguinte forma, uma vez que

conclui-se que

l

^{K' L' d -}

^(~

^=-

^JL'

^{K' Y p ds}

e

portanto

OF L' L'

ôx K'

= - fK'

^Pyds

OF L' L'

-

_{Oy K'-}

-f

_K' ^p _X ^ds

Por outro lado

õF õF

dF =

ay .

dy +

ax .

dx (39)

Daí

L'

L'(õf

^{OF )}

F _K'

=J -

_K'

_ay·

^dy+-dx _8x

Integrando por partes:

Concluindo, resulta

Se admitirmos F

=

M' no ponto K', então no ponto L'

(40) Da expressão anterior concluímos que o valor da função de tensões no ponto arbitrário L', da borda da chapa, é igual ao momento fletor no ponto L, da barra fictícia, cujo eixo corresponde ao contorno da chapa, estando sujeita ao mesmo carregamento desta, desde que se adote H

=

^{H', V}

=

^{V' e M}

=

^M'.

Como

Quanto à derivada (

~

, podemos escrever

aF aF dx aF dy ôn = àx"õn + ay·dn

dx dy

dn = cos(n,x) e dn = cos(n,y)

temos, no ponto L':

8F ( L'

l (

L'

l

ôn =- V+

JK'

Pydsj cos(n,x) + H'+

JK'

Pxdsj cos(n,y)

(41)

(42)

onde se vê que : é a força normal no ponto L (tração é positivo) da barra fictícia, cortada no ponto K, e aí carregada com as forças V

=

^{V', H}

=

^{H' e}

solicitada pelas cargas Px e

py,

aplicadas na borda da chapa.

Como as forças fictícias H, V' e M' não intervêm senão nos termos constantes ou lineares da função F e as tensões se exprimem pelas derivadas de segunda ordem desta função, resulta que as tensões são independentes de V', H'. e M'. Podemos pois escolhê-las arbitrariamente, por exemplo, nulas.

Quanto ao sinal de F e de : o momento positivo é o que produz tração na fibra interna, enquanto a força normal é positiva quando for de tração.

Mostramos abaixo os diagramas de F e : na borda da chapa da Fig. 1 O, sujeita ao carregamento indicado. A barra fictícia foi cortada no ponto O e tomamos H = O, V = O e M = O.

Fig. 1 O - Função F e : no contorno

o

00 ~

t/2

p

A formulação anterior é muito útil na aplicação do método das Diferenças Finitas na solução dos problemas de elasticidade plana.

6. EXEMPLOS DE APUCAÇÃO

Mostraremos a seguir algumas aplicações práticas da teoria exposta.

Exemplo 1 - Verificação de resultados da Resistência dos Materiais à luz da Teoria da Elasticidade (exemplo retirado de RACHID et alii (3)).

Na viga da Fig. 11 vamos verificar se as fórmulas para tensões e deslocamentos da Resistência Elementar satisfazem as equações da Elastici- dade.

X

y~----1-

^{_ _}

____;e;.___ _ _ __,~! ^y

~' '~

Fig. 11 - Viga simplesmente apoiada

Com as condições de equilíbrio determinam-se as reações de apoio que valem

,.

^X

^., Me

;)

~r ^{lML e}

.11?

MLt _t

^X

Fig. 12

Na Fig. (12), tendo em vista o equilíbrio do trecho de viga à esquerda do corte, segue imediatamente

Me Me

V = - e M = - x

f. f. .

As fórmulas da Resistência dos Materiais para as tensões em vigas sujeitas à flexão simples são:

M crx

=1·Y

z

onde, para seções retangulares, o momento estático Ms vale

M,=*~

²

-y2]

e

bh³ I = -

z 12

Para os valores de V (força cortante) e M (momento fletor) do problema as tensões ficam

cry =O

6Me h ₂

[( ) 2 ]

1: = bh 3

.e

2 - y

Pretendemos verificar se o estado de tensões, definido pelas fórmulas acima, satisfaz as equações de equilíbrio e de compatibilidade da Teoria da Elasticidade.

As equações de equilíbrio, em problemas planos, já foram deduzidas e são

acrx

^àtx:y

--+--+X=O ôx ày

onde X e Y são as forças por unidade de volume, segundo os eixos x e y, sendo que, no caso, estas forças são nulas.

-::

Substituindo-se os valores das tensões, obtidas nas equações acima, vemos que as equações de equilíbrio são satisfeitas.

Calculando agora as deformações ^{Ex, Ey} e y xy, a partir dos valores das tensões crx, cry e 'txy , conforme as expressões:

obtemos

=

12(1 + JJ.) M

[(h ]

^{2 _ 2 ]}

Y xy Ebh ³ f

e V

^Y

Estes valores substituídos na equação de compatibilidade

2 ~2 ~2

O Ex u Ey u Y xy - - + - - = - - = - ay2 8x2 àxôy

a satisfazem plenamente, uma vez que todas as segundas derivadas se anulam.

Em conclusão, as hipóteses simplificadoras da Resistência dos Materiais (distribuição das tensões normais cr linear na seção), no caso em questão, são

"exatas" sob o ponto de vista da Teoria da Elasticidade.

Passamos agora ao cálculo dos deslocamentos e para tanto vamos utilizar as expressões

onde u e v são os deslocamentos na direção dos eixos x e y, respectivamente.

Tendo em conta os valores das deformações já calculados, podemos reescrever as equações anteriores

àu 12Mg àx = Ebh³f ·xy

ôv 12!J.Me ôy = - Ebh ³ f . xy

àu + ôv

= 12(l+~)Me [(h)

^{2 _ 2 ]}

ôy àx Ebh"'f 2 y

Integrando as duas primeiras expressões, encontramos

6Me ₂

u= ₃ .x y+f(y)+a₁ Ebhf

6!J.M.e

2

v=- ₃ . xy + g(x) + a₂ Ebh f

que, substituídas na equação da distorção yxy, levam a, depois de rearranjar os termos:

Na expressão anterior, temos dois termos que dependem só de x e três termos função apenas de y.

Se escrevermos

6Mg ₂ dg(x) G(x)= ₃ x +-dx

Ebh I!

e

então, conforme vimos

G(x) + F(y) =O

Da expressão anterior, concluímos imediatamente que

G(x) = a₃

F(y)

= -a

₃

onde

ª3

^é um valor constante

Integrando

as

duas expressões anteriores, segue

e

Logo, as expressões finais para u(x,y) e v(x,y) são

e

6~e 2 2~e 3

v(x,y)=- ₃ .xy - ₃ .x +a₃x+a₇ Ebh f Ebh f

Impomos agora as condições de contorno que, neste caso, são:

u(O,O) =O ; v(O,O) = O ; v(

f,~)

^{= O}

A imposição destas condições nas expressões de u(x,y) e v(x,y) permite concluir que

e

a ₃

= 2~e ^{[3!-1- +({1}

^2]

Ebh.€ 4

h)

resultando então as expressões finais para os deslocamentos

e

Utilizando a teoria elementar para o cálculo de flechas. integrando a equação

" M

v = - - EI

(onde são desprezadas as deformações por força cortante) encontramos a seguinte expressão para os deslocamentos verticais:

2Me 2 3 v= ₃ (R x-x )

Ebhf

Pela expressão "exata" obtida, os deslocamentos verticais do eixo da peça (y

=

O) são dados, pela teoria exposta, por

2Me [

2 3]

^6~e

v= Ebh3f f x-x + 4Ebhf .x

onde vemos que a segunda parcela do segundo membro é devida à deformação da peça por tensões 'txy, produzidas pela força cortante.

Tomando, por exemplo, o ponto médio do comprimento da viga (não corresponde à flecha máxima), temos que a relação entre os deslocamentos produzidos por efeito da força cortante, e somente pela flexão suposta pura, é

A importância da deformação por força cortante torna-se portanto maior conforme aumenta a relação altura da viga e vão da mesma.

Para h

f=

^0,10 e !l = 0,16 temos p

=

0,0016 e portanto o efeito é muito pequeno. Para h

f=

^{1 e 1..1}

=

^{0,16 p}

=

0,16 quando então não podemos despre- zá-lo.

Como observação final, notamos, na expressão de u(x,y) (deslocamentos na direção horizontal) a presença de termos em y³, mostrando que as seções planas não permanecem planas que é a hipótese básica da flexão de vigas da teoria elementar da Resistência dos Materiais. No caso do carregamento estudado, entretanto, tal fato não invalida a linearidade da deformação sx e da tensão crx = &x (uma vez que cry = 0). Para entendermos este fato tomamos duas seções vizinhas ao longo do comprimento da viga e observamos que

Fig. 13

a deformação na fibra superior seria dada, no caso das seções planas permane- cerem planas, por

ds- aa'

êxl = ds

Por efeito da força cortante, as seções transversais deformam-se, entretanto, segundo as curvas indicadas na Fig. 13, mas de tal forma que,

conforme concluímos, observando a expressão de u(x,y), que ab = a'b' (independente de x) e portanto a deformação real, dada por:

ds- bb'

ex2

=

ds

coincide com Ex1, fazendo com que as linearidade de Ex e de crx não seja prejudicada.

Este fato não ocorre em todos casos, mas em vigas mais altas (vigas parede), conforme veremos, o diagrama dos crx não é mais linear.

Exemplo 2 - Solução de problemas bidimensionais através de polinômios Diversos problemas práticos de chapas retangulares estreitas podem ter suas soluções obtidas através de polinômios.

Vimos, que na ausência de forças volumétricas, ou, no caso das mesmas serem constantes, a equação diferencial das chapas se escreve

onde F é a função de Airy, a partir da qual podem ser obtidas as tensões

cr x, cr Y e 'txy, obtidas das expressões:

válidas no caso em que as forças volumétricas são nulas.

O polinômio do segundo grau

a2 2 c2 2

F = - x +b xy+-y

2 2 ² 2

satisfaz a equação diferencial em F.

Calculando as derivadas da função F, as tensões respectivas valem:

que são valores constantes, em todo o domínio da chapa.

Na Fig. 14 está representado o estado de tensões correspondente a este polinômio.

l 1 ^f 1 ^{f ; {} bz\ 1

---

- t t -

- ~C:2

- t t~

- t t -

- t t -

- -

~- t -~-~~~l-t-1

Fig. 14

Se tomarmos um polinômio do terceiro grau

a3 3 b3 2 c3 ? d3 3

F ₃ = - x + - x y+-xy- + - y

6 2 2 6

o mesmo satisfaz a equação de Airy e as tensões valerão:

e

Se todos. os coeficientes forem nulos, com exceção de d3, obteremos um estado de flexão pura, conforme Fig. 15.

c

c

y

Fig. 15

Tornando agora um polinômio do 4° grau

para que a equação diferencial de Airy seja satisfeita é necessário que

Considerando apenas d4 diferente de zero e os demais coeficientes nulos.

obtemos as tensões:

Admitindo um valor positivo para d4, as tensões respectivas, sobre o contamo da chapa, estão representadas na Fig. 16.

I

^c

j t---1---++---~x

j~---~-c----~~

j-

y

- - - - -

Fig. 16

Nas faces horizontais (y =±c) atuam tensão cisalhantes de valor uniforme

d4 2

-r = - - c

xy 2

Nos planos verticais estas tensões assumem uma distribuição parabólica, conforme a Fig. 17. As tensões normais variam, um cada seção vertical, linearmente com y, sendo que variam também, de forma linear, na ordenada x, sendo nulas na face vertical esquerda.

parábola_/

y

Fig. 17 -Tensões cisalhantes

Exemplo 3 - Viga em balanço com carga concentrada na extremidade.

Solução por polinômios

Seja a viga em balanço da Fig. 18, com seção transversal retangular delgada de largura b, submetida à ação de uma força P na extremidade livre, estando, portanto, submetida a uma solicitação de flexão simples.

p

c

X

c

t

y

Fig. 18

Vemos que as faces horizontais estão livres de qualquer tensão e a força P, da extremidade livre, deverá ser aplicada através de tensões cisalhantes, nesta extremidade. A outra extremidade está perfeitamente engastada.

Para satisfazer as condições anteriores, tomamos, para a função de tensões, a superposição do estado de cisalhamento puro, dado pelo polinômio de d4 ³ 2° grau com o termo b2xy, mais o polinômio do 4° grau com o termo - xy .

6 Assim procedendo ficamos com

e

daí

cr _y =0

Impondo que sobre as faces y

=

^± c não haja tensões, segue:

Para determinar b2 , podemos usar a condição que a resultante das tensões cisalhantes, na extremidade livre, é a força concentrada P, isto é:

f

^+c

^{J+c (}

b., ")

- 'txybdy = b2 - ; y- bdy = p

-c -c c-

e portanto

3 p b - - -

2-4 bc

Substituindo os valores encontrados para as constantes b2 e d4 nas expressões das tensões encontramos:

3 p

O' = - - - x y

x 2 bc3 cr y-

-o

X

y

Sendo o momento de inércia da seção transversal I= 2

3

^{bc3 podemos}

escrever

Pxy

O' = - - -

X I ^O' _y =0

y

X

Estas expressões coincidem com as fórmulas obtidas através das hipóteses elementares da Resistência dos Materiais, entretanto, a solução obtida é válida somente no caso da força concentrada P ser aplicada através das tensões cisalhantes com a distribuição parabólica especificada. Caso isto não ocorra os valores das tensões também podem ser considerados uma boa aproximação à uma distância desta extremidade igual a dimensão (4c), conforme o princípio de Sarnt-Venant

Passamos agora ao cálculo dos deslocamentos. Aplicando expressões já conhecidas escrevemos

ÔU crx

Pxy

E - - - - -

x - àx- E - EI

õu àv 'txy - p ^{2 2} Y = - + - = - = - ( c -y )

xy ày àx G 2IG

Integrando as duas primeiras entre as equações anteriores, obtemos:

Pxy2

v= ).!--+g(x) 2EI

onde as funções f(y) e g(x) são funções só de y e só de x, respectivamente.

Substituindo estes valores de y e Y... na terceira das equações acima, vem

Na última equação, temos parcelas que são funções somente de y, parcelas que são funções somente de x, e um termo que independe destas variáveis.

Designando os conjuntos de parcelas e o termo constante por F(y), G(x) e

K

respectivamente, podemos escrever:

df(y) Py2 Py2 F(y) =

dJ

^{+ 1-1} 2EI - 2IG

Px² dg(x) G ( x ) = - - + - - 2EI dx

Pc² K = - - 2IG

e também

F(y) + G(x)

=

^K

Daí segue que a função G(x) deve ser uma constante Q e F(y) outra constante

ª·

Então Pc² e + d = - - 2IG

e, também

e

dg(x) Px² - - = - + d

dx 2EI

de onde obtemos f(y) e g(x):

j.!Py3 Py3

f(y)=---+-+ey+g 6EI 6IG

e

Px3

g(x) =-+dx+ h 6EI

que, substituídas nas expressões de u e v, fornecem:

Px2y Py3 Py3

u= - - - -f.l--+--+ey +g 2EI 6EI 6EI

Pxy2 Px3

v= p.--+--+dx+h 2EI 6EI

onde as constantes d, e, g, h devem ser determinadas a partir das condições de contamo e do valor da soma ( e+d) dada em uma das equações acima.

Admitindo que o ponto A, centroide da seção transversal do engastamento, tem deslocamento nulo, então u =O e v= O para x =f. e y =O, isto é:

u(f., o)= O

v(f., o)= O

resultando então

g=O

pf.3 h=---df.

6EI

A flecha elástica, no eixo da viga, obtida fazendo y

=

O na expressão de v(x,y), é dada por

Para determinar a constante .Q temos que impor a condição de engasta- menta da viga no ponto A, condição esta que pode ser imposta de duas maneiras:

1 ^o caso) um elemento horizontal do eixo da viga é fixado no ponto A, conforme Fig. 19:

X

/~

I

4cG

Fig. 19

Logo

(~(l,O)=O

sendo que, impondo esta condição, sobre a equação da linha elástica, no eixo da peça, resulta:

pg2 d = - - 2EI

e da expressão da soma ( d+e) vem

pg2 Pc2 e = - - - 2EI 2IG

Substituindo todas as constantes obtemos

lJ.Pxy2 Px3 pe2x pg3 v=- + - - - - + - 2EI 6EI 2EI 3EI

Os deslocamentos verticais do eixo da viga são:

3

f omecen o, para o es ocamente na seçao extrema, d d I - Pt' }El , que e o va or o , I bt"d ¹ o com a teoria elementar da Resistência dos Materiais.

Na Fig. 19 anterior está mostrada a posição deslocada da seção do engastamento onde notamos que no ponto A, centróide da mesma, a tensão de

. Ih 3P . - d I 3P p

c1sau amento txy = - - produz a d1storçao o elemento de va or -G. ara

4c 4c

obter este valor calculamos

(:t, ^~--~-EI-

²

--~-~ --~;-~

2° caso) fixamos agora, invés do elemento horizontal, o elemento vertical da secção transversal no ponto A, através da condição:

(:)(t,O) ^~O

e encontramos

p,e2 e = - 2EI

p,e2 Pc2 d - - - - - 2EI 2IG

Fig. 20

Com o valor destas constantes obtemos

Na Fig. 20 estão mostrados os deslocamentos dos pontos situados na seção de engastamento, vendo-se, no ponto A, a distorção do elemento vertical.

Comparando a expressão anterior, com aquela obtida com a condição de engastamento do 1 ^o (primeiro) caso, notamos na primeira delas, o termo adicional

~~G

2 ^(f-x), o qual representa o efeito da força cortante sobre a linha elástica da viga.

Exemplo 4: Viga simplesmente apoiada: solução por Séries de Fourier

Mostramos a seguir uma solução da equação de Airy, utilizando desenvol- vimento de função em séries de Fourier, para o caso da chapa indicada na Fig. 21, de vão

ª

^{e altura Q.,} sujeita, na sua borda superior, a uma carga

linearmente distribuída de intensidade constante p. As reações laterais são resultantes de tensões cisalhantes aplicadas nas bordas verticais.

forma:

b

y

t t t t

l

/1

a q

t t

t t

l

/1

Fig. 21 -Viga simplesmente apoiada

X

Sendo F(x,y) a função de Airy, suporemos que esta possa ser escrita na

F(x,y)

=

X(x). Y(y)

isto é, como produto de uma função só de x, X(x); por uma função só de y, Y(y).

Substituindo na equação

obtemos

X""Y + 2X"Y- = XY- =O

onde a linha (') indica derivação em relação a X e o ponto ( •) denota derivação em relação a y.

Para separar as variáveis nesta equação impomos

X"= -f.} X

e portanto, por derivação

Com isto, podemos escrever

ou

Ficamos portanto com duas equações diferenciais ordinárias homogêneas, em variáveis separadas:

cujas soluções são

Y =A cosh Ày + B senh Ày + Cy cosh Ày + Dy senh Ày

e portanto

F(x,y) = (K₁ cosÀx + K₂ senÀx).(AcoshÀy + BsenhÀy + CycoshÀy

+

Dy senh Ày)

As tensões correspondentes a esta função são:

+ BÀ ² senh Ày + CJ...,(2 senh Ày + Ày cosh Ày)

+ DÀ(2coshÀy + Ày senhÀy)]

+Bsenh Ày+Cy cosh Ày + Dy senhÀy)]

+ C( cosh Ày + Ày senh Ày) + D(senh Ày + Ày cosh Ày )]

Impondo as condições de contomo

a) para x

=

^{O -)o crx}

=

^O

Daí K1 =O

b) para x

=

^{a -)o crx}

=

^O

logo senÀa

=

^O e portanto À

=

ⁿⁿ

a

Observamos que para cada valor À n

= - ,

nn isto é, para cada

.o.,

^temos

a uma solução:

Formamos então a série

F(x,y)

=L

Xn (x) Yn (y)

n=l

ou

00

F(x,y)

=L

senÀnx(An coshÀnY + Bn senhÀnY

n=l

que é a função de tensões para o problema.

As tensões cr x , cr Y e t xy se escrevem

00

cry

=L-

^À~ senÀnx[An coshÀnY + Bn senhÀnY n=l

00

txy

=-L

Àn COSÀnx[An Àn senh ÀnY + BnÀn COSÀnY n=l

Impondo agora as demais condições de contorno:

a) para y

=

^{O ~ cry}

=

^O

ou

b) para y

=

^{O ~ 'txy}

=

^O

ou

c) para y = b ~ 'txy = O

d) para y = b ~ cry = -q

ou

então

00

L

^-À.~ senJ...nx[Bn senhJ...nb+ CnbcoshJ...nb + DnbsenhJ...nbl

=

^-q

n=1

Se escrevermos em série de Fourier

00

- q

=L

Qn senÀ.nX n=l

e portanto

ou ainda

As quatro últimas condições de contorno permitem, para cada n, montar o sistema de equações lineares em

A.,

Bn, Cn, Dn, a seguir:

An= o

Obtidos, para cada n, os valores de

A.,

Bn, Cn, Dn, podemos, através do cálculo das séries respectivas, obter os valores de crx, cry e 'txy.

Para o caso de uma chapa quadrada com carga distribuída uniforme na borda superior, mostramos abaixo, em gráfico, as funções obtidas para as tensões <>x, cry e ^'txy.

Fig. 22 - Tensões na viga simplesmente apoiada

Nota-se, na Fig. 22-a, que as tensões crx não apresentam mais comporta- mento linear com a altura, conforme a hipótese da Resistência dos Materiais.

7. EQUAÇÕES GERAIS EM COORDENADAS POLARES

Para muitos problemas é vantajosa a aplicação de coordenadas polares.

Para isto, um ponto genérico P, de coordenadas x e y, passa agora a ter as coordenadas r e

e.

Para a dedução das equações de equilfbrio nas novas coordenadas, consideremos a Fig. 23 onde está mostrado o elemento 1-2-3-4.

X

®

y

Fig. 23 - Elemento em coordenadas polares

Considerando as tensões crr, cre e 'tre af indicadas e, pelo equilíbrio de forças na direção radial OP, podemos escrever, sendo R a força de massa nesta direção:

1 I d6

crr(r+dr)d6-crr.rd6-(cr₈ +cr₈ )dr-+('te·r -,;₈r)dr+Rdrd6=0 (43)

. 2

Como

Ocrr

cr' r = cr r +

fu.

^{dr (44-a)}

(44-b)

(44-c)

a equação ( 43) se escreve

(45-a)

Similarmente, pelo equilíbrio na direção normal ao raio, podemos obter, sendo S a força de massa nesta direção:

1 fue àtre 21:re

---+--+--+S=O

r

ae

Or r (45-b)

Abrimos agora um parêntese, para calcular as derivadas da função de tensões, em relação às novas variáveis r e e.

As relações entre coordenadas cartesianas e polares são

x =r cose

e= arctg-y x

y =r sene

de onde obtemos:

àr X

-=-=cose

ôx r

y r 2 -

sene

r

ôe ^X

cose

- - - -

ày- r2 - r

àr y

-=-=sene

ày r

Pd . . d . d

àF àF f _dàF àF

o emos agora expnmJr as enva as

ôx

e

ày '

em unçao e a ^e

^{õe :}

àF

=

àF . àr

+

àF . õe

= cose

àF _

sen e

8F

= [cose

à _

sen e 8 J

^F

àx àràx õeàx àr r õe àr r õe

Derivando novamente

à²F

= (cose~ _ sen e }.__)(cose

aF _

sen e

àF)

ax

^{2 àr r õe àr r õe}

2

a

²

F

^{2 (}

1

^àF

1 a

²

FJ

^{à (}

1 ^DF)

=cos e-+sen e - - + - - - -2senecose- - -

àr2 r àr r² õe ² àr r õe

De maneira análoga, obtemos

à²F 2 8²

F

^{2 (IOF 1 82}

FJ à(làF)

-=sen e-+cos e - - + - - - +2senecose- - -

ày2 àr2 r àr r² õe² àr r õe

a

²F

[I

^OF

1 ^a

^2F

^a

²

^FJ

^{2 2}

^{a (I}

^OF)

---=senecose - - + - - - -(cos e-sen e ) - - -

ôxày r àr r² õe² àr2 àr r õe

Escrevendo as conhecidas relações, válidas no sistema de eixos da Fig. 23,

õ2F ? 2

- ? = cr ^v = cr ^r sen- e+ cre cos e+ 2'tre sene cose

ax- -

vemos, cotejando as expressões anteriores, com os valores obtidos para õ2F õ2F -õ²F

- 2- , - 2 , ~, , que podemos tomar para as tensões cr r, cr ₆ e 'tre os valores:

ÔX Oy ÔXvy

1 õF 1 8²F cr = - - + - - -

r r õr r² 86² (46a)

(46b)

(46c)

Observamos também que, com estes valores para as tensões, as equa- ções de equilfbrio (45a) e (45b) são automaticamente satisfeitas, no caso de ausência de forças de massa.

O laplaciano

pode ser escrito, em coordenada polares

e a equação de Airy

(47)

A equação diferencial anterior deverá ser resolvida sob as diferentes condições de contorno.

Quando, em um determinado problema, existe simetria central em relação ao centro O, as tensões crr, cre, -c:re não dependem do ângulo e, o mesmo valendo para a função F(r,e) que passa a ser função só de r. Agora a primeira das equações de equilíbrio se escreve

e, se a força de massa R é nula, as tensões são obtidas de F(r) através de

1 dF d²F cr = - - cr = - -

r r dr ' ⁸ dr² (-c:re =O)

(48)

(49)

A equação de compatibilidade passa a ser escrita

(50)

A integral da equação diferencial (50) é da forma

(51)

onde a constante C4 pode ser desprezada, uma vez que não influi no estado de tensões.

Tendo em conta a equação (46) temos:

(52a)

e

(52b)

Esta solução corresponde ao caso em que as tensões não dependem de

e,

o mesmo não ocorrendo com os deslocamentos. Se os deslocamentos também são independentes de

e,

pode ser mostrado que C3 =O. Logo a solução para F(r) ficará

(53) e

(54)

8. UTILIZAÇÃO DAS COORDENADAS POLARES: EXEMPLOS DE APUCA- ÇÃO.

Passaremos agora a expor algumas aplicações da teoria anterior.

Exemplo 1 - Tubos de parede grossa

Seja um disco, com orifício, de profundidade qualquer. Sejam os contemos interior e exterior, de raios

ª

^{e Q,} sujeitos às pressões normais de compressão Pi e Pe. respectivamente.

Fig. 24 - Tubo espesso

Tomamos, para as tensões:

uma vez que os deslocamentos são independentes de 8.

As condições de contorno são

que substituídas nas equações anteriores, levam a:

de onde, resolvendo em C1 e C2, obtemos:

e, portanto

e

O deslocamento radial y é determinado a partir de

&e =-u e &e = cr e - J..!O' r

r

Quando Pe =O, o cilindro está submetido somente à pressão interna pj, e as tensões passam a valer:

onde vemos que crr é uma tensão de compressão e cre é uma tensão de tração.

A tensão cre é máxima na superfície interna do tubo e vale

cujo valor é sempre numericamente maior que a pressão interna, aproximando-se deste valor com o aumento de .Q.

Exemplo 2 - Discos em rotação

Se a espessura do disco for pequena em relação ao seu raio, podemos admitir as tensões radial e tangencial constantes ao longo desta espessura.

No problema em questão, temos as forças de inércia dadas por:

onde p é a massa por unidade de volume do material do disco e ro a velocidade angular do mesmo.

Por simetria, crr e cre não dependem de

e

^{e 'tre} é nula.

Das equações de equilíbrio do sólido elementar, a segunda das equações é automaticamente satisfeita e a primeira equação fica

No presente caso, em virtude da simetria, sendo y o deslocamento radial, as deformações vaiem:

s = -du

r dr

e s₈ =-u r

Podemos escrever também

e portanto, substituindo os valores de sr e Se vem:

E (du u)

O" = -+~-

r 1-~² dr r

e

Levando estas expressões na equação de equilíbrio, chegamos à equação diferencial

2 2 2

rdu rdu 1-~ 23

+ - - u = - pro r

dr² dr E

cuja solução é

onde C e C1 são constantes arbitrárias.

Em função de u, dado pela expressão anterior, podemos obter as tensões:

1 3+J..L 22

cr =C+C - - - - p r o r

r 1 r2 8

No caso de um disco maciço devemos ter C1 = O para termos u = O no centro do mesmo. A constante C será determinada pela condição na borda externa (r= b) do disco. Se não houver aí forças aplicadas, então

e portanto

3+J..L 2 ?

C=--pro b- 8

As componentes de tensão serão então dadas por

que são máximas no centro do disco, onde valem

3+ ~ ^{2 2}

( j r =O" e= --pro b 8

Se o disco possui um orifício circular, de raio a, no seu centro, as constantes de integração são obtidas pelas condições

de onde resulta

e

As tensões agora passarão a valer

3+~ 2( 2 2 a2b2 1+3~ 2J

cr₈ =--pro b +a + -

2- - r

8 r 3+~

A tensão radial tem seu máximo em r=

Jiili

^{onde vale}

A máxima tensão tangencial dá-se na borda interna, valendo:

3 + !l ^{2 ( ?} 1-!l ') (cr ) =--pro b- + - - a -

e ^max 8 3+!1

que é maior que (crr)max·

Quando o raio internoª' do orifício no disco, tende para zero, a máxima tensão radial tende para o dobro do valor correspondente ao disco maciço, ou seja, fazendo um pequeno orifício no centro de um disco maciço, a máxima tensão é dobrada. Este é um fenômeno de concentracão de tensões em orifícios

Exemplo 3 - Chapas com orifícios: concentração de tensões

O problema a ser tratado está mostrado na Fig. 25, onde vemos uma chapa, submetida a uma tração uniforme na direção horizontal, na qual é feito um pequeno orifício no seu centro.

A presença deste orifício produzirá uma alteração no estado de tensão mas podemos admitir, conforme o princípio de Saint-Venant, que a uma distância grande, comparada com o raio ª do orifício, as tensões não serão alteradas.

s

y

-

^...

/

...

'

^'\.

/ / /

\.

\

\ I

Fig. 25 - Chapa tracionada com orifício

s

X

Seja uma porção da chapa de raio b, concêntrica com o orifício, e de dimensões bem maiores que este. À distância b do orifício, como já dissemos, as tensões são praticamente as mesmas da chapa não perfurada e são portanto

Consideremos o anel de raio interno

ª

e raio externo .Q. A distribuição de tensões no interior deste anel é proveniente da superposição de duas causas:

a) o anel carregado na sua superfície externa por tensões radiais cr r

= 2

1 ^{S. As} tensões respectivas já foram deduzidas no caso do tubo de parede espessa, submetido a forças na sua periferia.

b) o anel, sujeito na superfície externa, a tensões radiais 1

2 ^s

^cos29 e tensões tangenciais -

.!_

S sen 29. Para este último carregamento, supomos que a função

2

de tensões tenha a forma

F(r,9) =f( r) cos29

Substituindo esta função na equação de compatibilidade, encontramos

de onde obtemos a seguinte equação diferencial em f(r)

que tem, por solução geral:

levando, portanto, à função de tensões:

As tensões correspondentes serão

1 àF 1 8²F 6C 4D

cr =--+---=-(2A+-+-)cos28

r r

ar

r2

ae2

r4 r2

8²F ( 6CJ

cre

=-_,

= 2A+12Br2

+ 4 cos28

ar-

r

a ( 1 8F) ( -,

^{6C 2D)}

'tre = - - - - = 2A + 6Br-- - - -_,- sen28

ar

^r

ae

^r4 r-

onde as constantes de integração são determinadas impondo as condições de contorno, correspondentes ao caso b ):

e

Estas condições levam a

6C 4D 1 2A+-+-=--S

b4 b2 2

6C 40

2 A + - + - = 0 a4 a2

2 6C 2D 1

2A+6Bb - - - - = - - S b4 b2 2

2 6C 2D

2A+6Ba - - - - = 0 a4 a2

Admitindo :

= o

ou seja, uma chapa de dimensões infinitas, obtemos:

A = -

-S

4 B=O

-a 4 S

C=--

4

que, levadas nas expressões das tensões acima, e superpondo com o caso a) de tração uniforme na borda externa, permitem escrever

s(

^a2

^J s(

^{3a4 4a2}

^J

cr - - 1 - - +- 1 + - - - - cos28

r - 2 r² 2 r⁴ r²

S ( a

2

J

^{S ( 3a 4}

J

cr₈ =- 1+- - - 1 + - cos28 2 r² 2 r⁴

e

- S ( 3a⁴ 2a²

J

1: re = - 1 - - + - - sen 2e 2 r⁴ r²

Se r é grande vemos que as tensões correspondem ao estado de tração uniforme.

Na borda do orifício, r = a, encontramos

crr e 1:re =O e cre = S- 2Scos2e

d , , ·

e

ⁿ

e

^{3n · , ·d d}

on e vemos que cre e max1ma para

= -

^{e para}

= - ,

1sto e, nas extrem1 a es

2 2

m e n da seção diametral, perpendicular à direção da tração, onde vale (cre )max = 3S.

Nos pontos p e q,

e

^vale n e zero e cr₈ = -S, isto é, há uma tensão de compressão tangencial nestes pontos.

Para a seção transversal da chapa, pelo centro do orifício, perpendicular à direção da tensão uniforme, isto é, em

e

^=-, 7t ^temos:

2

s(

^{a2 3a4}

^J

1:re =0 e cr₈ =- 2+-+-- 2 r2 r4

onde vemos, que aumentando r, as tensões tangenciais vão diminuindo, até atingir o va!or S, conforme o diagrama hachurado na Fig. 25. O orifício tem portanto um efeito localizado. No caso de uma chapa de largura finita, com b, no mínimo, da ordem de quatro vezes o diâmetro do orifício, a solução apresentada para chapa infinita, não apresenta erro superior a 6% no cálculo de ( cr ₈ )max.

A concentracão de tensões na borda de um orifício faz com que seja necessário reduzir estas tensões através de um rebordo ou anel de reforço, como no caso de aberturas em asas e fuselagens de aeronaves, tratando-se, portanto, de um problema de grande importância prática.