A função raiz quadrada

Pré-Cálculo

Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Parte 7

Pré-Cálculo 1

A função raiz quadrada

Pré-Cálculo 2

A função raiz quadrada

f: [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y =f(x) =x²

I Já demonstramos quef:[0,+∞)→[0,+∞)éinjetiva.

I Já mencionamos que f: [0,+∞) → [0,+∞) ésobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise).

I Logof: [0,+∞)→[0,+∞)ébijetivae, portanto,inversível.

I A função inversaf⁻¹def é denominadafunção raiz quadrada. Usaremos

a notação √

x para representar

f⁻¹(x).

I Note então que, sea≥0, então√

aé oúniconúmero real≥0que,elevado

Explicando. . .

Sea≥0, então√

aé oúniconúmero real≥0que,elevado ao quadrado, dá o número reala.

f: [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y =f(x) =x²

f⁻¹: [0,+∞) → [0,+∞) x 7→ y =f⁻¹(x) =√

x

I a≥0, pois como vamos calcular√

a=f⁻¹(a),adeve estar no domínio def⁻¹, que é igual ao contradomínio def, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo[0,+∞).

I √

aé único, pois se não fosse único,f⁻¹não seria uma função.

I √

a≥0, pois √

a = f⁻¹(a) pertence ao contradomínio de f⁻¹, que é igual ao domínio def, o qual, por sua vez, é igual ao intervalo[0,+∞).

I √

aelevado ao quadrado é igual ao número reala, pois (√

a)²= (f⁻¹(a))²=f(f⁻¹(a)) = (f◦f⁻¹)(a) =a.

A função raiz quadrada

(Ir para o GeoGebra)

Pré-Cálculo 5

Atividade

Paraaeb reais, sea=b, podemos dizer que√ a=√

b?

Observe que√ ae√

bnão estarão definidas sea=b<0.

Por outro lado, quando dizemos que√

a = √

b, estamos dizendo que estas expressões estão definidas.

Assim como é falso dizer que a,b∈Rea=b⇒√

ae√

bestão definidas e √ a=√

b,

não podemos dizer que

Paraaebreais, se a=b, então√ a=√

b.

Pré-Cálculo 6

Atividade

Paraa,b∈[0,+∞)], sea=b, podemos dizer que√ a=√

b?

Lembre-se de que definimos a função raiz quadrada com domínio [0,+∞), logo, se a = b, com a,b ∈ [0,+∞), pela definição de fun- ção, devemos ter√

a=√ b.

Atividade

Se√ a=√

b, entãoa=b?

Observação: Note que, quando escrevemos √

a = √

b estamos supondo que ambas as raízes estão definidas , isto é,a,b∈[0,+∞).

A função raiz quadrada f(x) = √

x é injetiva, logo, se f(a) = √ a =

√b =f(b), temosa=b.

Moral da história...

É verdadeiro que que

√a=√

b ⇒a=b Não é verdadeiro que

a=b ⇒√ a=√

b

Porém, é verdadeiro que

Sendoa,b∈[0,+∞),a=b⇔√ a=√

b

Pré-Cálculo 9

Atividade

Determine o conjunto solução da equação px² −2=√

2x −2.

Pré-Cálculo 10

Atividade

Calcule as seguintes raízes quadradas (a)√

3² (b)p

(−3)² (c)√

x²

Propriedades

I ∀a∈R,p

a²=|a|.

I ∀a,b≥0,√

a·b=√ a·√

b e ∀a,b≤0,√

a·b=√

−a·√

−b.

I ∀a≥0,∀b>0, ra

b =

√a

√b e ∀a≤0,∀b<0, ra

b =

√−a

√−b.

I A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b≥0, a<b⇒√ a<

√ b.

I ∀a,b≥0,√

a+b≤√ a+

√ b.

Propriedade: demonstração

∀a∈R,p

a²=|a|.

Demonstração. Considere o númerop= |a|. Como vimos,p=|a| ≥ 0. Vale também quep²=|a|²=a². De fato: sea≥0, então|a|²=|a| · |a|=a·a=a²e, sea<0, então

|a|²=|a| · |a|= (−a)·(−a) =a². Como√

a²é oúniconúmero real≥0 que elevado ao quadrado é igual aa², segue-se que√

a²=p=|a|.

Pré-Cálculo 13

Propriedade: demonstração

∀a,b≥0,√

a·b=√ a·√

b e ∀a,b≤0,√

a·b=√

−a·√

−b.

Demonstração. Considere o número p = √ a·√

b. Note quep = √ a·√

b ≥ 0como produto de dois números≥0. Vale também quep²= (√

a·√

b)²=a·b. De fato:

p²= (√ a·√

b)²= (√ a)²·(√

b)²=a·b.

Como√

a·bé oúniconúmero real≥0 que elevado ao quadrado é igual aa·b, segue- se que√

a·b =p=√ a·√

b. A demonstração de que∀a,b≤0,√

a·b =√

−a·√

−b fica como exercício.

Pré-Cálculo 14

Propriedade: demonstração

∀a≥0,∀b>0, ra

b =

√a

√b e ∀a≤0,∀b<0, ra

b =

√−a

√−b.

Demonstração. Considere o númerop = √ a/√

b. Note quep = √ a/√

b ≥ 0 como divisão de um número≥ 0 por um número>0. Vale também quep² = (√

a/√ b)² = a/b. De fato:

p²= √

√a b

2

= (√ a)² (√

b)² = a b. Comop

a/bé oúniconúmero real≥0 que elevado ao quadrado é igual aa/b, segue- se quep

a/b=p =√ a/√

b. ∀a≤0,∀b<0,p

a/b=√

−a/√

−bfica como exercício.

Propriedade: demonstração

A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b≥0, a<b⇒√ a<√

b.

Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note queb > 0,√

b > 0, b−a > 0 e

√b+√

a>0. Uma vez que

(b−a) = (√ b−√

a)·(√ b+√

a), podemos escrever que

√ b−√

a= b−a

√b+√ a. Assim, √

b−√

a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √ a < √

b.

Naturalmente, vale também que se 0≤a≤b, então√ a≤√

b.

Propriedade: demonstração

∀a,b≥0,√

a+b≤√ a+√

b.

Demonstração. Sejama,b≥ 0. Inicialmente, observe quea+b ≥0 e√ a+√

b ≥ 0 como soma de dois números≥0. Note também que√

a·√

b≥0 como produto de dois números≥0. Agora

0≤√ a·√

b⇒0≤2·√ a·√

b⇒a+b≤a+2·√ a·√

b+b⇒a+b≤(√ a+√

b)². Como 0≤a+b≤(√

a+√

b)², usando a propriedade anterior, concluímos que

√a+b≤ q

(√ a+√

b)².

Mas, pela primeira propriedade, q

(√ a+√

b)²=|√ a+√

b|=√ a+√

b.

Portanto, vale que√

a+b≤√ a+√

b.

Pré-Cálculo 17

Propriedade: demonstração

∀a,b≥0,√

a+b≤√ a+√

b.

Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome, por exemplo,a=9 eb=16:√

a+b=5<7=3+4=√ a+√

b. Quando vale a igualdade?

Resposta:

a,b≥0 e√

a+b=√ a+√

b⇔a=0 oub=0.

Pré-Cálculo 18

Exercício

As funções f(x) =

rx−1

x−2 e g(x) =

√x−1

√x−2são iguais?

Resposta. As funçõesnão são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por exemplo, que 0 pertence ao domínio de f, mas 0 não pertence ao domínio de g.

Os domínios naturais (efetivos) das funçõesf egsão dadas, respectivamente, por:

D_f = (−∞,1]∪(2,+∞) e D_g= (2,+∞).

Note, contudo, que restritas ao conjuntoA=D_f∩D_g = (2,+∞), as duas funções são iguais:

f (2,+∞)

= g (2,+∞)

.

A distância euclidiana entre dois pontos

no plano

A distância euclidiana entre dois pontos no plano

(Ir para o GeoGebra)

Pré-Cálculo 21

A equação do círculo no plano

Pré-Cálculo 22

A equação do círculo no plano

O círculo de centro em(4,3)e raio 1 é o conjunto de todos os pontos(x,y)no plano cuja distância até o centro(4,3)é igual ao raio 1.

(x−4)²+ (y−3)²=1.

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

0

x y

1 (4,3)

(x,y)

A equação do círculo no plano

O círculo de centro em(4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos(x,y)no plano cuja distância até o centro(4,3)é igual ao raio 1.

d((x,y),(4,3)) =1 ⇔ q

(x−4)²+ (y −3)²=1

⇔ q

(x−4)²+ (y−3)² 2

=1²

⇔ (x−4)²+ (y −3)²=1.

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Pré-Cálculo 25

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico dey =f(x) =√

a² −x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Pré-Cálculo 26

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico de y =f(x) =√

a²−x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico dey =f(x) =√

a² −x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico de y =f(x) =√

a²−x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Pré-Cálculo 29

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico dey =f(x) =√

a² −x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Pré-Cálculo 30

Funções reais cujos gráficos são semicírculos

Moral: o gráfico de y =f(x) =√

a²−x² é o semicírculo superior de centro na origem e raio|a|.

Funções da forma f (x ) = x

, com n ∈ N

Funções da forma f (x ) = x

, com n ∈ N

f: R → R

x 7→ y =f(x) =xⁿ

Importante: se n∈N,xⁿ é umanotaçãoparax·x · · · · ·x

| {z }

n fatores

.

Propriedades:

(1) ∀x ∈R,∀n,m∈N,xⁿ ·x^m =x^n+m. Prova:

xⁿ·x^m = x·x · · · · ·x

| {z }

n fatores

·x ·x· · · · ·x

| {z }

m fatores

=x·x · · · · ·x

| {z }

n+mfatores

=x^n+m.

(2) ∀x ∈R,∀n,m∈N,(xⁿ)^m =x^n·m. Prova: exercício!

Pré-Cálculo 33

Atividade

Sen∈Né par, prove quexⁿ >0 para todox ∈R,x 6=0.

Dica: Lembre-se de que, para todox 6=0,x² >0.

Como n é par, podemos escrever n = 2k, para algum k ∈ N. Com isso,

xⁿ =x^2k =

x^k2

>0.

(Na última desigualdade, utilizamos a propriedade 2.)

Pré-Cálculo 34

Atividade

Sen∈Né par, prove que(−x)ⁿ =xⁿ para todo x ∈R.

Dica: Lembre-se de que, para todo x ∈R,(−x)² =x².

Como n é par, podemos escrever n = 2k, para algum k ∈ N. Com isso,

(−x)ⁿ = (−x)^2k =

(−x)²k

= x²k

=x^2k =xⁿ. (Na terceira igualdade, utilizamos atividade anterior.)

Atividade

Sen∈Né ímpar, prove que(−x)ⁿ =−(xⁿ)para todo x ∈R.

Dica: Utilize a atividade anterior.

Como n é ímpar, podemos escrever n = 2k +1, para algum k ={0,1,2, ...}. Com isso,

(−x)ⁿ = (−x)^2k+1 = (−x)^2k(−x) =x^2k·(−x) =

=−x^2k·x = −x^2k+1 = −xⁿ.

(Na terceira igualdade, utilizamos a atividade anterior)

Funções da forma f (x ) = x

, com n ∈ N

f: R → R

x 7→ y =f(x) =xⁿ , comnum númeropar.

(1) A funçãof é par. [Provado em uma atividade anterior]

(2) A funçãof é crescente em [0,+∞).

Prova: use a identidade

aⁿ −bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+· · ·+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹).

(3) A imagem de f é o intervalo[0,+∞). Prova: será feita na disciplina de cálculo.

Pré-Cálculo 37

Funções da forma f (x ) = x

, com n ∈ N

f: R → R

x 7→ y =f(x) =xⁿ , comnum númeroímpar.

(1) A funçãof é ímpar. [Provado em uma atividade anterior]

(2) A funçãof é crescente emR= (−∞,+∞).

Prova: use a identidade

aⁿ−bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+· · ·+abⁿ⁻² +bⁿ⁻¹).

(3) A imagem def éR= (−∞,+∞). Prova: será feita na disciplina de cálculo.

Pré-Cálculo 38

Proposição

Sejaf: R→Rdefinida por

y =f(x) =xⁿ, comn∈N. (a) Se 0<x <1, então xⁿ⁺¹ <xⁿ. (b) Se x >1, então xⁿ⁺¹ >xⁿ.

Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0·x < x ·x < 1·x, isto é, 0 < x² < x. Agora, se 0 < x² < x, então 0·x < x² ·x < x ·x, isto é,0 <x³ < x². Prosseguindo com este raciocínio, concluímos que0 <xⁿ⁺¹ <xⁿ, para todon ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A parte (b) fica como exercício.

Revisão: funções da forma x elevado a n

A função raiz n-ésima

Pré-Cálculo 41

A função raiz n-ésima: caso n par

f: [0,+∞) → [0,+∞)

x 7→ y =f(x) =xⁿ , comnpar.

I Já demonstramos quef: [0,+∞)→[0,+∞)éinjetiva.

I Já mencionamos quef: [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva(a prova deste fato requer ferramentas de análise).

I Logof: [0,+∞)→[0,+∞)ébijetivae, portanto,inversível.

I A função inversaf⁻¹ def é denominada função raizn-ésima. Usaremos as notações

√n

x e x^1/n para representar

f⁻¹(x).

I Note então que, sené par e a≥0, então √ⁿ

aé o úniconúmero real≥0 que,elevado an, dá o número reala.

Pré-Cálculo 42

A função raiz n-ésima: caso n ímpar

f: (−∞,+∞) → (−∞,+∞)

x 7→ y =f(x) =xⁿ , comn ímpar.

I Já demonstramos quef:(−∞,+∞)→(−∞,+∞)éinjetiva.

I Já mencionamos que f: (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva(a prova deste fato requer ferramentas de análise).

I Logof: (−∞,+∞)→(−∞,+∞)ébijetivae, portanto,inversível.

I A função inversa f⁻¹ de f é denominadafunção raizn-ésima. Usaremos as notações

√n

x e x^1/n para representar

f⁻¹(x).

I Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então √ⁿ

a é o úniconúmero real

A função raiz n-ésima

Cuidado!

Se n é par,

o domínio de f(x) =√ⁿ

x =x^1/n é [0,+∞).

Se n é ímpar, o domínio de f(x) =√ⁿ

x =x^1/n é R.

Pré-Cálculo 45

Atividade

Utilizando a definição de raizn-ésima, calcule (a)√⁴

16 (b) √ⁿ

1 (c)√⁴

16 (d)p³ (−1)² (e)p³

(−1)⁵ (f) √³

a³ (g)√²

a² (g)√³ a⁶

Pré-Cálculo 46

Propriedades da função raiz n-ésima para n par

I Senépar,∀a∈R, ⁿ

√

aⁿ=|a|.

I Senépar,∀a,b≥0,√ⁿ

a·b=√ⁿ a·√ⁿ

b e ∀a,b≤0,√ⁿ

a·b =√ⁿ

−a·√ⁿ

−b.

I Senépar,∀a≥0,∀b>0, ⁿ ra

b =

√n

a

√n

b e ∀a≤0,∀b<0, ⁿ ra

b =

√n

−a

√n

−b.

I A função raizn-ésima é crescente (npar): ∀a,b≥0, a<b⇒√ⁿ a< ⁿ

√ b.

I Senépar,∀a,b≥0,√ⁿ

a+b≤√ⁿ a+ ⁿ

√ b.

Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar

I Senéímpar,∀a∈R, ⁿ

√ aⁿ=a.

I Senéímpar,∀a,b∈R,√ⁿ

a·b=√ⁿ a·√ⁿ

b.

I Senéímpar,∀a∈R,∀b∈R− {0}, ⁿ ra

b =

√n

a

√n

b.

I A função raizn-ésima é crescente (nímpar): ∀a,b ∈R, a<b⇒√ⁿ a< ⁿ

√ b.

I Senéímpar,∀a,b≥0,√ⁿ

a+b ≤√ⁿ a+ ⁿ

√ b.

Observações

I As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.

Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do binômio de Newton pode ser útil:

(a+b)ⁿ=

n

X

i=0

n i

aⁿ⁻ⁱbⁱ.

I Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade √ⁿ

a+b ≤ √ⁿ a + √ⁿ

b da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então

√3

−1−1= −√³

2>−2=√³

−1+ ⁻³√

−1.

Pré-Cálculo 49

Mais propriedades

I Se né par em∈N, então ∀x ≥0, √ⁿ

x^m = (√ⁿ x)^m.

I Se né ímpar em∈N, então ∀x∈R, √ⁿ

x^m = (√ⁿ x)^m.

I Se mé par ouné par, então ∀x ≥0, pⁿ √_m

x= ^{n m}√ x.

I Se mensão ímpares, então ∀x∈R, pⁿ √_m

x= ^{n m}√ x.

Pré-Cálculo 50

Atividade

Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:

(a) √ⁿ

x²ⁿ =x², para todo∈R,n∈N (b) ²ⁿ√

x⁶ⁿ =x³, para todo ∈R,n ∈N

Atividade

Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções definidas por

f(x) =x, g(x) =

√

x² e h(x) = √ x2

Atividade

Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funçõesR→Rdefinidas por

f(x) =√³

x e g(x) = ⁶

√ x²

Pré-Cálculo 53

Funções da forma x elevado a menos n

Pré-Cálculo 54

Funções da forma x elevado a menos n

y =f(x) =x⁻ⁿ = 1

xⁿ, comn ∈Nex 6=0

(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar sené um número ímpar.

(2) f é uma funçãodecrescenteno intervalo(0,+∞).

(3) Se 0<x <1, então 1

xⁿ < 1 xⁿ⁺¹. (4) Se 1<x, então 1

xⁿ⁺¹ < 1 xⁿ.

Funções da forma x elevado a menos n

Atividade

Mostre que, paran ∈N, a função f(x) =x⁻ⁿ

é decrescente em (0,+∞).

Dica: Note que, se 0<a<b, então 1 b < 1

a.

Sejam x1,x2 ∈ (0,+∞), com x1 < x2. A função g(x) = xⁿ é cres- cente em (0,+∞), logo 0 < x₁ⁿ < x₂ⁿ.Com isso, 1

x₁ⁿ > 1

x₂ⁿ, e, portanto 1

x₁ⁿ > 1

x₂ⁿ. Assim,f(x1)>f(x2).

Pré-Cálculo 57

Funções da forma x elevado a menos n

Pré-Cálculo 58

Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

y =f(x) =x^p/q, comp ∈Z−{0},q ∈Nep/q fração irredutível

(1) Sep >0,q >0 eq é par, então, por definição, x^p/q = √^q

x^p

para todox ≥0.

(2) Sep >0,q >0 eq é ímpar, então, por definição, x^p/q = √^q

x^p para todox ∈ .

Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

y =f(x) =x^p/q, comp∈Z−{0},q ∈Nep/qfração irredutível

(1) Sep<0,q >0 eq é par, então, por definição, x^p/q = 1

x^−p/q = 1

√q

x^−p para todo x >0.

(2) Sep<0,q >0 eq é ímpar, então, por definição, x^p/q = 1

x^−p/q = 1

√q

x^−p para todo x ∈R− {0}.

Pré-Cálculo 61

Exemplos

x^5/3 = ³

√

x⁵,∀x ∈R. x^3/8 = ⁸

√

x³,∀x ≥0.

x^−5/4 = 1

x^5/4 = 1

√4

x⁵,∀x >0.

x^−2/3 = 1

x^2/3 = 1

√3

x²,∀x 6=0.

Pré-Cálculo 62

Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível)

Por que a definição exige que a fraçãop/qsejairredutível?

3/2=6/4 mas

√2

x³ está definida para x ≥0 enquanto que

√4

x⁶ está definida para x ∈R.

Atividade

Dê um exemplo dea,b ∈Qex ∈Rde forma quex^a·b, e(x^a)^b estejam definidos, mas que

x^a·b 6= (x^a)^b

Um exemplo: Fazendox =−1,a=2 eb= 1

2, temos x^a·b = (−1)^2·12 = (−1)¹ = −1,

(x^a)^b =

(−1)²¹₂

=1¹² =√ 1=1.

E potências irracionais?

Pré-Cálculo 65

Como calcular f (x ) = x

para x = 3?

Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de√ 2!

Aproximação de√

2 Aproximação de 3

√ 2

1.4 3^1.4 =3⁷⁵ =4.6555367217460790. . . 1.41 3^1.41 =3¹⁴¹¹⁰⁰ =4.7069650017165727. . . 1.414 3^1.414 =3⁷⁰⁷⁵⁰⁰ =4.7276950352685357. . . 1.4142 3^1.4142 =3^70715000 =4.7287339301711910. . . 1.41421 3^1.41421 =3^141421100000 =4.7287858809086143. . .

Pré-Cálculo 66