Universidade Fernando Pessoa Departamento de Ciência e Tecnologia. Apontamentos ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Maria Alzira Pimenta Dinis

Universidade Fernando Pessoa

Departamento de Ciência e Tecnologia

Apontamentos

de

ÁLGEBRA LINEAR E

GEOMETRIA ANALÍTICA

Maria Alzira Pimenta Dinis

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1998

Índice

i

Índice

Pág.

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. 1

Matrizes. 2

Adição de Matrizes e Multiplicação por um Escalar. 3

Multiplicação de Matrizes. 5

Transposta. 8

Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. 8

Matrizes Escalonadas. 9

Equivalência por Linhas e Operações Elementares com Linhas. 10

Matrizes Quadradas. 11

Matrizes Inversíveis. 12

Método de Gauss-Jordan para Resolução de Sistemas de Equações Lineares. 14

Capítulo II – Espaços Vectoriais. 17

Propriedades Elementares dos Espaços Vectoriais. 20 Produto Cartesiano. O Espaço Vectorial ℜⁿ. 20

Sub-espaços Vectoriais. 22

Combinação Linear de Vectores. Geradores de um Espaço Vectorial. 23 Dependência e Independência Lineares. 24

Base e Dimensão. 26

Construção de Uma Base. 28

Capítulo III – Transformações Lineares. 30

Transformações – ou Aplicações. 31

Transformação Linear. 32

Propriedades das Transformações Lineares. 33 Matriz Associada a Uma Transformação Linear. 33

Índice

ii

Matrizes Semelhantes. 35

Imagem e Núcleo de uma Transformação Linear. 36

Mudança de Base. 37

Capítulo IV – Determinantes. 41

Determinante de 2ª Ordem. 42

Determinante de 3ª Ordem. 43

Regra de Cramer. 46

Generalização do Conceito do Determinante. 48

Teorema de Laplace. 50

Matriz Adjunta. 52

Matriz Inversa. 53

Propriedades Fundamentais dos Determinantes. 54

Valores Próprios e Vectores Próprios. 60

Diagonalização de Uma Matriz Quadrada. 62

Capítulo V – Espaços Euclidianos. 64

Produto Escalar em Espaços Vectoriais. 65

Espaço Vectorial Euclidiano. 66

Módulo de um Vector e Suas Propriedades. 66

Ângulo de Dois Vectores. 67

Vectores Ortogonais e Conjunto Ortogonal de Vectores. 68 Conjunto Ortonormal e Base Ortonormal. 69 Componentes dos Vectores e Produto Escalar. 70 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. 71

Forma Quadrática em Eⁿ. 75

Forma Quadrática no Plano. 75

Redução da Forma Quadrática no Plano à Forma Canónica. 76

Índice

iii

Capítulo VI – Geometria Analítica no Plano. 80

Sistema de Coordenadas no Plano. 81

Identificação de E² com o Plano Euclidiano. 82 Equações Paramétricas e Cartesiana da Recta. 82

Ângulo de Duas Rectas. 84

Paralelismo Entre Duas Rectas. 85

Ortogonalidade Entre Duas Rectas. 86

Distância Entre Dois Pontos. 86

Distância Entre Um Ponto e Uma Recta. 87

Cónicas. 88

Equação Reduzida de Uma Cónica. 89

Classificação das Cónicas. 92

Capítulo VII – Geometria Analítica no Espaço. 94

Sistema de Coordenadas no Espaço. 95

Identificação de E³ com o Espaço Euclidiano. 96 Equações Paramétricas e Cartesianas da Recta. 96 Equações Paramétricas e Cartesiana doPlano. 99

Paralelismo Entre Dois Planos. 102

Perpendicularidade Entre Dois Planos. 103

Paralelismo Entre Recta e Plano. 103

Perpendicularidade Entre Recta e Plano. 104

Intersecção de Dois Planos. 105

Distância Entre Dois Pontos. 106

Distância de Um Ponto a Uma Recta. 106

Distância Entre Duas Rectas. 108

Distância de Um Ponto a Um Plano. 110

Quádricas. 111

Equação Reduzida de Uma Quádrica. 113

Classificação das Quádricas. 117

Índice

iv

Bibliografia. a

Capítulo I

MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Prof. Alzira Dinis

2

Capítulo I

Ao trabalhar com um sistema de equações lineares, somente os coeficientes e suas respectivas posições são importantes. Ao reduzir o sistema à forma escalonada, é essencial manter as equações cuidadosamente alinhadas. Assim, esses coeficientes podem ser eficientemente arrumados numa disposição rectangular chamada matriz. A menos que se diga o contrário, todos os elementos das matrizes pertencem a algum corpo K, arbitrário mas fixo. Aos elementos de K chamamos escalares. Podemos supor, por exemplo, que K é o corpo real ℜ ou o corpo complexo C. Os elementos de ℜⁿ ou Cⁿ são representados por vectores linha ou vectores coluna, que são casos especiais de matrizes.

Matrizes.

Seja K um corpo arbitrário. Uma disposição regular da forma

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

onde os a_ij são escalares em K, é chamada matriz sobre K,

ou simplesmente matriz, se K está implícito. A matriz acima é também notada por

( )

aij , i=1,…,m, j=1,…,n, ou simplesmente por

( )

aij . As m n-uplas horizontais

(a₁₁,a₁₂, ,a_1n) (, a₂₁,a₂₂, ,a_2n) (,…, a_m1,a_m2, ,a_mn) são as linhas da matriz, e as n

m-uplas verticais

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

mn n n

m

m a

a a

a a a

a a a

… ¹

1

2 22 12

1 12 11

, ,

, são as suas colunas. De notar que o

elemento a_ij, chamado elemento ij ou componente ij aparece na i -ésima linha e j -ésima coluna. A matriz com m linhas e n colunas é chamada uma matriz do tipo m por n, (m×n); o par de números (m,n) é chamado o tamanho ou forma.

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Prof. Alzira Dinis

3 Exemplo – A matriz ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 2 5 0

4 3

1 é uma matrix 2 por 3. As suas linhas são

(1,−3,−4) e (0,5,−2). As colunas são ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0

1 , ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

5

3 e ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 4 .

As matrizes representam-se normalmente por maísculasA, B, … e os elementos do corpo K por minúsculas a,b,…. Duas matrizes A e B são iguais, A=B, se têm a mesma forma e se os elementos correspondentes são iguais.

Exemplo – A igualdade ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

+ +

4 1

5 3 2

w z y x

w z y

x é equivalente ao seguinte sistema

de equações:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

= +

=

−

= +

4 5 2

1 3

w z

w z

y x

y x

. A solução do sistema é x=2, y=1, z=3 e w=−1.

Uma matriz com uma linha é também chamada um vector linha, e com uma coluna, um vector coluna. Um elemento no corpo K pode ser considerado como uma matriz 1 por 1.

Adição de Matrizes e Multiplicação por um Escalar.

Sejam Ae B duas matrizes com o mesmo tipo, isto é, o mesmo número de

linhas e colunas, digamos, matrizes m×n:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

= ⋅

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

A e

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

= ⋅

mn m

m

n n

b b

b

b b

b

b b

b

2 1

2 22

21

1 12

11

B . A soma de A e B, A+B, é a matriz obtida adicionando

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Prof. Alzira Dinis

4 os termos correspondentes:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

+

⋅

⋅

⋅

+ +

+

+ +

+

= +

mn mn m

m m m

n n

n n

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a b a

2 2 1 1

2 2 22

22 21 21

1 1 12

12 11 11

B

A . O

produto de um escalar k pela matriz A, k⋅A, ou simplesmente kA, é a matriz

obtida multiplicando cada elemento de A por k:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

= ⋅

mn m

m

n n

ka ka

ka

ka ka

ka

ka ka

ka k

2 1

2 22

21

1 12

11

A .

Observa-se que A+B e kA são também matrizes m×n. Também se define A

A=− ⋅

− 1 e A−B=A+( )−B . A soma de matrizes com tipos diferentes não é definida.

Exemplo – Sejam ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

6 5 4

3 2

A 1 e ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

8 1 7

2 0

B 3 . Então,

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

− +

−

+ +

−

= +

+ 3 6 2

5 2 4 8 6 1 5 7 4

2 3 0 2 3 B 1

A , ( )

( )^⎟⎟_⎠^⎞=

⎜⎜⎝

⎛

−

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

= ⋅

6 3 5 3 4 3

3 3 2 3 1 3A 3

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

18 15 12

9 6

3 , ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

− + −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

− 21 3 24

6 0 9 12

10 8

6 4 3 2

2A B

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

= −

36 7

29

0 4 7

Exemplo – A matriz m×n cujos elementos são todos zero,

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

0 0

0

0 0

0

0 0

0

é

chamada matriz nula, sendo representada por 0. É semelhante ao escalar 0 no sentido de que para qualquer matriz A=

( )

aij do tipo m×n, ^A+0⁼

(

aij⁺0

) ( )

⁼ aij ^=A. As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação por um escalar são as seguintes:

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Prof. Alzira Dinis

5

Teorema – Seja V o conjunto de todas as matrizes m×n sobre um corpo K. Então, para quaisquer matrizes A, B,C ∈ V e quaisquer escalares k₁, k₂ ∈ K,

(i) (A+B)+C=A+(B+C)

(ii) A+0=A (iii) A+( )−A =0 (iv) A+B=B+A

(v) k₁(A+B)=k₁A+k₂B (vi) (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A

(vii) (k₁k₂)A=k₁(k₂A) Usando (vi) e (viii), também se tem que (viii) 1⋅A=A e 0A=0 A+A=2A, A+A+A=3A, …

Multiplicação de Matrizes.

O produto das matrizes A e B, AB, é um pouco mais complicado. Vejamos o seguinte:

(i) Sejam A=( )a_i e B=( )b_i pertencentes a ℜⁿ, A representado por um vector linha e B por um vector coluna. Então o produto interno A⋅B pode ser encontrado combinando as matrizes como se segue: A⋅B=

=( ) _{n n}

n

n ab a b a b

b b b a a

a = + + +

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 2 1 1 2 1

2

1, , , definindo a matriz produto de um

vector linha A por um vector coluna B. (ii) Consideremos as equações

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

y x b x b x b

y x b x b x b

= + +

= +

+ . O sistema é equivalente à

equação matricial ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2 1

3 2 1

23 22 21

13 12 11

y y x

x x b b b

b b

b ou simplesmente BX =

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

= +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

X X x

b x b x b

x b x b x b x x x b b b

b b b

2 1 3

23 2 22 1 21

3 13 2 12 1 11

3 2 1

23 22 21

13 12 11

B

B onde B₁ e B₂ são

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Prof. Alzira Dinis

6

as linhas de B. De notar que o produto de uma matriz por um vector coluna produz outro vector coluna.

(iii) Consideremos agora as equações

2 2 22 1 21

1 2 12 1 11

z y a y a

z y a y a

= +

=

+ que já sabemos poder

representar por ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2 1 2 1 22 21

12 11

z z y y a a

a

a ou simplesmente AY =Z, onde

( )

aij

=

A , Y =( )y_i e Z =( )z_i . Substituindo os valores de y₁ e y₂ de (ii) nas equações de (iii), tem-se:

( ) ( )

( _{11 1 12 2 13 3}) ₂₂( _{21 1 22 2 23 3}) ₂

21

1 3 23 2 22 1 21 12 3 13 2 12 1 11 11

z x b x b x b a x b x b x b a

z x b x b x b a x b x b x b a

= +

+ +

+ +

= +

+ +

+

+ ou, reagrupando os

termos, ( ) ( ) ( )

(a¹¹₂₁b¹¹₁₁ a¹²₂₂b²¹₂₁)x¹₁ (a¹¹₂₁b¹²₁₂ a¹²₂₂b²²₂₂)x²₂ (a¹¹₂₁b¹³₁₃ a¹²₂₂b²³₂₃)x³₃ ¹z₂ z x b a b a x b a b a x b a b a

= +

+ +

+ +

= +

+ +

+

+ . Por

outro lado, usando a equação matricial BX =Y e substituindo Y em AY =Z , obtém-se ABX =Z, que representará o sistema obtido se definirmos o produto de A e B como se segue: ⎟⎟⎠×

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

22 21

12 11

a a

a AB a

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

+ +

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

×⎛

23 22 13 21 22 22 12 21 21 22 11 21

23 12 13 11 22 12 12 11 21 12 11 11 23

22 21

13 12 11

b a b a b a b a b a b a

b a b a b a b a b a b a b

b b

b b b

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅ ₃

2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1

B A B A B A

B A B A B

A onde A₁ e A₂ são as linhas de A e B¹, B² e

B3 são as colunas de B. O principal requisito é que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.

Definição – Suponhamos que A=

( )

aij e B=

( )

bij são matrizes tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, A é uma matriz m×p e B uma matriz p×n. Então o produto AB é uma matriz m×n cujo elemento ij é obtido multiplicando a i-ésima linha A_i pela j-ésima coluna B^j de B:

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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7

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

pn pj

p

n j

mp m

ip i

p

n m m

m

n n

b b

b

b b

b

a a

a a

a a

1

1 1

11

1 1

1 11

2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

B A B

A B A

B A B

A B A

B A B

A B A AB

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

mn m

ij n

c c

c c c

1

1 11

onde

∑

=

= +

+ +

= ^p

k kj ik pj

ip j

i ij i

ij a b a b a b a b

c

1 2

2

1 . Acentue-se que

se A é uma matriz m×p e B uma matriz q×n, onde p≠q, o produto AB não é definido.

Exemplo - ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

+ +

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1 1 3

2 1

3 2 1

ub ta ub ta ub ta

sb ra sb ra sb ra b

b b

a a a u t

s

r .

Exemplo - ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

= ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

11 3

5 1 2 4 1 3 0 4 1 3

2 2 1 1 0 2 1 1 2 0

1 1 4 3

2

1 e ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

4 3

2 1 2 0

1 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

= ⋅

8 6

6 4 4 2 2 0 3 2 1 0

4 1 2 1 3 1 1

1 . Este exemplo mostra que a multiplicação de

matrizes não é comutativa, isto é, os produtos AB e BA não são necessariamente iguais.

A multiplicação de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:

Teorema – (i) ( )ABC=A( )BC , (lei associativa)

(ii) A(B+C)=AB+AC, (lei distributiva à esquerda) (iii) (B+C)A=BA+CA, (lei distributiva à direita) (iv) k( ) ( )AB = kA B=A( )kB , onde k é um escalar Observe-se que 0A=0 e B0=0, onde 0 é a matriz nula.

Capítulo I – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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8 Transposta.

A transposta de uma matriz A, A^T, é a matriz obtida escrevendo as linhas de A,

ordenadamente como colunas:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

= ⋅

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

mn n

n

m m

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

12

1 21

11 T

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Observe-se que, se A é uma matriz m×n, então A^T é n×m.

Exemplo -

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 3 6

5 2

4 1 6

5 4

3 2

1 ^T

.

A operação transposição de matrizes satisfaz as propriedades seguintes:

Teorema - (i) (A+B)^T =A^T +B^T (ii)

( )

^{AT T} =^A

(iii) ( )kA ^T =kA^T, onde k é um escalar (iv) ( )AB ^T =B^TA^T

Matrizes e Sistemas de Equações Lineares.

O sistema de equações lineares

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

= +

+ +

⋅

⋅

⋅

⋅

= +

+ +

= +

+ +

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

é equivalente à

equação matricial

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= ⋅

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟ ⋅

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

m n

mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

ou simplesmente AX =B,

onde A=

( )

aij , X =( )x_i e B=( )b_i . O sistema homogéneo associado é equivalente a

=0 X

A . A matriz A é chamada a matriz dos coeficientes do sistema, e a matriz