Optimal Control of the FitzHugh-Nagumo
System
Paulo M. D. de Magalhães
Abstract
This work deals with internal optimal control of a generalized FitzHugh-Nagumo system.
Existence of optimal state-control pairs is
proved and an optimal control necessary
optimality conditions is derived. Uniqueness
and stability for the generalized FitzHugh-
Nagumo system is obtained.
Modelo Original (1962)
FitzHugh+Nagumo-Arimoto-Yoshizawa
) )(
1 : (
)
( v u v
v u
a u
u u
FN u
t t o
x a 1 , 0
, 0 ,
0
u = voltagem através da membrana v =permeabilidade da membrana
ℝ
Modelo Generalizado (1990) D.E.Jackson
ℝ N
)
; : (
) (
2
1
g v
u v
g v
u F
u FN u
t
i t
[, ,
0 ] )
,
( x t Q T
controles ,
estado, de
variáveis e
) ( ,
) )(
)(
( )
; (
classe de
com
limitado aberto
2 1
3 2
1
g g
v u
Q L
u u
u u
F
C
i
i
Notação e Resultados Auxiliares
Seja aberto limitado do ℝ N com de classe C 2 .
espaços de Sobolev com norma e produto interno
espaço de Hilbert com norma e produto interno
} ),
( ,
: ) ( {
)
( u u D u L 2 m
H m D
)}
( )),
(
; , 0 ( :
) ( {
)
( 2 2 2
1 , 2
2 Q u Q u L T H D u L Q
W D t
m m
m L
m D u u v D uD v dx
u ,
2 / 1 2
)
,
2( , ( , )
) ( 2
1 ( )
) ( )
(
2 2 21 , 2
2
Q L Q L Q t L Q
W u D u D u
u
Q t
t Q Q
W u v D u D v
v
u , ) ( ) ( , ) 2 , ( , ) 0 , (
2,12
Notação e Resultados Auxiliares
espaço de Hilbert com norma e produto interno
)}
( ,
: ) ( {
)) (
; , 0
( 2 2
1 T L v Q v D v L Q
H D t
) 1 ( , 2 2
. 0
1 , 2
2 ,
0 ( Q ) C ( Q ) W Q W
) ( )
( ))
(
; , 0 ( )
( )
( ))
(
; , 0
(
2 2 2 1 2 2 21
