3 Modelos lineares para séries temporais ARIMA(p,d,q)

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Ao longo dos anos diversas ferramentas para modelagem e previsão de séries temporais têm sido desenvolvidas, mas, no entanto, a maioria destes métodos baseia-se em hipóteses fundamentais que são: a série adapta-se a um modelo linear; estacionariedade ou redução (através de diferenciação) para a estacionariedade; homocedasticidade e gaussianidade.

Neste capítulo, serão discutidos modelos e conceitos que são úteis para a análise de séries temporais através de modelos lineares. Embora alguns destes possam ser aplicados para processos não lineares, muitos deles não o são.

Entretanto, é indispensável que se tenha um mínimo de conhecimento para o estudo de modelos não lineares. Para leitores com interesse em maiores detalhes teóricos e práticos sobre o assunto, recomenda-se a leitura de textos como Anderson (1971), Box, Jenkins e Reinsel (1994), Hamilton (1994), Brockwell e Davis (1997), dentre muitos outros.

Denota-se a série temporal de interesse como y_t. A variável y_t é observada para t = 1,2,...,n e assume-se que as condições iniciais y0, y-1,...,y1-p estão disponíveis quando necessário. Denota-se por Ω_t-1 o conjunto de informações em t-1, que contém toda a informação disponível para se fazer previsões de valores futuros y_t, y_t+1, y_t+2,... Quando Ω_t-1não contém nenhuma informação que pode ser usada para se fazer previsões em um modelo linear para y_t, a correspondente série temporal pode ser chamada de ruído branco. Assim sendo, denota-se essa série como ε_t. Normalmente, é necessário que esta série possua média (incondicional) constante e igual a zero e variância (incondicional) constante. Conseqüentemente, uma série temporal que é um ruído branco é definida por

E[ε_t] = 0 (3.1)

E[εt2] = σ² (3.2)

E[εtεs] = 0 ∀ s ≠ t (3.3) A condição de que todas as autocovariâncias de εt são iguais a zero, como apresentado em (3.3), é equivalente a dizer que o conjunto de informação Ω_t-1 não contém informação para prever εt através de modelos lineares.

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3.1.

Modelos lineares de séries temporais

Geralmente, pode se pensar para qualquer série temporal y_tcomo sendo a soma de duas partes: o que pode e o que não pode ser previsto usando o conhecimento do passado. Isto é, y_t pode ser decomposto como

yt = E[yt|Ωt-1] + υt , (3.4)

onde E[.|.] denota o operador do valor esperado condicional e υ_t é chamado de “parte imprevisível”, com E[υt|Ωt-1] = 0. Neste capítulo assume-se que υt satisfaz as propriedades do ruído branco (3.1) – (3.3).

Um modelo muito aplicado na parte previsível de yt assume que a previsão pode ser feita por uma combinação linear dos lags passados de ordem p da série, que é,

,

2 ...

2 1

1 t t p t p t

t y y y

y =φ ₋ +φ ₋ + +φ ₋ +ε t = 1,...,n (3.5) onde φ1,..., φp são parâmetros desconhecidos. Este simples modelo é chamado de modelo auto-regressivo de ordem p [AR(p)] ou auto-regressão de ordem p. Usando o operador de retardo L, definido por L^ky_t = y_t-k para k = 0,1,2,...,(3.5) pode ser escrito de uma forma mais concisa como

t t

p L y ε

φ ( ) = , onde

p p

p L φ L φ L

φ ( )=1− ₁ −...− , (3.6)

que é chamado de polinômio AR em L de ordem p.

Quando p em AR(p) é grande, pode-se tentar aproximar o polinômio AR por uma razão de dois polinômios em que juntos envolvem um número menor de parâmetros. O modelo resultante é

t q t

p L y θ L ε

φ ( ) = ( ) , t = 1,...,n, (3.7)

Com

p p

p L φ L φ L

φ ( )=1− ₁ −...− ,

q q

q L θ L θ L

θ ( )=1+ ₁ +...+ ,

onde o p em (3.7) é, normalmente, muito menor do que o p em (3.5). Este modelo é chamado de auto-regressivo média móvel de ordem (p,q) [ARMA(p,q)].

A classe de modelos ARMA foi popularizada por Box & Jenkins (1970).

Algumas vezes é conveniente assumir que a parte previsível de y_t é uma combinação linear dos mais recentes q choques ε_t-1,...,ε_t-q. Isso reduz,

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efetivamente, o modelo ARMA em (3.7) para um modelo de médias móveis de ordem q [MA(q)], dado por

q t q t

t

yt =ε +θ₁ε ₋₁+...+θ ε ₋ , t = 1,...,n. (3.8) 3.2.

Estacionariedade

Uma série ruído branco como definida em (3.1) – (3.3) é um caso especial de uma série estacionária. Geralmente, uma dada série temporal y_t é dita estacionária se tem uma média, variância e covariâncias constantes, isto é,

E[y_t] = µ ∀ t = 1,...,n, (3.9)

E[(y_t - µ)²] = γ0 ∀ t = 1,...,n, (3.10) E[(yt - µ)(yt-k - µ)] = γk , (3.11) onde µ, γ₀e γ_k são valores finitos.

Para saber se uma série gerada por um processo ARMA(p,q) é estacionária ou não, deve-se analisar os valores dos parâmetros auto- regressivos φ1,...,φp. Por exemplo, considere uma auto-regressão de primeira ordem

t t

t y

y =φ₀ +φ₁ ₋₁ +ε , (3.12)

onde foi incluído um intercepto φ0 para descrever uma média diferente de zero de yt. Tomando os valores esperados de ambos os lados em (3.12), isto é,

] [ ] [ ]

[y_t ₀ ₁E y_t ₁ E _t

E =φ +φ ₋ + ε , (3.13)

assumindo que yt é estacionário e usando (3.9) e (3.1), segue que

1 0

1 φ

µ φ

= − . (3.14)

Note que (3.14) só faz sentido se |φ1| < 1. Por exemplo, quando φ1 excede 1 e φ0 é um número positivo, (3.14) implica que a média de yt é negativa, embora (3.12) diga que, em média, yt é um múltiplo de seu valor anterior mais uma constante positiva. Essa aparente contradição é causada pelo fato de que para se derivar (3.14) assume-se yt estacionário em um primeiro momento, e que não é o caso quando |φ1| ≥ 1.

Sendo assim, para séries que não são estacionárias, é uma prática comum de se proceder com a análise de ∆₁y_t ≡ (1 – L)y_t = y_t – y_t-1 – que nada mais é do que a série diferenciada de y_t. Quando uma série temporal precisa ser diferenciada d vezes – que é o filtro aplicado ∆1d – diz-se que a série é integrada

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de ordem d [I(d)]. Quando um modelo ARMA é integrado em ∆₁^dy_t, fala-se que y_t é descrito por um modelo de médias móveis integrado auto-regressivo de ordem (p,d,q) [(ARIMA(p,d,q)].

3.3.

Estratégia de especificação

Nesta seção, vai se demonstrar uma típica estratégia de especificação de modelos de série temporal lineares, a qual foi utilizada neste trabalho para comparação com o modelo não linear proposto para a previsão do preço da série do CMO.

Em geral, os vários passos nessa estratégia valem para modelos não lineares, entretanto, algumas vezes existem diferenças nas ferramentas estatísticas que deveriam ser utilizadas. A modelagem normalmente envolve os seguintes passos:

(1) calcular certas estatísticas para a série temporal em análise;

(2) comparar estes valores (ou “tamanho”) dessas estatísticas com os respectivos valores teóricos para saber se o modelo é adequado (ou uma qualquer hipótese nula de um teste estatístico);

(3) estimar os parâmetros para o modelo proposto;

(4) avaliar o modelo usando medidas de diagnóstico;

(5) reespecificar o modelo se necessário;

(6) usar o modelo para fins de descrição ou previsão.

A principal vantagem de se modelar seqüencialmente os valores observados da série é de que modelos específicos implicam em específicas propriedades dos dados que são gerados por estes modelos. Comparando estas propriedades com as características correspondentes da série temporal em análise, pode-se ter uma idéia do grau de utilidade do modelo para descrever essa série. Por exemplo, sabe-se que um modelo MA(1) apresenta apenas auto- covariância de primeira ordem diferente de zero. Portanto, testes estatísticos podem ser realizados para saber se isso é verdade na série observada e, se isso for confirmado, pode-se iniciar no passo (3) com um modelo MA(1).

3.4.

Identificação da ordem do modelo (p, d, q)

Para os modelos ARIMA, os passos (1) e (2) são fundamentalmente para identificar a ordem do modelo, ou seja, p, d e q. Essa parte da especificação é

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chamada quase sempre de “identificação do modelo” (Box & Jenkins, 1970).

Note que em modelos não lineares existe identificação dos parâmetros que é um conceito completamente diferente deste. Essa identificação em vários modelos não lineares é de que algumas restrições tenham que ser impostas para que se possa “identificar” (estimar) os parâmetros.

As estatísticas mais relevantes para identificar a ordem do modelo são as funções de autocorrelação (FAC) e autocorrelação parcial (FACP). Para saber com detalhes o que significam essas funções, o comportamento e como elas são computadas de forma que se identifique a ordem p e q consulte Souza e Camargo (1996). Existe também um comportamento específico dessas funções para saber se a série necessita de diferenciação. Além disso, testes de hipótese que verificam a presença ou não de uma raiz unitária na equação característica como Dickey Fuller (DF), Augmented Dickey Fuller (ADF) e Phillips Perron (PP) podem ser aplicados.

É muito importante dizer que existem outras ferramentas para auxiliar a identificação da ordem do modelo (Souza e Camargo, 1996). A análise única e exclusiva da FAC e FACP pode se tornar extremamente complicada até mesmo para quem tem experiência na identificação.

3.5.

Estimação

Os parâmetros em um modelo AR(p)

t p t p t

t

t y y y

y =φ₀ +φ₁ ₋₁ +φ₂ ₋₂ +...+φ ₋ +ε , (3.15) podem ser estimados por mínimos quadrados ordinários (MQO). Pode ser mostrado que sob suposições relativamente fracas sobe as propriedades das inovações εt (muito mais fracas do que as hipóteses do ruído branco apresentadas aqui em (3.1) – (3.3)), que parâmetros estimados sob o MQO são consistentes e assintoticamente normais e a estatística t padrão pode ser usada para investigar a significância de φ1 a φp (vejaBox & Jenkins, 1970). A média µ de y_t pode ser estimada de µˆ =φˆ₀/(1−φˆ₁−φˆ₂ −...−φˆ_p). Usando os parâmetros estimados, a série de resíduos εˆ_t pode ser construída.

Muitos métodos de estimação dos parâmetros para modelos ARIMA foram desenvolvidos (veja Box, Jenkins e Reinsel, 1994; Brockwell e Davis, 1977, para exemplos de métodos como a máxima verossimilhança e mínimos quadrados ordinários). O fato de que não existe um método preferencial para estimação é

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causado pelo fato de que as variáveis defasadas da parte MA são não observáveis, e suas realizações tem que ser estimadas juntamente com os parâmetros. As propostas dos procedimentos de estimação diferem principalmente na estimação desses choques não observados.

Um método muitas vezes aplicado é o método de mínimos quadrados iterativo. (Box, Jenkins e Reinsel, 1994)

3.6.

Ferramentas de Avaliação

Apresenta-se nesta seção alguns dos testes estatísticos aplicados ao modelo selecionado (identificado e com os parâmetros estimados), para a comprovação de sua validade.

O primeiro deles é conhecido como teste de sobrefixação e consiste, basicamente, na elaboração de um modelo com um número maior (ou menor) de parâmetros em comparação com o modelo selecionado, ou seja, com o objetivo de cubrir supostas direções de discrepâncias. Este modelo mais elaborado é submetido à análise, que indicará a necessidade ou não de parâmetros adicionais. Portanto, este teste tem como objetivo tentar corrigir algum erro que tenha sido cometido quando da identificação do modelo.

Em seguida, menciona-se um método que testa a significância conjuntamente das m primeiras autocorrelações dos resíduos. O teste estatístico desenvolvido por Ljung e Box (1978) é dado por

∑=

− −

+

= ^m

k

rk

k n n

n m LB

1

2 1 (ˆ) )

( ) 2 ( )

( ε , (3.16)

e pode ser usado para este propósito. Sob a hipótese nula de que não existe autocorrelação nos resíduos para as defasagens de 1 a m de um modelo ARIMA(p,d,q), o teste LB tem uma distribuição assintótica χ²(m-p-q), desde que m/n seja pequeno e m é moderadamente grande. Alguns estudos de simulação mostraram que o teste LB talvez não tenha muito poder (veja, por exemplo, Hall e McAleer, 1989). Mesmo com essa propriedade ruim do teste, ele é quase sempre utilizado devido à fácil implementação computacional.

Pó último, uma suposição usual é de que as realizações que compõe a série de resíduos sejam independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma distribuição normal de média 0 e uma variância comum σ². Dada essa suposição, pode-se usar ferramentas comuns para validar as estimativas dos parâmetros e realizar os testes t.

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Um teste que pode ser utilizado para verificar a normalidade dos resíduos é o Jarque Bera. Esta estatística de teste é

( )^ˆ ³

24 ˆ 24 6

ˆ 3 6

ˆ 0

2 2 2

− +

 =











 −

 +











= − n K

nS n K n

JB S (3.17)

onde S é o coeficiente de assimetria e K é o coeficiente de curtose.

Supondo que S e K são normais estas estatísticas tem distribuição assintoticamente χ2 com dois graus de liberdade.

A hipótese de normalidade dos dados é rejeitada a nível de confiança (1 - α) se ^JB^>χ₂²⁻¹(¹⁻α)_.

Outros testes podem ser utilizados como, por exemplo, o teste de Anderson Darling e ferramentas como o P-P plot e o Q-Q plot.

3.7.

Modelos SARIMA

Os processos encontrados na prática, além de raramente serem estacionários, apresentam muitas vezes componentes sazonais. Assim Box &

Jenkins formularam seus modelos para séries temporais com componentes sazonais dando origem aos modelos SARIMA.

Nesse caso a modelagem segue a equação:

S t d t

DS

S Z B B a

B

B) ( ) ( ) ( )

( Φ ∇ ∇ =θ Θ

φ _, ^(3.18)

onde:

φ(B), operador não sazonal auto-regressivo; φi, parâmetros auto-regressivo não-sazonais; ∇d =(1-B)d, operador diferença não sazonal de ordem d; Φ(Bs), operador sazonal auto-regressivo; Φi, parâmetros auto-regressivo sazonais; ∇Ds

=(1-Bs)D, operador diferença sazonal de ordem D; θ(B), operador não sazonal de médias móveis; θi, parâmetros de médias móveis não sazonais; Θ(Bs), operador sazonal de médias móveis; Θi, parâmetros de médias móveis sazonais.

Um modelo com esta estrutura é denominado SARIMA(p,d,q)x(P,D,Q).

Ressalta-se que o procedimento de obtenção deste modelo segue os mesmos passos empregados para achar o modelo ARIMA não sazonal. Isto quer dizer que, no SARIMA, faz-se também a observância do comportamento da FAC e da FACP, entretanto, olha-se para as defasagens sazonais (para uma série mensal, por exemplo, são as defasagens 12, 24, 36, etc).

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