V Curso de Especialização em Mercado Financeiro e Investimentos - MERFI 2017-2018

Econometria Aplicada

Parte I

V Curso de Especialização em Mercado

Financeiro e Investimentos - MERFI

Econometria

•

Econometria é a aplicação de matemática e estatística a dados

econômicos

•

É ramo da economia que visa dar conteúdo empírico às relações

O PROCESSO ECONOMÉTRICO

Teorias e hipóteses

Formulação matemática/estatística

Modelagem econométrica

Recursos computacionais

Resultados

Análise: inferência estatística, testes de robustez

Conclusões: os resultados são robustos?

Sim Não

Publicação

dados

𝑃_𝑡 = 𝑃_𝑡−1 + 𝑢_𝑡

Eviews, R, Stata, Matlab, SAS

Dependent Variable: LOG(P) Method: Least Squares Date: 03/11/17 Time: 23:41 Sample (adjusted): 2 100 Included observations: 99 after adjustments

HAC standard errors & covariance (Bartlett kernel, Newey-West fixed bandwidth = 4.0000)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.364198 0.292360 11.50705 0.0000 LOG(P(-1)) 0.095728 0.077168 1.240518 0.2178 R-squared 0.009170 Mean dependent var 3.720403 Adjusted R-squared -0.001045 S.D. dependent var 0.939522 S.E. of regression 0.940012 Akaike info criterion 2.734148 Sum squared resid 85.71146 Schwarz criterion 2.786574 Log likelihood -133.3403 Hannan-Quinn criter. 2.755360 F-statistic 0.897708 Durbin-Watson stat 1.954792 Prob(F-statistic) 0.345752 Wald F-statistic 1.538885 Prob(Wald F-statistic) 0.217776

-4 -3 -2 -1 0 1 ₀ 1 2 3 4 5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Residual Actual Fitted

Tipos de variáveis em Finanças

Variáveis

•

Comportamento temporal: Estacionárias x

Não-estacionárias (Integradas/raízes unitárias)

•

Quanto à determinação:

–

endógenas (y

)

–

exógenas (x

)

–

pré-determinadas (y

)

Tipos de Dados em Econometria

•

Tipos de dados: séries temporais (

t

); dados cross-seccionais

(

i

); dados em painel (longitudinais) (

i,t

)

Retorno de ativos financeiros

•

capitalização discreta:

•

capitalização contínua:

1

1 1

1

t t t

t

t t

P

P

P

R

P

P





 

ln

ln

ln

t t t

t

P

R

P

P

P

Análise de Regressão

•

A principal ferramenta da econometria é a regressão

•

Objetivo: descrição e avaliação da relação entre uma

variável

(dependente)

e

uma

ou

mais

variáveis

(independentes, explanatórias, regressores).

•

A regressão pode ser simples (1 variável independente) ou

múltipla (diversas variáveis independentes)

Notação

•

Denota-se a variável dependente por

y

e as variáveis

independentes por

x

, x

, ... , x

onde

k

é o número de variáveis

independentes.

•

Nomes alternativos para as variáveis

y

e

x

:

y x

variável dependente variáveis independentes regressando regressores

variável efeito variáveis causais

Regressão x Correlação

• Quando dizemos que y e x são correlacionadas, significa que estamos tratando y e x de uma

maneira simétrica.

• Coeficiente de correlação: _{𝜌𝑥,𝑦 =} 𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)

𝜎_𝑥𝜎_𝑦

• Onde cov(x,y) = covariância entre x e y; _x = desvio padrão de x; _x = desvio padrão de y.

• Na regressão, tratamos a variável dependente (y) e as independentes (x’s) de modo diferente.

• A variável y é supostamente aleatória ou “estocástica”, i.e. possui uma distribuição de

probabilidades.

Regressão Linear Simples

• Se temos de valores passados para y e x, podemos construir um

gráfico de pontos com esses valores como coordenadas.

• A regressão consiste em encontrar uma reta que passe pelos pontos com o melhor ajustamento possível.

• • • • • • • •

• • • • • • • •

Regressão Linear Simples

• • • • • • • •

• • • • • • • •

y

a

b

= tg

q

q

a = intercepto ou constante; q = ângulo

Exemplo de Regressão Linear Simples: CAPM

•

CAPM: Modelo de Precificação de Ativos de Capital

•

Pressupõe que, para investidores com carteiras

diversificadas, existe uma relação linear entre o retorno em

excesso de uma ação e o retorno em excesso da carteira de

mercado:

( ) ou ( )

R = retorno do ativo; R =retorno da carteira de mercado; R = retorno do ativo livre de risco.

Os coeficientes (Jensen) e (risco sistemático) pode ser estimado

a f m f a f m f

a m

f

R R b R R R R b R R

a b

     

através da regressão:

( )

a f m f

t t t t t

Exemplo de Regressão Linear Simples: CAPM

• Sejam os seguintes dados sobre os retornos em excesso de um fundo de investimentos e os retornos em excesso de um índice de mercado:

• Conforme a teoria do CAPM, queremos saber se há uma relação entre x e y com base nos dados disponíveis e se o beta é positivo. O primeiro passo

seria construir um gráfico de dispersão.

ano

Retorno em excesso do fundo

= Ra – _Rf

Retorno em excesso do índice de mercado

= Rm - _Rf

1 17.8 13.7

2 39.0 23.2

3 12.8 6.9

4 24.2 16.8

Gráfico

0 5 10 15 20 25

Excess return on market portfolio

E x c e ss r e turn on f un d X X X

Retorno em excesso da carteira de mercado (Rm_-Rf₎

A Equação da Reta de Regressão

• Podemos usar a equação geral da linha reta,

y=a+bx

para encontrar a linha que melhor se ajusta aos dados.

• Entretanto, essa equação (y=a+bx) é determinística: os pontos teriam de estar exatamente sobre a

reta.

• A posição dos pontos em relação à reta é probabilística. Então, é necessário acrescentar um erro aleatório, u na equação.

y_t = a + bx_t + u_t

O erro aleatório

•

O erro pode capturar vários aspectos:

- Um modelo é uma simplificação do mundo real

- Sempre haverá variáveis faltantes para explicar

y

- Pode haver erros de mensuração de

y

que não podem ser

modelados.

Determinação dos coeficientes da regressão

• Como determinar a e b?

• Escolhemos a e b de modo que as distâncias verticais entre os pontos e a

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ = OLS)

•

O método mais comum para ajustar uma reta aos dados é

conhecido como mínimos quadrados ou

“

ordinary least

squares

”

(OLS).

•

As distâncias entre cada ponto e a reta são elevadas ao

quadrado e somadas. Essa soma é então minimizada.

•

Notação:

y

são os dados reais

t

𝑦

são os pontos correspondentes sobre a reta

• O método dos mínimos quadrados foi

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

$

a

2 5 2 4 2 3 2 2 2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

u

u

u

u

u











 5 1 2 ˆ t t u





ˆ

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

•

Os estimadores de mínimos quadrados dos coeficientes de uma

regressão simples são:

•

A demonstração desses estimadores encontra-se em Brooks (2014),

pag. 127.

2 2

ˆ

_e

_ˆ

ˆ

t

x y

Txy

y

x

x

Tx

b





a

 

b



Exemplo em finanças: CAPM

• No exemplo do CAPM, utilizar as 5 observações para estimar a regressão produz as estimativas _𝛼 = -1.74 e 𝛽 = 1.64.

• A equação da reta será:

• Pergunta: se uma analista afirma que espera que o mercado produzirá um

retorno 20% maior que a taxa livre de risco no próximo ano, qual será o retorno esperado do fundo X?

• Solução: y = -1.74 + 1.64*x, portanto, para x = 20 obtém-se o valor esperado

de y: 𝑦_𝑡 = −1,74 + 1,64 × 20 = 31,06 → 𝐸 𝑅_𝑋 = 31,06%

t

t

x

Exemplo em finanças: CAPM

•

Modelo econométrico:

•

Fórmulas:

•

Solução:

•

Equação:

( )

a f m f

t t t t t

R  R  a b R R u

2 2

ˆ t t _{e ˆ} ˆ

t

x y Txy

y x x Tx

b   a  b







y x y*x x^2

R L R*L L^2

1 17.8 13.7 243.9 187.7 1.6417 2 39.0 23.2 904.8 538.2

3 12.8 6.9 88.3 47.6 -1.7366 4 24.2 16.8 406.6 282.2

5 17.2 12.3 211.6 151.3 22.2

14.6 1,855.1 1,207.1 402.36

𝛽 =

Exemplo em finanças: CAPM

•

Interpretação do resultado:

•

O intercepto (

a

de Jensen) negativo indica que esse

fundo de ações perde sistematicamente para o

mercado, não sendo atraente, pois uma estratégia

passiva (carteira de mercado) seria melhor (

a 

0).

•

O

b

= 1,64 indica risco sistemático elevado. Quando

o retorno do mercado aumenta, o retorno do fundo

aumenta mais que proporcionalmente; quando o

retorno do mercado cai, o retorno do fundo cai mais

que proporcionalmente.

t

t

x

Exemplo contábil: relação lucro x retorno da ação

•

Desejamos saber se a empresa X apresenta uma relação significante

entre o retorno da sua ação e a taxa de crescimento dos seus lucros

trimestrais. Os lucros são divulgados com 3 meses de defasagem e,

portanto, o mercado só é informado sobre o lucro 3 meses após o

encerramento do período. A amostra é de 5 observações, conforme

abaixo:

Exemplo contábil: relação lucro x retorno da ação

2 2

ˆ t t _{e ˆ} ˆ

t

x y Txy

y x x Tx

b   a  b







y x y*x x^2

R L R*L L^2

1 8% 15% 1.20% 0.0225 0.2463

2 9% 12% 1.08% 0.0144

3 10% 16% 1.60% 0.0256 0.0545

4 9% 11% 0.99% 0.0121

5 7% 10% 0.70% 0.01

9% 13% 5.57% 0.0846 3%

𝛽 =

População e Amostra

• População é a coleção total de todos os objetos ou indivíduos a serem estudados, por exemplo:

• Estamos interessados em População

prever o resultado o eleitorado todo de uma eleição

• Uma amostra é uma seleção de alguns itens da população: um grupo de eleitores.

• Uma amostra aleatória e uma amostra em que cada item individual tem a mesma probabilidade de ser escolhido.

FRP e FRA

• A função de regressão populacional (FRP) é uma descrição do modelo que está supostamente gerando os dados reais e que representa a verdadeira relação entre as variáveis (os valores verdadeiros de a e b).

• A função de regressão amostral (FRA) é o modelo obtido com base nos dados amostrais

• A FRP é

• A FRA é

• Usamos a FRA para inferir os parâmetros da FRP.

t

t x

yˆ 

a

b

t t

t

x

u

y



a



b



t t

t y y

Linearidade

• No método de mínimos quadrados, precisamos de um modelo linear nos parâmetros (a e b ), mas não necessariamente linear nas variáveis (y e x).

• Linear nos parâmetros significa que os parâmetros não estão multiplicados entre si, divididos, elevados ao quadrado ou ao cubo, etc.

• Alguns modelos podem ser transformados em modelos lineares através de uma substituição ou manipulação adequada, por exemplo, o modelo de regressão exponencial

• Fazendo y_t=ln Y_t e x_t=ln X_t (ln= log natural)







a

b

ln

ln

t

u

t t t t t

Modelos Lineares e Não-lineares

• Isso é conhecido como modelo de regressão exponencial, onde os coeficientes são interpretados como elasticidades.

• Similarmente, se uma teoria sugere que y e x devem ser inversamente

relacionados:

então a regressão pode ser estimada por mínimos quadrados, substituindo

• Alguns modelos são intrinsicamente não-lineares, e.g.

t t

t u

x y 

a

b

t t

x

z



1

t t

t

x

u

Premissas do Modelo Clássico de Regressão Linear

Os resíduos têm média zero

A variância dos resíduos é constante e finita:

homoscedasticidade

Ausência de autocorrelação: os resíduos

são independentes entre si

Premissas da Regressão Linear

•

Uma premissa alternativa à 4, ligeiramente mais

forte, é que os

x

’s

são não-estocásticos ou fixos

em amostras repetidas ou, ainda exógenas

•

Uma 5

_{premissa é necessária para permitir}

inferências sobre os parâmetros da população (os

verdadeiros

a

e

b

) a partir dos parâmetros

amostrais (

𝛼

e

𝛽

):

Propriedades do estimador de mínimos

quadrados

$

Estimativa da variância dos erros (resíduos)

2

t

u





2

1

t

u

T

s





2

1

_ˆ

t

u

T

Estimativa da Variância dos erros (resíduos)

2

2 ˆ

2

t

u s

T









t

u

Tarefas

• Estudar:

– Brooks, C. (2014). Introductory econometrics for finance, 3rd ed. Cambridge. Capítulos 1, 2 e 3. PDF do livro, disponível no site da disciplina:

https://sites.google.com/site/otaviomedeiros2009/home/econometria_aplicada_merfi . (ESSENCIAL)

– Gujarati, D.N. (2004). Basic econometrics, 4th ed. McGraw-Hill. Chapter 1 – Introduction. (Site da disciplina) (opcional)

• Fazer exercícios:

– Brooks (2014), chapter 1, self study questions (pag. 27)

– Brooks (2014), chapter 3, self study questions (paq. 131)

– Lista de Exercícios 1 (site)

– Lista de exercícios 2 (site)

• Instalar software no seu computador:

– Eviews (site: abrir arquivo zipado e instalar usando SETUP)

• Assistir vídeos:

– Introductory Econometrics for Finance Lecture 1 (site)