EXISTÊNCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP S NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA PARTE NÃO LINEAR

(1)

EXISTÊNCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP’S NÃO LINEAR COM

ACOPLAMENTO NA PARTE NÃO LINEAR

Antonio da C. Gomes

Universidade Federal do Pará Campus Belém, PA E-mail: toinhocg@ig.com.br

Ducival C. Pereira

Universidade Federal do Pará Campus Belém, PA e

Faculdade Ideal

Rua dos Mundurucuis, 1316. Belém, PA

E-mail: ducival@oi.br

Mauro L. dos Santos

Universidade Federal do Pará Campus Belém, PA E-mail: ls@ufpa.com.br

Neste trabalho vamos estudar existência, unicidade e comportamento assintótico de solução fraca global de um problema misto de evolução.

A existência será provada via método de Faedo-Galerkin e o teorema de compacidade de Aubin-Lions. A unicidade, será mostrada de forma standard e, para o comportamento assintótico usaremos o método da energia.

1 Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar a existência e unicidade de solução fraca global, bem como o decaimento exponencial para o sistema não linear de equações diferenciais parciais com acoplamento na parte não linear:

1 2

0 0

( ( )) ( ) (0, )

( ) ( ) ( ) 0 (0, )

( ,0) ( ) em ( ,0) ( ) em

t t

u a l v u f u em Q T v a l u v f v em Q T

P u t v t sobre T

u x u x v x v x

− Δ = = Ω×

⎧ ⎪ − Δ = = Ω×

⎪⎪ = = Σ = ∂Ω×

⎨ ⎪ = Ω

⎪ = Ω

⎪⎩

Aqui Ω denota um aberto limitado do IR ⁿ , com fronteira suave. Para cada real fixo, porém arbitrário

denota o cilindro com

fronteira lateral

∂Ω = Γ

0, T > Q

(0, ) Q = Ω × T

(0, ) T Σ = Γ × .

2 Hipóteses

Consideraremos as hipóteses:

1 ) _i : , 1, 2

H f Ω× IR → IR i = , são Lipschitzianas, ou seja, existem constantes

0, 1, 2,

i i

γ > = tais que:

( ) ( ) , , e (0) 0.

i i i i

f s − f t ≤ γ s t − ∀ s t ∈ IR f =

2 )

H A aplicação é contínua, com

:

a IR → IR

0 < α 0 ≤ a t ( ), para todo , sendo

t ∈ IR

{

0 1 }

1 ; max , ₂

α γ γ γ γ

> λ = , onde λ ₁

é o primeiro auto-valor associado ao operador −Δ .

2 3 ) : ( ) ,

H l L Ω → IR é uma forma linear e contínua, isto é, ∃ ∈ g L ² ( ) Ω tal que:

( ) _g ( ) ( ) ( ) , 2 ( ).

l u l u g x u x dx u L

Ω

= = ∫ ∀ ∈ ^Ω

4 )

H O operador é lipschitz-contínuo, com constante

a ,

A isto é:

( ) ( ') ' , , ' .

a t − a t ≤ A t t − ∀ t t ∈ IR

(2)

3 Existência de Solução (

Fraca Global

Teorema 3.1 – Tomando as hipóteses e

então existe um par de funções tais que:

H 1 − H ₃

)

∈ ⎣ Ω ∩ Ω ⎦

2 2

0 0

( u v , ) ∈ L ( ) Ω × L ( ), Ω ( , ) u v

)( )

( )

( )( )

( )

{ } { }

'

1 1

'

2 2

2 1

2 0 0

( , ) ( ) ,

( ), (3.1)

( ) ( , ) ( ) ,

( ), (3.2)

(0), (0) , ( ),

m m m

m

m m m

m

m m m m

u h a l v u h

f u h

PA v h a l u u h

f u h

u v u v em L

− Δ

=

− Δ

=

= Ω

( ) (

²

2 1 2

) ( , ) 0, ;

0

( ) 0, ; ( ) ;

i u v ⎡ L T H C T L ⎤

( ² ¹ ) ²

) ( , ) _t _t (0, ; ( ) ; ii u v ∈ L T H

⁻

Ω

0 0

) (0) e (0) ; iii u = u v = v

( )

1 1 1

) d ( , ) ( ( )) , ( ( ), );

iv u h a l v u h f u h

dt + ∇ ∇ =

₁

( )

2 2 2

) d ( , ) ( ( )) , ( ( ), ).

v v h a l u v h f v h

dt + ∇ ∇ =

)

2

Para toda no

sentido de

1 1 , 2 0 (

h h ∈ H Ω '(0, ).

D T

Demonstração:

Consideremos { } ^w ^j _{j IN}

_∈

^como

sendo um conjunto ortonormal completo de formado por auto-vetores do operador e

1 0 ( ) H Ω

−Δ { } ^λ ^j _{j IN}

_∈

a correspondente sequência de auto-valores, em outras palavras { } ^w ^j _{j IN}

_∈

é uma base Hilbertiana de H ¹ ₀ ( ) Ω .

Para cada 1 , vamos

considerar o conjunto

, 2, 3,...

m =

[ 1 , 2 ,..., ]

m m

V = w w w

como sendo o subespaço gerado por . O problema aproximado (PA), associado a (P) consiste em encontrar uma solução sob a forma:

1 , 2 ,..., _m

w w w

( )

1 1

( ), ( )

( ) ( ), ( ) ( ) ,

m m

jm j jm j m m

j j

u t v t

t w x t w x V V

θ φ

= =

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ∈ ×

⎝ ∑ ∑ ⎠

t sendo os coeficientes θ _jm ( ), t φ _jm ( ) de classe , determinados de modo a satisfazer (PA):

C

^∞

para todo h h ₁ , ₂ ∈ V _m e j = 1,..., . m

Aqui, são aproximações de e pertencentes a , podemos aproxima-las por combinações lineares finitas dos , ou seja, existem

0 _m , 0

u v _m

, ( 1,..., )

jm jm

u 0 v ₀ L ² ( ) Ω w j

IR j m

α β ∈ =

0 0

1 ,

m

m jm j

j

u α w u

=

= ∑ →

v 0

m m

tais que:

forte em L ² ( ) Ω

0 1

,

m

m jm j

j

v β w

=

= ∑ → ^{forte em} ^L ² ^{( )} ^Ω Logo tem-se u _m (0) = u ₀ e

(0) 0

v m = v . E como existe um única combinação linear dos vetores da base segue que

m , V

jm (0) jm

θ = α e

(0) ( 1,..., )

jm jm j m

φ = β = .

Fazendo alguns cálculos, transformamos o sistema (PA) no sistema equivalente PA abaixo:

( )

{ } { }

'

1 '

2

0 0

( ) ( ) ( )

( ),

( ) ( ) ( ) ( )

( ),

(0), (0) , ( ),

jm j m jm

m j

jm j m jm

m j

m m m m

t a l v t

f u w

PA t a l u t

f u w

u v u v em L

θ λ θ

φ λ φ

−

=

−

=

= Ω

O que equivale à forma matricial:

( )

' 1 1 ' 1 2 1

'

( ) 0

0 ( )

m m

m m m

m m

mm mm

a l v

a l v θ λ θ

θ θ

λ θ

θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

% #

#

(3)

( )

1 1

1 2

1

( ), ( ),

(3.3) ( ),

m m

f u w f u w

f u w

⎡ ⎤

⎢ ⎥

+ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

#

( )

' 1 1 ' 1 2 1

'

2 1

2 2

2

( ) 0

0 ( )

( ), ( ),

(3.4) ( ),

m m

m m m

m m

mm mm

m m

a l u

a l u f v w

f v w f v w φ λ φ φ φ

λ φ

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

+⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

% #

#

o

u seja, para a equação (3.3), temos:

X ' = AX + B , onde se tem:

( )

' 1 ' 1 2

'

( ) 0

' ;

0 (

m

m m

mm

a l v

X A

a l v

θ λ

θ θ λ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

# %

)

1 1 m m

mm

X θ θ θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

# ^e

( )

1 1

1 2

1 ( ), ( ), ( ),

m m

f u w f u w B

f u w

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

#

Observe que podemos escrever:

[ ]

0 0 1 2

( , )

(0) onde _m _m ... _mm ^T

X AX B F t X

X X X α α α

= + =

⎧⎪ ⎨

= =

⎪⎩

Para a equação (3.4), o resultado é análogo.

Conseguimos mostrar que esse sistema satisfaz todas as hipóteses do teorema de Carathéodory, o que nos garante existência de uma solução

{ ^{u t v t} _m ^{( ),} _m ^{( )} } ^∈ [ ^0, ^t _m ) ^× [ ^0, ^t _m ) ^, ^t _m ^< ^T ₀ ^.

Satisfeitas as condições exigidas pelo Teorema de Carathéodory, utilizaremos alguns resultados de análise funcional para demonstrarmos a próxima etapa (estimativas a priori), enumeradas da seguinte forma: Estimativa I (encontrar limitação para as funções { u t v t m ^{( ),} m ^{( )} } ) e Estimativa II (encontrar limitação para

{ ^{u t v t} ^m ^' ^{( ),} ^m ^' ^{( )} } ), onde poderemos prolongar a solução { u t v t m ^{( ),} m ^{( )} } ao intervalo

[ ] ^0, ^T (passagem ao limite), feito isso faremos ainda a verificação dos dados iniciais e assim passaremos ao próximo capítulo.

4 Unicidade

Teorema 4.1 (de Unicidade): O problema (P) possui uma única solução.

Demonstração:

[ ]

Sejam { u v 1 , 1 } { , u v 1 , 2 } : 0, T 0 → L ² ( ), Ω funções vetoriais soluções de (P), temos então:

1 1 1 1 1 1 1 1

( , ) ( ( )) ( )

d u h a l v u h dx f u h dx

dt +

_Ω

∫ ∇ ∇ =

_Ω

∫

2 1 2 2 1 1 2 1

( , ) ( ( )) ( )

d u h a l v u h dx f u h dx

dt +

_Ω

∫ ∇ ∇ =

_Ω

∫

1 2 1 1 2 1 1 2

( , ) ( ( )) ( )

d v h a l u u h dx f v h dx

dt +

_Ω

∫ ∇ ∇ =

_Ω

∫

1 2 1 1 2 1 1 2

( , ) ( ( )) ( )

d v h a l u u h dx f v h dx dt +

_Ω

∫ ∇ ∇ =

_Ω

∫

Vamos considerar as numerações (4.1), (4.2), (4.3) e (4.4) para as equações encontradas nessa ordem.

Façamos (4.1) – (4.2) e (4.3) – (4.4), para obter:

1 2 1 1 1 1

( , ) ( ( ))

d u u h a l v u h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ ∇

( )

2 2 1 1 1 1 2 1

( ( )) ( ) ( )

a l v u h dx f u f u h dx

Ω Ω

− ∫ ∇ ∇ = ∫ −

1 2 2 1 1 2

( , ) ( ( ))

d v v h a l u v h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ ∇

( )

2 2 2 2 1 2 2 2

( ( )) ( ) ( )

a l u v h dx f v f v h dx

Ω Ω

− ∫ ∇ ∇ = ∫ −

ou seja,

1 2 1 1 1 1

( , ) ( ( ))

d u u h a l v u h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ ∇

( 1 ( ) 1 1 ( ) 2 ) 1 ( ( )) 2 2 1

(4.5)

f u f u h dx a l v u h d

Ω Ω

= ∫ − + ∫ ∇ ∇ ^x

1 2 2 1 1 2

( , ) ( ( ))

d v v h a l u v h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ ∇

(4)

( 2 ( ) 1 2 ( ) 2 ) 2 ( ( )) 2 2 2

(4.6)

f v f v h dx a l u v h d

Ω Ω

= ∫ − + ∫ ∇ ∇ ^x

No que se segue, estaremos utilizando as identidades:

( ( 1 2 ), 1 ) ( ( )) 1 ( 1 2 ) 1

d u u h a l v u u h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ − ∇

( ( ( ))

2

( ( ))

1

)

2 1

(

1

( )

1 1

(

2

) )

(4.7)

a l v a l v u h dx f u f u h dx

Ω Ω

= − ∫ ∇ ∇ + ∫ −

¹

( ( 1 2 ), 2 ) ( ( )) 1 ( 1 2 ) 2

d v v h a l u v v h dx

dt − +

_Ω

∫ ∇ − ∇

( ( ( ))

2

( ( ))

1

)

2 2

(

2

( )

1 2

( )

2

(4.8)

a l u a l u v h dx f v f v h dx

Ω Ω

= − ∫ ∇ ∇ + ∫ − ⁾

²

i

Note que a identidade (4.7) é equivalente a equação (4.5), e a identidade (4.8) é equivalente a (4.6).

Logo, trabalharemos agora com as equações (4.7) e (4.8).

Modulando (4.7) e (4.8) com

e , usando o fato de

1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) h t = u t − u t

2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) h t = v t − v t

i ( ),

f ∈ Lip γ para e as

adicionando, chegamos a seguinte inequação:

1, 2 i =

2 2

1 2 1 2

2 1 1 2

( ( )) ( )

d d

u u v v

dt dt

a l v u u dx

a l u v v

Ω

− + −

+ ∇ −

∫

2 1 2 1 2

2 2

1 1 2 2 1 2

( ( )) ( ( )) ( )

(4.9)

a l v a l v u u u dx

a l u a l u v v v dx

u u dx v v dx

γ γ

Ω

Ω Ω

≤ − ∇ ∇ −

+ − ∇ ∇ −

+ − + −

∫

∫ ∫

Apliquemos em (4.9) as hipóteses e a desigualdade de Cauchy- Schwartz, daí então vem que:

2 , 3 , H H H

{ }

2 2 2

1 2 1 2 0 1 2

2

0 1 2 1 1 2 2 1 2

2 1 2 2 1 2

2 2

1 2 1 2

(4.10)

d d

u u v v u u

dt dt

v v C v v u u u C u u v v v

u u v v dx

α α

γ

Ω

− + − + −

+ − ≤ − −

+ − −

+ ∫ − + −

Aplicando-se a desigualdade de Young em (4.10) e agrupando os termos semelhantes, temos:

{ }

2 2

1 2 1 2

2 2

0 1 2 1 2

2 2

0 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

0 2

2 2

2 2 1 2

0 2 2

(4.11) 2

d d

u u v v

dt dt

u u v v

C u u u

C v v v

α α

α γ

− + −

+ − + −

≤ − + −

⎧ ⎫

+ ⎨ + ⎬ −

⎩ ⎭

⎧ ⎫

+ ⎨ + ⎬ −

⎩ ⎭

Façamos:

2 2

1 2 0

2 2

2 2 0

( ) 2

t C u

t C v

ϕ γ

α

ξ γ

α

= +

, daí resulta:

2 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

( )

( ) (4.12)

d d

u u v v t u u

dt dt

t v v

ϕ ξ

− + − ≤ −

+ −

2 Seja μ ^{( )} ^t = ^sup { ϕ ^{( ), ( ) ,} ^t ξ t } em

( ) ^0, ^T ^, ^então:

{ }

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 (4.13)

d d

u u v v

dt dt

u u v v

μ

− + −

≤ − + −

Integrando (4.13) em [ ] ^{0, ,} ^t

obtemos:

4

{ }

2 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2 2

1 2 1 2

0 (0) (0)

(0) (0)

.

t

u u v v u u

v v

u u v v dx

μ

− + − − −

− −

≤ ∫ − + −

2

(5)

Tomando,

2 1 2 1 2

( ) t u u v v

ρ = − + − ²

ds

e aplicando a desigualdade de Gronwall no resultado obtido, teremos então:

0 ( ) exp ( ) .

t

t s

ρ ≤ α ^⎧ ^⎪ ⎨ μ ^⎫ ^⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ∫ ⎭

Como α = 0 e sendo ρ ( ) t limitada, então ρ ≡ 0 , isto é:

2 2

1 2 1 2 0, (0, ).

u − u + v − v = ∀ ∈ t t Segue portanto que

1 2 1 2 0,

u − u + − v v = ou seja:

1 ( ) 2 ( )

u t = u t e v t ₁ ( ) = v t ₂ ( ).

5 Decaimento Exponencial

Teorema 5.1 ( Decaimento Exponencial):

A solução do problema (P) decai

exponencial-mente quando isto é, existem constantes

, t → ∞

δ > 0 e λ > 0 tais que:

( ) (0) ^t

E t ≤ λ E e

⁻

^δ , onde

{ ²

²

² }

( ) 1

2 ^L ^L

²

E t = u + v é a energia potencial associada a (P).

Demonstração:

Com efeito, tomemos o problema (P) compondo a primeira equação com u e a segunda com v , resulta em:

( )( ) ( )

1 2

( , ) ( ) , ( ), (5.1)

( , ) ( ) , ( ), (5.2)

t t

u u a l v u u f u u v v a l u v v f v v

− Δ =

Adicionando as duas equações (5.1) e (5.2), usando identidade de produto interno e norma e a energia potencial associada a (P), segue-se que:

( ) ( )

{ }

2 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) (5.3)

d E t a l v u a l u v dt

f u u f v v dx

Ω

+ ∇ + ∇

= ∫ +

Desde que por H ₂ , 0 ₀ a ( )

( )

{ }

2 2

0 1 2

( )

( ) ( )( ) (5.4)

d E t u v

dt

f u u f v v dx α

Ω

≤ − ∇ + ∇

+ ∫ +

Por H ₁ , temos:

{ ^{f u u} ¹ ^{( )} ^{f v v dx} ² ^{( )( )} } ^γ ( ^u ² ^L

²

^v ² ^L

²

)

Ω

+ ≤ +

∫

Logo, finalmente podemos reescrever (5.4) como:

(

² ²

) (

²² ²²

)

( )

0

(5.5)

L L

d E t u v u v

dt ≤ − α ∇ + ∇ + γ +

Apliquemos a desigualdade de Poincaré, para assim, obtermos:

(

⁰

) (

²² ²²

)

( )

_L _L

(5.6)

d E t C u v

dt ≤ − α − γ +

Tomemos δ > 0, de modo que:

0 C 0

α − ≥ > γ δ

Dessa forma, ₀ , C

α ≥ γ onde

0

1 max ,

C α γ γ

λ

⎧ ⎫

> ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ^.

Assim, de (5.6), vem que:

( ) ( ) (5.7)

d E t E t dt ≤ − δ

Agora, usando a técnica de integração por variáveis separáveis, no intervalo [ ] ^0, ^t em (5.7), obtemos:

( ) (0) ^t , 0,

E t ≤ λ E e

⁻

^δ ∀ ≥ t onde λ = 1 . Segue portanto o resultado requerido.

Referências

[1] BRÉZIS, H. Análisis Funcional. Teoria y Aplicaciones. Alianza Editorial.

Madri, Paris, 1984.

α t

< ≤ ,

então de (5.3) obtemos: [2] CORRÊA, F.J.S.A, MENEZES,

Silvano D.B, FERREIRA, J., On a

class problems involving a nonlocal

operator, Communications a Applied

Mathematics and Computations 147

(2004) 475-489.

(6)

[3] LIONS, J.L. quelques Méthodes de resolutions des Problémes aux Lites Non Linéaris, Dunod, Paris 1969.

[4] RIVERA, J.E Muñoz. Introdução à

Teoria das Distribuições e Equações

Diferencias Parciais. LNCC, Petrópolis

2004.

EXISTÊNCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP S NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA PARTE NÃO LINEAR