Modulação de Amplitude de Pulso e Quantização

UnB - FT – ENE

Modulação de Amplitude de Pulso e Quantização

Introdução

A modulação por código de pulsos — em inglês, pulse-code modulation (PCM) — é a técnica básica de digitalização de um sinal analógico ou de conversão analógico para digital (CAD). Ela consiste de três operações:

amostragem, quantização e codificação — veja diagrama de bloco mostrado na Figura 1(a). Fundamentalmente, o que a técnica PCM propicia é a representação de um sinal analógico por uma sequência de bits.

A operação de amostragem toma amostras do sinal analógico x (t ) a intervalos regulares de T

_s

segundos ou, equivalentemente, à taxa de f

_s

 1 T

_s

amostras por segundo — o subscrito s é a letra inicial de samplig:

amostragem, em inglês. Comumente, se utiliza a unidade de medida hertz (Hz) para f

_s

, em vez de amostras por segundo. Pode-se considerar que a operação de amostragem realiza uma discretização do tempo.

A operação de quantização substitui a amplitude analógica de cada amostra x ( nT

_s

) por uma amplitude discretizada (ou quantizada) x ˆ ( nT

_s

) , pertencente a um conjunto finito com L valores, denominados níveis de quantização.

A operação de codificação realiza um mapeamento biunívoco entre os níveis de quantização e um conjunto de L palavras binárias de b bits: ou seja, cada amostra quantizada x ˆ ( nT

_s

) é representada biunivocamente por uma sequência c

_n

de b bits. Considerando que são tomadas f

_s

amostras por segundo de x (t ) , tem-se que a representação digital PCM desse sinal despende uma taxa de R

_b

 f

_s

b bits por segundo (bit/s ou bps).

Por exemplo, no sistema telefônico, os sinais de voz são amostrados à taxa de f

_s

 8.000 amostras por segundo (ou 8 kHz), a quantização realizada utiliza L  256 níveis e cada amostra quantizada é codificada em uma palavra binária de b  8 bits. Portanto, a representação PCM de sinais de voz no sistema telefônico produz bits à taxa de R

_b

 8.0008 bps  64.000 bps  64 kbps.

Figura 1 – Diagrama de bloco do esquema PCM: (a) modulação; (b) demodulação.

Amostragem Quantização Codificação

) (t

x x ( nT

_s

) x ˆ ( nT

_s

) c

_n

t x(t)



01 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1  c

n

Decodificação Interpolação (filtro PB)

) ˆ ( t x )

ˆ ( nT

_s

n

x c



01 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1  c

n

t )

ˆ(t x

(b)

(a)

A Figura 1(b) mostra o diagrama de bloco do demodulador PCM. A operação de decodificação consiste em gerar uma amostra quantizada x ˆ ( nT

_s

) para cada palavra binária c

_n

do sinal PCM. Em seguida, uma operação de interpolação das amostras preenche o espaço entre amostras, reconstruindo uma versão x ˆ ( t ) do sinal original x (t ) . Em razão da operação de quantização, x ˆ ( t ) não será idêntico a x (t ) , mesmo sob a hipótese teórica do uso de dispositivos ideais. Quando a amplitude da amostra original x ( nT

_s

) é trocada por um dos níveis de quantização, há uma perda irreversível de informação. Contudo, aumentando-se a quantidade L de níveis de quantização, essa perda pode ser arbitrariamente reduzida, tornando-se o sinal x ˆ ( t ) mais parecido com x (t ) . Entretanto, para aumentar L

, é preciso aumentar o valor de b e, consequentemente, R

_b

também aumentará.

Na operação de amostragem, toda informação contida entre as amostras { x ( nT

_s

), n  0 ,  1 ,  2 ,  } é descartada. Contudo, pode-se mostrar que o sinal x (t ) pode ser reconstruído de forma exata a partir dessas amostras, se forem satisfeitas as seguintes condições:

B f t

x f

X ( )  F [ ( )]  0 para  (1)

B B f

T

_{s s}

2

2

1  

 ₍₂₎

Esse teorema é conhecido como teorema da amostragem [1][2]. O valor mínimo 2 B requerido para a taxa de amostragem f

_s

é denominado taxa de Nyquist. Quando as condições especificadas nas equações (1) e (2) não são satisfeitas, não é possível se reconstruir x (t ) de forma exata a partir de suas amostras { x ( nT

_s

)} . Nesse caso, ocorrerá um fenômeno denominado aliasing, em inglês, que tornará o sinal reconstruído diferente do sinal original.

Modulação de amplitude de pulso

Teoricamente, o processo de amostragem pode ser realizado fazendo-se a multiplicação indicada na Figura 2(a), que produz o sinal amostrado x

_s

(t ) dado por

) (

) ( )

( ) ( )

(

_s

n

s T

s

t x t t x nT t nT

x 

s

 

^









 . (3)

Nesse caso, pode-se mostrar que [1][2]



^









k

s s

s

f f X f k f

X ( ) ( ) . (4)

Contudo, a amostragem por trem de impulsos, representada na equação (3), não pode ser realizada na prática, uma vez que o sinal (t )

Ts

 não pode ser gerado no mundo real. Na prática, a amostragem é realizada por um circuito amostrador e retentor (em inglês, sample and hold circuit), que produz o sinal em forma de escada x

_PAM

(t ) , mostrado na Figura 2(f), denominado sinal PAM (pulse-amplitude modulation: modulação de amplitude de pulso). A Figura 3 mostra um diagrama de bloco funcional do amostrador e retentor e exemplos de formas de onda de sinais de entrada e de saída desse circuito.

O sinal x

_PAM

(t ) pode ser representado matematicamente da seguinte forma:



^













n

s s

s

t p t x nT p t nT

x t

x

_PAM

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5)

em que p (t ) é o pulso retangular mostrado na Figura 4(a). Portanto, a transformada de Fourier de x

_PAM

(t ) é dada por

) ( ) ( )

( f X f P f

X

_PAM



_s

(6)

em que

Figura 2 - Ilustração do processo de amostragem: (c) sinal original; (d) sinal obtido com a amostragem por trem de impulsos ; (f) sinal obtido com a amostragem realizada por um circuito amostrador e retentor.

Figura 3 – Circuito de amostragem e retenção e formas de onda associadas.

Instantes de amostragem

t T_s

tt

tt tt

)

s

(t



T

) (t x

) (t x

_s

) (t x

_PAM



) (t

x x

_s

(t )

)

s

(t



T



) (t

x x

_s

(t )

)

s

(t



T

Amostrador e retentor

(S&H) Sinal PAM )

(t

x Amostrador ^x

PAM

^{(t )}

e retentor (S&H) Sinal

PAM )

(t

x ^x

PAM

^{(t )}

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Buffer Buffer

Chave analógica

Capacitor de retenção Sinal

modulante Sinal

PAM

Sinal de controle Circuito de

amostragem e retenção

Buffer Buffer

Chave analógica

Capacitor de retenção Sinal

modulante Sinal

PAM

Sinal de controle

Buffer Buffer

Chave analógica

Capacitor de retenção Sinal

modulante Sinal

PAM

Sinal de controle Circuito de

amostragem e retenção

Sinal de controle

Sinal modulante

Instantes de amostragem

T_s



t

t

Sinal PAM t Sinal de controle

Sinal modulante

Instantes de amostragem

T_s



t

t

Sinal PAM t

Ts

f j s

s

f T e

T t p f

P ( )  F [ ( )]  sinc( )

^

⁽⁷⁾

em que sinc( ) sen(       ) ( ) — veja na Figura 4(b). Substituindo (4) e (7) em (6), tem-se que



^











k

s s

T f

j

f T X f k f

e f

X

_PAM

( )

^{ s}

sinc( ) ( ) (8)

Note que, nesse caso, as réplicas de X ( f ) que compõem o espectro do sinal amostrado, X

_PAM

( f ) , são deformadas por sinc( f T

_s

) . A Figura 5 mostra um exemplo ilustrativo do espectro de um sinal PAM em que se pode visualizar essa deformação espectral. Por isso, para reconstruir x (t ) a partir de x

_PAM

(t ) , é preciso passar x

_PAM

(t ) por um filtro reconstrutor passa-baixos e por um equalizador, para que esse anule (ou minimize) a deformação espectral resultante da multiplicação por sinc( f T

_s

) .

Figura 4 – Pulso de amostragem PAM e seu espectro.

Figura 5 – Espectro de um sinal PAM.

Quantização uniforme

Em um quantizador uniforme, L níveis de quantização, { y

_i

: i  1 , 2 ,  , L } , são uniformemente distribuídos em um intervalo [ X

_Qmin

, X

_Qmax

] — veja Figura 6(a). A separação 

_q

entre dois níveis de quantização consecutivos é denominada degrau ou passo do quantizador e é dada por

max Q min max Q

Q

min Q max Q q

se

_{ }













 



X L X

X L

X X

2 , ⁽⁹⁾

0 T_s t

1 ) (t p



 



  

s s

T T t t

p 2

)

(

rect

) (f P e^jfTs

0 f_s

Ts

fs

 2f_s

f fs

2

 

_s ^{j fTs}

s fT e

T f

P( )  sinc ^{ }

(a) (b)

Figura 6 – Quantização uniforme.

As grandezas X

_Qmin

e X

_Qmax

são parâmetros do quantizador e não do sinal x (t ) que terá suas amostras quantizadas. Isto é, pode ser que min[ x ( t )]  X

_Qmin

e max[ x ( t )]  X

_Qmax

. Se min[ x ( t )]  X

_Qmin

e/ou

max

 X

Q

t x ( )]

max[ , então ocorrerá a sobrecarga do quantizador. Por outro lado, se min[ x ( t )]  X

_Qmin

e/ou

max

 X

Q

t x ( )]

max[ , alguns níveis do quantizador poderão não ser utilizados pelo sinal x (t ) . Em ambos os casos, o desempenho do quantizador será prejudicado.

Sendo x ˆ ( nT

_s

) a versão quantizada da amostra x ( nT

_s

) — veja Figura 6(a) —, denomina-se erro de quantização a seguinte diferença:

) ( ) ˆ ( )

( nT

_s

x nT

_s

x nT

_s

q   . (10)

Note que

max Q min

Q q

q

q

ou  se

_

 

_

 



 

 q nT

_s

q nT

_s

, X x ( nT

_s

) X

| 2 ) 2 (

)

2 ( ^{| (11)}

A quantização causa uma degradação no sinal analógico reconstruído a partir da representação digital PCM.

Essa degradação é devida ao erro de quantização ou ruído de quantização, que depende da magnitude do degrau de quantização usado, ∆

q

. Quando se usa um quantizador uniforme, se o sinal x (t ) é tal que os erros de quantização resultantes têm distribuição uniforme no intervalo [-∆

q

/2, +∆

q

/2], a potência média do ruído de quantização é dada por [1]-[2]:

Quantizador Q[· ] )

( nT

_s

x Amostras

analógicas Amostras

quantizadas )]

( [ )

ˆ ( nT

_s

Q x nT

_s

x 

1

x

i

x

_i

y

_i

x

_i1

x

_i2

x

1

x

₂

x

_L

x

_L1

x x

min -

X

Q



^q

X

_Q-max

L X X

_{Q-max Q-min}

q

 

 x x i L

y

_i ^{i i}

, 1 , 2 , , 2

1

 

 

^



q

y

1

y

_L

(a)

(b)

x y

max -

X

Q min

-

X

Q

x

L

1

x

L

x

2

x

₃

y

1

y

2

y

3

2

y

L

1

y

L

y

L



q



q









...

...

x x yy

max -

X

Q min

-

X

Q

x

L

1

x

L

x

2

x

₃

y

1

y

2

y

3

2

y

L

1

y

L

y

L



q



q









...

...

12

2q

 

P

q

⁽¹²⁾

Se min[ x ( t )]  X

_Qmin

e/ou max[ x ( t )]  X

_Qmax

, então ocorrerá a sobrecarga do quantizador e erros de quantização com magnitude maior que 

_q

2 ocorrerão. Nesse caso, a equação (12) não fornece um boa estimativa para a potência média do ruído de quantização, que será maior que o valor fornecido por essa equação.

O desempenho de um quantizador é, geralmente, medido por meio da razão sinal-ruído (RSR) de quantização, RSR

_q

, que será a razão sinal-ruído do sinal analógico reconstruído a partir da representação digital PCM. Se o sinal x (t ) é tal que a potência média do ruído de quantização é dada pela equação (12), essa RSR poderá ser calculada da seguinte forma:

2

12



q





^x

q x q

P P

RSR P , (13)

em que P

_x

é a potência média do sinal x (t ) . Se L  2

^b

e se o quantizador foi projetado para X

_Qmin

  X

_Qmax

, então 

_q

 2 X

_Q-max

L e RSR

_q

poderá ser calculada da seguinte forma:

2 2 2

2

3 2

3

max Q max

Q 





 X

P X

L P

RSR

_q ^{x b x}

₍₁₄₎

Normalmente, os valores de RSR são expressos na escala decibel. Assim, tem-se a partir da equação (14) que (dB)

max

dB Q

 





 



 





2

log

10

10 77 , 4 02 ,

6 X

b P

RSR

_q ^x

, (15)

Note que, assim como a equação (12), as equações(13)–(15) são válidas somente quando não ocorrer a sobrecarga do quantizador e, a rigor, quando o erro de quantização resultante tiver distribuição uniforme no intervalo

] 2 ,

2

[  

_q

 

_q

.

Quantização não uniforme

Caso os níveis de quantização { y

_i

: i  1 , 2 ,  , L } não estejam igualmente espaçados (isto é, os degraus de quantização não são iguais), tem-se uma quantização não uniforme. No sistema telefônico fixo comutado (STFC), se utiliza um tipo de quantização não-uniforme implementado como duas operações sucessivas: compressão do sinal de voz amostrado e quantização uniforme das amostras comprimidas — veja ilustração mostrada na Figura 7.

Geralmente a compressão feita é embasada em uma de duas normas internacionais, que usam as chamadas lei-A e lei-µ. A primeira é usada nos sistemas PCM da maioria dos países (entre eles, o Brasil e os países da Europa) e a última é usada nos Estados Unidos e Japão, por exemplo. As amostras comprimidas y ( kT

_s

) atravessam em seguida um quantizador uniforme.

A lei-A é dada pela seguinte expressão de entrada-saída do compressor:

 



 





 





 

 





 





1 1 ), sgn(

ln ln 1

1

0 1 ),

ln sgn(

) 1 (

max - Q max

- Q max

max - Q

X x x A

X x A A

X

A X

x x A x

A x

C

y , (16)

onde x e y representam a entrada e a saída do compressor, respectivamente — veja ilustração mostrada na Figura

7. No codificador PCM padrão do STFC, o parâmetro A tem o valor 87,6. A lei-µ é dada pela seguinte expressão:

Figura 7 – Quantização não-uniforme obtida com combinação de um compressor e um quantizador uniforme.

1 0

), sgn(

1 ) ln 1 ) ln(

(    



 

 

 



max - Q max

- Q max

- Q

X x x

X X x

x C

y 

 ^{, (17)}

O codificador PCM padrão do STFC utiliza o valor µ = 255.

Em um sistema PCM com compansão lei-µ, quando não há sobrecarga do quantizador, a RSR de quantização é dada por

 

 

x

x x

P b X

μ P X μ P

b X RSR

max - Q

max - Q max

- - Q

lei

se (dB),

(dB)













 





 





 





 



 

 





 



 



















) 1 ln(

log 20 77 , 4 02 , 6

2 1

log 10 ) 1 ln(

log 20 77 , 4 02 , 6

2

(18)

(19) E em um sistema PCM com compansão lei-A, quando não há sobrecarga do quantizador, a RSR de quantização é dada aproximadamente por

x

A

P

A X A

b

RSR

_lei-

 6 , 02  4 , 77  20 log( 1  ln ) (dB), se  

^Q-max

, (20) Note que a RSR de um sistema PCM com compansão (compressão + expansão) pode ser quase independente da potência do sinal P

_x

, diferentemente do que ocorre em um sistema PCM com quantização uniforme. Ou seja, um sistema PCM com compansão pode propiciar um sinal analógico reconstruído com qualidade quase independente da variação de intensidade do sinal analógico original. Por exemplo, os sinais de voz que chegam na entrada de um codificador PCM de uma central telefônica podem ter valores de potência diferindo de 40 dB. Caso fosse utilizado um sistema PCM com quantização uniforme, a qualidade do sinal analógico reconstruído seria muito variável — veja equação (15). Por isso, no STFC, se utiliza um codificador PCM com compansão para digitalizar os sinais de voz. O padrão estabelecido usa a taxa de amostragem f

s

= 8 kHz e 8 bits para representar cada amostra — isto é, b = 8 e L = 256 —, resultando em uma taxa de bits R

b

= f

s

b = 8.0008 bps = 64 kbps.

Não-uniforme

-max

X

Q x

x

 Uniforme 

y

Não-uniforme

-max

X

Q x

x

 Uniforme 

y

Compressor C[ · ]

) ( kT

_s

) y

( kT

_s

x Quantizador

uniforme Q[ · ]

) ˆ ( kT

_s

y _Expansor

C

^-1

[ · ]

) ˆ ( kT

_s ...

x

Compressor C[ · ]

) ( kT

_s

) y

( kT

_s

x Quantizador

uniforme Q[ · ]

) ˆ ( kT

_s

y _Expansor

C

^-1

[ · ]

)

ˆ ( kT

_s ...

x

Cálculos para sinais com duração finita ou em medidas de curto termo A potência P

_x

do sinal x (t ) é, por definição, dada por



_





 ²

2 2

( ) lim 1

^T

T T

x

x t dt

P T , (21)

Considerando que o sinal x (t ) foi amostrado a uma taxa f

_s

 1 T

_s

 2 B , pode-se mostrar que [1]





 







²

2

2

( )

1 lim 1

N

N n N s

x

x nT

P N , (22)

Para sinais com duração finita ou em medidas de curto termo, geralmente se assume que

 ^ 

_^



¹

0 2 0

2

( ) 1 ( )

1

^N

n

s T

x

x nT

dt N t T x

P , (23)

onde T é agora a duração do sinal ou do segmento considerado e N é o número de amostras em T segundos.

Definindo o vetor-coluna x como

 x ^{( 0 )} x ⁽ T

s

⁾ x ^{( 2} T

s

⁾ x ⁽⁽ N  ^{1 )} T

s

⁾ 

^T

 

x , (24)

pode-se escrever, ainda, que

x x

^T

P

_x

 N 1 , (25)

Analogamente,

q q

^T

nT N

N q dt t T q

P

N

n

s T

q

) 1 1 (

)

1 (

¹

0 2 0

2

 

  

_^

^{, (26)}

onde q ( nT

_s

) é o erro de quantização dado por:

) ( ) ˆ ( )

( nT

_s

x nT

_s

x nT

_s

q   , (27)

sendo x ˆ ( nT

_s

) o valor quantizado de x ( nT

_s

) .

Referências

[1] B. P. Lathi e Z. Ding. Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais Modernos. LTC, 2012. Cap. 6 .

[2] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley,4

^a

ed , 2001, Seção 3.3.