1ª LISTA DE LOGARITMOS - GABARITO
1) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
Solução. Como loga, logb e logc estão em PA, então o valor central é a média aritmética dos extremos.
6 2 4 2
4
10 10.
10 10
2 log
10 ) ( )2(
2 ) log(
log 2 ) 2 log(
log log log
abc
b b
ac ac
b c ac
b a
2) Suponha que ln a 2 e ln b 3 . Determine:
a) ln b
2 b) ln b
2 c)
4 2
ln b
a d) a ln 1
Solução. Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos:
a) ln b
2 2 . ln b 2 .( 3 ) 6 b) ln b
2 ( 3 )
2 9 c) ln
4ln(
2) ln(
4) 2 (ln ) 4 . ln( ) 2 .( 2 ) 4 .( 3 ) 4 12 8
2
a b a b
b a
d) 1 ln 1 ln 0 2 2 ln a
a
3) (ITA-SP) Calcule o valor de log
216 – log
432.
Solução. Calculando separadamente os logaritmos, temos:
i) log
216 x 16 2
x 2
4 2
x x 4
ii)
2 5 5
2 2
2 4 32 32
log
4 y
y
5
2 y y y Logo,
2 3 2
5 8 2 4 5 32 log 16
log
2
4
4) (UCS-RS) Calcule o valor de log (log
5125 )
3
1
.
Solução. Aplicando a definição de logaritmo sucessivamente, temos:
i) log
5125 x 125 5
x 5
3 5
x x 3
ii) 3 3 1
3 3 1 )
3 ( log ) 125 (log
log
13 1 5
3
1
y
yy
y
Logo, log (log
5125 ) 1
3
1
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
5) (UE-PI) Se 9
p1 3
2e
2 ) 1 1 (
log
2q , calcule p
2+ p.q + q
2. Solução. Encontrando separadamente os valores de p e q, temos:
i) 2 1 2 2 1
2 2 3 2
3 3 3
3
9
p1
2
2 p1
2
2p2 1/2
2 p p p
ii) 1 2 2 1
2 ) 1 1 (
log
2q q
1/2 q
iii)
2 2 1 .1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 . 2 2 2 1 1 2 2 2 1 7
.
1 2 2 2 1 2
2 2 2 2
2 2
q qp p q
qp p
6) (UFJF-MG) Considere a função f : IR IR definida por f ( x ) log
10( x
2 6 x 10 ) . Marque a opção que expressa o valor de f(6) – f(- 2).
a) 26 b) log
1026 c) 1 d)
13
log
105 e) 1 log
1026 Solução. Calculando os valores aplicados na função, temos:
13 log 5 26 log 10 )26(
log )10(
)26( log log )10 )2(6 )2((
log )2(
)10(
log )10 )6(6 6(
log )6(
10 10 10 2
10
10 2
10
f f
7) (UF-MG) Nessa figura, está representado o gráfico da função
b x ax
f 1
log )
(
2. Qual o valor de f(1)?
Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos:
i) 0 log 1 0 1 2 1
) 0 ( log 1 ) 0
(
2 2
0
b
b b
b f a
ii) 2 5 1 16 5 15 3
1 5 4 1 1 ) 5 ( log 1 ) 5
(
2
4
a a a
a f a
Substituindo os valores de a e b na função, calculamos o valor de f(1).
iii) 2 2 ( 1 ) 2
4 log 1 1 ) 1 ( 3 log 1 ) 1 1 (
3 log 1 )
(
2 2 2
2
f z
z f
x x
f
z8) (PUC-RS) Encontre o conjunto solução da equação log
x(10 + 3x) = 2, em lR.
Solução. É necessário determinar as condições de existência.
i) Condições de existência: x > 0 e x 1
3 10 10
3 0 3
10 x x x
ii) Utilizando a definição de logaritmo
2 ( )
0 5 )2 ).(5 ( 0 10 3 3
10 2 2
indefinido x
x x x x
x x x
Logo, S = {5}.
9) (FGV-RJ) Expresse na forma de intervalo o domínio da função y = log(– x
2+ 2x + 3).
Solução. A base é 10. Então a única restrição será que (– x
2+ 2x + 3) > 0. Resolvendo a equação e analisando os intervalos, temos:
Logo, os valores negativos estão no intervalo: ]-∞ ; -1[ U ]3 ; ∞[.
10) (UFSCar-SP) O domínio de definição da função f ( x ) log
x1( x
2 5 x 6 ) é:
a) x < 2 ou x > 3 b) 2 < x < 3 c) 1 < x < 2 ou x > 3 d) x < 1 ou x > 3 e) 1 < x < 3
Solução. Exercício semelhante ao anterior, mas como a base é x – 1. Há duas condições a serem satisfeitas.
i) x – 1 > 0. Logo, x > 1. ii) x
2– 5x + 6 > 0.
As situações são mostradas e o domínio será a interseção das condições.
Logo, D
f= {x IR / 1< x < 2 ou x > 3}.
11) (UF-MG) Resolva a equação
10
log 11 1 log
2
10x
10x . O conjunto solução de todos os valores reais é:
a) {- 1, 11} b) {5, 6} c) {10} d) {11}
Solução. Identificando as condições de existência vemos que:
i) 2 log
10x x 0 ii) 0 1 , 1 10
11 10
log
1011
x x x
Escrevendo 1 = log
1010 e aplicando as propriedades do logaritmo, temos:
10 0 11
) 10 )(
11 ( 0 11 10 11
10 )
11 10 ( log log
) 11 10 ( log log
10 2 ). 11 10 ( log log
10 2 log 11
10 log log
2
2 2
10 2
10
10 10
10 10
10 10
10
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
Analisando as condições, a opção viável é x = 11.
12) Suponha que a taxa de juros que um determinado banco europeu oferece, aos seus clientes, é de 6% ao ano, em regime de juros compostos.
a) Determine o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que depositou 50.000 euros.
b) Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de 100.000 euros?
c) Qual seria o depósito inicial efetuado por este cliente, para obter 85.000 euros ao fim dos mesmos 7 anos?
Solução. O regime de juros compostos indica que determinado capital (C) aplicado durante um período igual a n com uma taxa i gera um montante (M) calculado pela fórmula: M = C.(1 + i)
n. Utilizando essa fórmula nos itens e utilizando C = 50000; i = 0,06 e n = 7, temos:
a) M = capital acumulado. Logo, M 50000 .( 1 0 , 06 )
7 75181 , 51 ( euros ) .
b) Calculando t: ( 1 , 06 ) 2 log 2
50000 100000 )
06 , 1 ( ) 06 , 0 1 .(
50000
100000
t
t
t t
1,06Fazendo a mudança de base 1,06 para a base 10, vem: t log log 1 , 2 06 11 , 9 ( anos )
c) Calculando C: 1 85000 , 5036 56529 , 85 ( )
) 06 , 0 1 (
85000 )
06 , 0 1 .(
85000 C
7C
7 euros
13) (UF-AL) A expressão N(t)= 1500.2
0,2tpermite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250000 bactérias nessa cultura? (Dados: log2 = 0,30 log3 = 0,48).
Solução. Igualando o valor pedido para a função, temos:
3 2 500 1500 250000 2
2.
1500 250000 2.
1500 )(
250000
)( 2,0 2,0 2,0
2,0
t t t
tN t
tN
.
Aplicando a definição de logaritmos, vem:
3 log 500 3 log
log 500 2 , 3 0
2
0,2500
2
2
2
t
t
.
Como os valores indicados estão na base 10, é necessário fazer uma mudança da base 2 para a base 10.
4 , 30 7 , 0
22 , 2 30 , 0
48 , 0 30 , 0
2 70 , 0
2 log
3 log 2
log
) 100 log(
) 5 log(
2 log
3 log 2
log ) 100 )(
5 log(
2 log
3 log 2
log 500 3 log
log 500 log
70 , 0 30 , 0 1 2 log 10 2 log
log 10 5 log :
2 2
