Compêndio II - 3 Bimestre 2021

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA E.E.E.F.M SÃO FRANCISCO XAVIER

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA I ANO/SÉRIE: 1ª SÉRIE PROFESSOR(A): MANOEL JOÃO, MARCEL SOARES, MARKUS DIAS E OTÁVIO

ALUNO (A): TURMA:

Compêndio II - 3° Bimestre 2021

CRONOGRAMA MATEMÁTICA 1º ANO – 2º COMPÊNDIO 3º BIMESTRE 2021

1º DIA

• AULA 1 – PROGRESSÃO ARITIMÉTICA

• CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO

2º DIA

• AULA 2 – PROPRIEDADES DA P.A

• FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 3º DIA • SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 4º DIA • ATIVIDADE AVALIATIVA

5º DIA

• PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

• CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

• FÓRMULA DO TERMO GERAL

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 6º DIA

• SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

• SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

• RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 7º DIA • ATIVIDADE AVALIATIVA

• PROGRESSÃO ARITIMÉTICA

A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da PA.

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (PG), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (PA finita) ou um número infinito de termos (PA infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

• A sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma PA infinita.

• A sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma PA finita.

Cada termo de uma PA é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a4 na PA (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

➢ Classificação de uma PA

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

• Constante: Quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.

• Crescente: Quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.

• Decrescente: Quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

➢ Propriedades da PA

1ª Propriedade:

Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

2ª Propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:

3ª Propriedade:

Em uma PA finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.

Exemplo:

➢

Como a razão de uma PA é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

𝑟 = 𝑎₂− 𝑎₁ = 𝑎₃ − 𝑎₂ = 𝑎₄− 𝑎₃ =. . . = 𝑎_𝑛 − 𝑎_𝑏−1

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da PA fazendo:

𝑎₂− 𝑎₁ = 𝑟 ⇒ 𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑟

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

𝑎₃− 𝑎₂ = 𝑟 ⇒ 𝑎₃ = 𝑎₂ + 𝑟

Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:

𝑎₃ = (𝑎₁+ 𝑟) + 𝑟 𝑎₃ = 𝑎₁+ 2𝑟

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

𝑎₄− 𝑎₃ = 𝑟 ⇒ 𝑎₄ = 𝑎₃ + 𝑟 ⇒ 𝑎₄ = 𝑎₁+ 3𝑟

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da PA, que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:

𝑎_𝑛 = 𝑎₁ + (𝑛 − 1). 𝑟

Onde,

𝑎_𝑛:Termo que queremos calcular 𝑎₁: Primeiro termo da PA

n: Posição do termo que queremos descobrir r: Razão

Exemplo: Calcule o 10° termo da PA: (26, 31, 36, 41,...) Solução:

Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

𝑎_𝑛 = 𝑎₁ + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎₁₀= 26 + (10 − 1). 5 𝑎₁₀= 26 + 9.5

𝑎₁₀= 26 + 45 𝑎₁₀= 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

➢

Para encontrar a soma dos termos de uma PA finita, basta utilizar a fórmula:

𝑆_𝑛 = (𝑎₁+ 𝑎_𝑛). 𝑛 2

Onde,

Sn: Soma dos n primeiros termos da PA a1: Primeiro termo da PA

an: Ocupa a enésima posição na sequência n: Posição do termo

Exemplo: Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)?

Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA.

Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:

𝑎_𝑛 = 𝑎₁ + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑎₃₀ = 2 + (30 − 1). 7 𝑎₃₀ = 2 + 29.7 𝑎₃₀ = 2 + 203 𝑎₃₀ = 205

Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:

𝑆_𝑛 = (𝑎₁+ 𝑎_𝑛). 𝑛 2

𝑆_𝑛 = (2 + 205). 30 2

𝑆_𝑛 = 207.30 2

𝑆_𝑛 = 6210 2 𝑆_𝑛 = 3105

Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105.

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA E.E.E.F.M SÃO FRANCISCO XAVIER

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA I ANO/SÉRIE: 1ª SÉRIE PROFESSOR(A): MANOEL JOÃO, MARCEL SOARES, MARKUS DIAS E OTÁVIO

ALUNO (A): TURMA:

Compêndio II - 3° Bimestre 2021

ATIVIDADE

1ª – Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17, ...).

2ª – Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?

3ª – O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?

4ª – Qual é o décimo termo da Progressão Aritmética (3,12, ...)?

5ª – A desvalorização de um carro que hoje custa R$30.000,00 é de R$ 1.300,00 a cada ano de uso. Desta maneira, qual será seu preço após quatro anos de uso?

6ª – Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?

a) 249980 b) 1010 c) 249975 d) 499950 e) 999

7ª – Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 50º elemento?

a) 245 b) 12250 c) 13250 d) 255

e) 10

8ª – Dado o conjunto dos números naturais, não nulos, qual é a soma dos seus 200 primeiros números pares?

a) 40200 b) 80400 c) 60300 d) 50500 e) 70700

9ª – Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

10ª – Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um tabuleiro de xadrez grãos de arroz da seguinte maneira: na primeira casa, foram colocados 5 grãos; na segunda, 10; na terceira, 15; e assim por diante. Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?

a) 5050 b) 6060 c) 20400 d) 10400 e) 20800

• PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4 4 . 2 = 8 8 . 2 = 16 16 . 2 = 32 32 . 2 = 64 64 . 2 = 128 128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

➢ Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

• PG Crescente: Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes.

Exemplo: (1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

• PG Decrescente: Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores.

Exemplo: (-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

• PG Oscilante: Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384, 768, ...), onde q = -2

• PG Constante: Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

Exemplo: (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

➢ Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

𝑎_𝑛 = 𝑎₁. 𝑞^𝑛−1, onde:

an: Número que queremos obter a1: O primeiro número da sequência q^(n-1): Razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, ...) a20 = 2 . 2^(20-1)

a20 = 2 . 2¹⁹ a20 = 1048576

➢ Soma dos Termos da PG Finita

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

𝑆_𝑛 = ^{𝑎1(𝑞𝑛−1)}

𝑞−1 , onde:

𝑆_𝑛: Soma dos números da PG 𝑎₁: Primeiro termo da sequência q: Razão

n: Quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32, ...):

𝑆_𝑛 = 𝑎_1(𝑞^𝑛₋₁₎ 𝑞 − 1

𝑆₁₀= 1. (2¹⁰− 1) 2 − 1 𝑆_𝑛 = 1023

➢ Soma dos Termos da PG Infinita

É possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira:

𝑆 = 𝑎₁ 1 − 𝑞

Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero e 1.

Exemplo: Determine a soma dos elementos da seguinte PG: (25, 5, 1,¹

5, ¹

25, … ).

Solução:

𝑆 = 𝑎₁ 1 − 𝑞

𝑆 = 25 1 −1

5

𝑆 = 25 4 5

𝑆 = 25.5 4 𝑆 = 31,25

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA E.E.E.F.M SÃO FRANCISCO XAVIER

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ALUNO (A): TURMA:

Compêndio II - 3° Bimestre 2021

ATIVIDADE

1ª – A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...).

Determine o 8º termo dessa progressão.

2ª – Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$

4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

3ª – Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.

4ª – Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.

5ª – O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule seu primeiro termo.

6ª – O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é:

7ª – Qual é a quantidade de elementos da PG finita (1, 2, 4, …), sabendo que a soma dos termos dessa PG é 1.023?

8ª – Determine a soma dos oito primeiros termos da PG: (1, 2, 4, ...).