Capability index for linear and non-linear functions
Abstract
Here we present methods to determine capability indices such as Cp and Cpk to be applied in “design for six sigma”
(DFSS) when the quality characteristic of interest Y is unobservable but given by Y = f(X1, X2, X3,....Xk), where Xi’s are random variables with means and variance respectively equal to µXi and σ2Xi; f is a known function. The determination is based on Taylor series and we illustrate the procedure with practical examples.
Key words
Capability index of a function, error propagation, Taylor series.
EDIVALDO ANTONIO BULBA
Depto Eng. de Produção – USP
Coordenador de Metrologia Industrial na Faculdade de Engenharia Industrial E-mail:edivaldo.bulba@poli.usp.br
LINDA LEE HO
Depto. Eng. de Produção – USP E-mail: lindalee@usp.br
Resumo
São apresentados métodos para determinação dos índices de capacidade tais como Cp e Cpk aplicados no “design for six sigma” (DFSS) quando a característica de qualidade é não-observável e dada por Y = f(X1, X2, X3,....Xk), onde Xi são variáveis aleatórias com média e variância respectivamente iguais a µXi e σ2Xi; f é uma função conhecida. A determinação é baseada na série de Taylor e o procedimento será ilustrado com exemplos práticos.
Palavras-chave
Índice de capacidade de uma relação funcional, propagação dos erros, série de Taylor.
Índices de capacidade de relações
funcionais lineares e não-lineares
ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL CPY E CPKY
O índice de capacidade “Cp” foi definido por Juran (1974) como: onde T é a tolerância de projeto e 6σ é a tolerância natural do processo (BANKS, 1989; BURR, 1976). No caso de várias variáveis de entrada, Xi, i = 1,2,3,...k, que definem um modelo matemático fY = (X1, X2, X3,....Xk), onde E(Xi) = µXi e Var(Xi) = σ 2Xi , i =1,...,k, o índice de capacidade Cp da variável Y é dado pela relação:
onde
expressa a tolerância acumulada de projeto na variável de resposta Y com X=(X1,....,Xk) e µµµµµ=(µx1,....,µxk). Observe- se que esta tolerância acumulada é determinística e é obtida pela somatória das contribuições das tolerâncias das variáveis de entrada TXi em TY. Cada contribuição é proporcional à tolerância TXi e sua derivada parcial em valor absoluto (CREVELING, 1997). Esta somatória corresponde a uma combinação linearizada por meio da aproximação pela primeira ordem da série de Taylor.
Por sua vez, 6σY é a tolerância natural de processo, sendo que σY é aproximado por:
onde ρxi, xj é o coeficiente de correlação entre Xi e Xj . Quando Xi e Xj são independentes, a segunda parcela dentro do radical da expressão (3) é omitida. É importan- te salientar que uma combinação linear de variáveis de entrada com distribuições normais, independentes ou não resulta em uma variável de resposta Y também com distribuição normal (DIETRICH, 1991). Assim, devido à normalidade da variável de resposta, os índices de capa- cidade de uma relação funcional podem ser definidos.
Deve-se ressaltar que a expansão de Taylor até a primeira ordem somente pode ser aplicada quando os erros de segunda ordem forem desprezíveis; não obstante, Ullman (1997) destaca que esta condição é alcançada na INTRODUÇÃO
Os Índices de capacidade foram introduzidos na déca- da de 70 desde que Juran (1974) apresentou o pioneiro índice de capacidade Cp. A suposição usual é que a característica de interesse seja observável com distribui- ção normal. Neste trabalho serão apresentados métodos baseados nas séries de Taylor para determinação dos índices de capacidade quando a característica de qualida- de de interesse Y não é observável mas dada por Y = f(X1, X2, X3,....Xk), onde f é uma relação funcional de um certo número de variáveis de entrada independentes Y = f(X1, X2, X3,....Xk), sendo Xi variável aleatória com E(Xi) = µXi e Var(Xi) = σ2Xi. Neste trabalho os índices de capacidade obtidos de uma relação funcional são empregados na fase de projeto, o que contribui para sistematizar e integrar as atividades de projeto e processo, garantindo a qualidade desde o projeto por estabelecer tolerâncias corretas (BULBA, 2003; BULBA; HO, 2002). Primeiramente encontram-se os pressupostos e as notações; a seguir faz- se uma breve revisão destes índices; e apresentam-se alguns exemplos numéricos. Finalmente as conclusões são apresentadas.
NOTAÇÕES E HIPÓTESES
Para obter índices de capacidade de uma característica de qualidade não-observável, mas obtida por intermédio de uma relação funcional, foram consideradas as seguin- tes condições:
- as distribuições de probabilidade das variáveis de entrada e de saída são normais ou aproximadamente normais;
- conhece-se a relação funcional entre as variáveis de entra- da e a variável de resposta (modelo univariado);
- em modelos não-lineares, as tolerâncias e variâncias das variáveis de entrada têm valores que propiciam uma linearização localizada, com erros desprezíveis;
- abordar-se-á a condição “nominal é melhor”, quan- do a variabilidade e a tolerância são distribuídas simetricamente em torno do valor nominal.
As notações adotadas neste trabalho são:
CpY índice de capacidade Cp para a variável de saída não-observável Y.
CpkY índice de capacidade Cpk para a variável de saída não-observável Y.
µY, σY média e desvio-padrão da variável de saída não- observável Y.
TY tolerância determinística de Y.
µXi, σXi média e desvio-padrão da variável de entrada Xi. mXivalor nominal da variável de entrada Xi.
TXi tolerância determinística de Xi.
(1)
(2)
(3)
maioria dos casos práticos.
Na Figura 1 está uma representação gráfica e analítica do índice de capacidade Cp de uma variável Y obtido a partir de duas variáveis independentes.
As tolerâncias das variáveis de entrada TX1 e TX2 estão representadas respectivamente pelos segmentos BX1CX1 e BX2CX2. A contribuição destas tolerâncias para a variável de resposta Y é obtida pela técnica de linearização e é dada aproximadamente, pelos segmentos:
e .
A tolerância TY está representada pelo segmento AYBY=AX1BX1+AX2BX2 que corresponde a:
. Para ilustração, considerar-se-á, por simplicidade,CPX1 = CPX2 = 1 , sem perda de generalidade. Segue que e . Desta forma, a tolerância natural na respos- ta será:
e o índice de capacidade de .
Note que , portanto, neste caso, é maior do que 1. Isto é devido à soma quadrática das tolerâncias naturais de entrada.
Similarmente, pode-se obter o índice de capacidade de uma relação funcional Cpk para a variável de resposta Y (Cpky) que expressa concomitantemente erros de preci- são ou aleatórios (variabilidade medida pelo desvio- padrão σ) e erros de posicionamento ou sistemáticos (expressos pela média µ). Seja:
Figura 1: Acúmulo de tolerâncias num modelo não-linear com duas variáveis de entrada.
(4)
onde m é o valor central de projeto, corresponde ao erro sistemático absoluto, LIE e LSE são respectiva- mente os limites inferior e superior da especificação, a diferença (LSE – LIE) corresponde à tolerância de proje- to e o fator k expressa quanto o processo está descentra- lizado para determinado lado da especificação. Por exemplo, k = 0,25 corresponde a uma descentralização de 25% para a direita ou para a esquerda. Segue que os índices se relacionam através de
Substituindo (4) em (5) a relação fica:
A importância de se prever erros sistemáticos envol- vendo acúmulo de tolerâncias antes de ocorrer a manufa- tura (projeto dos processos) foi abordada por Evans (1975), que propõe um fator de segurança de 1,5 no desvio-padrão da variável de resposta; assim, segundo esta abordagem, obtemos um CpY com margem de segu- rança substituindo o valor de CpkY . Já outros autores, como Breyfogle (1999) e Harry (1987), estabelecem um erro sistemático e simétrico nas variáveis de entrada correspondente a em torno da média como modo de se levarem em conta os erros sistemáticos nas cir- cunstâncias envolvendo acúmulo de tolerâncias. Wil- son (2000), entretanto, critica este procedimento, argu- mentando que o erro sistemático não pode ser fixado arbitrariamente em . Portanto, um procedimento é apresentado no presente trabalho onde se pode estabele- cer no projeto qualquer valor de erro sistemático simé- trico para cada variável de entrada, o que conduzirá ao valor do erro sistemático na variável de resposta. Para obter o fator k da variável Y deve-se novamente aplicar a expansão da primeira ordem da série de Taylor junto aos erros sistemáticos estabelecidos para as variáveis de entrada. O erro sistemático simétrico confere um com- portamento semelhante ao do acúmulo das tolerâncias.
Devido a isto, as diferenciais parciais na expansão de Taylor devem aparecer em valor absoluto e os erros sistemáticos ou de posição de cada variável também.
Assim:
onde CpY é dado em (1) ; e
corresponde ao erro sistemático da variável de resposta, expresso por:
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Exemplo 1 – Controle da área de um retângulo Considere uma produção de chapas retangulares corta- das na largura X1 e no comprimento X2, onde a área resultan- te é uma característica crítica de qualidade que deve ter o padrão “seis sigma”, ou seja Cpk > 2. Veja a Figura 2.
Os valores médios, tolerâncias e diferenciais parciais de X1 e X2 são respectivamente:
A função que relaciona a variável de resposta Y e as variáveis de entrada é: Y = X1. X2. Para determinar a tolerância da variável de resposta, aplica-se (2):
Para obter , estabelecem-se valores de des- vios-padrão das variáveis de entrada que garantirão o nível de qualidade requerido na variável de resposta.
Neste caso, após análises envolvendo processos disponí- (5)
,
(6)
Figura 2: Exemplo de controle da área de uma chapa retangular.
X2
X1
µX1 = 100mm µX2 = 200mm
veis e custos, foram estabelecidos e , que resultam respectivamente CpX1 = 1,67 e CpX2 = 1,33.
Aplicando-se (3):
E o índice de capacidade da variável de resposta, CpY (1) será igual a :
De modo similar, aplicando (6), a tolerância do erro sistemático da variável de resposta é determinada. Da-
dos: e , segue que:
Segue que o fator ky da variável de resposta Y é dado por:
E o índice CpkY = CpY(1 – kY) = 2,42(1 – 0,133) = 2,1 Exemplo 2 – Reavaliação de tolerâncias de projeto
Devido à dificuldade em trabalhar com relações não- lineares, alguns deixam de “linearizar” determinadas fun- ções não-lineares, através da aplicação da primeira ordem da série de Taylor. Desta forma consideram a relação entre variáveis originalmente como linear, ao aplicar uma sim- ples soma de tolerâncias ou de variâncias a fim de estimar ou prever a tolerância ou a variância na variável de respos- ta. Segundo Creveling (1997), este procedimento pode ser
prejudicial. Para ilustrar este fato, considere um exemplo em Montgomery (2001). Num circuito simples em corren- te contínua , a tensão Y entre dois pontos a e b deve ser de 100V com Ty=4V. A corrente e a resistência do circuito, especificações das variá- veis de entrada, são res- pectivamente:
Assume-se neste caso que as variáveis X1 e X2 são normalmente distri- buídas e independentes entre si, com médias coincidindo com os valores nomi- nais, de modo que a variável de resposta Y também tenha uma distribuição normal. Ainda, considera-se a previsão das tolerâncias naturais de processo de X1 e X2 como coincidentes com as respectivas especificações-limite em 99,7% ( ), ou seja:
e
Pela lei de Ohm, Y = X1X2. Nestas condições, a média
de Y será aproximadamente: .
Como e , segue que o desvio-padrão de Y calculado no ponto é dado por:
Considerando os limites naturais de variação de ten- são Y, tem . No entanto, esta variação de Y excede à especificação inicial TY=4V, que resulta em um índice de capacidade sofrível:
Isto se dá devido ao acúmulo de variabilidade e a uma escolha equivocada de tolerâncias, por não considerarem as relações não-lineares entre as variáveis de entrada. Tolerân- cias supostamente aceitáveis nas variáveis de entrada sem levar em consideração as relações não-lineares não refleti- rão uma tolerância adequada da variável de resposta. Para evitar este problema, os valores das tolerâncias e variân-
e
Figura 3: Exemplo de modelo não-linear.
cias das variáveis de entrada serão reavaliados com o objetivo de adequar o valor da tolerância da variável de resposta (BURR, 1976 e CREVELING, 1997). A lei geral de propagação do erro deve ser aplicada com o objetivo de en- contrar valores adequados para as espe-
cificações de cada variável de entrada, a fim de garantir a tolerância originalmente especificada na variável de res- posta TY = 4V. Na reavaliação das tolerâncias de X1 e X2 supõe-se que as relações entre os valores originais das tolerâncias determinísticas e os valores das tolerâncias na- turais da resistência e da corrente estejam otimizadas, isto
é, . Além disto, é desejável
estabelecer CpY = 1,33, de modo que o valor máximo para a tolerância natural de Y possa ser estabelecido:
Porém, . Como
, então os valores de e
podem ser determinados. A partir da tolerância requerida TY = 4V, as novas tolerâncias determinísticas das variá- veis de entrada podem ser definidas através do método do pior caso, ou seja:
Como , então ,
portanto e . Finalmente, para
confirmar que o valor índice de capacidade CpY é de 1,33:
Uma vez que se respeitou a relação não-linear do índice de capacidade CpY da tensão, coerentemente este se confir- mou em 1,33 a partir dos valores redefinidos de tolerância.
CONCLUSÕES
Os índices de capacidade de uma relação funcional CpY e CpkY proporcionam um melhor controle de qualidade sobre uma característica de qualidade que seja variável de resposta dependente de várias variáveis de entrada. Res- salta-se que o procedimento proposto neste trabalho é empregado na fase de projeto dos processos, contribuindo diretamente para o “design for six sigma”. A previsão de índices de capacidade no projeto é um meio de garantir a qualidade desde a concepção do produto, propiciando uma seleção mais racional dos processos de manufatura a se- rem empregados. Posteriormente, na manufatura, podem- se utilizar as estimativas dos desvios-padrão de σXi e das médias µXi fornecidas pelo controle estatístico de proces- so; desta forma, estimativas pontuais e intervalares de CpY e CpkY podem ser obtidas, porém esta não é a abrangência deste trabalho. Ressalta-se que a relação entre as variáveis de entrada pode ser linear ou não. Quando o modelo é linear, os índices CpY e CpkY são exatos; quando o modelo matemático não é linear, aplica-se uma linearização atra- vés da expansão de Taylor limitada à primeira ordem, o que na grande maioria dos casos revela-se suficiente.
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Bibliografia
Agradecimentos
Os autores agradecem os revisores deste trabalho pelas sugestões que sem dúvida contribuíram para o enriquecimento do mesmo.
Artigo recebido em 16/08/2003
Aprovado para publicação em 03/02/2004
