5. DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO

5. DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO

5.1 INTRODUÇÃO

Quando uma barra é submetida à torção simples suas seções transversais, inicialmente planas, se empenam devido aos diferentes alongamentos longitudinais das fibras. Se a torção é não restringida, não haverá resistência ao empenamento das seções e a barra não apresentará tensões normais. Este tipo de torção á denominada torção de Saint Venant.

Se a torção for restringida, haverá restrições ao empenamento, surgindo tensões normais de tração e compressão ao longo da barra, além de tensões tangenciais na torção de Saint Venant.

Na prática sempre ocorre certa restrição ao empenamento devido aos apoios, gerando tensões normais e tangenciais em regiões próximas a estes, as quais tendem a se dissipar quando ocorre a fissuração do concreto. Assim, os efeitos da restrição ao empenamento podem ser combatidos com uma armadura mínima para impedir a fissuração.

No caso de vigas de bordo, em função do impedimento da deformação da laje ainda no estádio I, surge a torção de compatibilidade na viga. Após a fissuração esse momento torçor é dissipado e não necessita ser considerado no dimensionamento da viga. No caso de marquises, o momento torçor é necessário para satisfazer as condições de equilíbrio e, caso esse esforço não seja combatido, a estrutura pode entrar em colapso.

Na figura 5.1, o momento fletor utilizado no dimensionamento da marquise é transmitido à viga, resultando o momento torçor “T”. Assim, a viga deve ser dimensionada para este esforço torçor, que deve ser considerado como um momento fletor no dimensionamento dos pilares.

Figura 5.1 Torção de equilíbrio

4.2 – TORÇÃO EM VIGAS

O dimensionamento à torção das estruturas de concreto armado é feito no estádio II e, como no caso do esforço cortante, adota-se o modelo da treliça de Mörsch composta por barras longitudinais e estribos verticais. Assim, a treliça espacial formada é capaz de equilibrar o momento torçor solicitante. Foi visto que, de acordo com a norma brasileira, pode-se adotar uma inclinação das bielas de compressão entre 30^o e 45^o. Entretanto, para a treliça espacial formada pelos elementos convencionalmente utilizados nas estruturas de concreto armado, na combinação da torção com o esforço cortante, os ângulos de inclinação das bielas devem ser coincidentes. Para tanto, será considerado um ângulo de inclinação das bielas de 45^o para o dimensionamento à torção. Deste modo, as expressões desenvolvidas aqui consideram este ângulo de inclinação para as bielas. Sabe-se que os caminhos preferenciais das tensões de torção e cisalhamento podem ser diferentes, mas o procedimento acima prioriza a simplificação.

Ensaios em laboratório vêm confirmando o já observado teoricamente em relação ao comportamento de peças sob torção. Foi observado que em seções transversais retangulares

colabora com a resistência à torção. Mais tarde, percebeu-se que a resistência à torção de uma seção cheia equivale à resistência de uma seção vazada com as mesmas armaduras. Conclui- se, portanto, que o núcleo de uma seção cheia é pouco solicitado e pode ser desprezado no dimensionamento. Assim, o dimensionamento de uma seção cheia de concreto armado é realizado para uma seção vazada equivalente, de perímetro semelhante ao da seção maciça, como mostra a figura 5.2.

Figura 5.2 Seção vazada equivalente

Neste caso, para uma seção retangular maciça, a seção retangular vazada equivalente deverá apresentar uma espessura da parede de acordo com a equação 5.1.

2 1

) (

2 C

h b

h

t b ≥ ⋅

+

⋅

= ⋅ (5.1)

Nos casos em que a seção a ser dimensionada já é vazada, deve-se considerar o menor dos seguintes valores para a espessura equivalente da parede.

A espessura real da parede da seção original;

A espessura equivalente calculada considerando uma seção maciça de mesmo contorno externo.

Após a definição da seção vazada equivalente, pode-se determinar a área limitada pela linha média, A_e, e o perímetro da linha média, u, através das equações 5.1, 5.2 e 5.3.

) ( ) (b t h t

A_e= − ⋅ − (5.2)

) 2 (

2 b h t

u = ⋅ + − ⋅ (5.3)

4.3 – ANALOGIA DA TRELIÇA DE MÖRSCH

Para se fazer a analogia com a treliça de Mörsch deve-se primeiramente adotar algumas simplificações. Inicialmente são consideradas na treliça espacial apenas barras longitudinais posicionadas nos vértices e estribos verticais retos. A seção transversal da peça é considerada quadrada. A linha média, que passa pelo centro das armaduras, tem lados iguais a b_m, e o momento torçor de cálculo é T_d, como mostra a figura 5.3. Essas considerações não impedem que as formulações apresentadas sejam aplicadas a outras seções transversais.

Figura 5.3 Treliça espacial de Mörsch

Ainda na figura 4.4, são indicadas as forças que atuam no nó A. Assim, tem-se:

Fc= Força de compressão na biela de concreto;

Fts= Força de tração nas barras longitudinais;

Fte= Força de tração nos estribos.

Resultando nas equações 5.4 e 5.5.

2 45

cos _ts ^c

c ts

F F F

F = ⋅ ^o ∴ = (5.4)

2 45

cos _te ^c

c te

F F F

F = ⋅ ^o ∴ = (5.5)

Das equações 5.4 e 5.5, considerando um corte transversal no nó em questão, tem-se, de acordo com a figura 5.4:

Figura 5.4 Forças de compressão na seção transversal

2

2 _m ^c

d

b F

T = ⋅ ⋅ (5.6)

Sendo, então, a força na biela de compressão dada por:

2

⋅

=

m d

c b

F T (5.7)

Substituindo 5.7 em 5.4 e 5.5 chegasse à equação 5.8.

m d ts

te b

F T F = = ⋅

2 ^(5.8)

Esta força solicita todos os estribos ao longo de um comprimento b_m, pois este é o espaçamento dos estribos na seção do modelo analisado. Para determinar a quantidade de

armadura ao longo do eixo da peça, considera-se que A_s1 seja a área da seção transversal de um estribo e s o espaçamento ao logo do eixo longitudinal da peça. Assim, a área de aço no comprimento b_m é determinada de acordo com a equação 5.9.

s A b

A_s = _s1⋅ ^m (5.9)

A resistência à tração é dada pela equação 5.10.

yd m s

Rs f

s A b

F = ₁⋅ ⋅ (5.10)

Igualando 5.8 e 5.10 tem-se a área de aço para um comprimento s da peça.

/m) 2 (cm

100 ₂

yd e

d

sw A f

A T

⋅

⋅

= ⋅ (5.11)

Deve-se observar que, no caso da torção, apenas um ramo dos estribos deve ser considerado, uma vez que a força de tração solicita todo o comprimento do estribo.

Da mesma forma que foi feito para os estribos, será feito também para se determinar a armadura longitudinal necessária. Inicialmente deve-se determinar a força solicitante por unidade de comprimento, como mostra a figura 5.5.

Figura 5.5 Armadura longitudinal por unidade de comprimento

A força de tração por unidade de comprimento é dada pela equação 5.12.

m ts

ts b

f = F _(5.12)

Com a equação 5.8 chega-se à

e d

ts A

f T

= ⋅

2 ^(5.13)

A força de tração resistida pela armadura longitudinal por unidade de comprimento da linha média é dada pela equação 5.14.

u f f_tl A^sl ⋅ ^yd

= (5.14)

E a armadura longitudinal necessária é obtida igualando-se as equações 5.13 e 5.14.

yd e d

sl A f

u A T

⋅

⋅

= ⋅

2 (5.15)

Agora, é necessário verificar as tensões de compressão nas bielas de concreto. Para isso, considera-se a figura 5.6.

Figura 5.6 Força de compressão nas bielas

A área de concreto da biela é A_c =t⋅h₀, sendo

2 45

0 sen

m m

b b

h = ⋅ ^o = . Assim, considerando a equação 5.7, determina-se a tensão de compressão nas bielas.

t A

T A F

e d c c

c = = ⋅

σ _(5.16)

Esta tensão deve ser menor que a máxima permitida.

Para associar a compressão das bielas às tensões de cisalhamento será realizada outra análise, onde se considera um elemento infinitesimal abcd de comprimento dx. Lembrando que as tensões de cisalhamento que atuam longitudinalmente são iguais àquelas que atuam transversalmente no elemento, nos planos longitudinais, essas tensões de cisalhamento podem dar lugar às suas resultantes, F₁ e F₂, como mostra a figura 5.7. Para que o equilíbrio seja mantido, pode-se igualar essas resultantes, como segue.

Figura 5.7 Tensões de cisalhamento em elementos de paredes finas

dx e F

dx e

F₁ =τ₁⋅ ₁⋅ ∴ ₂ =τ₂ ⋅ ₂ ⋅

2

1 F

F =

2 2 1

1⋅e =τ ⋅e τ

O produto da tensão de cisalhamento pela espessura da parede é denominado fluxo de cisalhamento, e pode ser definido como f.

cte.

=

⋅

= e

f τ

A expressão acima é válida pois, dependendo da espessura, a tensão de cisalhamento será maior ou menor, e vice-versa. Percebe-se que, para a espessura da parede constante, a tensão também será constante e uniforme ao logo da parede.

O que se fará agora é relacionar este fluxo de cisalhamento com o torque aplicado no tubo.

Considere, então, um elemento ds na seção transversal do tubo mostrada na figura 5.8. A força de cisalhamento atuante no elemento destacado é f ⋅ds, e o momento desta força em torno de qualquer ponto no interior da seção do tubo será o torque atuante no elemento.

Figura 5.8 Força de cisalhamento na parede do tubo

ds f r dT = ⋅ ⋅

E o torque total atuante na seção é:

∫

⋅

=

Lm

ds r f T

0

Lm é o comprimento total da linha média da seção transversal.

Percebe-se que a integral acima pode ser substituída pelo dobro do valor da área do pequeno triângulo (A_m) da figura 5.8. Assim, o torque total pode ser expresso em termos finitos por:

Am

f T =2⋅ ⋅

Logo,

Am

e T f = ⋅ = ⋅

τ 2

Substituindo e=t (espessura) e T =T_d (momento torçor de cálculo) e A_m = A_e (área limitada pela linha média), tem-se:

t A T

e d

td = ⋅ ⋅

=τ 2

τ _(5.17)

Comparando com a equação 5.16, percebe-se que σ_c =2⋅τ_td. De acordo com a norma brasileira, esta tensão deve ser limitada a _c f^ck f_cd

⋅

−

⋅

≤ )

1 250 ( 50 ,

σ 0 , ou seja:

cd ck tu

td f f

⋅

−

⋅

=

≤ )

1 250 ( 25 , τ 0

τ (5.18)

4.4 – CRITÉRIOS NORMATIVOS a) Verificação das bielas

tu d

td A t

T τ

τ ≤

⋅

= ⋅

2 ^(5.19)

Na prática sempre ocorre torção com flexão e, nesse caso deve-se garantir que:

1

≤ +

wu wd tu td

τ τ τ

τ (5.20)

Sendo

d b

V

w d

wd = ⋅

τ e _wu f^ck f_cd

⋅



 



 −

⋅

=0,27 1 250

τ as tensões tangenciais obtidas no

dimensionamento ao esforço cortante.

b) Armaduras

A tensão de escoamento dos estribos e da armadura longitudinal dever ser limitadas a 435 MPa. Os estribos devem ser fechados e ancorados com ganchos a 45^o. O diâmetro da barra do estribo deve ser maior ou igual a 5 mm e não exceder 1/10 da largura da alma da viga.

As armaduras obtidas no dimensionamento à torção e à flexão devem ser superpostas, lembrando que na torção somente um ramo do estribo é considerado. Assim, a área total de estribos é dada pela equação 5.21.

T sw V

sw

sw A A

A = _, +2⋅ _, (5.21)

A área total de estribos deve respeitar a armadura mínima definida pela equação 5.22.

/m) (cm

20 ²

, w

ys ctm mín

sw b

f

A = ⋅ f ⋅ (5.22)

Sendo b_w a largura média da seção da peça, f_ctm a resistência média à tração do concreto e fys a tensão de escoamento do aço.

O espaçamento máximo dos estribos deve respeitar os seguinte limites:

67 , 0 se

cm, 30 6

,

0 ⋅ ≤ + ≤

=

wu wd tu td

máx d

s τ

τ τ τ

67 , 0 se

cm, 20 3

,

0 ⋅ ≤ + >

=

wu wd tu td

máx d

s τ

τ τ τ

Sendo d a altura útil da peça.

A armadura mínima longitudinal é dada pela equação 5.23.

) (cm 1

,

0 ²

, w

ys ctm mín

sl u b

f

A = ⋅ f ⋅ ⋅ (5.23)

Nos cantos da armadura transversal deve colocar barras longitudinais de bitola no mínimo igual à da armadura transversal e não inferior a 10 mm. Recomenda-se que o espaçamento das barras longitudinais não seja superior a 20 cm e que a relação

u A_sl

seja constante.

4.5 - EXEMPLOS DE CÁLCULO

Dimensionar à torção a viga abaixo.

Dados: f_cd =14MPa; τ_wu =3,5MPa; τ_tu =3,2MPa; T_d =13,44kN⋅m; m

kN 45 ,

19 ⋅

d =

M ; V_d =24,3kN e f_ctm =2MPa.

a) Dimensionamento à torção

+ =

⋅

= ⋅

) (

2 b h

h

t b 7,69 cm

=

⋅

=

⋅

=2 C₁ 2 4

t_mín 8 cm > 7,69 cm Logo, t=8 cm.

=

−

⋅

−

=(b t) (h t)

A_e 544 cm²

=

⋅

− +

⋅

=2 (b h 2 t)

u 98 cm

Tensões no concreto:

kN/cm2

154 , 8 0 544 2

344 . 1

2 =

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅

t A T

e d

τtd

kN/cm2

027 , 36 0 25

3 , 24 =

= ⋅

= ⋅ d b

V

w d

τwd

1 56 , 0 <

= +

wu wd tu td

τ τ τ τ

Cálculo das armaduras:

/m cm 84 , 48 2

, 43 544 2

344 . 1 100 2

100 ₂

, =

⋅ ∴

⋅

= ⋅

⋅

⋅

= ⋅ _swT

yd e

d

sw A

f A A T

cm2

78 , 48 2 , 43 544 2

98 344 . 1

2 =

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅

= ⋅

yd e d

sl A f

u

A T (Adotado)

sl w

ys ctm mín

sl u b A

f

A _, = ⋅ f ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅98⋅25=0,98cm² <

500 1 2 , 0 1

, 0

b) Dimensionamento à flexão

Esforço cortante:

kN 3 ,

=24 Vd

0 ) (

11 ,

1 ⋅ − =

= _{wd c}

d τ τ

τ

,_V =0 Asw

Momento fletor:

m kN 45 ,

19 ⋅

d = M

cm2

28 , 1

s = A

2

, = ⋅b⋅h=0,0015⋅25⋅40=1,50cm

A_smín ρ_mín (Adotado para tração)

c) Superposição das armaduras

/m cm 68 , 5 84 , 2 2 0

2 _, ²

, + ⋅ = + ⋅ =

= _{swV swT}

sw A A

A (Adotado)

sw w

ctm mín

sw f b A

A = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 ⋅25=2,00cm /m<

20

20 ²

,

67 , 0 56 , 0 <

= +

wu wd tu td

τ τ τ τ

cm 21 cm

30 6

,

0 ⋅ ≤ ∴ =

= _máx

máx d s

s

Armadura transversal: 6,3c10φ .

Armadura longitudinal:

) cm 95 , 2 ( 0 , 8 1 5 , 12 2 cm

89 , 2 50 , 1 39 , 2 1

2 2

, inferior

, = ^sl + _sMd = + = ∴ φ + φ

s A A

A

) cm 57 , 1 ( 10 2 cm

39 , 2 1

2 2

superior

, = ^sl = ∴ φ

s

A A