Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais INPE Cx. Postal 515 São José dos Campos, SP CEP

3URFHVVR &RPLWrDVVHVVRU(0 0RGDOLGDGH34 ,19(67,*$d­2 62%5(1$9(*$d­2 ('(7(50,1$d­2'(Ï5%,7$ 9,$*36 +pOLR.RLWL.XJD

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE Cx. Postal 515 – São José dos Campos, SP

CEP 12201 – 970

E-Mail: hkk@dem.inpe.br, heliokk@directnet.com.br Internet: http://www2.dem.inpe.br/hkk/

5(/$7Ï5,2'(3(648,6$,1',9,'8$/

3URFHVVR &RPLWrDVVHVVRU(0 0RGDOLGDGH34 ,19(67,*$d­262%5(1$9(*$d­2

('(7(50,1$d­2'(Ï5%,7$9,$*36

Hélio Koiti Kuga

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE CP 515 – São José dos Campos, SP

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6LQRSVH: Esta pesquisa propôs-se a analisar e desenvolver métodos

e procedimentos de navegação e determinação de órbita usando o Sistema de Posicionamento Global - GPS (“Global Positioning System”), que resultem precisões compatíveis para propósitos de

navegação, posicionamento, manutenção de trajetória e

monitoramento de aeronaves e satélites artificiais terrestres.

 ,QWURGXomR

Esta pesquisa propôs-se a analisar, modelar, desenvolver, e avaliar métodos e procedimentos de navegação e determinação de órbita usando o Sistema de Posicionamento Global - GPS (“Global Positioning System”). Com o advento do sistema GPS, cujo principal objetivo é a localização de pontos fixos ou móveis na superfície terrestre, pode-se chegar a precisões da ordem de dezenas de metros (e menor que uma centena de metros), com esforço de modelagem relativamente baixo e utilizando recursos oferecidos pelo próprio sistema GPS (Parkinson e Spilker, 1996). A característica de cobertura global (mais de 4 satélites visíveis em geral) proporciona condições excepcionais de “observabilidade” e redundância de informações a sistemas de navegação e determinação de órbita.

Nesta pesquisa, propôs-se desenvolver e modelar todas as peculiaridades da tecnologia GPS para aplicações em navegação de aeronaves e determinação de órbita de satélites. A seção de metodologia descreve resumidamente algumas modelagens adotadas nas pesquisas realizadas, de acordo com a aplicação desejada. Em termos gerais, o objetivo da pesquisa é a solidificação do conhecimento matemático, científico e tecnológico necessário para desenvolver sistemas de navegação e determinação de órbita utilizando o GPS que resultem precisões compatíveis para propósitos de

navegação, posicionamento, manutenção de trajetória e monitoramento de aeronaves e satélites artificiais terrestres.

Tendo como foco a utilização do sistema GPS, para a realização da pesquisa foram utilizados os seguintes recursos:

• Receptores GPS adquiridos por projeto patrocinado pelo Fapesp (processo

01/08751-8), período 2002-2004

• Dados brutos do receptor GPS instalado a bordo do satélite artificial

científico TOPEX/Poseidon (projeto conjunto EUA e França)

• Dados brutos de receptores GPS instalados na Embraer e a bordo de

aeronave de ensaio

• Simulações computacionais em microcomputadores

Os seguintes tópicos foram distintamente pesquisados:

• Utilização do GPS para determinação de órbita em tempo real e não real

• Utilização do GPS para posicionamento estático e navegação

Em resumo, ao fim da pesquisa desenvolveram-se algoritmos de determinação de órbita, posicionamento e navegação através do uso de receptores GPS, bem como delinearam-se os métodos e as formulações matemáticas necessárias à implementação dos algoritmos de processamento em microcomputadores do tipo PC. Tais resultados permitem concluir preliminarmente sobre a viabilidade do uso de tais sistemas, levando-se em conta baixo custo, compactação, eficiência e precisão. Desta forma alcançou-levando-se o objetivo da pesquisa de adquirir o conhecimento matemático, científico e tecnológico necessário para desenvolver sistemas de determinação de órbita, posicionamento, e navegação utilizando o GPS, que resultem precisões suficientes para as aplicações em vista.

Como prospectos futuros, análises de viabilidade financeira, requisitos de memória, adequação dos meios de solo disponíveis em conjunto com a precisão exequível dos algoritmos propostos poderão qualificar e comprovar plenamente a aplicabilidade do GPS, seja em tempo real ou não real.

0HWRGRORJLDVDGRWDGDV

Esta seção descreve as linhas gerais da metodologia seguida, abrangendo resumidamente a abordagem utilizada na modelagem matemática da trajetória, das medidas GPS, bem como procedimentos de estimação. Dois tipos distintos de aplicação foram pesquisados:

• Utilização do GPS para determinação de órbita em tempo real e não real

• Utilização do GPS para posicionamento estático e navegação

As órbitas da maioria dos corpos celestes podem ser descritas como trajetórias seguindo a lei dos dois corpos. Entretanto para melhor precisão algumas perturbações devem ser levadas em conta. Nestes trabalhos (Chiaradia et al., 2003, 2002a, 2002b; Gomes, 2004; Silva, 2002) foram modelados os termos superiores do geopotencial até ordem e grau 50, correspondentes ao modelo JGM-2. Na maioria dos casos um truncamento na ordem e grau 10 produziu os resultados na precisão desejada. A integração de órbita foi realizada usando um simples Runge-Kutta de ordem 4 sem qualquer mecanismo de ajuste de passo e controle de erro. A equação do movimento é descrita por: 
  U D U U=− µ +  ,

onde µ é a constante geo-gravitacional, D é a aceleração devido ao geo-potencial

perturbador.

O GPS permite coletar 3 tipos de medidas: solução de navegação do receptor, medidas de pseudo-distância via código, e medidas de pseudo-distância via fase da portadora.

A solução de navegação do receptor GPS fornece as coordenadas de posição no sistema WGS84 e a tendência do relógio do receptor, através de algoritmo interno (caixa preta) do receptor. Assim este tipo de medida é modelado por:

Y \ +             = E ] \ [

onde \ é o vetor de medidas contendo as posições [ \ ]que são respectivamente as

componentes de posição, E a tendência do relógio, e Y é o vetor de ruído aleatório

branco.

O GPS permite 2 tipos de medidas de pseudo-distância: código e fase da portadora. Estas medidas estão corrompidas por várias fontes de erro basicamente aqueles originários do satélite GPS (“bias” do relógio, erros orbitais), da propagação do sinal (refração da ionosfera e troposfera), e do receptor GPS (variação do centro de fase da antena, “bias” do relógio, e multi-reflexões). A equação da pseudo-distância via código e fase é respectivamente:

[

]

[



]

               1  W  W  W  W F , \  W  W  W  W F , \ ε λ ∆ ∆ ρ ε ∆ ∆ ρ − + − + − = − − + + = ,

onde \ é a pseudo-distância, , é o atraso ionosférico, F é a velocidade da luz no vácuo,

∆WW é o “offset” do relógio do satélite GPS, ∆W W é o “offset” do relógio do receptor

do usuário, 1 é um número inteiro de comprimentos de onda, λ é o comprimento de

o erro remanescente considerado aleatório gaussiano, e ρ é a distância geométrica dada por:       [ \ \ ] ] [  − + − + − = ρ ,

onde [, \, e ] são componentes da posição do satélite usuário no instante de recepção do

sinal, [, \GPS, e ] S são componentes da posição do satélite GPS no instante de

transmissão do sinal.

O terceiro termo do lado direito da equação de pseudo-distância

[

∆W ! W −∆W W 

]

são as tendências dos relógios que representam os “offsets”

combinados do satélite GPS e do usuário com relação ao tempo GPS. A correção do

relógio GPS para a época W é:

"# "# W W W= −∆ com $ % &(' )% &(' )+* )-, .0/ D D W W  D W W  W W = + − + − +∆ ∆ , ( H D F W1 sin 2 2 µ − = ∆ ,

onde W é o tempo GPS, W23 é o tempo de transmissão do sinal, W405 é o tempo de referência,

medido a partir da época da semana GPS, D687D689 , e D6;: são coeficientes, ∆W<

é a pequena

correção relativística do relógio, causada pela órbita, onde H é a excentricidade, D é o

semi-eixo maior, e (é a anomalia excêntrica. O “offset” do relógio do usuário é

usualmente parte dos parâmetros a serem estimados.

O problema de determinação de órbita pode ser formulado de maneira a se aplicar um dos métodos de estimação de estado. No caso de tempo real, utiliza-se o filtro estendido de Kalman. Ele se compõe de ciclos de propagação e de atualização do estado e da matriz de covariância ao longo do tempo. As equações diferenciais a serem integradas são:

( )

W [= I [ ,

Φ Φ =) ,

onde I

( )

[W é função vetorial do tempo e do estado, Φ é a matriz de transição entre os

instantes W= e W=>@? , e ) =∂I[W∂[. A propagação da covariância 3 é realizada por

meio da equação discreta de Riccatti:

A BDC A A C A C A 3Ö 4 3₊ =Φ ₊ Φ ₊ + ,

onde 3Ö E é a matriz de covariância após o processamento de todas medidas do instante W= ,

e 4k é a covariância do ruído discreto no estado. No fim do processo, F

G

+

[ e H

I

3₊ , são

obtidos e chamados de estado e covariância propagados respectivamente.

A fase de atualização usa as equações de Kalman para incorporar informação fornecida pelas medidas:

(

)

J K L K K K L K K K 5 + 3 + + 3 . = + − , M M M M \ . Ö =[ + [ ,

(

N N

)

N N . + 3 3Ö = ,− ,

onde 5O é a covariância discreta do ruído das medidas, e \P é o resíduo das medidas.

O método para calcular a matriz de transição do movimento orbital consiste em propagar o estado usando o modelo de forças completo, e um modelo simplificado para a matriz, levando ou não em conta o fator J2 de achatamento da Terra. A equação diferencial para a matriz de transição é:

( )

_{( )}

_{( )}

Q Q R Q W  W   W  * ,  W  W  W  $ GW W  W G φ φ φ       = =

onde Φ

( )

WS WS ≡, é a condição inicial, e

( )

            ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = T T T T T W  W Y Y U Y Y U U U φ onde

(

)

U ] \ [ = U e

(

)

U ] \ [   =

Y são os estados cartesianos no instante W, UV e YW são

os estados cartesianos em WX , ≡ matriz 3x3 de zeros, , ≡ matriz identidade, *W ≡

U U I

∂ ∂  W

≡ matriz do gradiente e I UW = acelerações do satélite. De forma

aproximada, a matriz de transição para posição e velocidade é dada por:

( )

6 6 0 , Y ZZ Z[ [Z [[ W W       ≈ Φ Φ Φ Φ Φ

cujos termos podem ser calculados conforme Kuga (1986) ou Markley (1986).

No trabalho de Gomes (2004), utilizou-se a solução de navegação como medidas do GPS e o estado a ser estimado foi composto por:

(

)

\ EG  Y U [=

onde U =[\]] e Y =[\]^ são a posição e velocidade do satélite, E é o “bias” do

receptor, e Gé a deriva.

No trabalho de Chiaradia et al. (2003, 2002) um vetor de estado reduzido é adotado:

(

)

_ E  E E  Y  U [= ,

onde U =[\]` e Y =[\]a são a posição e velocidade do satélite, E é o “bias” do

receptor, Eé a deriva, e E a taxa de deriva. O desvio do relógio é então calculado por:

b

c E E W E W

W

F∆ = + ∆ +∆

onde E é o “bias” do relógio do receptor do usuário, Eé a deriva , E a taxa de deriva e

∆W é o tempo decorrido.

No modelo das medidas de pseudo-distância, a matriz de sensitividade é dada por:

(

) (

) (

)

      − − − − − − = 2 1 0 0 0    W W  ] ]  \ \  [ [ + degf degf degf h ∆ ∆ ρ ρ ρ

onde ∆W é o tempo decorrido. O resíduo ou sequência de inovação é:

 W   \ < \i = i − j [i i ,

onde <k é a medida observada e \l é a medida calculada pela equação de

pseudo-distância.

No caso de determinação de órbita em tempo não-real, a modelagem da dinâmica e das medidas GPS é exatamente a descrita na seção anterior. Detalhes podem ser encontrados em Silva et al (2002), e Kuga et al (2002). Entretanto, em particular a matriz de transição é calculada numericamente sem simplificações; ou seja, a matriz de

transição do sistema, que relaciona o estado entre Wm e Wk, pode ser calculada por:

Φ Φ =) ,

onde Φ é a matriz de transição entre os instantes Wm e Wk, e )=∂I[W∂[ para

[ ]

n o W

W

W∈ , com a condição inicial Φ

(

Wp Wp

)

= . A matriz ) compõe-se de derivadas

parciais (Jacobiano) das equações diferenciaiscom respeito as componentes do vetor de

estado, com dimensão 9×9. Portanto, a matriz de transição pode ser obtida

integrando-se a equação acima. Assim integrando-sendo, as equações diferenciais ordinárias da matriz de transição serão integradas numericamente em conjunto com as da órbita. A modelagem das forças e das derivadas parciais leva em conta o geopotencial até grau e ordem 50 do modelo JGM-2, implementado através da formulação recursiva de Pines (1973).

No processo recursivo de mínimos quadrados, a matriz +q deve ser multiplicada

pela matriz de transição, portanto:

                = 0 0 0 1 1 0 r s s r t t r + + + + Φ Φ Φ   + em que u0

v é a matriz de transição entre os instantes

w

W H

W0 , correspondente ao modelo

dinâmico adotado.

Extensiva análise das equações têm mostrado que a forma convencional de Kalman é propenso a erros numéricos (Bierman, 1977). Por outro lado, existem na literatura, vários métodos de resolução através de transformações ortogonais com o objetivo de se obter um melhor desempenho numérico no que se relaciona à propagação de incertezas ou erros nos dados. A principal finalidade de se aplicar transformações ortogonais em matrizes e vetores no problema de mínimos quadrados é a substituição da força bruta, que utiliza o método de inversão de matrizes, por um mais robusto e menos propenso a erros numéricos. Quando existe a necessidade de anular elementos

específicos da sub-diagonal, ou mais seletivamente, de uma matriz, as URWDo}HV GH

*LYHQV são as transformações mais adequadas. Uma determinada matriz é

triangularizada através de uma seqüência de matrizes ortogonais, isto é, usando matrizes clássicas de rotação. Conforme já descrito, a solução da equação normal pode ser

sensível a pequenos erros na matriz + que são inevitáveis quando se forma o produto

(

+ +

)

x

devido a limitação do número de dígitos significativos do computador. Para

evitar o uso das equações normais dadas da forma:

(

)

[ \

y

y

+ +

+ = , podemos usar um

processo baseado na fatorização QR (Golub and Van Loan, 1989), escolhendo-se:

( ) _     = × − × × × z z { z z { { z {  5 4 +

Ou seja, decompõe-se +em uma matriz ortogonal 4 e uma matriz triangular superior 5.

Métodos para calcular essa fatorização tem sido propostos por Householder e Givens (Golub and Van Loan, 1989), que envolvem transformações ortogonais que,

sequencialmente, anulam elementos da sub-diagonal +. O simples método de

transformação de Householder elimina todos os elementos da sub-diagonal em uma

dada coluna de +ao mesmo tempo. Quando existe a necessidade de anular elementos

específicos, ou mais seletivamente, de uma matriz, as URWDo}HV GH *LYHQV são as

transformações mais adequadas. Neste processo, uma determinada matriz é triangularizada através de uma seqüência de matrizes ortogonais, isto é, usando matrizes clássicas de rotação. Por introduzir elementos nulos em posições desejadas na matriz, as rotações de Givens demandam mais tempo de computador. Assim, a transformação completa pode ser dada por:

(

8 8 1 8382

)

4 = | | ₋  } em que: _{( 1 ) 2 1} ~  ~  € ~  ‚ƒ ~   8 8 8

8 = ₋  denota a seqüência de rotações feitas para eliminar os

elementos da sub-diagonal na i-ésima linha de +. Uma simples transformação

n-dimensional da matriz 8„…

( )

φ é igual a matriz identidade exceto pelos elementos:

      + − + + =       φ φ φ φ FRV VHQ VHQ FRV 8 8 8 8 †† †-‡ ‡† ‡‡

o qual define uma rotação por um ângulo φ no plano

( )

ik . Os novos elementos de

+ 8

+= ˆ‰ são dados por:

(

M L  Q

)

+ VHQ + FRV + Š‹ Œ ‹ Œ ‹ =+ φ + φ = +1 Ž Ž Ž VHQ + FRV + + =− φ + φ

em que o seno e o co-seno são dados por:

 ‘   + + + FRV 2 2 1 + = φ ’-“ ’-“ ““ + + + VHQ 2 2 1 + = φ

A transformação ortogonal de matrizes tem um papel considerável no cálculo numérico de problemas de mínimos quadrados, pois mantém o comprimento euclidiano de um vetor invariante, e resolve o problema de maneira robusta numericamente. Este é o método de estimação utilizado no procedimento de tempo não real, por ser adequado ao caráter recursivo do algoritmo de “Mínimos Quadrados” Recursivo, sem necessidade de armazenamento de matrizes de grandes dimensões, e com qualidade na precisão numérica.

0RGHODJHQVGR*36SDUDSRVLFLRQDPHQWRHQDYHJDomR

O sistema GPS fornece meios para coletar basicamente três tipos de medidas: solução de navegação, pseudo-distância via código, e pseudo-distância via ciclos da portadora.

3RVLFLRQDPHQWRHQDYHJDomRDEVROXWD

No caso de posicionamento (estático) ou navegação absoluta, obtém-se a solução cinemática, por vezes chamada de solução de navegação ou solução pontual, que assume uma linearização da equação da pseudo-distância, através de expansão de Taylor em torno da estimativa de posição atual:

[ ]

Y E F ” • • • • +      ∆ ∆ = − = ∆ρ ρ ρˆ , 1 U

onde – — – — – 5 U 5 U , − − = ˆ ˆ , ∆U =U˜ −Uˆ˜ , E E™ E™ ˆ − = ∆ ,

e o circunflexo representa estimativa da variável. Definindo o vetor de estado a ser estimado:       ≡ š š E F U [ ,

com 4 elementos, o problema pode ser resolvido de várias maneiras (Anholleto et al, 2003). Métodos geométricos usam basicamente soluções de busca com varredura da esfera terrestre ou métodos similares. Métodos algébricos usam relações algébricas do sistema de equações para resolver o problema e produzem soluções robustas como as propostas por Bancroft (1985). Métodos estatísticos não se limitam ao processamento de 4 medidas, mas usam de alguma forma toda a informação contida nas medidas. Alguns métodos propõem escolher os 4 satélites GPS que fornecem as melhores medidas para produzir a solução. Estes normalmente recorrem ao critério de melhor DOP (“Dilution of Precision”). Outros (Lopes e Kuga, 1988, 1997) minimizam funcionais para desenvolver um algoritmo numérico baseado em técnicas de otimização. Classicamente se utiliza o método de mínimos quadrados ponderado não-linear:

: + :+ + [= ∆ ∆ › −1 › ) ( onde       ∆ ∆ ≡ ∆                     ≡                     ∆ ∆ ∆ ∆ ≡ ∆ œ œ  ž  Ÿ   ž Ÿ F E U [ , , , , + , 1 1 1 1 , 2 1 2 1       ,

P é a quantidade de satélites GPS sendo rastreados simultaneamente, e : uma matriz de

peso. O processo é iterativo e, calculado a partir de uma estimativa inicial da posição do usuário.

Gomes et al. (2003) fornece resultados de técnicas de suavização em tempo real usando os resultados de posicionamento absoluto (ou solução de navegação) para uma aplicação estática, mostrando as melhorias obtidas.

3RVLFLRQDPHQWRHQDYHJDomRGLIHUHQFLDO.XJD

No caso do posicionamento e navegação diferencial, utiliza-se a técnica de GPS diferencial. O GPS diferencial, DGPS, é uma técnica que aumenta significativamente a precisão do usuário. O princípio básico consiste em colocar um receptor GPS num local fixo denominado de base, onde as suas coordenadas são precisamente conhecidas. Se as coordenadas são conhecidas, pode-se calcular quais deveriam ser

os valores verdadeiros das medidas de pseudo-distância. A comparação do valor “verdadeiro” com a pseudo-distância efetivamente medido fornece os valores de correção que devem ser aplicadas a cada medida de pseudo-distância provinda de cada satélite GPS.

*36GLIHUHQFLDOHPSRVLomR

Essencialmente esta técnica aplica correções diretamente nas coordenadas de posição. Dois passos são necessários: inicialmente usando as medidas brutas de pseudo-distância, cada receptor GPS (onde um está na base de referência e o outro é o usuário) calcula suas posições pelo mesmo algoritmo, e.g. Bancroft (1985) ou o método convencional de Mínimos Quadrados, Seção 2.2.1. Então a correção na posição da base é calculada e aplicada também na estimativa de posição do usuário.

Seja o receptor GPS base colocado propositalmente em um marco conhecido

com coordenadas U ¡¢ =

(

[ ¡¢  \ ¡¢  ] ¡¢

)

no sistema de coordenadas WGS84, e seja

(

£ £ £

)

£ = [  \  ]

U as coordenadas calculadas usando-se as medidas de pseudo-range.

Logo, a correção para a posição da base é inferida diretamente por comparação:

¤

 ¡¢ U

U U = −

δ .

Assumindo que ambos os receptores GPS estejam próximos, pode-se assumir que a posição, em analogia com o modelo da medida de pseudo-distância, pode ser modelada por: ε + + + − + =U E % , 7 U ¥

onde U¦ é a posição geométrica, E são erros do relógio do receptor, % são erros do

relógio do satélite GPS, , são os erros devidos à ionosfera, 7 são erros devidos à

troposfera, e ε representa outros erros não-modelados (multi-reflexões, atrasos internos,

etc.) assumidos como ruídos gaussianos brancos. É evidente que se ambos os receptores

GPS estão suficientemente próximos, os efeitos atmosféricos , e 7 são quase os

mesmos. Os erros % também se o mesmo conjunto de satélites GPS é utilizado no

cálculo, e E é conhecido ou calculado por cada receptor. Portanto, a correção

U

δ calculada para o receptor base pode ser aplicada diretamente para o receptor usuário:

U U U§ = § +δ

Ö

onde ÖU¨ é a estimativa de posição do receptor usuário corrigida diferencialmente, e U¨ é

a posição absoluta calculada. Baroni et al. (2003a, 2003b) fornecem resultados para um caso estático. Precisões em torno de 3 m foram obtidos para uma campanha de 30 minutos, embora alguns picos de 5 a 6 m de erro tenham ocorrido.

*36GLIHUHQFLDOYLDPHGLGDVGHSVHXGRUDQJH

Este método aplica correções diretamente nas medidas de pseudo-distância. Se as coordenadas de posição da base são conhecidas, então o valor verdadeiro da medida

de pseudo- distância pode ser calculada. Assim sendo, para um dado satélite GPS, a

medidas coletadas com base neste satélite, para o receptor usuário. É fácil verificar que esta correção cobre a maior parte dos efeitos atmosféricos, devido à proximidade dos

receptores. De maneira simplificada, a correção é dada portanto por δρª = ρª −ρ©+ª onde

«

ρ é a pseudo-distância medida, e ρ¬+­ é a pseudo-distância verdadeira.

A correção δρ® do receptor base é usado para corrigir a medida de

pseudo-distância do satélite GPS correspondente ρÖ°¯ =ρ°¯ +δρ¯ , onde ρÖ±+² é a medida de

pseudo-distância corrigida, e ρ±+² é a medida de pseudo-distância no receptor usuário.

Finalmente, este conjunto de medidas corrigidas deve ser processado por alguma técnica para se obter a posição do receptor usuário.

Em geral, para aplicações de tempo real utiliza-se o filtro de Kalman (e.g. Baroni et al., 2003a, 2003b). Precisões em torno de 1 m foram obtidas após estabilização do filtro.

*36GLIHUHQFLDOYLDPHGLGDVGHSVHXGRUDQJHHGXSODGLIHUHQoD

De acordo com o equacionamento anterior, a medida de pseudo-distância pode ser modelada por: Y , F7 % E F \= 5−U_X + _X − + + +

onde define-se ρ= 5−U_X como a distância geométrica que depende do instante de

recepção W e do tempo de trânsito τ , , e 7 são os atrasos ionosféricos e troposféricos

respectivamente, E_X é o "bias" do relógio do receptor GPS, % é o "bias" do relógio do

satélite GPS, e Y são os erros remanescentes. A medida de diferença simples entre o

usuário e a referência (base) é dada por:

(

X U

) (

X U

) (

X U

)

XU XU XU U

X

XU \ \ F E E Y Y F E Y

\ = − = ρ −ρ + − + − =ρ + ∆ +

onde se supõe que os erros ionosféricos e troposféricos se cancelam devido à

proximidade do usuário e da referência. A diferença dupla entre os satélites L e P

(master) é dada por:

(

) (

)

LP XU LP XU P XU L XU P XU L XU P XU L XU LP XU \ \ Y Y Y \ = − = ρ −ρ + − =ρ +

onde os erros dos relógios dos receptores se cancelam. Esta é uma característica

marcante da dupla diferença. A parte determinística desta equação contém as distâncias geométricas:

(

) (

) (

P

)

U P X L U L X P XU L XU LP XU ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = − = − − −

Fazendo uma expansão de Taylor de primeira ordem para a distância geométrica

têm-se [ [∆ ρ ρ ρ ∂ ∂ +

≅ onde [ é o vetor posição que se deseja determinar. Como a distância

(

) (

2

) (

2

)

2 ] = \ < [ ; − + − + − = ρ

onde 5=;<= são as coordenadas do satélite GPS, e U_X =[\]são as

coordenadas do receptor, então as derivadas parciais são representadas pelo vetor linha

de visada do satélite GPS L até o usuário X:

        _{− − −} = ∂ ∂ = L X L L X L L X L L X L X ] = \ < [ ; ρ ρ ρ ρ [ 8

Então a expansão de Taylor para a dupla diferença fica:

(

) (

) (

) (

P

)

U P X P X L U L X L X P U P X L U L X LP XU ρ ρ ρ ρ ρ ∆ ρ ρ ∆ ρ ρ = − − − = +8 [− − +8 [−

e se a linearização for em torno da referência, i.e., o usuário está próximo da referência e

U X ρ ρ = , vale:

(

8 8

)

∆[ ρ P X L X LP XU = −

Portanto a equação das medidas de dupla diferença ficam na forma:

(

)

LP XU P X L X LP XU LP XU LP XU Y Y \ =ρ + ≅ 8 −8 ∆[+

Colocando a equação na forma padrão:

Y [ + \= ∆ +

então \ é o vetor de observações, + é a matriz relacionando as observações ao estado,

[

∆ é o estado, e Y o ruído das observações. Como as medidas de dupla diferença são as

observações, têm-se:

(

)

LP XU P X L X LP XU 8 8 [ Y \ \≡ = − ∆ + onde

(

) (

) (

)

1 1 1 1 1 1 1 1 ₋ − _{− −} −           − − − = P  P  P ] P X L X  P \ P X L X  P [ P X L X        8 8 8 8 8 8 +

A estimativa de ∆[, por algum método estatístico tipo Mínimos Quadrados ou filtro de

Kalman fornece diretamente a correção para calcular a posição do usuário via

[ U U_X = _E +∆

 5HVXOWDGRV

Serão mostrados alguns resultados de aplicações dos algoritmos desenvolvido para determinação de órbita e navegação que foram desenvolvidos como resultado dessa pesquisa:

• Utilização do GPS para determinação de órbita em tempo real ou não-real

• Aplicações em navegação e posicionamento via GPS

Estes resultados são ilustrações dos vários tópicos pesquisados, que resultaram em dois artigos em revista internacional e nacional (Chiaradia et al. 2003; Gomes et al. 2003a), 7 capítulos de livro publicados (BARONI et al., 2003a; KUGA, 2003; ANHOLETTO et al., 2003; CHIARADIA, et al., 2002; KUGA, et al, 2002; SILVA, et al., 2002; CHIARADIA, et al., 2002), 4 artigos em congresso internacional (BARONI, et al., 2003; GOMES, et al., 2003b; MARQUES FILHO et al., 2003; CHIARADIA, et al., 2002), e 2 em congresso nacional (GOMES et al., 2004; BARONI e KUGA, 2004). Além disso, como consequência direta dessa pesquisa, 1 dissertação de mestrado (Gomes, 2004) e 2 Iniciações Científicas (IC) foram concluídas. Uma dissertação de mestrado concluirá em julho 2004, e outra IC terminará em julho 2004. Estão em andamento 1 doutorado e 1 IC, e encaminhado 1 doutorado com bolsa Fapesp já outorgada, relacionados a esta pesquisa.

8WLOL]DomRGR*36SDUDGHWHUPLQDomRGHyUELWDHPWHPSRUHDO

Os resultados a seguir foram extraídos dos artigos da orientada A. P. Chiaradia (Chiaradia et al, 2003, 2002a) e ilustram o método de determinação de órbita em tempo real via sinais GPS. O algoritmo foi analisado e testado usando 8 dias completos de dados. A Figura 1 mostra erros reais e estimados típicos, para um dia de filtragem. A Fig. 2 mostra resíduos de pseudo-distância típicos para todos os testes. A Tabela 1 condensa todos os erros estatísticos para posição e velocidade e resíduos para todos os dias de testes. A precisão em posição com a disponibilidade seletiva (SA) desligada (18/11/1993 e 19/11/1993) ou ligada (outros dias) é de 15 a 20 m com desvio padrão de 6 a 10 m. A precisão em velocidade é de 0.014 a 0.018 m/s com desvio-padrão de 0.006 a 0.009 m/s, conforme a Tabela 1. Nota-se também que com SA ligada os resíduos apresentam desvios-padrão de 23 m, e nos dias com SA desligada (18 e 19 de novembro) os desvios-padrão caíram para 13.3 m. Este fato mostra como a SA afeta as estatísticas dos resíduos embora a precisão em posição e velocidade não mostre degradação significativa.

'$7$ 'U P 'Y P 5(6,'826 P  15.5 ± 6.8 0.014 ± 0.006 0.027 ± 13.2  17.4 ± 6.7 0.016 ± 0.006 -0.130 ± 13.4  17.6 ± 8.4 0.017 ± 0.007 -0.160 ± 22.6  16.5 ± 8.5 0.015 ± 0.008 0.004 ± 22.1  19.5 ± 9.6 0.018 ± 0.009 -0.160 ± 22.8  19.6 ± 7.8 0.018 ± 0.008 0.040 ± 22.9  19.0 ± 7.7 0.018 ± 0.008 -0.050 ± 23.9  16.5 ± 8.6 0.015 ± 0.008 -0.007 ± 23.3 7DEHOD (VWDWtVWLFDGRVHUURV

Fig. 1 - Erros reais e estimados típicos para um dia

 8WLOL]DomRGR*36SDUDGHWHUPLQDomRGHyUELWDHPWHPSRQmRUHDO

A posição e a velocidade a serem estimadas nesta pesquisa são comparadas com as Efemérides de Órbita Precisa (POE) do satélite Topex/Poseidon. O JPL/POE apresenta estimativas de posição com uma precisão de ou melhor que 15 cm, sendo portanto excelente referência para comparação. As condições de teste para o problema proposto e detalhes estão em Silva et al. (2002). Os resultados obtidos foram os seguintes (Silva et al, 2002):

³

erros em posição: 8.22 ± 1.74 (m);

³

resíduos de pseudo-distância: -0.003 ±4.306 (m).

A Figura 3 representa o erro de posição e a Figura 4 representa o resíduo de pseudo-distância no tempo, comparados com a referência JPL/POE.

Fig. 3 - Erro de posição

Este trabalho teve por objetivo determinar a órbita de um satélite artificial via GPS a bordo, usando medidas de pseudo-distâncias entre o satélite usuário e a constelação GPS para processamento através do estimador de Mínimos Quadrados via rotações de Givens. Através dos resultados obtidos, verificou-se que o método dos mínimos quadrados recursivo através de rotações de Givens mostrou confiabilidade e precisão suficiente para determinação de órbita de satélites via GPS.

±'HWHUPLQDomRGHyUELWDYLD*36XVDQGRDVROXomRGHQDYHJDomR

Nesta pesquisa (Gomes, 2004; Gomes et al., 2004, Gomes et al, 2003a, 2003b), a solução de navegação grosseira calculada pelo receptor GPS é considerado como entrada para um navegador e determinador de órbita em tempo real usando o filtro de Kalman. A figura 5, mostra os resultados quando o sistema de degradação SA (Disponibilidade Seletiva) do GPS está ativo (Gomes, 2004, Gomes et al, 2004). A Tabela 2 mostra os erros típicos cometidos pelo sistema de tempo real, para as várias amostragens e variados graus de complexidade do modelo dinâmico. Nota-se que erros de 30m para cada componente são resultantes para modelos simples e passos de amostragem de até 60s. 0,016± 44,615 -0,040± 9,629 0,002± 7,360 -0,017± 14,016 -0,001± 18,253 -0,003± 20,712 0,003± 9,336 -0,055± 30,718 )LJ5HVtGXRVGDVFRRUGHQDGDV ± &DVRD6$DWLYDGD &DVRE6$GHVDWLYDGD

7DEHOD(VWDWtVWLFDGRVHUURVQDGHWHUPLQDomRGHyUELWD± (UURHPSRVLomRP 3DVVR V 0RGHOR [ \ ] .HSO -2,608 ± 27,438 -4,310 ± 33,422 1,434 ± 37,357 -´ -2,612 ±27,429 -4,323 ± 33,402 1,428 ± 37,385 [ -2,612 ± 27,428 -4,322 ± 33,402 1,428 ± 37,385  [ -2,612 ± 27,428 -4,322 ± 33,402 1,428 ± 37,385 .HSO -2,195 ± 27,260 -4,420 ± 33,573 1,439 ± 35,961 -´ -2,197 ± 27,255 -4,426 ± 33,559 1,437 ± 35,975 [ -2,197 ± 27,255 -4,426 ± 33,559 1,437 ± 35,975  [ -2,197 ± 27,255 -4,426 ± 33,559 1,437 ± 35,975 .HSO -2,685 ± 24,493 -3,899 ± 29,842 0,901 ± 38,966 -´ -2,684 ± 24,497 -3,800 ± 32,027 1,461 ± 29,765 [ -2,684 ± 24,497 -3,800 ± 32,027 1,449 ± 29,759  [ -2,684 ± 24,497 -3,800 ± 32,027 1,448 ± 29,759 .HSO -3,203 ± 22,153 -3,907 ± 104,954 1,984 ± 314,483 -´ -3,198 ± 22,191 -3,445 ± 72,168 4,884 ± 140,561 [ -3,198 ± 22,191 -3,460 ± 72,201 4,676 ± 140,645  [ -3,198 ± 22,191 -3,461 ± 72,210 4,674 ± 140,664

 ±3RVLFLRQDPHQWRYLD*36

Nesta pesquisa desenvolveram-se técnicas de posicionamento estático em tempo real, tanto absoluto quando relativo (Baroni e Kuga, 2004; Baroni et al, 2003a, 2003b; Gomes et al, 2003). Foi também estudado a precisão na estimativa do desvio do relógio do receptor (“clock offset”) (Baroni et al, 2003a, 2003b; Marques Filho et al., 2003). A Fig. 6 mostra a precisão na estimativa do desvio do relógio através de um polinômio de segunda ordem em tempo real. A Figura 7 mostra os resultados para o posicionamento estático absoluto e diferencial, também em tempo real.

Fig. 6: Second order polynomial model results (XVHUUHFHLYHU): on left the

estimates of the clock offset, on right the residuals and standard deviation of measurements. Fonte: Marques Filho et al. (2003)

Fig. 7 – Posicionamento estático absoluto (à esquerda) e diferencial (à direita). Fonte: Gomes et al. 2003 e Baroni et al. 2003b.

Nota-se um erro de 4 a 5 m no posicionamento absoluto, e um erro menor que 1 m (após convergência) no posicionamento relativo usando GPS diferencial.

 ±1DYHJDomRGLIHUHQFLDOYLD*36

Esta pesquisa está em andamento e pretende concluir o desenvolvimento de um navegador de tempo real usando o conceito de GPS diferencial (Kuga, 2003). Parte da pesquisa é um trabalho de mestrado do orientado Leandro Baroni, bolsista Fapesp, cuja defesa está prevista para julho de 2004. Mostra-se na Figura 8 um resultado preliminar bastante promissor (não publicado) para uma aeronave da Embraer em ensaios de pouso e decolagem.

Fig. 8 – Resultados preliminares do GPS diferencial para dados de pouso e decolagem de aeronave da Embraer

&RQFOXVmR

Este relatório descreveu de maneira sucinta o desenvolvimento da pesquisa correspondente ao projeto intitulado “INVESTIGAÇÃO SOBRE NAVEGAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE ÓRBITA VIA GPS”. O objetivo geral da pesquisa foi desenvolver técnicas para se utilizar sistemas baseados no GPS aplicados à determinação de órbita de satélites artificiais, posicionamento, e navegação em geral. Foram resumidos a metodologia utilizada nos diversos tipos de investigação, bem como resultados, a maioria dos quais já publicados.

5HIHUrQFLDV

As referências que se seguem são os trabalhos publicados, relacionados a esta pesquisa. As referências auxiliares estão listadas no item “Outras referências utilizadas”.

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GOMES, Vivian Martins. Determinação de órbita de satélites artificiais em tempo real utilizando a solução de navegação do GPS. Dissertação (Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaciais) - INPE, São José dos Campos, 2004.

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