´Algebra Linear I

Algebra Linear I ´

Anna Regina Cˆorbo

DEMAT - CEFET/RJ

Aula Te´orica 2 - Vetores no R²

Produto Escalar entre dois vetores

ou Produto Interno

Considere dois vetores emRⁿ dados por:

−

→u = (u₁,u₂)

−

→v = (v₁,v₂) O produto escalar entre os vetores ´e dado por:

<u,v >=u1·v1+u2·v2

Exemplo:

Calcule o produto escalar entre−→u = (−2,6) e −→v = (1,−3).

´

Produto Escalar entre dois vetores

Propriedades

O produto escalar ´e:

1 Comutativo: <u,v >=<v,u >

2 Distributivo: <u,v+w >=<u,v>+<u,w >

3 **<u,u >=ku k²

4 <k·u,v >=k·<u,v >e <u,k·v >=k·<u,v >

Resultados com Produto Escalar

Vetores Perpendiculares (ou Ortogonais)

−

→u ⊥ −→v ent˜ao <u,v >= 0

´

Resultados com Produto Escalar

Anguloˆ θ entre vetores−→u e −→v cosθ= <u,v >

k −→

u k · k −→ v k

Exerc´ıcio:

Ponto M´ edio

Seu = (x₁,y₂) e v = (x₂,y₂) ent˜ao oponto m´ediodefinido pelo vetorOP ´e dado por:

−→ 0P =

x₁+x₂

2 ,y₁+y₂ 2

´

Proje¸c˜ ao ortogonal de vetores

Dados dois vetores−→u e−→v, aproje¸c˜ao ortogonalde−→u sobre −→v

´e dada por:

Projv−→

u = <u,v >

<v,v >· −→ u

Pontos Colineares

Os pontosA,P e B s˜ao colineares. Ser´a poss´ıvel deduzir a equa¸c˜ao da reta que passa por eles ?

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Estudo da Reta no R

A equa¸c˜ao ´e dada por 9x+ 7y+ 13 = 0 ! Para pensar:

a) O pontoAsatisfaz a esta equa¸c˜ao da reta?

b) O pontoB satisfaz a esta equa¸c˜ao da reta?

c) Qual o ponto desta reta que intercepta o eixo das abcissas?

d) Qual o ponto desta reta que tem abscissa igual a ordenada?

Exerc´ıcios

1 Calcule o valor de x para que o ˆangulo entre os vetores

−

→u = (2−x,5) e −→v = (4,−2) seja obtuso.

2 Considere os vetores u e v tais que|v|= 3,|u|= 4 e

|v+u|= 2√

5. Indique o ˆangulo entre u e v.

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