Análise de Algoritmos

• Ordem de crescimento

▫ Caracterização simples da eficiência do algoritmo

▫ Comparar desempenho relativo de algoritmos alternativos

• Quando observamos a ordem de crescimento

▫ Estamos estudando a eficiência assintótica dos algoritmos

▫ Estamos preocupados como o tempo de execução aumenta com tamanho da entrada

• Por exemplo

▫ O que é mais eficiente ou ? ^

 

^

^

• A notação assintótica

▫ Usada para descrever o tempo de execução assintótica de um algoritmo

▫ Definida em termos de funções cujos domínios são os conjuntos dos números naturais {0, 1, 2, 3, ....}

• Facilita a análise para valores de entrada grandes

• Vimos que o insertion-sort, no pior caso, possui tempo de execução

• O que significa isso?

• Para uma dada função , denotamos por o conjunto de funções

 

)

(n n

T  

) (n

g ^





0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



n )

2g(n c

)

1g(n c

) (n f

n0





)

(n g n

f  

• Mostre que se , então

2 ) 1

(  ²  ^{T(n)  }

 

2 2 2

2

1 4

2

0  c n  1 n  n  c n

0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



Aplicando a definição de  temos que:

• Mostre que se , então

2 ) 1

(  ²  ^{T(n)  }

 

0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



Dividindo por as inequações, obtemos:

2 1

4 2

0 1 c

c   n 



2 2 2

2

1 4

2

0  c n  1 n  n  c n  n2

• Mostre que se , então

2 ) 1

(  ²  ^{T(n)  }

 

0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



Escolhendo , obtemos:

2

1 16

4 2

0  c  1   c 

0 16 n

2

1 4

0  c  1  c

• Mostre que se , então

2 ) 1

(  ²  ^{T(n)  }

 

0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



Escolhendo e a inequação abaixo é satisfeita

2

1 4

0  c  1  c 

5 1

1  c

2 1 4

1 5

0  1   2

1

2  c

• Mostre que se , então

2 ) 1

(  ²  ^{T(n)  }

 

0



2

1 ( ) ( ) ( )

0  c g n  f n  c g n n  n



 



Portanto, para todo , temos que

2 2

2

2 4 1

2 1 5

0  1 n  n  n  n

16 n

• Graficamente, temos

2

1 5

) 1

(n n

g

c 

n n

n

T 4

2 ) 1

(  ² 

2

2 2

) 1

(n n

g

c 

0 16 n

• A notação  limita assintoticamente uma função acima e abaixo

▫ Quando temos apenas um limite assintótico superior, usamos a notação O

▫ Usamos a notação O para darmos um limite superior

• A definição formal é

0



) ( )

(

0  f n  cg n n  n



 

O  

n ) (n cg

) (n f

n0





)

(n O g n

f 

0



) ( )

(

0  f n  cg n n  n



 

O  

• Quando temos apenas um limite assintótico inferior, usamos a notação 

▫ Usamos a notação  para darmos um limite inferior

• A definição formal é

0



) ( )

(

0  cg n  f n n  n



 



0



) ( )

(

0  cg n  f n n  n



 



n ) (n cg

) (n f

n0





)

(n g n

f  

Para duas funções quais e , temos se, e somente se, e .

) (n

f g(n) ^{f (n)  }









)

(n O g n

f  ^{f (n)  }





• O limite assintótico superior fornecido pela notação O pode ou não ser assintoticamente restrito (justo)

▫ é restrito

▫ não é restrito

• Usamos a notação o (ozinho) para representar um limite assintótico superior não restrito, formalmente

0



) ( )

( 0

que

tal  f n  cg n n  n



 

o

 

2n2  O n

 

2n  O n

) 0 (

)

lim ( 



 g n n f

n

0



) ( )

( 0

que

tal  f n  cg n n  n



 

o

• O limite assintótico inferior fornecido pela notação  pode ou não ser assintoticamente restrito (justo)

▫ Dizemos que se, e somente se,

• Formalmente

0



) ( )

( 0

que

tal  cg n  f n n  n



 







)

(n g n

f 







0



) ( )

( 0

que

tal  cg n  f n n  n



 





 

 ( )

) lim (

n g

n f

n

• Transitividade













) (

se f n   g n g n   h n f n   h n













) (

se f n  O g n g n  O h n f n  O h n













) (

se f n   g n g n   h n f n   h n













) (

se f n  o g n g n  o h n f n  o h n













) (

se f n 







• Reflexividade

• Simetria





)

(n f n

f  





)

(n O f n

f 





)

(n f n

f  









)

(n g n g n f n

f    

• Simetria de transposição

• Analogia com números reais









)

(n O g n g n f n

f   









)

(n o g n g n f n

f  







O n

f ( )  ( )  





n

f ( )   ( )   a

n

f ( )  b n

g( )  ^{f (n)  }









o n

f ( )  ( )  





n

f ( ) 



• Monotonicidade

▫ Uma função é monotonicamente crescente se implica .

▫ Uma função é monotonicamente decrescente se implica .

▫ Uma função é estritamente crescente se implica .

▫ Uma função é estritamente decrescente se implica .

) (n

f m  n

) ( )

(m f n

f 

) (n

f m  n

) ( )

(m f n

f 

) (n

f m n

) ( )

(m f n

f 

) (n

f m n

) ( )

(m f n

f 

• Piso

▫ Para qualquer número real , denotamos o maior inteiro menor ou igual a , por (piso de )

• Teto

▫ Para qualquer número real , denotamos o menor inteiro maior ou igual a , por (teto de )

 

x x

 

x x

x

• Propriedades

   

1    

 x x x x

x

   

 



 



 



 



 





 





Z b

Z a

R

n      

 0 e 0 e 0

• Para quaisquer naturais e , o valor de é o resto do quociente :

• Se escrevemos e dizemos que é equivalente a , módulo .

a n

 

a n

amod   n

a

n amod



 



a b n





 

  

 b n n b a

a

• Dado um natural d, um polinômio em n de grau d é uma função na forma

• onde são constantes chamadas de coeficientes do polinômio e . Em particular



 ^d

i

i in a n

p

0

) (

ad

a

a₀, ₁,...,

 0 ad

 

d

i

i

in n

a n

p 



0

) (

• Para todos os valores , e reais, temos que

0 1 a

 0

a m n

a a¹ 

a a^1 1

mn n

m a

a )  (

m n n

m a

a ) ( )

( 

n m n

ma a

a  ^

• Usando para denotar 2,71828...., a base da função logaritmo natural, para todo

• e portanto

! ...

4

! 3

! 1 2

!

4 3

2

0



















x x

x x i

e x

i

i x

e

x e^x 1

• Utilizaremos a seguinte notação

n n log₂ log 

n n log_e ln 

 

k n logn

log 





n log log log

log 





b

a   log  log

• Propriedades

ba

b a  ^log

b a

ab _{c c}

c( ) log log

log  

a n

aⁿ _b

b log

log 

b a a

c c

b log

log  log

 

b 1 log

log  

a b

a

b log

log  1

a

c _b

b c

a^log  ^log

• Propriedades

5 ...

4 3

) 2 1

ln(

5 4

3

2    





 x x x x

x

x quando| x |1

x x x

x   

 ln(1 ) 1

 

log^k n  o n^a a 

• Definição recursiva

• Aproximação de Stirling









 

0 se

)!

1 (

0 se

! 1

n n

n n n



 



 



 





 



 



 

n e

n n n

n 1

1 2

!



n





 



 2 

!

n

n ⁿ 12

1 1

12

1  





1 n

• Propriedades

 

o n!

 

n!



 

log n   n n

• Definição recursiva

 







 _ 

0 se

) (

0 ) se

( _{( 1)}

) (

i n

f f

i n n

f ⁱ _i

n n

f n

n

f ( )  2  ⁽ⁱ⁾( )  2ⁱ

• Definição recursiva

2

para

1

0

2 1

1 0

 



















 F i

F F

F F F

i i

i i

5 ˆⁱ

i

Fi







2 5 1



2 5 ˆ  1



razão áurea

conjugado da razão áurea

• Usando as definições de , O, , o e  mostre que

a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

 

n O 2

2 ^1 





n n

nlog 5   log

 

2 o n

n 

 

n² 



 

logn o n

n 

 

2 1

2n    n

 

2n2  o n