Teorema: se f tem derivadas de 1

Teorema: se f tem derivadas de 1

ordem cont´ınuas numa bola aberta contendo P

, ent˜ ao a derivada direccional na direc¸c˜ ao e sentido do vector unit´ ario u ˆ ´ e dada por:

D

f (P

) = ∇f (P

) · u ˆ = k∇f (P

)k cos ] (∇f (P

), u) ˆ

Equa¸c˜ ao do plano tangente ao gr´ afico de f no seu ponto a, b, f (a, b) : z − f (a, b) = (x − a)f

(a, b) + (y − b)f

(a, b)

Aproxima¸ c˜ ao linear de f nas vizinhan¸ cas de (a, b):

L(x, y ) = f (a, b) + (x − a)f

(a, b) + (y − b)f

(a, b) S´ o faz sentido usar a aproxima¸ c˜ ao linear “perto” de (a, b) se f

e f

forem a´ı cont´ınuas

O acr´ escimo de f em (a, b) que resulta dos acr´ escimos ∆x e ∆y ´ e

∆f = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b)

Se f tem derivadas parciais de 1

ordem cont´ınuas, podemos usar a aproxima¸ c˜ ao linear (para ∆x e ∆y “pequenos”) e escrever:

∆f ≈ ∆L = f

(a, b)∆x + f

(a, b)∆y Diferencial de f em (a, b) (“df ”) ´ e a express˜ ao

df = f

(a, b)dx + f

(a, b)dy

(o diferencial representa, com uma nota¸ c˜ ao ligeiramente diferente, a

Diferencial de f em (a, b) (“df ”) ´ e a express˜ ao

df = f

(a, b)dx + f

(a, b)dy

Exerc´ıcio:

Para uma fun¸ c˜ ao de trˆ es vari´ aveis, diferencial de f em (a, b, c) (“df ”) ´ e a express˜ ao

df = f

(a, b, c)dx + f

(a, b, c)dy + f

(a, b, c)dz

Regra da Cadeia (derivadas parciais de fun¸ c˜ oes compostas) Supondo que todas as fun¸ c˜ oes usadas tˆ em derivadas/derivadas parciais cont´ınuas

(1) d dt

f (x(t), y(t ))

= ∂f

∂x dx dt + ∂f

∂y dy

dt , ou seja, num ponto t = t

,

d dt

f(x(t),y(t)) (t0) = ∂f

∂x x(t0),y(t0)dx

dt(t0) +∂f

∂y x(t0),y(t0)dy dt(t0)

Exerc´ıcios:

(2) d dt

f (x(t), y(t ), z (t))

= ∂f

∂x dx dt + ∂f

∂y dy dt + ∂f

∂z dz dt

(3)



 

 

∂

∂s

f (x (s, t ), y (s, t))

=

+

∂

∂t

f (x(s, t), y(s, t))

=

+

etc...

A Regra da Cadeia pode usar-se para demonstrar que (para fun¸ c˜ oes com derivadas parciais cont´ınuas):

(1) D

f (P

) = ∇f (P

) · u ˆ

(basta aplic´ a-la ` a fun¸ c˜ ao φ(t) = f (a + tu

, b + tu

)) (2) Em qualquer ponto, o (vector) gradiente ´ e perpendicular

`

a curva de n´ıvel que passa nesse ponto (basta ver que, se x(t ), y (t )

descrever um percurso nessa curva de n´ıvel, ent˜ ao d

dt

f x(t ), y (t)

= 0)

(3) (Para fun¸ c˜ oes de trˆ es vari´ aveis) Em qualquer ponto, o gradiente ´ e perpendicular ` a superf´ıcie de n´ıvel que passa nesse ponto

(basta ver que, se x(t ), y (t ), z (t)

descrever um percurso nessa superf´ıcie de n´ıvel, ent˜ ao d

dt

f x(t), y(t ), z (t)

= 0)

Extremos (m´ aximos e m´ınimos)

Diz-se que a fun¸ c˜ ao f tem em P

= (a, b) um m´ aximo local se para qualquer (x, y) pr´ oximo de (a, b) se tem f (x, y ) ≤ f (a, b).

Diz-se que a fun¸ c˜ ao f tem em P

= (a, b) um m´ınimo local se para qualquer (x, y) pr´ oximo de (a, b) se tem f (x, y ) ≥ f (a, b).

Em qualquer destes casos as fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel f (x, b) e f (a, y ) ter˜ ao extremos locais em x = a e y = b, respectivamente.

Ou seja, caso existam f

(a, b) e f

(a, b) no ponto de extremo local (a, b) teremos (se esse ponto n˜ ao estiver na fronteira de D

),

∇f (a, b) = ~ 0, ou seja,







f

(a, b) = 0

f

(a, b) = 0

Ponto cr´ıtico ´ e um ponto do dom´ınio da fun¸c˜ ao onde o gradiente se anula ou onde n˜ ao existe uma das derivadas parciais.

Os extremos locais de uma fun¸ c˜ ao (que n˜ ao estejam na fronteira do seu

dom´ınio) s´ o podem ser atingidos em pontos cr´ıticos (mas isto n˜ ao quer

dizer que qualquer ponto cr´ıtico ´ e um ponto de extremo local).

´ E poss´ıvel provar que uma fun¸ c˜ ao, f , com derivadas parciais cont´ınuas, tem um m´ınimo local em (a, b) se e s´ o se para qualquer vector unit´ ario ˆ u a fun¸c˜ ao φ(t) = f (a + tu

, b + tu

) tiver um m´ınimo local em t = 0.

Sabemos da An´ alise I que isso acontece se φ

(0) = 0 e φ

(0) > 0.

Se usarmos a regra da cadeia obtemos φ

(0) = u

f

(a, b) + u

f

(a, b)

(φ

(0) anula-se para qualquer ˆ u se e s´ o se f

(a, b) = f

(a, b) = 0) φ

(0) = h

u

u

i

"

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

# "

u

u

#

(φ

(0) ´ e positivo para qualquer ˆ u se e s´ o se os valores pr´ oprios da matriz do meio forem ambos positivos)

Teremos m´ aximo local em (a, b) se e s´ o se φ

(0) = 0 e φ

(0) < 0 para

qualquer ˆ u (ou seja, ambos os valores pr´ oprios negativos)

Se ∇f (a, b) = ~ 0 e f tiver derivadas parciais de 2

ordem cont´ınuas numa vizinhan¸ca de (a, b), tem-se

I

se det

"

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

#

< 0 ent˜ ao (a, b) n˜ ao ´ e ponto de m´ aximo nem de m´ınimo (´ e um ponto de sela);

I

se det

"

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

#

= 0 nada se pode concluir a partir das derivadas de segunda ordem;

I

se det

"

f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b) f

(a, b)

#

> 0 ent˜ ao h´ a um extremo local em (a, b) (m´ aximo se f

(a, b) < 0 e m´ınimo se f

(a, b) > 0).

Exerc´ıcios: Determinar os extremos locais de

2 2 2

−

−

Diz-se que a fun¸ c˜ ao f tem em P

= (a, b) um m´ aximo global ou absoluto se para qualquer (x, y) em D

se tem f (x, y) ≤ f (a, b).

Diz-se que a fun¸ c˜ ao f tem em P

= (a, b) um m´ınimo global ou absoluto se para qualquer (x, y) em D

se tem f (x, y) ≥ f (a, b).

Toda a fun¸ c˜ ao cont´ınua em que o dom´ınio ´ e fechado (isto ´ e, cont´ em a sua fronteira) e limitado (est´ a totalmente contido nalguma bola aberta) tem sempre um m´ aximo e um m´ınimo absolutos.

Exerc´ıcio:

Se quisermos procurar os extremos locais da restri¸c˜ ao de f (x, y) a uma curva de equa¸ c˜ ao g (x, y) = 0, ent˜ ao, se o ponto (x(t), y(t )) se estiver a deslocar nessa curva, teremos de procurar o instante onde

d

dt

f (x(t ), y (t ))

= 0.

A regra da cadeia indica-nos que nesse instante ∇f dever´ a ser

0 0

∇f ∇g

Assim, o sistema de equa¸ c˜ oes a resolver para encontrar os pontos

“cr´ıticos” deste problema ´ e:







∇f (x , y ) = λ∇g (x, y ) g (x, y ) = 0

ou



 

 

 

 

f

(x, y) = λ g

(x, y ) f

(x , y ) = λ g

(x, y) g (x, y) = 0

(as inc´ ognitas s˜ ao x, y e λ)

Exerc´ıcio:

I

Se o problema a resolver for o de encontrar o m´ aximo e o m´ınimo globais de uma fun¸ c˜ ao cont´ınua num conjunto fechado e limitado, n˜ ao precisamos de usar derivadas de 2

ordem (ao contr´ ario do que acontece com problemas de extremos locais).

I

Basta calcular o valor da fun¸ c˜ ao em pontos onde esses extremos podem ser atingidos:

I

pontos do interior do conjunto onde o gradiente se anula

I

pontos da fronteira do conjunto onde o gradiente ´ e perpendicular ` a recta tangente ` a fronteira

I

pontos onde n˜ ao existe gradiente ou n˜ ao existe recta tangente

`

a fronteira