Métricas de Finsler Esfericamente Simétricas
Métricas de Finsler Esfericamente Simétricas
Tese apresentada ao Departamento de Ma-temática da Universidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de DOUTOR EM MATEMÁTICA
Universidade de Brasília – UNB
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação
Orientadora: Keti Tenenblat
So l ó r zano Chávez , Newt on Maye r .
S689m Mé t r i cas de F i ns l e r es f e r i camen t e s imé t r i cas / Newt on Maye r So l ó r zano Chávez . - - 2015 .
i i , 77 ; 30 cm.
Tese ( dou t o r ado ) - Un i ve r s i dade de Br as í l i a , I ns t i t u t o de Ci ênc i as Exa t as , Depa r t amen t o de Ma t emá t i ca , Pr og r ama de Pós -Gr aduação em Ma t emá t i ca , 2015 .
I nc l u i b i b l i og r a f i a .
Or i en t ação : Ke t i Tenenb l a t .
1 . F i ns l e r , Pau l , 1894 - 1970 . 2 . Geome t r i a d i f e r enc i a l . I . Tenenb l a t , Ke t i . I I . T í t u l o .
É conhecido que o homem é de natureza sociável, é por isso, que o homem estendeu-se notavelmente no âmbito do científico. Quero agradecer então, as pessoas que tem influenciado na elaboração de este trabalho.
Em primeiro lugar quero agradecer a minha orientadora, a professora Dra. Keti Tenenblat, não encontro palavras suficientes para expressar minha gratidão e admiração. Quero agradecer por tudo o que representa na minha vida, sempre foi uma fonte de conhecimento e conselhos, pois de acordo a seus conhecimentos e experiências fez do processo de execução de este trabalho, uma experiência favorável na minha formação profissional, e no âmbito pessoal sempre se disponibilizou para escutar e aconselhar.
Agradeço em segundo lugar aqueles que são o suporte de meus ideais e paixões: meus pais, que sempre apoiaram minhas decisões no material e por suposto no espiritual. Faltam palavras para agradecer-os por tudo o que representam na minha vida. Imagino minha vida sem pais assim, e no vejo um futuro bom.
À todos eles devo minhas bases na Matemática.
Em terceiro lugar, agradeço a meus amigos, companheiros de aulas (de guerra), que de uma ou outra forma influenciaram na execução deste trabalho.
Em quarto lugar, quero agradecer à meus professores mais influentes no aspecto do meu processo de evolução mental e espiritual, no ensino médio, na universidade do Perú, na UFG (em especial ao meu orientador de mestrado: Prof. Marcelo) e na UNB. A vocês devo meu avanço na Matemática e o carinho pela Geometria.
E por último, agraço a CAPES e CNPQ pelo apoio financeiro, que é de muita importância.
Gracias a todos ellos, no los olvidaré.
mas inclui uma viagem gratuita em torno do Sol a cada ano.
Consideramos métricas de Finsler esfericamente simétricas do tipo Douglas. Caracterizamos tais métricas por uma equação diferencial e obtemos a solução geral desta equação em termos de quatro funções arbitrárias. Quando as métricas de Finsler são esfericamente simétricas mostramos que as métricas do tipo Berwald coincidem com as do tipo Landsberg. Provamos que o problema de classificar as métricas esfericamente simétricas do tipo Douglas com S−curvatura nula reduz-se a classificar as métricas esfericmanete simétricas do tipo
Berwald ou Landsberg. Obtemos a classificação de tais métricas. Incluímos vários exemplos e classes de novas métricas de Douglas.
Palavras-chaves: Finsler. Esfericamente simétrica. Curvatura de Douglas. Curvatura de
We consider spherically symmetric Finsler metrics of Douglas type. We characterize such metrics by a differential equation and we obtain the general solution of this equation in terms of four arbitrary functions. For spherically symmetric Finsler metrics we show that the metrics of Berwald type coincide whit those of Landsberg type. We prove that the problem of classifying the spherically symmetric Douglas metrics whose S−curvature
vanishes reduce to classifying the spherical symmetric metrics of Berwald or Landsberg type. We obtain the classification of such metrics. We include several examples and new classes of Douglas metrics.
Key-words: Finsler. Spherically symmetric. Douglas Curvature. Landsberg Curvature.
Introdução . . . . i
1 Preliminares . . . . 1
1.1 Métricas de Finsler . . . 1
1.2 Métrica (α, β)−generalizada . . . 3
1.3 Geodésicas e Campos de Vetores Paralelos . . . 5
1.4 Métricas de Berwald e Landsberg . . . 9
1.5 Métricas de Douglas . . . 13
1.6 S−Curvatura . . . 15
1.7 Métricas esfericamente Simétricas . . . 21
1.8 Equação de Transporte . . . 26
2 Métricas de Douglas . . . 31
2.1 Métricas de Douglas Esfericamente Simétricas . . . 31
2.2 Caracterização das Métricas de Douglas Esfericamente Simétricas . . . . 40
2.3 Exemplos de Famílias de Métricas de Douglas. . . 44
3 Métricas de Berwald e métricas de Landsberg . . . 49
3.1 Métricas de Berwald Esfericamente Simétricas . . . 49
3.2 Métricas de Landsberg Esfericamente Simétricas . . . 51
4 Métricas de Douglas com S-curvatura nula . . . 61
4.1 Métricas de Douglas esfericamente simétrica com S-curvatura nula . . . 61
4.2 Caracterização em termos de Métricas de Berwald e de Landsberg . . . 63
INTRODUÇÃO
Podemos dizer que o que se conhece hoje por Geometria de Finsler tem suas origens nos trabalhos de Bernhard Riemann a partir de 1854, porém seu nome se deve ao matemático alemão Paul Finsler (1894-1970), que estudou diversos fundamentos dessa geometria em cálculo das variações, publicando sua tese em 1918. Variedades de Finsler generalizam a noção de variedades Riemannianas, onde a norma de uma forma quadrática positiva definida é substituída por uma norma com propriedades mais fracas, a chamada norma de Minkowski. Modelos dinâmicos descritos pela Geometria de Finsler aparecem naturalmente em diversas áreas como mecânica clássica, ótica geométrica, mecânica quântica, etc. A partir de Finsler, diversos matemáticos tiveram importância central para o desenvolvimento desta teoria no século XX, como L. Berwald, E. Cartan, S-S. Chern e outros.
No Capítulo 1, incluímos uma breve introdução à Geometria de Finsler e estudamos certas classes destas métricas como as (α, β)−métricas generalizadas que foram introduzidas por C. Yu e H. Zhu em [40]. Introduzimos também certas curvaturas como a curvatura de Berwald, curvatura de Landsberg, curvatura de Douglas e aS−curvatura. As métricas com
curvatura de Berwald nula são chamadas métricas de Berwald e são uma generalização das métricas projetivamente planas (métricas cujas geodésicas são linhas de reta) e das métricas Riemannianas. As métricas com curvatura de Landsberg e Douglas nula são chamadas métricas de Landsberg e Douglas, respectivamente e são generalizações das métricas de Berwald. Neste capítulo também introduzimos as métricas esfericamente simétricas que foram estudadas pela primeira vez por Rutz em [27]. Para finalizar o Capítulo 1, estudamos o método das curvas características para solucionar equações diferenciais parciais da forma
ψr(r, s) +ν(r, s)ψs(r, s) =P(r, s, ψ(r, s)),
onde ν(r, s) e P(r, s, ψ(r, s)) são diferenciáveis.
No Capítulo 2, estudamos as métricas esfericamente simétricas do tipo Douglas. No Teorema 2.2.1, caracterizamos tais métricas por uma equação diferencial parcial. No Teorema2.2.2, usando o método das curvas características, obtemos a solução geral para a equação diferencial parcial. Como consequência, observamos que as métricas esfericamente simétricas do tipo Douglas são muito ricas já que dependem de 4 funções arbitrárias. Na parte final deste Capítulo, apresentamos exemplos e classes de novas métricas do tipo Douglas.
diferenciais (Teorema 3.1.3 e Proposição 3.2.2). Estudando estas equações concluímos que estes tipos de métricas são equivalentes quando a métrica de Finsler é esfericamente simétrica (Teorema 3.2.3).
No Capítulo 4, consideramos métricas esfericamente simétricas e o elemento de volume dVBH Busemann-Hausdorff para caracterizar tais métricas do tipo Douglas com
S−curvatura nula mediante um sistema de equações diferenciais parciais (ver Teorema
4.1.2). Notamos que este sistema está estreitamente relacionado com o sistema dado no
Teorema 3.1.3que caracteriza métricas do tipo Berwald, provamos então o Teorema 4.1.3
que afirma: toda métrica esfericamente simétrica é do tipo Douglas com S−curvatura nula
se, e somente se, é do tipo Berwald. Assim o problema de classificar métricas esfericamente simétricas com S−curvatura nula se reduz a classificar métricas esfericamente simétricas do tipo Berwald ou Landsberg (ver Teorema 3.2.3), cujo sistema de equações diferenciais parciais foi dado no capítulo anterior (Teorema 3.1.3). Mediante a técnica de curvas características dada no Capítulo 1, obtemos a classificação de tais métricas no Teorema
4.2.1.
São enunciadas consequências interessantes do Teorema 4.2.1, tais como o Corolário 4.2.1
que nos fornece o elemento de volume dVBH, e o Corolário 4.2.2 que é consequência
conjunta com o Teorema 3.2.3que nos dá uma classificação das métricas de Landsberg (ou Berwald ou Douglas com S−curvatura nula) sobreRn.Incluímos algumas observações
no caso em que se considera o elemento de volume dVHT Holmes-Thompson. E finalmente
1 PRELIMINARES
Neste capítulo, apresentaremos algumas definições e resultados que servirão para o desenvolvimento dos capítulos subsequentes.
Faremos uso da convenção de Einstein, ou seja, não escreveremos o símbolo do somatório para representar a soma quando aparecerem índices repetidos.
1.1 Métricas de Finsler
SejaV um espaço vetorial de dimensão n. Diremos que F :V →[0, ∞) é métrica
de Minkowski se satisfaz as seguintes propriedades:
(M1)F éC∞ sobreV \ {0};
(M2)F(λy) = λF(y),para todo y∈V com λ >0;
(M3) para cada y ∈ V \ {0}, a forma bilinear simétrica gy sobre V é positiva
definida, onde
gy :=
1 2
∂2
∂s∂t
h
F2(y+su+tv)i
|s=t=0, u, v ∈V. (1.1)
O par (V, F) é chamado espaço de Minkowski.
Todo espaço vetorial de dimensãon é linearmente isomorfo a Rn, cujos elementos
y são da forma (y1, . . . yn) =y. Então podemos considerar, sem perda de generalidade, as
métricas de Minkowski sobre Rn.
Seja (V, F) um espaço de Minkowski. Fixemos uma base{bi}paraV, e consideremos
F(y) = F(yib
i) como função de (yi)∈Rn. Então para y6= 0,
gij(y) :=gy(bi, bj) =
1
2[F2]yiyj(y),
onde [F2]
yiyj(y) denota a derivada parcial deF2 em relação a yi eyj. Assim, temos
gy(u, v) =gij(y)uiuj, u=uibi, v =vjbj
e usando o Teorema de Euler (Teorema 1.1.1),
F(y) = qgij(y)yiyj, y=yibi.
De agora em diante M denotará uma variedade diferenciável de dimensão n. Sendo TxM
Definição 1.1.1. SejamM uma variedade diferenciável de dimensãoneT M = ∪x∈MTxM
o fibrado tangente de M, onde TxM é o espaço tangente em x ∈ M. Consideremos
T Mo :=T M \ {0}, onde {0} entende-se por {(x, 0)|x∈M, 0∈TxM}. Diremos que uma
função F :T M →[0, ∞) é uma métrica de Finsler sobre M se F satisfaz as seguintes
propriedades:
(a) F éC∞ sobre T M
o;
(b) em cada ponto x ∈M, a restrição Fx :=F|TxM é uma norma de Minkowski
sobre TxM.
Exemplos:
1. (Métrica Riemanniana) Seja g = {gx}x∈M, onde gx é uma forma bilinear
simétrica positiva definida sobre TxM tal que em coordenadas locais (xi),
gij(x) = gx
∂ ∂xi|x,
∂ ∂xj|x
!
são funções C∞, g é chamada métrica Riemanniana. Defina
Fx(y) =
q
gx(y, y), y∈TxM. (1.2)
Da definição, vemos queFxé uma norma Euclidiana. Assim a família de normas Euclidianas
F =Fx∈M é uma métrica de Finsler sobre M.
Uma métrica F de Finsler é chamada Riemanniana se pode ser expressa por (1.2)
para alguma métrica Riemanniana g.
2.(Métrica de Randers)Sejamα(x, y) =qaij(x)yiyj uma métrica Riemanniana
e β(x, y) =bi(x)yi uma 1-forma definida sobre uma variedade M com coordenadas locais
(xi) e y=yi ∂
∂xi.Para cada x∈M,assuma que
||β||x = sup
y∈TxM:α(y)=1
β(y)<1.
EntãoF :=α+βdefinida sobre M é uma métrica de Finsler, chamadamétrica de Randers.
As métricas de Randers foram introduzidas pelo físico G. Randers, em 1941 [26].
3. (Métrica de Funk)[32] Seja Ω um domínio convexo em Rn. A métrica de
Funk F é definida por
x+ y
F(x, y) ∈∂Ω, y∈TxΩ≈R
n. (1.3)
Em particular, se Ω = Bn(1), temos
F(x, y) =
q
|y|2 −(|x|2|y|2−< x, y >2)+< x, y >
Antes de dar a conhecer alguns exemplos mais complexos, enunciaremos o seguinte Teorema que é de uso frequente nos argumentos de muitos resultados.
Teorema 1.1.1. (Teorema de Euler)Suponha que a funçãoH sobreRné diferenciável fora do origem. Então as seguintes afirmações são equivalentes:
• H é positiva homogênea de grau r, isto é,
H(λy) =λrH(y), para todo λ >0. • A derivada direcional radial de H é r vezes H(r), isto é,
yiHyi(y) =rH(y).
1.2 Métrica
(
α, β
)
−
generalizada
De agora em diante sempre que seja possível, não faremos distinção entre (x, y)∈ T M e seu sistema de representação de coordenadas locais (xi, yi), isto é
x= (xi)∈M, y=yi ∂
∂xi ∈TxM.
Métricas (α, β) formam uma classe especial de métricas de Finsler, particularmente porque elas são mais tratáveis [1]. As métricas de Randers são exemplos mais simples das (α, β)−métricas, pois basta considerarφ(s) = 1−s. Outro exemplo importante deste tipo
de métricas foi dado por L. Berwald [7],
F = (
q
(1− |x|2)|y|2+< x, y >2+< x, y >)2
(1− |x|2)2q(1− |x|2)2|y|2+< x, y >2 .
que é um tipo especial das métricas (α, β) na forma F = (α+αβ)2, com ||β||α < 1. Esta
métrica é projetivamente plana sobre Bn(1) com curvatura flag K = 0. O conceito de
métricas (α, β) foi proposta pela primeira vez por M. Matsumoto em 1972 como uma
direta generalização de métricas de Randers [19].
Em 2011, C.Yu e H. Zhu, [40] generalizaram o conceito da (α, β)−métrica como
segue.
Definição 1.2.1. [40] SejaF uma métrica de Finsler sobre uma variedadeM.F é chamada
(α, β)−métrica generalizada, se F pode ser expressa como F =αφ(x,βα), onde φ(x, s) é
uma função regular, α é uma métrica Riemanniana e β é uma 1-forma. F é chamada uma
As métricas de Finsler do tipo
F =αφ b, β α
!
(1.4)
são as classes mais tratáveis das (α, β)−métricas generalizadas a menos das (α, β)−métricas. φ(b, s) é uma função positiva regular com b, s como suas variáveis e |s| ≤ b < b0 como
definição do seu domínio para 0< b0 ≤+∞.
Vamos citar resultados básicos para métricas do tipo (1.4) que foram obtidos em [40].
Proposição 1.2.1. [40] Seja F = αφ(b,βα) uma (α, β)−métrica generalizada, então o
tensor fundamental é dado por
gij =ρaij +ρ0bibj+ρ1(biαyj +bjαyi)−sρ1αyiαyj,
onde s= βα e
ρ=φ(φ−sφs), ρ0 =φφss+φsφs, ρ1 = (φ−sφs)φs−sφφss.
Além disso,
det(gij) = φn+1(φ−sφs)n−2(φ−sφs+ (b2−s2)φss) det(aij),
gij =ρ−1n
aij +ηbibjη
0α−1(biyj+bjyi) +η1α−2yiyj
o
,
onde (gij) = (g
ij)−1, (aij) = (aij)−1, bi =aijbj,
η =−( φss
φ−sφs+ (b2 −s2)φss)
, η0 =−
(φ−sφs)φs−sφφss
φ(φ−sφs+ (b2−s2)φss)
,
η1 =
(sφ+ (b2−s2)φ
s)((φ−sφs)φs−sφφss)
φ2(φ−sφ
s+ (b2−s2)φss)
.
Proposição 1.2.2. [40]Sejam M uma variedade de dimensão n, α uma métrica
Rieman-niana e β uma 1-forma com ||β||α < b0. Então F = αφ(b,βα) é uma métrica de Finsler sobre M se, e somente se, φ =φ(b, s) é uma função diferenciável positiva satisfazendo
φ(s)−sφs(s) + (r2−s2)φss(s)>0,
quando n≥2, com a condição adicional
φ(s)−sφs(s)>0,
1.3 Geodésicas e Campos de Vetores Paralelos
Geodésicas
Nesta seção, daremos a equação tipo Euler-Lagrange para curvas minimizantes num espaço de Finsler (M, F). Seja c: [a, b]→M uma curva C∞ por partes, com velocidade
F( ˙c) =λ, onde λ é uma constante real. Por definição, existe uma partição de [a, b],
a=t0 < . . . < tm =b,
tal que c(r) é C∞ sobre cada [t
i−1, ti]. Fixemos a partição acima e consideremos uma
variação C∞ por partes de c(t) dada pela aplicação H : (−ǫ, ǫ)×[a, b]→M tal que
a. H é C0 sobre (−ǫ, ǫ)×[a, b];
b. H é C∞ sobre cada região (−ǫ, ǫ)×[t
i−1, ti], i= 1, . . . , m;
c. c(t) = H(0, t), a≤t≤b,
O campo vetorial
V(t) = Vi(t) ∂
∂xi|c(t) :=
∂H ∂u(0, t)
é chamado campo variacional de H.
O comprimento de cu(t) :=H(u, t) é dado por
L(u) :=
Z b
a F ( ˙cu(t))dt = m
X
i=1
Z ti
ti−1
F ∂H ∂t (u, t)
!
dt
Observe que
L′(0) =
Z b
a
1 2F
(
[F2]xkVk+ [F2]yk
dVk
dt
)
dt
=Z b
a
(
1 2F[F
2]
xk −
d dt
1
2F[F
2]
yk
)
Vkdt
+
m
X
i=1
1 2F[F
2]
ykVk|tti i−1
=Z b
a
1 2F
n
[F2]xk−[F2]xlykc˙l−[F2]ykylc¨l
o
Vkdt
+
m
X
i=1
1 2F[F
2]
ykVk|tti i−1
=−
Z b
a
1
Fgjk
n
¨
cj+ 2Gj( ˙c)o
Vkdt
+Xm
i=1
1 2F[F
2]
ykVk|tti
onde gij(y) := 12[F2]yiyj(y) e
Gi(y) := 1
4gil
n
[F2]xkyl(y)yk−[F2]xl(y)
o
. (1.6)
Seja
κ(t) := 1 F( ˙c(t))2
n
¨
ci+ 2Gi( ˙c)o ∂
∂xi|c(t). (1.7)
κ(t) é chamado curvatura geodésica de cem t. Podemos expressar (1.5) sem os índices da
seguinte forma
L′(0) =−λ
Z b
a gc˙(κ, V)dt+λ
−1g ˙
c(b)( ˙c(b), V(b))−gc˙(a)( ˙c(a), V(a)) (1.8)
+λ−1kX−1
i=1
n
gc˙(t−
i)
˙
c(t−
i ), V(ti)
−gc˙(t+
i)
˙
c(t+
i ), V(ti)
o
, (1.9)
onde λ =F( ˙c(t)) é constante por hipótese.
Assumamos que c tem comprimento mínimo. Então L′(0) = 0, para quaisquer
variação C∞ por partesH de cfixados os pontos inicial e final de c.
Primeiramente, consideremos qualquer variação C∞ por partes H de c com
H(u, ti) = c(ti) (portanto,V(ti) = 0),i= 0, . . . , k. Por (1.8), temos
L′(0) =λ
Z b
a gc˙(κ, V)dt = 0.
Isto implica que
κ(t) = 0.
Para quaisquer 1 ≤i0 ≤ k−1 e v ∈ Tc˙(ti0), consideremos uma variação C
∞ por
partes H dec, tal que deixa fixo os pontos inicial e final de ccom
V(ti0) = v, H(u, ti) =c(ti), i6=i0
Por (1.8), temos
L′(0) =λ−1
gc˙(t+
i0)
˙
c(t+i0), v−gc˙(t−
i0)
˙
c(t−i0), v
= 0.
Concluímos que
˙
c(t−i0) = ˙c(t +
i0),
isto é, cé C1 em cada t
i. Em coordenadas locais,κ= 0 é equivalente ao seguinte sistema
de equações diferenciais ordinárias,
¨
ci+ 2Gi( ˙c) = 0, i= 1,2, . . . n. (1.10)
Por isso, cdeve serC∞ em cada t
Proposição 1.3.1. Seja c uma curva C∞ por partes com velocidade constante sobre uma variedade de Finsler (M, F). Se c é de comprimento mínimo, então c é uma curva C∞ com curvatura geodésica nula (κ= 0).
A Proposição1.3.1 motiva a seguinte definição,
Definição 1.3.1. Uma curva C∞ numa variedade de Finsler (M, F) é chamada geodésica
se ela tem velocidade constante e sua curvatura geodésica é nula.
As funções locaisGi, chamadas coeficientes geodésicos, definidas em (1.6) podem
ser expressas como (ver [13])
Gi(y) = 1
4gil(y)
(
2∂gjl
∂xk(y)−
∂gjk
∂xl (y)
)
yjyk. (1.11)
Usando
[F2]xl = 2F Fxl, [F2]xkylyk=
2Fxkyk
F gmly
m+ 2F F xkylyk,
obtemos
Gi =P yi+Qi, (1.12)
onde
P := Fxky
k
2F , Q
i := F
2gil
n
Fxkylyk−Fxl
o
.
Da definição, os coeficientes geodésicos Gi satisfazem a seguinte condição de
homogeneidade
Gi(λy) = λ2Gi(y), λ >0.
Campo de Vetores Paralelo
Sejam (M, F) uma variedade de Finsler, c = c(t) uma curva C∞ em M e U =
Ui(t) ∂
∂xi|c(t) um campo vetorial ao longo dec. Defina
Dc˙U(t) :=
n
˙
Ui(t) +Uj(t)Nji(c(t),c˙(t))o ∂ ∂xi|c(t),
onde Ni j := ∂G
i
∂yj. Podemos verificar que
Dc˙(U +V)(t) =Dc˙U(t) +Dc˙V(t),
Dc˙(f U)(t) =f′(t)U(t) +f(t)Dc˙U(t).
Como Dc˙U(t) depende linearmente de U =U(t), Dc˙U(t) é chamado derivada covariante
Um campo vetorial U = U(t) ao longo de c(t) é chamado de campo vetorial
linearmente paralelo se satisfaz a equação Dc˙U(t) = 0, isto é,
˙
Ui(t) +Uj(t)Nji(c(t),c˙(t)) = 0. (1.13)
É claro que, para qualquer t0 no domínio, U depende linearmente do valor inicial U(t0).
Sejaσ =σ(t) uma curva em M. Então o campo vetorial tangente U := ˙σ(t) é um
campo vetorial especial ao longo de σ. SendoGi homogêneo positivo de grau 2, a equação
(1.13) torna-se
¨
σi(t) + 2Gi(σ(t),σ˙(t)) = 0. (1.14)
Por isso, a curva σ é uma geodésica se, e somente se, o campo vetorial tangente U = ˙σ(t) é linearmente paralelo ao longo da curva σ.
Observação 1.3.1. Para campos vetoriais linearmente paralelos X =X(t) e Y =Y(t)
ao longo de uma geodésica c(t), a expressão gc˙(t)(X(t), Y(t)) é constante, e para um
campo vetorial paralelo X =X(t) ao longo de uma curva c, F(c(t), X(t)) é constante. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [13] pg. 73-74.
Duas métricas F e F sobre uma variedade M são chamadas equivalentes afim
se elas têm as mesmas geodésicas como curva parametrizada, isto é, se σ = σ(t) é uma
geodésica de F,então é também uma geodésica de F e vice-versa. Sejam Gi =Gi(x, y) e
Gi =Gi(x, y), os coeficientes geodésicos de F e F , respectivamente, no mesmo sistema
canônico de coordenadas locais (xi, yi) emT M. Claramente, F eF são equivalentes afim
se, e somente se,
Gi(x, y) = Gi(x, y).
SejaF uma métrica de Minkowski sobre um espaço vetorial. EntãoF é equivalente
afim a uma métrica Euclidiana.
Um resultado interessante e útil é o seguinte,
Lema 1.3.1. Sejam (M, F) uma variedade de Finsler e F uma outra métrica de Finsler sobre M tal que para qualquer campo vetorial paralelo U =U(t)com respeito a F ao longo
de qualquer curva c=c(t) se tenha,
F(c(t), U(t)) =constante,
então F é equivalente afim a F .
Definição 1.3.2. Seja c = c(t), a ≤ t ≤ b, uma curva C∞ por partes de c(0) = p a
c(b) = q. DefinaPc :TpM →TqM por
Pc(u) := U(b), u∈TpM,
onde U =U(t) é o campo vetorial paralelo ao longo de c com U(a) = u. Pc é chamado
transporte paralelo ao longo dec.
O transporte paralelo Pc é um difeomorfismoC∞ de TpM\{0}sobre TqM\{0} e é
positivo homogêneo de grau 1,
Pc(λu) =λPc(u), λ >0, u∈TpM.
No entanto, em geral Pc não é linear.
1.4 Métricas de Berwald e Landsberg
Métricas de Berwald
De forma geral, os coeficientes geodésicos Gi não são quadráticos em y∈T xM.
Definição 1.4.1. Uma métrica de Finsler é chamadamétrica de Berwald se para qualquer
sistema canônico de coordenadas locais (xi, yi), os coeficientes geodésicosGi são quadráticos
em y∈TxM, para todox∈M, ou seja, existem funções locais Γijk sobre M tal que
Gi(y) = 1
2Γijk(x)yjyk.
No exemplo seguinte, veremos que toda métrica Riemanniana é de Berwald:
Exemplo 1.4.1. Seja F(x, y) =qgijyiyj uma métrica Riemanniana sobre uma variedade
M. De (1.11) temos
Gi(x, y) = 1
2gil(x)
(
2∂gjl
∂xk(x)−
∂gjk
∂xl (x)
)
yjyk, (1.15)
onde (gij(x)) := (g
ij(x))−1. Claramente, Gi é quadrático em y ∈ TxM. Logo F é uma
métrica de Berwald.
Existem muitas métricas de Berwald que não são Riemannianas.
Exemplo 1.4.2. Considere a métrica de RandersF =α+β sobre uma variedadeM,onde α(x, y) =qaij(x)yiyj é Riemanniana e β(x, y) =bi(x)yi é uma 1-forma com ||β||x < 1.
Como foi obtido no exemplo anterior, temos que os coeficientes geodésicos de α podem ser expressos como
Gi(x, y) = 1
2Γ
onde Γijk(x) = Γikj(x) são funções locais de x∈M.Defina bi|j por
bi|jdxj :=dbi−bjΓ j
ikdxk. (1.16)
Sejam
rij :=
1 2
bi|j +bj|i
, sij :=
1 2
bi|j −bj|i
.
Os coeficientes geodésicos Gi deF são dados por
Gi =Gi +P yi+Qi,
onde
P := 1
2F
n
rijyiyj −2αbrarpsplyl
o
Qi :=αairsrlyl.
Assumamos que β seja paralelo com respeito aα, isto é, bi|j = 0, então
rij = 0 =sij.
Portanto, P =Qi = 0, o que implica
Gi =Gi.
Como os Gi são quadráticos emy∈T
xM para todo x∈M,segue que F =α+β é uma
métrica de Berwald. Neste caso as geodésicas de F coincidem com as de α a menos de
uma reparametrização. Por outro lado, se F é do tipo Berwald, então bi|j = 0. Ver [20]
para maiores detalhes.
É por isso que se uma métrica de Finsler é equivalente afim a uma métrica Riemanniana, então deve ser uma métrica de Berwald.
Proposição 1.4.1. [16] Seja (M, F) uma variedade de Berwald. Para qualquer curva
regular c(t) depaq em M,o transporte paralelo Pc é uma isometria linear entre(TpM, Fp)
e (TqM, Fq).
As métricas Riemannianas são uma família especial das métricas de Berwald. Na verdade, métricas de Berwald são quase Riemannianas, no sentido de que toda métrica de Berwald é equivalente afim a uma métrica Riemanniana, isto é, que as geodésicas de qualquer métrica de Berwald são geodésicas de alguma métrica Riemanniana [37].
Uma caracterização equivalente das métricas de Berwald e que foi assim como L. Berwald definiu pela primeira vez (ver [5] [6]), é a seguinte:
Seja
Bjkli (y) := ∂Gi
onde Gi são os coeficientes geodésicos de F. Para um vetor tangente y∈T
xM\{0},defina
By :TxM ⊗TxM ⊗TxM →TxM, (1.18)
por
By(u, v, w) = Bjkli (y)ujvkwl
∂
∂xi|x, (1.19)
onde u = ui ∂
∂xi|x, v = vj ∂∂xj|x e w = wk ∂∂xk|x. By(u, v, w) é simétrico em u, v e w. A
homogeneidade de Gi implica
By(y, v, w) = 0. (1.20)
Definição 1.4.2. [31] A curvatura de Berwaldde uma métrica de Finsler é definida como
um tensor, que em coordenadas locais é dado por:
B :=Bjkli dxj ⊗dxk⊗dxl⊗ ∂ ∂xi,
onde,
Bjkli = ∂3Gi
∂yj∂yk∂yl
e Gi são os coeficientes geodésicos de F.
Pode-se mostrar (ver [32]) que uma métrica de Finsler é de Berwald se, e somente se, sua curvatura de Berwald é nula, pois
Γi jk =
∂2Gi
∂yj∂yk.
De agora em diante diremos que uma métrica de Finsler é de Berwald se, e somente se, para todo índice i, j, k, l e (x, y)∈T M
∂3Gi
∂yj∂yk∂yl = 0, (1.21)
onde Gi são os coeficientes geodésicos de F dados por (1.6) ou (1.12)
Métricas de Landsberg
Seja (M, F) uma variedade de Finsler. Paray∈TxM,defina
Ly(u, v, w) :=
1
Em coordenadas locais,
Ly(u, v, w) =Lijk(y)uivjwk, (1.23)
onde u=ui ∂
∂xi|x, v =vj ∂∂xj|x, w =wk ∂∂xk|x e
Lijk(y) =
1 2y
mg
ml(y)Blijk(y) =
1 2y
mg ml(y)
∂3Gl
∂yi∂yj∂yk(y). (1.24)
Ly é uma forma multilinear simétrica. Mostra-se facilmente de (1.20) e (1.22) que
Ly(y, v, w) = 0. (1.25)
Definição 1.1. Lé dita Curvatura de Landsberg. Uma métrica de Finsler é dita métrica
de Landsberg se L= 0.
L. Berwald foi o primeiro a chamar as métricas comL= 0 de métricas de Landsberg
[6]. De (1.22) temos que se B = 0, então L= 0.
Portanto, as métricas de Berwald são métricas de Landsberg.
Sendo F homogênea positiva de grau 1, temos que a expressão de Ljkl pode ser
melhorada como
Ljkl(y) =
1
2F FyiBjkli . (1.26)
Exemplo 1.4.3. Consideremos a métrica de Randers F := α + β, onde α(x, y) =
q
aij(x)yiyj é uma métrica Riemanniana e β(x, y) =bi(x)yi é uma 1−forma sobre M. M.
Matsumoto, em [20], provou que F é uma métrica de Landsberg se, e somente se, β é paralelo com respeito a α. Isto é,
∂bi
∂xj −Γ k
ijbk= 0,
onde Γk
ij são os símbolos de Christoffel da métrica α.
Na geometria de Finsler existe um problema que ainda está em aberto sobre as métricas de Berwald e Landsberg: verificar se existe uma métrica de Landsberg que não é uma métrica de Berwald. Este problema foi chamado “problema do unicórnio” por D. Bao e M. Matsumoto declarou que procurar tal uma métrica representa o próximo objetivo da Geometria de Finsler [3]. Em 2008, Z. I. Szabó afirmou que toda métrica de Landsberg é do tipo Berwald [35]. Porém, existe um erro na demonstração, pode-se consultar [36] e [21] para mais detalhes.
É conhecido que as seguintes três condições são equivalentes para uma métrica de Randers F =α+β, (ver [20])
(b) F é métrica de Berwald;
(c) β é paralelo com respeito a α.
Z. Shen mostrou que as métricas de Landsberg do tipo (α, β)−métricas são também
métricas de Berwald [33].
1.5 Métricas de Douglas
A noção de espaços de Douglas foi introduzida por S. Bacso e M. Matsumoto [2] como uma generalização dos espaços de Berwald do ponto de vista das equações geodésicas. Uma métrica de Finsler é chamada de métrica de Douglas se os coeficientes geodésicos
Gi =Gi(x, y) são da seguinte forma:
Gi = 1
2Γijk(x)yjyk+O(x, y)yi, (1.27)
onde Γi
jk são funções de x∈M e P uma função de (x, y) ∈T M que satisfaz a seguinte
propriedade de homogeneidade
O(λy) = λO(y).
As métricas de Douglas formam uma família muito rica, incluindo as métricas Riemannianas e as métricas localmente projetivamente planas (métricas que têm linhas retas como geodésicas). O estudo das métricas de Douglas enriquecem nosso entendimento das métricas de Finsler não Riemannianas.
Seja
Djikl :=
∂3
∂yj∂yk∂yl G i
− n+ 11 ∂G
m
∂ymy i
!
. (1.28)
Observe que a condição (1.27) é satisfeita se, e somente se,
Gi− 1 n+ 1
∂Gm
∂ymy i =γi
jkyjyk, (1.29)
para algum conjunto de funções γi
jk(x). Além disso, (1.29) é satisfeita se, e somente se,
Djikl = 0.
Por isso, as métricas de Douglas são também caracterizadas pela equação Djikl= 0. Por
exemplo, uma métrica de Randers F =α+β é do tipo Douglas se, e somente se, β é uma
1-forma fechada [2]. Neste caso F =α+β tem as mesmas geodésicas queα.
De forma geral, considere-se a métrica de Finsler da forma
onde κ e ǫ 6= 0 são constantes. Claramente, F = √α2+κβ2+ǫβ é do tipo Douglas se,
e somente se, β é fechado. Estes tipos de métricas motivam o seguinte Teorema, para
métricas (α, β) sobre um aberto de dimensãon ≥3.
Teorema 1.5.1. [17] Seja F = αφ(s), s = β/α, uma (α, β) métrica sobre um aberto U ⊂ Rn (n≥ 3), onde α =qaij(x)yiyj e β =b
i(x)yi 6= 0. Defina b :=||βx||α e suponha
as seguintes condições:
(a) β não é paralelo com respeito a métricaα,
(b) F não é do tipo Randers e
(c) db6= 0 em toda parte ou b=constante sobre U.
Então F é do tipo Douglas sobre U se, e somente se, a função φ= φ(s) satisfaz a seguinte equação diferencial ordinária:
n
1 + (κ1+κ2s2)s2+κ3s2
o
φ′′(s) = (κ1+κ2){φ(s)−sφ′(s)} (1.30)
e a derivada covariante ∇β =bi|jyidxj de β com respeito a α satisfaz a seguinte equação:
bi|j = 2τ
n
(1 +κ1b2)aij + (κ2b2+κ3)bibj
o
, (1.31)
onde τ =τ(x) é uma função escalar sobre U e κ1, κ2 e κ3 são constantes com (κ1, κ2)6=
(0,0).
A equação (1.30) implica que β é uma 1-forma fechada. Existem muitas soluções
elementares de (1.30). Por exemplo, as seguintes funçõesφ satisfazem (1.30) para algumas
constantes κi.
bφ= 1 +s, φ= 1 +ǫs+s2, φ= (1 +s)2,
φ= 1 +ǫs+sarctan(s), φ= 1 +ǫs+ 2s2− 1
3s4, onde ǫ é constante.
As funções φ=es+ǫs e φ= 1/(1−s) +ǫs não satisfazem (1.30) para quaisquer
κi. Consequentemente, as (α, β)−métricas definidas por estas funções são métricas de
Douglas se, e somente se, β é paralela com respeito aα. [4] [41]
Observação 1.5.1. O tensor de Douglas é projetivamente invariante, isto é, se duas
métricas de Finsler F e F são projetivamente equivalentes
onde P =P(x, y) é positivo y−homogêneo de grau 1, então o tensor de Douglas de F é
igual ao da F .Por isso, se uma métrica de Finsler é projetivamente equivalente a uma
métrica de Berwald, então ela é uma métrica de Douglas. Entretanto, existe o problema de saber se toda métrica de Douglas é (localmente) projetivamente equivalente a uma métrica de Berwald.
Exemplo 1.5.1. [18] A seguinte métrica de Finsler definida sobre a bola unitáriaBn⊂Rn
é do tipo Douglas
F(x, y) =
q
κ2 < x, y >2 +ε|y|2(1 +ζ|x|2)
1 +ζ|x|2 +
κ < x, y >
1 +ζ|x|2 ,
onde r = 1/√−ζ se ζ < 0 e r = +∞ se ζ ≥ 0. F não é Riemanniana (resp. localmente
projetiva flat), a não ser que κ= 0 (resp. εζ+κ2 = 0) .
A seguinte métrica não é do tipo Randers em geral.
Exemplo 1.5.2. [28] A seguinte métrica de Finsler é do tipo Douglas e tem curvatura
flag constante negativa
Fε(x, y) =
1 2
q
(1− |x|2)|y|2+< x, y >2+< x, y >
1− |x|2
−
−12
εq(1−ε|x|2)|y|2+ε2 < x, y >2+ε2 < x, y >
1−ε2|x|2
.
Note que Fε é do tipo Randers se ε= 0,−1.
1.6
S
−
Curvatura
Existem duas importantes formas de volume na geometria de Finsler. Uma delas é a chamada forma de volume Busemann-Hausdorff e a outra é chamada forma de volume Holmes-Thompson. A forma de volume Busemann-Hausdorff dVBH é dada por
dVBH(x) =σBH(x)dx, onde
σBH(x) =
ωn
Vol{(yi)∈Rn|F(x, yi ∂
∂xi)<1}
e a forma de volume Holmes-Thompson dVHT é dada por dVHT(x) =σHT(x)dx, onde
σHT(x) =
1
ωn
Z
{(yi)∈Rn|F(x,yi ∂ ∂xi)<1}
det(gij)dy.
O operador Vol denota o volume Euclidiano e
ωn:= Vol(Bn(1)) =
1
nVol(S
n−1) = 1
nV ol(S
n−2)Z π 0 sin
n−2(t)dt
Proposição 1.6.1. Seja F = αφ(β, β/α) uma (α, β)−métrica generalizada sobre uma
variedade M, n−dimensional. Sejam dV =dVBH ou dVHT e
A(b) :=
Rπ
0 sin
n−2(t)dt
Rπ
0
senn−2(t)
φ(b,bcos(t))ndt
, se dV =dVBH
Rπ
0 (sen
n−2(t))T(bcos(t))dt
Rπ
0 sen
n−2(t)dt , se dV =dVHT,
(1.32)
onde T(s) :=φ(φ−sφ2)n−2[(φ−sφ2) + (b2−s2)φ22]. Então a forma de volume dV é dada por
dV =A(b)dVα,
onde dVα=
q
det(aij)dx denota a forma de volume Riemanniana de α.
Considere o espaço euclidianoRn,e a família de formas de volumedµǫ =σǫ(x)dx1. . . dxn
sobre Rn,onde
σǫ =ǫneǫ|x|, ǫ >0.
dµǫ determina as conhecidas medidas de Gaussµǫ.Note que σǫ →0 quando ǫ →0+.Para
um valor de ǫ fixado, a taxa de decaimento da medida Gaussiana µǫ em x é definida por
Sx(y) :=−
yi
σǫ(x)
∂σǫ
∂xi(x) = 2ǫ < x, y >, y ∈TxR
n=Rn.
A taxa de decaimento Sx de µǫ vai para ∞(na direção radial) quando x→ ∞. Podemos
estender a noção de taxa de decaimento para variedades de Finsler.
Seja (F, M) uma variedade de Minkowski. Considere um sistema de coordenadas locais (xi, yi) em T M, e sejam Gi os coeficientes geodésicos de F.
Se F é uma norma de Minkowski, então gij := 12[F2]yiyj(y) depende de y e
σF 6=
q
det(gij(y)),em geral. Defina
τ := ln
q
det (gij(y))
σF
. (1.33)
τ =τ(y) está bem definido, e é chamado de distorção de F [30], [32]. Observe que
τyi =
∂ ∂yi
lnqdet (gjk(y))
σF
=
1 2σF
gjk∂gjk
∂yi . (1.34)
Uma métrica Euclidiana é caracterizada pelo seguinte lema.
(a) F é Euclidiana,
(b) τ =constante,
(c) τ = 0.
Seja (M, F) uma variedade de Finsler. A distorção é definida para a norma de Minkowski sobre cada espaço tangencial. Então obtemos uma função escalar τ =τ(x, y) sobre T M\{0}, que também é chamada distorção de F. Então F é Riemanniana se, e
somente se, τ = 0.
Mostraremos que sobre uma variedade de Berwald, a distorção é constante ao longo de qualquer geodésica, porém não é constante sobre a variedade em geral. Por isso é natural estudar a variação da distorção ao longo de geodésicas para variedades de Finsler em geral.
Para um vetor y∈TxM\{0}, seja c= c(t) uma geodésica com c(0) = xe ˙c(0) =y.
Defina
S(x, y) := d
dt[τ(c(t),c˙(t))]|t=0. (1.35) S =S(x, y) é positivay−homogênea de grau 1,
S(x, λy) = λS(x, y), λ >0.
S é chamado de S−curvatura. Num sistema de coordenadas locais (xi, yi), seja dV F =
σF(x)dx1. . . dxn a forma de volume eGi = Gi(x, y) os coeficientes geodésicos de F.Temos
de (1.15) que
∂Gm
∂ym =
1 2gml
∂gml
∂xi y i
−gjk∂gjk ∂yi G
i. (1.36)
Portanto, de (1.35) e (1.36), temos
S=yi ∂τ ∂xi −2
∂τ ∂yiG
i
= 1 2gml
∂gml
∂xi y i
−gjk∂gjk ∂yi G
i
−ym ∂
∂xm (lnσF(x))
= ∂Gm
∂ym(x, y)−y m ∂
∂xm (lnσF(x)). (1.37)
Proposição1.4.1nos diz que toda variedade de Berwald é modelada sobre um único espaço de Minkowski. Além disso, a geometria dos espaços tangentes não muda ao longo das geodésicas. Esta observação leva a seguinte proposição importante para uma métrica de Berwald com respeito a forma de volume Busemann-Hausdorff dVBH.
Demonstração. Fixemos um ponto arbitrário (x, y)∈T M0 e sejac=c(t) uma geodésica
com c(0) =x e ˙c(0) =y. Seja {bi(t)} um referencial linearmente paralelo ao longo de c,
isto é, cada bi(t) é linearmente paralelo ao longo dec. Seja
gij(t) := g˙c(t)(bi(t),bj(t)).
Pela Observação 1.3.1, gij(t) = constante. Por isso det (gij(t)) = constante. Por outro
lado, para quaisquer (yi) ∈Rn, o campo vetorial U =yib
i(t) é linearmente paralelo ao
longo de σ e do Lema 1.3.1,
F c(t), yibi(t)
=constante.
Assim o subconjunto convexoUt ⊂Rn é independente det,
Ut:=
n
(yi)∈Rn|F c(t), yibi(t)<1o.
Isto implica que o coeficiente da forma de volume dVF é constante,
σF(t) =
V ol(Bn(1))
V ol(Ut)
=constante.
Assim, a distorção também é constante, isto é,
τ(c(t),c˙(t)) = ln
q
det(gij(t))
σF(σ(t))
=constante.
Logo, por (1.33) e (1.35),S = 0.
A funçãoS foi originalmente definida por Z. Shen ([30] [29]) para variedades de
Finsler com a medida de Busemann-Hausdorff.
Uma métrica de FinslerF é chamada de S−curvatura isotrópica se
S = (n+ 1)cF.
De forma mais geral, F tem S-curvatura quase isotrópica se
S = (n+ 1)(cF +η), (1.38)
onde c=c(x) é uma função de x∈M e η=ηi(x)yi é uma 1-forma fechada.
Observamos que, se os coeficientes geodésicosGi(y) são quadráticos em y∈T xM,
x∈M, então S torna-se uma 1-forma sobre M.
Pela definição de S−curvatura, S(y) mede a taxa de variação de (TxM, Fx) na
Exemplo 1.6.1. [32] Sejam Ω um domínio convexo em Rn e a métrica de Funk definida
por
x+ y
F(x, y) ∈∂Ω, y∈TxΩ.
Considerando a base ortonormal canônico {ei}ni=1 para Rn, segue da definição que
Bxn:=n(yi)∈Rn, F(x, yiei)≤1o= Ω− {x}.
Segue que o elemento de volume σBH(x) é dado por
σ(x) = V ol(B
n)
V ol(Bn x)
= V ol(Bn)
V ol(Ω) =constante
Por outro lado o Teorema de Okada [25] para métricas de Funk (Fxk =F Fyk) nos
dá os coeficientes geodésicos Gi deF que são dados por
Gi = 1
2F yi. (1.39)
Derivando (1.39), temos
∂Gm
∂ym =
n+ 1
2 F.
Assim, segue de (1.37) que
S = n+ 1
2 F.
Neste caso a S−curvatura é isotrópica constante, já que a função c(x) = 1
2 em (1.38).
Exemplo 1.6.2. Considere a métrica de Randers F = α+β sobre uma variedade M,
onde α(y) =qaijyiyj é uma métrica Riemanniana e β(y) = biyi é uma 1-forma com
||β||α(x) := sup y∈TxM
β(y) α(y) =
q
aijb
ibj <1.
Em [10] X. Chen e Z. Shen mostraram que F tem S−curvatura isotrópica, isto é, S =
(n+ 1)cF, se, e somente se, β satisfaz a seguinte equação:
rij +bivj+bjvi = 2c(aij −bibj),
onde
rij :=
1
2(bi|j +bj|i), vij :=
1
2(bi|j −bj|i), vi :=bjvji. (1.40)
Aqui bi|j denotam os coeficientes da derivada covariante de β com respeito a α. Porém,
obter soluções desta equação é difícil. Esta dificuldade será superada se expressarmos a métrica de Randers F da seguinte forma
F =
q
h(x, y)2−[h(x, W
x)2h(x, y)2−< y, Wx >2x]
1−h(x, Wx)2 −
< y, Wx>h
1−h(x, Wx)2
onde h(x, y) =qhij(x)yiyj é uma métrica Riemanniana, W é um campo vetorial sobre M
com h(x, Wx)<1 para todo x∈M e <, >h denota o produto interno definido porh. Em
[39], H. Xin, mostrou que F tem S−curvatura isotrópica S = (n+ 1)cF se, e somente se, W satisfaz
Wi;j +Wj;i =−4chij,
onde Wi :=hijWj eWi;j denotam os coeficientes da derivada covariante deW com respeito
a h. Neste mesmo espírito (isto é, com os dados de navegação de Zermelo h e Wx), em
[12] X. Cheng e Z. Shen determinaram completamente a estrutura local de uma métrica de Randers com S−curvatura isotrópica e com curvatura flag escalar K =K(x, y).
Consideremos as seguintes notações
v0 =vjyj, v00=vklykyl, vji =aihvhj, v0i =vijyj, r00=rijyiyj. (1.42)
onde rij, vij e vi são dados em (1.40).
Exemplo 1.6.3. Consideremos s= αβ e a métricaF =αφ(s) chamada (α, β)−métrica,
os coeficientes geodésicos Gi de F são dados por
Gi =Gi+αQv0i + Θ{−2Qαv0+r00}
yi
α + Ψ{−2Qαv0+r00}b
i, (1.43)
onde Gi denota os coeficientes geodésicos de α e Q:= φ′
φ−sφ′, Θ =
Q−sQ′
2∆ , Ψ =
Q′
2∆, (1.44)
onde ∆ := 1 +sQ+ (b2−s2)Q′. Seja
Φ :=−(Q−sQ′){n∆ + 1 +sQ} −(b2−s2)(1 +sQ)Q′′. (1.45)
Em [11] X. Cheng e Z. Shen obtiveram equações que caracterizam as (α, β)−métricas com S−curvatura isotrópica: Supondo φ 6=k1
√
1 +k2s2+k3s para quaisquer constantes
k1 > 0, k2 e k3. Então F tem S−curvatura isotrópica se, e somente se, ocorre um dos
seguintes itens,
(i) β satisfaz
rj +vj = 0
e φ=φ(s) satisfaz
Ψ = 0.
(ii) β satisfaz
rij =ǫ
n
b2aij −bibj
o
, vj = 0,
onde ǫ=ǫ(x) é uma função escalar, e φ=φ(s) satisfaz
Ψ =−2(n+ 1)k ψ∆
2
b2−s2,
onde k é uma constante. Neste caso,S = (n+ 1)cF com c=kǫ.
(iii) β satisfaz
rij = 0, vj = 0.
Neste caso, S = 0, independente da escolha de um φ particular.
Por outro lado, para o caso F = k1√α2+k2β2 +k3β, temos que F tem S−curvatura
isotrópica, S = (n+ 1)cF se, e somente se,β satisfaz
rij +τ(vibj +vjbi) =
2c(1 +k2b2)k12
k3
(aij −τ bibj),
onde
τ := k23
k2 1 −
k2.
Neste último exemplo foram consideradas as formas de volume Busemann- Hausdorff
dVBH e de Holmes-Thompson dVHT dadas pela Proposição 1.6.1.
Outra propriedade interessante da S-curvatura é que ela está estreitamente relacio-nada com a curvatura flag:
Teorema 1.6.3. [9] Seja F uma métrica de Finsler com curvatura flag escalar sobre uma
variedade M. Suponha que a S−curvatura é quase isotrópica, S = (n+ 1)cF +η, onde
c=c(x) é uma função escalar e η= ηiyi é uma 1-forma fechada, então a curvatura flag é
quase isotrópica, e é dada por:
K = 3cxmy
m
F +σ,
onde (xm, ym) são coordenadas locais de T M e σ=σ(x) é uma função escalar de M.
1.7 Métricas esfericamente Simétricas
Vamos denotar por Mn
s um subconjunto de Rn aberto, conexo e simétrico com
respeito à origem, isto é: Mn
s é uma bola aberta B(ν) de raio ν centrado na origem, ou a
região anular B(ν1)\B(ν2), ν1 > ν2 ≥0,ou Rn.
Uma métrica de Finsler F sobre Mn
s ⊂Rn é chamada esfericamente simétricase
satisfaz,
