Competição oligopolística em ambiente de incerteza knightiana

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Getulio Vargas

EPGE

Escola de Pós-Graduação em Economia

Seminários de Pesquisa Econômica I (lQparte)

"COMPETIÇÃO OLIGOPOLÍSTICA

EM AMBIEl\T'rE DE INCERTEZA

KNIGB'rlAl\TA

Ii

HUGO

PEDRO

BOFF

(EPGEIFGV)

Coordenação: Prof. Pedro Cavalcanti Ferreira reI: 536-9353

COMPETIÇÃO OLIGOPOLÍSTICA

EM AMBIENTE DE INCERTEZA

KNIGHTIANA

*

Março de 1996

Hugo Pedro Bofr

Sergio Ribeiro da Costa Werlang**

RESUMO

Este artigo aplica um teorema da existência de equilibrios de Nash sob incerteza (Dow & Werlang, 1994) à um problema clássico da Teoria da Competição Oligopolística. Particularmente, mostra como se pode mapear todos os equilibrios de Cournot (que têm, por limite, as soluções de monopólio e de bloqueio total da produção) unicamente em função da aversão à incerteza dos produtores. Os efeitos de variações destes parâmetros sobre as produções de equilibrio são estudados, tanto no curto prazo como no caso da livre entrada no mercado e convergência para o equilibrio competitivo. Também, as soluções de Cournot sob incerteza são comparadas com a solução do monopólio standard. Particularmente, mostra-se que existe um nível de incerteza tal que toda aversão à incerteza (na indústria) superior à este nível, induz os agentes a produzir, agregadamente, quantidades menores que as de monopólio. Enfim, as soluções de equilibrio são particularizadas para os casos da Demanda Linear e do Duopólio de Cournot. A análise do equilibrio competitivo no caso simétrico, permite identificar o coeficiente de aversão à incerteza na indústria como um custo proporcional transferido via preço pelos produtores aos consumidores (índice de Lerner).

• Prof. do Departamento de Economia UFPr, Doutorando em Economia EPGElFGV-RJ .

•

•

•

I -INTRODUÇÃO

No modelo de escolha racional sob incerteza knightiana1 , construído por

Schmeidler (1989) e Gilboa (1987), os agentes probabilizam seus conjuntos de escolha recíprocos subaditivamente, e maximizam sua utilidade esperada usando a integral de

Choquet2 . Quando as distribuições subaditivas P são convexas (Le. exibem aversão à incerteza) este modelo é equivalente ao modelo "maximim" (Schmeidler, 1989 e

Schmeidler & Gilboa, 1989) no qual a distribuição relevante é construída como o ínfimo de

todas as distribuições aditivas (subjetivas) que a majoram em cada alternativa do conjunto de escolha.

Para todo evento A, B no conjunto de escolha, a convexidade de P requer

P(A) + P(B) ~ P(AnB)+ P(AuB), o que implica P(A) + P(A C) ~ 1(B = A C). Na perspectiva da axiomática de Schmeidler e Gilboa, a diferença c(P,A) = 1- P(A) - P(A C)

interpreta-se como um coeficiente de "aversão à incerteza" associado ao evento A e, recentemente Dow & Werlang (1994) estendem para este contexto a noção de equilíbrio de

Nash de um jogo com 2 agentes, e demonstram um teorema que garante a existência de

Equilíbrios de Nash sob Incerteza (ENI) para cada par (c"c_{2 )} de aversão à incerteza dos

jogadores.

Neste artigo, reproduziremos inicialmente esta definição e o teorema de

existência dos ENI (Sec U). Em seguida (Sec lU), aplicaremos o teorema ao modelo

clássico de competição oligopolística com N produtores. Mostraremos, no caso geral, como as produções de equilíbrio reagem a variações nos parâmetros de incerteza. Também,

-mostraremos que existe um nível de aversão à incerteza comum a todos os produtores ("incerteza da indústria") além do qual os agentes serão induzidos à um comportamento de

1 Knight (1921): Os agentes não conhecem as distribuições de probabilidade das variâveis de controle.

2 Para uma exposição didâtica das probabilidades subaditivas e aplicações deste modelo às finanças, veja-se Simonsen & Werlang (1991) e Dow & Werlang (1992a,b).

•

prudência que redundará em uma produção agregada menor que a produção de monopólio.

Aplicações são feitas nos casos de retomo de escala constantes, demanda com

elasticidade-preço constante e demanda de mercado linear (Sec. IV). O mapeamento dos ENI em'

função da aversão à incerteza das firmas será explicitado, neste último caso, para o duopólio de Coumot. Na última seção (Sec. V) sumariaremos algumas intuições

econômicas que se inferem destes resultados.

11 - EQUILÍBRIOS DE NASH COM INCERTEZA (ENI)

Seja r(Al'A_{2, uI' u2) um Jogo de 2 pessoas onde AI e A2 são seus} conjuntos de escolha e uI' u2' suas funções de utilidade. Um ENI do jogo r vem definido

pelo par de estratégias mistas sub aditivas (Pp P2) para as quais existem os suportes (Supp[PI} Supp[P2

}3

tais que para cada aj eSupp[Pj], a j maximiza a utilidade esperada do jogador i dado que Pj representa a conjectura de i a respeito das escolhas do jogador j

sobre Aj:

(i,j = 1,2)

Note que esta definição inclui o equilíbrio de Nash padrão (SpS2) onde

SI e S2 são probabilidades aditivas. O teorema seguinte permite mapear os ENI através

das aversões à incerteza (C_I,C_{2) dos jogadores sob a hipótese de que estas são constantes e}

que (Pp P2) são compressões uniformes das estratégias mistas (aditivas) de Nash (SpS2) do jogo transformado r' (A p A2 , u;, u;); isto é: Pj = (l-c)Sj, onde u; é tal que

Epuj = Esu; para i,j = 1,2 J J

3 o suporte de uma distribuição subaditiva P é um conjunto B tal que P(BC)= O e p(OC» O V O c B. (O;to B).

Teorema [Dow & Werlang, 1994]4

Seja í(Ap A2 , uI' u2 ) um jogo finito de 2 pessoas. 'v'(cp c₂) E

[O,lr,

existe

um equilíbrio de Nash sob incerteza (Pp P2 ), tal que cI é a aversão à

incerteza associada à P₂ e c₂ a aversão à incerteza associada à P_{I •}

Na aplicação do teorema, devemos ter presente dois aspectos importantes do

ENI assim definido:

1. A expressão Pi

=

(1-C )Si requer a consistência entre as conjecturas do jogador j a respeito das escolhas do jogador i(Pi) e as estratégias standard Si ótimas do jogo í*

(com objetivo "maximin"). Esta exigência torna-se particularmente forte no jogo com

N pessoas no qual a compatibilidade se deve verificar entre as estratégias ótimas de

cada jogador e as conjecturas dos N-l parceiros (como na aplicação abaixo);

2. Todavia, a racionalidade implícita ao ENI não implica omnisciência lógica, no sentido

de que os agentes podem não deduzir todas as implicações de uma determinada ação

previamente conhecida por eles (Dow & Werlang, 1994, p. 320).

IH - COMPETIÇÃO OLIGOPOLÍSTICA

3.1 - O Modelo

Consideremos inicialmente um oligopólio competitivo produzindo um único

bem homogêneo e envolvendo N firmas (N ~ 2) dotadas de funções de custo

~i(qJ(i

=

1,2, ... ,N) estáveis (isto é, com preço dos insumos constantes), e fazendo face à

demanda (inversa) do mercado R = R(Q) se O::; Q::; a. (a. > O) e R = O se Q > 0., onde

N •

Q

=

L

qi é a produção total (qi ~ O) . Suponhamos, para a comodidade de nossa análise,

i=1

que ~i e R sejam C2

(duas vezes continuamente diferenciáveis) e que todos os custos e

4 A demonstração do teorema está baseada no fato de que se P é uma compressão uniforme de uma distribuição aditiva S (p = (1-c)S 0$ C$l), então, pela integral de Choquet: EpU = c ~iX U(a)+(J-c)ESU.

•

receitas marginais sejam respectivamente, não decrescentes e não crescentes, isto é, que ~; ~

°

e (RqJ"~

°

(i = 1,2, ... N)5.

TIi(qi,q-J =

qimax{R(Q),O}-~i(qJ

Nestas condições, as funções de lucro são côncavas em qi e[O,a], dado,

e

consideraremos então a economia r([O,a], ... [O,a ],TI) ,TI_{2 , •••} ,TI_{N ).}

Notemos Pi e P-i as distribuições de probabilidade subaditivas (marginal e conjunta, respectivamente) representando as conjecturas dos N-l concorrentes do produtor

i, com relações aos planos de produção da firma i(PJ e, reciprocamente, as conjecturas do

produtor i a respeito dos planos de produção dos seus N-l competidores (P-i).

Consideraremos a economia sem incerteza

r*([O,a], ... [O,a],TI;,TIí·, ... ,TI~). Consoante as observações feitas no final da seção anterior, a aplicação do Teorema de Dow & Werlang para uma economia com N ~ 3 requer adaptações que formalizamos nas seguintes hipóteses:

H): Consistência (forte) entre as estratégias conjuntas ótimas S_i dos

N-produtores no jogo r* e as conjecturas (P-i) da firma i sobre estas estratégias, no seguinte sentido: p. _{- \} = (l-c.)S . _{\ - \}

onde ci é a aversão à incerteza (constante) da firma i, associada à conjectura P-i; H₂: Reciprocamente, consistência (forte) entre as estratégias marginais ótimas (Si)

no jogo r* e as conjecturas dos N-l produtores (Pi) sobre estas estratégias, no seguinte sentido: Pi

=

(1- C_JSi

onde C_i é a aversão à incerteza (constante) das N-l firmas, associada à conjectura

1;

da coalisão6 .

5 Estas propriedades, que garantem a existência do equilíbrio Coumot-Nesh, para cada N, fundam-se no entanto sobre hipóteses um tanto restritivas, a nível das preferências e das tecnologias (veja Sonnenschein & Roberts, 1977).

6 Note que se não há possibilidade de coalisão entre as firmas e que estas empreendem suas ações e conjecturas independentemente, então, sob H1 e H2' obtemos: €-<~-C_i)=€-ck)'i-C_k)'<ti; K=I,2, ... ,N. Em particular, c· = ck ou c . = c k ou c· = c . ('<ti k) implicam c· = c . = c('<ti}, isto é, conhecimento comum entre as firmas (usamos aqui a

\ - \ - \ - \ ' \ - \

definição convencional da independência entre variáveis aleatória com distribuições aditivas).

..

Na medida em que compatibilizam as conjecturas individuais P-i (expectativas) com as estratégias efetivas Q-i da indústria (realizações) H e H₂ podem

ser vistas como hipóteses de expectativas racionais7 •

A hipótese HI permite-nos mostrar que as estratégias de Nash do jogo

standard

r*

são equivalentes às estratégias com incerteza do jogo original

r,

dado que ES_i [II:(qj,q_J]= Ep_jIIj(qj,q_J: V'j:l,2, ... ,N. A hipótese H₂ nos permite calcular estas

estratégias após a obtenção das estratégias mistas de Nash (Sj) do jogo transformado

r*.

Assim, sob Hp H2 , obtemos pela integ~al de Choquet:

(1)

(2)

Vemos pela expressão (I) que os ENI da economia

r

são proporcionais às estratégias de Nash 'maximin' da economia

r*8.

A função II; é uma transformação contínua de IIi e preserva as mesmas

propriedades de IIi (classe C2, limitada e côncava). Como os conjuntos de escolha

[0,0.]

7 Definições mais rigorosas das hipóteses de expectativas racionais na teoria do equilibrio geral podem ser encontradas em Grossman (1981b) e Radner (1989) .

8 Notemos que os coeficientes "c" podem ser interpretados, seja como indicadores da atitude (comportamental) dos agentes face à incerteza, seja como indicadores da carência informacional. No primeiro caso, supõe-se que existe um conjunto comum de variáveis exógenas (macroeconômicas, institucionais), altamente correlacionadas com "c" e que afetam diferentemente os produtores (ci

*"

c.). Para o segundo caso, veja a seção 3.2b à frente.

•

são compactos convexos de R, o teorema do ponto fixo de Kakutani (1941) garante a existência do EN (Cournot) da economia 1*9.

A obtenção dos equilíbrios desta economia pressupõe a verificação das,

seguintes condições de 1 a ordem:

arr~

-a

I (qj ,q_pcJ

=

°

(i

=

1,2, ... ,N)

qj

Usando-se (2) vemos que o sistema acima só admite soluções não triviais para cj E [ 0,1).

arr'

aqjj =

(1-cJ[qjR'(Q)+R(Q)]-~'j

(qJ =

°

3.2 - Efeitos da Aversão à Incerteza sobre as ProduçÕes de Equilíbrio

Visto que a maximização de rr~ no lugar de rri representa uma estratégia defensiva para o produtor i, é natural esperar que o equilíbrio Cournot-Nash com incerteza

apresente um produto agregado Qc menor que o produto standard Qo (Qc < Qo), com os produtores transferindo para o preço pago pelos consumidores, os custos da incerteza

competitiva à qual fazem face.

No diagrama abaixo ilustramos o equilíbrio do produtor com incerteza, no

caso de N firmas iguais (~:

=

~), com simetria de informação (c j

=

c), i

=

1,2, ... ,N. Assim, Q=Nq.

9 A unicidade do equilíbrio estará aqui assegurada se

n;

forem estritamente quase côncavas e as correspondências de melhor resposta

•

ano

qi =qi(q-;) , tais que _ I (qi(q_i),q_i)=O forem contrações; ou, então, se qi E (O,a) e a matriz Jacobiana associada à aqi

•

ano

condição de primeira ordem _ I = O for quase definida negativa sobre (O, a). [Veja-se Friedman, 1990, cap.3]. aqi

Rcr---~~~~

ROr---______

~~~ _ I ~.

l-c

I J I I I ~. I ~ I -I q

l

I I I R(Nq) ---~~---~q

$'

R -l-c onde qc = ---R-=--'

--=-Note que, se o determinante do Hessiano __ ----=.1_] 82TI~ N avaliado no equilíbrio, for não nulo,

8qi 8qj i,j=1

então pelo teorema de função implícita, as funções qi(cp ... ,cN)(i = 1,2, ... ,N) existem e são

de classe C I. Salvo menção contrária, esta condição será suposta estar aqui verificada.

Examinaremos agora mais de perto os efeitos das variações na aversão à

incerteza sobre as produções de equilíbrio qi(Cp""cN), q_i(Cp ... ,cN). Observamos pnmelro que as produções qi(C1, ... ,CN) devem ser interpretadas como equilíbrios conjecturais (apenas virtuais), na medida em que seu cálculo efetivo pressupõe

omnisciência mútua entre os agentes, a qual é inverossimil no mundo real. Todavia, este

artificio é teoricamente útil para o exame dos efeitos da incerteza sobre as decisões ótimas dos produtores, como se verá adiante. 10

lO Note que q( C I' C2"'" c_{N )} = [( q I (c 1"'" c_{N ), .•• ,} q N (c_{l , ••• ,} C_{N )]} é um equilíbrio agregador de informação (pooled information), na medida em que só pode ser calculado, se o vetor da informação (privada) não relacionada com a produção C' = _{(C 1 , ... ,CN)} for do conhecimento comum dos produtores, Os agentes observam o vetor das produções realizadas q* e o preço do mercado R*, Se sistema q(c) = q* for inversível, isto é, se existir c* = q-I (q*), e se R* = {tqj(c*»). então q(c) é um

Retomemos a iésima equação do sistema acima:

on°

-o'

I (qj(cl, ... ,CN),q_j(cl,. .. ,CN),cJ=O

qj (3)

Diferenciando esta equação com relação à cj e c j sucessivamente (i *-j .

obteremos:

0₂

n.

_o

oq.

(2' )'( ) 2'

o

n.

oq .

o

TI.

_ _ 1_1+ 1 _-_1+ l_O

oq~ OC

j oqj,oq_j

OC

j oqj,éJcj -

(4)

02n~

oq. (

02n~

)'(oq.

J

_ _ 1 _1 + 1 ---1-0

oq~ OC_j

oqpoq_j

oC_j - (5)

Derivando duas vezes a função lucro

n:

(qpq_l) dada em (2) e substituindo as derivadas em (4) e (5) chegamos à:

{1-cJ[qjR"(Q)+2R'(Q)]-~'';

(qJ

):~~

+ 1 (4a)

{1-cJ[qjR"(Q)+2R'(Q)]-~'';

(qJ

):~~

+ J (5 a) +(l-cJ[qjR"(Q)+R'(Q)}'N_I

~:~j

=0 J , àq. àq.

oQ

.

Notando ( j j = IN_I _-_1 + - ' = - para o efelto sobre a produção total de

oC j BCj BC j

um aumento da aversão à incerteza da firma i, e após arranjo dos termos, (4a) e (5a) podem escrever-se como:

(4b)

equilíbrio completamente revelador (fully revealing) pois o mercado revelará aos produtores toda a informação não produtiva. Neste caso, q(c) poderá ser visto como um equilíbrio de expectativa racional. Veja-se Mas-Colell & alii (1995, p. 721) & Radner (1989).

(1-cJ[qjR"(Q)+R'(Q)pj +

[(1-cJR'(Q)-~; (qJ]::~

=

o

J

(5b)

Somando (5b) em i(i"* j), obtemos:

r

8q .] N 1 8

crj~Q-q)R"(Q)+(N-l)R'(Q)]+lcrj--8

J R'(Q) = L-;---cI>l_ ;(qJ 8 qj cj j( .. j) cj cj '" 1 " 8qj ou, notando a j = .L..J 1-

c

.

~j(qJ-8 .' I("J) I C J crj

~Q

- q)R" (Q) + NR' (Q)]-

!:~

R' (Q) = a j J

Resolvendo a equação (4b) em 8qj (para i = j) e substituindo o resultado na 8c_j .

equação acima obtemos:

(6)

Com base em crj acima, podemos calcular 8qj e 8qj a partir das equações 8cj 8cj (4b), (5b) anteriores: e 8qj _ qjR'+R-(1-cJ[qjR"+R'pj 8c j (1-cJR'-~;' (1- cJ[qjR"+R'pj (l-cJR'-~; (7) (8)

Note-se que, dada a forma de função lucro n~ (eq. 2), os efeitos da aversão a incerteza sobre as produções (e o preço) de equilíbrio (eqs.(6)-(8», dependem diretamente apenas dos

rendimentos (crescentes, constantes ou descrentes) dos fatores (~7 ~ O) e não explicitamente-da existência ou não de custos fixos ou de "sunk costs".ll

11 Sobre estes custos, para uma abordagem original, veja-se Grossman (1981a), e a bibliografia ali indicada. Lembre-se que, nestes casos, a restrição de lucros positivos limitará o tamanho da indústria à um número de firmas N" dependente (negativamente) dos custos fixos de maneira que (6)-(8) dependerão indiretamente destes custos. Veja a seção 3.3 adiante.

•

Casos particulares:

a) Retornos de escala Constantes (~~

=

O ; i

=

1,2, ... ,N)

Se R(Q) for linear, obtemos, por substituição nas equações (6)-(8):

8qj

(N

I

qjR'+R ]

- - - -

<o

8cj N +1 (l-cJR'

Assim, dado que rj ::;; -, teremos crj ::;; 1 O e

o

e

Assim, em ambos os casos o aumento na aversão à incerteza do produtor ')" reduz sua produção de equilíbrio (qj) e a produção agregada do mercado (Q). Já as

extemalidades produzidas por este aumento sobre as produções de equilíbrio dos outros produtores (qj) serão positivas no caso linear e dependerão do poder de mercado (r_j

=

q

lo ) .

deste produtor "j" no caso da demanda convexa. Visto que

.!.::;;

_1_ < 1, se ela controlar

2 1+0

menos que 50% do mercado (qj <

~),

as extemalidades serão negativas, e as firmas competidoras deverão acompanhar a retração de sua produção de equilíbrio. Observe-se

•

que estas firmas somente poderão melhorar suas posições absolutas de mercado se a firma j

for a firma dominante (rj >

~)

.

b) Firmas Iguais e Simetria de Informar;ão

Suponha que os produtores tenham acesso e empreguem a mesma tecnologia de

produção. Um ambiente de incerteza Knightiana pode também ser visto como uma situação

em que os agentes não dispõem de informação suficiente para caracterizar adequadamente

os "estados da natureza" (as decisões de produção de seus competidores) por uma única

distribuição de probabilidade adititiva (Schmeidler, 1989; Simonsen & Werlang, 1991).

Como mencionado em nota anterior, o coeficiente de aversão à incerteza "ct' pode então ser

interpretado com um indicador da carência informacional do agente "i" a respeito da

estratégia produtiva dos seus competidores. Suponhamos então simetria de informação

entre os produtores de maneira que: Cj = c (j = 1, ... ,N).

Neste caso, as produções de equilíbrio serão semétricas:

qj

=

q ;

Q

=

Nq (j

=

1,2, ... ,N).

K

Bq

Assim, notando~" (q)

=

K ~ O, teremos O' j

=

O' e a j

=

1-c (0'- Bc)'

Logo, substituindo estes valores em (6) obtemos:

(R'-~XQ

_{l-c N}

R'+R)

cr= R'

[(1-

c )(N + I)R'-NK]+ R" Q[R' (1-c) - (N -1)(%)]- 1

~

c (1-c)

~ (~

R"+2R') - K (6a)

3.3 Custos Fixos

Consideremos o caso de firmas iguais (~j

=

~) com simetria de informação (c_j = c) e demanda fixa. Supomos que existem custos fixos, isto é, que ~(O) > O, e que a

•

curva de demanda (inversa) do mercado R(Q) é a mesma para qualquer número N de

firmas. 12 .

Como é amplamente sabido, a existência de elevados custos fixos de,

produção constitui-se em uma barreira para o ingresso de novas firmas na indústria. O

número NC < +00 de firma que, no equilíbrio Cournot-Nash, reduz o lucro econômico da indústria à zero é dado pelas equações:

R+qR' = L condição de equilíbrio: aTI* = O.

l-c

aq

R =

~:

TI = O lucro zero com NCq = Q. Tais relações engendram a equação: q

q2R'+~_qL=0.

l-c

Queremos estudar o efeito do aumento da aversão à incerteza na indústria sobre o número de firmas de equilíbrio. Em N = NC teremos q = q(c,NC

) de maneira que, diferenciando esta última equação com relação à c e à NC se obtém:

onde qc e qN designem as derivadas com relação à c e NC, respectivamente. Por hipótese,

qN' qc' R' < O; ~' > O e R" ,~" ~ O. O termo entre parenteses que multiplica dNc é positivo, mas o que multiplica dc pode ser tanto positivo quanto negativo. Logo, o sinal de

dN c

é indeterminado. Este resultado não é surpreendente: se por um lado o aumento da dc

aversão à incerteza na indústria reduz as produções de equilíbrio (vide seco 3.2 anterior) de

maneira que um número maior de firmas poderá, em princípio, operar com lucro zero para o

atendimento da demanda, por outro, este aumento de "c" representa uma elevação implicíta

no custo marginal das firmas e, em consequência, um custo médio superior reduzirá o

número de firmas em operação .

12 Tomamos N E R+ \[0,1] e exógeno e para eludirmos discutir neste trabalho a inexistência do equilibrio competitivo nos casos em

Note enfim que o equilíbrio Coumot-Nash com livre entrada e custo fixo não é um

equilíbrio competitivo. O fato de NC estar limitado pelos custos fixos faz com que a

demanda residual Q -

L

qj = D(R) -

L

qj a qual faz face o iésimo produtor não é perfeitamente elástica. Assim, variações em qi sempre afetarão o preço R, por menor que seja esta produção. 13

3.4 - Grande Número de Firmas

Da condição de I a ordem para a maximação de II~ obtemos: ....!..=--[Â. -c.] onde r· 1 e l-c. I I

I

Ât i = (Rc -

~í)/

Rc é a margem preço-custo de Lener e E é a

elasticidade~preço

da demanda

e ri = qi. Se a produção da firma i for negligível com relação ao produto de equilíbrio da

Q

indústria e a demanda for suficientemente elástica ao preço, então ri == O implicará em e

ci == Âi' No caso simétrico, a expressão c = Âc = (Rc

-~,)/

Rc permite uma interessante interpretação: a aversão à incerteza "c" é o custo da desinformação na indústria (em

proporção do preço de venda unitário) que seria repassado aos consumidores no caso de competição perfeita. Com efeito, se Ro é o preço competitivo (Ro = ~') teremos:

C-- Rc-Ro. Consideremos agora o equilíbrio simétrico com simetria de informação

Rc

(~j = ~ com cj = c) e ausência de custos fixos, ~(O)

=

O. O número de firmas N é exógeno. Para avaliarmos os efeitos sobre o produto agregado de uma variação idêntica na aversão à

incerteza de todos os produtores (dc

*

O) quando N cresce indefinidamente, suporemos que a sequência QN(c) = NqN(c) formada pela escala eficiente das firmas qN(c) convirja para.

13 o modelo de Coumot pressupõe que as firmas entrantes não possam fazer contratos com os clientes das firmas estabelecidas.

Grossman (1981 a) propõe um equilíbrio de Nash baseado em estratégias de oferta, para caracterizar o fato que a demanda residual pode

ser infinitamente elãstica devido à ameaça de entrada. No seu modelo, com livre entrada e custos estritamente convexos, se o equilíbrio

competitivo exist6e com custos fixos, então este equilíbrio serâ o de Nash com estratégias de oferta qj (R) positivamente inclinadas.

(qj (R) é a quantidade ofertada pela firma i quando R é o menor preço praticado pelos seus competidores).

•

uma função Q(c) de classe Cl em c E [0,1). A demanda do mercado não é replicadal4 , de

maneira que {q N (c)} tenderá para zero e Q ( c) será então a produção de equilíbrio de uma

indústria perfeitamente competitiva, constituída de firmas de tamanho negligível e,

tomadoras de preço.l5

O efeito sobre a produção total de um aumento simultâneo na aversão à N

incerteza de todos os produtores (dc > O) será dado por

La

j

=

Na.

Dadas as hipóteses

j=l

acima, podemos neste caso verificar pela expressão (6a) acima que para

N

~ 00, teremos N BQN(c)

=

NO'

~

N BQN(C) = R < O.

Bc Bc (l-c)R'

Assim, com o aumento do número de firmas, uma elevação na aversão à

incerteza da indústria (isto é, de todos os produtores) reduz a produção total de equilíbrio,

qualquer seja a tecnologia utilizada (o limite de NO' não depende de K

=

<1>").

Em consequência o preço de equilíbrio aumentará. Com efeito, o preço do equilíbrio

competitivo (Rc) será dado por Âc

=

c, isto é: Rc =

L.

l-c

Este resultado mostra que: (i) o preço de mercado, no equilíbrio competitivo

é completamente revelador da aversão à incerteza na indústria. Neste sentido, é um

equilíbrio de expectativa racional (ver nota 10, seco 3.2); (ii) a presença de informação incompleta (c > O) toma o equilíbrio competitivo Pareto-ineficiente: caso os consumidores puderem adquirir a informação "c" à um preço não superior à (Rc - Ro)( Qo - Qc ) (onde

Ro = ~', Rc e Qo e Qc são os preços e quantidades no equilíbrio competitivo com informação completa e com informação incompleta, respectivamente) poderiam, ao preço

Rc, consumir agregadamente Qo no lugar de Qc < Qo·

14 Não replicamos e demanda para melhor assegurar a validade do "teorema popular" (folk theorem) para o equilibrio competitivo. 15 Novshek (1980) demonstra a convergência da solução de Coumot-Nash para a solução competitiva em um contexto de equilibrio parcial, com replicação da demanda e N endógeno. Em uma abordagem de equilíbrio geral Hart (1985) mostra que, para uma ampla classe de casos, se as firmas forem pequenas relativamente ao mercado da indústria, o produto industrial de equilibrio em competição imperfeita converge, aproximadamente, para o produto de uma indústria perfeitamente competitiva, quando aumentam, simultâneamente, o número de firmas e o número de consumidores.

No caso de finnas diferenciadas podemos estudar os efeitos sobre as

produções - de equilíbrio de variações na aversão à incerteza microeconômica (de um

produtor individual) quando o número de firmas aumenta indefinidamente. Com efeito,

como a produção total

, , 1

Bq.

a

j = L..{-l - ) ~7(qJ

Bc

l

j( .. j) -

c

j j

Q é limitada (Q ~ a), se supusermos que as somas são limitadas16 _(\:;f

_j

_{= 1,2, ... ) uma rápida inspeção em (6)} mostra que cr j ~ O quando N -400 (\1). Assim, teremos por (7) e (8)

Bq.

q.R'+R

8q\. -'"O.

_ 1 - 4 I

<De--r

BC

j (1-cJR'-~7

8c

_j

Com o aumento do número de fumas, o aumento na aversão a incerteza de

um dos produtores não afeta as produções de equilíbrio dos seus competitores nem a

produção agregada do mercado. Este aumento, no equilíbrio, apenas piorará a posição de

mercado do próprio produtor. Assim, o livre ingresso das firmas no mercado tende a

reduzir os efeitos eventualmente depressivos da incerteza competitiva sobre a produção

agregada e, em consequência, os efeitos virtualmente inflacionários sobre o preço de

equilíbrio do mercado. Ao mesmo tempo, as externalidades da aversão à incerteza de um

dos produtores sobre a produção ótima dos seus competidores, tendem a ser neutralizadas

pela melhor distribuição da incerteza competitiva adicional entre um maior número de

firmas. 17

3.5 - Comparações com o MonopÓlio

É possível que o grau de aversão à incerteza das firmas oligopolizadas seja

suficientemente elevado a ponto de induzí-Ias a um comportamento individual de prudência

que, agregadamente, resulte em uma produção menor ou igual à de monopólio.

Na-16 Hipótese trivialmente verificada no caso de retornos de escala constantes (~i = O) .

17 Como veremos em trabalho subsequente, este último resultado também é obtido no modelo de determinação de mark-up sob incerteza Knightiana, onde as firmas administram seus preços de venda de maneira a minimizar possíveis perdas de mercado e perdas de capital.

sequência mostraremos que existe um grau de aversão à incerteza na indústria, c(N), que igualiza a produção oligopolizada

(Cn

com a produção de monopólio (Qm).

Com efeito escrevendo a iésima equação do sistema (3) obtemos, no ponto'

(9)

A

onde ri =

~i

e E é o módulo de elasticidade-preço da demanda

Q

a

Q.(R) R

E=- . - ]

aR

Q

avaliada ao preço de monópolio Rm = R(Qm). Supõe-se que E" >

1.

A equação análoga à

(9) correspondente ao caso de monopólio é:

(lO)

onde $:n(Qm) é o custo marginal do monopólio.

Fazendo ci = c (i = 1,2, ... ,N) e somando em i obtemos, na equação (9): 1 N

(l-c)R(Qm)[N-::-]=L$i(4J. Resolvendo-se (lO) em R(Qm) e levando este valor na E i=l

expressão acima obtemos:

onde 1 (1-=)

S

c(N) = 1-

~ (~N)

) (l-NE") m A 1

~

'" A S(N)=N~'I'i(qi) e sm=$~(Qm)·

Por exemplo, para R(Q) = Q-Ii (O < Ô < 1)

(lI) _ 1 teremos: E = - e Ô S(N) (N -ô)-N(l-ô)(-) sm

c(N) = (N -ô) Assim, quando

aQ

_ac

< O (eq. 6), um c

~

c(N) conduzirá à· uma produção oligopolizada menor ou igual que a de monopólio

(Q

~ Qm).

Note que a expressão de c(N) em (11) não depende da existência ou não de

custos fixos. Este resultado é forte na medida em que a abordagem tradicional de regulação

das estruturas de mercado assenta-se sobre estratégias de equilíbrio não-cooperativos

Cournot-Nash de uma indústria com barreira de custos à entrada. Neste contexto, como

1

-N = E À, onde E é a sabemos, o poder de mercado de cada firma (no caso simétrico,

elasticidade e

X

o índice de Lener avaliado no ponto R = custo médio) é uma função continuamente decrescente do número de competidores. Com aversão à incerteza na

indústria, a produção média por firma decrescerá sem que, necessariamente, as parcelas de mercado ri= qi (c) alterem-se substancialmente. Assim, a legislação anti-truste, coibindo

Q(c)

aquisições, fusões ou incorporações de firmas cujo "market share" conjunto ultrapasse determinada parcela máxima de mercado (como o Clayton Act nos USA) pode tomar-se

perfeitamente inoperante para defender os consumidores contra o poder de monopólio.

Entretanto, não é inútil verificar como c(N) varia com N. Para tanto,

suponhamos rendimentos de escala constantes: ~i(qJ = Si e ~~(Qm) = sm. Note que, da condição de equilíbrio do monopolista, 1 -

b

= Sm onde Rm = R(Qm) é o preço de

E Rm

equilíbrio do monopólio. Isto nos permite reescrever (11) da seguinte maneira: c(N)

=

1- NS(N)

(N -1)R_{m +sm}

O simples cálculo de c(N+ 1) - c(N) permite verificar que o ingresso de um (N+ 1 )ésima firme,

S

1

com custo marginal ~+l induzirá um aumento em c(N) se ~ > 1- - t onde

~+l N m'

s

Àm = 1-Rm é a margem preço-custo (Lemer) do monopólio.

m

Vemos então que se a (N+ 1 )ésima firma tiver custo marginal não muito superior à média do mercado (S(N»)' o limite da aversão à incerteza na indústria que limita a

produção de Coumot à produção de monopólio aumentará.

IV - UMA APLICAÇÃO AO CASO DA DEMANDA LINEAR

Obteremos aqui as soluções explícitas do equilíbrio oligopolístico no caso'

da demanda linear: R(Q) = max{a - Q,O}. Para a economia standard

r

*

([O,a], ... [O,a],n; , ... ,n~), com custo marginal idêntico e constante (~'i (qi) = s < a), o uso de (2) e das condições de 1 a ordem (3) conduzirá às soluções:

A 1 (

Q = - - Na-sB N+1

q;

=

N

~1[ a-t~c;

-p-;)]

fI;

=

q:(a-ô-s)=(N

~

J[

a-{~_::

-p)}a-;{N +l-p)]

onde:

:produção total.

:produção da firma i.

:lucro da firma i.

A produção e lucro de monopólio (qM e nM) são obtidos diretamente

colocando-se N = 1 e c i =

°

(\7' i = 1,2, ... , N) nas equações acima: qM=.!.(a-s) ; nM=.!.(a-s?

2 4

Note que a condição para que a iésima firma participe do mercado

0\

~ O) escreve-se ci

~

c

i = 1- sN , o que exigirá uma aversão à incerteza não muito elevada.

a+sB_i

Todavia, a firma que tiver aversão à incerteza nula (c i = O), sempre participará do mercado: com efeito, +00 ~ B-i ~ N -1 e a > s implicam, sucessivamente,

sN

1 ~

c

i ~ 1- ( ) N = cN > 0, para N finito. Logo, uma condição suficiente para que a

a-s +s ·ésima fi d '

I _{Irma pro uza sera ci} ~ c_N• Consideremos agora as condições (necessárias e

suficientes) ci <

c

i. Ordenemos as N firmas por ordem crescente de seus graus de aversão.

à incerteza, de maneira que: c(l) ~ c(2) ~ .... ~ c(N). Definamos correspondentemente B-(i) = B - 1 Então, as condições C(i)

~

C(i) = 1- sN podem escrever-se,

1-c(i) a + SB_(i)

sucessivamente:

1

(a)

(N + l)s

~-(i) ~ - N 1 N~-- ou; C(i) ~ 1-

=

Co

+ s a+~s

A SSlm, n . = max 1 E {. { 2,3, ... ,N }. .c(i) ~ 1--'---"""-(N +

I)S}

a+~s será o número máximo

de firmas presentes no mercado, e c(n) ~ Co será o maior grau de aversão à incerteza admitido. Consequentemente, N-n firmas ficarão de fora do mercado.

4.1 - Equilíbrio simétrico e comparações com o MonopÓlio

Podemos verificar que Q ~ q M se (e somente se)

N+l{ )

-MN ~ ajs- 2N \ajs-l = ~. Assim, a produção oligopolizada pelas N firmas não será

maior que a de monopólio se:

_j3

~MN <ajs.

Um caso de particular interesse é aquele onde c_i = c{i = 1,2, ... ,N), no qual c

é interpretado como uma aversão à incerteza na indústria. Neste caso,

A

(NX

S)A

1( s)

Q= N+l a-l_c' q=N+l a-l_c;

fI

= ( _ 1 _N+l )2(a _ _ _l-c s )2 Logo, se _1_ < aj s, isto é se c < 1-sj a, então um número qualquer de firmas poderá participar do

l-c

mercado. Por outro lado, a produção oligopolizada não será maior que a de monopólio se

1 ) - 2s

1- c ;,

p,

o que implica c;' 1-~ . I) { I ) ~ c(N). Vemos então que, mesmo na 1 - - +

1+-N N

situação extrema de competição pura (N

t

ex:», com informação imperfeita poderemos ter

Q~qM,quandoc~I_~=ajs-l18

a+s ajs+l

18 Evidentemente, o valor c(N) dado acima pode ser diretamente obtido da equação (11). Neste caso temos & = ~ e S = sn = s.'

IX-S

Note também que no equilíbrio de competição perfeito (N -+ co)O = IX - _s_, de maneira que o preço excede o custo marginal se l-c

• s (R-s)

c> O: R = - . Como vimos na seção 3.5, a margem preço-custo (Lemer Index) será aqui, - . - = c . Assim, em situação

l-c R

compettiva perfeita, os produtores transferem para os preços (isto é, para os consumidores) a totalidade da aversão à incerteza existente

no mercado. Notemos Qo = IX - s. Os consumidores podem anular a perda que incorrem [ = ( I: c

J

1

se expandirem adequadamente a

4.2 - Duopólio de Cournot

Particularizamos aqui o oligopólio de Cournot para o caso N=2 de maneira a,

poder explicitar, em função unicamente dos parâmetros de aversão à incerteza (C₁,C_{2), as} regiões onde um ENI é possível.

Colocando N=2 nos valores de equilíbrio da produção e dos lucros da seção

anterior (Q,cIi e

TIJ,

obtemos os valores de Cournot (Qc ,qf e TIf) seguintes:

Q'

=f[

a-

~C~CI

+

l~J

q~=-j[a-sBi];

i=I,2

TIf =.![a-Qc-s]=.!lf a-

(_3 _ _

1 _ _ 1 )Ia-

(3_-

1 _ _ 1 )]

9 9 _{\'I-ci I-c1} I-c2 \. _{I-ci I-c2}

2 1

com

B.

= - - - ; j,i = 1,2

I l-c, l-c.

I J

o

mapeamento dos equilíbrios de Nash com incerteza (ENI) da economia r([O,a],

[o,

a ],TII ,TI2) será então dado pela condição: q~ ~

°

<=> afs

~ Bj ou, ainda:

2s(l-cj)

ci ::;;1- (1 ) =f(c j) i,j=I,2

a -c_j +s

a-s Notemos que f é contínua, crescente e convexa (f', fi' > 0), com f(O) = - - ,

a+s

e ponto fixo em

ê=l-sf

a .

No plano (c j , C i ) representamos abaixo a região compatível com o ENI. A:

produção conjunta de Coumot (qj ,qf) > (0,0). Os casos limites são: Aj: monopólio da

firmaj: (qr ,O); Ai monopólio da firma i: (O,qr); Ao: bloqueio da produção: (0,0).

Pelo teorema de Dow e Werlang (Sec. II) sabemos que para cada ponto (cj,c i). existe um ENI do tipo correspondente à região A na qual este ponto está situado.

demanda em uma proporção p{J3

~

I): Q(R)

~

P(a.- R). Com efeito pode-se mostrar que com N

~

00, e p= (a.-s)

I(a. __

s

_) os l-c consumidores poderão consumir, ao mesmo preço R

=

_s_, o produto competitivo Qo.

l-c

c. 1 1 - - -A. A J c ._._ .. _-a -s a+s A A· 1 ~ ________________ ~~ ____ ~~Cj

o

a -s a+s A C 1

Podemos nos interessar também nos níveis de incerteza mínimos à partir dos

quais a produção da fIrma i não seria superior à sua parcela correspondente na produção de monopólio (q M =

~

(a - s)) repartida igualitariamente entre as fIrmas: qr =

~qM.

Mostra-s(1-c·)

se, com efeito que q~ ~ qr (se somente se) Cj ~ 1- J , (i,j = 1,2)

(1- c j)( a

+

3s)

+

1

restrições estas que engendram 4 regiões análogas àquelas representadas no gráfIco acima para os ENI: a primeira (A) na qual (qj ,qf) ~ (qr ,q~); a segunda (Ai) na qual q~ ~ qr e qj < qr; a terceira (A j)' na qual q~ < qr e qj ~ qr; e a quarta (Ao) onde ambas as produções de Cournot são menores que as de monopólio: (qj ,qf) < (qr ,q~), Notemos enfIm que se c₁

=

c₂

=

c, a produção de Cournot sempre será menor ou igual à de

'I' a-s

monopo 10 se c ~ ,

a+3s

4.3 - Prolongamentos da Análise Formal

A presente análise pode aplicar-se, é claro, à todo problema de decisão econômica sob incerteza que possa ser modelado como um jogo simultâneo. No presente

contexto, a competição em preços, ou a competição em preços com produção diferenciada

por padrões de qualidade (onde a aversão à incerteza porta unicamente sobre a escolha dos

níveis de qualidade, por exemplo), podem figurar entre os casos passíveis de um tratamento,

análogo a este dado ao oligopólio clássicol9 •

Um desafio importante que se coloca para a ampliação da teoria da escolha

sob incerteza knightiana consiste na obtenção de um teorema para jogos sequenciais,

análogo ao de Dow & Werlang. Tal sucesso permitir-nos-ia, por exemplo, estudar as

condições sobre os parâmetros de incerteza que garantiriam a propriedade de Nash para o

equilíbrio de Stackelberg2o • Também o estudo da estabilidade do oligopólio de Cournot

dinamizado21 _{poderia ser efetuado sobre as mesmas bases.}

19 Veja-se Laffont & Moreaux (1991), Crampes & Hollander (1995), Tirole (1989)

20 No jogo standard (sem incerteza), a perfeição em subjogos é obtida, por exemplo, quando considera-se o custo de instalação das firmas entrantes. Para uma resenha, ver Schymura de Oliveira (1991).

21 Um modelo dinâmico é apresentado por Szidarovsky & Yen (1995).

•

v -

Conclusões

o

presente trabalho permite-nos ressaltar os seguintes pontos:

1. Quando as firmas de um mercado oligopolizado, competindo em quantidades, fazem

face à um ambiente de incerteza knightiana, os equilíbrios (de Nash) deste mercado

podem ser mapeados unicamente em função dos graus de aversão à incerteza dos

produtores. No caso de uma demanda de mercado linear, a solução de monopólio e o

bloqueio total da produção aparecem como soluções particulares, quando as aversões à

incerteza entre os produtores, são díspares (alta e baixa) ou elevadas e próximas umas

das outras, respectivamente;

2. Nos casos aqui analisados, o aumento na aversão

à

incerteza do produtor j reduz sua produção de equilíbrio e aumenta (ou diminui) a produção das firmas concorrentes,

dependendo de sua parcela de mercado (r_j =

ci)

e da elasticidade-preço da demanda;

3. O efeito de variações da aversão à incerteza na indústria sobre o número de firmas, no equilíbrio simétrico de curto prazo, quando há barreiras de custo fixo à entrada, não fica

determinado. Se por um lado, aumentos de "c" reduzem o produto industrial, abrindo

assim a possibilidade de ingresso de novas firmas no mercado, por outro, estes

aumentos de "c" induzem ineficiência alocativa dos fatores: as firmas operam em nível

de custo médio mais alto e, em consequência, um número menor delas poderá operar

com lucros não negativos;

4. A análise do equilíbrio, no caso simétrico, permite interpretar a aversão à incerteza na indústria com um custo da desinformação dos produtores o qual é repassado, via preço,

aos consumidores;

•

5. Este estudo permitiu-nos evidenciar que para níveis de incerteza do mercado suficientemente elevados, a produção de equilíbrio do mercado oligopolizado poderá

ser menor que a produção de monopólio. Este resultado deve ser cotejado com aquele, obtido por Grossman (l981a), mostrando que um monopolista, operando em uma

indústria com barreira de custos à entrada, quando submetido a ameaças de ingresso de

novas firmas no mercado, pode ser levado a escolher, como estratégia de oferta ótima, a

oferta competitiva. Assim, a consideração da aversão à incerteza competitiva dos

produtores (em nosso enfoque) e a ameaça da entrada de firmas competidoras (no enfoque de Grossman) nos levam a concluir que o número de firmas e as parcelas

individuais de mercado não podem ser vistos como indicadores suficientes para se

avaliar o grau de competitividade de uma indústria;

6. Tal resultado teórico tem também significativo apelo empírico, na medida em que

contribui para explicar o comportamento defensivo usualmente adotado pelas firmas

oligopolistas nos períodos de elevada e persistente instabilidade monetária e

institucional. Ainda que o modelo convencional aqui apresentado não permita estilizar

mudanças nos padrões de competitividade intervenientes na esteira da racionalização de processos e diferenciação de produtos a que recorrem as firmas nestes períodos, certo é

que o aumento das incertezas em uma indústria oligopolizada quase sempre são acompanhadas de uma redução global nas quantidades produzidas e de um aumento no

preço dos produtos22 ;

7. Sob a hipótese de retornos de escala constantes, o limite inferior da aversão à incerteza

.

que toma a produção do mercado oligopolizado menor que a do monopólio tende a

22 Com relação aos preços, conclusões análogas são obtidas em um enfoque estruturalista (pós-keynesiano), à partir de modelos de precificação ('mark-up') em ambiente de elevada inflação onde os riscos assumidos pelos produtores vêm associados a possíveis perdas de mercado e à subestimação do custo futuro dos insumos (Frenkel, 1979).

•

..

aumentar à medida que aumenta o número de firmas (mas desde que as firmas entrantes

não tenham custo marginal, muito superior ao da indústria);

8. Enfim, nossa análise evidencia também como a aversão à incerteza dos agentes

produtores desempenha o papel de barreira à entrada intrínseca para as firmas

proponentes ao ingresso em um mercado oligopolizado. Tal resultado sugere que em

ambiente de elevada incerteza knightiana, qualquer legislação protecionista ou anti-truste, baseada nas parcelas de mercado das firmas, pode tomar-se perfeitamente

supérflua e inócua para a regulação deste mercado .

•

•

•

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