Aula 12 Frequência de Ressonância

(1)

Circuitos Trifásicos

Aula 12

Frequência de Ressonância

Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Resposta em frequência

XL=2πfL

f

Figura 1:Resposta em frequência da reatânciaXL

XC=

1 2πfC

f

(3)

Frequência de Ressonância (ou Natural) de um

componente

A Frequência de Ressonância é aquela em que as reatâncias capacitiva e indutiva tem a mesma magnitude.

Portanto para um circuitoLC, a sua impedância equivalente é nula na frequência de ressonância.

E para um circuitoRLCna frequência de ressonância, a impedância equivalente é puramente resistiva.

O fenômeno da ressonância é muito utilizado na área de telecomunicações.

CircuitosRLCressonantes são úteis na construção de filtros seletivos. A ressonância proporciona que pequenas faixas do espectro de frequência sejam amplificados, independentemente do restante (aplicações em radio e TV).

(4)

Ressonância série

Considere o circuitoRLCda figura a seguir.

i

R +

−

VR

jXL +

−

VL

−jXc +

−

VC V

Figura 3:CircuitoRLCsérie.

A impedância equivalente é dada por

Z =R+jXL₋jXc (1) A ressonância acontece quando a parte imaginária é nula

XL=Xc=ωL= 1

(5)

Ressonância série

i

R +

−

VR

jXL +

−

VL

−jXc +

−

VC V

O valor deωque satisfaz essa condição é denominada frequência de ressonância

ωr

ωr=√1

LC rad/s (3)

Comoωr=2πfr

fr= 1

(6)

Ressonância série

i

R +

−

VR

jXL +

−

VL

−jXc +

−

VC V

VL

VC

I

VR

(7)

Ressonância série

L jX

2 L X  fL

rL 

1

rC 

1 2 C X

fC  

C jX 

frequência

r f

Figura 7:Variação deXLeXCcom a frequência.

(8)

Ressonância série

Na frequência de ressonânciaZ =R.

De acordo com a Figura anterior, o menor valor de impedância ocorre na frequência de ressonância.

Portanto, a correnteItem seu valor máximo na frequência de ressonância.

Nas frequências abaixo defr, tem-seXL<XC, portanto o circuito é capacitivo.

Nas frequências acima defr, tem-seXL>XC, portanto o circuito é

(9)

Ressonância paralela

Considere o circuitoRLCda figura a seguir.

i

−jXc jXL R

Figura 9:CircuitoRLCparalelo.

As respectivas admitâncias são

G= 1 R

BC= 1

−jXC = j

1/ωC =jωC

BL= 1 jXL =

−j ωL

A admitância total é dada por

Y = 1 R+j

ωC−_ωL1

(10)

Ressonância paralela

i

−jXc jXL R

A ressonância ocorre quando a parte imaginária é nula, portanto

ωr= √1

LC (6)

fr= 1

(11)

Ressonância paralela

i

−jXc jXL R

(12)

Ressonância paralela

Figura 13:Variação de|Y|com relação a frequência.

(i) A admitânciaY é mínima

(ii) A impedânciaZ é máxima

(iii) A correnteIé mínima

(iv) A frequência de ressonânciafr

(13)

Exemplo 1

Considere o circuitoLR₋Cparalelo (mais realista).

i

−jXc

jXL

R

A admitância equivalente do circuito é

Y = 1

R₋jωL+jωC

A ressonância ocorre na frequência em que a parte imaginária é nula

ωr=

r

1

LC− R2

L2 (8)

fr =

1 2π

r

1

LC − R2

(14)

Exemplo 2

Considere o circuitoLR₋CRparalelo (mais realista).

i

−jXc

RC

jXL

RL

A admitância equivalente do circuito é

Y =RL−jXL R2₊_X2

L

+RC+jXC R2₊_X2

C

A ressonância ocorre na frequência em que a parte imaginária é nula

ωr=√1

LC× s

R2

L−(L/C) R2

C−(L/C)

(10)

fr= 1

2π√LC × s

R2

L−(L/C) R2

C−(L/C)

(15)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

A figura abaixo mostra a resposta em frequência da correnteI_(jω)em um elemento RLC série.

(16)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

QuandoI=0,707Ir, a potência é(0,707Ir)2_R₌

0,5I2_r.

Portanto, os pontos correspondentes às frequênciasf1ef2são

denominados pontos de meia potência.

A distância entre estes dois pontos (f2−f2)é denominado faixa de

(17)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

Quando a potência é expressa em decibels

10 log

I_r2R/2

I2 rR

=10 log1

2 =−3dB (12)

(18)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

Nas frequências de meia potência,I=0,707Ir, portanto, a impedância se torna

Z= V I =

V

0,707Ir =

√

2V

Ir =

√

2Zr=

√

2R (13)

Uma vez que na ressonânciaZr =R

a

R b

ωL− 1

ωC c

Z

45◦

Figura 18:Triângulo para impedância indutiva.

a R b

1 ωC−ωL

c Z

45◦

(19)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

Emf1, o primeiro ponto de meia potência|XC|>|XL|.

Para que a metade da potência seja entregue a resistência

1 2πf1C−

2πf1L=R (14)

Consequentemente

(4π2_LC)f2

1 + (2πCR)f1−1=0 (15)

Que resulta em

f1= −

R_±pR2₊₄_L/C

4πL (16)

Comof1>0

f1= − R+p

R2₊₄_L/C

(20)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

Emf2, o segundo ponto de meia potência|XL|>|XC|.

Para que a metade da potência seja entregue a resistência

2πf2L−

1 2πf2C

=R (18)

Consequentemente

(4π2_LC)f2

2 −(2πCR)f2−1=0 (19)

Que resulta em

f2= R+p

R2₊₄_L/C

(21)

Faixa de passagem (Ressonância Série)

A faixa de passagem é dada por

B=f2−f1=

R+p

R2₊₄_L/C

4πL

!

− −R+

p

R2₊₄_L/C

4πL

!

(21)

B=f2−f1=

1 2πL/R =

fr

2πfrL/R =

fr

Qr (22)

Portanto

Qr= fr B =

fr f2−f1

(22)

Fator

Q

(Qualidade)

Em um circuitoRLC, o indutor armazena a energia no campo magnético e o capacitor no campo elétrico.

Desta forma, o indutor e o capacitor transferem energia de um para o outro sucessivamente.

Estes circuitos ressoam através do intercâmbio cíclico da energia armazenada, acompanhado da dissipação de potência no resistor. O FatorQé uma abreviação parafator de qualidadee se refere a qualidade do componente reativo.

Por definição:

Q=2π

_{Energia m´}_{axima armazenada}

Energia dissipada por ciclo

(24)

Ou

Q=2πfr

_{Energia m´}_{axima armazenada}

Potˆencia m´edia dissipada

(23)

Fator

Q

Para o indutor

Q=ωr 1 2LI

2 m

(Im/√2)2_R !

= ωrL

R (26)

Para o capacitor

Q=ωr 1 2CV

2 m (Im/√2)R

!

= 1

ωrCR (27)

Alternativamente, o fatorQpode ser definido como

Q= reatˆancia

resistˆencia (28)

Ou ainda

Q=Potˆencia reativa

(24)

Fator

Q

Para um circuitoRLCsérie a quantidade de energia armazenada na ressonância é constante.

Quando a tensão no capacitor é máxima, a corrente no indutor é zero, e vice versa (1/2LI2

m=1/2CVm2)

Portanto o fatorQna frequência de ressonância é dado por

Qr = ωrL

R =

1

ωrCR (30)

Entretanto, na frequência de ressonânciaωr=1/(√LC)

Qr =√1

LC

L R

= 1

R r

L

(25)

Fator

Q

i R + − VR jXL + − VL −jXc + − VC V

De acordo com o circuitoRLC

VL₌₋VC (32)

VL₌IjXL=I_jωrL₌

_V

R

jωrL=jQrV

(33)

VC₌₋jXCI₌ I

jωrC =

_V

jωrCR

=−jQrV

(26)

Fator

Q

Portanto, na frequência de ressonância:

Qr =|

VC_|

|V_| =

|VL_|

|V_| (35)

O fatorQna ressonância pode assumir valores de algumas centenas; Desta forma, as tensõesVLeVCna frequência de ressonância pode ser muito maior que a tensão da fonteV.

Por esta razão,Qé também chamado decircuit magnification factor. O qual representa quantas vezesVLouVCsão maiores queV.

(27)

Amplificação de tensão

Para circuitos com altos valores deQ(Q_≥100), a máxima queda de tensão sobre o enrolamentoVCOILe a máxima queda de tensão sobre o capacitorVCcoincidem com o pico de corrente na frequência de ressonância.

(28)

Fator Q - Ressonância paralela

Na ressonância paralela, correntes superiores a da fornecida pela fonte podem circular dentro dos ramos paralelos.

ir

C

iC

L

R i

v

O fatorQde um circuito ressonante paralelo é a razão entre a corrente que circula no ramo paralelo pela corrente fornecida pela fonte.

O fator que é uma medida de amplificação de corrente

Qr= corrente circulante

corrente na ressonˆancia (36)

Qr=|IC|

|Ir_| =

ωrL