Universidade Federal de Pernambuco – Departamento de Física Métodos Matemáticos para a Física 2 (2017) – FI593 2

(1)

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Atenção:

• Esta prova contém 3 questões, totalizando 10 pontos. Esta prova vale 8,5 pontos na nota da unidade. A média das listas e do teste contribuirá com 1,5 pontos.

• Escolhaumdentre os dois itens da Questão 3, indicando claramente sua escolha.

• Esta prova deve ser devolvida junto às folhas das respostas. Não esqueça de preencher seus dados.

• Celulares devem estar desligados e fora do alcance, junto com o restante do seu material.

• Esta prova tem duração de 2h. A prova deve ser entregue apenas após 1h do início da prova.

Q1:

Q2:

Q3:

Questão

1

Considere a equação diferencial hipergeométrica:

z(1−z)d

2_w

dz2 + [c−(1 +a+b)z]

dw

dz −abw(z) = 0.

Uma das soluções funções é a função hipergeométricaw=F(a, b;c;z).

a) (2,0) Utilize o método de Frobenius para encontrar soluções desta equação em uma vizinhança

de z = 0, fazendo w =zν

∞

X

k=0

ckzk. Determine obtenha os possíveis valores de ν e as relações de

recorrência para os coeficientesck.

b) (2,0)A partir do resultado anterior, obtenha a série hipergeométrica

F(a, b, c;z) = Γ(c) Γ(a)Γ(b)

∞

X

k=0

Γ(a+k)Γ(b+k) Γ(c+k)Γ(k+ 1)z

k_,

especificando o domínio no plano complexo dentro do qual a série converge. Para que valores dos parâmetros a série se torna um polinômio? Escreva a segunda solução LI para o caso em quec /∈Z_. Como é a forma geral da segunda solução, casocseja inteiro? Justifique suas respostas.

Qu

e

stão

2

Considere a equação diferencial hipergeométrica confluenteLzu=zd

2_u

dz2 + (c−z)

du

dz −au(z) = 0 ondea

ec são constantes complexas.

a) (1,5) Utilizandou(z) = Z

C

ezt_v₍_t₎_dt_{, mostre que}_Lzu_{resulta em} Z C

ezt_M†

tv(t)dt+Q[ezt, v]ba, onde C é um contorno do plano complexo eQ[z, t] é umtermo de fronteira calculado nas extremidades

aebdo caminhoC. Mostre queMt†v(t) =− d

dt[t(t−1)v(t)] + (ct−a)v(t)e obtenhaQ[e zt_{, v}_].

b) (1,5) Para satisfazer Lzu= 0 deve-se imporMt†v(t) = 0 e que o termo de fronteira deve ser nulo.

Determinev(t)e o contornoCde modo a deduzir a representação integral da função hipergeométrica confluente válida para0<Rea <Rec.

Qu

e

stão

3

Considere a equação diferencial d

2_R

dr2 +

2

r dR

dr +

k2₋n(n+ 1)

r2

R(r) = 0, para 0≤r≤1, ondek∈C_e

né um inteiro não negativo.

a) (1,5)SubstituaR(r) =u(r)/√re determine o conjunto fundamental de soluções deR(r)em termos de funções de Bessel.

b) (1,5)Obtenha J1/2(z)em termos de funções elementares. Faça o mesmo paraJ−1/2(z).

(2)

Formulário

Γ(z) = Z ∞

0

tz−1e−t_dt, _{para Re}_{z >}_0; _Γ(_z_{+ 1) =}_z_Γ(_z_); _Γ(_z_)Γ(1

−z) =πcscz

B(a, b) = Z 1

0

ta−1₍₁₋_t₎b−1_dt, _{para Re}_{a >}₀_, _Re_{b >}₀_, _B₍_{a, b}_{) =}Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b)

d2_w

dz2 +

1

z dw

dz +

1−ν

2

z2

w(z) = 0, (eq. de Bessel);

Jν(z) =z 2

ν e−izΦ(ν+ 1/2,2ν+ 1; 2iz)

Γ(ν+ 1) =

z 2

νX∞

k=0

(−1)k k!Γ(k+ν+ 1)

z 2

2k

,

Yν(z) = cos(νπ)Jν(z)−J−ν(z)

sen(νπ) , Iν(z) =e

−iπν/2_Jν₍_iz₎_, _Kν₍_z_{) =} π[I−ν(z)−Iν(z)]

2 sen(νπ)

Jν−1(z)−Jν+1(z) = 2

d

dzJν(z), Jν−1(z) +Jν+1(z) =

2ν z Jν(z)

Iν+1(z)−Iν−1(z) =−2ν

z Iν(z), Iν+1(z) +Iν−1(z) = 2 d dzIν(z)

Yν+1(z) +Yν−1(z) =

2ν

z Yν(z), Yν+1(z)−Yν−1(z) =−2 d dzYν(z)

Kν+1(z)−Kν−1(z) =

2ν

z Kν(z), Kν+1(z) +Kν−1(z) =−2 d dzKν(z)

ex₌

∞

X

k=0

xk

k!, cosx=

∞

X

k=0

(−1)k_x2k

(2k)! , senx=

∞

X

k=0

(−1)k_x2k+1

(2k+ 1)!

ln(1 +x) =

∞

X

k=1

(−1)k+1_xk

k , arcsinx=x F

₁ 2,

1 2,

3 2;x

2

, arctanhx=

∞

X

k=0

x2k+1

2k+ 1

(1 +x)α=

∞

X

k=0

Γ(α+ 1)xk

k! Γ(α−k+ 1), e

iθ_{= cos}_θ₊_i_sen_θ, _arccos_x_{+ arcsin}_x₌ π

(3)

GABARITO

Questão 1: Considere a equação diferencial hipergeométrica:

z(1−z)d

2_w

dz2 + [c−(1 +a+b)z]

dw

dz −abw(z) = 0.

Uma das soluções funções é a função hipergeométricaw=F(a, b;c;z).

a) (2,0) Utilize o método de Frobenius para encontrar soluções desta equação em uma vizinhança dez= 0,

fazendo w=zν

∞ X

k=0

ckzk. Determine obtenha os possíveis valores deν e as relações de recorrência para os

coeficientes ck.

Partindo dew=

∞

X

k=0

ckzk+ν, teremos

dw dz =

∞

X

k=0

(k+ν)ckzk+ν−1=νc0zν−1+ ∞

X

k=0

(k+ν+ 1)ck+1zk+ν

d2w dz2 =

∞

X

k=0

(k+ν)(k+ν−1)ckzk+ν−2=ν(ν−1)c0zν−2+ ∞

X

k=0

(k+ν+ 1)(k+ν)ck+1zk+ν−1

Logo,

z(1−z)d

2_w

dz2 + [c−(1 +a+b)z]

dw

dz −abw(z) =ν(ν−1)c0z ν−1₊

∞

X

k=0

(k+ν+ 1)(k+ν)ck+1zk+ν−

−

∞

X

k=0

(k+ν)(k+ν−1)ckzk+ν+νcc0zν−1+c ∞

X

k=0

(k+ν+ 1)ck+1zk+ν−(1 +a+b) ∞

X

k=0

(k+ν)ckzk+ν−

−ab

∞

X

k=0

ckzk+ν= 0

∞

X

k=0

{(k+ν+ 1)(k+ν+c)ck+1−[(k+ν)(k+ν+a+b) +ab]ck}zk+ν+ν(ν−1 +c)c0zν−1= 0,

donde obtemos a equação indicial ν(ν −1 +c) = 0, que fornece ν = 0 ou ν = 1−c. Além disso, os coeficientes emzk+ν _{dentro da somatória devem se anular, o que resulta na relação de recorrência para os}

coeficientes ck,

0 = (k+ν+ 1)(k+ν+c)ck+1−[(k+ν)(k+ν+a+b) +ab]ck=

= (k+ν+ 1)(k+ν+c)ck+1−[(k+ν+a)(k+ν+b)]ck

ck+1=

(k+ν+a)(k+ν+b) (k+ν+ 1)(k+ν+c)ck

Para os casos em quev1= 0ev2= 1−cespecificamente,

c(1)k+1=

(k+a)(k+b) (k+ 1)(k+c)c

(1)

k e c

(2)

k+1=

(k+a−c+ 1)(k+b−c+ 1) (k+ 2−c)(k+ 1) c

(2)

k

b) (2,0) A partir do resultado anterior, obtenha a série hipergeométrica

F(a, b, c;z) = Γ(c) Γ(a)Γ(b)

∞ X

k=0

k_,

especificando o domínio no plano complexo dentro do qual a série converge. Para que valores dos parâ-metros a série se torna um polinômio? Escreva a segunda solução LI para o caso em que c /∈Z_{. Como é}

(4)

Do item anterior, para ν= 0, temos

c(1)k =

(k+a−1)(k+b−1)

k(k+c−1) c

(1)

k−1=

(k+a−1)(k+b−1)

k(k+c−1)

(k+a−2)(k+b−2) (k−1)(k+c−2) c

(1)

k−2=· · ·

= (k+a−1)(k+a−2)· · ·(a+ 1)a(k+b−1)(k+b−2)· · ·(b+ 1)b

k(k−1)· · ·2·1(k+c−1)(k+c−2)· · ·(c+ 1)c c

(1) 0 =

= Γ(a+k)Γ(b+k)Γ(c) Γ(k+ 1)Γ(a)Γ(b)Γ(c+k)c

(1) 0 ,

posto que, para um número complexo,d,

Γ(k+d) = (k+d−1)Γ(k+d−1) = (k+d−1)(k+d−2)Γ(k+d−2) = (k+d−1)(k+d−2)· · ·(d+1)dΓ(d).

e k! = Γ(k+ 1). Como c(·)0 é uma constante arbitrária a ser determinada pelas condições iniciais ou de

contorno, teremos como uma das soluções da equação hipergeométrica a função

F(a, b, c;z) = Γ(c) Γ(a)Γ(b)

∞

X

k=0

k

Esta série converge para |z| < 1, pois z = 1 é ponto singular regular da equação hipergeométrica, e a expressão em série de potência obtida em torno do ponto singular regular z= 0converge em um círculo em torno dez= 0que não inclui o ponto z= 1.

Da relação de recorrência do item anterior, vemos que se a, ou b, for um número inteiro negativo, por exemplo igual a −N, ondeN= 0,1,2, . . ., então c(1)_k = 0 parak > N. Portanto, a série infinita se torna um polinômio de grauN.

No caso em quecnão é inteiro a segunda relação de recorrência obtida (paraν2= 1−c) fornece a segunda

solução. Neste caso, ao invés dea,bec (paraF(a, b, c;z)) aparecem na relação de recorrênciaa−c+ 1,

b−c+ 1e2−crespectivamente. Logo, a segunda solução será dada porz1−c_F₍_a₋_c_{+ 1}_{, b}₋_c_{+ 1}_,₂₋_c_;_z₎

Casoc seja inteiro, então a segunda solução conterá um termolnz, que não seria obtido pelo método de Frobenius utilizado acima. A forma geral da solução

w2(z) =w1(z) lnz+z1−c ∞

X

k=0

dnzn,

pode ser encontrada pelo método de determinar a segunda solução de uma EDO. Ou seja, substituímos

w2(z) =h(z)w1(z), sendow1(z) =F(a, b, c;z), na equação hipergeométrica e calculamosh(z).

Questão 2: Considere a equação diferencial hipergeométrica confluenteLzu=z

d2_u

dz2 + (c−z)

du

dz −au(z) = 0

ondeaec são constantes complexas.

a) (1,5) Utilizando u(z) = Z

C

eztv(t)dt, mostre queLzuresulta em

Z

C

eztMt†v(t)dt+Q[ezt, v]ba, onde C é

um contorno do plano complexo e Q[z, t] é um termo de fronteira calculado nas extremidades ae b do

caminhoC. Mostre queMt†v(t) =−

d

dt[t(t−1)v(t)] + (ct−a)v(t)e obtenhaQ[e

zt_{, v]}_.

Substituindou(z) = Z

C

ezt_v₍_t₎_dt_em_Lzu₌_zd2u

dz2 + (c−z)

du

dz −au(z) = 0, encontramos

Lzu= Z

C

dt v(t)

zt2+ (c−z)t−a

ezt= Z

C

dt v(t) [zt(t−1) +ct−a]ezt

Note, então, que

zt(t−1)ezt=t(t−1)de

zt

dt

e que

t(t−1)v(t)de

zt

dt = d

dt[t(t−1)v(t)e

zt_]₋_eztd

dt[t(t−1)v(t)].

Portanto,

Lzu= Z

C

dt v(t) [zt(t−1) +ct−a]ezt= Z

C dtd

dt[t(t−1)v(t)e zt_{] +}Z

C dt ezt

−_dtd[t(t−1)v(t)] + (ct−a)v(t)

= Q[ezt, v(t)]

b a+

Z

C

(5)

onde

Q[ezt, v(t)] =t(t−1)v(t)ezt e Mt†v(t) =− d

dt[t(t−1)v(t)] + (ct−a)v(t)

b) (1,5) Para satisfazer Lzu = 0 deve-se impor Mt†v(t) = 0 e que o termo de fronteira deve ser nulo.

Determine v(t) e o contorno C de modo a deduzir a representação integral da função hipergeométrica confluente válida para0<Rea <Rec.

Fazendo w(t) =t(t−1)v(t), teremos

Mt†v(t) =− d

dt[t(t−1)v(t)] + (ct−a)v(t) = 0 → − dw

dt +

(ct−a)

t(t−1)w=−

dw dt +

_a

t + c−a t−1

w= 0

d dtlnw=

d dtln t

a₍_t

−1)c−a

→ w(t) =k ta(t−1)c−a,

ondeké uma constante. Assim, v(t) =k ta−1₍_t₋₁₎c−a−1_._{Como o termo de fronteira,}

Q[ezt, v(t)] =t(t−1)v(t)ezt=k ta(t−1)c−aezt

deve se anular nos extremos do contornoC, pode-se escolherC como o eixo real entre os pontosz = 0e

z= 1, desde que Rea >0 e Rec >Rea. Logo, a solução da equação hipergeométrica confluente é dada por

u(z) =k

Z 1

0

dt eztta−1(t−1)c−a−1, Rec >Rea >0

ondeké uma constante. Da comparação com a série hipergeométrica pode-se encontrark= Γ(c) Γ(a)Γ(c−a) para queu(z) = Φ(a, c;z).

Questão 3: Considere a equação diferencial d

2_R

dr2 +

2 r

dR dr +

k2₋n(n+ 1)

r2

R(r) = 0, para0≤r≤1, onde

k∈C_e_n_{é um inteiro não negativo.}

a) (1,5) Substitua R(r) =u(r)/√r e determine o conjunto fundamental de soluções de R(r)em termos de funções de Bessel.

Como dR

dr =

1

r1/2

du dr −

u

2r3/2 e

d2_R

dr2 =

1

r1/2

d2_u

dr2 −

1

r3/2

du dr +

3u

4r5/2 , então

d2_R

dr2 +

2

r dR

dr +

k2−n(n_r+ 1)2

R(r) =√1_r _d2_u

dr2 +

1

r du dr+

k2−n(n_r+ 1)2 +

3 4r2 −

1

r2

u(r)

= 0

d2_u

dr2 +

1 r du dr +   k 2 −

n(n+ 1) +1 4

r2



 u(r) =

d2_u

dr2 +

1 r du dr +     

k2−

n+1 2 2 r2     

u(r) = 0

Tomando z =kr, então d

dr = dz dr

d dz =k

d dz,

d2

dr2 = k 2 d2

dz2, e encontra-se a seguinte equação de Bessel

comν=n+1 2,

d2_u

dz2 +

1 z du dz +      1−

n+1 2 2 z2     

u(z) = 0

O conjunto fundamental de soluções desta equação é

Jn+1/2(z), J−n−1/2(z) . Note, também, devido a

cos[(n+ 1/2)π] = 0 e sen[(n+ 1/2)π] = (−1)n, então Yn+1/2(z) = (−1)nJ−n−1/2(z). Desta maneira, o

conjunto fundamental de soluções desta equação pode ser escrito também como

Jn+1/2(z), Yn+1/2(z)

Como R(r) =u(r)/√r, o conjunto fundamental de soluções para a equação do enunciado é,

_Jn

+1/2(kr)

√_r , J−n−1√/_r2(kr)

ou

_Jn

+1/2(kr)

(6)

b) (1,5) ObtenhaJ1/2(z)em termos de funções elementares. Faça o mesmo paraJ−1/2(z).

Sugestão: Utilize a expansão em séries de potências para a função de Bessel, assim como reescreva a função Gama nos coeficientes em termos de fatoriais.

Temos

J±1/2(z) =

z 2

±1/2_X∞

k=0

(−1)k

k! Γ

k±1 2 + 1

z

2 2k

,

onde

Γ

N+1 2

=

N−1₂

Γ

N−1₂

=

N−1₂ N−3₂

Γ

N−3₂

=· · ·=

N−1₂ N−3₂

· · ·1₂Γ ₁

2

= (2N−1) (2N−3)· · ·3·1 √

π

2N =

(2N−1) (2N−3)· · ·3·1√π

2N

= (2N−1) (2N−2) (2N−3) (2N−4)· · ·4·3·2·1 √

π

2N₂N−1₍_N₋_{1) (}_N₋₂₎_{· · ·}₄_·₂ =

(2N−1)! 22N−1₍_N₋_1)!

√

π.

Logo,

Γ

k+1 2

= (2k−1)! 22k−1₍_k₋_1)!

√

π, Γ

k+ 1 + 1 2

= (2k+ 1)! 22k+1_k_!

√

π

e

J−1/2(z) =

z 2

−1/2X∞

k=0

(−1)k₂2k−1₍_k₋_1)!

k! (2k−1)!√π

z 2

2k =

r 2

πz

∞

X

k=0

(−1)k

2k(2k−1)!z

2k₌

r 2

πz

∞

X

k=0

(−1)k_z2k

(2k)! = r

2

πzcosz

J1/2(z) =

z 2

1/2_X∞

k=0

(−1)k₂2k+1_k_!

k! (2k+ 1)!√π

z 2

2k =

r 2

πz

∞

X

k=0

(−1)k_z2k+1

(2k+ 1)! = r

2