Exercício Escolar
Nome: CPF:
• Esta prova contém 12 pontos distribuídos em 3 questões, cada uma com dois itens.
Escolha5itens dentre os seis. Apenas 5 cinco itens serão corrigidos de modo a nota máxima da prova ser 10.
• A média da unidade será uma média ponderada da nota nesta prova (peso 9) e da
média das notas das listas (peso 1).
• Esta prova deve ser devolvida junto às folhas das respostas. Não esqueça de
preen-cher seus dados.
• Celulares devem estar desligados e fora do alcance, junto com o restante do seu
material.
• Esta prova tem duração de 3h. A prova deve ser entregue apenas após 1h do início
da prova.
Q1:
Q2:
Q3:
Questão
1
Considere a equação de difusão∇2u= ∂u
∂t, onde0≤ρ≤a,0≤φ≤2π,0≤t <∞, sujeita à condição inicial,u(ρ, φ,0) = δ(ρ−ρ0)δ(φ)
ρ ,e com condição de contornou(a, φ, t) = 0.
a) (2,0) Utilize separação de variáveis para obter as equações diferenciais ordinárias relacionadas às coordenadas radial, ρ, azimutal, φ, e ao tempo,t. Identifique quais destas são sistemas de Sturm-Liouville e determine os autovalores e as autofunções para esses sistemas.
b) (2,0) Dos resultados do item (a) construa a forma geral da solução. Utilize a condição inicial para obter a solução para este problema.
Note que a física do problema impõe uma restrição à dependência da solução com o tempo.
Qu
e
stão
2
Nos itens abaixo,0≤θ≤πe−π≤φ≤πsão as coordenadas polar e azimutal usuais.
a) (2,0)SejaV(θ, φ) =
1, p/0≤θ < π 2 −1, p/ π
2 < θ≤π
definida sobre a superfície de uma esfera. Determine
a expansão deV(θ, φ)em termos de harmônicos esféricos,Ym l (θ, φ).
b) (2,0) Deduza a identidade, 1 4π|~r−~r′| =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ)
(2l+ 1)
rl <
r>l+1
, onde r< (r>) se refere
ao menor (maior) dentrerer′.
Qu
e
stão
3
A função de Green, G(~r, ~r′), associada à associada à equação de Laplace, −∇2G = δ(~r −~r′), com condições de contorno apropriadas, pode ser escrita como a soma de uma parte singular,Gs(~r, ~r′), e uma
parte regular,H(~r, ~r′), i.e.,G(~r, ~r′) =G
s(~r, ~r′) +H(~r, ~r′).
a) (2,0) Mostre que a parte singular da função de Green é dada por, Gs(~r, ~r′) =
1
4π|~r−~r′|, em três dimensões.
Observação: note que a parte singular da função de Green requer apenas que a função de Green se anule no infinito e, assim, o termo de fonte pode ser considerado na origem das coordenadas.
b) (2,0) Obtenha a função de Green, G(~r, ~r′), associada à equação de Laplace definida fora de uma esfera de raioR (i.e. parar≥R), com condições de contorno de Dirichlet na superfície desta esfera em termos de harmônicos esféricos.
Exercício Escolar
Formulário
d2w dz2 +
1 z
dw dz +
1−ν 2 z2
w(z) = 0, (eq. de Bessel);
Jν(z) =
z
2
ν e−izΦ(ν+ 1/2,2ν+ 1; 2iz)
Γ(ν+ 1) =
z
2
νX∞
k=0
(−1)k
k!Γ(k+ν+ 1)
z
2
k
,
Yν(z) = cos(νπ)Jν(z)−J−ν(z)
sen(νπ) , Iν(z) =e −iπν/2J
ν(iz), Kν(z) = π[I−ν(z)−Iν(z)]
2 sen(νπ)
Jn(z) =
1 2π
Z π
−π
ei(zsenφ−nφ)dφ, Z ∞
0
sen(ax) x dx=
π 2 sign(a)
Z a
0
dρ ρ Jm
xmnρ
a
Jm
xmlρ
a
=a 2
2 [Jm+1(xmn)] 2
δmn, ondeJm(xmn) = 0 =Jm(xml)
Jν−1(z)−Jν+1(z) = 2
d
dzJν(z), Jν−1(z) +Jν+1(z) = 2ν
z Jν(z)
Yν+1(z) +Yν−1(z) =2ν
z Yν(z), Yν+1(z)−Yν−1(z) =−2 d dzYν(z)
Para dois pontos(θ, φ)e(θ′, φ′)na superfície de uma esfera de raio 1:
Pl[cosθcosθ′+ senθsenθ′cos(φ−φ′)] =
4π 2l+ 1
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ)
Função geradora para polinômios de Legendre: p 1
1 +t2−2tcosϕ = ∞
X
l=0
tlPl(cosϕ)
Ylm(θ, φ) = (−1)m
s
(2l+ 1) 4π
(l−m)! (l+m)!P
m
l (cosθ)eimφ,
Z 1
−1
du Plm(u)Plm′ (u) =
2δl′l
2l+ 1
(l+m)! (l−m)!, P
0
l(u) =Pl(u)
Z π
0
dθsenθ
Z 2π
0
dφ Ylm(θ, φ)Ym
′
l′ (θ, φ) =δl′lδm′m,
∞
X
l=0
l
X
m=−l
Ylm(θ, φ)Ylm(θ′, φ′) =δ(φ−φ
′)δ(cosθ−cosθ′)
Z 1
0
du Pl(u) =
δl0, sel= 2p
(−1)p(2p)!
22p+1p!(p+ 1)!, sel= 2p+ 1
∇2= 1 r2
∂ ∂r
r2 ∂ ∂r
+ 1
r2senθ ∂ ∂θ
senθ ∂ ∂θ
+ 1
r2sen2θ ∂2 ∂φ2,
∇2= 1 ρ
∂ ∂ρ
ρ∂ ∂ρ
+ 1 ρ2
∂2 ∂φ2 +
∂2 ∂z2
˜
F(~k) = 1 (2π)N/2
Z
all space
Exercício Escolar
GABARITO
Questão 1: Considere a equação de difusão∇2u= ∂u
∂t, onde 0≤ρ≤a, 0 ≤φ ≤2π, 0 ≤t <∞, sujeita à condição inicial,u(ρ, φ,0) = δ(ρ−ρ0)δ(φ)
ρ ,e com condição de contornou(a, φ, t) = 0.
a) (2,0) Utilize separação de variáveis para obter as equações diferenciais ordinárias relacionadas às coor-denadas radial, ρ, azimutal,φ, e ao tempo, t. Identifique quais destas são sistemas de Sturm-Liouville e determine os autovalores e as autofunções para esses sistemas.
Seu(ρ, φ, t) =R(ρ)S(φ)g(t), então,
∇2u= ∂u ∂t →
Sg ρ
∂ ∂ρ
ρ∂R ∂ρ
+Rg ρ2
∂2S ∂φ2 =RS
∂g ∂t.
Multiplicando por 1
RSg, teremos
1 ρR
∂ ∂ρ
ρ∂R ∂ρ
+ 1 ρ2S
∂2S ∂φ2 =
1 g
∂g ∂t.
Façamos
1 S
d2S dφ2 =−µ
2, → d2S dφ2 +µ
2S= 0 → S=const.eiµφ
1 g
∂g ∂t =−k
2 → g=g(0)e−k2
t
Como udeve ser univalente em 0≤φ≤2π, então µ=m∈ Z. Além disso, k deve ser real, de modo a solução não divergir quando t crescer. A EDO emφ com condições de contorno periódicas constitui um sistema de Sturm-Liouville, onde existe conjunto enumerável de autovalores, as autofunções ortogonais geram todo o espaço e existem duas autofunções reais, {sen(mφ), cos(mφ)}para cada autovalor. O outro sistema de Sturm-Liouville é a EDO em ρcom condições de contorno de Dirichlet,
1 ρ
∂ ∂ρ
ρ∂R ∂ρ
+
k2−m 2 ρ2
R= 0, R(a) = 0,
cujas soluções são do tipo Jm(kρ) (a função Ym(kρ) é descartada pois diverge em ρ = 0). Para que
satisfaçam às condições de contorno, tem-se Jm(ka) = 0, donde segue queka = xmn é a n−ésima raiz
da função de BesselJm(x). Portanto,k=kmn=xmn/a,n= 1,2,3, . . ., fazendo com que as funções de
Bessel passem a formar conjunto completo ortogonal, satisfazendo
Z a
0
dρ ρ Jm
xmnρ
a
Jm
xmlρ
a
= a 2
2 [Jm+1(xmn)] 2
δmn
b) (2,0) Dos resultados do item (a) construa a forma geral da solução. Utilize a condição inicial para obter a solução para este problema.
A forma geral da solução é dada por:
u(ρ, φ, t) = ∞
X
m=−∞ ∞
X
n=1 cmnJm
xmnρ
a
exp
imφ−x 2
mn
a2 t
Utilizando a condição inicial, teremos
u(ρ, φ,0) = δ(ρ−ρ0)δ(φ)
ρ =
∞
X
m=−∞ ∞
X
n=1 cmnJm
xmnρ
a
eimφ
Multiplicando pore−ilφ e integrando de0 a2π, encontramos
δ(ρ−ρ0)
ρ =
∞
X
m=−∞ ∞
X
n=1 cmnJm
xmnρ
a
Z 2π
0
dφ ei(m−l)φ= 2π
∞
X
m=−∞ ∞
X
n=1 cmnJm
xmnρ
a
δml = 2π
∞
X
n=1 clnJl
xlnρ
a
Exercício Escolar
Agora, multiplicando porρJl
xlkρ
a
e integrando de0 aa, teremos
Jl
xlkρ0
a
= 2π ∞
X
n=1 cln
Z a
0 dρ ρJl
xlnρ
a
Jl
xlkρ
a
= 2π ∞
X
n=1 cln
a2
2 [Jl+1(xlk)] 2
δkn=πa2[Jl+1(xlk)]2clk
clk =
Jl
xlkρ0
a
πa2[J
l+1(xlk)]2
Portanto,
u(ρ, φ, t) = 1 πa2
∞
X
m=−∞ ∞
X
n=1 Jm
xmnρ0
a
Jm
xmnρ
a
[Jm+1(xmn)]2
exp
imφ−x 2
mn
a2 t
Fazendo uso deJ−m(z) = (−1)mJm(z), outra maneira de expressar a solução é dada por,
u(ρ, φ, t) = 1 πa2
∞
X
n=1
J0x0nρ0 a
J0x0nρ a
e−x2 0nt/a
2
[J1(x0n)]2
+ 2 ∞
X
m=1 ∞
X
n=1 Jm
xmnρ0
a
Jm
xmnρ
a
cos(mφ)e−x2
mnt/a
2
[Jm+1(xmn)]2
ondeJm(xmn) = 0.
Questão 2: Nos itens abaixo, 0≤θ≤πe−π≤φ≤πsão as coordenadas polar e azimutal usuais.
a) (2,0) Seja V(θ, φ) =
1, p/0≤θ < π
2
−1, p/ π
2 < θ≤π
definida sobre a superfície de uma esfera. Determine a
expansão de V(θ, φ)em termos de harmônicos esféricos,Ym l (θ, φ). Queremos determinarV(θ) =P∞
l=0
Pl
m=−lvlmYlm(θ, φ). Assim, multiplicando porYjk(θ, φ)e integrando
sobre a superfície da esfera, teremos
Z 2π
0 dφ
" Z π/2
0
dθsenθ Yk
j (θ, φ)−
Z π
π/2
dθsenθ Yk j(θ, φ)
#
= ∞
X
l=0
l
X
m=−l
vlm
Z 2π
0
Z π
0
dθsenθYlm(θ, φ)Yjk(θ, φ)
= ∞
X
l=0
l
X
m=−l
vlmδljδkm =vjk
Tomandoalm = (−1)m
s
(2l+ 1) 4π
(l−m)! (l+m)!, então
Z 2π
0 dφ
" Z π/2
0
dθsenθ Yk
j (θ, φ)−
Z π
π/2
dθsenθ Yk j(θ, φ)
#
=aj0
Z 1
0
du Pjk(u)−
Z 0
−1
du Pjk(u)
Z 2π
0
e−ikφdφ
= 2πajkδk0
Z 1
0
du Pj0(u)−
Z 1
0
du Pj0(−u)
= 2πaj0δk01−(−1)j
Z 1
0
du Pj(u)
= 4πaj0δk0δj,2p+1
Z 1
0
du P2p+1(u),
para p= 0,1,2, . . .e ondeP2p+1(u) =
(−1)p(2p)!
22p+1p!(p+ 1)!. Portanto,vlm =δm0δl,2p+1
4πal0(−1)p(2p)!
22p+1p!(p+ 1)! , de modo que
V(θ) = ∞
X
p=0
4πa2p+1,0(−1)p(2p)!
22p+1p!(p+ 1)! Y 0
2p+1(θ, φ) = ∞
X
p=0
p
4π(4p+ 3)(−1)p(2p)!
22p+1p!(p+ 1)! Y 0
2p+1(θ, φ)
= ∞
X
p=0
(−1)p (4p+ 3)(2p)!
Exercício Escolar
b) (2,0) Deduza a identidade, 1
4π|~r−~r′| = ∞
X
l=0
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ)
(2l+ 1)
rl <
r>l+1
, onde r< (r>) se refere ao
menor (maior) dentrerer′.
Tomandor< (r>) se refere ao menor (maior) dentre rer′, temos
1 4π|~r−~r′| =
1 r>
1
s
1 + r 2
<
r2
>
−2r< r>
cosγ =
∞
X
l=0 rl
<
r>l+1
Pl(cosγ),
onde~r·~r′=rr′cosγ. Mas
cosγ= senθcosφsenθ′cosφ′+ senθsenφsenθ′senφ′+ cosθcosθ′= cosθcosθ′+ senθsenθ′cos(φ−φ′)
Do teorema da adição para harmônicos esféricos,
Pl(cosγ) =Pl[cosθcosθ′+ senθsenθ′cos(φ−φ′)] =
4π 2l+ 1
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ),
então,
1 4π|~r−~r′| =
∞
X
l=0 rl
<
rl>+1
Pl(cosγ) =
∞
X
l=0
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ)
(2l+ 1)
rl <
rl>+1
Questão 3: A função de Green,G(~r, ~r′), associada à associada à equação de Laplace,−∇2G=δ(~r−~r′),com
condições de contorno apropriadas, pode ser escrita como a soma de uma parte singular,Gs(~r, ~r′), e uma parte
regular,H(~r, ~r′), i.e.,G(~r, ~r′) =G
s(~r, ~r′) +H(~r, ~r′).
a) (2,0) Mostre que a parte singular da função de Green é dada por, Gs(~r, ~r′) =
1
4π|~r−~r′|, em três
dimensões.
Observação: note que a parte singular da função de Green requer apenas que a função de Green se anule no infinito e, assim, o termo de fonte pode ser considerado na origem das coordenadas.
Para a parte singular da função de Green, podemos considerar que~r′= 0sem perda de generalidade, visto que há simetria radial para o vetor~r−~r′. Logo, a parte singular função de Green associada à equação de Laplace obedece à
−1 r2
d dr
r2 d drGs(r)
= δ(r)
4πr2 → − d dr
r2 d drGs(r)
= δ(r) 4π
Parar6= 0, então
d dr
r2 d drGs(r)
= 0 → r2 d
drGs(r) =c1 → Gs(r) =− c1
r +c2.
ComoG(r→ ∞) = 0 → c2= 0. Para determinarc1, utiliza-se o teorema da divergência para uma esfera de raio desprezívelǫem torno da origem,
−
Z
r≤ǫ
d3rδ(~r) =
Z
r≤ǫ
d3r∇2Gs(r) =
I
r=ǫ
ˆ
r· ∇G(r) = 4πǫ2 dGs dr
r=ǫ
→ −1 = 4πǫ 2c1
ǫ2 → c1=− 1 4π.
Portanto, fazendor→ |~r−~r′|, teremos
Gs(~r, ~r′) = 1
Exercício Escolar
Resolução alternativa: poderíamos ter utilizado o método da transformada de Fourier. Neste caso,
− 1 (2π)3
Z
d3re−i~k·~r∇2G
s=
1 (2π)3
Z
d3re−i~k·~rδ(~r−~r′) → k2G˜
s(~k) =
1 (2π)3
Z
d3re−i~k·~r′
˜ Gs(~k) =
e−i~k·~r′
(2π)3k2 Portanto,
Gs(~r, ~r′) =
Z
d3k ei~k·~rG˜ s(~k) =
Z
d3ke
i~k·(~r−~r′)
(2π)3k2 = 2π
Z π
0
dθsenθ
Z ∞
0
dk k2e
ikRcosθ
(2π)3k2
= 1
(2π)2
Z ∞
0 dk
Z 1
−1
du eikRu= 1 (2π)2
Z ∞
0 dk
eikR
ikR − e−ikR
ikR
= 1
2π2R
Z ∞
0
dksen(kR)
k =
1 2π2R
π 2 =
1 4πR =
1 4π|~r−~r′|
onde escolheu-se u= cosθ, enquantoθé o ângulo entre o vetor de onda~keR~ =~r−~r′.
b) (2,0) Obtenha a função de Green,G(~r, ~r′), associada à equação de Laplace definida fora de uma esfera
de raioR (i.e. parar≥R), com condições de contorno de Dirichlet na superfície desta esfera em termos de harmônicos esféricos.
Sugestão: Utilize o método das imagens.
O método das imagens, quando aplicável, permite determinar a parte regular da função de Green, conside-rando imagens do termo de fonte convenientemente distribuídas fora do domínio de definição da equação, de modo a satisfazer às condições de contorno. Aqui, temos condição de contorno de Dirichlet emr=a, ou seja, G(~r, ~r′) = 0em r=a. Considere, então, que haja um termo imagem similar àG
s (encontrado
no item anterior) fora do domínio de definição da equação, em~rq, tal querq < R,
G(~r, ~r′) = 1 4π|~r−~r′| −
q 4π|~r−~rq|
,
ondeqé uma constante a ser determinada. A condição de contorno aplicada a esta G(~r, ~r′)fornece
1
p
R2+r′2−2Rr′cosθ′ =
q
p
R2+r
q2−2Rrqcosθq
1
r′
s
1 +
R
r′
2
−2Rcosθ ′
r′
= q
R
r
1 +rq R
2
−2rqcosθq R
,
ondecosθ′ ecosθ
q são os ângulos que~r′ e~rq, respectivamente, fazem com um dado ponto na superfície
da esfera de raio R. Para esta identidade ser válida é necessário que (i) cosθq = cosθ′, (ii) q=rq/Re
(iii) R r′ =
rq
R. Ou seja,~rq e~r
′ estão ao longo da mesma direção radial,r
q =R2/r′ eq=R/r′. Portanto,
a adição do termo imagem é consistente com a condição de contorno, sendo parte regular da função de Green, pois não diverge no domínio de definição da equação de Laplace. A função de Green associada ao problema é dada, então, por
G(~r, ~r′) = 1 4π|~r−~r′| −
R
4πr′
~r−
R2 r′2~r
′
= 1 4π
"
1 |~r−~r′|−
R
p
R4+r2r′2−2R2~r′·~r
#
.
Note que G(~r, ~r′) =G(~r′, ~r), como esperado, pois a equação diferencial de Laplace é auto-adjunta com coeficientes reais.
Utilizando a identidade do item 2(b) e notando que rq=R2/r′≤R≤r, então,
G(~r, ~r′) = 1 4π|~r−~r′|−
R
4πr′
~r−R 2 r′2~r
′
= ∞
X
l=0
l
X
m=−l
Yl
m(θ′, φ′)Yml(θ, φ)
(2l+ 1)
"
rl <
rl>+1
− R 2l+1 (r′r)l+1
#
,
