ERROS ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS NO EXCEL

(1)

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSORA: Michele Agra de Lemos Martins Eng. Civil, M.Sc.

[email protected]

Maceió-AL 2014.2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA

(2)

SUMÁRIO DA AULA

ERROS

ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS NO EXCEL

MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO

MÉDIA

MEDIANA

MODA

(3)

(4)

ERROS

FONTES DE ERRO

 Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer?

onde:

• 𝑆 é a posição final;

• 𝑆₀ é a posição inicial;

• 𝑣₀ é a velocidade inicial;

• _𝑡 é o tempo percorrido;

• 𝑔 é a aceleração gravitacional.

(5)

ERROS

FONTES DE ERRO

A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2s para atingir o solo. Com isso podemos concluir, a partir da equação, que a altura do edifício é de 19,6 metros.

Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?

• Resistência do ar,

• Velocidade do vento,

• Forma do objeto, etc.

• Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.

Erros de modelagem

• Precisão dos dados de entrada (ex. precisão na leitura do cronômetro);

• Forma como os dados são armazenados (máquina);

• Operações numéricas efetuadas;

• Erro de truncamento.

(6)

ERROS

ERRO DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO



Diferença entre a aproximação calculada de um

número e o seu valor matemático exato.



Surge devido ao fato de algumas propriedades

básicas da aritmética real não valerem quando

executadas no computador, pois, enquanto na

matemática alguns números são representados

por infinitos dígitos, na máquina isso não é

possível.

Notação Valor exato Aproximação Erro

1/7 0,1428571429 0,142857 1,429−7 2/9 0,22222222222 0,222222 0,00000022222

(7)

ERROS

TÉCNICAS DE ARREDONDAMENTO

 A maioria dos números têm representações decimais infinitas, que eventualmente devem ser arredondadas.

 Na utilização de equipamento eletrônico para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não é representável exatamente, o mesmo será representado do forma aproximada.

 Há duas maneiras de estabelecer o limite para o último dígito:

• Truncamento:

Exemplo: 0,1428571429 ≈ 0,14285 • Arredondamento:

(8)

(9)

DIAGRAMAS DE RAMOS E FOLHAS



Dispositivo

semi-gráfico

que estabelece uma forma de organização e

apresentação de dados semelhante a

distribuição de frequências

e

ao histograma.



Considere os dados da tabela abaixo (resistências de corpos de prova):

105 221 183 186 121 181 180 143

97 154 153 174 120 168 167 141

245 228 174 199 181 158 176 110

163 131 154 115 160 208 158 133

207 180 190 193 194 133 156 123

134 178 76 167 184 135 229 146

218 157 101 171 165 172 158 169

199 151 142 163 145 171 148 158

160 175 149 87 160 237 150 135

196 201 200 176 150 170 118 149

Que porcentagem dos corpos de prova cai abaixo

(10)

DIAGRAMAS DE RAMOS E FOLHAS



O diagrama de ramos e folhas é adequado para

representações visuais

informativas

de um conjunto de dados

𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … , 𝑥

_𝑛

, em que cada

número

𝑥

_𝑖

consiste em,

no mínimo, dos dígitos

.

Etapas para construir um diagrama de ramos e folhas

1. Divida cada número 𝑥_𝑖 em duas partes: um ramo, consistindo em 1 ou mais dígitos

iniciais, e uma folha, consistindo dos dígitos restantes;

2. Liste os valores do ramo em uma coluna vertical;

3. Ao lado do ramo, registre a folha para cada observação;

4. Escreva as unidades para os ramos e folhas no gráfico.

(11)

GRÁFICOS NO EXCEL

(12)

ESTATÍSTICA

DESCRITIVA:

(13)



As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem

um

ponto em torno do qual se concentram os dados

.



Este ponto tende a ser o centro do conjunto de dados.



Os principais são:

a mediana, a moda e a média aritmética

.

(14)



É a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo

número total de observações.



Sob uma visão geométrica a média de uma distribuição é o centro de

gravidade, representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de

dados.



É a medida de tendência central mais utilizada para representar a

massa de dados.



Seja (

𝑥

₁

, … , 𝑥

_𝑛

) um conjunto de dados. A média é dada por:

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

(15)

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

Se

𝑛

observações de uma amostra forem

representadas por

𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … , 𝑥

_𝑛

, a média amostral será:

₁ n i i

x

n





Quando a população tiver um número finito de

observações (

𝑁

), a média populacional será:

1

(16)

Exemplo:

1- Média de gols por partida em um total de 5 jogos: 1 2 2 3 5

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

(17)

 Considere o número de filhos, por família, para um grupo de 8 famílias:

0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4

Este resultado eleva em 48,15% o número médio de filhos por família. Assim, ao observar a média, pode-se pensar que a maior parte das famílias deste grupo tem três filhos quando, na verdade, apenas uma tem três filhos.

filhos por família

 Entretanto, incluindo ao grupo uma nova família com 10 filhos, a média passa a ser:

𝑥 =

0 + 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 + 4

₈

= 1,875

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

𝑥 =

0 + 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 + 4 + 10

₉

= 2,778

Aparências podem enganar!

(18)

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

EXEMPLO

Resultados

26 27 25 27 34 28 29 24 17 25 26 27 Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à

compressão apresentados:

12

1 1

26

27 25 ... 17

25

26

27

(19)

Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão

apresentados.

40

1 1

49

50 50...

69

71 58, 375

40

n

i i

x

n

 













MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA ARITM. SIMPLES

(20)



Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus

de importância (pesos) diferentes.



A média aritmética ponderada dos números

𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … , 𝑥

_𝑛

, com pesos

𝑝

₁

, 𝑝

₂

, … , 𝑝

_𝑛

,

será:



EXEMPLO:

Composição de nota considerando trabalho, lista e prova com

pesos diferentes.

1 1 n i i i p n i i

x p

x

p

 





(21)



Sempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadas antes

de os dados serem agrupados;



Muitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuição de

frequência.

Média para dados agrupados

Nesse caso, considere que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto

médio da classe

𝑥_𝑖 – Ponto médio da i-ésima classe 𝑛_𝑖 – Frequência absoluta da i-ésima classe

𝑘 – Número de classes

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA

𝑥 =

𝑛𝑖=1

_𝑛

𝑥

𝑖

𝑛

𝑖

=

𝑥

𝑖

_𝑛

𝑛

𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑥

𝑖

𝑓

𝑖 𝑛

(22)

Exemplo:

Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão agrupados na tabela abaixo.

Média para dados agrupados

(23)

1 1

.

k i i i k i i

x n

x

n

 





6 1 6 1

.

50.8

54.7

58.9

62.6

66.6

70.4 2348

58, 70

8

7

9

6

4

40

i i i i i

x n

x

n

 





    



Média para dados agrupados

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MÉDIA

(24)

Comparação

–

Dados agrupados e não agrupados

58, 375

x



58, 70

x



Média para dados agrupados

(25)



Valor que ocupa a

posição central da série

de observações de uma

variável,

em rol

, dividindo o conjunto em duas partes iguais, ou seja,

a quantidade de valores inferiores à mediana é igual à quantidade de

valores superiores a mesma.



Cálculo da mediana, independentemente do tamanho da amostra:

1. Ordenar as observações em ordem crescente ou decrescente (rol).

2. Calcular a posição central, 𝑝, que a mediana ocupa no conjunto de dados

:

3. Obter a mediana pela equação

𝑝 = 0.5 (𝑛 + 1)

onde 𝑥 é o valor encontrado no rol, 𝐼𝑝 é a parte inteira de 𝑝 e𝐹_𝑝 é a parte fracionária (ou decimal).

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

(26)

EXEMPLO:

1- O número de gols por partida em um total de 5 jogos: 3 2 1 2 5 2- O número de gols por partida em um total de 6 jogos: 5 3 2 1 2 5

Ex. 1:

rol: 1 2 2 3 5

𝑥

A posição p da mediana é

𝑝 = 0,50 (𝑛 + 1) = 0,50 (5 + 1) = 3

Ex. 2:

rol: 1 2 2 3 5 5

𝑝 = 0,50 (𝑛 + 1) = 0,50 (6 + 1) = 3,5

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

𝑥 = 𝑥_𝐼𝑝 + 𝐹_𝑝 𝑥_𝐼𝑝+1 − 𝑥_𝐼𝑝 = 2 + 0.5 ∙ 3 − 2 = 2,5 𝑥

(27)

Exemplo: Suponha o rol da idade dos alunos da disciplina Estatística e Probabilidade do curso de Estatística da UFAL:

18, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 29, 30, 35, 37

𝑝 = 0,50 (𝑛 + 1) = 0,5 (22 + 1) = 11,5 Portanto:

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

(28)



Exemplo:

Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar.

5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

Colocando os resultados em ordem crescente:

0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

𝑝 = 0,5 (𝑛 + 1) = 0,5 (6 + 1) = 3,5

𝑥 = 𝑥_𝐼𝑝 + 𝐹_𝑝 𝑥_𝐼𝑝+1 − 𝑥_𝐼𝑝 = 0,73 + 0,5 ∙ 1,1 − 0,73 = 0,915

(29)

Exemplo:

Agora ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de

chumbo no ar, substituindo o valor 5,40 mg/m

3

_{pelo valor 1,20 mg/m}

3

1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

Colocando os resultados em ordem crescente:

0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,2

𝑝 = 0,5 (𝑛 + 1) = 0,5 (6 + 1) = 3,5

𝑥 = 𝑥_𝐼𝑝 + 𝐹_𝑝 𝑥_𝐼𝑝+1 − 𝑥_𝐼𝑝 = 0,73 + 0,5 ∙ 1,1 − 0,73 = 0,915

(30)

Comparação entre média e mediana

Resultados ordenados 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40

Caso 1

Resultados ordenados 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,20

Caso 2

0,915

x

~



x

~



0,915

1,538

x



x



0,838

(31)



A mediana é a mesma (0,915) em ambos os casos



O exemplo ilustra os seguintes fatos:



A média é muito sensível a valores extremos



A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos

ou muito baixos

Comparação entre média e mediana

(32)



O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações

estejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cada

classe;



Nesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linear

Exemplo:

Determinar a mediana dos

resultados de resistência à

compressão agrupados na

tabela ao lado.

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

(33)

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA



Como existem 40 dados, a mediana é o 20º elemento, e pertence à

(34)

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

 Para determinar o 20º elemento, interpolaremos, obtendo:

Classe da

mediana

20 − 15

𝑥 =

24 − 15

60 − 56 𝑥 = 2,22

(35)

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MEDIANA

 Para determinar o 20º elemento, interpolaremos, obtendo:

Classe da

mediana

𝑥 = 𝑙_𝑖𝑛𝑓 + 𝑛

(36)



Valor (ou valores) que apresenta(m) a maior frequência da variável entre

os valores observados.



Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada

imediatamente observando-se o rol ou a frequência absoluta dos

dados.

Exemplo:

1- O número de gols por partida em um total de 5 jogos: 1 2 2 3 5 O valor de maior frequência – único valor: 𝑀𝑜 = 2

2- O número de gols por partida em um total de 6 jogos: 1 2 2 3 5 5 Os valores de maior frequência – dois valores: Mo = 2 e 5

Unimodal

Bimodal

(37)

Exemplo:

Outros exemplos:

a) 2 4 7 9 11 17

b) 2 4 4 7 7 7 9 11 17 17

c) 2 2 2 4 4 4 7 7 7

d) 2 2 2 4 4 4 7 7 7 9

e) -1 0 0 1 1 2 3 3 4 4 5 6 6

Multimodal

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:

MODA

Não possui moda (amodal)

Unimodal: Mo = 7

Não possui moda (amodal)

(38)