OTIMIZAÇÃO EM REDES DE ATENDIMENTO E ENCAMINHAMENTO: ABORDAGEM PARA UM MODELO DE PLANEJAMENTO

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27 a 30/09/05, Gramado, RS

Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável

OTIMIZAÇÃO EM REDES DE ATENDIMENTO E ENCAMINHAMENTO:

ABORDAGEM PARA UM MODELO DE PLANEJAMENTO

Gustavo da Gama Torres*

DCC-ICEX-UFMG, e-mail: gtorres@dcc.ufmg.br

Ricardo Poley Martins Ferreira*

Instituto de Informática – PUC Minas, e-mail: poley@pucminas.br

Henrique Pacca Loureiro Luna∗

TCI-UFAL, e-mail: pacca@tci.ufal.br

Resumo:

Este texto apresenta uma estratégia de solução computacional de um problema de decisão relacionado à caracterização das atividades e ao dimensionamento de redes de atendimento e encaminhamento de pessoas. O objetivo é aplicar a estratégia da solução no planejamento de redes. Ela será empregada para o desenvolvimento de uma ferramenta de software de apoio a decisão. A ferramenta se destina à especificação de sistemas de workflow para grandes redes. O trabalho abrange aspectos de representação de conhecimento e otimização. Um experimento é descrito, e dele são extraídas algumas conclusões.

Palavras Chave: Otimização, Fluxo de trabalho, Simulação, Teoria dos Questionários

Abstract:

This text presents a strategy of computational solution of a decision problem related to the characterization of the activities and the sizing of attendance nets and guiding of people. The objective is to apply the strategy of the solution in the planning of nets. It will be used for the development of a tool of support decision software. The tool is destined to the workflow systems specification for great nets. The work encloses aspects of representation of knowledge and optimization. An experiment is described, and some conclusions are extracted.

Keywords: Optimization, Workflow, Simulation, Questionnaire Theory

1 Introdução

Este trabalho apresenta uma abordagem para o planejamento de sistemas de atendimento e encaminhamento de pessoas. Sistemas públicos de saúde, de justiça ou previdência são exemplos típicos. Nessa abordagem são empregadas técnicas de inteligência artificial e programação matemática. O objetivo do trabalho é apresentar um método para otimizar redes de suporte ao atendimento e encaminhamento de pessoas. O método deverá ser empregado na construção de uma ferramenta de software de suporte a decisão.

Sistemas de atendimento e encaminhamento de pessoas são geridos por meio de sistemas de informação multifuncionais. Diferentemente dos sistemas especializados em uma função, que estão apoiados na hierarquia de comando de uma organização, os sistemas multifuncionais integram horizontalmente as diferentes funções, estabelecendo um protocolo de comunicação entre elas.

∗

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Na literatura há distintas abordagens para caracterizar os sistemas de informação multifuncionais. Freqüentemente são descritos tendo por referência as funções que estão sendo integradas. Os mais disseminados são conhecidos como ERP1 e CRM2. Mas na visão mais geral, são descritos como sistemas de fluxo de trabalho [Wfmc03]. No caso do atendimento e encaminhamento de pessoas possuem como principais características: i) integram as atividades na cadeia de valor; ii) destinam-se predominantemente a serviços; iii) seus processos são definidos com base em conhecimento organizacional; iv) são organizados de maneira análoga aos sistemas de manufatura.

Assim como os sistemas de manufatura, os sistemas de atendimento e encaminhamento de pessoas são cada vez mais complexos. Nestes sistemas, diferentes atividades competem pelo mesmo recurso, demandas são incertas e o ciclo de vida dos serviços mais curto. Ademais, há a necessidade de se implantar uma produção de serviço mais célere e com maior exigência quanto ao nível de serviço. Redes de filas podem ser empregadas para representar sistemas de atendimento e encaminhamento de pessoas, do mesmo modo como têm sido analisadas para modelar sistemas de manufatura, em auxílio à tomada de decisão. Mas sendo o atendimento e encaminhamento relativos a uma pessoa, e sendo cada uma depositária de necessidades e expectativas singulares, que influenciam as saídas do sistema, a caracterização das restrições torna difícil o emprego direto de modelos analíticos.

O presente trabalho está referenciado na proposta em Simon [Simo60, Simo97], no sentido de incorporar a proposição de modelar a rede de atendimento e encaminhamento de pessoas considerando o conhecimento organizacional. A estrutura de solução do problema conjuga o emprego de técnicas relativas à inteligência artificial (IA) para representar a conhecimento sobre o sistema, e então, recorre-se ao emprego da pesquisa operacional (PO) para otimizar a rede. As técnicas de IA são relativas ao estabelecimento da inteligência do sistema com base em uma estatística populacional e um conhecimento especializado no domínio do atendimento a uma clientela de um serviço para estabelecer a rede com as atividades de atendimento e encaminhamento. Um conjunto de técnicas de PO é usado para otimizar uma Rede de Suporte a Atendimento e Encaminhamento (RSAE). Esta rede é obtida como uma instância do modelo de decisão. A otimização oferece um critério de escolha de uma RSAE dentre as diferentes possibilidades de instanciação da rede, a partir do mesmo modelo de decisão que ela irá representar. Refere-se à solução do problema de atribuição (expansão) de capacidades e roteamento de fluxos em redes, na persecução de um compromisso entre a alocação de recursos e o desempenho. Na figura 1 está representado o esquema proposto para o problema de otimização de uma RSAE.

O detalhamento do esquema está desenvolvido nas seções seguintes desse trabalho. Na seção 2 é apresentado o método de descrição do sistema (Figura 1 – a). Na seção 3 á analisada a transformação do modelo probabilístico para representar as capacidades do sistema (Figura 1 – b). Na seção 4 é apresentado o modelo de simulação do sistema. Ao final será apresentado um experimento, e serão extraídas conclusões.

2 Descrição de uma RSAE

2.1 O Processo de Atendimento

Um atendimento pode ser representado pelo modelo baseado em comunicação [Winograd and Flores apud CHRW98]. Uma ação tem como base a comunicação entre um cliente e um atendente. Consiste de quatro fases, conforme á apresentado na figura 2.1: i) requisição - um cliente requisita uma ação relativa à execução de um serviço; ii) negociação – o cliente e o atendente concordam com a ação a ser executada; iii) execução – a ação é executada; e iv) aceitação - o cliente notifica a satisfação de sua expectativa em relação a ação executada.

1

Enterprise Resource Planning refere-se à designação dos sistemas multifuncionais voltados ao planejamento e

controle de recursos empresariais [LaLa99].

2

Customer Resource Management refere-se à designação dos sistemas multifuncionais voltados ao planejamento execução e controle do relacionamento com os clientes de uma organização, integrando com as funções de

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Durante qualquer etapa do fluxo de trabalho um outro nível de comunicação pode ser estabelecido. Neste ponto, um atendente passa a ser cliente no próximo nível. Uma rede de ações interconectadas é estabelecida recursivamente. Esta situação está representada na figura 2.2. Um cliente requisita um ação que, para ser realizada, exige que o atendente requisite três outras ações em sequência. A segunda dessas três necessita da execução de uma ação (nível 3), antes da requisição da terceira ação do nível 2 (nível 2.3) seja estabelecida. Cada ação é efetuada em uma estação de trabalho, e pode ser representada de maneira análoga à encontrada na manufatura.

Uma lógica de atendimento pode ser desenvolvida para descrever as etapas de requisição, negociação, execução e aceitação de um atendimento. Intuitivamente é possível afirmar que um atendimento segue algumas regras, como passos de uma trajetória dentre várias possíveis, sobre as quais se escolhe um caminho. Estas regras, quando definidas, são estabelecidas como uma função operacional, conforme

Decisões de projeto e planejamento do projeto

a) Descrição do sistema

b.2) Estimativas das probabilidades que representam as incertezas sobre a aplicação das regras de atendimento e encaminhamento conhecidas

b.3) Sequência de regras que minimiza o número esperado de interações de atendimento e

encaminhamento b.1) Representação da sequência de regras do atendimento e encaminhamento de pessoas

b) Rede de filas construída a partir da representação de regras (preserva a lógica da sequência e acrescenta as capacidades para representar os serviços de atendimento e encaminhamento)

c) Simulação do problema de expansão de capacidades e roteamento

Figura 1 – Esquema da abordagem para o problema de otimização de RSAE

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[Demi90]. A escolha de um caminho é função de informações que são obtidas no curso do processo de atendimento, ou seja, do fluxo de trabalho.

Uma definição operacional de uma organização é baseada nas tarefas comuns que são realizadas muitas vezes, sempre da mesma forma. É possível descrever estas tarefas comuns através de constructos capazes de captar a lógica da sequência das tarefas e definir padrões.

2.2 A representação do processo

Muitas instâncias desse tipo de problema foram tratadas na teoria dos questionários [Pica72, LuCo92]. Nela, uma estrutura de rede é derivada de modo que cada nó intermediário corresponda a uma questão, cada arco uma resposta possível a uma questão e cada nó terminal é relacionado a uma saída do atendimento.

Uma especificação de um processo deve lidar com dois problemas: i) como escolher a sequência de questões que minimiza o número esperado de interações cliente-atendente (ou atendente-máquina, ou ainda máquina-máquina); ii) como obter estimativas consistentes das probabilidades que representam as incertezas sobre a aplicação das regras conhecidas.

Em [LuCo92] foi desenvolvida uma proposta de representação do conhecimento e otimização em sistemas especialistas, com o emprego da teoria dos questionários. De acordo com Luna e Corrêa [LuCo92] um conhecimento pode ser representado por uma quádrupla

Ω

=

{

D

,

Γ

,

R

,

p

},

definida tal que (ver Tabela 2.1):

}

,

1 |

{

D

i

n

D

=

_i

=

_K

é um espectro lógico de diagnósticos (um conjunto disjunto e exaustivo);

}

,

1 |

{

C

_j

j

=

_K

n

=

Γ

é um conjunto de espectros lógicos relacionados com a ocorrência

de uma característica, de modo que cada C_j =C−_j1,C0_j,C1_j}é o espectro lógico da característica j, dado pelas proposições exaustivas e mutuamente exclusivas;

1 −

j

C onde a característica j não pode estar presente para o diagnóstico (deve ser falsa),

0

j

C onde não há evidência lógica relacionando a característica j ao diagnóstico, 1

j

C onde a característica j deve estar presente na verificação do diagnóstico (deve ser verdadeira);

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168 ||

||

_ij

R

=

ε

é a matriz que representa as relações lógicas entre os diagnósticos e as características, de modo que:

1 =

ij

ε

se a ocorrência de diagnóstico i implica a presença da característica j,

0 =

ij

ε

se não há evidência lógica relacionando o diagnóstico i e a característica j,

1 −

=

ij

ε

se a ocorrência de diagnóstico i implica que a característica j não está presente; e

)

,...,

...,

,

(

p

₁

p

_i

p

_m

p

=

é um vetor onde cada componente

p

_i

=

p

(

D

_i

)

representa a probabilidade de que o diagnóstico

D

_i resultará de um elemento genérico da população sob análise.

D Características p Diagn. C1 C2 ... Cj ... Cn Prob. D1 ε11 ε12 ... ε1j ... ε1n p1 D2 ε21 ε22 ... ε2j ... ε2n p2 ... ... ... … ... … … … Di εi1 εi2 … εij … εin pi ... ... … … … Dm εm1 εm2 … εmj … εmn pm

=

ij

ε

-1, 0 ou 1

1

=

∑

= m i i

p

Tabela 2.1 – Representação do Conhecimento

Uma vez que

D

=

{

D

i

|

i

=

1 ,

...,

m

}

é o espectro lógico e p é um conjunto de valores de probabilidades a este espectro, tem-se

0 ≤

p

(

D

i

)

≤

1

para todo i = 1, ..., m e

p

(

D

i

∩

D

k

)

=

0

para

todo i, k com i ≠ k. É também a condição básica para a função de probabilidade.

∑

=

m i i

D

p

1

1 )

(

(1)

Desde que cada Cj para j = 1, …, n seja também um espectro lógico, pode-se ter o somatório para a

condição 1 como . ..., , 1 , 1 ) ( ) ( ) (C 1 p C0 p C1 j n p j + j + j = ∀ = − (2)

Isto pode ser visto como conseqüência de (1) e do fato de que o espectro de diagnósticos relacionados a cada característica j é considerado sob três situações: i) o diagnóstico que não pode verificar a ocorrência da característica j; ii) o diagnóstico que não possui evidência lógica com respeito a j; e iii) o diagnóstico para o qual a característica deve aparecer se ela for testada, de modo que

∑

=

j ij i b D i bj j

p

D

p

ρ |

)

(

)

(

, (3)

para todo j = 1, …, n e bj igual a –1 ou 1.

Observe-se a característica determinística, expressa como lógica de relações: se as características j e n ocorrem, e a ocorrência de j e n implica em um diagnóstico i, então Di é o diagnóstico correto.A

estimativa das probabilidades pode representar um problema em situações nas quais não é possível determiná-las, ou uma probabilidade condiciona outra e a primeira muda com muita freqüência. Inicialmente assume-se que as probabilidades estão determinadas e são independentes.

2.3 Definição da sequência de atendimento e encaminhamento

Uma vez obtida uma sequência correta de atividades, ela pode ser otimizada para minimizar o número esperado de interações de atendimento e encaminhamento. O objetivo á reduzir a altura da árvore do

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questionário, de modo a que a distância entre a raiz e os nós terminais possam representar o menor número de passos de atendimento e encaminhamento possível. Em [Pica70] é estudado o emprego da programação dinâmica para a redução de passos do questionário. Em programação dinâmica, o crescimento da computação é exponencial em função do tamanho do problema. Na forma mais geral, o problema é NP-hard. [Cooper apud LuCo92]. Uma heurística baseada no critério de entropia e ganho máximo de informação é apresentada por [LuCo92]. Ela relaciona o máximo de informação fornecida pelo espectro lógico D com o número mínimo de interações para caminhar na árvore do questionário. [Rati89] desenvolve um estudo de caso para o emprego do questionário e o critério de entropia na otimização de diagnóstico. Esta proposta foi tomada como referência para o método de otimização do questionário, preliminarmente à caracterização da RSAE.

Na figura 2.3 é apresentado um exemplo de um questionário de um tipo genérico de atendimento e encaminhamento. Neste exemplo é suposta uma sequência de passos otimizada, de um tipo qualquer de serviço a um consumidor.

Há uma única entrada que leva ao nó raiz onde o atendimento é iniciado. O nó raiz refere-se ao atendimento inicial, que pode ter diferentes encaminhamentos, cada um com uma probabilidade associada. Cada nó intermediário possui saídas com probabilidades associadas. Tudo que chega a um nó intermediário sai, ou seja a probabilidade do arco entrante é igual à soma das probabilidades associadas aos arcos que saem. De outro modo, a probabilidade de chegar-se a um nó terminal corresponde à soma das probabilidades dos arcos que nele são entrantes. do caminho desde a raiz. A grafo dá ensejo a análises. No exemplo há duas saídas relativas a procedimentos corretos e duas a procedimentos com erro. Uma métrica hipotética do percentual de atendimentos adequados é obtida por meio da soma das probabilidades p1, p7 e p8. O não atendimento dentro da normalidade é

conhecido na probabilidade p2. Há custos associados aos encaminhamentos. O custo total das situações

nas quais ocorreu algum problema (a pessoa não foi atendida adequadamente, embora devesse ser, ou foi atendida, embora não devesse ser) é dado por Cinadequado = p4 c + p5 r + p6 R + p7 e + p8 E . 3 Uma nova representação: rede de filas

Para dar ensejo à representação das capacidades, um novo questionário é apresentado com base no anterior. As transformações são relativamente simples, em face do elevado poder de expressão do artefato. Com base em um inventário das capacidades, os nós de atendimento e encaminhamento são desdobrados em dois, conectados por um arco capacitado.

As probabilidades determinadas na lógica do questionário são correlacionadas aos arcos incidentes exteriormente aos nós para os quais os arcos capacitados correspondentes ao atendimento são incidentes interiormente, ou seja, estas probabilidades são correlacionadas a fluxos de saída do atendimento.

Como hipótese do trabalho considerou-se que o processo de chegada dos pedidos de atendimento pode ser modelado através de uma distribuição de Poisson. Neste caso os intervalos entre as chegadas são independentes e o tempo de atendimento distribuído exponencialmente. Da mesma forma, a distribuição dos tempos de serviço. A distribuição exponencial possui a propriedade de não apresentar memória (memoryless), isto é, o próximo estado só depende do atual e não dos anteriores.

Foi adotada uma rede de filas do tipo M/M/1. Em uma fila do tipo M/M/1 a distribuição de chegada de Poisson e dos tempos de serviço são exponenciais, existe apenas um servidor, e a capacidade, dada pelo número máximo de usuários, não está definida [Venk97]. Visa analisar decisões de expansão de capacidade e roteamento de fluxos de rede.

4 O Modelo de Simulação

O trabalho parte da metodologia proposta em [Ferr03] para o problema de atribuição de capacidades em uma rede de atendimento. Baseia-se na formulação proposta em [LuMa00] e apresenta alguns

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métodos para solucioná-la. A característica singular da solução é a atribuição implícita de capacidades, tratando a atribuição de capacidades discretas e o roteamento de fluxos de forma simultânea.

Uma função de custos separável em relação aos arcos integra custos operacionais, custos relativos à qualidade de serviço e custos de instalação de capacidades. Os custos relacionados à qualidade de serviço podem ser formulados como funções crescentes que medem, por exemplo, o custo do congestionamento em cada arco, ou a probabilidade de um tempo de espera ultrapassar um dado limite. Uma função τ (x) é o ínfimo de uma série de funções convexas. A casca convexa fechada de conv(τ) fornece uma aproximação adequada. Há flexibilidade para adotar uma função determinada empiricamente (figura 4.1).

Foi adotada a mesma função de atraso proposta por Kleinrock, onde ci’i corresponde à capacidade do

arco

( )

i

′,

i

∈

A

c,

x

ij a variável de fluxo que passa através do arco

( )

i

,

j

∈

A

q, e γ uma constante

relativa ao custo do atraso, a saber:

ij ij ij l ij ij ij x c x c x T − = γ ) , (

Caso a rede não se encontre saturada, o custo marginal para mais um serviço na rede é essencialmente zero. Por outro lado, se a rede estiver congestionada, há um custo social na recepção de mais um serviço, através da deterioração do tempo de espera dos usuários da rede.

4.1 Modelo de planejamento de capacidade do atendimento e encaminhamento da RSAE

A seguir é apresentado o modelo do questionário da rede capacitada.

Seja um grafo quase fortemente conexo inferiormente G = (N, A), onde N é o conjunto de nós e A é o conjunto de arcos. Seja ainda:

E

conjunto de nós de respostas terminais (nós de demanda),

e

d

nó de resposta terminal,

F

conjunto de nós não terminais, associados às questões do processo de atendimento, de onde emanam arcos correspondentes às respostas, N =F∪E

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o nó raiz da rede,

{ }

o

F

=

−

, r c

F

=

∪

, c

F

conjunto de nós intermediários com escassez de recursos de capacidade,

r

F conjunto de nós intermediários donde emanam arcos com restrições de limites mínimos e máximos de fluxo em relação ao total de fluxo entrante no nó,

{ }

=

∩

∪

=

A

c

A

q

A

c

A

q

A

,

, c

A

conjunto de arcos com restrições de capacidade, onde cada arco i′i é resultante do desdobramento do nó

i

∈

F

_c em dois nós e um arco capacitado,

q

A

conjunto de arcos presentes no questionário original, associados a respostas intermediárias,

r

A subconjunto de arcos de

A

q(

A

r

⊂

A

q), com restrições de limites mínimos e máximos em

relação ao fluxo total no nó de origem,

i i

c

_′ capacidade do arco

( )

i

′,

i

∈

A

_c,

ij

α

fração (percentual) mínima do fluxo entrante em i que emana através do arco

( )

i,j ,

ij

β

fração (percentual) máxima do fluxo entrante em i que emana através do arco

( )

i, j ,

ij

x

variável de fluxo que passa através do arco

( )

i

,

j

∈

A

_q.

A relação 2 garante que o todo o fluxo que entra seja equivalente a todo o fluxo que chega aos nós de resposta terminais. As relações 3, 4 e 5 garantem que nos arcos capacitados os fluxos sejam equivalentes aos fluxos encaminhados aos arcos não capacitados. A relação 6 limita os fluxos à capacidade dos arcos. A relação 7 garante que a fração mínima de fluxo não ultrapasse a fração máxima. A relação 8 garante que o total do fluxo nos nós de resposta terminais seja equivalente aos fluxos dos arcos incidentes interiormente.

(8) , (7) ) , ( , ) 6 ( ) , ( , 0 ) 5 ( ) , ( , ) 4 ( ) , ( , ) 3 ( ) ( , ) 2 ( : ) 1 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ( ,) ) , ( E e d x A j i x x x A i i c x A i i x x A i i x x F F i x x d x a sujeito x Minimizar e A e h he r A i h hi ij ij A i h hi ij c n i i i i c A j i i i ij c A i h i h i i c A j i hi A hi ij A j o e E e oj q i i c q q q q ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ≤ ≤ ∈ ′ ∀ ≤ ≤ ∈ ′ ∀ = ∈ ′ ∀ = − ∈ ∀ = ≥

∑

∈ ∈ ∈ ′ ′ ∈ ′ ∈ ′ ′ ′ ∈ ∈ ∈ ∈ ′

β

α

ω

(9)

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. A função objetivo é:

(

)

(

)

(

)

(9)

) , (

∑

∈ (,

∑

)∈

+

=

c q ij A j i i j A ij ij ij

x

τ

ϑ

ω

onde:

(11)

)

,

(

,

)

(

(10)

)

,

(

],

)

,

(

,

)

,

(

min[

)

(

0 0 _ij0 1 1 _ij1 q ij ij ij ij c ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij

A

j

i

x

A

j

i

x

v

c

x

T

x

v

c

x

T

x

cij cij cij

∈

∀

=

∈

∀

+

=

υ

ϑ

π

τ

ij

υ

é o custo unitário calculado para cada unidade de serviço passando pelo arco

ij

)

, ( ij ijl ij x c

T custo relacionado com a qualidade de serviço no arco ij para uma capacidade do tipo l.

5. Experimento Computacional

O experimento foi baseado em um sistema de atendimento de Saúde Pública. Uma rede simplificada de suporte de atendimento para um sistema de saúde pública foi derivada de um questionário descritivo do sistema. A rede está representada na figura 5.1. O experimento foi desenvolvido como se existissem três Centros de Saúde Pública equivalentes,para atendimento de uma comunidade. Assumiu-se, com base no que geralmente ocorre no atendimento real, que os casos para os quais não haja recurso de atendimento através dos Centros, sejam encaminhados para Policlínicas (duas, neste exemplo), uma instância de atendimento em outra localidade quando não é o caso de atendimento na região, ou em um dos três hospitais hipoteticamente existentes. Para todas as instâncias de atendimento, independente da atividade, foi abstraída a complexidade do serviço. Ela deve ser considerada para uma situação real, mas o objetivo aqui é apenas apresentar o conceito. O nó de demanda d1 representa o atendimento da pessoa pelo sistema, e d2, uma situação de atendimento não consumado (um doente crônico, por exemplo que foi colocado fora do sistema). O que está representado por nós no questionário descritivo do modelo é representado aqui pelos arcos de linha dupla que são capacitados.

As probabilidades determinadas na lógica do questionário são correlacionadas aos arcos incidentes exteriormente aos nós para os quais os arcos correspondentes ao atendimento são incidentes interiormente, ou seja, estas probabilidades são correlacionadas a fluxos de saída do atendimento. As probabilidades atribuídas no exemplo estão listadas na tabela 5.1. Por exemplo, ρ24 = 0.8 diz que

80% do fluxo que chega ao nó 2 é roteado para o nó 4, ou seja, é tratado como um consulta normal. O ρ25 = 0.2 diz que os 20% restantes são atendimentos de urgência.

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ρ2 4 ρ2 5 ρ3 6 ρ3 7 ρ8 12 ρ8 13 ρ8 14 ρ8 25 ρ9 14 ρ9 25 ρ10 12 ρ10 13 ρ10 14 ρ10 25

0.8 0.2 0.8 0.2 0.2 0.1 0.1 0.6 0.1 0.9 0.2 0.1 0.1 0.6 ρ11 14 ρ11 25 ρ15 21 ρ15 25 ρ16 21 ρ16 25 ρ17 22 ρ17 25 ρ18 23 ρ18 25 ρ19 23 ρ19 25 ρ20 23 ρ20 25

0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9

Tabela 5.1 – Probabilidades Relacionadas aos Fluxos de Saída das Instâncias de Atendimento (Saúde)

O método do gradiente reduzido generalizado foi adotado como algoritmo de roteamento [Luen89]. Este algoritmo foi obtido a partir das ferramentas do MATLAB 6.0 (Optimization Toll Box) e foram executados em um computador DURON 1ghtz, 512 RAM, com sistema operacional Windows 98. Nos experimentos realizados foi estabelecida uma precisão de 0,0001% para o algoritmo de roteamento. O algoritmo de atribuição de capacidades adotado foi o mesmo usado por [Ferr03].

As diferentes capacidades de atendimento dos arcos da rede estudada e seus respectivos custos são apresentados na tabela 5.2. Foi considerado que cada arco possui uma capacidade instalada e uma capacidade de expansão.

A constante de proporcionalidade ou custo de congestionamento γ foi definida imaginando as necessidades dos usuários. Foi empregado um valor de um salário médio diário de um trabalhador. Um conjunto de possibilidades para a constante γ deve ser avaliado para permitir a escolha do valor mais apropriado na aplicação real. Nos experimentos foram assumidos os valores γ∈{20, 40, 80, 160}[$/dia].

O objetivo dos experimentos foi determinar as capacidades dos arcos da rede de forma a minimizar o custo total de operação do sistema. Nos experimentos foi considerado que além da capacidade já instalada estaria disponível um nível de capacidade para expansão Os testes foram feitos para avaliar a sensibilidade do modelo a variação dos diferentes parâmetros. Adotou-se como caso base o custo de congestionamento γ = 20 [$/dia], para uma média de 225 atendimentos/dia.

Os resultados dos experimentos representam a solução ótima global da atribuição de capacidade e roteamento. Os resultados do processamento do modelo, considerando a variação da demanda, mantidos os demais parâmetros, são apresentados na primeira parte da Tabela 5.3. Na segunda parte é apresentado o processamento considerando a manutenção das capacidades e variando-se o ponto de expansão. O ponto de expansão caracteriza a porcentagem utilizada da capacidade do arco, a partir da qual deve ser feita a expansão da capacidade. A terceira parte expressa o processamento com variação do custo do congestionamento.

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Capacidade (atendimento / dia) Custo de atendimento ($ / atendimento)

k ij

c Instalada Expandida v_ijk Instalada Expandida

c1 2 100 150 v1 2 12 8 c4 8 80 120 v4 8 40 30 c5 9 20 30 v5 9 20 30 c1 3 100 150 v1 3 12 8 c6 10 80 120 v6 10 40 30 c7 11 20 30 v7 11 20 30 c1 a 100 150 v1 a 12 8 cb c 80 120 vb c 40 30 cd e 20 30 vd e 20 30 c12 15 50 75 v12 15 60 40 c12 16 50 75 v12 16 60 40 c13 17 25 38 v13 17 200 150 c14 18 30 45 v14 18 80 60 c14 19 30 45 v14 19 80 60 c14 2o 30 45 v14 2o 80 60 c21 24o 5 8 v21 24o 80 60 c22 24 3 5 v22 24 200 150 c23 24 8 12 v23 24 80 60

Tabela 5.2 – Capacidades e Custos (Saúde) γ ($ / dia) Demanda (pessoa / dia) Ponto de Expansão λ Custo de Atraso ($ / dia) Custo Variável v ($ / dia) Custo Fixo ($ / dia) Custo Total ($ / dia) Variando a Demanda 20 150 0.8 373 11580 765 12750 20 225 0.8 543 16835 1840 10321 20 300 0.8 591 19625 5506 25826

Variando o Ponto de Expansão da Capacidade

20 225 0.7 474 15405 2919 18909 20 225 0.8 543 16835 1840 19321 20 225 0.9 582 17956 1350 19889

Variando o Custo de Atraso

20 225 0.8 543 16835 1840 19321 40 225 0.8 1105 18209 1417 20732 80 225 0.8 2185 18226 1874 22863 160 225 0.8 4359 18234 2788 25382

Tabela 5.3 – Resultados do Experimento(Saúde)

Observa-se que o atraso de atendimento médio da rede manteve-se em níveis aceitáveis apesar da variação dos diferentes parâmetros como o aumento da demanda. Este resultado já era esperado uma vez que no modelo adotado a expansão da capacidade em um arco deve ocorrer somente quando o arco fica congestionado. Chama-se atenção para o fato de o aumento da demanda estar refletida no aumento dos custos do sistema de modo mais acentuado, mesmo considerando a expansão. Esta situação é verificada de forma mais evidente quando não há expansão. Na tabela 5.4 está representada esta situação para um experimento, sem expansão de capacidade e uma demanda equivalente a 150 pessoas. Ao comparar com o resultado para a mesma demanda na tabela 5.3, verifica-se um custo total 60% superior, aproximadamente.

γ ($ / dia) _{(pessoa / dia)}Demanda Custo de Atraso _{($ / dia)} Custo Variável v ($ / dia) Custo Fixo ($ / dia) Custo Total ($ / dia) 20 150 575 18179 1188 19943

Tabela 5.4 –Custos sem expansão de capacidade

Os resultados dos experimentos visam orientar o gestor na alocação dos recursos no sistema de atendimento. Podemos verificar que a expansão da capacidade da rede pode ser mais econômica do que manter a rede congestionada. O congestionamento no atendimento à saúde também pode ocasionar outros custos que não estão representados. O custo de tratamento mais sofisticado ou o retorno do paciente ao sistema.

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27 a 30/09/05, Gramado, RS

175 6 Comentários e Conclusões

O trabalho visa o desenvolvimento de um método para a análise de uma RSAE. O objetivo é o emprego do método na construção de uma ferramenta para auxiliar a tomada de decisão, no planejamento de sistemas de atendimento e encaminhamento de pessoas.

A estratégia adotada baseia-se na definição da lógica do sistema e projeção do desempenho sem a perda das propriedades lógicas. Para o estabelecimento da lógica foi levantada na literatura a Técnica de Questionário [Pica72, LuCo92], e elementos de otimização em redes [AhMO93, BiMo96, Ferr03, Mate96, Mora98, Venk97]. Foi formulado um modelo que se baseou em uma transformação de um questionário de descrição do sistema em um questionário de representação de uma rede de filas. Finalmente, foi testado um método de otimização, cujos resultados mostraram-se promissores. Espera-se que a mesma metodologia possa Espera-ser empregada em experimentos de grande porte (mais de 100 postos de atendimento).

Além do aspecto prático, o trabalho oferece uma contribuição teórica no sentido de apresentar um método de solução de problemas de dimensionamento em redes de filas, preservando as propriedades lógicas da rede. Imagina-se que possa ser empregado em sistemas de controle de fluxo de trabalho em geral.

7 Bibliografia

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