4. ANÁLISE DE SISTEMAS RESPOSTA NO TEMPO

4. ANÁLISE DE SISTEMAS –

RESPOSTA NO TEMPO

Nos capítulos anteriores foi estudada a modelação e representação de sistemas lineares e invariantes no tempo. O recurso a vários métodos de representação de sistemas permitiu evoluir-se em termos de complexidade dos mesmos mantendo-se verdade todos os fundamentos estudados até então.

Nesta altura existem condições para se estudar como reagem os sistemas a perturbações externas. Neste capítulo a análise vai ser feita no domínio temporal sendo a análise no domínio da frequência objecto do capítulo seguinte.

4.1

RESPOSTA NO TEMPO DE SLIT

Considere-se um sistema com resposta impulsional , sujeito a uma perturbação à entrada Fig.4.1.

( )

h t u t( )

Fig.4.1 – Sistema com resposta impulsional h(t).

Sabe-se que a resposta y(t) é dada por (4.1).

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) y t u t h t u τ h t τ τd

+∞

−∞

Embora a análise no domínio do tempo permita avaliar a saída do sistema para qualquer entrada, é comum considerarem-se as entradas típicas da Tab.4.1.

Entradas típicas Representação

Impulso de Dirac δ( )t Degrau unitário u t( ) Rampa unitária tu t( ) Parábola unitária 1 2 ( ) 2t u t Sinusoide1 sen

(

ω θt+

)

u t( ) Tab.4.1 – Entradas típicas.

Nesta altura recorda-se a definição de transformada de Laplace de um sinal x(t) (4.2).

( )

( )

st X s x t e +∞ − −∞ =

_∫

dt (4.2)

As propriedades da transformada de Laplace permitem que a determinação de y(t) seja feita de forma indirecta Fig.4.2.

1

Fig.4.2 – Utilização da transformada de Laplace.

De acordo com o esquema apresentado na Fig.4.2 o cálculo de y(t) pelo integral de convolução pode ser feito indirectamente calculando a transformada de Laplace de u(t) e h(t), fazendo o produto das transformadas e invertendo o resultado.

Para SLIT com perturbações u(t) usuais a função Y(s) é racional (4.3).

( )

1 1 1 0 1 1 1 0 ... , ... m m m m n n n b s b s b s b Y s m n s a s a s a − − − − + + + + = < + + + + (4.3)

Considere-se r raízes distintas: ρ ρ₁, ₂,...,ρ_r; cada raiz ρ_i apresenta uma multiplicidade σ_i, donde se conclui que . Desta forma, Y(s) pode ser escrita como a soma de

fracções parciais (4.4). 1 r i r n σ = =

∑

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 1 2 2 1 13 11 12 2 3 1 1 1 1 2 23 21 22 2 3 2 2 2 2 3 1 2 2 3 ... ... ... r r r r r r r r r r A A A A Y s s s s s A A A A s s s s A A A A s _{s s s} σ σ σ σ σ σ ρ ρ ρ ρ ρ _{ρ ρ ρ} ρ _{ρ ρ ρ} = + + + + − − − − + + + + + + − _{− − −} + + + + + − _{− − −} + (4.4)

( )

(

)

1 1 i r ik k i k _i A Y s s σ ρ = = = −

∑∑

(4.5)

Para que a decomposição em fracções parciais fique definida resta determinar os coeficientes Aik, que de acordo com o teorema dos resíduos são dados por (4.6).

(

)

( ) ( )

(

) (

1 lim ! i i k i i k ik i s i d A s k _dsσ σ σ ρ ρ σ − − → ⎡ = _⎣ − − Y s ⎤⎦

)

(4.6)

A decomposição em fracções parciais de Y(s) permite, utilizando o princípio da linearidade da transformada de Laplace, inverter cada parcela por consulta da tabela respectiva.

Assim, um termo de 1ª ordem tem transformada de Laplace dada por (4.7).

1 t e s ρ ρ − _⎯⎯⎯→ +

L

_(4.7)

No que respeita a termos de ordem superior, recorda-se a propriedade da diferenciação da transformada de Laplace de um sinal (4.8).

( )

d

( )

tx t X s

ds

− ⎯⎯⎯

L

→ (4.8)

Então, a partir de (4.8), pode-se provar pelo método de indução (4.9).

(

)

1

(

)

1 1 ! n t n t e n s ρ 1 ρ − − _⎯⎯⎯→ −

L

₊ (4.9)

Na análise de sistemas é igualmente importante ter presente a transformada de Laplace da derivada de um sinal; assim, na situação geral de condições iniciais não nulas tem-se (4.10).

( )

( ) ( )

0 d x t sX s x dt ⎧ _{⎫ = −} ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ u

L

(4.10)

Para a 2ª derivada, utilizando-se a expressão (4.10) obtém-se (4.11).

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 0 d x t s X s sx x dt ⎧ ⎫ = − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i u

L

0 (4.11)

Para a 3ª derivada, utilizando-se um processo análogo obtém-se (4.12)

( )

( )

( )

( ) ( )

3 3 2 3 0 0 d x t s X s s x s x x dt ⎧ ⎫ = − − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i ii u

L

0 (4.12)

Desta forma, pode-se generalizar para uma derivada de ordem n.

( )

( )

1 ( 1)

_{( )}

0 0 n n n i n i n i d x t s X s s x dt − − − = ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

∑

u

L

(4.13)

A transformada de Laplace surge no presente contexto como ferramenta para a completa determinação de respostas temporais de SLIT contínuos. Como 1ª aplicação apresenta-se o Exemplo 4.1.

Exemplo 4.1

Considere-se um sistema caracterizado pela equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2

2 3 2

d y t dy t

y t x t

dt + dt + = ; pretende-se determinar a saída y(t) para a entrada

( )

2

( )

x t = u t .

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial obtém-se

( )

2

( )

1 3 2 Y s X s s s = + + .

Tendo em conta o par transformada (4.14).

( )

2 2u t

s

⎯⎯⎯

L

→ (4.14)

A transformada de Laplace da saída é (4.15).

( )

₍

₂ 2

₎

3 2 Y s s s s = + + (4.15)

A expansão em fracções parciais do tipo (4.4) para (4.15) conduz a (4.16).

( )

2 1 A B C Y s s s s = + + + + (4.16)

= =

−

)

A aplicação do teorema dos resíduos (4.6) permite determinar os coeficientes A, B e C de acordo com (4.17), (4.18) e (4.19), respectivamente.

( )

0 lim 1 s A sY s A → = ⇔ (4.17)

(

) ( )

2 lim 2 1 s B s Y s B →− = + ⇔ (4.18)

(

) ( )

1 lim 1 2 s C s Y s C →− = + ⇔ = (4.19)

A inversão da transformada de Laplace (4.16) permite chegar à resposta no tempo y(t) (4.20), cuja representação gráfica se apresenta na Fig.4.3.

( )

(

2

( )

1 t 2 t

y t = +e− − e− u t (4.20)

Fig.4.3 – Resposta do Exemplo 4.1 com condições iniciais nulas.

A observação da Fig.4.3 permite distinguir duas regiões distintas.

• Regime transitório: evolução da resposta nos instantes imediatos à aplicação da entrada.

Considere-se agora que o sistema no instante inicial não está em repouso, pelo contrário, as

condições iniciais são não nulas: y

( )

0 =3; y

( )

0 = −5 i

.

Desta forma, a aplicação da transformada de Laplace à equação diferencial que descreve o sistema deve ter em conta (4.10) e (4.11), conduzindo a

. Rearranjando os termos a transformada de Laplace da saída pode então ser calculada de acordo com (4.21).

( )

( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )

( )

2 0 0 3 0 2 s Y s −sy −y + sY s −y + Y s = X s i

( )

2

( )

2

( )

2

( )

3 1 1 0 0 3 2 3 2 3 2 s Y s y y X s s s s s s s + = + + + + + + + + i (4.21)

A observação da expressão (4.21) permite concluir que a resposta y é composta por duas componentes; a componente devido às condições iniciais não nulas, denominada componente livre, e a componente devido à perturbação externa X, denominada componente forçada. Tratando-se de um sistema linear, o princípio da sobreposição pode ser aplicado, resultando a resposta y como a soma de cada uma das componentes considerada isoladamente. Alternativamente a esta estratégia de resolução, rearranjando os termos de (4.21) e entrando com os valores das condições iniciais obtém-se (4.22).

( )

3

₍

2₂ 4 2

₎

3 2 s s Y s s s s + + = + + (4.22)

Utilizando a estratégia anteriormente seguida para a expressão (4.15), a expansão em fracções parciais de (4.22) seguida de inversão da transformada de Laplace conduz a (4.23) cuja representação gráfica se apresenta na Fig.4.4.

( )

(

2

( )

1 t 3 t

Fig.4.4 – Resposta do Exemplo 4.1 com condições iniciais não nulas.

O exemplo acabado de apresentar permitiu, devido à sua simplicidade, facilmente obter a resposta y(t). Contudo, situações há em que é de grande utilidade tirar-se algumas conclusões sobre a evolução temporal da saída sem que esta seja explicitamente calculada. Nomeadamente, para a caracterização da saída, é de particular interesse o conhecimento da sua evolução nos primeiros instantes após a aplicação da perturbação de entrada e a sua evolução mas proximidades dos seus “valores finais”. Estas duas situações podem ser avaliadas recorrendo aos teoremas do valor inicial e do valor final.

Seja Y(s) a transformada de Laplace de y(t): Y s

( )

=

L

{ }

y t

( )

. Teorema do valor inicial: Admitindo que y(t) e d y t

( )

dt têm transformada de Laplace e que lim

( )

existe, então:

s→∞sY s

( )

( )

0 lim lim s t y t sY s + _→∞ → = (4.24)

Teorema do valor final: Admitindo que y(t) e d y t

( )

dt têm transformada de Laplace e que sY(s) não têm pólos no eixo imaginário nem no semiplano complexo direito, então:

( )

( )

0

lim lim

A aplicação destes teoremas, ao exemplo acabado de estudar para condições iniciais não nulas, permite concluir a partir apenas da transformada de Laplace da saída (4.22) que,

e

( )

0

lim 3

t→ + y t = limt→∞y t

( )

=1. Estes resultados podem ser confirmados utilizando a expressão

(4.23) para y(t) ou por simples inspecção gráfica da Fig.4.4.

O exemplo acabado de estudar corresponde a um caso particular da expressão (4.3), que para SLITs reais quando submetidos a perturbações reais se pode escrever como

( ) ( ) ( ) N s y s D s

= : função racional de coeficientes reais. O comportamento da resposta no tempo, y(t), é fortemente dependente das raízes de D(s): p p1, 2,...,p , que, nas condições n

apresentadas são reais ou complexas conjugadas. Desta forma, D(s) pode ser decomposto num produto de factores de 1ª ordem

(

s+a

)

, ou de 2ª ordem

(

s2+bs+ com a, b e c c

)

. ∈

Conclui-se então que Y(s) pode ser vista como a resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens ligados em série tal como se esquematiza na Fig.4.5 com a₁... ,a_k b b₁... ,_k c₁...c_k∈ .

N(s) R 1 1 s+a ••• 1 k s+a 2 1 1 1 s +b s+c ••• 2 1 k k s +b s+c Y N(s) R 1 1 s+a ••• 1 k s+a 2 1 1 1 s +b s+c ••• 2 1 k k s +b s+c Y

Fig.4.5 – Série de sistemas de 1ª e 2ª ordem.

Neste contexto fica justificada a importância do estudo em separado dos sistemas de 1ª e 2ª ordens.

4.2

SISTEMAS DE 1ª ORDEM

Grande número de sistemas de interesse prático são de 1ª ordem ou, quando de ordem superior, podem razoavelmente ser aproximados por sistemas de 1ª ordem.

Considere-se como referência para o estudo que se segue o sistema de 1ª ordem sem zeros cuja função de transferência G(s) é dada por (4.26).

( )

( )

1 1 , 1,

Y s a

a

R s = s+a= +τs τ = a >0 (4.26)

A função de transferência na forma em que intervém τ denomina-se função de transferência na forma das constantes de tempo.

Para o exemplo em estudo τ denomina-se constante de tempo associada ao pólo situado em –a (ou 1

τ

− ).

A especificação dos pólos e zeros de um sistema recorre com frequência ao diagrama de pólos-zeros. Esta representação gráfica utiliza o plano complexo onde os zeros e os pólos são representados respectivamente por ○ e por ×.

O diagrama de pólos-zeros para o sistema em estudo apresenta-se na Fig.4.6.

×

j

ω

σ

1

τ

−

×

j

ω

σ

1

τ

−

Fig.4.6 – Diagrama de pólos-zeros para sistema de 1ª ordem.

Considere-se agora aplicadas algumas das entradas típicas da Tab.4.1.

A aplicação do impulso de Dirac δ

( )

t faz com que a saída seja a resposta impulsional . Tendo em conta (4.26), y(t) é dada por (4.27) e a evolução gráfica apresenta-se na Fig.4.7 para

( )

( )

y t =g t 2 τ = .

( )

( )

1 1t

( )

at y t ae u t e τ u t τ − − = = (4.27)

ττ

Fig.4.7 – Resposta impulsional para sistema de 1ª ordem.

Fazem-se de seguida algumas considerações para esta resposta.

Atendendo a (4.26) e recordando que r t

( )

=δ

( )

t tem-se:

( )

1 s sY s s τ = + (4.28)

Tendo em conta o teorema do valor inicial conclui-se que:

( )

0 1 lim lim 1 s t s y t s τ τ + _→∞ → = + = (4.29)

Tendo em conta o teorema do valor final conclui-se que:

( )

0 lim lim 0 1 t s s y t s τ →∞ = → + = (4.30)

Ambos os resultados (4.29) e (4.30) estão de acordo com a Fig.4.7 e podem ser confirmados recorrendo directamente à resposta (4.27).

O cálculo da 1ª derivada na origem é bastante útil para a caracterização da resposta. Desta forma, recorrendo a (4.27) pode-se determinar que:

( )

2 0 1 lim t d y t dt τ + → − = (4.31)

Este valor é compatível com o declive da tangente na origem, conforme ilustrado na Fig.4.7.

Considere-se agora que ao sistema G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada o degrau

unitário: r t

( )

=u t

( )

. Sabendo-se que R s

( )

1 s = então:

( )

₍

a

₎

Y s s s a = + (4.32)

Fazendo a expansão de Y(s) em 2 fracções parciais e atendendo a que a 1

τ

= , a inversão da transformada de Laplace conduz a (4.33).

( )

1 1t

( )

y t = −⎛_⎜ e−τ ⎞_⎟u t

⎝ ⎠ (4.33)

A aplicação dos teoremas do valor inicial e valor final permite confirmar a representação gráfica (Fig.4.8) de (4.33).

O eixo dos tempos está graduado em constantes de tempo, T =τ. Para alguns valores de t, apresenta-se na Tab.4.2 os correspondentes valores de y(t).

4

3

2

y(t)

t

1

1

−

e

−

=

63.2%

2

1

−

e

−

=

86.5%

3

1

−

e

−

=

95%

4

1

−

e

−

=

98.2%

τ

τ

τ

τ

4

3

2

y(t)

t

1

1

−

e

−

=

63.2%

2

1

−

e

−

=

86.5%

4

1

−

e

−

=

98.2%

4

3

2

y(t)

t

3

1

−

e

−

=

95%

1

1

−

e

−

=

63.2%

2

1

−

e

−

=

86.5%

4

1

−

e

−

=

98.2%

τ

τ

τ

τ

3

1

−

e

−

=

95%

Tab.4.2 – Alguns valores da resposta ao degrau para sistema de 1ª ordem.

A caracterização de sistemas dinâmicos recorre a vários critérios de controlo dos quais se apresenta neste enquadramento o tempo de estabelecimento.

Tempo de estabelecimento (a 5%) t : Tempo ao fim do qual a resposta ao degrau se _s confina a uma faixa de ±5% do valor final.

Para o exemplo em estudo, o tempo de estabelecimento vale 3 constantes de tempo: 3

s

t = τ .

Considere-se agora que ao sistema G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada a rampa

unitária: r t

( )

=tu t

( )

. Sabendo-se que R s

( )

1₂ s = então:

( )

2

₍

₎

a Y s s s a = + (4.34)

Fazendo a expansão de Y(s) em 3 fracções parciais e atendendo a que a 1

τ

= , a inversão da transformada de Laplace conduz a (4.33).

( )

1t

( )

y t = − +⎛_⎜t τ τe−τ ⎞_⎟u t

O estudo de y(t) pode recorrer ao cálculo da 1ª e 2ª derivadas dadas por (4.36) e (4.37). ( ) 1 t d y t e dt τ − = − (4.36) 2 2 1 ( ) t d y t e dt τ τ − = (4.37)

Verifica-se que tanto a 1ª como a 2ª derivadas são >0 para todo o t, concluindo-se então que y(t) é crescente com a concavidade voltada para cima tal como se apresenta na Fig.4.9.

Fig.4.9 – Resposta à rampa para sistema de 1ª ordem.

Para se terminar o estudo de sistemas de 1ª ordem considere-se por último que ao sistema

G(s) em estudo, (4.26), é aplicada à entrada a parábola unitária:

( )

( )

2 2 t r t = u t . Sabendo-se que R s

( )

1₃ s = então:

( )

3

₍

₎

a Y s s s a = + (4.38)

A expansão de Y(s) em fracções parciais conduz à expressão (4.39).

( )

2 3

₍

₎

A B C D Y s s s s s a = + + + + (4.39)

O teorema dos resíduos (4.6) permite determinar as constantes A, B, C e D conforme (4.40).

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

) ( )

2 2 3 2 0 3 0 3 0 2 1 1 lim 3 1 ! 1 1 lim 3 2 ! lim 1 1 lim s s s s a d A s Y a ds d B s Y ds a C s Y s D s a Y s a → → → →− = = − s s − = = − = = − = + = (4.40)

Por último, atendendo a que a 1

τ

= , a inversão da transformada de Laplace permite determinar y(t).

( )

2 2 2 1

( )

2 t t y t =⎛_⎜τ − +τt −τ e−τ ⎞u t ⎝ ⎠⎟ (4.41)

Também agora o estudo de y(t) pode recorrer ao cálculo da 1ª e 2ª derivadas dadas respectivamente pelas expressões (4.42) e (4.43).

( )

1t

( )

d y t t e u t dt τ τ τ − ⎛ ⎞ = − +_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (4.42)

( )

1

( )

2 2 1 t d y t e u t dt τ − ⎛ ⎞ = −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (4.43)

Na 1ª e 2ª derivadas reconhecem-se as respostas à rampa e ao degrau, respectivamente. De acordo com os estudos acabados de fazer concluiu-se que tais resposta são sempre positivas. Desta forma, a resposta à parábola é crescente com a concavidade voltada para cima, tal como se apresenta na Fig.4.10.

Fig.4.10 – Resposta à parábola para sistema de 1ª ordem.

4.3

SISTEMAS DE 2ª ORDEM

O estudo de sistemas de 2ª ordem justifica-se pelo facto de muitas situações práticas exibirem comportamentos oscilatórios amortecidos, típicos deste tipo de sistemas; por exemplo, repare-se no comportamento de um veículo quando sobe um passeio.

Tomando como base um dos blocos de 2ª ordem da série da Fig.4.5 apresenta-se de seguida a forma geral da função de transferência de um sistema de 2ª ordem sem zeros (4.44).

( )

2 2 2 2 n n n G s s s ω ξω ω = + + (4.44) Em que se define: ξ - coeficiente de amortecimento,

n

ω - frequência natural não amortecida2.

O comportamento do sistema depende da localização dos pólos p1/2 de G(s) dados por

(4.45). 2 2 1/ 2 2 n n 0 n n s + ξω s+ω = ⇒ p = −ξω ω ξ± 2− 1 (4.45)

O estudo da dinâmica de sistemas deste tipo recorre à análise da resposta y(t) para uma entrada em degrau unitário: u t

( )

.

Na Tab.4.3 apresenta-se a natureza dos pólos e os correspondentes tipos de resposta ao degrau a que conduzem.

Tab.4.3 – Pólos de sistema de 2ª ordem.

Antes de se estudar a resposta específica para cada situação da Tab.4.3, os Teoremas dos Valores Inicial e Final permitem estabelecer que os valores inicial e final de y(t) e inicial de

são dados por (4.46), (4.47) e (4.48), respectivamente.

( )

y t i

( )

( )

0 lim lim 0 t→ y t =s→∞sY s = = (4.46)

( )

( )

0 lim lim 1 t→∞y t =s→ sY s (4.47)

( )

{ }

( )

(

( ) ( )

0

lim lim lim 0 0

t→ y t =s→∞s y t =s→∞s sY s −y i i L

)

= (4.48) 2

As secções que se seguem debruçam-se sobre cada uma das situações que se apresentam na Tab.4.3.

4.3.1 Sistema subamortecido

Nesta situação os pólos são complexos conjugados dados por (4.49).

2 1/ 2 n n 1 , 0

p = −ξω ± jω −ξ ≤ < 1 (4.49) ξ

A parte imaginária de p1/2 representa-se por ωd =ωn 1−ξ2 e designa-se por frequência

das oscilações amortecidas.

Para uma entrada em degrau e tendo em conta (4.44), a transformada de Laplace da saída é dada por (4.50).

( )

₍

2 2 2

₎

2 n n n Y s s s s ω ξω ω = + + (4.50)

O denominador de (4.50) tem 3 raízes distintas: 0, p1 e p2. A expansão em fracções parciais

e inversão da transformada de Laplace permite determinar y(t).

( )

(

2

)

2 2 1 1 sin 1 1 1 nt n y t e t arctg ξω _{ω ξ} ξ ξ ξ − = − − + Φ − − Φ = , (4.51)

A observação de (4.51) permite concluir que a resposta y(t) é formada por duas componentes, ambas dependentes do factor de amortecimento ξ e da frequência natural não amortecida ω_n:

• Componente oscilatória: sin

(

ω_dt+ Φ

)

, atendendo a (4.49) ω_d =Im

{ }

p_{1/ 2} . • Exponencial decrescente: _e−ξωnt_{, atendendo a (4.49)}

{ }

1/ 2 Re

n p

ξω

Como resultado final, y(t) tem uma evolução sinusoidal amortecia razão pela qual o sistema em estudo se chama subamortecido.

Observe-se agora o caso particular do limite inferior de ξ no âmbito do presente estudo (4.49): 0ξ = . Nestas circunstâncias (ausência de amortecimento) a resposta (4.51) assume a forma y t( )= −1 sin

(

ω_nt+ Φ

)

, 2 0 1 lim 2 arctg ξ ξ π ξ → − Φ = = ; podendo finalmente escrever-se como (4.52).

( )

1 cos

( )

n y t = − ω t (4.52)

Nesta altura, pode-se então atribuir significado a ωn como sendo a frequência a que a

resposta y(t) oscilaria caso o amortecimento fosse reduzido a zero.

Repare-se que a hipótese de pólos complexos conjugados mantém-se, contudo, observando (4.49) verifica-se que se localizam sobre o eixo imaginário3. O sistema é dito não amortecido ou sinusoidal puro, podendo ser visto como uma degeneração do comportamento subamortecido.

A caracterização da resposta ao degrau no caso limite acabado de estudar (ξ = ) está 0 concluída com a expressão (4.52).

Segue-se a análise da resposta dada por (4.51), ξ∈

]

0 1

[

, com recurso ao cálculo de

( )

d y t dt .

( )

₂ sin

(

)

cos

(

1 nt n d n d d y t e t t dt ξω ξω _{ω ω ω} ξ − ⎛_⎜ ⎞ = + Φ − ⎜ ₋ ⎝

)

⎠ ⎟ + Φ ⎟ (4.53)

Os máximos e mínimos são dados pelos zeros da 1ª derivada, ou seja, anulando o 2º factor.

( )

0 ₂ sin

(

)

cos

(

)

1 n d n d d y t t t dt 0 ξω _{ω ω ω} ξ = ⇒ + Φ − + Φ = − (4.54) 3ξ = ⇒₀

Resolvendo (4.54) tendo em conta que a função tg é periódica de período π conclui-se que existe uma infinidade de soluções dadas por (4.55).

0 2 , 1 n n t π n N ω ξ = − ∈ (4.55)

A observação de (4.51) permite concluir que y(t) é contínua, a 1ª derivada tem uma infinidade de zeros, logo y t( ) apresenta uma alternância infinita de máximos e mínimos.

Lembrando a aplicação dos teoremas dos valores inicial e final a esta situação (4.46) e (4.47), reforçando com o facto da componente oscilatória de (4.51) ser ponderada por uma exponencial decrescente, pode-se esboçar a resposta y(t) para a situação em estudo Fig.4.11. p

T

d

T

d

T

y

max

–y

fi n al s

T

Tempo (s)

y (t)

( )

1

₂

1

nt

e

ξω

ξ

−

+

−

sup

t

y

=

( )

₂ inf

1

1

nt

t

e

y

ξω

ξ

−

−

−

=

p

T

d

T

d

T

d

T

d

T

y

max

–y

fi n al

y

max

–y

fi n al s

T

Tempo (s)

y (t)

Tempo (s)

y (t)

( )

1

₂

1

nt

e

ξω

ξ

−

+

−

sup

t

y

=

( )

₂ inf

1

1

nt

t

e

y

ξω

ξ

−

−

−

=

Fig.4.11 – Resposta ao degrau para sistema de 2ª ordem subamortecido.

O desempenho dos sistemas de 2ª ordem recorre a medidas que vão ser definidas a partir do perfil da resposta que se esboça na Fig.4.11 e que vão ser definidas de seguida.

Sendo a sinusóide amortecida, compreende-se que o 1º máximo seja o máximo absoluto apresentando-se a definição de tempo de pico.

Tempo de pico Tp: Tempo ao fim do qual se verifica o máximo absoluto4 da resposta.

Tendo em conta o perfil subamortecido da Fig.4.11 verifica-se que o máximo absoluto

corresponde ao 1º zero de fora da origem. Tendo em conta a expressão dos zeros, (4.55), conclui-se que T

( )

y t i

p é definido para n=0 estabelecendo-se (4.56).

2 1 p n T π ω ξ = − (4.56)

Embora y(t) não seja periódica, pode-se definir o período das oscilações amortecidas.

Período das oscilações amortecidas Td: Intervalo de tempo (constante) entre 2 máximos (ou 2 mínimos) consecutivos.

Tendo em conta a conhecida relação entre o período T e a frequência ω, então, para as oscilações amortecidas define-se (4.57).

2 2 1 d d d _n 2 π π ω _{ω ξ} Τ = ⇒ Τ = − (4.57)

A comparação de (4.57) com (4.56) permite concluir que T_d =2T_p, de facto, observando-se a Fig.4.11 verifica-se que T_p ocorre após metade do período das oscilações amortecidas.

O valor do máximo absoluto também serve para caracterizar a resposta do sistema, permitindo definir a percentagem de sobreelevação.

Percentagem de sobreelevação S(%): Percentagem de elevação do máximo absoluto relativamente ao valor final da resposta.

( )

max % 100 final final y y S y − = (4.58) 4 pico

Para o sistema em estudo y_final =1; y_max =y T

( )

_p , então, utilizando dado pela expressão (4.56) na expressão de y(t) dada por (4.51), obtém-se

p T

( )

₁ 2 1 p y T e ξπ ξ − − = + ; a percentagem de sobreelevação é dada por (4.59).

( )

₁ 2 % 100 S e ξπ ξ − − = (4.59) Referências

[1] M. I. Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, IST Press.

[2] John J. D'Azzo e Constantine H. Houpis, Linear Control Systems Analysis and Design, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988.

[3] J. Martins de Carvalho, Dynamical Systems and Automatic Control, Prentice Hall, 1993.

[4] Richard C. Dorf and Robert H. Bishop, Modern Control Systems, 7ª ed., Addison Wesley, 1995.

[5] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 2ª ed., Prentice-Hall, 1990.

[6] Chi-Tsong Chen, Analog and Digital Control Systems Design: Transfer-function, state-space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 1993.

[7] Bahram Shahian, Control Systems Design using Matlab, Prentice-Hall, 1993. [8] Duane C. Hanselman e Benjamin Kuo, Matlab Tools for Control Systems Analysis