Boletim
Ano 3 Número 6 Outubro de 2005
Informativo do Grupo de Pesquisa
Matemática Computacional
--- UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS (UCG)
DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO
Núcleo de Pesquisa em Computação (NPC)
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EDITORIAL
Temos a honra de publicarmos mais um número do Boletim para nossos colegas e interessados. Nesta edição, na seção Perguntas e Respostas, gostaríamos de apresentar a história do Centro Acadêmico (CA) de Ciência da Computação e o CA de Engenharia de Computação, haja vista a evolução destes centros desde suas criações. Isto não foi possível para este número, porque seis meses não foram suficientes para que seus coordenadores redigissem algo fundamental enquanto Centro, mas importante para perceber a sua necessidade.
Não aparecerá na seção acontecerá em virtude da exatidão quanto à data, mas informamos que a Universidade Católica de Goiás (UCG), em parceria com a Universidade Federal de Goiás (UFG) e o Centro Federal de Educação Tecnológica de Goiás (CEFET-GO) estarão sediando, na UCG, em Goiânia, o próximo Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO 2006); provavelmente no mês de agosto/2006.
O novo endereço eletrônico para o Laboratório de Programação Linear (LabPL) é: http://www.ucg.br/Institutos/LabPL/Index.html. A propósito, um texto em elaboração sobre Programação Linear, com quatorze capítulos, encontra-se disponível para críticas na página do LabPL. Uma primeira revisão foi feita pelo colega Clóvis Gonzaga e, uma segunda, pelo colega Hilton Machado. Várias outras, durante a atividade de ensino na disciplina Análise Aplicada Computacional (CMP4132), do Departamento de Computação da UCG, desde 1999, em minicursos na UCGComp e na Semana do IME/UFG.
Os membros do Grupo neste momento são: os pesquisadores Baleeiro, Clarimar, Marco, Sibelius e Zimmermann, os estudantes Anderson, Gustavo e Rodrigo, e o técnico Leizer. A linha de pesquisa Otimização, agora, tem como objetivo estudar, desenvolver, implementar e aplicar algoritmos de Otimização (contínua e discreta).
Marco Antonio Figueiredo Menezes Líder do Grupo ---
PERGUNTAS E RESPOSTAS:
Aqui, a nossa idéia é a de levantar algumas perguntas para os alunos da Computação que venham a esclarecer, viabilizar e integrar a sua formação. Em seguida, forneceremos as devidas respostas através de entrevistas com responsáveis pela área.
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ACONTECEU
Aconteceu informa Congressos, Simpósios, Jornadas e Encontros Científicos com a nossa participação, de março/2005 a setembro/2005.
VI Brazilian Workshop on Continuous Optimization: Address West Side Hotel
Residence, Goiânia/GO, 18 a 22 de julho de 2005.
XXV Congresso da Sociedade Brasileira de Computação: São Leopoldo/RS, 22 a 29 de
julho de 2005.
XXVIII Congresso Brasileiro de Matemática Aplicada e Computacional: Senac, São
Paulo/SP, 12 a 15 de setembro de 2005.
XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional: Gramado/RS, 27 a 30 de
setembro de 2005.
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ACONTECENDO
Acontecendo relata as atividades do Grupo Matemática Computacional. Sugerimos uma visita ao nosso MURAL, em frente ao Departamento de Computação e ao lado da sala do NPC.
Seminário de Otimização: Toda segunda-feira, das 08:20 às 09:50, na sala 110, no IMF 1,
Campus 2 da UFG.
Seminário de Análise Multivariada: Toda quinta-feira, das 19:00 às 21:00, na sala do
Núcleo de Pesquisa em Informática, Área 3, Bloco F, Sala 411. Coordenador: Dr. Clarimar José Coelho.
Projetos em andamento:
1. Elaboração de um livro de Pesquisa Operacional (segundo ano) - Coordenador: Dr. Marco Antonio Figueiredo Menezes; PROPE/UCG.
2. Modelos Matemáticos para Análise Química Quantitativa (terceiro ano) – Coordenador: Dr. Clarimar José Coelho; PROPE/UCG.
3. Utilização de Métodos de Otimização e Metaheurísticas em Seleção de Reservas Ambientais – Coordenador: Dr. Sibelius Lellis Vieira.
4. Análise de Desempenho em Redes com Garantias de Qualidade de Serviço – Coordenador: Dr. Sibelius Lellis Vieira.
Orientações em andamento:
1. Fabrícia Neres Borges, Engenharia da Computação, voluntária. 2. Elma Pereira Santos, Ciência da Computação, voluntária.
3. Geraldo Valeriano Ribeiro, Engenharia da Computação, voluntário.
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ACONTECERÁ
Acontecerá informa eventos nos próximos meses no que concerne às atividades de pesquisa.
Congressos:
XXVI Congresso da Sociedade Brasileira de Computação: Campo Grande/MS, 17 a 21
de julho de 2006.
XIX International Symposium on Mathematical Programming: Rio de Janeiro/RJ, 30
de julho a 04 de agosto de 2006.
Foz2006 - Congresso de Matemática com suas Aplicações: Foz do Iguaçú/PR, 07 a 11 de
agosto de 2006.
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PRODUÇÃO CIENTÍFICA
Divulgação da produção científica. Este boletim divulga o período março/2005-setembro/2005.
Trabalhos publicados em Anais de Eventos:
1.
Utilização de Metaheurísticas no Processo de Seleção de Reservas Ambientais. Publicado nos Anais do SBPO 2005.2.
Desenho de Redes Overlay com Qualidade de Serviço utilizando Metaheurísticas. Publicado nos Anais do SBrT 2005.3.
Using metaheuristics for topological design of Service Overlay Networks. Publicado nos Anais do LANOMS 2005Orientações concluídas:
1. Inferência Estatística – Aluno bolsista BIC-UCG; Anderson Soares da Silva; Orientador: Clarimar José Coelho; Iniciação científica.
2. Regressão em Mínimos Quadrados (Partial Least Square Regression, PLSR) – Aluno bolsista BIC-UCG, Gustavo Teodoro Laureano; Orientador: Clarimar José Coelho; Iniciação científica.
3. Regressão em Componentes Principais (Principal Component Regression, PCR); Aluno bolsista BIC-UCG; Daniel Vitor de Lucena; Orientador: Clarimar José Coelho; Iniciação científica.
4. Aplicação de Diagrama da UML no Processo de Desenvolvimento de Software de Pagamento Eletrônico de Contas – Érika Martins de Lima; Orientador: Clarimar José Coelho; Projeto Final de Curso II.
5. VOIP: Proposta de Implementação na Rede de uma Empresa Pública – Allan Martins de Lima; Orientador: Clarimar José Coelho - Projeto Final de Curso II. ---
ARTIGO
Aplicações de Programação Inteira em Problemas da Área de Ciências
Ambientais e Saúde
Prof. Dr. Sibelius L. Vieira Departamento de Computação da UCG 1. Introdução
Os métodos da pesquisa operacional são atualmente aplicados de forma bastante abrangente, em vários campos da atividade humana. Particularmente, são bastante importantes para a indústria, a gestão e vários aspectos da operação, manutenção e planejamento de sistemas. Em particular, estamos interessados em apresentar alguns problemas típicos que são comuns para as áreas de Ciências Ambientais e Saúde que podem utilizar-se da formulação da programação inteira para descrever seus problemas, e consequentemente, permitir uma solução baseada nas investigações clássicas para estes problemas. Vamos apresentar nas seções seguintes alguns destes problemas, discutindo sua importância e descrevendo de forma intuitiva e eventualmente formal, a sua modelagem. Entretanto, é bom salientar que existem vários outros problemas abordados na literatura que tratam desta modelagem, enfocando outros aspectos, que não serão cobertos aqui.
A alocação de regiões geográficas selecionadas para proteção na forma de redes de unidades de conservação é considerada uma medida chave para deter a perda de biodiversidade que ocorre atualmente no mundo todo. Por exemplo, um grande conjunto de áreas metropolitanas em vários lugares está rapidamente sendo convertido de áreas abertas para espaços com utilidades variadas, com a concomitante redução na quantidade e qualidade de áreas naturais e das espécies que nelas se encontram. Além disto, as opções de conservação estão sendo reduzidas sucessivamente e áreas a princípio conservadas estão sendo convertidas em áreas aráveis ou urbanizadas. Embora o estabelecimento de um sistema de proteção de áreas naturais seja a forma adequada de se reduzir a perda da biodiversidade associada com a conversão de áreas, os recursos que podem ser destinados para o estabelecimento destas reservas é limitado. Em face destas circunstâncias, é importante que os recursos para a conservação sejam utilizados da forma mais eficiente possível quando novas reservas são estabelecidas.
Um critério importante para um sistema de reservas é que ele represente tanto quanto possível a biodiversidade disponível. Por este critério, o sistema deveria conter pelo menos um determinado número de exemplares de cada tipo de vegetação e/ou de população de determinadas espécies dentro da região de interesse. Como existem restrições na quantidade da área para a reserva, é prudente se proceder a seleção de reservas de tal modo que se atinja a representação da biodiversidade com um custo adequado.
Os algoritmos de seleção de reservas são métodos computacionais sistemáticos que têm sido desenvolvidos para identificar um conjunto de reservas que possam maximizar a biodiversidade, ou um conjunto de espécies que possam ser preservadas, dado uma quantidade de recursos disponíveis. Estes métodos utilizam as ferramentas da pesquisa operacional (PO), que permitem a formalização do problema na forma de um problema de programação inteira.
Como um exemplo do problema do projeto de reservas, descrevemos uma seleção do uso de recursos em relação ao custo da reserva, enquanto assegura que as metas de conservação sejam atingidas. Este custo pode ser associado à área da reserva, ao número de reservas ou a alguma outra variável associada à reserva. A magnitude das metas de conservação pode ser baseada em informações biológicas ou de legislação, ou mesmo levando em conta considerações sócio-ambientais (áreas de recreação). Em geral, problemas de seleção de reservas pode ser formulado através de um modelo de programação inteira 0-1. Um problema pode ser o que procura minimizar o número ou custo total do sistema para garantir a preservação da biodiversidade total, de tal maneira que todas as espécies estejam representadas no sistema. Este problema é conhecido em pesquisa operacional como o problema de cobertura de conjuntos e tem aplicações em vários campos.
O que se observa na prática do processo de seleção de reservas é que, dado um conjunto de recursos materiais que permitem a seleção de um número de reservas, restringido muitas vezes por questões de ordem sócio-econômicas, procura-se obter a melhor preservação da biodiversidade. Neste exemplo, isto implica em maximizar o número de espécies a serem preservadas. Esta estrutura permite que as soluções possam ser aplicadas de forma a planejar a seleção em períodos, e não de uma única vez. Vamos considerar que cada espécie possa ter uma importância diferenciada no processo de preservação e que esta importância vai ser expressa através de um parâmetro de prioridade. Além disto, cada espécie, por questões técnicas, terá que ser representada um número de vezes para assegurar a sua preservação (aparecer em um determinado número de reservas).
O problema consiste em maximizar o número de espécies ponderado pela prioridade da espécie, dadas as restrições de representação das espécies e número de reservas máximo. Este problema é apresentado nas Eqs. 1, 2 e 3 abaixo:
Maximize ∑ PiYi (1)
Sujeito à ∑ AijXj ≥ kiYi para i = 1,..,M (2)
∑ Xj = Q (3)
Xj Є {0,1} para j = 1,..,N
Yi Є {0,1} para i = 1,..,M
Na Eq. (1) expressamos a necessidade de maximizar o número de espécies, onde Yi indica se a
espécie i é adequadamente representada no sistema de reservas e Pi indica a prioridade de se
preservas a espécie i. O número total de espécies é M e de sítios é N. A restrição que impõe que a espécie i seja preservada apenas se estiver presente em pelo menos ki reservas é dada pela Eq. (2) e
na Eq. (3) o número máximo de sítios que se tornarão reservas é limitado ao valor Q, sendo Xja
variável que indica se o sítio j será ou não selecionada para reserva.
3. Escala de enfermeiras
Este problema se refere à escala de enfermeiras em grandes hospitais, tendo como resultado uma ferramenta computacional que permite resolver todos os requisitos do hospital e liberar as enfermeiras chefe das tarefas administrativas que consomem bastante tempo. O problema é produzir listas de plantão semanais para 20 a 30 enfermeiras. As listas devem assegurar que existam enfermeiras em número suficiente para o trabalho a qualquer tempo. Deve levar em conta as considerações financeiras e as regras e diretrizes das práticas de saúde, e ao mesmo tempo procurar satisfazer as preferências e requisições de cada enfermeira individualmente.
Para este problema em si, existe uma série de considerações a ser feitas: os dias são divididos em 3 turnos, e em uma cada semana, as enfermeiras devem trabalhar ou no turno diurno ou no noturno. Dada à existência de diferença de duração dos turnos, os números dos dias que formam a semana dependem do turno. Por exemplo, pode ser de 5 dias ou 4 noites, entre outras opções populares. As enfermeiras também são graduadas de forma diferente: existem as de nível 1 (plena), as de nível 2 (sênior) e as de nível 3 (júnior). Cada uma das semanas da lista deve ter um requisito mínimo de enfermeiras qualificadas até um determinado nível para cada semana. Por exemplo, deve haver pelo menos uma enfermeira de nível 1, ou duas enfermeiras de nível 2. Na produção da lista, o objetivo primário é satisfazer estes requisitos e ao mesmo tempo alocar as enfermeiras para a sua escala correta. Uma última questão é satisfazer os requisitos e preferências das próprias enfermeiras, que podem ser divididas em três tipos: 1) aqueles que são parte inerente do trabalho; 2) aqueles que resultam de pedido para tirar folga em um dia particular e 3) aqueles que dependem da história de trabalho recente.
Normalmente, estas listas de plantão são produzidas manualmente por um membro do corpo de enfermeiras com mais experiência, e é uma tarefa que pode tomar várias horas por mês. Entretanto, este problema pode ser formalizado como um problema de programação linear inteira. Para este caso, este formulação tem uma função objetivo linear e dois conjuntos de condições também lineares, tendo como solução uma variável binária que indica se a enfermeira A vai ou não ser atribuída à escala E. Para o caso onde foi aplicado, este problema gerou cerca de 1500 a 2000 destas variáveis, com aproximadamente 70 equações de restrição.
4. Alocação de salas em centro cirúrgico
Um problema que pode ser comum em Hospitais é a alocação de recursos, em particular de recursos caros que devem ser compartilhados. A tentativa de fornecer acesso universal à saúde e ao mesmo tempo conter os custos certamente deve envolver um planejamento cuidadoso para a alocação destes recursos. Neste problema, o hospital deve alocar uma quantidade limitada de tempo nas salas de operação de seus centros cirúrgicos para as suas divisões de cirurgia. Este problema pode ser tratado como um problema de programação linear inteira.
A escala do centro cirúrgico é uma tabela cíclica que define o número e o tipo de salas de operação disponíveis em uma instituição, as horas que as salas estarão abertas e o serviço ou os cirurgiões que terão prioridade para um procedimento em um determinado tempo. A prática normal é associar uma metodologia de atribuir um tempo fixo de um determinado dia para um serviço ou cirurgião particular. Por exemplo, todas as segundas o departamento de oftalmologia tem atribuído 7.5 horas da sala 8, entre as 8:00 e as 15:30 horas. Neste sistema, todos os cirurgiões competem pelas salas, sendo que a atribuição é feita para o primeiro que requisita.
Este problema pode também ser modelado da seguinte forma: dada uma função de penalidade para cada departamento cirúrgico, de tal forma que representa uma dívida em horas para este departamento na alocação, o objetivo é minimizar a soma destas penalidades, cobrindo todos os departamentos. Esta minimização permite procurar soluções que procurem alocar o tempo das salas de forma mais proporcionada entre as divisões cirúrgicas. O cálculo de cada penalidade individual é baseado no tempo total alocado para o departamento, função de variáveis que definem o número de blocos do tipo i atribuídos ao departamento j no dia k, e a duração do bloco do tipo i no dia k, e valores de superalocação ou subalocação das salas para cada departamento. Além disto, uma série de restrições inteiras é também considerada. Este modelo, implementado em um hospital do Canadá, permitiu reduzir de dias para 2 horas o processo de alocação e ainda resultou em outras economias, além da visão ampla do processo.
5. Combinação de Vacinas
A pesquisa de novas vacinas resultou em um desenvolvimento de vacinas que permitem a proteção de um determinado número de doenças. Isto criou um dilema para o processo de introdução destas novas vacinas em uma escala de imunização infantil já relativamente cheia. Uma possível solução seria o desenvolvimento de combinação de vacinas em uma única injeção, reduzindo o número de visitas necessárias para satisfazer a escala de imunização. Além disto, seria também possível abrir espaço na escala para novas imunizações. Por exemplo, a inclusão da primeira vacina conjugada contra pneumonia infantil adicionaria quatro injeções durante os dois primeiro anos de vida de uma criança típica.
Os fabricantes de vacina responderam criando novas combinações de vacinas. A questão é que dado o número crescente de combinação de vacinas que pode estar disponível nos próximos anos, se torna difícil para os agentes de saúde tanto públicos e quanto privados avaliar o valor relativo e escolher entre as combinações já existentes e os produtos que estão sendo desenvolvidos no sentido de compor seu estoque. Primeiro, seria necessário responder qual é a economia, tanto clínica e direta, quanto para o paciente, de forma indireta que seria atingida devido à redução no número de injeções resultante do uso de produtos combinados de tal forma que esta economia pudesse cobrir os eventuais preços das novas combinações.
A formulação desse problema pode ser feita através de modelos de programação inteira para a seleção de vacinas. Este modelo foi desenvolvido para determinar o preço de inclusão para quatro
diferentes combinações de vacinas, tipicamente vacinas contra tétano, difteria, tosse, gripe, hepatite B e pólio. Estas combinações incluem algumas destas vacinas. As variáveis de decisão são inteiras binárias na sua maioria e algumas não-binárias. Este problema foi modelado com 96 variáveis sujeitas a 51 equações de restrição. O objetivo é obter o custo mínimo das combinações que permitiria uma economia no processo.
6. Planejamento Florestal
O problema do manejo florestal se caracteriza por ser um problema em que se procura maximizar o lucro total neste manejo, tendo variáveis que representam alternativas de manejo em diferentes unidades de manejo, cada uma com um custo associado. Outras variáveis representam o número total de unidades de manejo, o número total de alternativas de manejo em uma determinada unidade de manejo, e outras informações sobre volume e demanda de madeira. Este problema pode ser formulado como um problema de programação inteira, linear, sujeito também a condições lineares e inteiras. Estes problemas podem ter tipicamente entre 3000 a 5000 variáveis inteiras.
7. Conclusão
Como citado anteriormente, este artigo pretendeu apresentar uma série de problemas típicos que podem ser modelados como problemas de programação inteira. A partir da modelagem, uma série de métodos para a solução destes problemas pode ser utilizado, desde métodos exatos, que buscam soluções ótimas, como métodos aproximados, baseados em heurísticas. Os problemas apresentados normalmente enfocam questões de alocação, seleção e escalonamento de recursos. Outros problemas também são importantes, tais como problemas de roteamento, e que tem aplicações nas áreas investigadas. Portanto, a otimização e em particular a modelagem de sistemas baseada em programação inteira é uma área muito profícua, tanto em termos de investigação teórica como em termos de aplicações nos mais diversos campos da atividade humana.
8. Referências
Blake, J. and Donald, J. Mount Sinai Hospital uses Integer Programming to Allocate Operating Room Time. Interfaces, 32(2):63-73, 2002.
Downland, K. and Thompson, J. Solving a nurse scheduling problem with knapsacks, networks and tabu search. Journal of the Operational Research Society, 51:825-833, 2000.
Jacobson, S., Sewell, E., Deuson, R. and Weniger, B. An integer programming model for vaccine procurement and delivery for childhood immunization: a Pilot Study. Health Care Management
Science, 2:1-9, 1999.
Rodrigues, F. et alli. Metaheurística Simulated Annealing para Solução de Problemas de Planejamento Florestal com Restrições de Integridade. Árvore, 28(2):247-256, 2004.
Vieira, S., Ribeiro, G., Santos, E. e Borges, F. Utilização de Metaheurísticas no Processo de Seleção de Reservas Ambientais. Anais do XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Gramado, 2005.
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INFORMAÇÕES E CONTATO
Você pode acessar o Boletim via Página Principal do Grupo de Pesquisa Matemática Computacional, a saber:
http://agata.ucg.br/formularios/NPI/matematicacomp_index.htm E-mail: marco@ucg.br
