FÍSICA LICENCIATURA EAD MAT092 CÁLCULO 2 AULA 28 CAPÍTULO 3 CÁLCULO VETORIAL

MAT092 – CÁLCULO 2 – AULA 28

CAPÍTULO 3 – CÁLCULO VETORIAL

3.4 – TEOREMA DE GREEN:

O Teorema de Green se aplica para resolver Integrais de Linha Fechadas no plano. Em linhas gerais, ele permite resolver uma Integral de Linha (integral simples) usando uma integral dupla.

Seja c uma curva fechada simples, que delimita uma região R no plano xy , por exemplo. Vamos admitir, ainda, que a curva c é orientada sobre R no sentido anti-horário e que

( )

x y

M , e N

( )

x,y sejam funções contínuas e com derivadas parciais contínuas em c e em R .

Nestas condições, pode-se mostrar o Teorema de Green, que estabelece a identidade:

DEMONSTRAÇÃO:

Consideremos a região R como na figura abaixo:

y x R a b c d

( )

x f

( )

x g

( )

y F

_{( )}

y G y x c R

( )

( )

∫

∫∫

      ∂ ∂ − ∂ ∂ = + c R dxdy y M x N dy y x N dx y x M , ,

A região R pode ser descrita de duas maneiras:

( )

( )

   ≤ ≤ ≤ ≤ x g y x f b x a R : ou

( )

( )

   ≤ ≤ ≤ ≤ y G x y F d y c R : .

Para demonstrar o Teorema de Green, é suficiente provar que:

( )

( )

∫

=−

∫∫

∂_∂ c R dxdy y M dx y x M , 1 e

∫

( )

∫∫

( )

∂ ∂ = c R dxdy x N dx y x N , 2 . Demonstração de

( )

1 :

Seja c=c₁+c₂, onde c é o gráfico de ₁ y= f

( )

x desde x =a até x = e b c é o gráfico de 2

( )

x g y= desde x = até b x =a. Assim:

∫

( )

=

∫

( )

+

∫

( )

c c c dx y x M dx y x M dx y x M 1 2 , , , .

( )

[

( )

]

[

( )

]

∫

=

∫

+

∫

c b a a b M x g x dx dx x f x M dx y x M , , , .

( )

[

( )

]

[

( )

]

∫

=

∫

−

∫

c b a b aM x g x dx dx x f x M dx y x M , , , .

( )

{

[

( )

]

[

( )

]

}

( )

∫

=

∫

− c b a M x f x M x g x dx a dx y x M , , , 1 .

Por outro lado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

=

∫ ∫

          ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ R b a x g x f b a x g x f b a x g x f dM dMdx dx dy y M dxdy y M dxdy y M 3 2 1 .

( )

( )_{( )}

_{

_[

_{( )}

_]

_[

_{( )}

_]

_}

_{( )}

∫

∫∫

=

∫

= − ∂ ∂ b a R b a x g x f dx M x g x M x f x dx b y x M dxdy y M 1 , , , Comparando

( )

1a e

( )

1b :

( )

( )

∫

=−

∫∫

∂_∂ c R dxdy y M dx y x M , 3 Demonstração de

( )

2 :

Seja agora c=c₃+c₄, onde c é o gráfico de ₃ x =F

( )

y desde y =d até y= e c c é o gráfico ₄ de x =G

( )

y desde y= até c y =d.

Assim:

∫

( )

=

∫

( )

+

∫

( )

c c c dy y x N dy y x N dy y x N 3 4 , , , .

( )

[

( )

]

[

( )

]

∫

=

∫

+

∫

c c d d c N G y y dy dy y y F N dy y x N , , , .

( )

{

[

( )

]

[

( )

]

}

( )

∫

=

∫

− c d c N G y y N F y y dy a dy y x N , , , 2 .

Por outro lado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

=

∫ ∫

          ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ R d c y G y F b a y G y F d c y G y F dN dNdx dy dx x N dxdy x N dxdy x N 3 2 1 .

( )

_{( )}( )

_{

_[

_{( )}

_]

_[

_{( )}

_]

_}

_{( )}

∫

∫∫

=

∫

= − ∂ ∂ d c R d c y G y F dy NG y y N F y y dy b y x N dxdy x N 2 , , , Comparando

( )

2a e

( )

2b :

( )

( )

∫

=

∫∫

∂_∂ c R dxdy x N dy y x N , 4 Fazendo

( ) ( )

3 + 4 , obtemos

∫

( )

( )

∫∫

_      ∂ ∂ − ∂ ∂ = + c R dxdy y M x N dy y x N dx y x M , , (Teorema de Green).

EXEMPLOS:

01) Calcule

∫

(

−

) (

+ +

)

c dy y x dx y

x2 2 , sendo c o triângulo OAB tomado no sentido anti-horário,

com O

( )

0,0 , A

( )

1,0 e B

( )

1,1 . SOLUÇÃO: y x O

( )

1,1 B 1    ≤ ≤ ≤ ≤ x y x R 0 1 0 : R

( )

1,0 A

Temos: •

( )

, 2 =−1 ∂ ∂ ⇒ − = y M y x y x M ; •

( )

, 2 =1 ∂ ∂ ⇒ + = x N y x y x N .

Aplicando o Teorema de Green:

(

) (

)

_{∫ ∫}

[

( )

]

_{∫ ∫}

∫

− + + = 1 − − = 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 x x c dydx dydx dy y x dx y x . Mas: 2 1 . 2 . 2 2 1 0 0 = =

∫ ∫

x OAB Triângulo do Área dydx . Assim:

02) Calcule o valor da integral

∫

(

+

)

+

(

−

)

c dy x y dx x y 3 2 , onde c é a circunferência x2+ y2 =9, com orientação anti-horária.

SOLUÇÃO: Temos: •

( )

, 3 =1 ∂ ∂ ⇒ + = y M x y y x M ; •

( )

, 2 =−1 ∂ ∂ ⇒ − = x N x y y x N . R y x 0 3 − 3 − 3 3     − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − 2 2 9 9 3 3 : x y x x R

(

) (

)

∫

− + + = c dy y x dx y x2 2 1

Aplicando o Teorema de Green:

(

)

(

)

_∫∫

(

)

_∫∫

∫

+ + − = − − =− R R c dxdy dxdy dy x y dx x y 3 2 1 1 2 . Assim:

(

₊₃

)

₊

(

_{2 −}

)

₌

(

₋₁₋₁

)

_{=−2. =−2.}π_.32

∫∫

∫

y x dx y x dy dxdy Áreadocírculo

R c

.

Finalmente:

03) Calcular a Circulação do Campo Vetorial Fr = y2ir+xrj em torno da curva c tomada no sentido anti-horário, onde:

a) c é o quadrado de vértices

( )

0,0 ,

( )

2,0 ,

( )

2,2 e

( )

0,2 ;

b) c é a circunferência de raio 2 e centro na origem dos eixos coordenados.

SOLUÇÃO:

Vimos que a Circulação é a Integral de Linha Fechada

∫

•

c

R d Fr r.

No nosso caso: Fr•dRr=y2dx+xdy.

Queremos, então, calcular

∫

• =

∫

+

c c xdy dx y R d Fr r 2 .

Pelo Teorema de Green:

∫

∫∫

_

     ∂ ∂ − ∂ ∂ = • R c dxdy y M x N R d Fr r , onde:

( )

( )

      = ∂ ∂ ⇒ = = ∂ ∂ ⇒ = 1 , 2 , 2 x N x y x N y y M y y x M . Portanto:

∫

• =

∫∫

(

−

)

R c dxdy y R d Fr r 1 2 . a) y x    ≤ ≤ ≤ ≤ 2 0 2 0 : y x R 2 2 0 R

(

)

(

)

∫

+ + − =− c dy x y dx x y 3 2 18π

Portanto:

∫

• =

∫ ∫

2

(

−

)

=

∫

[

−

]

=

∫

(

−

)

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 4 2 2 1 y dydx y y dx dx R d F c r r . ⇒ − = •

∫

2 0 2x R d F c r r b)

Como a região de integração é circular, vamos usar Coordenadas Polares.

Assim:    ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒    = = π θ θ θ 2 0 2 0 : cos r R rsen y r x e J = . r Logo:

∫

• =

∫∫

(

−

)

R c dxdy y R d Fr r 1 2 .

(

θ

)

θ θ θ π π d sen r r drd r rsen R d F c 2 0 2 0 2 0 2 0 3 2 . 3 2 2 . 2 1

∫ ∫

∫

∫

      − = − = • r r .

∫

∫

 =_ + _      − = • π π θ θ θ θ 2 0 2 0 cos 3 16 2 3 16 2 sen d R d F c r r . ⇒ − − + = •

∫

0 16₃ 3 16 4π c R d Fr r

04) Calcule a Integral de Linha

∫

•

c R d Fr r se x j y x x i y x y Fr r _r      + + + + − = _{2 2 2 2} 2 ao longo da curva c

descrita pela elipse 1 9 4 2 2 = + y x

, tomada no sentido anti-horário. R y x 0 2 − 2 2 2 −

∫

• =− c R d Fr r 4

∫

• = c R d Fr r 4π

SOLUÇÃO:

Como o Campo Vetorial Fr na está definido no ponto

( ) ( )

x,y = 0,0 , que é a origem do plano cartesiano, então não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green sobre a região limitada pela curva c . Ou seja, existe um ponto de descontinuidade para a região R limitada pela curva c .

No entanto, podemos aplicar o Teorema de Green à região R limitada pela curva c e pela circunferência γ , de raio a<2 e centro na origem, conforme a figura.

A Integral de Linha a ser resolvida é

∫

∫

_

     + + + + − = • c c dy x y x x dx y x y R d Fr r _{2 2 2 2} 2 .

Vamos resolver esta integral primeiramente sobre a região R . Temos: •

( )

(

)

(

)

(

_{2 2}

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . , y x y x y M y x y y y x y M y x y y x M + + − = ∂ ∂ ⇒ + + + − = ∂ ∂ ⇒ + − = ; •

( )

(

2

)

2

(

)

2 2 , ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + − = ∂ ∂ ⇒ + + − + = ∂ ∂ ⇒ + + = y x y x x N y x x y x x N x y x x y x N .

Pelo Teorema de Green:

∫

∫∫

−      ∂ ∂ − ∂ ∂ = • γ c R dxdy y M x N R d Fr r .

(

)

(

)

∫

∫∫

∫

∫∫

− − = • ⇒         + + − − + + + − = • γ γ c R c R dxdy R d F dxdy y x y x y x y x R d F 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{r r} r r .

(

)

∫

∫

− − − = • ⇒ − = = • γ γ π π π π c c a R d F a R de Área R d Fr r 2. 2. .2.3 2 r r 12 2 2 y x 3 3 − 2 − 2 R γ

Portanto:

∫

• = − +

∫

( )

+

( )

c dy y x N dx y x M a R d F γ π π 2 , , 12 2 r r . (A)

Para resolver a integral =

∫

( )

+

( )

γ dy y x N dx y x M

I , , sobre a circunferência γ, vamos usar as suas coordenadas paramétricas, uma vez que não podemos aplicar o Teorema de Green.

Em coordenadas paramétricas, temos:

   ≤ ≤    = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = + π γ 0 2 . cos . cos : 2 2 2 e t dt t a dy asent y dt asent dx t a x a y x . Portanto:

∫

(

)

_            ₊ + − − = 2π 0 2 2 2 cos . cos cos . a t a tdt a t a dt asent a asent I .

(

)

_∫

(

)

∫

+ + ⇒ = + = π 2π 0 2 2 2 0 2 2 2 2 cos . 2 1 cos . 2 cos t a tdt I a t dt t sen I .

(

)

∫

 ⇒ =

∫

+ +      + + = 2π π 0 2 0 2 2 2 2 cos . 1 2 2 cos 1 . 2 1 a t dt I a a t dt I . 2 2 0 2 2 2 2 2 1 a I t sen t a t I π π π + = ⇒     _{+ +} =

Substituindo em (A), obtemos finalmente:

∫

• = − + + ⇒ c a a R d Fr r ₁₂π ₂π 2 ₂π ₂π 2

∫

• = c R d Fr r 14π