MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL PARA A
AÇÃO DAS CÉLULAS-TRONCO NA MANUTENÇÃO E
REGENERAÇÃO DE TECIDOS VIVOS
Neila Marcelle Gualberto Leite Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional 30510-000, Belo Horizonte, MG
e-mail: neila@dppg.cefetmg.br Carlos Henrique Costa Moreira
Dep. Matemática, Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais
30123-970, Belo Horizonte, MG e-mail: cmoreira@mat.ufmg.br
INTRODUÇÃO
As células são as unidades estruturais e funcionais dos organismos vivos e representam a menor porção de matéria viva dotada da capacidade de autoduplicação independente [3]. Todas as células de organismos multicelulares se originam do ovo fecundado. Elas proliferam, diferenciam-se, migram e interagem com outras, formando diferentes tecidos e órgãos [5].
Antigamente acreditava-se que as células que proliferam em um tecido vivo adulto (por meio de mitose, com uma célula-mãe originando duas células-filha com as mesmas informações genéticas guardadas nos cromossomos [1]) eram exclusivamente as células diferenciadas daquele tecido. Porém, hoje se sabe que também células-tronco adultas desempenham um papel importante na reposição celular. Após a duplicação, as células-tronco filhas podem continuar sendo células-tronco ou, sob certos estímulos, se diferenciar para assumir funções especializadas. Portanto as células-tronco, além de gerar todos os tecidos do corpo humano em sua fase embrionária, em sua fase adulta funcionam como auxiliares no sistema biológico de manutenção dos órgãos e tecidos [4].
Com o tempo as células comuns perdem a capacidade de se dividir. Esse processo, chamado de senescência, está
relacionado com o envelhecimento dos seres vivos. As células deixam de se dividir quando os telômeros, extremidades protéicas protetoras dos cromossomos, atingem um tamanho mínimo, sendo que em cada mitose o comprimento dos telômeros das células resultantes encurta em relação ao comprimento dos telômeros da célula-mãe. Quando é atingido um limite crítico de tamanho, a célula entra em senescência. Leonard Hayflick mostrou em 1965 que células cultivadas in vitro se reproduziam cerca de 50 vezes antes de morrer. Acredita-se que este número vale também para o processo in vivo [1]. Como os telômeros têm a função de proteger o material genético da célula, a observância do limite de Hayflick garante a autenticidade da informação genética passada para as células-filha. Porém, as células-tronco são exceções para essa regra, pois são capazes de se dividir indefinidamente sem o encurtamento dos telômeros, mantendo assim sua qualidade genética.
O objetivo deste trabalho é sugerir um modelo com elementos matemáticos e computacionais para a simulação de tecidos celulares vivos em que se possa testar o papel das células-tronco na manutenção estrutural. Comparamos a capacidade de regeneração de tecidos vivos com e sem a introdução das células-tronco.
MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste trabalho são apresentados dois modelos: um deles sem a incorporação de células-tronco ao tecido e o outro com a incorporação das mesmas. No primeiro, variações na população celular podem acorrer apenas em função das mitoses e da mortalidade celular. Dessa forma, a dinâmica populacional de um tecido em que não há reposição de células num intervalo discreto de t para t + 1, pode ser descrita pelas equações de recorrência
0 0 0 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ( 1) (1 ) ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2 ( ) n n n n n H H H H H H H H H P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t β α β α α β α α β α α β α α β α − − − − − − − − − + = − − + = − − + + = − − + + = − − + + = − − + + = − + (1)
em que Pn(t) representa a população de
células no n-ésimo estágio de vida no tempo t. O estágio de vida de uma célula é determinado pelo número de mitoses acumuladas em sua linhagem. β representa a taxa de mortalidade celular e αn a taxa de
mitose para células no n-ésimo estágio (as taxas serão mantidas fixas durante o processo). H indica o limite de Hayflick e portanto é o estágio máximo que uma célula pode atingir.
As equações anteriores são incorporadas na equação matricial
0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 ( 1) 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) H H H H H H H P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t P t β α α β α α α β α α β − − − − − − − − − + = − − − + + + × = + + (2)
onde a matriz quadrada é chamada matriz de transição.
O modelo que introduz as células-tronco é baseado no anterior. No entanto utiliza células-tronco para incrementar a reposição celular quando a população total atinge níveis inferiores a uma determinada população crítica. O acréscimo de novas células diferenciadas à população, todas introduzidas no estágio 0, está diretamente relacionado ao número de células-tronco, ao déficit de células em relação à população crítica e ao parâmetro funcional específico de cada tipo celular. Assim, propomos a seguinte modificação da equação de evolução para P0(t): 0( 1) (1 0) ( )0 I P P t P t I β α γ − σ + = − − + (3)
onde temos γ representando o parâmetro funcional, I a população crítica, P a população total e σ o número de células-tronco. As populações nos estágios com n > 0 evoluem sem qualquer alteração em relação ao modelo anterior.
A equação matricial de evolução assume agora a forma
0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 ( 1) 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 ( ) ( 1) ( ) 0 ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) 0 ( ) 0 H H H H H P t I P P t P t I P t P t P t P t P t P t β α α β α α α β α α β γ σ − − − − − − − − + = − − − − + + + × + = 1( 1) ( 1) H H P t P t − + + (4)
Para a análise dos modelos foi construído um programa de simulação na linguagem PASCAL. O tecido celular virtual era formado por uma maioria de células especializadas que sofrem mitose obedecendo ao limite proliferativo de Hayflick, acrescido de uma pequena população fixa de células-tronco. Essas células-tronco agem sobretudo nos momentos críticos, garantindo o suprimento de células especializadas novas (com telômeros integrais). Como veremos, com a introdução de células-tronco os tecidos vivos virtuais ganham um período de sobrevivência estável muito mais longo e uma qualidade genética média muito melhor.
Além da importância de manter o um número de células suficiente para o tecido vivo, é essencial saber também sob quais condições essas células trabalham, ou seja, qual a qualidade genética das mesmas. A duplicação do material genético da célula-mãe, que acorre antes da mitose, por ser um processo complexo e minucioso carrega uma probabilidade de erro muito grande, o que pode ocasionar mutações nas células-filhas. Acredita-se que um dos motivos que levam uma célula a se tornar maligna é justamente o acúmulo de mutações em determinados genes. Vamos assumir que o número de mutações acumuladas em cada linhagem seja proporcional ao número de mitoses por que passou essa linhagem, dado por
1 0 H n n H n n n P M P = = × =
∑
∑
(5)com a qualidade genética Q da célula sendo dada por 1 Q M = (6) RESULTADOS E DISCUSSÃO
A simulação computacional mostra que há extinção da população celular para todos os casos em que não há introdução de células-tronco. Mesmo com taxas de mitose significativas, após cada intervalo de tempo o tecido terá uma população de células num estágio de vida mais avançado até que o limite de Hayflick seja atingido. Então as células não se dividem mais, mas continuam morrendo até que o tecido degenere. Quando a taxa de mortalidade é igual à taxa de mitose, há estabilidade do número de células durante um período, no entanto, passado este intervalo de tempo, a população decai rapidamente, até a total extinção (Figura 1). 0 1500 3000 4500 1 51 101 151 201 Iterações N º d e C é lu la s mortalidade 15% mortalidade 25% mortalidade 35% mortalidade 45%
Figura 1: Dinâmica populacional de células num tecido sem a ativação de células-tronco. Comparação entre taxas de mortalidade com taxa de mitose fixada em 15%. Em todos os casos há extinção da população de células.
O gráfico das taxas de mortalidade com a introdução de células-tronco (Figura 2) indica que, para todos os valores testados, há decaimento da população até se aproximar do nível crítico, mas a partir daí, entram em processo de estabilização. Quando o nível crítico é atingido, sinais bioquímicos são enviados e as células-tronco entram em processo de duplicação, seguida de diferenciação para suprir o déficit de células no tecido. As novas células adicionadas à população ainda não sofreram nenhuma mitose e seus telômeros estão intactos, o que garante a qualidade e a renovação constante do tecido.
0 1500 3000 1 51 101 151 201 Iterações N º d e C é lu la s mortalidade 15% mortalidade 25% mortalidade 35% mortalidade 45%
Figura 2: Dinâmica populacional de células num tecido com a ativação de células-tronco. Comparação entre taxas de mortalidade com taxa de mitose fixada em 15%. Em todos os casos há estabilidade da população de células. População crítica igual a 1500 células.
O sistema apresenta um equilíbrio estável, no qual o débito de células mortas é compensado pelas células novas introduzidas via especialização de células-tronco recém-divididas e, em menor parte, pela mitose das células comuns.
A Figura 3 mostra gráficos do número de mitoses acumuladas e da qualidade genética do tecido em função do tempo (número de iterações) com e sem a ativação de células-tronco. À medida que o número de iterações aumenta, o número de mitoses no tecido sem células-tronco cresce e a qualidade genética diminui. Por outro lado, para o tecido com células-tronco, o número de mitoses e a qualidade genética das células tendem à estabilidade.
0 40000 80000 120000 1 21 41 Iterações (a) N º d e M it o s e s A c u m u la d a s SCT CCT 1 21 41 61 Iterações (b) Q u a li d a d e d a c é lu la SCT CCT
Figura 3: (a) Número de mitoses acumuladas versus número de iterações e (b) Qualidade da Célula versus número de iterações. No tecido sem células-tronco (SCT), o número de mitoses aumenta enquanto a qualidade da célula diminui. No tecido com célula-tronco (CCT), o número de mitose tende a se estabilizar assim como a qualidade da célula. Taxa de mitose 10%, taxa de mortalidade 20%.
A diminuição gradativa da qualidade genética do tecido evidenciada na Figura 3(b) mostra que a autenticidade das informações genéticas é decrescente com o tempo para o tecido sem células-tronco. Segundo De Pinho [2], os efeitos das mutações acumuladas combinados a outros fatores podem explicar o fato de o câncer apresentar crescimento exponencial em pessoas entre 40 e 80 anos. Além disso, Weinberg [6] sugere que os tecidos que sofrem grande perda celular e possuem altas taxas de mitose são mais susceptíveis ao câncer devido a mutações ocorridas durante a divisão celular. A inclusão de células-tronco no modelo conferiu estabilidade genética ao tecido celular. As células-tronco hipoteticamente não apresentam mutações em seus genes e não tiveram perda nos telômeros. Assim,
possuem integridade genética e como estão fazendo reposição constante no tecido, garantem sua qualidade.
CONCLUSÕES
Pode-se concluir, a partir das análises feitas, que o modelo é satisfatório para analisar o papel das células-tronco na manutenção de um tecido vivo. Tecidos celulares em que a reposição celular está restrita à mitose das células já diferenciadas terão um ciclo de vida muito mais curto, devido à crise telomérica que aciona o limite de Hayflick. Atualmente sabe-se que células-tronco somáticas desempenham um papel importante na reposição celular em tecidos adultos e, quando incluídas em nosso modelo, se tornam as principais responsáveis pela manutenção e regeneração do tecido.
A qualidade genética do tecido celular sem células-tronco decai no tempo. Por outro lado, tecidos com células-tronco mantêm sua estabilidade genética. Além de alongar o ciclo de vida, as células-tronco também concedem melhor qualidade de vida para o organismo, à medida que alguns dos efeitos nocivos do envelhecimento celular (ver De Pinho [2] e Weinberg [6]) são dessa forma minimizados.
Para trabalhos futuros um estudo cuidadoso deste modelo pode sugerir o acréscimo de variáveis e um refinamento que possibilitem uma análise sobre terapias utilizando células-tronco, além de avaliar a possibilidade de células se tornarem tumorais devido ao acúmulo de mutações genéticas. Assim poderemos propor um modelo que apresente a possibilidade de
desenvolvimento de tumores e permita a estimativa do tempo que isso levaria para ocorrer.
Os resultados teóricos em que esta modelagem se baseou foram constatados qualitativamente, o que valida o modelo tanto matemático quanto numérico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]. M. I. N. Cano, A vida nas pontas dos
cromossomos, Ciência Hoje, vol. 39, n. 223, pp. 16-23, (2006).
[2]. R. A. De Pinho, The age of cancer,
Nature, vol. 408, pp. 248-254, (2000).
[3]. L. C. Junqueira, J. Carneiro,
“Biologia Celular e Molecular”, 7 ed., Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 2001.
[4]. C. Soares, Manutenção Interna,
Scientific American Brasil, ed. Especial, pp. 64-68, (2005).
[5]. V. R. Souza, “Diferenciação celular e
interações celulares”. Disponível em http://www.icb.ufmg.br/mor/biocelch /diferenciacao/diferentaula.html. (Acesso: 30 jun. 2006).
[6]. R. A. Weinberg, “Uma célula
renegada: como o câncer começa”, Rocco, Rio de Janeiro, 2000.
