CENTRO UNIVERSITÁRIO DINÂMICA DAS CATARATAS CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA GEOVANE LOPES

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DINÂMICA DAS CATARATAS CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Missão: “Formar Profissionais capacitados, socialmente responsáveis e aptos a promoverem as transformações futuras”

GEOVANE LOPES

ANÁLISE DA APLICAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Foz do Iguaçu - PR 2019

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GEOVANE LOPES

Monografia, apresentada ao Curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário Dinâmica das Cataratas como requisito para obtenção do título de bacharel em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Me. Marcelo Henrique Manzke Brandt

Foz do Iguaçu - PR 2019

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L864a Lopes, Geovane

Análise da Aplicação de Estimação de Estados em Circuitos Eletrônicos Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados / Geovane Lopes - Foz do Iguaçu: UDC / 2019

Orientador: Me. Marcelo Henrique Manzke Brandt Trabalho de Conclusão de Curso (TCC)

Centro Universitário Dinâmica das Cataratas

1. Estimação de Estados. 2.Método dos Mínimos Quadrados. 3.Python

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GEOVANE LOPES

Monografia do trabalho de conclusão de curso para obtenção do título de Engenheiro Eletricista apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário Dinâmica das Cataratas, aprovado pela comissão julgadora:

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DEDICATÓRIA

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AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a Deus, pelas oportunidades dadas a mim para concluir mais esse objetivo.

Agraço aos meus pais Antonio Darques Barbosa Lopes e Maria Aparecida Kurten, e também à minha irmã Patricia Risden pelos conselhos, amor e carinho.

Agradeço imensamente minha namorada Micheli Karine Vogelmann, pelo suporte e incentivo em momentos difíceis que passei durante esta trajetória.

Gostaria de agradecer também a todos os profissionais do Centro Universitário Dinâmica das Cataratas, especialmente aos professores que repassaram para mim e meus colegas seus conhecimentos, destacando os Professores Mestres Alessandro Arjona Alves e Fernando Marcos De Oliveira que propuseram o tema e auxiliaram de forma direta na execução deste trabalho.

Agradeço ao meu orientador, Professor Mestre Marcelo Henrique Manzke Brandt, por seu incentivo, conselhos e orientação.

Gostaria de agradecer também os amigos e colegas dissentes do Centro Universitário Dinâmica das Cataratas, pelo companheirismo construído durante a graduação.

Por fim, agradeço a todos os profissionais da saúde envolvidos na minha luta contra o câncer, que me deram auxilio fundamental para chegar até este momento.

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RESUMO

LOPES, Geovane. Análise da aplicação de estimação de estados em circuitos

eletrônicos utilizando o método dos mínimos quadrados. 2019. 70 f. TCC (Graduação) -

Curso de Engenharia Elétrica, Centro Universitário Dinâmica das Cataratas, Foz do Iguaçu, 2019.

O presente trabalho foi desenvolvido para analisar a utilização do processo de estimação de estados em circuitos eletrônicos, utilizando o método dos mínimos quadrados, processo que tem sua base histórica atrelada aos estudos de fluxo de potência, porém o método matemático escolhido pode ser aplicado apenas em sistemas sobredeterminados e linearizados, comportamento análogo aos sistemas eletrônicos puramente resistivos. Primeiramente foi desenvolvido o embasamento histórico e bibliográfico acerca da estimação de estados e do método dos mínimos quadrados, logo após, foram desenvolvidos sete circuitos práticos em laboratório, nos quais variou-se as tensões das fontes, a magnitude de resistências e a topologia dos circuitos, em seguida foram implementados algoritmos utilizando a linguagem de programação Python, para realizar a estimação de estados através das equações referentes ao método dos mínimos quadrados aplicados em circuitos elétricos. Foram realizadas análises comparativas, entre medições retiradas dos sete circuitos práticos. Os dados analisados, aliados com a bibliografia utilizada, mostram a eficácia deste método para os circuitos eletrônicos desenvolvidos, assim pode-se dizer que o método funciona para os circuitos eletrônicos puramente resistivos.

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ABSTRACT

LOPES, Geovane. Analysis of the state estimation application in electronic circuits

using the least squares method. 2019. 70 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia Elétrica,

Centro Universitário Dinâmica das Cataratas, Foz do Iguaçu, 2019

The present work was developed to analyze the use of the state estimation process in electronic circuits, using the least squares method, which has its historical basis linked to the power flow studies, but the mathematical method chosen can be applied only in overdetermined and linearized systems, behavior analogous to purely resistive electronic systems. Firstly, the historical and bibliographic basis for state estimation and least squares method was developed. Then, seven practical laboratory circuits were developed, in which the source voltages, the magnitude of resistances and the circuit topology were varied. Then, algorithms were implemented using the Python programming language, to perform state estimation through the equations referring to the least squares method applied to electrical circuits. Comparative analyzes were performed between measurements taken from the seven practical circuits. The data analyzed, combined with the bibliography used, show the effectiveness of this method for developed electronic circuits, so it can be said that the method works for purely resistive electronic circuits.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2-1 – O modelo pi. ... 11

Figura 2-2 – Ajuste de curvas. ... 19

Figura 3-1 – Demonstração da utilização do Visual Studio Code. ... 23

Figura 3-2 – Realização da medição de resistência. ... 24

Figura 3-3 – Demonstração prática do circuito 01 ... 26

Figura 3-4 – Topologia do circuito 01. ... 26

Figura 3-5 – Demonstração da alteração das tensões para o circuito 02. ... 27

Figura 3-7 – Demonstração da alteração das tensões para o circuito 03. ... 28

Figura 3-9 – Substituição das resistências para o circuito 04. ... 30

Figura 3-11 – Substituição prática das resistências para o circuito 05. ... 31

Figura 3-13 – Demonstração das medições para o circuito 06. ... 32

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LISTA DE TABELAS

Tabela 3-1 – Medidas hipotéticas e reais das resistências. ... 25

Tabela 3-2 – Medidas encontradas no circuito 01. ... 26

Tabela 3-9 – Resultados e erros para resistências hipotéticas. ... 37

Tabela 3-10 – Resultados e erros para resistências reais. ... 38

Tabela 3-11 – Comparações e cálculo de resíduos utilizando matrizes 𝐴. ... 39

Tabela 3-12 – Comparações e cálculo de resíduos utilizando matrizes 𝐴̂. ... 40

Tabela 4-1 – Erros percentuais dos circuitos 01, 02 e 03. ... 41

Tabela 4-2 – Erros percentuais dos circuitos 01, 04 e 05. ... 42

Tabela 4-3 – Erros percentuais dos circuitos 01 e 06. ... 42

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xvii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 Justificativa ... 2 1.2 Problemática ... 2 1.3 Objetivo ... 2 1.3.1 Objetivo Geral ... 2 1.3.2 Objetivos Específicos ... 2 1.4 Resultados Esperados ... 3 1.5 Estrutura do Trabalho ... 3 2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO ... 5 2.1 Contextualização Histórica ... 5

2.2 Conceituação dos estimadores de estados... 6

2.2.1 Conceitos básicos ... 6

2.2.2 Medidas ... 7

2.2.3 Observabilidade ... 8

2.3 O processo de estimação de estados ... 9

2.3.1 Processamento da topologia da rede ... 9

2.3.2 Análise e restauração da observabilidade ... 9

2.3.3 Solução da estimação de estados do sistema ... 9

2.3.4 Processamento dos erros grosseiros ... 9

2.4 Estimação de estados generalizada ... 10

2.5 O fluxo de potência ... 10

2.5.1 Topologia do fluxo de potência ... 10

2.5.2 Equações do fluxo de potência ... 11

2.5.3 Linearização do fluxo de potência ... 15

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2.6.1 Conceitos básicos do método dos mínimos quadrados ... 18

2.6.2 Método dos mínimos quadrados em circuitos elétricos ... 19

3 DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS ... 23

3.1 Algoritmos desenvolvidos ... 23

3.2 Circuitos práticos desenvolvidos ... 23

3.2.1 Topologias e medidas ... 25

3.2.2 Medidas estimadas e análises preliminares ... 34

4 ANÁLISES E COMPARAÇÕES ... 41

4.1 Matrizes de correlação com resistências hipotéticas e reais ... 41

4.2 Modificação dos valores de tensão ... 41

4.3 Modificação nos valores das resistências ... 42

4.4 Modificação de resistências e tensões ... 42

4.5 Modificação na topologia do circuito ... 43

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 45

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1 INTRODUÇÃO

O processo de estimação de estados no Sistema Elétrico de Potência (SEP) teve suas raízes advindas dos estudos de Schweppe, Wildes e Ro, que em 1969, trataram-no como um problema de mínimo quadrados ponderados (MONTICELLI, 1999). Com base nesses estudos e através de um constante avanço tecnológico, contando também com novas técnicas matemáticas, foram desenvolvidos novos conceitos importantes para a estimação de estados.

Atualmente, o SEP tende a ser interconectado, fato que o torna mais susceptível à problemas e dessa forma demandam maiores cuidados em sua operação (WU, MOSLEHI e BOSE, 2005), Sabendo disso, o monitoramento do sistema se tornou algo de suma importância para o mercado energético, sendo assim as medições nas barras do sistema são as variáveis de estado conhecidas de um sistema, denominadas de medidas, e é por meio do conhecimento dessas variáveis que se pode tomar providências para elevar a qualidade do fornecimento de energia (NASCIMENTO, 2008).

Um estimador de estados se trata de uma série de algoritmos que buscam fornecer, com a maior confiabilidade possível, as estimativas para as medidas desconhecidas (ABUR; EXPOSITO, 2004), e é importante saber que existem vários métodos para realização da estimação de estados dentre eles se encontra o método dos mínimos quadrados, que por sua vez pode ser relacionado matematicamente com a resolução do fluxo de potência linearizado, ou seja, um sistema só pode ser estimado por este método se for linear (MONTICELLI, 1999), Em contexto geral o processo de estimação de estados começa pelo processamento da topologia da rede, passa para a análise de observabilidade das barras do sistema, então é realizada a estimação do estado contando com que não existam erros grosseiros no sistema (COELHO, 2012).

A partir disso, é importante saber alguns conceitos básicos para o problema proposto, dentre eles pode-se destacar o conceito de modelo em tempo real, que é a representação matemática atual do sistema a partir da estimação ou conhecimento dos estados da rede (NASCIMENTO, 2008), sendo assim, é possível verificar que os estudos acerca da estimação de estados têm uma grande importância para determinar o comportamento do sistema e ainda apresenta a vantagem em utilizar menos unidades de medição, o que pode acarretar uma redução significativa nos custos da rede (FONSECA, 2014).

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1.1 Justificativa

A estimação de estados tornou-se tema deste trabalho de conclusão de curso devido à sua vasta utilidade nos ramos da engenharia elétrica, no transporte de energia nos sistemas elétricos de potência, por exemplo, contudo, com a intenção de realizar experimentos práticos em laboratório foram realizados estudos acerca deste tema em circuitos eletrônicos, já que as medições são de suma importância para esse tipo de sistema. Dessa forma, um aparato que consegue estimar variáveis de estado de um sistema é uma alternativa adequada para casos onde uma medição prática não seja possível, podendo representar uma grande vantagem para o controle de circuitos eletrônicos.

1.2 Problemática

O processo de estimação de estados está intimamente ligado aos estudos de fluxo de potência, principalmente no que se trata da redução nos custos para obter as medidas dos sistemas elétricos, já que os estimadores de estados podem atuar substituindo medidores, que tem um alto custo.

Afim de comprovar a utilidade da estimação de estados em circuitos eletrônicos de corrente contínua, pode-se desenvolver algoritmos que, utilizando um método matemático adequado, consigam estimar medidas importantes. O método dos mínimos quadrados aparenta ser adequado para estimar os estados em circuitos deste modelo.

1.3 Objetivo

1.3.1 Objetivo Geral

Este trabalho tem como objetivo principal demonstrar a utilidade do método dos mínimos quadrados para a estimação de estados em circuitos eletrônicos.

1.3.2 Objetivos Específicos

Realizar pesquisa bibliográfica relacionada à estimadores de estados; Descrever as etapas de desenvolvimento de um estimador de estados;

Demonstrar as equações necessárias para a implementação de um estimador de estados utilizando o método dos mínimos quadrados;

Implementação de algoritmos para estimação de estados utilizando o método dos mínimos quadrados;

Desenvolver de circuitos práticos para efeito comparativo;

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1.4 Resultados Esperados

Os resultados esperados após a conclusão deste trabalho são a demonstração da aplicabilidade do processo de estimação de estados utilizando o método dos mínimos quadrados em circuitos eletrônicos, comparando resultados obtidos em algoritmos com sistemas práticos desenvolvido em laboratório, além disso demonstrar também a importância de tal tema para o panorama atual da engenharia elétrica.

1.5 Estrutura do Trabalho

A estrutura do trabalho aqui apresentado foi dividida em ao menos 5 sessões, sendo 4 capítulos e as considerações finais, que serão descritas de maneira resumida a seguir.

O primeiro capítulo contem a introdução, os objetivos e a justificativa, salientando a importância do tema proposto.

O segundo capítulo apresenta o referencial teórico do trabalho que servira como base para o desenvolvimento dos próximos capítulos.

Os tópicos presentes no segundo capítulo tratam do histórico do sistema elétrico, conceitos básicos para o entendimento do tema, o passo-a-passo para realizar o processo de estimação de estados, características comuns dos estimadores de estados, descrição conceitual e matemática do fluxo de potência e de seu processo de linearização além da descrição do processo de estimação de estados utilizando o método dos mínimos quadrados.

O terceiro capítulo apresenta uma breve descrição dos algoritmos elaborados e demonstra os procedimentos realizados para o desenvolvimento dos circuitos práticos, que serviram como base para as análises no capítulo subsequente.

O quarto capítulo trata das análises retiradas a partir dos dados obtidos no capítulo anterior, comparando as medidas retiradas dos circuitos práticos e as estimativas retiradas dos algoritmos.

Em último lugar estão as considerações finais, demonstrando a eficácia do algoritmo desenvolvido e a importância do tema proposto.

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2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO

2.1 Contextualização Histórica

A engenharia elétrica vive constante evolução. Para poder entender a posição do estudo da estimação de estados cronologicamente e sua importância no panorama atual é importante demonstrar um breve histórico com acontecimentos importantes na história do estudo da eletricidade.

Existem importantes marcos históricos em relação ao setor energético, a descoberta da indução eletromagnética descoberta por Michael Faraday em 1831 é um clássico exemplo (DIAS, 2004).

Em 1878, Thomas A. Edison começou a trabalhar no conceito de uma estação centralizada de energia, para a distribuição de energia da famosa Pearl Street Station em Nova York, que foi terminada em 1979. (GLOVER, 2003).

O desenvolvimento de uma espécie de transformador primitivo realizado por Goulard e Gibbs, por volta de 1881, foi mais uma demonstração da revolução tecnológica que se iniciava (POMILIO, PAREDES E DECKMANN, 2013).

Em 1882, Thomas Edison foi responsável pela construção das primeiras usinas geradoras em corrente continua, já em 1886, ocorreu a transmissão de energia em corrente alternada pela primeira vez, desenvolvida por George Westhinghouse (FARIAS, 2011).

Em 1888, Nikola Tesla registrou a patente do motor de indução trifásico, também conhecido como motor assíncrono, que representou um grande desenvolvimento tecnológico por se tratar de um modelo com grandes vantagens, como uma construção mais simples e um custo reduzido (SILVEIRA, 2012).

Em 1897, Jhon Thomson descobriu que o conceito anteriormente conhecido como raios catódicos se tratava na realidade de uma partícula negativa, o qual foi denominado de elétron (MARTINS, 1990).

O Sistema Elétrico de Potência tem suas raízes baseadas nos estudos elétricos que antecedem o século XX, período no qual os sistemas de potência eram analisados localmente, conceitos como a geração, proteção e controle eram implementados isoladamente (NASCIMENTO, 2008).

Até a década de 1960, a evolução tecnológica e o progresso dos estudos acerca do setor elétrico, acarretaram em uma maior complexidade e interligação das redes e, consequentemente, a necessidade de novos processos para o controle e supervisão dos sistemas elétricos. (NASCIMENTO, 2008).

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A partir desse momento foram desenvolvidas centrais de controle, divididas em dois sistemas independentes, um deles se trata do controle supervisório SCADA (Supervisory

Control and Data Aquisition) que trata da aquisição, supervisão e do pré-processamento de

dados, já o segundo trata do controle da geração que procura estabilizar a frequência do sistema através do controle do despacho de carga. (NASCIMENTO, 2008).

Com o passar dos anos o SEP ficou ainda mais sofisticado e por isso foram necessárias novas formas mais ágeis e efetivas de proteção e operação, dessa maneira surgiu o controle de segurança, o qual tem a função de manter o funcionamento permanente do sistema (WU; MOSLEHI; BOSE, 2005).

Por volta da década de 1970 com a cada vez mais frequente sofisticação dos sistemas computacionais, dessa maneira se tornaram possíveis novas técnicas para melhorar ainda mais a qualidade e confiabilidade do SEP, foi nesse contexto que em que Schweppe, Wildes e Rom propuseram, em 1969, a estimação de estados como um problema de mínimos quadrados ponderados, que foi complementado por Krumpholz, Clements e Davis, que em 1980, desenvolveram o conceito de observabilidade topológica, que demandou uma abordagem numérica proposta por Monticelli e Wu em 1985 e nas próximas décadas os estudos de estimação de estados foi se tornando cada vez mais sofisticada (MONTICELLI, 1999).

A estimação de estados é de grande valia para o setor elétrico, pois propicia, em tempo real, a solução para o fluxo de potência a partir de operações matemáticas entre as variáveis de estado e as medidas do sistema (LOPES, 2008).

Dessa maneira é importante entender alguns conceitos dos estimadores de estado.

2.2 Conceituação dos estimadores de estados

2.2.1 Conceitos básicos

O processo de estimação de estados tem suas bases calcadas no fluxo de potência, dessa maneira existem conceitos importantes a serem entendidos.

A estimação de estados se trata da obtenção das variáveis de estado de um sistema elétrico de potência em tempo real, realizado através de uma série de procedimentos matemáticos redundantes nos quais são levados em consideração valores de potência ativa e reativa, correntes, módulos tensões e também seus fasores, além de características limitantes desse sistema (MONTICELLI, 1999).

O estado de um sistema elétrico é considerado estimado quando se conhece as medidas de tensão, tanto módulo quanto o ângulo em todas as barras do sistema (COSTA, 2008).

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possuem um custo elevado, o uso de um estimador de estados pode diminuir o número de medidores, acarretando assim em uma economia para o responsável pelo sistema em questão (FONSECA, 2014).

Estado de um sistema é o conjunto de informações que podem ser retiradas de um sistema elétrico, e conhecendo o estado de um sistema pode-se tomar decisões para elevar a qualidade e garantir a continuidade do fornecimento de energia (NASCIMENTO, 2008).

O conceito de tempo real pode ser descrito como uma representação matemática das informações que um sistema de potência apresenta no momento atual, essas informações são obtidas num determinado instante e a partir delas torna-se possível estimar os estados do sistema em questão (FARINES, FRAGA E OLIVEIRA, 2000).

Variáveis de estado podem ser definidas como o conjunto de grandezas que determinam e descrevem o estado de um sistema dinâmico (SALINAS, 1997). No caso de um sistema elétrico as variáveis de estado podem ser exemplificadas como as magnitudes de tensão e seu ângulo, sendo assim o objetivo de um estimador de estados é conhecer o maior número de variáveis de estado possíveis (ISMAIL NETO, 2017).

2.2.2 Medidas

As medidas são as atribuições de valores (magnitudes) numéricos para determinar características de um objeto ou sistema, fazendo com que a medição tenha um significado para os observadores, desde que exista um padrão predeterminado, permitindo-se assim que o observador consiga entender essa característica, possa utiliza-la em cálculos matemáticos, ou até mesmo consiga altera-la se necessário (BARBER, 1996)

No cálculo de estimações de estados podemos apontar dois conjuntos de variáveis de estados, as medidas e as pseudomedidas (ABUR; EXPÓSITO, 2004).

2.2.2.1 Medidas dos sistemas de potência

No processo de estimação de estados é necessário conhecer a tensão nodal (𝑉_𝑘) e seu ângulo (𝜃𝑘) na barra 𝑘, além disso da relação de transformação entre os transformadores (𝑇𝑘𝑚) e o ângulo de defasagem entre seu primário e seu secundário (MONTICELLI, 1999).

O estimador de estado realiza estimativas de variáveis de estados através de medições e pseudo-medições, o conjunto de medições engloba, além de 𝑉_𝑘 e θ_𝑘, o fluxo de potência ativa entre as barras (𝑃_𝑘𝑚) e o somatório dessas medições em um certo grupo de linhas (∑𝑃_𝑘𝑚) e a potência injetada ativa na barra 𝑘 (𝑃𝑘), além disso, dentro do conjunto das medições estão a potência reativa entre as barras (𝑄_𝑘𝑚) e o somatório dessa medição em um grupo de linhas

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(∑𝑄𝑘𝑚), além da potência reativa injetada na barra 𝑘 (𝑄𝑘), a magnitude (módulo) das correntes que flui entre as barras (│𝐼_𝑘𝑚│) e injetada na barra (│𝐼_𝑘│), além das grandezas de transformadores citadas anteriormente (MONTICELLI, 1999).

Tendo conhecimento de quais são as medidas de um sistema é importante saber que é possível dividir as medidas em: Medidas logicas, medidas analógicas e medidas virtuais (ABUR; EXPÓSITO, 2004).

Medidas lógicas consistem no estado dos disjuntores e chaves do sistema, medidas lógicas tem um comportamento simples e binário, aberto ou fechado (LOPES, 2008).

Medidas analógicas se tratam das magnitudes do fluxo de potência ativa e reativa nas linhas e as injeções de ´potência ativa e reativa nas barras do sistema (PEREIRA, 2005).

Medidas virtuais são aquelas que se espera de um determinado ponto do sistema, injeções de potência zero em barras passivas do sistema são um exemplo (LOPES, 2008).

2.2.2.2 Pseudomedidas dos sistemas de potência

O grupo das pseudomedidas é formado por valores que se deseja atingir, denominadas de “alvos”, o alvo da magnitude em uma barra 𝑘 (𝑉_𝑘𝑠𝑝) e o seu ângulo (θ_𝑘𝑠𝑝), o alvo de potência ativa que flui da barra 𝑘 para barra 𝑚 (𝑃_𝑘𝑚𝑠𝑝), a potência reativa limite na barra 𝑘 (𝑄_𝑘𝑙𝑖𝑚), o alvo de potência reativa entre as barras 𝑘 e 𝑚 (𝑄_𝑘𝑚𝑠𝑝), o alvo de magnitude que flui da barra 𝑘 para 𝑚 (𝐼_𝑘𝑚𝑠𝑝), a injeção (│𝐼_𝑘│)na barra 𝑘, a relação de transformação limite nos transformadores presentes entre as barras 𝑘 e 𝑚 (𝑎_𝑘𝑚𝑙𝑖𝑚), e o seu ângulo de defasagem limite (𝜑_𝑘𝑚𝑙𝑖𝑚) (MONTICELLI, 1999).

2.2.3 Observabilidade

O número, o tipo e a localização das medidas disponíveis no sistema são informações vitais para uma estimação de estados com alta confiabilidade. Dessa forma é imprescindível que se demonstre que o sistema analisado é observável ou não, um sistema é considerado observável quando existem medidas suficientes, distribuídas de forma correta, tornando possível a estimação de estados, é importante saber que se um estado é considerado observado quando se tem os valores de tensão em todas as barras do sistema, tanto a magnitude(𝑉_𝑘) quanto seu ângulo fasorial (θ𝑘) (MONTICELLI, 1999).

No estudo de estimação de estados existe a separação entre variáveis de estado constatadas, observáveis e não observáveis, as constatadas se tratam dos dados elétricos conhecidos do sistema, já as observáveis se tratam das variáveis de estado que podem ser identificadas após uma série de manipulações matemáticas, as não observáveis são as quais não

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se consegue estimar o estado (LANGNER, 2013).

Conhecendo a conceituação básica, as noções de medidas, pseudomedidas e o conceito de observabilidade pode-se desenvolver o processo de estimação de estados.

2.3 O processo de estimação de estados

Aplica-se o processo de estimação de estados, levando em consideração os valores conhecidos e buscando a resolução para o problema (PEREIRA, 2005). A ordem desse processo está descrita abaixo.

2.3.1 Processamento da topologia da rede

Trata-se da representação física do sistema, reconhecendo quais são e a localização das medidas do sistema, nessa etapa se define a topologia do sistema, porém é necessário dizer que na estimação de estados o modelo utilizado é o barra-ramal (MONTICELLI, 1999).

2.3.2 Análise e restauração da observabilidade

Após o reconhecimento da topologia da rede, a etapa da análise da observabilidade é responsável por verificar se o sistema é ou não observável a partir das medidas disponíveis (NASCIMENTO, 2008).

Se a condição de observabilidade não for atendida, verifica-se a possibilidade de substituir as medidas por pseudomedidas, em caso afirmativo o sistema pode ser considerado observável, além disso existe a técnica de ilhamento do sistema, onde se separam as partes observáveis ou não observáveis do sistema. (MONTICELLI, 1999).

2.3.3 Solução da estimação de estados do sistema

Nessa etapa se realizam as manipulações matemáticas necessárias para a determinação da melhor representação do estado do sistema elétrico em análise, encontrando a tensão complexa em todas as barras e informando os valores estimados ótimos dos componentes do sistema. (ABUR; EXPÓSITO, 2004).

2.3.4 Processamento dos erros grosseiros

Os erros na estimação de estados são, obviamente, um empecilho para a boa representação do sistema elétrico analisado, pois distanciam esse processo dos valores verdadeiros, dessa maneira é importante detectar e minimizar ou até mesmo eliminar os erros de forma que a estimação do estado do sistema fique o mais próximo o possível do sistema real, então após a eliminação ou atenuação dos erros deve-se repetir o processo de estimação de estados para esse sistema (MONTICELLI, 1999).

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2.4 Estimação de estados generalizada

Existem muitos métodos para a resolução da estimação de estados, porém características comuns para todos esses métodos, podem ser identificadas.

Considerando que o sistema analisado é trifásico e está perfeitamente balanceado pode-se simplifica-lo, reprepode-sentando-o como um sistema monofásico e as grandezas físicas do sistema são transcritas por unidade (𝑝𝑢), da mesma maneira que ocorre em analises de fluxo de potência (MONTICELLI, 1999).

O objetivo do estimador de estados é retornar com alta confiabilidade, ou seja, baixos níveis de erro, estimativas das variáveis de estado desconhecidas de um sistema, a partir de valores conhecidos (ABUR; EXPÓSITO, 2004).

A estimação de estados convencional utiliza-se de um modelo barra-ramo, no mesmo molde do estudo do fluxo de potência, para a parte observável de um sistema, desconsiderando dados redundantes e medições errôneas, afim de desenvolver uma estimativa confiável para variáveis de estados desconhecidas. (MONTICELLI, 1999).

2.5 O fluxo de potência

O estudo do fluxo de potência tem como grande objetivo verificar o comportamento de uma resposta numérica quanto aos valores de tensão e seus ângulos nas barras do sistema elétrico analisado, baseado em medidas de injeção de potência, magnitude de tensões e os parâmetros das linhas de transmissão e seus componentes (GLOVER, 2003).

2.5.1 Topologia do fluxo de potência

No cálculo do fluxo de potência é necessária uma padronização que possibilite a montagem de um conjunto de equações que retornam as magnitudes desejadas do sistema, para essa finalidade utiliza-se o modelo pi (𝜋) (MONTICELLI, 1983).

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Figura 2-1 – O modelo pi.

E

k

= V

k

e

jθk

I

km

1 : t

_km

E

p

I

pm

y

km

y

km

y

km

I

mk

E

_m

= V

_m

e

jθm

.

I

sh

I

p

y

sh

y

sh Fonte: Adaptado de Tecchio (2011).

No modelo pi tradicional são representadas duas barras, as barras 𝑘 e 𝑚 com as magnitudes de tensões (𝑉𝑘) e (𝑉𝑚) além dos ângulos (𝜃𝐾) e (𝜃𝑚), e, entre elas uma admitância (𝑌_𝑘𝑚), e duas admitâncias em derivação (shunt) com o mesmo valor (𝑦_𝑘𝑚𝑆𝐻) e (𝑦_𝑚𝑘𝑆𝐻), o transformador representado tem relação de transformação (𝑡_𝑘𝑚) e um ângulo de defasagem (𝜑𝑘𝑚) (TECCHIO, 2011).

Dessa maneira podemos determinar equações baseadas em analises de circuitos descritas por Tecchio (2011).

2.5.2 Equações do fluxo de potência

A tensão complexa na barra 𝑘 (𝐸_𝑘) é denotada por:

𝐸_𝑘 = 𝑣_𝑘𝑒𝑗𝜃𝑘 _(2.1)

Assim como a tensão complexa na barra 𝑚 (𝐸_𝑚) é denotada por:

𝐸𝑚 = 𝑣𝑚𝑒𝑗𝜃𝑚 (2.2)

A tensão complexa no secundário do transformador (𝐸_𝑝) é calculada por:

𝐸𝑝 = 𝑣𝑝𝑒𝑗𝜃𝑝 (2.3)

Onde 𝑉𝑝 é o modulo da tensão no secundário do transformador e 𝜃𝑝 é o seu ângulo. É importante saber que:

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𝜑_𝑘𝑚= |𝜃_𝑘− 𝜃_𝑝| (2.4)

𝜃_𝑘𝑚 = 𝜃_𝑘− 𝜃_𝑚 (2.5)

A relação de transformação é demonstrada por: 𝑡_𝑘𝑚 =𝐸𝑝

𝐸𝑘

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A equação de corrente entre as barras 𝑘 e 𝑚 (𝐼_𝑘𝑚) é descrita por: 𝐼_𝑘𝑚= 𝑎_𝑘𝑚2 𝐸_𝑘(𝑌_𝑘𝑚+ 𝑌_𝑘𝑚𝑠ℎ) − 𝑡_𝑘𝑚∗ 𝐸_𝑚𝑌_𝑘𝑚

(2.7) Onde:

𝑎_𝑘𝑚 = 𝑉𝑝

𝑉_𝑘 _(2.8)

Com base nessas equações é possível verificar as equações de potência ativa e reativa entre as barras 𝑘 e 𝑚.

𝑃_𝑘𝑚 = 𝑎_𝑘𝑚2 𝑉_𝑘2(𝑔_𝑘𝑚+ 𝑔_𝑘𝑚𝑠ℎ) − 𝑎_𝑘𝑚𝑉_𝑘𝑉_𝑚[𝑔_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚+ 𝜑_𝑘𝑚)

+ 𝑏𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚+ 𝜑𝑘𝑚)] (2.9)

𝑄𝑘𝑚= −𝑎𝑘𝑚2 𝑉𝑘2(𝑏𝑘𝑚+ 𝑏𝑘𝑚𝑠ℎ) + 𝑎𝑘𝑚𝑉𝑘𝑉𝑚[𝑏𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚+ 𝜑𝑘𝑚)

− 𝑔_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚+ 𝜑_𝑘𝑚)] (2.10)

Essas equações denotam o fluxo do potência entre as barras, porém para conhecer a corrente injetada na barra 𝑘 (𝐼_𝑘), para isso utiliza-se a lei das correntes de kirchoff, que diz que a corrente (𝐼𝑘) é a soma das correntes que saem dessa barra.

𝐼_𝑘 = 𝐼_𝑘𝑠ℎ+ ∑ 𝐼_𝑘𝑚 𝑚∈𝛺𝑘

(2.11)

Onde 𝐼_𝑘𝑠ℎ é a barra em derivação da barra 𝑘 e 𝛺𝑘 é o conjunto das barras que se ligam a barra 𝑘.

(33)

13 𝐼𝑘 = 𝑌𝑘𝑘𝐸𝑘+ ∑ 𝑌𝑘𝑚𝐸𝑚 𝑚∈𝛺𝑘 = ∑ 𝑌𝑘𝑚𝐸𝑚 𝑚∈𝐾 (2.12)

Onde 𝐾 é a soma de todas as barras conectadas com a barra 𝑘 incluindo ela mesma. Ou seja,

𝐾 = 𝑘 + 𝛺𝑘 (2.13)

Além disso, temos:

{

𝑌_𝑘𝑘 = 𝑌_𝑘𝑠ℎ+ ∑ 𝑎_𝑘𝑚2 (𝑦_𝑘𝑚+ 𝑦_𝑘𝑚𝑠ℎ) 𝑚∈𝛺𝑘

𝑌𝑘𝑚 = −𝑦𝑘𝑚𝑡𝑘𝑚∗ = 𝐺𝑘𝑚+ 𝑗𝐵𝑘𝑚

(2.14)

Nessas equações 𝑌𝑘𝑚 é chamada de matriz de admitância nodal.

As potências, ativa e reativa injetadas na barra 𝑘 são calculadas a partir de: 𝑃_𝑘 = 𝑉_𝑘 ∑ 𝑉_𝑚 𝑚∈𝐾 [𝐺_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚) + 𝐵_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚)] _(2.15) 𝑄𝑘 = 𝑉𝑘 ∑ 𝑉𝑚 𝑚∈𝐾 [𝐺𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚) − 𝐵𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)] _(2.16)

A matriz de admitância nodal pode ser decomposta em sua parte real e imaginaria como:

{ 𝐺_𝑘𝑘 = 𝑔_𝑘𝑠ℎ+ ∑ [𝑎_𝑘𝑚2 𝑔_𝑘𝑚+ 𝑔_𝑘𝑚𝑠ℎ] 𝑚∈𝛺𝑘 𝐺_𝑘𝑚 = −𝑎_𝑘𝑚[𝑔_𝑘𝑚cos(𝜑_𝑘𝑚) + 𝑏_𝑘𝑚sin(𝜑_𝑘𝑚)] (2.17) { 𝐵𝑘𝑘 = 𝑏𝑘 𝑠ℎ _{+ ∑ [𝑎} 𝑘𝑚 2 _𝑏 𝑘𝑚+ 𝑏𝑘𝑚𝑠ℎ ] 𝑚∈𝛺𝑘 𝐵𝑘𝑚= −𝑎𝑘𝑚[𝑏𝑘𝑚cos(𝜑𝑘𝑚) − 𝑔𝑘𝑚sin(𝜑𝑘𝑚)] (2.18)

As equações expressas acima são essenciais para o estudo do fluxo de potência do para um sistema elétrico pois relacionam as potencias injetadas na barra 𝑘 𝑃_𝑘 e 𝑄_𝑘 com o fluxo de potencia presente nas linhas conectadas à barra, contudo, quando o estudo do fluxo de potência é realizado existem medidas conhecidas e as incógnitas em cada uma das barras do sistema, dessa maneira é importante demonstrar os tipos de barras que podem ser encontradas nesse

(34)

14

estudo.

As barras de carga ou barra 𝑃𝑄 é aquela em que se conhecem os valores de potência ativa (𝑃_𝑘) e reativa (𝑄_𝑘) injetadas na barra 𝑘, dessa maneira podemos considerar que as incógnitas nas barras de carga são a magnitude da tensão na barra 𝑘 (𝑉_𝑘) seu ângulo (𝜃_𝑘) (MURTY, 2017).

As barras de geração, também denominada de barra 𝑃𝑉, tem como valores conhecidos a potência ativa injetada (𝑃_𝑘) na barra 𝑘 e o modulo da tensão nessa barra (𝑉_𝑘), assim as incógnitas do sistema são a potência injetada reativa (𝑄_𝑘) e o ângulo da tensão (𝜃_𝑘). (GLOVER, 2003).

A barra de referência, ou barra 𝑉𝜃, se destaca das demais, pois, como seu nome indica ela serve como referência para todo o sistema, dessa maneira é necessária a existência de uma barra de referência no sistema, nesse modelo de barra é conhecido o modulo (𝑉𝑘) e o ângulo (𝜃_𝑘), assim as incógnitas são as potencias injetadas ativa (𝑃_𝑘) e reativa (𝑄_𝑘) (KOTHARI; NAGRATH, 1989).

Outro conceito de extrema importância decorre de que as potências injetadas nas barras do sistema são, geralmente, fornecidas na forma de potências geradas, ativas (𝑃_𝑔𝑘) e reativa (𝑄_𝑔𝑘), ou na forma de potências consumidas, ativas (𝑃_𝑙𝑘) e reativas (𝑄_𝑙𝑘) (GLOVER, 2003).

Tendo isso em mente comenta-se: {_𝑄𝑃𝑘 = 𝑃𝑔𝑘− 𝑃𝑙𝑘

𝑘 = 𝑄𝑔𝑘− 𝑄𝑙𝑘 (2.19)

Conhecendo as equações para o cálculo do fluxo de potência, deve-se utilizar de artifícios matemáticos para a solução do sistema, para essa finalidade são utilizados os métodos numéricos, já que o sistema exposto no fluxo de potência é não linear. O método de Newton-Raphson é o mais utilizado, o qual se utiliza de uma matriz jacobiana para sua resolução.

A matriz jacobiana é demonstrada a seguir:

𝐽(𝑥) = [ 𝜕𝛥𝑃 𝜕𝜃 𝜕𝛥𝑃 𝜕𝑉 𝜕𝛥𝑄 𝜕𝜃 𝜕𝛥𝑄 𝜕𝑉 ] (2.20) Onde,

(35)

15 𝜕𝛥𝑃_𝑘 𝜕𝜃𝑚 = { 𝑉𝑘𝑉𝑚(𝐺𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚)−𝐵𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑠𝑒 𝑘 ≠ 𝑚 −𝑉_𝑘2𝐵_𝑘𝑘− 𝑉_𝑘 ∑ 𝑉_𝑚(𝐺_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚)−𝐵_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚)) , 𝑚∈𝐾 𝑠𝑒 𝑘 = 𝑚 (2.21) 𝜕𝛥𝑃𝑘 𝜕𝑉_𝑚 = { 𝑉𝑘(𝐺𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)+𝐵𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑠𝑒 𝑘 ≠ 𝑚 𝑉𝑘𝐺𝑘𝑘+ ∑ 𝑉𝑚(𝐺𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)+𝐵𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑚∈𝐾 𝑠𝑒 𝑘 = 𝑚 (2.22) 𝜕𝛥𝑄_𝑘 𝜕𝜃𝑚 = { −𝑉_𝑘𝑉_𝑚(𝐺_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚)+𝐵𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑠𝑒 𝑘 ≠ 𝑚 −𝑉_𝑘2𝐺_𝑘𝑘+ 𝑉_𝑘 ∑ 𝑉_𝑚(𝐺_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚)+𝐵_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚)) , 𝑚∈𝐾 𝑠𝑒 𝑘 = 𝑚 (2.23) 𝜕𝛥𝑄_𝑘 𝜕𝑉_𝑚 = { 𝑉𝑘(𝐺𝑘𝑚sin(𝜃𝑘𝑚)−𝐵𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑠𝑒 𝑘 ≠ 𝑚 −𝑉_𝑘𝐵_𝑘𝑘 − 𝑉_𝑘 ∑ 𝑉_𝑚(𝐺_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚)−𝐵𝑘𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)) , 𝑚∈𝐾 𝑠𝑒 𝑘 = 𝑚 (2.24)

2.5.3 Linearização do fluxo de potência

Quando se discute o fluxo de potência ativa de uma linha de transmissão pode-se notar sua relação proporcional com a abertura angular na linha, que pode ser analogamente comparada com a relação entre o fluxo de corrente e queda de tensão em um circuito de corrente continua. Essa característica permite a representação de um sistema de corrente alternada por um modelo aproximado denominado de fluxo de carga CC com uma boa precisão, lembrando que a precisão é maior para níveis de tensão maiores (MONTICELLI, 1983).

A grande vantagem da linearização do fluxo de carga é a baixa exigência computacional, contudo, esse método não leva em consideração a relação de transformação dos transformadores, as magnitudes de tensão e nem mesmo a potência reativa do sistema.

Uma das formas de simplificar a equação (2.9) é desconsiderando os elementos transformadores da linha, como descrito por Monticelli (1983), podemos retirar a relação de transformação 𝑎𝑘𝑚 e o ângulo de defasagem do transformador 𝜑𝑘𝑚 da equação dizer que:

𝑃_𝑘𝑚 = 𝑉_𝑘2𝑔_𝑘𝑚− 𝑉_𝑘𝑉_𝑚𝑔_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚) − 𝑉_𝑘𝑉_𝑚𝑏_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚) (2.25)

Então tomando como referência a barra 𝑚 temos o fluxo de potência ativa 𝑃_𝑚𝑘, que é o fluxo oposto à 𝑃𝑘𝑚:

𝑃_𝑚𝑘 = 𝑉_𝑚2_𝑔

(36)

16

Dessa maneira é possível determinar as perdas como a soma das potências que fluem nos dois sentidos da linha:

𝑃_{𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠} = 𝑃_𝑘𝑚+ 𝑃_𝑚𝑘 = 𝑔_𝑘𝑚(𝑉_𝑘2+ 𝑉_𝑚2_{− 2𝑉}

𝑘𝑉𝑚cos(𝜃𝑘𝑚)) (2.27)

Sabendo que a condutância 𝑔_𝑘𝑚 é infimamente menor que a susceptância 𝑏_𝑘𝑚 é possível desconsidera-la para simplificação, assim temos:

𝑃_𝑘𝑚= −𝑃_𝑚𝑘 = −𝑉_𝑘𝑉_𝑚𝑏_𝑘𝑚sen(𝜃_𝑘𝑚) (2.28)

Sabendo que nos sistemas de fornecimento de energia o modulo das tensões nas barras estão próximas de 1,0 𝑝𝑢, pode-se adotar a hipótese que os módulos da tensão das barras do sistema analisado estão próximos a unidade (BUENO; LYRA FILHO; CAVELUCCI, 2003).

Dessa maneira:

𝑉𝑘≅ 𝑉𝑚 ≅ 1,0 𝑝𝑢 (2.29)

Nos sistemas de potência a abertura angular próxima a zero é necessária para garantir a estabilidade do sistema (FRANCISCO, 2005).

Assim pode-se considerar:

sen(𝜃_𝑘𝑚) ≅ 𝜃𝑘𝑚 (2.30)

Como a resistência se aproxima de zero, podemos dizer que a susceptância pode ser descrito como:

𝑏_𝑘𝑚= −1

𝑥_𝑘𝑚 (2.31)

Então pode-se dizer que o fluxo 𝑃_𝑘𝑚 pode ser descrito como: 𝑃_𝑘𝑚 =𝜃𝑘− 𝜃𝑚

𝑥_𝑘𝑚 (2.32)

Reaplicando o conceito da relação de transformação 𝑎𝑘𝑚 e o defasamento 𝜑𝑘𝑚 temos então:

𝑃_𝑘𝑚= 𝑎_𝑘𝑚𝜃𝑘𝑚+ 𝜑𝑘𝑚

𝑥_𝑘𝑚 (2.33)

(37)

17

Como descrito anteriormente, a injeção de potência na barra 𝑘 𝑃𝑘é a soma dos fluxos que saem para outras barras m, dessa maneira é possível dizer que:

𝑃_𝑘 = ∑ 𝑥_𝑘𝑚−1𝜃_𝑘𝑚 𝑚∈𝛺𝑘

(2.34)

Essa equação pode ser representada matricialmente por:

𝑃 = 𝐵′𝜃 (2.35)

Onde:

𝑃 é o vetor da potência liquida injetada nas barras.

𝜃 é o vetor das dos ângulos das tensões nodais nas barras.

𝐵′ é a matriz de admitância nodal em quais os elementos podem ser calculados por: 𝐵′_𝑘𝑚= ∑ −𝑥_𝑘𝑚−1 𝑚∈𝛺𝑘 (2.36) 𝐵′𝑘𝑘 = ∑ 𝑥𝑘𝑚−1 𝑚∈𝛺𝑘 (2.37)

A soma dos componentes de 𝑃 é nula, dessa maneira a potência injetada em uma das barras pode ser obtida a partir da soma algébrica das demais, dessa maneira tem-se que eliminar a uma das equações de uma das barras do sistema e a adota como referência, onde 𝜃𝑘 = 0 assim o sistema passa a ter dimensão 𝑁𝐵 − 1, onde 𝑁𝐵 é o numero de barras do sistema (MONTICELLI, 1983)

O sistema linearizado tem como grande atrativo a sua simplicidade matemática dessa forma é possível solucionar problemas complexos por um método análogo à resolução de circuitos simples (MONTICELLI, 1983).

Reconsiderando a equação 𝑃_𝑘 com as tensões nodais aproximando-se de 1,0 𝑝𝑢, temos: 𝑃_𝑘 = 𝐺_𝑘𝑘+ ∑ [𝐺_𝑘𝑚cos(𝜃_𝑘𝑚)

𝑚∈𝐾

+ 𝐵_𝑘𝑚sin(𝜃_𝑘𝑚)] _(2.38)

Tendo em vista que:

(38)

18

𝐺𝑘𝑘 = ∑ 𝑔𝑘𝑚 𝑚∈𝐾

(2.40)

𝐵_𝑘𝑚≅ 𝑥_𝑘𝑚−1 (2.41)

Pode-se afirmar que:

𝑃𝑘 = ∑ 𝐺𝑘𝑚(1 − cos(𝜃𝑘𝑚) 𝑚∈𝐾

+ ∑ 𝑥_𝑘𝑚−1 𝑚∈𝐾

sin(𝜃𝑘𝑚)] _(2.42)

As perdas de transmissão na linha entre as barras 𝑘 e 𝑚 são expressas por:

𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 = 𝑃_𝑘𝑚+ 𝑃_𝑚𝑘= 𝑔_𝑘𝑚𝜃_𝑘𝑚2 (2.43)

Levando em consideração as perdas temos a equação matricial:

𝑃 + 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 = 𝐵′𝜃 (2.44)

2.6 Método dos mínimos quadrados

2.6.1 Conceitos básicos do método dos mínimos quadrados

A seguir serão apresentados brevemente conceitos básicos para o entendimento do método dos mínimos quadrados.

2.6.1.1 Origem do método dos mínimos quadrados

O método dos mínimos quadrados advém do estudo das ciências estatísticas de valores máximos e mínimos de funções práticas (ESPINDOLA, 2014).

Em 1805 o método dos mínimos quadrados foi publicado pela primeira vez por Adrien Marie Legendre que é considerado pai desse método, juntamente com Carl Friedrich Gauss (ROONEY, 2012).

Observando os fenômenos, sejam eles naturais ou não, podem ser representados por curvas provenientes das equações das grandezas neles presentes, esses fenômenos podem ser determinísticos, nos quais a causa do fenômeno possibilita a determinar seu comportamento final, ou aleatórios, que não podem ser descritos a partir de sua causa (ALMEIDA, 2015).

2.6.1.2 Ajuste de curvas

O ajuste de curvas se trata da obtenção de uma curva que melhor descreve um fenômeno a partir de uma série de pontos conhecidos da função que descreve seu comportamento

(39)

19

(ALMEIDA, 2015).

A Figura a seguir descreve uma função que aproximasse do valor verídico de um fenômeno, que é descrito pelos pontos obtidos e registrados, dessa forma através de um processo de regressão linear obtém-se os resultados para estimar os valores verídicos.

Figura 2-2 – Ajuste de curvas.

Fonte: Adaptado de Almeida (2011).

2.6.2 Método dos mínimos quadrados em circuitos elétricos

O método dos mínimos quadrados é utilizado para a estimação de estados em um sistema linear, sobredeterminado, ou seja, com mais equações do que incógnitas. (MONTICELLI, 1999).

2.6.2.1 Topologia da rede

No método dos mínimos quadrados o processamento da topologia da rede relaciona o modelo barra-ramo do circuito com a lei das correntes de Kircchoff, através de uma matriz (𝐴) (MONTICELLI, 1999).

2.6.2.2 Observabilidade

Quando se trata da observabilidade no método dos mínimos quadrados consideramos 𝐴 uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas onde 𝑚 > 𝑛, para esse caso o sistema é dito observável (MONTICELLI, 1999).

2.6.2.3 Solução

Partindo da equação linear:

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

(40)

20

𝐴𝑥 = 𝑏 (2.45)

Onde 𝐴 é a matriz que relaciona a topologia do sistema com a lei das correntes de Kircchoff, 𝑥 é a matriz coluna dos dados a serem estimados e 𝑏 é a matriz coluna das medidas conhecidas.

Pode-se calcular o índice 𝐽(𝑥) pela equação expressa abaixo: 𝐽(𝑥) =1

2(𝑏 − 𝐴𝑥)′(𝑏 − 𝐴𝑥) (2.46)

Onde 𝐴′ é a matriz transposta de 𝐴.

Denominando de resíduo a diferença entre as medidas conhecidas e os estados estimados pré-multiplicados pela matriz 𝐴:

𝑟 = 𝑏 − 𝐴𝑥 (2.47)

Ou seja:

𝐽(𝑥) =1

2𝑟′𝑟 (2.48)

Onde 𝑟′ é a matriz transposta de 𝑟.

Dessa maneira pode-se notar que o índice 𝐽(𝑥) retorna um valor numérico que relaciona todos os resíduos.

Desse modo a solução pelo método dos mínimos quadrados é alcançada quando existe um valor mínimo de 𝑟:

𝐽(𝑥̂) = 𝑚𝑖𝑛 𝑟′𝑟

𝑥 (2.49)

Diferenciando 𝐽(𝑥) obtém-se as condições ótimas de primeira ordem: 𝜕𝐽(𝑥)

𝜕𝑥 = 𝐴

′_{𝐴𝑥̂ − 𝐴}′_{𝑏 = 0} _(2.50)

Dessa maneira pode-se concluir que:

𝐴′𝐴𝑥̂ = 𝐴′𝑏 (2.51)

(41)

21

𝐺 = 𝐴′𝐴 (2.52)

A pseudo-inversa de 𝐴 é dada por:

𝐴𝐼 _{= (𝐴}′_𝐴)−1_𝐴′_{= 𝐺}−1_𝐴′ _(2.53)

Assim, torna-se possível calcular o vetor de dados estimados por:

𝑥̂ = (𝐴′_𝐴)−1_𝐴′_{𝑏 = 𝐴}𝐼_𝑏 _(2.54)

Quando os estados 𝑥̂ deve-se determinar a matriz 𝐴𝑥̂, que é a matriz coluna dada pela multiplicação da matriz 𝐴 pela matriz coluna dos estados estimados 𝑥̂, e assim é possível calcular o resíduo, que indica o tamanho da diferença entre as medidas conhecidas e estimadas, pela equação:

(42)

(43)

23

3 DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS

A seguir serão demonstrados os resultados obtidos na montagem dos circuitos práticos e no algoritmo e assim, serão expostas análises acerca das comparações.

3.1 Algoritmos desenvolvidos

Os algoritmos desenvolvidos tratam do cálculo da estimação de estados em circuitos lineares, baseados nas equações descritas no item 2.6.2.3, utilizando a linguagem de programação Python.

Python foi a linguagem de programação escolhida, pois têm uma grande variedade de bibliotecas disponíveis, além de sua grande popularidade, o que facilita o acesso a informações disseminadas por usuários (LUIZ, 2017).

Para a elaboração, edição e execução dos algoritmos foi utilizado o software Visual Studio Code, que se trata de um editor de códigos, desenvolvido pela Microsoft, compatível com a linguagem de programação Python, utilizado para o desenvolvimento dos algoritmo presentes neste trabalho, pois se trata de um software livre e de código aberto (MICROSOFT, 2011).

Figura 3-1 – Demonstração da utilização do Visual Studio Code.

Fonte: Elaboração do autor (2019). 3.2 Circuitos práticos desenvolvidos

Nas experiencias práticas foram desenvolvidos sete circuitos, todos eles contando apenas com fontes e elementos resistivos, o que possibilita a utilização do método dos mínimos

(44)

24

quadrados para a estimação de estados.

As medições de corrente fluindo sobre os resistores foram calculadas com base nas leis de Kirchhoff, medindo-se a tensão sobre cada um dos resistores e também sua resistência, os valores reais das resistências diferem dos hipotéticos, essa diferenciação influi diretamente nas medidas de corrente, assim o primeiro passo para a identificação das medidas foi realizar as medições reais da resistência, como demonstra a Figura a seguir:

Figura 3-2 – Realização da medição de resistência.

Fonte: Elaboração do autor (2019).

Sendo assim fica evidente que existe significativa diferença entre os valores hipotéticos e reais das resistências, dessa maneira a tabela abaixo demonstra essa diferença:

(45)

25

Tabela 3-1 – Medidas hipotéticas e reais das resistências. Resistência hipotética (Ω) Resistencia Real (Ω) 1000 982 1000 971 1000 972 2200 2176 4700 4630

3.2.1 Topologias e medidas

Na seção a seguir serão demonstradas as topologias utilizadas e quais os valores medidos na experimentação prática.

O circuito 01 serve como base comparativa perante os demais circuitos, que passaram por modificações, no circuito 02 a tensão foi elevada, assim como no 03, onde a tensão foi ainda mais aumentada, para o circuito 04 foram substituídas as resistências, que foram rearranjadas para o circuito 05, no circuito 06 tanto a tensão quanto as resistências foram alteradas.

Os circuitos 01 até 06 foram construídos sobre a mesma topologia, já no circuito 07 foi desenvolvido sobre outra topologia, o que pode demonstrar a influência dessa característica do circuito para a estimação de estados.

3.2.1.1 Circuito 01

O primeiro circuito serve como referência para comparação com os demais, dessa forma as análises realizadas se basearam não somente no cálculo dos resíduos e de erros, mas também nos comparativos dos demais circuitos com ele.

A topologia escolhida se trata de uma adaptação de um circuito disponível em (Monticelli, 1999), essa adaptação foi realizada para facilitar a implementação prática do circuito em questão.

Por meio da figura a seguir pode-se verificar a realização da montagem prática do circuito 01, no qual as tensões 𝑉1 = 3,5 𝑉 e 𝑉2 = 1,2 𝑉:

(46)

26

Figura 3-3 – Demonstração prática do circuito 01

A topologia do circuito 01 está representada abaixo:

Figura 3-4 – Topologia do circuito 01.

982 Ω 971 Ω 972 Ω V1 V2 GND I1 2,31 mA I2 3,59 mA I3 1,25 mA R1 R2 R3

Através da tabela abaixo pode-se verificar as medidas encontradas no circuito 01:

Tabela 3-2 – Medidas encontradas no circuito 01.

Resistores Tensão (V) Resistência (Ω) Corrente

calculada (mA)

R1 2,267 982 2,30855397

R2 3,489 971 3,59320288

R3 1,22 972 1,25514403

(47)

27

3.2.1.2 Circuito 02

O presente circuito tem topologia idêntica ao primeiro circuito, porém os valores das tensões sobre os resistores foram aumentados para que se possa analisar quais são os impactos da alteração desses valores no processo de estimação de estados, por meio da Figura abaixo, é possível enxergar a alteração nos valores de tensão, assim observa-se 𝑉1 = 5,2 𝑉 e 𝑉2 = 3,2 𝑉:

Figura 3-5 – Demonstração da alteração das tensões para o circuito 02.

A topologia do circuito 02 está representada abaixo:

982 Ω 971 Ω 972 Ω V1 V2 GND I1 1,99 mA I2 5,35 mA _{3,3 mA}I3 R1 R2 R3

(48)

28

calculada (mA)

R1 1,958 982 1,99389002

R2 5,200 971 5,35530381

R3 3,206 972 3,29835391

3.2.1.3 Circuito 03

O circuito em questão também tem topologia idêntica aos anteriores, porém para uma melhor compreensão da influência das correntes na estimação das tensões, as tensões das fontes foram extrapoladas para valores ainda maiores, 𝑉1 = 8,5 𝑉 e 𝑉2 = 3,5 𝑉 com o mesmo objetivo da alteração anterior, ou seja, verificar se a alteração da tensão irá influenciar diretamente na qualidade do processo de estimativa, essa nova modificação é demonstrada por meio da próxima Figura:

Figura 3-7 – Demonstração da alteração das tensões para o circuito 03.

(49)

29

Através da tabela a seguir demonstra-se os valores medidos no circuito 03:

calculada (mA)

R1 5,052 982 5,14460285

R2 8,5 971 8,75386200

R3 3,375 972 3,47222222

3.2.1.4 Circuito 04

Nesse circuito os valores de tensão foram restaurados para os mesmos do circuito 01(𝑉1 = 3,5 𝑉 e 𝑉2 = 1,2 𝑉), porém os valores de resistência foram alterados, para verificar se haverá diferença na estimação de estados para circuitos com resistências diferentes, como demonstrado na Figura abaixo:

(50)

30

Figura 3-9 – Substituição das resistências para o circuito 04.

A topologia do circuito 04 está demonstrado abaixo:

972 Ω 2176 Ω 4630 Ω V1 V2 GND I1 2,33 mA I2 1,60 mA I3 0,26 mA R1 R2 R3

As medidas encontradas no circuito 04 estão presentes na próxima tabela:

calculada (mA)

R1 2,267 972 2,33230453

R2 3,489 2176 1,60340073

R3 1,22 4630 0,26349892

(51)

31

3.2.1.5 Circuito 05

Mais uma vez os valores de resistência foram alterados para este circuito, podendo assim reafirmar a influência dos valores das resistências no processo de estimação de estados, como demonstrado na Figura abaixo:

Figura 3-11 – Substituição prática das resistências para o circuito 05.

A topologia do circuito 05 está expressa por meio da Figura subsequente:

(52)

32

calculada (mA)

R1 2,267 2176 1,04181985

R2 3,489 4630 0,75356371

R3 1,22 972 1,25514403

3.2.1.6 Circuito 06

No presente circuito os valores de tensão sobre os resistores foram alterados em relação ao circuito anterior, fazendo com que seja diferente do primeiro circuito não somente no valor das resistências, quanto nas tensões das fontes (𝑉1 = 5,2 𝑉 e 𝑉2 = 3,2 𝑉), aliando os dois aspectos analisados anteriormente, por meio da Figura abaixo demonstra-se a implementação pratica desse circuito:

Figura 3-13 – Demonstração das medições para o circuito 06.

(53)

33

A tabela representada abaixo expõe as medidas do circuito 06:

calculada (mA)

R1 1,958 972 2,01440329

R2 5,2 2176 2,38970588

R3 3,206 4630 0,69244060

3.2.1.7 Circuito 07

O presente circuito tem valor de resistências diferentes do circuito 01, porém os valores de tensão foram escolhidos para ter correntes extremamente próximas aos valores do circuito de referência, dessa maneira tornou-se necessária a inserção de uma fonte em serie com o resistor 𝑅1, alterando-se assim a topologia do circuito.

(54)

34

972 Ω 2176 Ω 4630 Ω V1 V2 GND I1 2,26 mA I2 3,56 mA _{1,25 mA}I3 11,5 V R1 R2 R3 E

As medidas do circuito 07 estão demonstradas na tabela a seguir:

calculada (mA)

R1 2,194 972 2,25720165

R2 16,483 4630 3,56004320

R3 2,73 2176 1,25459559

3.2.2 Medidas estimadas e análises preliminares

A matriz 𝐴 baseia-se nas topologias de cada um dos circuitos e as correlacionam com as com as medidas elétricas a partir das leis de Kirchhoff, dessa maneira foram obtidos os referidos valores para cada um dos circuitos, dessa maneira foram estimados estados de duas maneiras, na primeira forma, foram utilizadas as resistências hipotéticas para calcula-la, a segunda forma foram utilizadas as resistências reais, cujos valores estão presentes na tabela 3-1.

As tensões 𝑉1 e 𝑉2 podem ser estimadas com base na topologia dos circuitos e no valor das correntes calculadas utilizando o método dos mínimos quadrados, executando os algoritmos de cada um dos circuitos são expressas as tensões 𝑉1 e 𝑉2.

3.2.2.1 Matrizes de Correlação

Para testar se existe influência dos valores da matriz de correlação no processo de estimação de estados foram realizados dois tipos de cálculos, o primeiro utilizando valores hipotéticos, e posteriormente valores reais, das resistências.

(55)

35

A matriz de correlação 𝐴̂ para os circuitos 01, 02 e 03 utilizando as resistências hipotéticas é expressa por:

𝐴̂(01) = 𝐴̂(02) = 𝐴̂(03) = [

0,001 −0,001

0,001 0

0 0,001

] (3.1)

Quando utilizadas as resistências reais dos circuitos 01, 02 e 03, a matriz 𝐴 é denotada por: 𝐴(01) = 𝐴(02) = 𝐴(03) = [ 0,00101833 −0,00101833 0,00102987 0 0 0,00102881 ] (3.2)

Para os circuitos 04 e 06 a matriz 𝐴̂ é dada por: 𝐴̂(04) = 𝐴̂(06) = [

0,001 −0,001

0,00045454 0

0 0,00021277

] (3.3)

A matriz 𝐴 dos circuitos 04 e 06, para as resistências reais é: 𝐴(04) = 𝐴(06) = [

0,00102881 −0,00102881

0,00045956 0

0 0,00021598

] (3.4)

As matrizes 𝐴̂ (para valores de resistores hipotéticos) e 𝐴 para valores de resistores reais), para o circuito 05 são respectivamente:

𝐴̂(05) = [ 0,00045454 −0,00045454 0,00021277 0 0 0,001 ] (3.5) 𝐴(05) = [ 0,00045956 −0,00045956 0,00021598 0 0 0,00102881 ] (3.6)

Para o circuito 07 as matrizes 𝐴̂ e 𝐴 são respectivamente:

𝐴̂(07) = [ 0,001 −0,001 −0,001 0,00021277 0 0 0 0,00045454 0 0 0 1 ] (3.7)

(56)

36 𝐴(07) = [ 0,00102881 −0,00102881 −0,00102881 0,00021598 0 0 0 0,00045956 0 0 0 1 ] (3.8) 3.2.2.2 Tensões Estimadas

As tensões 𝑉̂1 e 𝑉̂2, foram estimadas para os 7 circuitos, no último circuito a fonte 𝐸 é utilizada como medida conhecida e também como medida estimada, fato que auxilia na verificação da funcionalidade de seu algoritmo e possibilita o uso do método dos mínimos quadrados, já que o número de medidas conhecidas deve ser maior que o número de medidas estimadas.

Para demonstrar a eficácia do processo de estimação de estados foram calculados os erros 𝜀1, que representa diferença do valor estimado para a tensão da fonte 𝑉1, 𝜀2, que representa o mesmo para a fonte 𝑉2 e 𝜀𝐸 presente apenas no ultimo circuito pois representa o erro na estimativa da tensão da, cujas equações estão descritas abaixo:

𝜀1 = |𝑉1 − 𝑉1̂ | (3.9)

𝜀2 = |𝑉2 − 𝑉2̂ | (3.10)

𝜀𝐸 = |𝐸 − 𝐸̂| (3.11)

No primeiro caso tem-se as tensões estimadas utilizando-se das matrizes 𝐴̂ que foram montadas a partir dos valores hipotéticos de resistência, como demonstrado na tabela a seguir:

(57)

37

Tabela 3-9 – Resultados e erros para resistências hipotéticas.

Circuitos Resultados conhecidos [𝒙] Resultados estimados [𝑥̂] Erro de estimativa [𝜀] Circuito 01 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,583368 𝑉2̂ = 1,264979 𝜀1 = 0,083368 𝜀2 = 0,064979 Circuito 02 𝑉1 = 5,2 𝑉2 = 3,2 𝑉1̂ = 5,334284 𝑉2̂ = 3,319374 𝜀1 = 0,134284 𝜀2 = 0,119374 Circuito 03 𝑉1 = 8,5 𝑉2 = 3,5 𝑉1̂ = 8,708183 𝑉2̂ = 3,517901 𝜀1 = 0,208183 𝜀2 = 0,017901 Circuito 04 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,534983 𝑉2̂ = 1,204227 𝜀1 = 0,034983 𝜀2 = 0,004227 Circuito 05 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,487417 𝑉2̂ = 1,220069 𝜀1 = 0,046021 𝜀2 = 0,054951 Circuito06 𝑉1 = 5,2 𝑉2 = 3,2 𝑉1̂ = 5,259354 𝑉2̂ = 3,245363 𝜀1 = 0,059354 𝜀2 = 0,045363 Circuito 07 𝑉1 = 16,5 𝑉2 = 2,8 𝐸 = 11,5 𝑉1̂ = 16,562247 𝑉2̂ = 2,797351 𝐸̂ = 11,5 𝜀1 = 0,062247 𝜀2 = 0,002649 𝜀E = 0,000000

No caso seguinte tem-se as tensões estimadas utilizando-se das matrizes 𝐴 que foram montadas a partir dos valores reais de resistência, como mostrado na tabela a seguir:

(58)

38

Tabela 3-10 – Resultados e erros para resistências reais.

Circuitos Resultados conhecidos [𝒙] Resultados estimados [𝑥̂] Erro de estimativa [𝜀] Circuito 01 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,488339 𝑉2̂ = 1,220662 𝜀1 = 0,011661 𝜀2 = 0,020662 Circuito 02 𝑉1 = 5,2 𝑉2 = 3,2 𝑉1̂ = 5,188099 𝑉2̂ = 3,217925 𝜀1 = 0,011901 𝜀2 = 0,017925 Circuito 03 𝑉1 = 8,5 𝑉2 = 3,5 𝑉1̂ = 8,47586661 𝑉2̂ = 3,399182 𝜀1 = 0,024133 𝜀2 = 0,100817 Circuito 04 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,488650 𝑉2̂ = 1,221581 𝜀1 = 0,011350 𝜀2 = 0,021581 Circuito 05 𝑉1 = 3,5 𝑉2 =1,2 𝑉1̂ = 3,487417 𝑉2̂ = 1,220069 𝜀1 = 0,012583 𝜀2 = 0,020069 Circuito06 𝑉1 = 5,2 𝑉2 = 3,2 𝑉1̂ = 5,193712 𝑉2̂ = 3,234458 𝜀1 = 0,006288 𝜀2 = 0,034458 Circuito 07 𝑉1 = 16,5 𝑉2 = 2,8 𝐸 = 11,5 𝑉1̂ = 16,436353 𝑉2̂ = 2,740298 𝐸̂ = 11,5 𝜀1 = 0,063647 𝜀2 = 0,059702 𝜀E = 0,000000

É possível verificar que para os circuitos 01, 05 e 06, os erros foram inferiores quando utilizados os valores reais das resistências nos algoritmos, porém o circuito 07 teve ambos os valores estimados com menor erro para o algoritmo que utiliza valores aproximados das resistências, o que demonstra que a medição das resistências não são um parâmetro de alta relevância para estimar de forma adequada as tensões nos circuitos analisados.

3.2.2.3 Cálculo De Resíduos

O processo de estimação de estados pelo método dos mínimos quadrados reestima os valores das conhecidas dos circuitos, criando um novo vetor de medidas conhecidas, chamado aqui de vetor de medidas reestimadas (𝑏’), e quando comparados com o vetor do vetor de medidas conhecidas (𝑏), podem ser calculados os resíduos (𝑟), como demonstrados nas tabelas abaixo, para a primeira foram utilizadas as matrizes 𝐴̂ (resistências hipotéticas):