1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS‐GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Lucas Weihmann MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO DE FORÇAS E TORQUES APLICADOS POR ROBÔS COM REDUNDÂNCIA CINEMÁTICA E DE ATUAÇÃO EM CONTATO COM O MEIO
Tese submetida ao Programa de Pós‐ Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Mecânica Orientador: Prof. Daniel Martins, Dr. Eng. Coorientador: Prof. Henrique Simas, Dr. Eng. Florianópolis 2011
Catalogação na fonte elaborada pela biblioteca da Universidade Federal de Santa Catarina
3 Lucas Weihmann MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO DE FORÇAS E TORQUES APLICADOS POR ROBÔS COM REDUNDÃNCIA CINEMÁTICA E DE ATUAÇÃO EM CONTATO COM O MEIO Esta Tese foi julgada adequada para obtenção do Título de “Doutor em Engenharia Mecânica”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós‐Graduação em Engenharia Mecânica. Florianópolis, 12 de agosto de 2011. ________________________________________ Prof. Dr. Júlio César Passos Coordenador do Curso ________________________________________ Prof. Dr. Júlio Henrique Simas Coorientador Banca Examinadora: ________________________________________ Prof. Dr. Daniel Martins Presidente ________________________________________ Prof. Dr. Altamir Dias
5 ________________________________________ Prof. Dr. Edson Roberto de Pieri ________________________________________ Prof. Dr. Aníbal Alexandre Campos Bonilla ________________________________________ Prof. Dr. Tarcisio Antônio Hess Coelho
7 Desculpem-me se fui longo, não tive tempo de ser breve (Padre Antônio Vieira)
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AGRADECIMENTOS
À minha esposa Leticia Klas pelo carinho, amor, apoio e compreensão durante todo o período de desenvolvimento deste trabalho. Toda minha gratidão.
Aos meus orientadores Daniel Martins e Henrique Simas pelo conhecimento transmitido, pelo respeito, pela amizade e, principalmente, pela confiança depositada em meu trabalho.
Aos meus pais Manfredo e Grete Weihmann, aos meus ir‐ mãos Marcos e Tatiana, ao meu sobrinho Dudu e a minha tante Gerda pela torcida, pela alegria compartilhada nos bons momen‐ tos e pela união nos momentos difíceis.
Ao Prof. Raul Guenther (in Memoriam) por ter me incenti‐ vado nos primeiros passos da Robótica, pelo exemplo de caráter e integridade. Um exemplo para todos que tiveram o prazer de conhecê‐lo.
Ao amigo Leandro dos Santos Coelho, pelo incentivo e pela contribuição técnica valiosa no desenvolvimento da tese.
Aos pais adotivos em Florianópolis, Juan e Susana, e aos grandes amigos do punhobol. Só o fato de poder desfrutar da amizade e da companhia de vocês tornou as desgastantes e incon‐ táveis viagens para a ilha em um grande prazer.
À direção do grupo Produtrônica da PUCPR, pelo apoio e pela flexibilização dos horários permitida. Foram fundamentais em um momento crítico do trabalho.
Ao meu amigo Marcelo Gitirana, pela amizade de longos anos e pelas poucas e sábias palavras.
Ao Julio Gollin, pela companhia desde o mestrado, pelas dificuldades compartilhadas e pela certeza eu no fim tudo dá certo.
Ao Silvio e Regina Klas, que nos acolheram em Curitiba, pela alegria, carinho e pelos vários almoços de domingo.
11 RESUMO O aumento da complexidade das tarefas de robôs industriais e a expansão da utilização de robôs de serviço requerem o aprofun‐ damento de estudos sobre a interação de robôs com o meio. Esta interação pode ser estática, quando não existe movimento relati‐ vo do robô com o meio, ou dinâmica, quando existe movimento relativo do robô em relação ao meio, mas o contato é mantido durante esta movimentação. Quando a movimentação é lenta, é possível considerar a interação como quase‐estática, pois os efei‐ tos dinâmicos podem ser desprezados. Na execução de determi‐ nadas tarefas, os robôs industriais e os robôs de serviço podem ser levados ao limite de sua capacidade de força‐momento. Se a capacidade de força‐momento do robô é excedida, danos materi‐ ais e ferimentos em pessoas podem ocorrer durante a execução de uma tarefa. A capacidade de força‐momento de um robô depende dos torques em seus atuadores, de sua configuração, da posição e orientação de seu efetuador e das ações presentes no contato com o meio. O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma metodologia para determinação da capacidade de força‐ momento de robôs em condições estáticas ou quase‐estáticas. Esta metodologia é estendida para a otimização da capacidade de for‐ ça‐momento ao longo de uma trajetória. Em comparação com as abordagens existentes na literatura, a metodologia proposta dife‐ rencia‐se por abranger robôs com redundância cinemática e de atuação. Além disso, o ponto de contato com o meio, a orientação do efetuador e o modo de trabalho (working mode) do robô não necessitam ser constantes ao longo do processo de otimização. Devido à redundância cinemática e às variáveis geométricas pre‐ sentes, a função objetivo do problema de otimização de capaci‐ dade de força‐momento é descrita por equações não‐lineares e não‐convexas, apresentando mínimos locais. Para resolver este problema de otimização global, é utilizado um algoritmo evoluti‐ vo chamado Evolução Diferencial. A modelagem das equações
e do método de Davies. A metodologia proposta é validada na determinação da capacidade de força‐momento de um robô para‐ lelo e de um robô serial de sete graus de liberdade chamado Ro‐ boturb. A otimização da força ao longo de uma trajetória é reali‐ zada para um manipulador serial planar. Os principais fatores que influenciam a capacidade de força‐momento dos robôs ma‐ nipuladores são discutidos.
Palavras‐chave: Robôs manipuladores. Contato com o meio. Ca‐ pacidade de força‐momento. Otimização de força ao longo de uma trajetória. Redundância cinemática. Redundância de atua‐ ção. Helicoides. Método de Davies. Otimização Global. Evolução Diferencial. Roboturb. Robôs paralelos.
13 ABSTRACT The increasing complexity of task performed by industrial robots and the widespread use of service robots demands deeper know‐ ledge of robot interaction with the environment. This interaction can be static, when there is no relative movement between robot and environment or dynamic when exist relative movement but the contact is maintained during this movement. When this rela‐ tive movement is performed in slow velocity, the interaction is considered quasi‐static and the dynamics effects can be neglected. In certain tasks, industrial and service robots can be demanded to their wrench capabilities limits. If robots wrench capabilities are exceeded when executing a task, material damages and personal injuries can occur. Wrench capabilities depends on robot configu‐ ration, position, orientation, actuators limits and on wrenches at interaction. The development of new methodology to evaluate the wrench capabilities of robots in static or quasi‐statics condi‐ tions is the main purpose of this thesis. This methodology is also extended to the optimization of wrench capability along a path. Different from previous approach, the proposed methodology deals with kinematic and actuation redundant robots. Add to that, the contact point with the environment, the robots working mode and orientation must not remain constant during optimiza‐ tion process. Due to kinematic redundancy and geometric varia‐ ble parameters, the wrench capability optimization objective function is described by non‐linear and non‐convex equations with local minima. To solve this global optimization problem, an evolutionary algorithm called Differential Evolution is used. Stat‐ ic modeling uses as background Screw Theory and Kirchhoff‐ Davies cutset method. The efficiency and feasibility of the pro‐ posed methodology is demonstrated on an optimization problem, where the wrench capabilities of a planar parallel manipulator and a seven degree of freedom serial robot called Roboturb are evaluated. Wrench capabilities along a path for a planar serial
wrench capabilities are discussed.
Key‐words: Robot manipulator. Environment contact. Wrench capabilities. Wrench capabilities optimization along a path. Ki‐ nematic redundancy. Actuation redundancy. Screw theory. Da‐ vies method. Global optimization. Differential Evolution. Robo‐ turb. Parallel Robots.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: Estrutura cinemática e grafo correspondente de um robô serial plano ... 44 Figura 2.2: Estrutura cinemática e grafo correspondente de um robô paralelo plano ... 46 Figura 2.3: Representação por grafos da junta rotativa na cinemática e na estática... 48 Figura 2.4: Representação por grafos da junta esférica na cinemática e na estática... 48 Figura 2.5: Cadeia cinemática aberta e fechada ... 49 Figura 2.6: Espaço nulo de robôs cinematicamente redundantes 55 Figura 2.7: Mecanismo plano de mobilidade M=5 ... 58 Figura 2.8: Robôs seriais em tarefa de compartilhamento de carga ... 61 Figura 3.1: Componentes do heligiro ... 65 Figura 3.2: Componentes da heliforça ... 69 Figura 3.3: Manipulador serial com três juntas rotativas e uma prismática ... 84 Figura 3.4: Grafo do manipulador serial PRRR ... 85 Figura 3.5: Representação esquemática do manipulador paralelo 3‐RRR ... 90 Figura 3.6: Grafo das ações do manipulador paralelo 3‐RRR ... 91 Figura 4.1: Modos de trabalho do manipulador planar RR ... 97 Figura 4.2: Modos de trabalho do manipulador planar PRRR ... 97 Figura 4.3: Representação esquemática do manipulador planar
RR ... 99 Figura 4.4: Configuração do manipulador planar RR com θA e θB igual a 0 rad ... 101 Figura 4.5: Configuração do manipulador planar RR com θA=0
rad e θB=π/4 rad ... 102 Figura 4.6: Manipulador planar RR na posição θA=0 rad com Fx ≠ 0 N ... 103
RRRR ... 105 Figura 4.8: Manipulador planar RRRR, reduzido a um RRR equivalente ... 106 Figura 4.9: Posições do manipulador RRR, com θA no intervalo 0° e 90° e cotovelo para cima ... 109 Figura 4.10: Força Fx máxima possível de ser aplicada pelo manipulador RRR, na configuração cotovelo para cima e com θA no intervalo 0° a 90° ... 110 Figura 4.11: Torques em cada uma das juntas do manipulador
RRR na configuração cotovelo para cima ao atingir a força
máxima ... 111 Figura 4.12: Torques em cada uma das juntas do manipulador
RRR na configuração cotovelo para cima ao atingir a força
máxima, com torques máximos iguais ... 112 Figura 4.13: Força Fx máxima possível de ser aplicada pelo manipulador RRR, com torques máximos reduzidos ... 113 Figura 4.14: Torques em cada uma das juntas do manipulador
RRR na configuração cotovelo para cima, com torques máximos
reduzidos ... 114 Figura 4.15: Posições do manipulador RRR, com θA no intervalo 0° e 90° e cotovelo para baixo ... 116 Figura 4.16: Força Fx máxima possível de ser aplicada pelo manipulador RRR, na configuração cotovelo para baixo e com θA no intervalo 0° e 90° ... 117 Figura 4.17: Espaço de trabalho de força do manipulador RR (PAPADOPOPULOS; GONTHIER, 1995) ... 123 Figura 4.18: Comparação do espaço de trabalho de força dos manipuladores RR e RRR(PAPADOPOPULOS; GONTHIER, 1995) ... 124 Figura 4.19: Capacidade de força do manipulador 3‐RRR em todas as direções com Mz=0 utilizando a metodologia explícita(NOKLEBY et al., 2005) ... 128 Figura 5.1: Representação esquemática do manipulador planar
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Figura 5.2: Mecanismo de busca diferencial da ED ... 141 Figura 5.3: Mecanismo de geração do vetor teste na ED ... 142 Figura 6.1: Erro de posição para manipuladores seriais planos 156 Figura 6.2: Erro geométrico para manipuladores seriais planos ... 157 Figura 6.3: Diagrama da metodologia de otimização proposta 167 Figura 7.1: Geometria do manipulador 3‐RRR ... 173 Figura 7.2: Modos de trabalho do manipulador 3‐RRR ... 175 Figura 7.3: Evolução do fitness na otimização do modo de trabalho do manipulador 3‐RRR ... 182 Figura 7.4: Ângulo θF de aplicação de força do manipulador 3‐
RRR ... 184 Figura 7.5: Capacidade de força em diferentes direções do manipulador 3‐RRR ... 186 Figura 7.6: Evolução do fitness na otimização de força do manipulador 3‐RRR ... 191 Figura 7.7: Geometria do manipulador 3‐RPRR ... 192 Figura 7.8: Grafo das ações do manipulador paralelo 3‐RPRR . 193 Figura 7.9: Manipulador Roboturb ... 207 Figura 7.10: Geometria do manipulador Roboturb ... 210 Figura 7.11: Geometria do manipulador PRRR (Roboturb plano) ... 211 Figura 7.12: Orientação θP do manipulador PRRR (Roboturb plano) ... 212 Figura 7.13: Composição da força Fdir a partir de Fx e Fy no manipulador PRRR ... 220 Figura 7.14: Duas posições do manipulador PRRR, em modos de trabalho distintos, onde a maior capacidade de força com YPdes livre foi obtida ... 228 Figura 7.15: Evolução do valor médio do fitness em 10 testes com G=1500 na otimização de força do manipulador PRRR ... 232 Figura 7.16: Evolução do valor médio do fitness em 10 testes com G=300 na otimização de força do manipulador PRRR ... 233 Figura 7.17: Grafo do Roboturb espacial ... 235
determinação da capacidade de força ... 242 Figura 7.19: Visão tridimensional do Roboturb espacial na melhor configuração obtida para determinação da capacidade de força ... 242 Figura 7.20: Capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) ao longo de uma trajetória nos dois modos de trabalho ... 245 Figura 7.21: Coordenadas das juntas do manipulador PRRR (Roboturb plano) ao longo de uma trajetória na configuração cotovelo para cima ... 246 Figura 7.22: Coordenadas das juntas do manipulador PRRR (Roboturb plano) ao longo de uma trajetória na configuração cotovelo para baixo ... 246 Figura 7.23: Torques e forças nos atuadores do manipulador
PRRR (Roboturb plano) ao longo de uma trajetória na
configuração cotovelo para cima ... 248 Figura 7.24: Torques e forças nos atuadores do manipulador
PRRR (Roboturb plano) ao longo de uma trajetória na
configuração cotovelo para baixo ... 249
Figura A.1: Cadeia virtual PPR ... 280 Figura A.2: Manipulador paralelo com cadeia virtual PPR ... 281 Figura A.3: Manipulador serial com cadeia virtual PPR ... 282 Figura B.1: Sistema de coordenadas e vetores p do manipulador serial RRR ... 289 Figura B.2: Vetores S0 do manipulador RRR e da cadeia virtual PPR ... 290 Figura B.3: Grafo do manipulador serial RRR com cadeia virtual
PPR ... 291 Figura B.4: Manipulador paralelo 3‐RRR com cadeia virtual PPR ... 295 Figura B.5: Grafo do manipulador paralelo 3‐RRR com cadeia virtual PPR ... 296
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Figura C.1: Diagrama do corpo livre: forças e momento atuantes
no elo i ... 302
Figura C.2: Forças e momento no efetuador do manipulador paralelo 3‐RRR ... 303
Figura C.3: Elipsoide de força ... 307
Figura D.1: Representação esquemática do manipulador serial com três juntas rotativas ... 309 Figura D.2: Ações atuantes no manipulador RRR ... 310 Figura D.3: Ações atuantes no elo 3 do manipulador RRR ... 311 Figura D.4: Grafo das ações do manipulador RRR ... 315 Figura D.5: Inclusão da força gravitacional no grafo das ações . 322 Figura E.1: Elipsoide de rigidez ... 330
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LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Torques nas juntas do manipulador RRR em cada posição θA quando Fx é máxima ... 111 Tabela 4.2: Índices de desempenho de capacidade de força propostos. ... 122 Tabela 4.3: Combinações de forças e momentos testadas para o manipulador 3‐RRR, utilizando a metodologia explícita ... 127 Tabela 5.1: Variantes clássicas da ED ... 144 Tabela 6.1: Comparativo entre as abordagens existentes para otimização da capacidade de força‐momento de manipuladores ... 149 Tabela 7.1: Estudos de caso do manipulador 3‐RRR e de suas variantes ... 172 Tabela 7.2: Características do manipulador 3‐RRR ... 174 Tabela 7.3: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RRR no melhor fitness ... 180 Tabela 7.4: Valores da força Fx do manipulador 3‐RRR para os diferentes modos de trabalho ... 181 Tabela 7.5: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RRR no melhor fitness ... 190 Tabela 7.6: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RPRR com redundância cinemática no melhor fitness ... 197 Tabela 7.7: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RPRR com redundância cinemática e de atuação no melhor fitness
... 200 Tabela 7.8: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RRR com orientação variável no melhor fitness ... 202 Tabela 7.9: Valores das variáveis de decisão do manipulador 3‐
RRR com ponto de contato variável no melhor fitness ... 204 Tabela 7.10: Valores de Fdir obtidos para o manipulador 3‐RRR e suas variantes em diferentes condições de teste ... 205 Tabela 7.11: Estudos de caso do Roboturb ... 209
PRRR (Roboturb plano) no melhor fitness ... 218 Tabela 7.13: Valores de Fx do Roboturb plano para diferentes posições da junta prismática ... 219 Tabela 7.14: Valores das variáveis de decisão do manipulador
PRRR (Roboturb plano) no melhor fitness com θPdes=π/4 rad .... 222 Tabela 7.15: Valores de Fdir do manipulador PRRR (Roboturb plano) obtidos em diferentes condições de contato com θPdes=0 rad ... 225 Tabela 7.16: Valores de Fdir obtidos do manipulador PRRR (Roboturb plano) em diferentes condições de contato com
θPdes=π/4 rad ... 225 Tabela 7.17: Valores das variáveis de decisão do manipulador
PRRR (Roboturb plano) no melhor fitness com YPdes livre ... 229 Tabela 7.18: Valores das variáveis de decisão do Roboturb espacial no melhor fitness ... 241 Tabela 7.19: Velocidade das juntas do manipulador PRRR (Roboturb plano) ... 244 Tabela 7.20: Valores testados de Fs ... 251 Tabela 7.21: Valores testados de CR ... 251 Tabela 7.22: Estratégias testadas ... 251 Tabela 7.23: Resultados obtidos com diferentes combinações de parâmetros na determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR ... 252 Tabela 7.24: Resultados das quatro melhores combinações de parâmetros na determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR ... 255
23 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS IFR Federação Internacional de Robótica EF Efetuador final ED Evolução Diferencial MAV Maximum Available Value MIV Maximum Isotropic Value
25 LISTA DE SÍMBOLOS Mi circuito de um grafo fi grau de liberdade de uma junta M mobilidade de uma cadeia cinemática j número total de juntas de uma cadeia cinemática p número de eq. independentes na análise estática λ ordem mínima do sistema Fg grau bruto de liberdade de uma cadeia cinemática ci grau de restrição de uma junta C grau bruto de restrição de uma cadeia cinemática n número total de elos υ número de circuitos de um mecanismo Rc redundância cinemática da cadeia d dimensão do espaço da tarefa R redundância cinemática velocidade das juntas de um manipulador velocidade cartesiana de um manipulador Ki,j grau de controle entre dois elos Ci,j conectividade entre dois elos Ri,j redundância entre dois elos ja número de juntas atuadas Ra redundância de atuação τd translação no sentido do eixo de rotação ω vetor velocidade angular do heligiro $M heligiro h passo do heligiro ou da heliforça Vp vetor velocidade linear do heligiro So vetor posição do heligiro SM vetor normalizado na direção do eixo do heligiro Oxyz origem do sistema de coordenadas $ heligiro normalizado ϕ magnitude do heligiro $A heliforça
Tp vetor de momento da heliforça binário atuante na heliforça So vetor posição da heliforça SA eixo de atuação da heliforça $ heliforça normalizada ψ magnitude da heliforça Fx força na direção x do sistema de coordenadas Fy força na direção y do sistema de coordenadas Fz força na direção z do sistema de coordenadas Mx momento em torno do eixo x My momento em torno do eixo y Mz momento em torno do eixo z J Jacobiano ou matriz jacobiana de um manipulador posição das juntas de um manipulador posição cartesiana de um manipulador Jx Jacobiano parcial de um manipulador paralelo Jθ Jacobiano parcial de um manipulador paralelo ja juntas ativas de um manipulador jp juntas passivas de um manipulador τ vetor de forças e momentos nos atuadores F vetor de forças e momentos de contato com o meio AD matriz das ações do corte matriz das ações unitárias do corte k número de cortes fundamentais em um grafo Cn grau líquido de restrição de um mecanismo AN matriz de ações de rede matriz de ações unitárias de rede matriz de ações de rede primária matriz de ações de rede secundária ψp magnitude das ações primárias ψs magnitude das ações secundárias δp deslocamentos diferenciais δs rotações diferencias δW trabalho virtual
27 δθ deslocamentos e rotações virtuais das juntas de um ma‐ nipulador δx deslocamentos e rotações virtuais do efetuador de um manipulador P ponto de contato entre o manipulador e o meio τmáx limite de torque das juntas rotativas Fapp força máxima considerando todas direções possíveis Fiso força máxima possível em todas direções possíveis Fdir força máxima em uma direção definida Fpara força perpendicular à Fdir FTraj capacidade de força ao longo de uma trajetória θmáx limite máximo de deslocamento das juntas rotativas de um manipulador θmin limite mínimo de deslocamento das juntas rotativas de um manipulador η número de variáveis de decisão na ED N tamanho da população da ED Fs fator de escala da ED CR fator de recombinação da ED x t,i indivíduo da geração t na ED t índice da geração na ED X t população da geração t na ED
u t,i vetor mutante na ED
x t,r1 vetor base na ED v t,i vetor teste na ED G número de gerações da ED α método de escolha do vetor base na ED β número de diferenças do vetor base na ED δ mecanismo de recombinação na ED x t,best melhor indivíduo da geração t na ED P pesos das parcelas na função objetivo T matriz de transformação homogênea genérica Tdes matriz de transformação homogênea desejada Te matriz de transformação homogênea do erro
θe ângulos do erro de orientação eor escalar que define o erro de orientação Pe coordenadas do erro de orientação epos escalar que define o erro de posição eg erro geométrico fp parcela principal da função objetivo fgeo parcela geométrica da função objetivo ffor parcela de força da função objetivo fatua parcela de atuação da função objetivo fobj função objetivo θP Orientação da plataforma móvel li Comprimento do elo de um manipulador Xi Coordenada x de um ponto do manipulador Yi Coordenada y de um ponto do manipulador L deslocamentos das juntas prismáticas do manipulador θf Ângulos de aplicação de força Conf Variável que define a configuração do manipulador
29 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 33 1.1 LOCALIZAÇÃO E DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ... 33 1.2 MOTIVAÇÃO ... 36 1.3 OBJETIVOS ... 37 1.4 JUSTIFICATIVA ... 38 1.5 ORGANIZAÇÃO DA TESE ... 40 2 REDUNDÂNCIA EM ROBÓTICA ... 43 2.1 TEORIA DE GRAFOS APLICADA A MECANISMOS ... 43 2.2 MOBILIDADE ... 49 2.3 REDUNDÂNCIA CINEMÁTICA ... 53 2.3.1 Redundância Cinemática de Robôs Seriais ... 56 2.3.2 Redundância Cinemática de Robôs Paralelos ... 56 2.4 REDUNDÂNCIA DE ATUAÇÃO ... 59 3 ANÁLISE CINEMÁTICA E ESTÁTICA DE ROBÔS ... 63 3.1 REVISÃO SOBRE TEORIA DE HELICOIDES ... 64 3.1.1 Helicoides na Cinemática: o Heligiro ... 64 3.1.2 Helicoides na Estática: a Heliforça ... 68 3.2 MÉTODO DE DAVIES: TERMINOLOGIA E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS ... 71 3.3 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE ROBÔS SERIAIS E PARALELOS... 73 3.4 ANÁLISE ESTÁTICA DE ROBÔS ... 75 3.4.1 Estática de Robôs: Método de Davies... 76 3.5 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL E DA ORTOGONALIDADE ... 79 3.6 ANÁLISE COMPARATIVA DO MÉTODO DE DAVIES ... 82 3.7 EXEMPLOS DE CÁLCULO DA ESTÁTICA DE MANIPULADORES ... 83 3.7.1 Robô serial PRRR : análise estática pelo método de Davies ... 84 3.7.2 Robô Paralelo 3‐RRR : análise estática pelo método de Davies ... 89
4 CAPACIDADE DE FORÇA‐MOMENTO DE
MANIPULADORES ... 95
4.1 MODOS DE TRABALHO DE UM MANIPULADOR ... 96
4.2.2 Manipulador planar RRRR ... 105
4.3 ÍNDICES DE DESEMPENHO ... 118
4.4 ABORDAGENS EXISTENTES ... 122
4.5 OUTROS FATORES DE INFLUÊNCIA ... 129
5 OTIMIZAÇÃO GLOBAL: ALGORITMO DA
EVOLUÇÃO DIFERENCIAL ... 133 5.1 NECESSIDADE DE UM ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO GLOBAL ... 134 5.2 JUSTIFICATIVA PARA A ESCOLHA DA TÉCNICA DE EVOLUÇÃO DIFERENCIAL ... 138 5.3 EVOLUÇÃO DIFERENCIAL: FUNDAMENTOS ... 140 5.4 VARIANTES CLÁSSICAS DA EVOLUÇÃO DIFERENCIAL .... 143 5.5 INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CONTROLE ... 144 5.6 TRATAMENTO DE RESTRIÇÕES ... 146 5.7 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE A ED ... 147
6 METODOLOGIA PARA DETERMINAÇÃO DA
CAPACIDADE DE FORÇA‐MOMENTO DE
MANIPULADORES ... 149 6.1 METODOLOGIA DE OTIMIZAÇÃO PROPOSTA ... 150 6.2 EXTENSÃO DA METODOLOGIA PARA OTIMIZAÇÃO DE FORÇA AO LONGO DE UMA TRAJETÓRIA ... 168 7 ESTUDOS DE CASOS ... 171 7.1 ROBÔ PARALELO 3‐RRR ... 171 7.1.1 Geometria do manipulador 3‐RRR em estudo ... 173
7.1.2 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR considerando diferentes modos de trabalho ... 174
7.1.3 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR em distintas direções... 183
7.1.4 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR com redundância de atuação em uma direção qualquer ... 187
7.1.5 Determinação da capacidade de força do manipulador do 3‐RPRR com redundância cinemática ... 191
7.1.6 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RPRR com redundância cinemática e de atuação ... 197
7.1.7 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR com uma orientação qualquer ... 200
31 7.1.8 Determinação da capacidade de força do manipulador 3‐RRR em uma posição cartesiana qualquer ... 203 7.1.9 Análise dos Resultados do manipulador 3‐RRR ... 204 7.2 ROBOTURB PLANO (PRRR) E ROBOTURB ESPACIAL ... 207 7.2.1 Características geométricas do Roboturb ... 210
7.2.2 Determinação da capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) na direção x ... 212
7.2.3 Determinação da capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) em uma direção determinada ... 219
7.2.4 Determinação da capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) em uma direção determinada com as demais ações livres ... 223
7.2.5 Determinação da capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) na direção x com YP livre ... 226
7.2.6 Determinação da capacidade de força do manipulador PRRR (Roboturb plano) na direção x, a partir da cinemática inversa de posição ... 229 7.2.7 Determinação da capacidade de força do Roboturb espacial .... 233 7.2.8 Análise dos resultados do Roboturb ... 243 7.3 CAPACIDADE DE FORÇA AO LONGO DE UMA TRAJETÓRIA PARA O MANIPULADOR PRRR (ROBOTURB PLANO) ... 243 7.4 TESTES DE SIMULAÇÃO ... 250 8 CONCLUSÕES ... 257 8.1 CONCLUSÕES SOBRE O MANIPULADOR 3‐RRR ... 259 8.2 CONCLUSÕES SOBRE O ROBOTURB ... 261 8.3 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO DE TESE ... 262 8.4 ARTIGOS RELACIONADOS ... 263 8.5 TRABALHOS FUTUROS ... 264 REFERÊNCIAS ... 265 APÊNDICE A – CINEMÁTICA DIFERENCIAL: ROBÔS SERIAIS E PARALELOS ... 277 A.1 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE ROBÔS SERIAIS E PARALELOS : MÉTODO DE DAVIES ... 277 A.2 CINEMÁTICA DIFERENCIAL : EMPREGO DE CADEIAS VIRTUAIS ... 279 A.3 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE ROBÔS CINEMATICAMENTE REDUNDANTES ... 283
APÊNDICE B –ANÁLISE CINEMÁTICA: RRR E 3‐RRR ... 287 B.1 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DO ROBÔ RRR: MÉTODO CONVENCIONAL ... 287 B.2 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DO ROBÔ RRR: MÉTODO DE DAVIES ... 289 B.3 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DO ROBÔ RRR: REDUNDÂNCIA CINEMÁTICA ... 293 B.4 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DO ROBÔ 3‐RRR ... 294 B.5 CINEMÁTICA DIFERENCIAL DO MANIPULADOR 3‐RRR: MÉTODO DE DAVIES ... 295 APÊNDICE C – FUNDAMENTOS DA ANÁLISE ESTÁTICA DE ROBÔS ... 301 C.1 ANÁLISE ESTÁTICA: DIAGRAMA DO CORPO LIVRE ... 301 C.2 ANÁLISE ESTÁTICA DE ROBÔS COM REDUNDÂNCIA DE ATUAÇÃO ... 304 C.3 ELIPSOIDE DE FORÇA ... 306 APÊNDICE D ‐ ANÁLISE ESTÁTICA DO ROBÔ RRR ... 309 D.1 DIAGRAMA DO CORPO LIVRE ... 310 D.2 MÉTODO DE DAVIES ... 314 APÊNDICE E – RIGIDEZ E INFLUÊNCIA DA FORÇA GRAVITACIONAL NA ESTÁTICA ... 325 E.1 RIGIDEZ ... 325 E.2 RIGIDEZ DE MALHA ABERTA DE MECANISMOS ... 325 E.3 ELIPSOIDE DE RIGIDEZ ... 329 E.4 INFLUÊNCIA DA GRAVIDADE ... 331
33 1 INTRODUÇÃO 1.1 LOCALIZAÇÃO E DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Os robôs podem ser classificados, de forma geral, em robôs industriais e robôs de serviço (IFR, 2009). Os robôs industriais são aqueles utilizados no interior de indústrias realizando tarefas como soldagem, montagem, inspeção, pintura, movimentação e outras. Os robôs de serviço operam fora do ambiente industrial e são divididos em duas categorias: robôs de uso privado, quando utilizados por pessoas físicas, e robôs de uso profissional, quando utilizados por empresas. Os robôs de serviço de uso profissional são utilizados em aplicações médicas, limpeza, atividades suba‐ quáticas, em fazendas para ordenha, resgate de pessoas ou equi‐ pamentos, construção e demolição, segurança e vigilância e em aplicações militares. Já os principais robôs de uso privado são os aspiradores de pó e máquinas de cortar grama, kits educacionais, próteses robóticas e robôs utilizados para auxílio de portadores de deficiência.
O número de robôs industriais e de robôs de serviço em operação no mundo ao final do ano de 2008 é respectivamente 1,036 milhões e 7,2 milhões. Projeções feitas pela Federação Inter‐ nacional de Robótica (IFR – International Federation of Robotics) mostram que em 2012 serão 1,056 milhões de robôs industriais e 11,6 milhões de robôs de serviço em operação (IFR, 2009). Isto indica um aumento acelerado na utilização de robôs de serviço em comparação com os robôs industriais.
Na execução de tarefas, são recorrentes as situações em que os robôs necessitam interagir com o meio, aplicando ou supor‐ tando forças e momentos de contato. Nas indústrias, este contato ocorre quando o robô é empregado em tarefas como montagem de componentes, movimentação de cargas e peças, limpeza de superfícies, remoção de rebarbas, estampagem, conformação e
outras. Nos robôs de serviço, como em geral estão inseridos em ambientes não estruturados e como compartilham o espaço com objetos, equipamentos e até seres humanos, o contato com o meio é dado de maneira frequente e muitas vezes imprevista. O estudo da interação entre robôs e o meio pode ser divido em quatro linhas de pesquisa (LEFEBVRE et al., 2005): • Modelagem da geometria do contato; • Estimativa dos parâmetros de contato; • Geração de referência; • Estratégias de controle.
A modelagem da geometria do contato está relacionada com a caracterização do contato, representando cada elemento através de suas propriedades topológicas. Investiga se ocorre um contato através de vértices, faces ou superfícies dos objetos, ou uma combinação destes. Analisa também as restrições que exis‐ tem quanto à movimentação relativa dos elementos.
A estimativa dos parâmetros de contato está relacionada com as propriedades físicas dos elementos em contato e com as variações dos estados de contato que podem ocorrer durante a execução da tarefa. Tanto os parâmetros físicos quanto os geomé‐ tricos apresentam incertezas que devem ser mantidas dentro de certa tolerância. Do contrário, podem ser comandados movimen‐ tos onde o contato é perdido ou onde forças excessivas são apli‐ cadas. As informações provenientes de sensores auxiliam na tare‐ fa de melhor estimar os parâmetros, sendo então utilizadas para correção da referência e para melhoria do controle.
A geração de referências fornece informações sobre posi‐ ção, velocidades, torques e forças desejados do manipulador de forma que o contato seja mantido durante determinada movi‐ mentação e que as forças e momentos desejados na execução da tarefa sejam aplicados.
As estratégias de controle têm a função de determinar os torques e forças necessários nos atuadores, assegurando que a posição e orientação do efetuador final, os movimentos e as forças de contato desejados, especificados pelo gerador de referência,
1.1 Localização e Definição do Problema 35
sejam efetivamente realizados pelo robô (MASON, 1981). As principais estratégias de controle de força existentes, testadas e consolidadas em estudos disponíveis na literatura, são o controle por impedância, o controle híbrido e o controle paralelo (DE SCHUTTER et al., 1998) (ZENG; HEMANI, 1997).
O estudo desenvolvido nesta tese está relacionado com a etapa de geração de referência, levando em conta as limitações físicas do robô.
Estas limitações físicas estão relacionadas com as restrições de deslocamentos das juntas e com as forças e torques máximos dos atuadores. Em situações onde grandes acelerações ou forças elevadas de contato são exigidas do robô, os atuadores podem chegar ao limite de saturação, comprometendo a execução da tarefa.
Em tarefas estáticas ou quase‐estáticas, realizadas com o robô parado ou em velocidade reduzida, os efeitos dinâmicos podem ser desprezados e toda a força/torque dos atuadores pode ser empregada na geração de forças e momentos de contato com o meio. A capacidade de força‐momento do robô é definida co‐ mo a força (ou momento) máxima que o robô consegue aplicar no meio em situações estáticas ou quase‐estáticas (NOKLEBY et al., 2005). A capacidade de força‐momento não depende apenas dos limites dos atuadores, mas também da configuração do robô e da natureza da ação aplicada no meio.
Na existência de redundância cinemática, o robô pode ter infinitas configurações, mantendo a posição e a orientação do efetuador inalteradas. Em cada uma destas configurações, a força máxima possível de ser aplicada no meio é distinta e a capacida‐ de de força‐momento pode ser obtida com o auxílio de alguma técnica de otimização. Se o robô apresentar redundância de atua‐ ção, para cada uma das configurações é possível otimizar a dis‐ tribuição dos torques e forças nos atuadores de forma a determi‐ nar sua capacidade de força‐momento.
Conhecer a capacidade de força‐momento de um robô é necessário para o planejamento de tarefas onde forças e momen‐
tos de contato com o meio são esperados. Na existência de re‐ dundância cinemática e de atuação, as equações que definem a capacidade de força‐momento são em geral descritas através de funções não convexas e não lineares. Nestas condições, determi‐ nar a capacidade de força‐momento de um robô consiste em re‐ solver um problema de otimização global e técnicas convencio‐ nais baseadas na derivada da função objetivo não podem ser em‐ pregadas. 1.2 MOTIVAÇÃO Restrições na utilização de robôs industriais em tarefas on‐ de elevadas ações de contato com o meio são exigidas estão rela‐ cionadas com limitações na capacidade de força‐momento e baixa rigidez, verificadas principalmente nos robôs seriais. Com o desenvolvimento dos robôs paralelos e sua inserção em ambientes industriais, estas restrições estão sendo superadas. Por apresentarem maior rigidez e maior capacidade de força‐ momento em comparação com os robôs seriais (MERLET, 2002), os robôs paralelos vêm sendo também utilizados em tarefas como usinagem, fresamento e limpeza de superfícies com remoção de material (MERLET, 2000).
Nestas tarefas, as ações de contato necessárias são em geral elevadas e variam de acordo com o material envolvido, o tipo de ferramenta de corte utilizado e a taxa de remoção de material desejada. Neste contexto, a capacidade de força‐momento do robô deve ser conhecida para verificar a priori se as tarefas plane‐ jadas podem efetivamente ser executadas.
Considerando os robôs de serviço, a principal motivação para realização deste estudo está relacionada com o desenvolvi‐ mento do robô chamado Roboturb, utilizado na recuperação a‐ través de soldagem de turbinas erodidas por cavitação. Trata‐se de uma parceria entre UFSC, LACTEC e FURNAS e, em uma
1.3 Objetivos 37
primeira etapa já finalizada, o Roboturb é capaz de planejar a melhor trajetória para realizar a tarefa e depositar o material de solda nos locais definidos.
Em uma etapa futura de desenvolvimento, é desejado que o Roboturb execute também a limpeza do local onde a solda é de‐ positada, preparando a superfície e removendo o material aplica‐ do em excesso. Na realização da primeira etapa do projeto, não estava prevista a utilização do Roboturb na tarefa de remoção de material, motivo pelo qual não houve uma preocupação em de‐ terminar a sua capacidade de força‐momento e as forças de conta‐ to atuantes. Com o desenvolvimento da segunda etapa, torna‐se necessário conhecer a capacidade de força‐momento do Robo‐ turb. Em havendo a necessidade de desenvolver um novo Robo‐ turb com configuração diferente da atual, a determinação da ca‐ pacidade de força‐momento pode ser obtida ainda na fase de projeto através de simulações, reduzindo os custos de projeto com a construção de protótipos.
Além dos motivos citados para os robôs paralelos e para o Roboturb, a determinação da capacidade de força‐momento de robôs pode vir a ser útil em diversas outras aplicações. Nos robôs domésticos, por exemplo, o robô pode ser utilizado no auxílio de pessoas idosas em atividades como ajudar a levantar da cama ou de uma cadeira. Em construções, os robôs de uso profissional podem ser utilizados para carregar materiais e equipamentos pesados, como sacos de cimento, tijolos, etc. Nestas situações, conhecer a capacidade de força‐momento é fundamental para evitar acidentes que podem colocar em risco a integridade das pessoas ou danificar equipamentos. 1.3 OBJETIVOS O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma metodologia para a otimização da capacidade de força‐
momento de robôs manipuladores em contato com o meio, em situações estáticas ou quase‐estáticas, aproveitando de forma eficiente a redundância cinemática e a redundância de atuação. São objetivos específicos:
a) Analisar os fatores que influenciam a capacidade de for‐ ça‐momento de manipuladores;
b) Adaptar o método de Davies, utilizado na resolução da estática de manipuladores, ao problema de otimização da capacidade de força‐momento, sistematizando o proce‐ dimento de inclusão de forças externas;
c) Determinar uma função objetivo geral para o problema; d) Realizar testes de simulação para determinar os parâme‐
tros de controle da técnica de otimização empregada; e) Desenvolver uma metodologia para otimizar a capacida‐
de de força‐momento ao longo de uma trajetória.
f) Formular o problema de otimização para obter a capaci‐ dade de força‐momento do robô serial com redundância cinemática chamado Roboturb. 1.4 JUSTIFICATIVA Existem diversas linhas de pesquisa em robótica que tratam da distribuição de forças e torques nos atuadores de forma a cumprir determinado função. O compartilhamento de carga por dois ou mais robôs é um exemplo clássico, estudado por vários autores (CHENG; ORIN, 1990) (KIM; CHOI, 2001) (MELCHIORRI, 1994) (SUH; HOLLERBACH, 1987) onde, em geral, o objetivo é manter as ações nos atuadores o mais afastado possível da saturação. Ao compartilhar a carga, a distribuição ótima de torques e forças nos atuadores pode ocorrer ao longo de uma trajetória específica (ZHENG; LUH, 1989) ou o a definição da melhor trajetória para manter os atuadores afastados da satu‐
1.4 Justificativa 39
ração pode ser o objetivo do problema de otimização (SZABAD et al., 2000).
O problema de distribuir forças e torques entre os dedos de uma garra ou mão robótica para segurar um objeto é bastante similar ao compartilhamento de carga em robôs manipuladores. A diferença fundamental é que na mão robótica a geometria do contato e o atrito são normalmente considerados e o objetivo em geral é determinar a mínima força necessária em cada dedo para segurar o objeto (BUSS et al., 1996) (BOYD; WEGBREIT, 2007). Na movimentação dinâmica de cargas, a otimização da trajetória do robô com o objetivo de não saturar os atuadores é apresentada em (WANG et al., 1999). Estudos sobre o balanceamento estático de robôs compensando os efeitos das forças gravitacionais são apresentados em (SARAVANAN et al., 2008).
Embora estas linhas de pesquisa citadas estejam relaciona‐ das com a otimização de forças e torques nos atuadores de um robô, o objetivo em geral é a distribuição eficiente de torques e forças para evitar a saturação e não a determinação da força ou momento máximo que um robô consegue aplicar ou suportar em determinada condição.
Estudos específicos sobre a capacidade de força‐momento são apresentados em (NOKLEBY et al., 2005) e em (PAPADOPOPULOS; GONTHIER, 1995). No entanto, ambas as abordagens são restritas a determinados tipos de robôs, a condi‐ ções de carregamento específicas e não contemplam simultanea‐ mente a presença de redundância cinemática e de atuação.
A metodologia para determinação da capacidade de força‐ momento proposta nesta tese justifica‐se pois não foram encon‐ tradas na literatura abordagens genéricas para o problema, a‐ brangendo robôs paralelos e seriais, planos e espaciais, com re‐ dundância cinemática e/ou de atuação. Também não foram en‐ contradas na literatura abordagens que tratem da determinação da capacidade de força‐momento ao longo de uma trajetória.
1.5 ORGANIZAÇÃO DA TESE
A tese está dividida em oito capítulos e cinco apêndices. No Capítulo 1, o problema em estudo é definido. A motivação, as justificativas e os objetivos referentes ao trabalho desenvolvido são apresentados.
No Capítulo 2, é feita uma revisão sobre a teoria de grafos e são apresentas fórmulas para o cálculo da mobilidade de cadeias cinemáticas abertas, fechadas e híbridas. Os conceitos de redun‐ dância cinemática e redundância de atuação são apresentados e o grau de redundância é calculado para alguns exemplos de cadei‐ as cinemáticas.
O Capítulo 3 aborda a análise estática e cinemática de robôs seriais e paralelos. Na análise cinemática, são apresentados ape‐ nas os conceitos gerais. Na análise estática, são empregadas as técnicas desenvolvidas por Davies. Como o método de Davies é baseado na teoria dos helicoides, uma breve revisão sobre o as‐ sunto é apresentada. Tendo como base o princípio do trabalho virtual, é mostrado que, sob certas condições, existe uma relação clara entre a estática e a cinemática diferencial de mecanismos. Para exemplificar o funcionamento do método de Davies e apre‐ sentar as diferenças em relação ao método do diagrama do corpo livre, a estática de alguns manipuladores planos é resolvida.
O conceito de capacidade de força‐momento de manipula‐ dores é apresentado no Capítulo 4. A partir dos resultados obti‐ dos através de simulações com os manipuladores planares RR e
RRRR, é verificada a influência da configuração, da singularida‐
de, do carregamento e dos modos de trabalho na determinação da capacidade de força‐momento. Índices de desempenho são apresentados e as aplicações e limitações dos elipsoides de força são mostradas. Abordagens existentes na literatura são discuti‐ das. Considerações sobre a rigidez e sobre a influência das forças gravitacionais são analisadas.
1.5 Organização da Tese 41
No Capítulo 5, a necessidade de utilizar um algoritmo de otimização global para determinação da capacidade de força‐ momento de robôs manipuladores é justificada. Os motivos para utilização do algoritmo da Evolução Diferencial (ED) na resolu‐ ção deste problema são apresentados. Os fundamentos da ED, suas variantes, a influência dos parâmetros de controle e o trata‐ mento de restrições são discutidos.
No Capítulo 6, a metodologia proposta, objetivo principal desta tese, é apresentada em detalhes. A extensão da metodologia para a otimização da capacidade de força‐momento ao longo de uma trajetória é mostrada.
No Capítulo 7, a metodologia proposta é validada em estu‐ dos de casos utilizando o Roboturb (modelo espacial e modelo simplificado) e o manipulador 3‐RRR e suas variantes. Resultados dos testes de simulação para determinação dos parâmetros de controle da ED são discutidos. Estudo de caso focando a obten‐ ção da capacidade de força‐momento ao longo de uma trajetória para o modelo simplificado do Roboturb é apresentado.
As conclusões sobre o trabalho e as perspectivas de traba‐ lhos futuros são discutidas no Capítulo 8.
No Apêndice A, são mostrados os fundamentos da cinemática diferencial de robôs manipuladores seriais e paralelos, utilizando o método de Davies e o emprego de cadeias virtuais. No Apêndice B, a cinemática diferencial dos manipuladores 3‐
RRR e RRR é apresentada. No Apêndice C, são apresentados os
fundamentos da estática de robôs manipuladores utilizando o diagrama do corpo livre e o conceito de elipsoide de força é analisado. No Apêndice D, a estática do manipulador RRR é resolvida. No Apêndice E, a influência da rigidez e das forças gravitacionais na capacidade de força‐momento dos manipuladores é discutida.
43
2 REDUNDÂNCIA EM ROBÓTICA
Em robótica, o termo redundância é frequentemente asso‐ ciado apenas à redundância cinemática, que tem como origem a geometria do robô e/ou a escolha da tarefa a ser executada. Com a crescente utilização de robôs de estruturas cinemáticas mais complexas, como os paralelos, o conceito de redundância de atu‐ ação passa também a ser utilizado. A redundância de atuação pode ser verificada tanto em robôs seriais, quando utilizados em tarefas cooperativas, como em robôs paralelos.
Neste capítulo é feita uma revisão sobre a teoria dos grafos, ferramenta útil no cálculo da mobilidade de mecanismos de ca‐ deia fechada e no cálculo da cinemática e estática de robôs. O conceito de mobilidade, necessário para o cálculo do grau de re‐ dundância de robôs, e as definições de redundância cinemática e redundância de atuação são discutidos. 2.1 TEORIA DE GRAFOS APLICADA A MECANISMOS A teoria de grafos encontra aplicações em diversas áreas do conhecimento como informática, computação, engenharia elétri‐ ca, química e ciências sociais. Na análise e síntese de mecanismos, a representação de cadeias cinemáticas através da teoria de grafos é utilizada (TSAI, 1999): a) Como ferramenta de auxílio no cálculo da mobilidade de mecanismos; b) Para representar de forma unívoca a estrutura topológica de um mecanismo;
c) Como ferramenta para a resolução computacional da ci‐ nemática e da dinâmica de mecanismos;
d) Na enumeração e classificação sistemática de mecanis‐ mos;
Martins (2002) emprega a teoria de grafos em seu trabalho sobre análise hierárquica de manipuladores como ferramenta para obter as equações de restrição. Campos et al. (2005) utiliza a teoria dos grafos para análise cinemática de robôs manipuladores com o emprego de cadeias virtuais. As equações cinemáticas de robôs redundantes podem ser obtidas com o auxílio da teoria de grafos (SIMAS, 2008). O cálculo da mobilidade de mecanismos utilizando definições da teoria dos grafos é mostrado em (CARBONI, 2008).
O grafo é um sistema de linhas (arestas) conectado através de nós (vértices) (SESHU; REED, 1961). Mecanismos podem ser representados de forma unívoca através de grafos onde as arestas são as juntas do mecanismo e os vértices são os elos.
A Figura 2.1(a) mostra a estrutura cinemática de um robôs serial com 3 juntas rotativas e a Figura 2.1(b) mostra sua repre‐ sentação através de grafos. Nestas representações, os elos são enumerados como 0, 1, 2 e 3, da base até o efetuador. As juntas são identificadas da base até a extremidade através das letras A, B e C respectivamente. No grafo, todos os tipos de juntas são repre‐ sentados por arestas, sendo necessário algum tipo de identifica‐ ção adicional para definir qual o tipo de junta representado.
(a) Estrutura cinemática (b) Grafo equivalente
Figura 2.1: Estrutura cinemática e grafo correspondente de um robô serial plano
O digrafo é um grafo direcionado onde as arestas apresen‐ tam um sentido de orientação (CAZANGI, 2008). É interessante
A B C 3 2 1 0 A B C 3 2 1 0
2.1 Teoria de Grafos aplicada a Mecanismos 45
esta notação quando se quer representar o estado cinemático ou estático de um corpo em relação aos seus adjacentes.
Na análise estática, o direcionamento das arestas define se um corpo está aplicando ação sobre outro corpo adjacente ou recebendo a ação. Funciona como uma convenção de sinais que deve ser respeitada para a obtenção de resultados corretos. Na análise cinemática, o digrafo indica o sentido do movimento rela‐ tivo entre elos adjacentes.
Cadeia, circuito, árvore e corte são alguns conceitos adicio‐ nais sobre grafos, necessários na análise cinemática e estática de mecanismos. Cadeia é uma sequência qualquer de arestas adja‐ centes que unem dois vértices. Um circuito é uma cadeia que ini‐ cia e termina no mesmo vértice. Uma árvore é um grafo em que há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices, mas que não possui circuitos. A árvore é dita geradora se é um subgrafo de um grafo qualquer, tal que contenha todos os vértices do gra‐ fo, mas apenas um subconjunto de suas arestas. As arestas que pertencem à árvore geradora são denominadas ramos e as que não pertencem são chamadas de cordas. Um corte é um conjunto de arestas que, se removidas, separam o grafo em dois subgrafos independentes. Na análise estática de mecanismos, cada corte é uma linha que cruza as cordas e apenas um dos ramos da árvore. E cada ramo da árvore geradora pode ser cruzado por apenas um corte.
Para ilustrar estes conceitos é utilizado um robô paralelo plano de três pernas, cada uma delas com três juntas rotativas. A Figura 2.2(a) mostra sua estrutura cinemática e a Figura 2.2(b) mostra sua representação através de digrafos. Os elos são identi‐ ficados através de números e as juntas através de letras.
Para obter a árvore geradora é possível remover as arestas A e C, que ficam então definidas como as cordas do grafo. As de‐ mais arestas são os ramos e, nesta situação, não existe nenhum circuito. Recolocando a corda A no grafo, define‐se o circuito for‐ mado pelas arestas A‐D‐G‐H‐E‐B, identificado no grafo como MA.
Retirando‐se novamente a corda A e recolocando‐se a corda C, define‐se o circuito C‐F‐I‐H‐E‐B, identificado no grafo como MC.
(a) Estrutura cinemática
(b) Grafo equivalente
Figura 2.2: Estrutura cinemática e grafo correspondente de um robô paralelo plano A D G I F C H E B 1 3 4 5 6 0 7 2 0 0
2
3
1
4
5
6
7
0
B
M
AA
C
D
G
H
I
E
F
M
Ccorte 2
corte 3
corte 4
corte 5
corte 6
corte 7
2.1 Teoria de Grafos aplicada a Mecanismos 47
A escolha das arestas que serão as cordas do grafo não é única e, para cada escolha feita, podem surgir circuitos formados por arestas diferentes destas. Na análise cinemática, uma escolha conveniente das cordas pode tornar o modelo menos complexo.
Tendo definido A e C como cordas, os sete cortes possíveis são mostrados na Figura 2.2(b). São eles as arestas A‐B‐C, A‐E‐C, A‐ H‐C, A‐D, A‐G, C‐F e C‐I. Na análise estática de mecanismos, uma escolha conveniente de cordas também pode conduzir a um mo‐ delo menos complexo.
Na análise cinemática e estática de mecanismos, uma corre‐ ta representação através de grafos das restrições impostas e das liberdades permitidas pelas juntas é necessária. As juntas são os elementos responsáveis por transmitir forças e torques de um elo para o adjacente em um mecanismo. São também responsáveis por permitir o movimento relativo entre dois elos adjacentes, podendo ser atuadas ou passivas. Cada aresta do grafo represen‐ ta uma junta de tipo qualquer, sendo as mais comuns em robótica a prismática, a rotativa e a esférica.
Considerando o espaço tridimensional, uma junta rotativa
R permite uma rotação e restringe duas rotações e três transla‐
ções. Supondo que a rotação permitida θz ocorre em torno do eixo
z, as rotações θx e θy em torno dos eixos x e y e as translações Lx, Ly
e Lz nas três direções cartesianas são restringidas. Na análise ci‐ nemática, esta junta é representada por uma única aresta equiva‐ lente ao grau de liberdade permitido. Na análise estática através do método de Davies, é interessante representar cada uma das restrições impostas pela junta como uma aresta. O grafo da junta rotativa utilizado na análise estática possui cinco arestas em para‐ lelo unindo dois vértices adjacentes, onde cada aresta representa uma das restrições impostas.
Na Figura 2.3(a) é mostrada a representação por grafo da junta rotativa, utilizada na análise cinemática, e na Figura 2.3(b) é mostrada a representação utilizada na análise estática. O fato de a junta ser atuada não modifica a representação utilizada na análise
cinemática. Na análise estática, esta atuação deve ser representa‐ da como uma aresta adicional unindo os dois elos adjacentes. (a) Grafo na cinemática (b) Grafo na estática Figura 2.3: Representação por grafos da junta rotativa na cinemática e na estática Para a análise cinemática, cada grau de liberdade permitido por determinada junta deve ser representado como uma única aresta no grafo. A junta esférica S, que permite três rotações (θx, θy e θz) e restringe três translações (Lx, Ly e Lz), é representada por grafos através de três juntas rotativas posicionadas em série, cada uma representando um dos três graus de liberdade permitidos (Figura 2.4(a)). Quando apresentado desta forma, o grafo é cha‐ mado de grafo expandido. Na análise estática, cada grau de li‐ berdade restringido deve ser representado como uma aresta em paralelo (Figura 2.4(b)), onde cada uma das arestas representa uma das três restrições impostas. (a) Grafo na cinemática (b) Grafo na estática Figura 2.4: Representação por grafos da junta esférica na cinemática e na estática 1 θz 0 1 0 Ly θ x Lz Lx θ y 1 0 θ x θz θ y 0 1 Lx Ly Lz
