Publicações do PESC Um Princípio do Máximo Discreto para Modelos Econômicos de Produção

I

"UM P R I N C ~ P I O DO ~ ~ Ã X I M O D I S C R E T O PARA MODELOS ECONOMICOS DE P R O D U Ç Ã O ~

Soa; Ankonho òhkega

O u t u b r o 1 9 7 4 N? 1 1 . 7 4

"UM P R I N C ~ P I O DO M.&XIMO DISCRETO PAR71 MODELOS ECONOI~ICOS DE PRODUÇÃO~

3oa; Ankonio Ohkega

O u t u b r o 1 9 7 4 \

"UM P R I N C ~ P I O DO M.&XIMO D I S C R E T O PARA MODELOS ECONOPIICOS DE PRODUC;ÃO~~

30nE AnZonio Ohfega

O u t u b r o 1 9 7 4 N? 1 1 . 7 ?

"UM

PRINCLPIO

DO ~ X P M O D I S C R E T O PARA

MODELOS ECONOMICOS DE PRODUÇÃO~' Soae Ankonio Ohkega

WM PRINC~PIO

D

O

MAXIMO

DI

SC

RET

O

PARA MODELOS ECONÔMICOS DE PRODUÇÃO

"

I JOS&

~ n t Ô n i o

Ortega

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-

GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO C0

_-

MO.

PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR

EM CIÊNCIA (D.Sc.1

.

Aprovada por:

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA

-

B W S I L

A

Vera

,

AGRADECIMENTOS

Ao meu o r i e n t a d o r , P r o f e s s o r R i c h a r d J e f f r e y Leake, p e l a p a c i ê n c i a

e d e d i c a ç ã o caem que me acompanhou n a e l a b o r a ~ ã o d e s t a t e s e .

Aos p r o f e s s o r e s J a c k Schechtman e Ronaldo C e s a r Marinho P e r s i a n o e demais c o l e g a s p e l a s d i s c u s s õ e s e s u g e s t õ e s .

A

Yeda C a r v a l h o D i a s

,

p e l a s u a d e d i c a ç ã o no t r a b a l h o de d a t i l o g r a

-

f i a .

iii

BIOGRAFIA DO AUTOR

JOS

E

A N T O N I O ORTEGA n a s c e u a 8 d e o u t u b r o de 1944 n a c a p g t a l do E s t a d o de s ã o P a u l o , f i l h o de ~ o s é O r t e g a F i l h o e C a r o l i n a L . C . O r

-

t e g a . Vive no Rio de J a n e i r o d e s d e 1 9 5 1 , onde t e v e s u a e d u c a ç ã o

e s c o l a r . Casou- se em 1968 com Vera L u c i a C a r v a l h o O r t e g a e

é

p a i de d o i s f i l h o s . Formou-se em 1969 n a ~ o n t i f í c i a U n i v e r s i d a d e Ca- t ó l i c a em E n g e n h a r i a ~ l é t r i c a , i n g r e s s a n d o n a COPPE/UFRJ no ano s e g u i n t e como a l u n o d e pÓs-graduação. Em 1 9 7 1 , o b t e v e o g r a u de M e s t r e em c i ê n c i a p e l o Programa de E n g e n h a r i a de S i s t e m a s , a c u j o c o r p o d o c e n t e p e r t e n c e d e s d e j a n e i r o d a q u e l e mesmo a n o , s e n d o a t u

-

a l m e n t e P r o f e s s o r A s s i s t e n t e .

RESUMO

Problemas de otimização em economia, quando caracterizados como pro

-

blemas de controle Ótimo referidos a sistemas, apresentam a particu

-

laridade de as decisões ou controles estarem restringidos pelo esta

-

do do sistema.

A

contribuição deste trabalho

é

o desenvolvimento de um novo princ~pio do mãximo discreto para essa classe de proble- mas. Ê introduzido o conceito de Configuração de Produção, como um modelo para sistemas econômicos de produção. Este modelo

é

uma ge- neralização de outros modelos, tais como Conjuntos de Tecnologia e são apresentados resultados, que demonstram serem ConfiguracÕes de Produção modelos naturais para o estudo da relação entre as descri- ções por sistemas de controle e por conjuntos de tecnologia. São analisadas também condições em que se pode garantir a existência de preços de equilíbrio na determinação de processos econÔmicss Ótimos e a utilização do princípio do máximo na determinação de soluções

-

8

timas.

ABSTRACT

O p t i m i z a t i o n problems i n economy, when d e s c r i b e d a s o p t i m a l c o n t r o l

problems r e l a t e d t o s y s t e m s , have t h e c h a r a c t e r i s t i c t h a t t h e c o n t r o l

c o n s t r a i n t s e t depends on t h e s y s t e m s t a t e . The c o n t r i b u t i o n o f t h i s

work i s t h e development o f a new d i s c r e t e maximum p r i n c i p l e f o r t h i s

c l a s s of problems. The n o t i o n of a P r o d u c t i o n C o n f i g u r a t i o n i s i n t r o d u c e d as a model f o r p r o d u c t i o n economic s y s t e m s . T h i s model

i s a g e n e r a l i z a t i o n o f o t h e r models s u c h as Technology S e t s and

r e s u l t s a r e g i v e n t o d e m o n s t r a t e t h a t P r o d u c t i o n C o n f i g u r a t i o n s a r e

n a t u r a l models f o r t h e s t u d y of t h e r e l a t i o n between c o n t r o l s y s t e m s

and t e c h n o l o g y s e t d e s c r i p t i o n s . A l s o , c o n d i t i o n s f o r e x i s t e n c e o f

e q u i l i b r i u m p r i c e s and u t i l i z a t i o n o f t h e maximum principie i n

INDICE

CAP~TULO

I

.

CONFIGURAÇÕES DE PRODUÇÃO E SISTEMAS; PROBLEMAS

...

DE OTIMIZAÇÃO

3

...

DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

4

OBSERVAÇÕES E EXEMPLOS

...

10

CAP~TULO

I1

.

UM

PRINCÍPIO

DO

MAXIMO

PARA SISTEMAS DISCRETOS

NO TEMPO. ONDE AS DECISÕES SÃO RESTRINGIDAS PE

.

L0 ESTADO DO SISTEMA

...

1 3

INTRODUÇÃO

...

14

...

DEFINIÇÃO

DO

PROBLEMA

1 5

...

HIP~TESES

16

...

PRINCÍPIO

D

O

MAXIMO

18

CAPÍTULO

I11

.

PREÇOS DE EQUIL~BRIO

.

CONDIÇÕES DE NORMALIDADE

49

PRINC~PIO

DO

MAXIMO

PARA CONFIGURAÇÕES DE PRODUÇÃO

...

50

PREGOS DE EQUIL~BRIO

FRA

CO

...

52

...

PREÇOS

DE EQUILÍBRIO

F

O

RTE

54

CONDIÇÕES PARA NORMALIDADE

...

56

...

OBSERVAQÕES E EXEMPLOS

57

CAPÍTULO

IV

.

UTILIZAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE NA DETER

.

...

MINAÇÃO DE PROCESSOS ÓTIMOS

.

UM EXEMPLO

61

...

v i i

APLICAÇÃO D

O

TEOREMA

( 4 4 )

D

O 29 CAPÍTULO

...

65

...

A

N

A

LI

S

E QUALITATIVA DAS

POSSÍVEIS

SOLUÇÕES

6 7

.

...

I

CONVENÇÕES GERAIS

85

...

11

.. SÍMBOLOS

E

ABREVIAÇ~ES

85

.

...

N e s t e t r a b a l h o

é

a p r e s e n t a d a uma abordagem d e s i s t e - m a s p a r a problemas de o t i m i z a ç ã o em economia.

Na Economia ~ a t e m á t i c a , um g r a n d e número d e p r o b l e

-

m a s , não m u i t o r a r a m e n t e

já

vêm c a r a c t e r i z a d o s como problemas de o- t i m i z a ç ã o de desempenho de s i s t e m a s , p o r exemplo, quando r e l a t i v o s

a modelos n e o - c l ~ s s i c o s de c r e s c i m e n t o econômico. O u t r a s v e z e s , não p a r t i n d o d a d e f i n i ç ã o de uma f u n ç ã o de p r o d u ç ã o , a q u e l e s problemas

têm

s u a f o r m u l a ç ã o v i n c u l a d a a r e l a - ç õ e s de p r o d u ç ã o , como

é

o c a s o em que s e r e f e r e m a c o n j u n t o s de t e c

-

n o l o g i a , c o n c e i t o i n t r o d u z i d o p o r Gale em 1956 [ 1 4 ]

.

Com o i n t u i t o de s e d a r um t r a t a m e n t o u n i f i c a d o a e s

_-

s e s p r o b l e m a s ,

é

i n t r o d u z i d o no p r i m e i r o c a p í t u l o o c o n c e i t o de c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o , c o n c e i t o e s s e e q u i v a l e n t e a o de um c e r t o t i p o de s i s t e m a . A s s i m , dada uma f u n ç ã o u t i l i d a d e , a b u s c a de um

p r o c e s s o Ótimo p a r a uma c o n f i g u r a ç ã o d e produção s e t o r n a e q u i v a l e n

-

t e

5

d e t e r m i n a ç ã o da s o l u ç ã o d e um problema de c o n t r o l e Õtimo r e l a - t i v o a um s i s t e m a .

0 s s i s t e m a s e q u i v a l e n t e s a c o n f i g u r a ç õ e s de p r o d u ç ã o ,

t ê m

como c a r a c t e r í s t i c a o f a t o de as d e c i s õ e s ( o u c o n t r o l e s ) e s t a

-

rem r e s t r i n g i d a s p e l o e s t a d o do sistema. P a r a uma c l a s s e de p r o b l e

-

mas de c o n t r o l e ó t i m o r e f e r i d o s a s i s t e m a s d e s s e t i p o ,

é

a p r e s e n t a - do no segundo c a p í t u l o um p r i n c í p i o do máximo, que dá c o n d i ç õ e s ne-

No t e r c e i r o c a p í t u l o s ã o e s t u d a d a s c o n d i ç õ e s em que f i c a g a r a n t i d a a e x i s t ê n c i a de p r e ç o s d e e q u i l í b r i o p a r a c o n f i g u r a

_-

çÕes de produção e f u n ç õ e s c r i t é r i o a e l a s a s s o c i a d a s . F i n a l m e n t e , a u t i l i z a ç ã o do p r i n c í p i o do máximo n a d e t e r m i n a ç ã o d e um p r o c e s s o Ótimo p a r a uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o e um c r i t é r i o d a d o s ,

é

v i s t a no q u a r t o c a p í t u l o , onde um problema formulado a p a r t i r de um modelo n e o - c l á s s i c o de c r e s c i m e n t o econÔmi

_-

c o

e

r e s o l v i d o em d e t a l h e .

C A P f T U L O I

CONFIGURAÇÕES DE PRODUÇÃO E SISTEMAS ; PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO. D E F I N I Ç Õ E S E EXEMPLOS.

DEFI'NI'ÇÕES 'E 'RESULTADO-S PRELIMINARES

Denominaremos c o n f i g u r a ç ã o de produção P d e h o r i z o n

_-

t e k

,

k

é E a q u a l q u e r s e q u ê n c i a _{('i) i = 0}

> . .

.

_{3k-1 de c o n j u n t o s :}

pi C E"XE~XE"

,

i = o , .

. .

, k -L

A uma s e q u ê n c i a ( ( x i , u i ) ) i = o , . . . . k 3 '21.2 q u e :

chamaremos um p r o c e s s o v i á v e l de P começando em 8. Abreviadamen

_-

t e : um p r o c e s s o v i â v e l de P.

-

N a c i r c u n s t â n c i a de Po

=

P1

-

...

=

P

,

n o s permi k- 1

-

t i r e m o s a um a b u s o de l i n g u a g e m , i d e n t i f i c a n d o P com Pi3 i = 0 3 . . . 3 k-1

.

Quando n o s r e f e r i r m o s a um s i s t e m a , e s t a r e m o s f a l a n - do de um s i s t e m a de equações: onde (xi ? u i ) € Xi C E" x Em _{0 , .}

.

_{- 1}

,

_{Xi a r b i t r á r i o} x

=

8

,

8 f i x o m a s a r b i t r á r i o O e f i : E" x + E" i = O , .

. .

,k-1

OU equivalentemente:

Xicl = W. 1 (xi >Ui)

onde

(1) TEOREMA :

configuração de produção e sistema são conceitos e

-

quivalentes, no seneido de que dada uma configuração de produção P,

é

possfvel definir um sistema tal que a todo processo viável de P

corresponda uma solução do sistema, e a toda solução do sistema, cor

-

aesponda um processo viável de P , e inversamente, dado um sistema

6

possfvel definir uma configuração de produção, tal que a toda so- lução do sistema corresponda um processo viável de P e a todo pro

-

cesso viável de P corresponda uma solução do sistema.

Prova :

Dado um sistema, definimos:

Pi

=

{(x,v,y) : (x,v) C Xi

,

y=wi(x,v)l

Dada uma configuração de produção, definimos:

A

e o r e s t o d a s a f i r m a ç õ e s s ã o v e r i f i c a d a s t r i v i a l m e n t e

.

D

o b s e r v a ç ã o : E v i d e n t e m e n t e , no t e o r e m a ( 1 )

é

p r o p o s t a uma r e a l i z a - ç ã o t r i v i a l e pouco i n f o r m a t i v a de uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o . 1s

_-

s o s e d á p e l a g e n e r a l i d a d e d e s t a . N a medida em que s e tem m a i o r i n

_-

formação s o b r e uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o , p o d e ~ s e d e f i n i r um s i s

_-

tema m a i s e l a b o r a d o . Tendo em v i s t a o t e o r e m a a c i m a , t r a t a r e m o s no

que s e s e g u e sempre de c o n f i g u r a ç õ e s de produção dadas e x p l i c i t a m e n

_-

t e como uma s e q u ê n c i a d e g r á f i c o s de r e s t r i ç õ e s de f u n ç õ e s : Abreviadamente: ( 2 ) TEOREMA S e o c o n j u n t o Xi

é

convexo e ( O , O C Xi

,

e n t ã o : a L ( ) Pi e convexo

& = D w i

( . ,.) e a f i m P r o v a :

Suponhamos q u e wi(.

,.

) s e j a a f i m . Sejam ( x t , u t , y t ) , ( x 2 , ~ 2 , y 2 ) C G r wi(. ,.) e O < X < l .

-

-

2 2 2 E n t ã o , y ' = w i ( x ' , u l ) e y = wi(x , u e deve s e r p r o v a d o q u e Mas, p o r d e f i n i ç ã o d e f u n ç ã o a f i m :

( =P)

Suponhamos a g o r a q u e G r wi(

.,.

) s e j a convexo. I s t o s i g n i f i c a q u e :

2 2 2

hwi(xt , u t ) + ( l - h ) w i ( x , u )

=

w i ( h x t + ( l - h ) x 2 , h u t + ( l - h ) u )

~ a m b é m , se 8

-

< O

,

8(xt ,ut)

C

Xi Y seja 8 A = - _{(logo, 1-X}

₌

-

1

_{- -}

8-1 1-8 1-h

-'

-

e . , O

- -

< h < 11, então:

+

( l - ~ ) w ~ ( e x ~ , s u ~ ) 9 e ( 4 ) w ~ ( ~ x ' , ~ u ~ )

=

- -

W.(X~,U~)

+

-

a-A

1 1-X w.tO,O) 1

=

ewi(xl,d)

+

(l-e)~~(o,o)

Ainda, se 8 > 1 , (xl,ut)t Xi, 8(xt ,ul)t Xi

,

seja

1

X =

-

(logo,

O

< A < 1). ~ n t ã o :

8

-

-

2 2

Finalmente, dados (xt ,ul 1, (x ,u ) Ç Xi tais que

2 2

Mas, p o r ( 3 ) :

A s s i m , ( 3 ) a ( 6 ) implicam p o r d e f i n i ç ã o , que w(.

,.

s e j a a f i m .

u

Dada uma c o l e ç ã o de f u n ç õ e s

estamos em c o n d i ç õ e s d e comparar p r o c e s s o s v i á v e i s de uma c o n f i g u r a

_-

ç ã o de produção P

,

começando em 8

,

e diremos que um d e t e r m i n a d o

C

p r o c e s s o (

(Xi

,ci)

i = o ,

,k v i á v e l p a r a P começando e m

e

e

Q t i m o , s e : k- 1 A A k-1 1 >

1

pi(xi,Ui)

1

p i ( x . 2ui)

-

p a r a t o d o p r o c e s s o i = l i = l

Assim, dada uma c o n f i g u r a ç ã o d e produção e uma f u n

-

ç ã o c r i t é r i o , a p r o c u r a de um p r o c e s s o &imo pode s e r t r a n s f o r m a d o em um problema d e c o n t r o l e Ôtimo r e f e r i d o a um s i s t e m a e q u i v a l e n t e c o n f igu r açã o de ~ r o d u ç ã o d a d a . OBSERVAÇÕES E EXEMPLOS U m a c o n f i g u r a ç ã o de produção a s s o c i a d a a uma f u n ç ã o

c r i t é r i o como acima d e f i n i d a s , a p r e s e n t a m uma g e n e r a l i d a d e q u e p e r

-

m i t e t r a t a r de um g r a n d e número de problemas de o t i m i z a ç ã o e s t u d a -

dos p e l a Ecanomia ~ a t e m á t i c a .

Algumas v e z e s , e s t e s j á vêm c a r a c t e r i z a d o s como p r o -

blemas de o t i m i z a ç ã o d a p e r f o r m a n c e de s i s t e m a s . Nesse c a s o , a con

-

f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o pode s e r i m e d i a t a m e n t e d e f i n i d a . Em o u t r a s

-

o c a s i õ e s , a q u e l e s problemas t e m s u a f o r m u l a ç ã o v i n c u l a d a a r e l a ç õ e s de produção. A s e g u i r a p r e s e n t a r e m o s c o n f i g u r a ç õ e s de p r o d u ç ã o a s - s o c i a d a s a e s s e t i p o de r e p r e s e n t a ç ã o

C ] *

1 5 1) S e j a

s c

E" um c o n j u n t o de e s t a d o s p o s s T v e i s d e uma economia. Um s u b c o n j u n t o T C SxS

,

c u j o s e l e m e n t o s r e p r e s e n t e m t r a n s i ç õ e s p o s s í v e i s do e s t a d o d a economia

é

denominado um c o n j u n t o t e c n o l o g i a . P a r a c o n j u n t o s t e c n o l o g i a , podemos d e f i n i r a c o n f i g u

-

r a ç ã o de produção:

2 ) Uma outra representação, esta levando em conta uma poss~vel mudança tecnolÔgica ( 1 6 3

,

é

dada por intermédio de con

-

juntos

Qi

C

SxExS

,

i=O

,

.

.

.

,k-11

cujos elementos (x,a,y) representam transições de estado da econo

-

mia, que além de possiveis tecnologicamente, têm associados ganhos admissíveis no instante i

.

Nesse caso, a configuração de produção pode ser definida como:

-

Pi = {(x,u,y) : (x,u)tQi, y=Au}

,

onde

Como já abservado anteriormente,a respeito de siste- mas que sejam realizações de configurações de produções, o grau de informação de uma configuração de produção se preserva quando estas são definidas a partir de outras representações. Para efeito de i- lustração, apresentamos um conjunto tecnologia eficiente provenien- te de um modelo dinâmico de Leontief [ I 7 e uma configuração de produção equivalente:

Nesse caso, o estado do sistema

6

um vetor cujas com

_-

ponentes representam a produção líquida disponfvel em um período de produção. As componentes do vetor z representam a produção bruta de um determinado bem em um ~eríodo.

A

matriz

B

representa os fatores que entram em um processo de produção, e a matriz

A

o consumo de bens na produção durante um período.

A

diferença entre essas duas matrizes estâ no fato de alguns bens (ou fatores) entrarem no processo de produção sem serem consumidos.

configuração de produção associada:

~ostarzamos de ressaltar o fato de que em todos esses exemplos as configurações de produção são dadas explicitamente como

sequências de gráficos de funções.

No capítulo, apresentaremos resultados váli- dos para uma classe de sistemas, cujas configuracões de produção e- quivalentes, em particular englobam as dos exemplos dados acima.

C A P Í T U L O I1

UM PRINCÍPIO DO

MAXIMO

PARA SISTEMAS DISCRETOS NO

TEMPO, ONDE AS DECISÕES SÃO RESTRINGIDAS PELO ESTADO DO SISTEMA.

A classe de problemas para as quais

é

válido o resul- tado apresentado neste capítulo

é

equivalente

2

dos problemas de o-

timização em configurações de produção

onde

vxc

xi,

i=o,.

.

.

,k-1

,

os conjuntos

são convexos na direção bo

=

(-1,0,.. . , O ) * , as funções wi(.,.) e

-

p i são continuamente diferenciáveis e os conjuntos '_i s ao

convexos.

1

Embora o p r i n c í p i o do máximo p a r a s i s t e m a s c o n t í n u o s

t e n h a s i d o demonstrado p o r P o n t r y a g i n e t . a l .

C21

há m a i s d e 1 2 anos, o s d e t a l h e s matemáticos d a p r o v a do p r i n c í p i o do máximo d i s c r e t o f o

-

r a m c l a s s i f i c a d o s a p e n a s r e c e n t e m e n t e .

A p r i m e i r a r e f e r ê n c i a a um p r i n c í p i o do máximo p a r a

sistemas d i s c r e t o s no tempo pode s e r a t r i b u i d a a Rozenoer [3]

.

A

a f i r m a ç ã o d e s t e de que ''a e x t e n s ã o do p r i n c í p i o do máximo p a r a s i ?

t e m a d i s c r e t o s

é

p o s s í v e l , em g e r a l , apenas no c a s o l i n e a r " , j u n t a

-

mente.com p r o v a s f a l h a s f e i t a s p o r p e s q u i s a d o r e s m a i s r e c e n t e s , c a u

-

s o u c o n f u s ã o c o n s i d e r á v e l no a s s u n t o .

Começando e m 1964 e m a i s t a r d e em 1966, Halkin [4,5]

p r e s e n t o u uma p r o v a m a t e m á t i c a c u i d a d o s a do p r i n c í p i o do máximo d i s

-

ereto. Q u a s e a o mesmo tempo, P r o p o i chegou mesma c o n c l u s ã o , de que

é

r e q u e r i d a uma h i p ó t e s e r e l a t i v a m e n t e f o r t e de c o n v e x i d a d e . Bruckner e Wu [7J f i z e r a m um e s t u d o do c a s o em que o s c o n t r o l e s s ã o r e s t r i n g i d o s p e l o s e s t a d o s . I n t r o d u z i n d o o c o n c e i T o d e : c o n x e x i d a d e

d i r e c i o n a l , Holtzman e H a l k i n L8-101 extenderam b a s t a n t e a a p l i c a

-

b i l i d a d e dos r e s u l t a d o s de H a l k i n .

Mais t a r d e , Cannon, Cullum e P o l a k rll]

-

e D a Cunha e Polak E121 a p r e s e n t a r a m um método p a r a t r a t a r d e t a i s problemas,usa@~ do um t e o r e m a b á s i c o de o t i m i z a ç ã o e uma abordagem s i s t e m á t i c a p o r

aproximações c Ô n i c a s . Usando e s t e m6todo e l e s s i m p l i f i c a r a m enorme

-

mente a p r o v a do p r i n c Z p i o do máximo d i s c r e t o e a p r e s e n t a r a m e x t e n

sões que incluem r e s t r i ç õ e s do e s p a ç o de e s t a d o s e funções o b j e t i

_-

vos v e t o r i a i s . Seu t r a b a l h o

é

resumido no l i v r o d e Cannon, Cullwn e P o l a k

[I].

N e s t e c a p í t u l o

é

provado um p r i n c f p i o do máximo d i s

-

ereto v á l i d o p a r a uma c l a s s e de problemas n a q u a l o s c o n j u n t o s d e r e s t r i ç ã o dos c o n t r o l e s dependem do e s t a d o do s i s t e m a , usando o

f o r m a l i s m o e o t e o r e m a b á s i c o de o t i m i z a ç ã o d e Cannon, Cullum e

P o l a k

[I].

DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

Consideremos o s i s t e m a d e s c r i t o p e l a s e q u a ç õ e s :

..

Achar uma s e q u ê n c i a

(c0,

...

, U e uma c o r r e s p o n d e n

k-1

-

t e t r a j e t ó r i a

( 2

0 3 . . . , 2

que minimize k

onde

1

'i = I x E E" : U . ( x ) 1

#

$1 i = O , . . . , k

li

onde g : E" + E tem j a c o b i a n o d e p o s t o máximo onde i

c a l c u l a d c

D e f i n i n d o Xi A

-

{ ( x , u )

6

E" x Em :

u

6

Ui(x)

1

i = O,... ,k

onde

Uk

(x) = Em

v

x E", vamos c o n s i d e r a r que :

(1)

b/

i

=

o , . - - , k

-

1

,

V ( x i , u i )

E

Xi as f u n ç õ e s f i ( . , . ) , f i ( . , . ) s ã o c o n t i n u a m e n t e d i f e r e n c i ã v e i s

Definamos :

F~

:

E"

x +

E

ntl _i

₌

_O

_,.

_..,k-1

~ n t ã o suporemos que

( 2 )

V

i = O,-..,k

-

1

,

V x E E n os conjuntos Fi(x,Ui(x)) C

E

ntl são bo

-

convexos

Isto significa que dados u t e u" em Ui(x) e O

2

h 5 1

,

3 u ( h ) E Ui(x)

3

f i x , u

=

A fi(x,ul

+

(1-1) f;(x,ul')

Se U.(x)

é

vasio, então Fi(x,Ui(x))

é

_{também vasio, logo di}

1

recionalmente convexo. No que se segue entretanto, a existê~ cia de controles Ótimos garante que U.(X.) não sejam vasios.

1 1

( 3 ) Finalmente, suporemos que

bl

i

=

O,.

.

.

,k

-

1 os conjuntos

X

i são convexos.

Em r e a a ç ã o a o problema d e f i n i d o e

2s

h i p ó t e s e s a p r e - s e n t a d a s a c i m a , podemos e n u n c i a r o s e g u i n t e :

( 4 ) TEOREMA:

*

Se

(uO,

...,

u )

e

uma s e q u ê n c i a d e c o n t r o l e s Ótimos

k- 1 A A e ( x O ,

...,

x _k ) uma t r a j e t ó r i a c o r r e s p o n d e n t e p a r a o problema, n & o e n t ã o e x i s t e m v e t o r e s p O , .

.

.

,pk

E

E _{; p O}

₆

_{E ; p k}

_E

_{E R k e} O um e s c d a r p

-

O nem t o d o s n u l o s , t a i s que: Je

V

t6x

i'

s u i )

E

RC

_xi)

,

i

=

O

, .

.

.

,k

-

i

Finalmente, para i

=

O,.

. .

,k

-

1 o Hamiltoneano

H

: x

E ~ X E ~ X E

~ { o , .

..,k

-

11 -t

E

O O o

(x,u,p,p ,i) +-+ p fi(x,u) + (p,fi(x,u))

satisfaz a condição de máximo:

Para demonstrar o Teorema, transformaremos o problema em um problema de programação matemática da forma:

(8) Encontrar um vetor

2

c

satisfazendo (9)

Z

E n

(10) r(&) = O tal que

f(i)

5

f(z)

z

6

E"

satisfazendo (9) e (10) onde

f :

E"

+ E

,

r

:

E"

+ são funções continuamente diferen-

ciãveis e

n

é

um subconjunto de En.

Definiremos conjuntos Si! e

c(~,nt)

e mostraremos que satisfazem as hipóteses do :

(11) TEOREMA:

Seja Sit c um conjunto com a propriedade que

z t

e

n t

3

z

E

Q satisfazendo r(z) r(zt) e f(z)

-

< f(zf). Se

Z

e

uma solução Ótima para o problema de programação ma temática definido acima,

2

c

e c(2,at)

é

uma aproxima-

A

o 1 e n t ã o e x i s t e um v e t o r não n u l o @ = ( 4

,

₄

,

. . .

,

$I m,

c

E m t l o com 4

-

1 0 t a l q u e ~ ' ~ Z E C ( Z , Q ~ ) p r o v a :

[I]:,

pg. 8 5 A a p l i c a ç ã o d e s s e Teorema nos c o n d u z i r á ao r e s u l t a d o alme j ado

.

TRANSFORMAÇÃO DO PROBLEMA EM UM DA FORMA (8) :

i

=

O k

-

1 s e j a V i

=

(v;,vi)

E

E n t 1 ~ n t ã o a e q u a ç ã o : X itl

-

X i

=

f . ( x . , u . ) 1 1 1 i = O ,

...,

k

é

e q u i v a l e n t e a Xi+ i

-

x . 1 = v . 1 com v i

6

f . ( x , u i ( x i ) ) 1 i i O , . . . , k - 1 S e j a podemos e n t ã o d e f i n i r :

o O

z

E

n

vi = fi(xi,ui) para algum (x ,u.

c

_Xi i i

(15) n t

=

{ Z

=

((xo,u0)

,...,

(X _k,U ),Vo _k

,...,

V

_{k - 1} ) : (xi,ui)€

xi

e

Vi

E

co Fi(xi,Ui(xi))

,

i = O,.

. .

,k

-

11

Seja (c0,.

. .

uma sequência de controles Ótimos pg

k- 1

..

ra o problema original e (XO,

...,

x

) a trajetória correspon-

k

A A

dente. ~ a m b é m , seja

Vi

=

F.

( 2 .

,ci)

,

i = O,.

.

.

,k

-

1. Isto

1 1

VERIFICAÇÃO DE QUE OS CONJUNTOS Q t e C ( z , n l ) SATISFAZEM AS H I P ~ T E - SES DO TEOREMA (11): ( 1 8 ) LEMA: O c o n j u n t o Q 1 s a t i s f a z as h i p ó t e s e s do TEBREMA (11). p r o v a : S e j a z f i

=

( ( x g ,L$), ,

. .

,

(x;? , u * )

,V:

,..

.

k k

, v ~ - , >

E

n t

Como o s c o n j u n t o s F . (x. , U . (x.)) s ã o b

-

con<exos e 1 1 1 1

o

V!

E

co F i ( x ? , U i ( x f ) ) C E n t l i

=

O ,

...,

k - 1, e n t ã o

-

V

. x , U i x 1 1

,

i = O

,...,

k

-

1 -f

-

' i = V:

+

fii b o p a r a algum

-

>

o

i- %. l o g o V; e i i = O , . . .,k

-

1 1 1

-

( f i ) Vide A p ê n d i c e , ( l l ) , p a r a a d e f i n i r ã o de R C ( % , Q )

.r. _3:

mas

v . €

F ~ ( X ~ , U ~ ( X = ) )

c

ui(xi)

f

1

ZS

-

V.

= F.(x.,u.)

,

Portanto para

1 1 1 1 .ir

-

Vk-l)

temos: (19)

-

LEMA: O conjunto c(~,Q')

é

um cone. prova : Seja 6 2 E c ( S , Q ' )

,

6 z $ O e h € E , h

_-

> O ~ n t ã o , evidentemente

também,

p o i s s e

E

~ n t ã o , se tomarmos =

-

,

temos q u e

l o g o ( 2 0 ) v a l e . A s s i m , s e 6z C

c ( Z , a 1 )

,

e n t ã o A 6 2

e

c ( 2 , a 1 )

p a r a A

-

> O

1

( 2 1 ) LEMA: O Conjunto C ( Z , a 1 )

é

convexo. Se 6 z 1 , 6z"

c

c ( Z , a l )

,

e n t ã o

Como R C ( ( + ~ ) ,

x . )

é

um cone convexo:

1 P o r o u t r o l a d o , se I c. 6 v i , o v ; E R C ( V ~ , co F ~ ( X ~ , U ~ ( + ) ) , Ci Como c o

é

um c o n j u n t o convexo,

#.

_..

A s s i m , ( 2 2 ) e ( 2 3 )

--h

6 z 1

+

6z" c ( 2 , f i 1 ) , o q u e , p e l o f a t o de c ( ; , Q ' ) ser um cone g a r a n t e que s e j a convexo.

( 2 4 )

-

LEMA:

O c o n j u n t o c ( Z , n l )

é

uma aproximação cÔnica d e s e g u n

-

da e s p é c i e do c o n j u n t o

a ' ,

no p o n t o

g.

U m a vez que j á f o i provado q u e

c ( 2 , n 1 )

é

um c o n e COE

vexo, r e s t a p r o v a r q u e p a r a t o d a c o l e ç ã o f i n i t a (6z .

,,.,,

6z

I

P de v e t o r e s l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s em c ( ~ , Q ' ) , e x i s t e m um e s c a l a r c > O e uma f u n ç ã o c o n t h u a ~ n t a Õ , s e j a (6z1,.

. .

,6z 1 um c o n j u n t o de v e t o r e s P l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s em C ( ~ , Q ' ) com 6 2

=

( ( 6 x o j 3 6 u o j )

,...,

( 6 x ,6ukj),6V

,...,

6V j k j o j ( k - 1 ) j)

Logo, pela defini~ão de

c(Z,Q'

) temos:

para i=O

,..

.

¶k-1; j=l,..

.

,p onde

É importante notar que com isso estamos definindo

V

i j que

n

só depende de 6 2 e z .

j

Como os cones

RC((X~,~~),X~)

e

RC(Y.

1' co F.(#i,~i(Xi)))

1

são aproximações cÔnicas de primeira espécie (Apendice, ( 1 2 ) ) , en

-

linearmente independentes em RC(

(Xi

,ci)

,Xi) e para o conjunto

..

..

{V

Consequentemente, pela proposição ( 5 ) do apêndice, pg

2 P

ra quaisquer escalares

v l , v

.

2 O tais que

P

2

v'

5

i temos:

j -1

Afirmação: esse E serve para o nosso propósito e por-

tanto construção da função

c ( .

)

.

Essa afirmação ficará justificada no processo de cons- trução que será feito em três etapas:

a

1- etapa: Obtenção de uma representação dos vetores

a

. *

z

=

2162 co {z,z+aõzl,

...

,2+~6z em têrmos de vetores em

P

c. A

n n Seja C = co {z,z+e6?.

.

.

,;+c62 P ~ n t ã o ,

v

z

e

C temos: - A (28) 6z = z-z = E

1

uj(z) 6 2 j=i j

~ a m b é m , como os vetores z são linearmente indepen

-

j

dentes

,t/

z E C os escalares pj(z) ; j = l , .

.

.

,p são univocamente de

terminados por (28).

Agora, como

temos :

D

para quaisquer escalares p

,

.

.

.

,uP >

-

O

1

i 1 ~ < 1

-

k= 1

Logo, se tomarmos pj

=

1 e ii

=

0 se

k

f j temos:

n n n n

Vi

+ c(Vij-vi) C co Fi(xi,U.(x.)) 1 1 para = O 1 e j=l,

...

,p

Mas, como

p a r a cada i = O ,

...,

k-1 e p a r a c a d a j = l , _{. . . , p e x i s t e m v e t o r e s}

ua

_ij c

ui(Zi)

com a.1,.

. .

,s t a i s que i j

a

onde A i j j O

,

~ ' I J ~ v .

= 1

a = l 11

A

2

bom n o t a r que o s

ua

_i

_{s ó}

dependem dos V i j

j e d o s V i ,

onde z

e

C , temos d e ( 2 8 ) :

e n t ã o q u e 3 p o r ( 2 9 ) f i c a : P S . .

.

+ j

I

=i u'(Z) [ l i j F i i , j

-

F . ( i i , u i ) L i = O , . .

.

, k - 1 2a e t a p a : ~ e f i n i q ã o d e 6 : C +- Q t e p r o v a d e que

é

con

-

t ;nua

.

P D e ( 2 8 ) t i n h a m o s : 6z

=

c

1

l . L j ( z ) 6z j = 1 j

onde (ii) ui OL (

.

)

é

contínua p r o v a : Observemos que : L e que Xi e convexo. Em particular, para j =1,

.

.

.

,p

..

também, (xi,ui)

C

xi

~ n t ã o , q u a l q u e r combinação convexa d ê s s e s p o n t o s p e r - t e n c e r ã o também a X _i' i s t o

é:

Se y o + y1 +

..

.

-

+ Y~

-

1, y i l O , e n t ã o

Agora, como V

-

< 1, z

_-

> O

'd z

E C , temos: j = l

Mas

Então ( x . , u a ( z ) ) c Xi

\d

z C C e ( i ) e s t á v e r i f i c a d a .

i i j

~ l é m

d i s s o , como p a r a z 6 C

podemos e s c r e v e r 6z

=

Ap(z) onde

Mostremos que A

é

i n j e t i v a

,

p o i s e n t ã o f i c a garantida a e x i s t ê n c i a de uma i n v e r s a e s q u e r d a p a r a A ( a p ê n d i c e , p r o p o s i - ç ã o ( 1 6 ) ) :

Mas os 6zi ,i=l,

.

. .

,p são linearmente independentes, logo (ai-bi) = O

,

i=l,

...,

p ; isto

é:

a=b e

A

é

injetiva.

Consequentemente

2

Y,

inversa

2

esquerda de

A

3

Agora, como

Podemos escrever:

-01

ua ij (z)=uij+6u.+Bq 1 p(z) onde

Finalmente, temos por (31):

uu (z)=~O.+SU.+BO _ij

Y

6 2

,

o que garante a continuidade de

i] i i

u" i j

( . I

e que iim u" (z)=GYj

ij ((ii) e (iii)).

4

DEFINIÇÃO (de 5 ( . ) ) :

Seja z = ((x _O ,u _O 1,

...,

(xk,uk),

VO,...,Vk-l

)cC arbitrário e

âz=z-g

j

onde os V (z)

,

j=l, ...,p são univocamente de3erminados por (28).

Em primeiro lugar, observemos que por construção,temos

por (27) que (xi,ui) E Xi

i=O

,...,

k , logo y i ~Xi i-O

,...,

k

s

..

a

Mas

1

X.. = 1

,

logo

a = l 13

W.(z)

é

_{uma combinação convexa de elementos de Fi(xi,U(xi)),}

l o g o :

e e n t ã o 5 ( z ) € 62'

Como z

6

C f o i tomado a r b i t r á r i o , 5 ( ) mapeia C em 62

'

.

L ~ a m b é m , como composição de f u n ç õ e s c o n t h u a s ,

c

( . I

e c o n t h u a

.

a 3- e t a p a : ~ e r i f i c a ç ã o de q u e C ( ~ + G Z )

=

; + 6 z + 0 ( 6 z ) com S e j a , p a r a i = l ,

...,

k-1, Z i ( z ) uma m a t r i z com p c o l u n a s , onde a j-ésima c o l u n a

é

dada p o r :

Mas d a d e f i n i ç ã o d e 5( e temos :

P S..

a a

Wi(z) = Fi(xi,ui)

+

1

V ' ( Z > [UIIA.. i]

F.

i

x

i Z

-

Fi(xi,ui)

o que implica em:

Então :

e usando (321, obtemos:

por outro lado, as funções Fi(.,.), i=l,

...,

k-1 são contínuamente

diferenciáveis, logo podemos escrever:

onde

temos

Onde, como Z.í.1

é

contfnua ( c o m p o s i ç ~ o de funções con

1

-

tínuas :

IIZ~(Z+SZ)

-

z:~(Z)II

1 1

yll /I6zlI

C lim

=

n

Assim, temos:

Logo, para qualquer z = Z + ã z C, temos :

A

c(i+dz)

=

(y0(2+6z), ...,y K(z+6z), Wo(~+6z),...yWK-l(~+6z))

Mas,

(37) yi(i+6z) =

(%i,;i)

+

( ~ x . ,õui) i = O ,

...

,k

1

e de (36) e (30) temos:

A

l o g o de (37) e ( 3 8 ) temos que

e consequentemente C ( z , Q 1 )

é

uma aproximação cÔnica d e s e g u n d a e s -

pé c i e do c o n j u n t o Q 1 no p o n t o

2

DEMONSTRA~&O DO TEOREMA ( 4 ) Como o s c o n j u n t o s Q 1 e C ( z ' , O 1 ) s a t i s f a z e m as h i p o t e - ses do t e o r e m a ( 1 1 1 , a p l i c a n d o e s t e concluimos q u e : o O 3 u m v e t o r não n u l o 4

=

( p , T ) , com p

_-

_{< 0} e e onde

Substituindo f e r em (391, temos v 6 2 E

c(i,iit)

: Suponhamos que =

(o

,...,

0,6Vi,0

,...,

o )

c

c(z,nt) Entao, de (40) temos: ( 4 1 _{P0 6vi} O + (Pitl.6vi)

-

< O

b'

a v i

R C ( Y ~ ,

co

F ~ ( X ~ , U ~ ( X ~ ) ) )

Em particular, se h

=

1 Isto

é:

# .

..

co

F ~ ( X ~ , U ~ ( % ~ ) )

C

{Vil

+ RC(Vi, co

F ~ ( X ~ , U ~ ( X ~ ) ) )

Mas Logo de (41) temos: O U seja:

Então ( 4 0 ) nos dá:

mas como X k

=

E"

x

E~

. RC((xk,uX) então de ( 4 2 ) obtemos: Finalmente, definamos: r e seja para i # k com:

E n t ã o , d e ( 4 0 ) temos:

( 4 4 ) TEOREMA:

Suponhamos q u e t o d a s as h i p ó t e s e s do t e o r e m a ( 4 ) s ã o

s a t i s f e i t a s , com

Ui(xi)

=

{ui : Ri(xi,ui)

<

-

0 )

p a r a i = O

,

.

.

.

,k-1

onde c a d a f u n ç ã o Ri : E" x ~ ~E ?i -

é

tc o n t i n u a m e n t e d i f e r e n c i a v e l

e o s g r a d i e n t e s d a s r e s t r i ç õ e s a t i v a s s ã o l i n e a r m e n t e independen t e s , i s t o

é:

é

um c o n j u n t o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e , onde: j..

..

I₁.

(2.

₁

,c.

₁1 = { j :Ri(xi,ui)

=

O

,

1 5 j

-

< q . ₁ 1 i = O

,

. .

.

,k-1 n fik ~ n t ã o e x i s t e m v e t o r e s p O , .

.

.

,pk E

; v 0

E E

; v k

E ; 90 qk-P A o € E

v

~

~

J

~

E

-

~

e um e s c a l a r

C

p0 5 O nem t o d o s n u l o s t a i s que : :hi 5

-

O i = O

,.

. .

,k-1 p a r a i = O , .

.

.

,k-1 e f i n a l m e n t e , p a r a i = O , .

.

.

, k - 1

Hamiltoneano

satisfaz a condição de máximo:

prova:

A

independência linear dos vetores gradientes

implica que o conjunto:

para j

C

I ~ ( P ~

,Gi)}

esteja contido em

RC((X~,G~),

Xi)

p a r a t o d o ( 6xi, 6ui) s a t i s f a z e n d o :

Aplicando o lema de Farkas ( ~ p ê n d i c e , Q.7

I ) ,

temos que

Qi

<

o

3°C'

, ' i = i = - t a i s que as e x p r e s sÕes (459, ( 4 6 ) e ( 4 7 ) sejam s a t i s f e i t a s . Evidentemente, como a s

h i p ó t e s e s do teorema (4) s ã o t o d a s s a t i s f e i t a s , a s o u t r a s condi-

ç õ e s , a n á l o g a s a s do teorema ( 4 1 , s ã o também s a t i s f e i t a s .

n

( 4 8 )

COROLARIO

Se as funções R;(.

,

.

,

i = O ¶ .

.

.

,k-1; j = l , .

.

,qi s ã o

PREÇOS DE E Q U I L ~ B R I O

.

CONDIÇÕES DE NORMALIDADE

O s r e s u l t a d o s do c a p í t u l o a n t e r i o r , quando r e f e r i d o s

d i r e t a m e n t e a c o n f i g u r a ç õ e s de produção e f u n ç õ e s c r i t é r i o a e l a s

a s s o c i a d a s , dão margem a v á r i a s i n t e r p r e t a ç õ e s de i n t e r e s s e econo-

mico. A s s i m , s ã o v i s t a s a q u i c o n d i ç õ e s p a r a a e x i s t ê n c i a d e p r e

-

ç o s de e q u i l i b r i o f o r t e e f r a c o e n o r m a l i d a d e .

No que s e s e g u e , c o n f i g u r a ç õ e s de produção P s ã o con

-

s i d e r a d a s dadas e x p l i c i t a m e n t e p o r s e q u ê n c i a s de g r á f i c o s d e res

-

t r i ç Õ e s d e f u n ç õ e s ( P i I i i l , ,k-l

.

Pi = G r wi(.

, . I

/ Xi > e f u n ç õ e s c r i t é r i o como a p l i c a ç õ e s : onde V

é

o c o n j u n t o dos p r o c e s s o s v i á v e i s p a r a P e as p i s ã o f u n ç õ e s :

P R I N C ~ P 1'0 D-O MÁXIMO PARA CONFIGURAÇ.ÕE S DE

PRODUÇXO

Se s u p u s e r m o s q u e g k ( . ) = O e g o ( x o ) = x - O = O

,

O

n o t e o r e m a ( 4 4 ) do s e g u n d o c a p i t u l o , v e r i f i c a m o s q u e uma c o n d i ç ã o

n e c e s s á r i a p a r a q u e uma s e q u ê n c i a fii13...,uk-l d e c o n t r o l e s c o r r e s

-

pondendo t r a j e t ó r i a 1 3 . . . , s e j a uma s o l u ç ã o Ótima d o p r o b l e

k

-

O o m a 1; d e f i n i d o ,

é

q u e

3

P " , P o 3 . .

.

, p k , ~ , p k ; p é E , p _{- O} n P 0 3 * * * 3 P k E E 3 r i o G E 10 3 p k c E l k nem t o d o s n u l o s , t a i s q u e :

Essa Ú l t i m a r e l a ç ã o e x p r e s s a n d o .o p r i n c í p i o do mãxi-

mo, p r o p r i a m e n t e d i t o .

..

Se a d i c i o n a r m o s (Pi+i ,xi

)

a ambos o s membros de

( 3 1 , obtemos:

e , s u b t r a i n d o n o s d o i s membros:

onde

P o r s e t r a t a r d e uma c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a p a r a a e x i s t ê n c i a d e um p r o c e s s o Ótimo p a r a uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o , cha

_-

maremos e s s a r e l a ç ã o de p r i n c í p i o do máximo p a r a c o n f i g u r a ç õ e s de

PREÇOS D

E

EQUILFBRIO

FRACO

Dizemos que uma configuração de produção

onde

goza de disponibilidade livre

,

se:

Nesse caso, uma variação:

(6xiy6u.) 1 = (a,O)

,

a - > O arbitrário

-

é

válida para (11, de onde obtemos:

Logo, s e a s c o n d i ç õ e s : s ã o s a t i s f e i t a s , e

j á

que pk50, e n t ã o : Quando e s s a c o n d i ç ã o f o r s a t i s f e i t a , e s s e s v e t o r e s se

_-

r ã o denominados p r e ç o s a s s o c i a d o s a o s v e t o r e s x

,

e a e x i s t ê n c i a i de v e t o r e s p o , . .

.

,pk

,

que j u n t o com um e s c a l a r p0

_-

O s a t i s f a

_-

zem ( 4 ) , pode s e r i n t e r p r e t a d a como a e x i s t ê n c i a de p r e ç o s de e q u i

_-

l i b r i o f r a c o p a r a uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o , em r e l a ç ã o a uma f u n ç ã o c r i t é r i o . Observação : A s c o n d i ç õ e s (7) e ( 8 ) s ã o s a t i s f e i t a s quando a s com

_-

p o n e n t e s d e p i ( . , . ) e w i s ã o monotÔnicas c r e s c e n t e s n a p r i

_-

m e i r a v a r i ã v e l .

Uma outra forma de escrever a relação (1) seria:

A A

para (Gxi,Sui)

=

A(xi-x. 1 ,ui-ui)

,

(xi,ui) Xi

,

h

2

O

> O para i = O . . . k - 1 e:

Portanto, se pi

-

_-

(11) f

.

,

.

é

cÔncova, i=O,.

. .

,k-1

O *

(12) fi(.,.) e convexa, i = O

,

.

.

.

,k-1 ;

Como p0

-

O , to mando h=l em (10)

,

obteríamos :

para (xi,ui)

E

Xi

pu a i n d a : i = O , .

. .

,k-1 p a r a ( x i ,ui)

f

Xi ~ n t ã o , podemos c o n c l u i r que s a t i s f e i t a s as c o n d i ~ õ e s ( 9 1 , (11) e (12),uma c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a p a r a que um p r o c e s s o ( ( % + ) ) i i = O , .

. .

,k

,

v i á v e l p a r a uma c o n f i g u r a ç ã o de p r o d u ç ã o , s e

-

j a Õtimo em r e l a ç ã o 2 s f u n ç õ e s p i

,

i = O . . k - 1 6 que e x i s t a m v e

-

t o r e s po,

.

. .

,pk não n e g a t i v o s , e um e s c a l a r p O c

-

O nem t o d o s nu- l o s , t a i s q u e : p a r a t o d o p r o c e s s o ( ( x i , u i ) ) i = o

_,.

. .

_,k v i á v e l p a r a a c o n f i g u r a ç ã o de produção. Quando i s s o o c o r r e r , e s s e s v e t o r e s s e r ã o chamados p r e

-

ç o s de e q u i l í b r i o f o r t e . o b s e r v a ç ã o : A s c o n d i ç õ e s ( 1 1 ) e ( 1 2 ) s ã o e q u i v a l e n t e s a w i ( . , . ) e P

,

.

serem c ô n c a v a s .

Admitamos que n a c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a de o t i m a l i d a d e

( 1 4 ) , p O = ~

.

E n t ã o , nem t o d o s o s p r e ç o s de e q u i l í b r i o f o r t e Po

,

,Pk podem s e r n u l o s . Mas sabemos que pk=O

,

e s e :

( 1 6 ) wi(O,O)=O O

,

. . .

- 1

,

temos :

q u e i m p l i c a em:

Suponhamos também que s e j a s a t i s f e i t a a c o n d i ç ã o :

S s (18) s € 0 .

.

k -

3

um p r o c e s s o v i á v e l ( ( x i , u . _I. 1) _{i = O ,}

_...,

_k Nesse c a s o , nós temos: A S

(

pS 3 X s )

-

( p S q 'xs-l>

?.

(pS 3 x s )

-

(ps-l'xs-l

"

>

A n S _S

)

-

(pS-2 >xS-2) ( P ~ - ~ > x ~ - ~ )

-

(pS-2 3xS-2

)

( p s - 1 , ~ s - 1

q u e , somadas membro a membro, p r o p o r c i o n a :

s = O 1

.

- 1 e chegamos a uma c o n t r a d i ç ã o . Logo, podemos c o n c l u i r que:

C151, ( 1 6 ) e ( 1 7 ) p0 < O

,

e r e d e f i n i n d o o s pi

,

i = O ,

.

.

.

, k ( d i v i d i n d o - o s p o r - p O )

,

r e e s c r e v e r a r e l a ç ã o ( 1 4 ) n a forma: e q u i v a l e n t e à q u e l a , quando p0 = -1

.

OBSERVAÇÕES E EXEMPLOS 1 ) A h i p ó t e s e de bo

-

convexidade f e i t a no 29 c a p í t u l o : Dados :

n o c a s o em que f i (

.

,

.

ou e q u i v a l e n t e m e n t e wi(

.

,

.

,

s e j a m a f i n s o

n a p r i m e i r a v a r i ã v e l ,

é

g a r a n t i d a p e l a c o n c a v i d a d e de _{f i ( . , . )} ( c o n c a v i d a d e de p i ( . , . ) ) :

2 ) Em r e l a ç ã o

2

r e p r e s e n t a ç ã o d e uma economia dada no s e g u n

_-

do exemplo no f i m do 1 9 c a p í t u l o p o r i n t e r m é d i o de c o n j u n t o s Qi a (Weitzman c163

,

s e c o n s i d e r a r m o s que ( ( a i , x i ) ) i = O e 3 . .

.

, k um programa v i á v e l p a r a Q

=

( Q i ) i = ~

,.

.

.

,k-1 quando e admitirmos s a t i s f e i t a s a s h i p ó t e s e s : ( 2 0 ) Se ( x , a , y ) C Qi e x '

-

> x

,

e n t ã o ( x l , a , y ) 6 Qi

-

a ( 2 2 Qi e convexo ( 2 3 ) s { O , . . . , k -

3

um programa ( ( a i s

,

x i ) s ) i = o

,

3 k v i á v e l p a r a Q com xS > O

,

S e p a r a a c o n f igu r açã o d e produção a s s o c i a d a :

Pi

G r w i ( .

,.

) / Qi

,

d e f i n i r m o s a s e q u ê n c i a de f u n ç õ e s

por :

pi(x3u) = (b,u) onde b=(l,O

,...,

0)

,

as condições que garantem a existência de preços de equilíbrio for

-

te com pO=-l (expressão (19) 1, são todas verificadas.

As hipóteses (20) a (23) são comuns em economia e são as mesmas utilizadas por Weitzman [16]

.

3) Quando, em uma configuração de produção

P

=

Gr w(.,.) /

X

,

o conjunto

X

é

dado na forma:

X

i(x,u> : R(X,U) 5 0

-

1

,

o teorema (44) do 29 capítulo nos fornece meios de determinar os vetores po,

.

.

.

,pk (equações

(45), (46), (47) do capítulo citado). Assim, por exemplo, se

L -4

onde as matrizes

D,

AtI e

B

têm elementos não-negativos, além de

(16 e (18) serem satisfeitas, o que garante a existência de preços de equilíbrio forte e que pO=-l

,

se utili

-

zarmos as equações (451, ( 4 6 ) e (47) do 2 0 capítulo, poderemos de-

terminar iterativamente os preços de equilIbrio forte ( 2 t )

onde -

( 5 ) A determinação dos vetores pi, = O , k neste exemplo, u-

UTILIZAÇÃO DAS CONDIÇÕES

NECESSARIAS

DE OTIMALIDADE

NA DETERMINAÇÃO DE PROCESSOS ÓTIMOS

A

forma em que as condições necess&ias de otimalida

_-

de obtidas anteriormente são utilizadas na determinação de um pro- cesso Ótimo para uma configuração de produção e um critério dados, depende evidentemente da particularidade do problema. Para efeito de ilustração, resolvido em detalhe um problerma de otimização for

-

mulado a partir de um modêlo neo-cl&sico de crescimento economico.

DEFINICÃO DO PROBLEMA

Consideremos uma economia que p r o d u z a um

só

p r o d u t o , t r i g o p o r exemplo. H; d o i s f a t o r e s de p r o d u ç ã o , c a p i t a l e t r a b a l h o . Se Ki e Li s ã o r e s p e c t i v a m e n t e o e s t o q u e de c a p i t a l e o t r a b a l h o - - - - -empregado no ~ e r í o d o ( i , i + l ] , e n t ã o a t a x a de produção Qi no p e r í o

_-

do

é

d a d a p e l a f u n ç ã o d e p r o d u ç ã o : P a r t e d a produção

é

a l o c a d a p a r a consumo, s e n d o Ci a t a x a de consumo p o r p e r í o d o , e o r e s t a n t e Ii p a r a i n v e s t i m e n t o em bens de c a p i t a l . A s s i m , Q~ = Ci

+

Ii

=

(1

-

si)Qi

+

s.Q; 1 1 onde

6

a f r a ç ã o do p r o d u t o que

6

po u p a d a e i n v e s t i d a no p e r f o d

Suponhamos que o e s t o q u e de c a p i t a l s e d e p r e c i a com

o tempo n a r a z ã o 6 1. E n t ã o o c r e s c i m e n t o l í q u i d o do c a p i t a l n o

além d i s s o , q u e a f o r ç a d e t r a b a l h o c r e s c e

2

t a x a c o n s

_-

t a n t e B > 0 , i s t o

é:

o u s e j a Admitamos também q u e a f u n ç ã o d e p r o d u ç ã o a p r e s e n t a r e n

_-

d i m e n t o s c o n s t a n t e s

2

e s c a l a : Se d e f i n i r m o s as v a r i á v e i s p e r c a p i t a , e tomarmos P ( k )

=

F ( K , l )

,

e n t ã o F ( K , L ) = L F ( K / L , ~ )

=

LFM

,

l o g o

,

o consumo p e r c a p i t a f i c a : Usando essas d e f i n i ç õ e s e as e q u a ç õ e s ( 1 ) e ( 2 1 ,

é

fá-

c i l v e r q u e ki s a t i s f a z a e q u a ç ã o a d i f e r e n ç a s f i n i t a s :

A i n d a , se bem q u e e m c a d a p e r í o d o t o d o o p r o d u t o p o s s a

s e r e n d e r e ç a d o a o consumo, há um l i m i t e máximo p a r a a p o u p a n ç a a SSP

i n v e s t i d a , l i m i t e esse q u e depende d a i n t e n s i d a d e d e c a p i t a l n a q u e -

4

l e i n s t a n t e . I s t o e ,

Suponhamos f i n a l m e n t e q u e i n i c i a n d o com uma i n t e n s i d a -

de d e c a p i t a l ko

= e

,

se d e s e j e m a x i m i z a r o consumo, i s t o

é,

Colocando n a forma d e um problema d e c o n t r o l e Õ t i m o , t e

-

mos :

Dado o sistema

c.

-

E n c o n t r a r , s e p o s s í v e l , uma s e q u ê n c i a _{( s 0 , * * * 3 S T - l )} 3

onde 2 R : E+x

[

O , 1 ] -t E

.

( k , ~ ) + ( ~ - ~ ( k ) , - s ) É f á c i l v e r i f i c a r que o problema s e r e f e r e a um s i s - tema d e f i n i d o n o 1 9 c a p í t u l o , e q u i v a l e n t e

2

c o n f i g u r a ç ã o de produ- ç ã o : P = G r w ( . , . ) onde w : { ( x , u ) : R ( x , u )

5

O 1 + E APLICACÃO DO TEOREMA ( 4 4 DO 29 C A P ~ T U L O Definamos a f u n ç ã o : ( k , s ) +i Como e s s a f u n ~ ã o

é

a f i m em s , e o s c o n j u n t o s s ã o convexos, e n t ã o o s c o n j u n t o s G ( k , U ( k ) ) s ã o convexos k E

.

Se supusermos que

F(.,.)

( p o r t a n t o f ( . ) ) e g ( . ) s e j a m continuamen-

t e d i f e r e n c i á v e i s , as h i p ó t e s e s do r e f e r i d o teorema s ã o t o d a s s a t i s

-

-

A

-

1)

f e i t a s e podemos a p l i c á - l o . Suponhamos, e n t a o , que ( S ~ , . . . , S ~ - ~ ) e

j e t ó r i a . Logo, p e l o t e o r e m a ( 4 4 ) do 29 c a p í t u l o , e x i s t e m números O P , P o , P 1 ~

-

Y P ~ > P ~ , A ~ ) ~ ~

,

s a t i s f a z e n d o : nem t o d o s s ã o n u l o s p a r a i = O ¶ . .

.

,k-1 o m a s s e p

=

O

,

de ( 5 1 , temos: e de ( 6 ) :

-

A

-

A l o g o d e ( 8 ) :

Como g ( k ) > O v k t E , h o = O

PT-1

=

O e sucessi-

vamente pT-2 = O ,

...

_,po

-

-

u o

= O , o que contrariaria ( 4 ) . Então,

P0 > O e podemos reescrever,

i

= O,.

. .

,T-1 :

AN

A

LI

S

E

QUALITATIVA DAS POSSÍVEIS sOLUÇÕES

F a ~ a m o s as seguintes hipóteses de uso corrente n a econo

_-

Como por (13):

..

sif(Ri)(pitl-1)

é

maximizado em si, e f(k)

2

O V k :

Vamos analisar separadamente os três casos acima:

~ n t ã o as equações dinâmicas ficam:

(14) 'ir1

-

Ri

=

g(fii)f(Ei)

-

,Ai

(18) f(Ei)

-

pit1 f(Ei)

+

no

=

o

~ n t ã o as equações dinâmicas podem ser e s c r i t a s : P a r a a n a l i s a r as s o l u ç õ e s d e s s e s i s t e m a , fagamos as s e g u i n t e s d e f i n i ç õ e s : ( 2 0 )

é

o p o n t o e m que df ( k ) K~ _dk

=

1J- ( 2 1 ) P

é

o p o n t o e m que d f ( k )

=

h ( k ) dk ( 2 2 ) K~

6

o p o n t o em que h ( k ) = 4 ( 2 3 ) K~ e o p o n t o em que g ( k ) f ( k ) = uk A s h i p ó t e s e s f e i t a s e m r e l a ç ã o a g ( . ) e a f ( . ) g a r a n

-

tem a e x i s t ê n c i a de t o d o s e s s e s p o n t o s , assim como o f a t o de:

( 2 4 ) KH C KM a

E

i m p o r t a n t e n o t a r que s e KH KG

,

e n t ã o P

=

KH=KG

.

~ n t ã o , q u a l q u e r que s e j a o v a l o r de _{P i t l ( P ~ + ~ > 1) 3} e x i s t i r ; um p o n t o em que

-

Nesse c a s o , _{p i + l}

_-

_{P i} ~ l & m d i s s o ; dependendo de f ( . ) e g ( . ) , p o d e o c o r r e r um dos c a s o s : Nos c a s o s ( 2 6 ) e ( 2 8 ) o s p o n t o s que s a t i s f a z e m a e

-

quação ( 2 5 ) decrescem com o aumento de pitl

,

e n q u a n t o no c a s o ( 2 7 ) s e dá o i n v e r s o .

Como as soluçÕes d a equação ( 1 9 tem o comportamen- t o i l u s t r a d o n a f i g u r a 2 , onde o i n t e r v a l o de tempo f o i c o n s i d e r a d o

a r b i t r a r i a m e n t e pequeno p a r a s e o b t e r c u r v a s c o n t í n u a s , e em q u a l

-

q u e r dos c a s o s ( 2 5 ) a ( 2 8 1 , d a equação ( 1 8 ) c o n c l u ~ m o s que quando

k + - a , 3 P; < P i t l

,

já

que p < l , e quando k+O pi > pi+13 O r e l a c i o

-

F I G U R A

2

~ n t ã o , qualitativamente, o relacionamento entre i

e P i pode apresentar duas características diferentes ,ilustradas

nas figuras 4 e 5 .

..

Caso 2 : _{Pi+i 1}

_,

_{s i = 0}

F I G U R A 4

Como g(k) > O V k , Ao

=

O

,

logo, ficamos com:

dando margem ao comportamento ilustrado na figura 6.

n

Caso 3 : pitl = 1 S. = ?

1

Vamos considerar essa ocorrência em pontos sucessi

-

vos, que são os de interesse: De (111, temos Ao = hl, e em (12):

-

hog(Ei) = O

,

o que implica em _Ao

=

O

.

~ n t ã o , em ( 9 ) :

OU seja:

df

(Ei)

o =

-

+

u

,

isto

é:

Isto significa que

E.

1

=

KG 3 logo,

Ri

= E i t l

>