Modelagem Matemática e Computacional do Concreto com a Incorporação de Materiais Alternativos

(1)

Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul

Departamento de Ciências Exatas e Engenharias

Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática

GUILHERME AMARAL DE MORAES

Modelagem Matemática e Computacional do

Concreto com a Incorporação de Materiais

Alternativos

Ijuí, RS, Brasil

2020

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GUILHERME AMARAL DE MORAES

Modelagem Matemática e Computacional do

Concreto com a Incorporação de Materiais

Alternativos

Trabalho de Dissertação apresentado como requisito parcial para à obtenção do grau de Mestre, pelo Curso de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, Departamento de Ciências Exatas e Engenharias da Universi-dade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ.

Orientador: Dr. Manuel Osório Binelo

Coorientadora: Dra. Fernanda da Cunha Pereira

Ijuí, RS, Brasil

2020

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.

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação Elaborada por

GUILHERME AMARAL DE MORAES

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AGRADECIMENTOS

À Deus, e a todos seus intercessores que compõem minha fé, pela companhia constante em minha vida, sendo o conforto e a motivação nos momentos de dificuldades.

À minha mãe, Rosane, pela função de pai que a vida lhe impôs, sendo realizada com muita superação e coragem, abdicando de interesses próprios inúmeras vezes.

Aos meus avós, Eloy e Leda, pelo amor incondicional e por representarem o meu porto seguro.

À minha tia/dinda, Rosemari, por representar uma segunda mãe, sempre preocu-pada com meu bem estar, se fazendo presente em todos os momentos importantes.

À minha namorada Bianca, pelo companheirismo diário, me apoiando e me dando forças para enfrentar todas as dificuldades. Aos meus demais familiares, pela linda família que juntos formamos.

Ao meu orientador Professor Doutor Manuel Osório Binelo pela disponibilidade, pela paciência e pela dedicação. Também agradeço à coorientadora Professora Doutora Fernanda da Cunha Pereira.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Agradeço ao Laboratório de Engenharia Civil da UNIJUÍ pela disponibilidade para realizar os ensaios experimentais. Ao graduando em Engenharia Civil Eric pelas inúmeras contribuições nas realizações dos ensaios em laboratório.

De modo geral, agradeço à todos que contribuíram para a conclusão desta impor-tante etapa da minha vida acadêmica.

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"Se você quer chegar onde a maioria não chega tem que fazer o que a maioria não faz." Bill Gates

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RESUMO

Esta dissertação aborda a modelagem matemática do comportamento da resistência mecânica à compressão do concreto através de uma comparação com valores obtidos em ensaios laboratoriais. Também foi analisada a influência das substituições no concreto por Cinza de Casca de Arroz (CCA) e Resíduo da Construção Civil (RCC) na resistência à compressão do concreto. Verificou-se essas substituições de forma individualizada, com um tipo de material cada vez, e também de forma conjunta, com a substituição dos dois materiais. As porções de CCA foram substituídas em 10, 20 e 30% em relação a quantidade de cimento. As porções de RCC foram substituídas em 10, 20 e 30% em relação a quantidade de agregado graúdo. A utilização desses materiais alternativos, em produtos da construção civil, vem de acordo com os princípios da sustentabilidade, buscando dar uma finalidade adequada para resíduos gerados em outros processos, e sem destinação específica. As simulações computacionais para representar o comportamento mecânico do concreto, fizeram uso do software YADE, que funciona através de métodos numéricos, no caso, o Método dos Elementos Discretos (MED). Com a obtenção dos resultados foi possível conhecer melhor o comportamento da resistência mecânica à compressão do concreto, além analisar as alterações que as substituições por CCA e RCC causam nessa propriedade. Verificando os resultados foi possível perceber que as substituições com 10% foram as que apresentaram os valores de resistência mais próximos do concreto referência. Considerando essa porcentagem, analisando as diferentes formas de substituições, a que envolveu apenas CCA no cimento obteve o maior valor de resistência à compressão encontrado no estudo, superando até o concreto referência, sem substituições. As simulações computacionais obtiveram valores de resistência à compressão muito próximos dos valores encontrados em laboratório, indicando uma validação do programa.

Palavras-chaves: Método dos Elementos Discretos; Resistência Mecânica à Compressão; Cinza de Casca de Arroz; Resíduo de Construção Civil; YADE.

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ABSTRACT

This dissertation approaches the mathematical modeling of the behavior of the mechanical resistance to concrete compression through a comparison with values obtained in laboratory tests. The influence of substitutions on concrete by Rice Husk Ash (CCA) and Construction Waste (RCC) on the compressive strength of concrete was also analyzed. These substitutions were verified individually, with one type of material each time, and also jointly, with the replacement of the two materials. The CCA portions were replaced by 10, 20 and 30 % in relation to the amount of cement. The RCC portions were replaced by 10, 20 and 30 % in relation to the amount of coarse aggregate. The use of these alternative materials in construction products comes in accordance with the principles of sustainability, seeking to give an adequate purpose to waste generated in other processes, and without specific destination. Computer simulations to represent the mechanical behavior of concrete made use of the YADE software, which works through numerical methods, in this case, the Discrete Element Method (MED). With the results obtained it was possible to better understand the behavior of the mechanical resistance to compression of the concrete, in addition to analyzing the changes that the substitutions by CCA and RCC cause in this property. Checking the results it was possible to notice that the substitutions with 10 % were the ones that presented the resistance values closest to the reference concrete. Considering this percentage, analyzing the different forms of substitutions, the one involving only CCA in cement obtained the highest compressive strength found in the study, surpassing even the reference concrete, without substitutions. The computer simulations obtained values of compressive strength very close to the values found in the laboratory, indicating a validation of the program.

Key-words: Discrete Element Method; Mechanical Resistance to Compression; Rice Husk Ash; Civil Construction Waste; YADE.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Etapas de funcionamento do MED. . . 33

Figura 2 – Formas de contato com superposição entre as partículas. . . 34

Figura 3 – Comportamento do deslocamento de força no modelo linear coeso. . . . 40

Figura 4 – Materiais sólidos utilizados na produção do concreto . . . 44

Figura 5 – Moldagem dos corpos de prova de concreto. . . 46

Figura 6 – Ensaio de resistência mecânica à compressão do concreto em laboratório. 47 Figura 7 – Tela de funcionamento do software YADE. . . . 49

Figura 8 – Gráfico com o traço CCA/RCC. . . 51

Figura 9 – Gráfico com o traço CCA. . . 52

Figura 10 – Gráfico com o traço RCC. . . 53

Figura 11 – Gráfico do traço referência comparado com os traços 10% de substituição. 54 Figura 12 – Gráfico do traço referência comparado com os traços 20% de substituição. 54 Figura 13 – Gráfico do traço referência comparado com os traços 30% de substituição. 55 Figura 14 – Gráfico gerado pela relação entre os valores de resistência à compressão simulados com o valor utilizado na simulação de epsCrackOnset. . . . . 56

Figura 15 – Gráfico comparando os valores encontrados no laboratório e nas simula-ções para o traço referência. . . 58

Figura 16 – Gráfico comparando os valores encontrados no laboratório e nas simula-ções para o traço 10% CCA e RCC. . . 58

Figura 19 – Gráfico comparando os valores encontrados no laboratório e nas simula-ções para o traço 10% CCA. . . 60

Figura 22 – Gráfico comparando os valores encontrados no laboratório e nas simula-ções para o traço 10% RCC. . . 61

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Figura 25 – Gráfico do traço referência durante as simulações no software YADE. . 63

Figura 26 – Gráfico do traço 30% CCA/RCC durante as simulações no software YADE. . . 63

Figura 27 – Gráfico do traço 30% CCA durante as simulações no software YADE. . 64

Figura 28 – Gráfico do traço 30% RCC durante as simulações no software YADE. . 64

Figura 29 – Imagens em 3D dos corpos de prova de concreto durante as simulações no software YADE. . . . 65

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Caracterização do cimento. . . 41

Tabela 2 – Caracterização do agregado miúdo (areia natural). . . 42

Tabela 3 – Caracterização do agregado graúdo (brita 1). . . 42

Tabela 4 – Caracterização da CCA. . . 42

Tabela 5 – Caracterização do RCC. . . 43

Tabela 6 – Quantidade de materiais necessária para cada dosagem do traço. . . 45

Tabela 7 – Valores de resistência média à compressão do concreto em laboratório. . . . 50

Tabela 8 – Valores de resistência à compressão do concreto nas simulações computacionais. 57 Tabela 9 – Valores dos erros percentuais relativos médios de cada traço e geral entre os valores de laboratório e os simulados. . . 57

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

2D Duas Dimensões

3D Três Dimensões

DM Dinâmica molecular

3 Rs Reutilizar, Reciclar e Reduzir

CCA Cinza de Casca de Arroz

RCC Resíduo da Construção Civil

YADE Yet Another Dynamic Engine

MED Método dos Elementos Discretos

MEF Método dos Elementos Finitos

SPH Smoothed Particle Hydrodynamics

LGM Lattice Geometric Model

CaO Fórmula química da cal

SiO2 Fórmula química da sílica

Al2O3 Fórmula química da alumina

F e2O3 Fórmula química do oxido de ferro

cm2_/g _{centímetro quadrado por grama}

CP Cimento Portland

CaSO4 Fórmula química do gesso

mm milímetros

NBR Norma Brasileira

MPa MegaPascal

ODS Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

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LEC Laboratório de Engenharia Civil

UNIJUÍ Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul

kg/dm3 Quilograma por decímetro cúbico

RS Rio Grande do Sul

kg/m3 _{Quilograma por metro cúbico}

L/m3 Litro por metro cúbico

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LISTA DE SÍMBOLOS

% Porcentagem

xi Posição de uma partícula

ni Vetor normal unitário

d distância

Un Sobreposição entre duas partículas

I Numeral um em romano

II Numero dois em romano

RA Raio da partícula A

xC

i Posição de contato

Fi Soma de todas as forças externas aplicadas a uma dada partícula

Fn Vetor de força normal na iteração i

Fs Vetor de força cisalhante na iteração i

Kn Rigidez normal do contato

∆t Passo temporal

∆Us

i Incremento de deslocamento cisalhante no contato

Ks Rigidez de cisalhamento com o contato

∆Fs

i Incremento de força cisalhante elástica

Mi Momento aplicado em uma partícula

ωj Velocidade angular da partícula

eijk Força rotacional da partícula

x Posição

˙x Velocidade

¨

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ωi Velocidade angular

˙

ωi Aceleração angular

Kn Rigidez normal

Ks _{Rigidez cisalhante}

fn Forças de contato nas direções normais

ft Forças de contato nas direções tangenciais

kn Interface entre as direções normais

kt Interface entre as direções tangenciais

Urn Deslocamentos relativos normais

Urt Deslocamentos relativos tangenciais

Rn Força de contato normal

Rt Força de contato tangencial

fc

i Força entre partículas

δj Deslocamento relativo

K_ijc Tensiômetro de contato entre partículas

θk Rotação da partícula

rl Vetor de ligação entre o centro até o ponto de contato

ejkl Tensor de permutação

Kc

ij Tensor de rigidez

fck Resistência mecânica à compressão do concreto aos 28 dias de cura

fc Resistência à compressão

F Força máxima alcançada

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . 17

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 20

2.1 O Concreto . . . 20

2.1.1 Histórico do Concreto no Mundo . . . 20

2.1.2 Composição e Propriedades do Concreto . . . 21

2.1.2.1 Cimento Portland . . . 21

2.1.2.2 Agregados . . . 22

2.1.2.3 Água . . . 22

2.1.2.4 Principais Propriedades do Concreto . . . 23

2.1.2.5 Resistência à Compressão do Concreto . . . 23

2.2 Uso de Substituições no Concreto . . . 24

2.2.1 Cinza de Casca de Arroz (CCA) . . . 25

2.2.2 Resíduo da Construção Civil (RCC). . . 26

2.3 Método dos Elementos Discretos Aplicado à Análise do Com-portamento Mecânico do Concreto. . . 27

3 MATERIAIS E MÉTODOS . . . 33

3.1 Método dos Elementos Discretos . . . 33

3.1.1 Lei Força – Deslocamento . . . 34

3.1.2 Lei de Movimento . . . 36

3.1.3 Modelo de Rigidez de Contato . . . 38

3.1.3.1 Lei de Contato entre Partículas . . . 40

3.2 Ensaios em Laboratório . . . 41

3.2.1 Caracterização dos Materiais que Compõem o Concreto . . . 41

3.2.1.1 Cimento . . . 41

3.2.1.2 Agregado Miúdo (Areia Natural) . . . 41

3.2.1.3 Agregado Graúdo (Brita) . . . 42

3.2.1.4 Cinza da Casca de Arroz (CCA) . . . 42

3.2.1.5 Resíduo da Construção Civil (RCC) . . . 43

3.2.1.6 Água . . . 44

3.2.2 Dosagem do Concreto . . . 44

3.2.3 Moldagem dos Corpos de Prova de Concreto. . . 46

3.2.4 Ensaio da Resistência Mecânica à Compressão do Concreto . . . 47

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4 RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . 50

4.1 Ensaios Experimentais . . . 50

4.2 Simulações Computacionais . . . 55

5 CONCLUSÃO . . . 66

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1 INTRODUÇÃO

Há cerca de mais de três mil anos as civilizações grega e romana já faziam uso do concreto, sendo utilizado nas construções de obras complexas, como pontes e aquedutos. Nos dias atuais, sua utilização é muito difundida em todo planeta, devido à facilidade de produzir e utilizar o concreto, fazendo com que o consumo deste material seja apenas inferior ao consumo da água (ISAIA, 2011).

O principal problema se encontra na obtenção dos materiais que compõem o concreto, que necessita da exploração de diversos recursos naturais, como a dinamitação de rochas e extração da areia de rios. Esses fatos fazem da construção civil a maior consumidora de matéria-prima do planeta, contribuindo para a degradação dos recursos naturais.

Em 2015, um documento intitulado "Transformando Nosso Mundo: A Agenda 2030 para o Desenvolvimento Sustentável” foi aprovado pelos conselheiros dos países-membros da Organização das Nações Unidas (ONU). Esse é um plano de ação para as pessoas, o planeta e a prosperidade que busca fortalecer a paz universal. São 17 Objetivos de Desenvolvimento Sustentável (ODS), com 169 metas que devem serem cumpridas por meio de ações integradas de todos os níveis e esferas dos governos, das instituições privadas e da sociedade civil, até o ano de 2030 (SILVA,2018).

De acordo com Silva (2018) o ODS 12 se refere sobre a mudança nos padrões de consumo e de produção como a base para o desenvolvimento econômico e social sustentável. O ODS 12 possui metas que buscam promover a eficiência da utilização de recursos naturais e energéticos, da infraestrutura sustentável, e do acesso a serviços básicos. Esse objetivo prioriza a gestão coordenada, a informação, a transparência e a responsabilização dos consumidores de recursos naturais como ferramentas indispensáveis para o alcance de padrões mais sustentáveis de produção e consumo.

É possível perceber que a preocupação com uma boa gestão ambiental e um desen-volvimento sustentável, através da adoção de métodos adequados para proteger o meio ambiente, é algo muito atual em todos os setores, incluindo na indústria da construção. A construção civil enfrenta muitos desafios em relação a preservação do meio ambiente. Pensando nisso, muitas empresas estão tentando implementar as três principais estratégias de minimização da geração de resíduos que são reutilizar, reciclar e reduzir, os chamados de “3 Rs”. É importante uma coordenação entre todos os envolvidos no processo de projeto e construção, para que a redução dos resíduos gerados, ocorra já no local da obra (TAM; TAM, 2006).

(19)

Capítulo 1. Introdução 18

Dentro deste contexto, a produção do concreto pode estar associada aos princípios de sustentabilidade, por ser um dos materiais mais utilizados em todo o mundo, e que é composto de matérias-primas naturais finitas. A obtenção de pequenas reduções no consumo de matéria-prima natural na produção do concreto, por substituições de outros resíduos reaproveitados, sem destinação definida, causam uma significativa contribuição para o desenvolvimento sustentável. A contribuição também envolve a queda no consumo de energia, que emite gases tóxicos à atmosfera, para produção de novos materiais. Em 2010, o consumo de concreto no mundo foi previsto em 3,3 toneladas por habitante/ano, indicando a importância que o concreto possui para as atividades em geral, sendo principalmente na construção civil (ISAIA, 2011).

Com essa intenção, ocorreu o interesse em elaborar um trabalho que contemplasse o estudo das propriedades de resistência mecânica de concretos, através da modelagem matemática e computacional, e também contribuísse com os ideais de sustentabilidade. A partir disso, foi definida a utilização de resíduos em substituições dos materiais que fazem parte do concreto convencional, afim de realizar o reaproveitamento desses materiais. Essas substituições são um benefício ambiental que proporciona uma destinação correta para os resíduos, como também sendo uma alternativa de um novo material para a construção civil.

A grande quantidade de entulho gerado pela indústria da construção civil faz com que ela seja também uma das maiores poluidoras. O crescimento da população urbana e o aumento da demanda de matéria-prima para a construção, acabam gerando um elevado consumo dos recursos naturais, e por consequência, causam grande aumento do descarte de resíduos (MORAIS et al.,2006). Entre os resíduos utilizados para fazer as substituições está a cinza de casca de arroz (CCA), que muitas vezes é descartada inadequadamente, e gera poluição e contaminação do meio ambiente. A preocupação com o descarte correto desse material se deve também pelo fato do estado do Rio Grande do Sul ser um dos maiores produtores nacionais de arroz, e que consequentemente gera grandes quantidades de CCA, sem destinação adequada, poluindo os recursos naturais (POUEY, 2006).

O outro resíduo envolvido nas substituições no concreto, foi o Resíduo da Construção Civil (RCC) que é gerado de diferentes etapas das obras na construção civil. A geração e disposição do RCC de forma inadequada é um dos principais problemas existentes atualmente nos meios urbanos, principalmente nos grandes centros, gerando grandes impactos ambientais (JOHN, 1999).

A análise da propriedade de resistência mecânica à compressão do concreto ocorreu através de uma comparação de resultados reais, obtidos em laboratório, por ensaios de compressão em corpos de prova moldados de concreto, com os resultados obtidos por meio de um modelo matemático e computacional. Esse modelo buscou simular o comportamento do concreto, diante de cargas de compressão. O funcionamento da simulação ocorre através

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Capítulo 1. Introdução 19

do Método dos Elementos Discretos (MED), implementado no software YADE. Esse método serve para resolver os problemas envolvendo o comportamento de partículas, podendo ser em um material coeso, que no caso desse estudo é o concreto.

Este trabalho tem por objetivo definido realizar a modelagem matemática e com-putacional do concreto com a incorporação de materiais alternativos. Para alcançar com êxito este objetivo, foram elencados alguns objetivos específicos para nortear a pesquisa.

1. Realizar experimentos em laboratório com substituição de materiais alternativos no concreto.

2. Desenvolver a modelagem matemática e computacional com (MED) da resistência à compressão do concreto.

3. Validar a simulação computacional da resistência do concreto, de acordo com os dados experimentais.

4. Verificar as alterações nas propriedades de resistência à compressão do concreto, ocorridas pela incorporação de materiais alternativos.

A partir dos objetivos conhecidos neste presente capítulo, a seguir consta o Capítulo 2 com uma revisão bibliográfica sobre os temas abordados no trabalho. Em seguida o Capítulo 3, com uma descrição sobre os materiais e métodos utilizados, e o Capítulo 4 apresentando os resultados e discussões. Por fim, o Capítulo 5 trás as conclusões sobre o estudo.

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20

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesta seção é apresentada uma revisão bibliográfica abordando um breve histórico do concreto, os materiais que fazem parte de sua composição, além de suas principais propriedades, como a resistência à compressão. É descrito também, o uso de substituições no concreto, e de como o MED vem sendo aplicado na análise do comportamento mecânico desse material.

2.1 O Concreto

2.1.1 Histórico do Concreto no Mundo

No período da antiguidade, a pedra e o tijolo eram considerados os principais materiais para a realização das construções humanas. Posteriormente, a civilização romana desenvolveu o tijolo cerâmico, para escapar de formas retas. Mesmo assim, a construção de obras portuárias exigia uma solução diferente, sendo assim desenvolvida a fabricação de um verdadeiro concreto. Esse concreto possuía um cimento constituído de pozolanas naturais ou que eram geradas na moagem de tijolos calcinados (FUSCO, 2008).

Para Mehta e Monteiro(2008), comparado ao aço, o concreto possui menor dureza e menor resistência mecânica, porém, é muito mais utilizado. O maior consumo de concreto está relacionado com o fato de possuir maior facilidade de se transformar em diversas formas e tamanhos, boa trabalhabilidade, boa resistência à umidade e um baixo custo.

O concreto está presente em todos tipos de construções, desde residências pequenas à grandes obras de infraestrutura, como por exemplo, barragens, portos, aeroportos e rodovias. No Brasil, entre 2005 e 2012, o aumento no uso de concreto foi de 180 %, as concreteiras estimam ter produzido 51 milhões de metros cúbicos em 2012 (OLIVEIRA,

2013). O consumo anual estimado de concreto no mundo são de 11 bilhões de toneladas (PEDROSO, 2009).

A constituição do concreto consiste basicamente de uma mistura de um aglomerante, com um ou mais materiais inertes e a água. No seu estado fresco, oferece condições de plasticidade, facilitando o transporte e manuseio, e com o passar do tempo adquire coesão e resistência, transformando-se para o estado endurecido (PETRUCCI, 1998).

(22)

Capítulo 2. Revisão bibliográfica 21

2.1.2 Composição e Propriedades do Concreto

2.1.2.1 Cimento Portland

O cimento pode ser descrito como um material que possui propriedades adesivas e coesivas, capazes de realizar a união de fragmentos minerais tornando a mistura um único bloco. Os cimentos hidráulicos tem a propriedade de reagir e endurecer em contato com a água, através de reações químicas (NEVILLE, 2015).

A constituição química dos cimentos é feita de silicatos e aluminatos de cálcio, praticamente sem cal livre, e é considerado um material pulverulento, o qual é resultado da moagem do clínquer. Esse clínquer é gerado pela fusão incipiente de uma mistura de calcário e argila dosada de tal forma que combine toda a cal existente com os compostos argilosos (PETRUCCI, 1998). As qualidades dos cimentos empregados na construção de estruturas de concreto podem ser das mais diversas. Para o atendimento das necessidades na aplicação, existe a fabricação de diferentes tipos de cimentos. Alguns desses tipos são produzidos a partir do aproveitamento de subprodutos gerados pelas indústrias, como por exemplo, a escória de alto-forno (FUSCO, 2008).

Para cada tipo de composição, os componentes básicos dos cimentos não variam, o que varia é a proporção em que esses componentes estão presentes na mistura. Esses componentes básicos dos cimentos são a cal (CaO), a sílica (SiO2), a alumina (Al2O3)

e o oxido de ferro (F e2O3). Através do aquecimento da mistura até a fusão incipiente,

esses componentes são aglutinados por sinterização, sendo posteriormente moídos para a finura adequada. A finura Blaine, medida pelo ensaio de permeabilidade ao ar, deve ser no mínimo de 2.600 cm2_{/g, para ser considerado um Cimento Portland (CP) comum}

(FUSCO, 2008).

Os números que acompanham a sigla CP, como por exemplo CP-25 ou CP-32, correspondem às resistências médias à compressão, aos 28 dias de idade de cura dos cimentos, em MPa (FUSCO, 2008).

O endurecimento hidráulico do cimento é principalmente decorrente da hidratação dos silicatos dicálcico e tricálcico, segundo as reações seguintes:

2(2Ca0.SiO2) + 4H20 -> 3Ca0.2SiO23H20 + Ca(OH)2

2(3Ca0.SiO2) + 6H20 -> 3Ca0.2SiO23H20 + 3Ca(OH)2.

O processo de endurecimento do cimento ocorre por hidratação dos grãos de clinker. Nessa etapa de hidratação do cimento ocorre a formação parcial de uma massa vítrea, que impede a hidratação instantânea da cal livre, pelo fato do clinker ser obtido por sinterização, através de uma fusão incipiente dos materiais, principalmente do óxido de ferro que serve de fundente. Com a formação do gel rígido de silicatos, a hidratação de cal livre se expande, destruindo a estrutura resistente dos silicatos. O segundo elemento

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expansivo, presente no cimento, é a magnésia, durante o seu processo de expansão, porém essa expansão da magnésia tem características mais perigosas do que as da cal, pelo fato de ser muito lenta, ocorrendo durante anos. Por fim, o terceiro elemento expansivo, no cimento, é o gesso, CaSO4, que é adicionado ao clinker para o controle do tempo de início

de pega (FUSCO, 2008).

A velocidade da reação de hidratação é governada pela finura do cimento, sendo quanto maior a finura, maior serão os valores da resistência, principalmente nas primei-ras idades. A finura diminui a exsudação e a ocorrência de segregação, aumentando a impermeabilidade, a trabalhabilidade e a coesão do concreto (HELENE; TERZIAN,1992).

De acordo com Petrucci (1998), o fenômeno de início de pega ocorre quando o concreto obtém um brusco aumento de viscosidade de sua pasta, e também eleva a sua temperatura. No momento em que essa pasta não se deforma mais, com a aplicação de pequenas cargas, pode ser considerado o fim da pega, tornando-se um bloco rígido. Após isso, acontece um aumento da coesão e da resistência desse concreto, conhecida como fase de endurecimento. Esse tempo de inicio e final de pega é importante para saber o tempo hábil possível para trabalhar com esse concreto.

2.1.2.2 Agregados

Os agregados são um material granular, que ocupa de 70 a 80 % do volume dos concretos, e não possui formato ou volume definidos. Os tamanhos e propriedades dependem do tipo de aplicação na indústria da construção civil, principalmente quando utilizados na fabricação de concretos e argamassas de cimento (NETO,2011).

De acordo com a composição granulométrica, os agregados do concreto podem ser divididos em graúdos e miúdos. O agregado miúdo é a areia natural quartzosa, ou a artificial, resultante do britamento de rochas, de diâmetro máximo característico menor ou igual a 4,8 mm. O agregado graúdo é considerado como uma pedra britada, ou um pedregulho artificial gerado do britamento de rochas, de diâmetro máximo característico maior que 4,8 mm (FUSCO, 2008).

2.1.2.3 Água

A água para realizar a mistura dos materiais sólidos do concreto, deve ser livre de teores prejudiciais de substâncias estranhas (FUSCO,2008).

O conjunto cimento e água, forma a denominada pasta, e com o agregado miúdo (areia), adicionado a esta pasta, dá origem à argamassa, sendo o concreto considerado uma argamassa, na qual foi incluído o agregado graúdo (brita). A pasta tem a função de envolver os agregados, preenchendo os vazios, e após o endurecimento, proporcionando impermeabilidade, resistência aos esforços mecânicos, e durabilidade contra agentes externos

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agressivos. Já os agregados tem a função de contribuir com a capacidade de resistência à solicitação de esforços, e reduzir os custos (PETRUCCI, 1998).

2.1.2.4 Principais Propriedades do Concreto

O concreto possui diferentes propriedades, podendo ser divididas em dois tipos, as propriedades que influenciam no estado fresco e as que interferem no estado endurecido do concreto. A NBR 12655 de 2015 (TÉCNICAS, 2015) define que o concreto fresco é considerado aquele que se encontra no estado plástico, podendo ser facilmente deformado. O concreto no estado endurecido é aquele está em estado rígido, no qual não poder ser facilmente deformado e já iniciou o processo de obtenção de resistência mecânica.

SegundoBAUER(2000), para o estado fresco a principal propriedade do concreto é a trabalhabilidade, que está diretamente ligada com a consistência do concreto. É importante que o concreto esteja com boa trabalhabilidade e dispondo de uma boa consistência, pois assim, estará mais adensável, sem segregação, e menor será a quantidade de vazios. A relação água/cimento está diretamente ligada à trabalhabilidade, e é extremante importante para eficiência do concreto, proporcionando maiores valores de resistência mecânica (NEVILLE,

2016). A relação entre a trabalhabilidade no concreto e a consistência, é que quanto maior for a trabalhabilidade de um concreto, menor será sua consistência (RECENA, 2002).

No estado endurecido, algumas propriedades são fundamentais e desejáveis no con-creto. Dentre as propriedades estão a resistência à compressão, massa específica, coeficiente de dilatação térmica, resistência à tração, módulo de elasticidade, permeabilidade, retração e absorção (HELENE; ANDRADE, 2007).

2.1.2.5 Resistência à Compressão do Concreto

A resistência mecânica é considerada a propriedade do concreto mais significativa, pois está relacionada com a qualidade do concreto, tendo relação com a estrutura da pasta de cimento hidratada. Essa propriedade é diretamente influenciada pela relação água/cimento, relação agregado/cimento, pela granulometria, forma, textura, resistência e rigidez dos agregados (NEVILLE,2016).

De acordo comFusco(2008), do ponto de vista de sua estrutura interna, o concreto pode ser imaginado como sendo constituído pelos grãos do agregado graúdo, embebidos em uma matriz rígida de argamassa. Nos concretos de baixa ou média resistência, a resistência à compressão aos 28 dias é de até 40 MPa. A verdadeira ruptura por compressão longitudinal do concreto ocorre por ruptura transversal de tração na microestrutura.

Quando se pretende estudar o concreto, a resistência à compressão axial é uma das propriedades mais analisadas. O aumento da resistência mecânica, na maioria das vezes, está relacionado com a melhora de todas as variáveis do concreto (MEINERZ et al., 2009).

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Os grãos do agregado graúdo são mais rígidos e mais resistentes que a matriz de argamassa, no entorno dos mesmos surgem tensões transversais de tração, perpendiculares ao campo de compressão longitudinal aplicado externamente. O resultado é uma fissuração generalizada, com fissuras orientadas segundo a direção do campo de compressão, com tendência ao esboroamento da estrutura interna do material (FUSCO, 2008).

ConformeMehta, Monteiro e Filho (1994), alguns parâmetros podem modificar a resistência do concreto, como a dimensão e compactação do corpo de prova e a velocidade de carregamento aplicada. A porosidade que tem relação com o fator água/cimento, a qualidade das adições minerais utilizadas, o grau de hidratação e teor de ar incorporado. Outras características que interferem na resistência mecânica são a forma como acontece a exsudação, e a interação química entre o agregado e a pasta de cimento.

A resistência do concreto aumenta com o passar do tempo, precisando de mais de um ano para atingir sua resistência total. Esse crescimento varia de acordo com o tipo de cimento utilizado na produção do concreto. Em ensaios realizados em laboratório, estima-se que aos 28 dias de idade o concreto atinge, em média, 80 % da sua resistência final, aos 90 dias 90 % e aos 365 dias 100 % (PETRUCCI, 1998).

2.2 Uso de Substituições no Concreto

É importante conhecer todos os agregados que compõem o concreto, pois, todos eles influenciam diretamente suas propriedades. O seu formato, dimensões, rugosidade e po-rosidade, causam alterações na sua trabalhabilidade, resistência, porosidade e durabilidade do concreto (MEHTA; MONTEIRO, 2008).

Segundo Fusco (2008), a durabilidade do concreto, depende essencialmente da porosidade capilar, que está relacionada ao fator água/cimento. Por ser um material essencialmente poroso, o concreto pode ter sua durabilidade comprometida por essa porosidade.

Os resíduos contendo materiais cerâmicos são mais porosos se comparados aos agregados naturais convencionalmente utilizados no concreto. A porosidade desses resíduos está diretamente relacionada com a absorção deles, quanto menor for a porosidade, menor sua absorção. Esses fatores são imprescindíveis para determinar a qualidade dos resíduos, e assim, garantir um melhor desempenho dos concretos produzidos com esses agregados (ANGULO; FIGUEIREDO, 2011).

Apesar dos agregados não interferir diretamente nas reações químicas do concreto, já que essas acontecem na pasta de cimento, as suas características físicas acabam influ-enciando no desempenho (NEVILLE, 2016). A forma e a textura do agregados utilizado na produção do concreto, além influenciar nas propriedades do concreto no estado fresco,

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diminuindo a trabalhabilidade, pode influenciar também no estado endurecido, causando alterações nos valores de resistência mecânica (MEHTA; MONTEIRO; FILHO, 1994).

2.2.1 Cinza de Casca de Arroz (CCA)

Através de um processo agro-industrial, de queima da casca de arroz, a cinza de casca de arroz (CCA) é gerada. A mesma pode ser encontrada em grande escala, nas regiões onde ocorre o beneficiamento deste cereal. Inicialmente, com o beneficiamento dos grãos de arroz, surge a casca, que por possuir alto poder calorífico, é utilizada em parques industriais, na queima como fonte de energia. Após a queima completa, cerca de 20 % da casca se transforma em cinza, a qual é um resíduo que não possui destinação específica, sendo na maioria dos casos descartada de qualquer maneira no meio ambiente, causando problemas ambientais. A preocupação com o descarte correto desse material se deve também ao fato do estado do Rio Grande do Sul ser um dos maiores produtores nacionais de arroz, e que consequentemente gera grandes quantidades de CCA, sem destinação definida (POUEY, 2006).

De acordo com Kusbiantoro et al.(2012) a CCA é material pozolânico que pode oferecer riscos ao meio ambiente, devido à sua grande quantidade depositada em lugares inadequados e a sua capacidade de resistir à degradação natural. A produção mundial total de casca de arroz chega a atingir 130 milhões de toneladas anualmente. Toda essa casca, tem como atual método de descarte disponível a queima e despejo na natureza, criando assim poluições ambientais.

A CCA é basicamente toda composta de sílica (90 a 95 %), podendo ser utilizada amplamente na construção civil como pozolana agregada em cimentos, para concretos e argamassas, e também na fabricação de tijolos, cerâmicas e vidros (POUEY, 2006). Pozolana é um material sílico-aluminoso com nenhuma propriedade cimentante. Porém, dependendo do grau de finura do material quando entra em contato com a umidade, reage quimicamente com o hidróxido de cálcio em temperaturas ambientes, assim formando compostos com propriedades cimentantes (MEHTA; MONTEIRO; FILHO,1994).

Apesar de vários estudos com o uso da CCA, ainda a maior parte é descartada, pois sua utilização esbarra em uma falta de uniformidade mineralógica, que gera incerteza no grau de reatividade pozolânica. Outros problemas não de ordem técnica, mas estéticos, pela atribuição de uma cor mais escura aos materiais aos quais ela é adicionada (POUEY,

2006). De acordo com Silva (2009), a coloração mais escura gerada pelo uso do CCA no concreto é devido a uma alta quantidade de carbono presente na sua composição. A resistência do concreto inicialmente diminui, pois o carbono exige uma maior quantidade de água para manter a mesma consistência em argamassas e concretos.

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forma lenta de resistência na compressão axial. Isso se deve pela presença de sílica ativa, que com o passar do tempo reage fazendo uma aproximação entre as partículas reagentes de sílica e cimento, aumentando assim os pontos de nucleação, obtendo maior resistência (MEINERZ et al., 2009).

O uso de pozolanas no concreto vem crescendo cada vez mais, podendo ser geradas da natureza, como as pozolanas naturais em estado bruto, ou de subprodutos industriais, como por exemplo a cinza volante e CCA. A utilização do subproduto CCA, é de fundamental importância, já que grande parte é largada no meio ambiente, causando desperdício de material, além de proporcionar sérios problemas ambientais (MEHTA; MONTEIRO,2008).

2.2.2 Resíduo da Construção Civil (RCC)

Os resíduos podem ser classificados conforme sua origem, seus constituintes e suas características. Essa classificação ocorre em duas principais classes, a classe I que envolve resíduos perigosos e a classe II que são resíduos não perigosos. Dentro da classe II existe uma subdivisão em resíduos não inertes (A) e em inertes (B). O RCC utilizado na construção civil, se enquadra na classe II B (resíduo não perigoso inerte) (TÉCNICAS,

2004).

ConformeNEVILLE (2016), para utilizar RCC no concreto é importante conhecer a porosidade do resíduo, e quando aplicado no concreto estrutural, verificar se ele não provoca ataques químicos às estruturas de aço. Os resíduos que tenham sofrido ataques químicos ou danos causados por incêndio são considerados inviáveis para uso na construção, sendo considerados de baixa qualidade.

A reciclagem de resíduos de estruturas demolidas é um meio sustentável para realizar um gerenciamento de resíduos de construção. Esse resíduo pode ser considerado um agregado que serve de opção como agregado fino ou grosso na produção de concreto. Essa substituição conserva os recursos naturais e promove infraestrutura sustentável. Nas últimas décadas vem ocorrendo grandes esforços de pesquisa focados no uso de agregado de concreto reciclado em estruturas, aplicações em pavimentos e transportes e na engenharia geotécnica (WU et al., 2020).

Existem diferentes diâmetro para o RCC, sendo que os resíduos mais graúdos acabam sendo mais utilizados, principalmente devido suas características serem consi-deradas superiores ao miúdo. Para RCC com diâmetro mais miúdo pode ocorrer mais facilmente a existência de impurezas, como fragmentos de gesso e grande quantidade de pasta de cimento hidratada, algo que diminui a qualidade (MEHTA; MONTEIRO,2008). A utilização do RCC ocorre mais em obras de pavimentação e em concretos que não tem uso estrutural. A tendência é que o RCC cada vez mais ganhe espaço na construção, com os avanços de estudos envolvendo seu uso (NEVILLE,2016).

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Os RCCs em comparação aos agregados naturais, possuem uma menor massa específica, maior absorção de água e maior quantidade de argamassa aderida na superfície do agregado. Essa aderência interfere tanto nas propriedades dos agregados, quanto nas propriedades do concreto que será produzido com os resíduos da construção. A forma dos agregados reciclados é variável, dependendo do britador que foi utilizado, da abertura do mesmo e de quantas vezes que o agregado passou pelo processo de britagem. Para britadores do tipo mandíbula, os agregados gerados tem uma forma mais angular, enquanto britadores do tipo giratório produzem agregados mais arredondados (BUTTLER, 2003).

2.3 Método dos Elementos Discretos Aplicado à Análise do

Com-portamento Mecânico do Concreto

O método do elemento discreto (MED) foi originalmente desenvolvido por Peter Cundall, em seus estudos Cundall (1971) e Cundall (1974) para solucionar e analisar problemas relacionados à mecânica das rochas. O uso de partículas esféricas ou cilíndricas, como formulação básica do MED, foi proposto mais tarde por Cundall e Strack(1979) com a finalidade de investigar as leis constitutivas do solo. Esse método representa o material como um conjunto de partículas rígidas que interagem entre si, sendo seu comportamento geral do sistema que é determinado pelas leis de contato coesivo e friccional (LABRA,

2012).

Segundo Xie et al.(2020) o MED é um método numérico utilizado em larga escala para descrever o estado de movimento e a interação de corpos descontínuos. Esse método tem como conceito básico considerar o corpo discreto como uma coleção de uma série de elementos de partículas, Com isso, busca estudar as propriedades mecânicas dos materiais, simulando o movimento e a interação. Atualmente, o MED tem sido amplamente utilizado no estudo de mecanismos de falha de rochas e concreto.

A modelagem de materiais granulares, sólidos e rochas é considerada algo muito desafiador para ser estudado. Seu comportamento de engenharia é controlado pela sua natureza particulada dos materiais granulares. Seguindo uma definição clássica, esses ma-teriais são caracterizados por contatos inelásticos rígidos de seus constituintes elementares, atrito e efeitos termodinâmicos desprezíveis (GENNES, 1999).

Em simulações para modelagem de materiais granulares, como solos e rochas, a mecânica clássica contínua tem sido frequentemente usada através do Método de Elementos Finitos (MEF). O qual considera três pressupostos completamente independentes, que são a continuidade, a homogeneidade e isotropia para a representação do comportamento mecânico dos materiais. Essa idealização do material, considerando a mecânica contínua permite realizar a análise de fenômenos como a fratura em rocha ou solo por meio de modelos de dano (CERVERA; CHIUMENTI,2006).

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No momento que é necessário desenvolver processos mais complexos, o MEF nem sempre é considerado os mais adequado. Isso ocorre pelo fato da natureza discreta tornar o relacionamento constitutivo complexo e sendo necessário um número elevado de parâmetros para poder modelar o comportamento com precisão (LABRA,2012). Segundo

Tran, Donzé e Marin (2011), as micro e macro fissuras existentes no comportamento constitutivo do concreto, tornam o processo de simulação mais complexo, sendo difícil de caracterizar em termos de uma formulação contínua. Uma alternativa às abordagens numéricas contínuas clássicas é representar o material como um conjunto de elementos independentes, interagindo uns com os outros, através do MED. Esse modelo reproduz explicitamente a natureza discreta das descontinuidades, que são representadas como o limite de cada elemento.

Apesar de muitos geo materiais, como rochas, não ter semelhança com materi-ais granulares, os modelos discretos são frequentemente aplicados para investigar seu comportamento mecânico. O MED entende que o material pode ser aproximado como conjuntos de elementos discretos ligados por diferentes modelos de forças coesivas ou por efeitos de cimentação. Dessa forma, o comportamento mecânico global pode ser avaliado a partir das contribuições coletivas desses elementos discretos. A ação de carga ou descarga nesses elementos exibem movimento, deslocamento, deslizamento, rotação entre elementos, aonde a separação dos elementos simula a nucleação de trincas (DONZÉ; RICHEFEU; MAGNIER, 2009).

ConformeLabra(2012), no MED os contatos entre as partículas fazem a transferên-cia das partículas e forças discretas, simulando de forma automática a natureza particulada. A distribuição aleatória do tamanho e forma das partículas são consideradas nesse modelo, fazendo com que o comportamento do material seja modelado de forma realista. Para estudos envolvendo materiais coesivos, como rochas, a fratura pode ser obtida de maneira simples a partir da quebra de ligações entre partículas com contatos adesivos.

Os primeiros estudos com MED foram realizados por Cundall e Strack (1979), envolvendo um modelo em duas dimensões (2D) de discos compactados. O principal objetivo era primariamente avaliar conjuntos granulares como areia. Esses primeiros trabalhos serviram para preparar o terreno para a elaboração de um modelo computacional que permitisse que as interações sejam estabelecidas em uma escala de partículas e, dessa forma, possam ser aplicáveis a vários materiais granulares. Com o passar do tempo, o modelo foi estendido para três dimensões (3D) e foram adicionadas ligações entre partículas, mas sem alterar o conceito do MED ao longo dos anos (SINAIE; NGO; NGUYEN, 2018).

Os modelos discretos mais utilizados para a simulação de materiais granulares são o Método de Elementos Discretos (MED) de Cundall e Strack (1979) e a dinâmica molecular (DM) de Alder e Wainwright (1959) e Rahman (1964). Esses dois métodos podem lidar de forma muito ampla com uma variedade de comportamentos constitutivos de materiais, leis

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de contato e geometrias diversas. Atualmente, o MED é usado em muitos estudos para vários problemas de engenharia, como fratura, britagem de pedras, processos de escavação, ou até mesmo na indústria química ou farmacêutica, simulando o transporte de partículas (LABRA, 2012).

Segundo Oñate et al. (2015), para realizar uma análise de sólidos com o MED, o material tem que ser representado como uma coleção de partículas rígidas, as quais interagem entre si nas interfaces de contato nas direções normal e tangencial. A deformação do material deve ser considerada concentrada nos pontos de contato. Para obter as propriedades desejadas do material macroscópico devem ser definidas as leis de contato. Para considerar a coesão friccional do material o contato levasse em conta as ligações coesivas entre partículas rígidas. É possível ocorrer a quebra nessas ligações coesivas, permitindo assim simular a fratura do material e sua propagação.

Dependendo do processo que será simulado o MED permite o uso de diferentes leis de contato, podendo ser lineares e não lineares. Com isso, é possível a simulação de um problema em diferentes escalas, e permitindo até encontrar a interação de muitas partículas no sistema, através de uma modelagem do comportamento das partículas em seu tamanho real (LABRA,2012).

Na época, no estudo de Cundall e Strack (1979) era destacado que a abordagem das simulações permitiria no máximo um conjunto de 1500 partículas fosse simulado. Atualmente, com a evolução dos computadores, é possível utilizar dezenas de milhares de partículas (SINAIE; NGO; NGUYEN, 2018).

Pelo fato do cálculo realizar cada interação de partícula com partícula, em alguns casos mais complexos de contato, se faz necessário um alto esforço computacional com uma simulação levando dias ou até semanas para conclusão. Outro obstáculo com a utilização do MED é a estimação dos parâmetros do modelo de contato, sendo que em alguns casos, não é possível obter de uma forma direta (LABRA, 2012).

No MEF, por exemplo, é possível realizar a simplificação do problema, utilizando menos elementos, porém maiores, criando assim um modelo de mais fácil resolução do problema. Quando se utiliza o MEF também é possível limitar os graus de liberdade do problema, fazendo uso de modelos bidimensionais para problemas reais tridimensionais. Quando se trata de resolução de problemas com o MED, nenhuma dessas estratégias é eficaz, pois a criação de elementos maiores, ou a redução dos graus de liberdade podem mudar o comportamento do modelo (LANGSTON et al., 2004).

Um diferencial da utilização do MED é visualização virtual dos movimentos das partículas dentro do sistema que está sendo estudado. A aceitação em larga escala do MED, como um método efetivo para avaliar problemas de engenharia envolvendo problemas em várias áreas como, por exemplo, no campo da geofísica e sismologia, fratura de rochas,

(31)

mecânica de solos e mineração (MESQUITA et al.,2012).

De acordo comTran, Donzé e Marin (2011), para entender a resposta do concreto sob carregamento dinâmico, primeiro é preciso realizar uma caracterização experimental de seu comportamento estático em compressão, onde ocorrem diferentes modos de dano, que dependem diretamente do estado de tensão e do caminho que percorre a carga. Entre os principais modos que podem ser bem compreendidos são os fenômenos considerados de danos frágeis e de tensão irreversível, como por exemplo, a compactação. Durante a análise desse modo de dano, é possível compreender a transição de um comportamento frágil para um comportamento dúctil, que é característico de materiais coesivos, no caso o concreto.

A inclusão de ligações entre as partículas no MED, fez com que esses modelos apresentassem ser uma solução eficaz para problemas envolvendo fratura. Essa simulação de fratura, inclui a que ocorre no concreto, pois a propagação de fraturas e trincas desempenha um papel fundamental importância no comportamento deste material (SINAIE; NGO; NGUYEN, 2018).

Devido a micro e macro fissuras, o comportamento constitutivo do concreto pode ser considerado complexo, e difícil de caracterizar em termos de uma formulação contínua. Porém, uma alternativa às abordagens numéricas contínuas clássicas é usar métodos discretos que representam o material como sendo um conjunto de elementos indepen-dentes, que interagem uns com os outros. Esse modelo reproduz a natureza discreta das descontinuidades, que são representadas como o limite de cada elemento (TRAN; DONZÉ; MARIN, 2011).

A abordagem dos estudos envolvendo MED no concreto levam em consideração o carregamento monotônico. As propriedades micro mecânicas são definidas na escala de partículas e conseguem representar adequadamente as características das propriedades macro mecânicas. Essas propriedades macro mecânicas são observadas em escala de amostra (SINAIE; NGO; NGUYEN, 2018).

ParaTran, Donzé e Marin(2011), os modelos discretos são frequentemente utilizados para investigar o comportamento de materiais coesivos por atrito, definindo que eles podem ser aproximados como conjuntos de elementos discretos ligados entre si por diferentes modelos de forças coesivas, e também por efeitos de cimentação. Através das contribuições coletivas desses elementos discretos sob processos de carga ou descarga, o comportamento mecânico geral pode ser avaliado, assim exibindo deslocamento, deslizamento, translação e rotação entre os elementos.

Modelos discretos que levam diretamente em consideração os mecanismos físicos e a influência da estrutura do agregado de concreto oferecem uma ferramenta alternativa interessante para modelar a fratura no concreto. Considerando um meio naturalmente descontínuo, este método não se baseia em nenhum tipo de estrutura, ou suposição sobre

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onde e como uma fissura ou várias fissuras ocorrem e se propagam. Fazendo uso do MED para representar uma amostra concreta real, os parâmetros constitutivos locais são atribuídos a cada uma das forças de interação entre os elementos, de modo que o comportamento macroscópico de todo o conjunto de elementos discretos seja representativo do material real na macroescala (TRAN; DONZÉ; MARIN,2011).

Na bibliografia atual, existem inúmeros estudos que fazem uso do MED para analisar o concreto.

Em Sawamoto et al. (1998) foi avaliado os danos locais em estruturas de concreto armado submetidas à carga de impacto. No trabalho de Javidan, Shahbeyk e Safarnejad

(2014) utilizaram um modelo de partículas discretas de rede para simular a falha de blocos de concreto sob diferentes cenários de carregamento. No trabalho Oñate et al.(2015) foi desenvolvido um modelo constitutivo local para análise de falhas de materiais sólidos típicos em aplicações geo mecânicas e concretas.

No estudo Nitka e Tejchman (2015) simularam a resposta do concreto sob com-pressão. Em Sinaie, Heidarpour e Zhao (2016) realizou-se a simulação da extensão dos danos causados pela temperatura na degradação de materiais de concreto. Na pesquisa de

Sinaie (2017) foi feito o uso do método na previsão do efeito de tamanho de amostras de concreto cilíndricas sob compressão. O estudo de Sinaie, Ngo e Nguyen (2018) desenvolveu um modelo de concreto para simulações cíclicas.

O trabalho de Zhu, Alam e Loukili (2019) teve como objetivo modelar o com-portamento mecânico e de fratura do concreto usando o MED. Em Wu et al. (2020) foi investigado numericamente um novo sistema de parede geobag, como muro de contenção flexível para suportar um aterro, usando agregado de concreto reciclado. No trabalho de

Zhang et al. (2020) foi analisado o concreto preenchido com rocha, sendo proposto um modelo numérico 3D baseado no MED. Na pesquisa de Xie et al. (2020) utilizou-se o método para verificar a evolução de fissuras e curvas tensão-deformação de amostras de concreto sob compressão uniaxial.

A ferramenta YADE (Yet Another Dynamic Engine), foi desenvolvida por Frédéric Donze em 2004. Este software foi desenvolvido fazendo uso do paradigma de orientação a objetos, fazendo com que seja bastante flexível (NEVES,2009). Vários métodos podem ser implementados no YADE, além do MED, como a realização de simulações utilizando o método dos elementos finitos (MEF), o SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) e o LGM (Lattice Geometric Model).

ConformeLima (2014), o YADE está em constante melhoria, pois se trata de um software livre. Essa melhorias são feitas pelas contribuições da comunidade científica, tanto em métodos e funções já implementadas, como, na inserção de novas funcionalidades. Até o momento, o YADE possui a falta de portabilidade, como principal restrição ao uso,

(33)

tendo em vista que o software só funciona na plataforma LINUX.

O estudo deTran, Donzé e Marin(2011) utilizou o Yade e verificou o comportamento do concreto sob altas pressões de confinamento, identificando os parâmetros locais a serem usados na lei constitutiva, através da simulação de testes experimentais em compressão, e prevendo a resposta da amostra de concreto para testes de compressão triaxial em diferentes níveis de confinamento.

EmShiu, Donze e Daudeville(2008) também foi utilizado o Yade e foi desenvolvida uma lei de comportamento local, que inclui elasticidade, plasticidade e danos, em um modelo numérico tridimensional para concreto. Esse modelo desenvolvido foi usado para estudar a resposta de uma laje de concreto que é impactada por um míssil rígido. Com os parâmetros locais calibrados, o modelo numérico simulou o impacto de um míssil rígido usado como referência para ser comparado a um conjunto de dados experimentais.

(34)

33

3 MATERIAIS E MÉTODOS

O presente capítulo apresenta na sessão 3.1 a formulação matemática do modelo utilizado. A sessão 3.2 descreve todos os ensaios realizados em laboratório. E, por fim, a sessão 3.3 que apresenta como as simulações computacionais foram desenvolvidas.

3.1 Método dos Elementos Discretos

No campo Geotécnico, existem diferentes Métodos de Elementos Discretos que podem ser aplicados. Neste trabalho será utilizada a formulação clássica do Método dos Elementos Discretos (MED), que foi criada por Cundall e Strack (1979), utilizando partículas esféricas ou cilíndricas para simular as leis constitutivas do solo.

Podemos dividir o funcionamento do algoritmo em duas etapas, inicialmente, as forças de interação são calculadas quando ocorre uma pequena interpenetração dos elementos, fazendo o uso da formulação da Lei Força - Deslocamento, também chamado de método de contato suave. Posteriormente, utiliza a segunda Lei de Newton para determinar, em cada elemento discreto, a sua aceleração resultante, que através da integração no tempo, obtendo assim as novas posições dos elementos. Até que a simulação termine, esse processo é repetido (TRAN; DONZÉ; MARIN,2011).

De acordo com Huaman (2008), em um primeiro momento são estabelecidas as condições inicias das partículas, após isso, são obtidos os contatos entre os corpos. Conhecendo os contatos é possível calcular e aplicar as forças de contato e as forças externas, como à compressão, em cada partícula. Para finalizar ocorre a atualização das posições e rotações das partículas, tendo como base as forças que agem sobre cada partícula, fazendo a integração das equações de movimento. A Figura 1apresenta as etapas de funcionamento do MED.

Figura 1 – Etapas de funcionamento do MED.

(35)

Capítulo 3. Materiais e métodos 34

A formulação numérica do MED utilizada nas simulações, está implementada nos algoritmos do software Yade. As descrições da sequência de cálculos segue a ordem em que ocorrem na simulação do programa.

3.1.1 Lei Força – Deslocamento

A lei Força - Deslocamento estabelece a relação entre as forças de contato que atuam entre duas partículas, com pequenos movimentos entre elas. O contato pode envolver duas partículas ou uma partícula e uma parede sendo a sua posição representada como um ponto xi, localizado em um plano, o qual é definido pelo vetor normal a ele ni. Esse vetor

normal é definido pela reta que une os centros das duas partículas, como por exemplo, da partícula A para a partícula B. A seguinte equação é do cálculo do vetor normal, conforme (NEVES, 2009):

ni =

x[B]_i − x[A]_i

d (3.1)

onde d corresponde à distância entre os centros das duas partículas em contato, e pode ser encontrado pela equação:

d = |x[B]_i − x[A]_i | =

q

(x[B]_i − x[A]_i )(x[B]_i -x[A]_i ). (3.2) A Figura 2 apresenta as duas formas de contatos com superposição entre as partículas, sendo partícula-partícula e partícula-parede respectivamente.

Figura 2 – Formas de contato com superposição entre as partículas.

Fonte: (ITASCA, 2004).

Nos casos que o contato acontece na forma de partícula–parede, o vetor normal ni

terá a direção da reta de menor distância entre o centro da partícula e a parede. Como se conhece os raios das partículas em contato e a distância inicial entre elas, é possível encontrar a superposição das partículas em contato. Essa superposição de uma partícula

(36)

sobre outra é representada por Un_{, e definida pelo deslocamento relativo das partículas na}

direção normal, dada pela equação:

Un=    RA+ RB− d (partícula − partícula) Rb− d (partícula − parede) (3.3)

onde o raio da partícula A é representado por RA_{. A posição de contato x}C

i , que está

localizado no centro da superposição dos elementos, representa o ponto de contato entre duas partículas ou entre partícula com uma parede, e é obtido conforme a equação:

x[C]_i =    x[A]_i + (R[A]₋ 1 2U n_)n i (partícula − partícula) x[b]_i + (R[b]₋1 2U n_)n i (partícula − parede). (3.4)

Considerando a superposição de partículas, se encontra o vetor força de contato Fi, que representa a ação gerada no contato entre as esferas, e entre as esferas e parede.

Existem dois sentidos que este vetor pode ser decomposto, que é no sentido normal e no sentido cisalhante em relação ao plano de contato. A soma destas duas forças gera a força total no contato Fi (NEVES, 2009) e (PINTO,2011), representada pela equação:

Fi = Fni + F s

i (3.5)

onde sentido normal é representado por Fn e o sentido cisalhante por Fs em relação ao

plano de contato.

Os contatos das partículas funcionam como se fossem unidas por molas. Por isso, a força gerada no contato é o produto da deformação da mola pela sua rigidez normal Kn, a

intensidade dessa rigidez, depende da lei de rigidez utilizada. Desta forma, se entende que a superposição de duas partículas é o deslocamento no sentido normal que corresponde a deformação da mola nessa orientação. Sendo assim, a força normal Fn

i é determinada pela

equação:

Fn_i = KnUsni (3.6)

na qual sua rigidez normal é representada por Kn. A cada passo de tempo ∆t, os

com-ponentes da força cisalhante precisam ser atualizados para a nova posição de contato antes do acréscimo da força (GENG, 2010). Assim, é possível determinar o incremento de deslocamento cisalhante no contato, a partir da equação:

(37)

com o valor do incremento de deslocamento cisalhante no contato ∆Us

i, e a rigidez de

cisalhamento com o contato Ks , que é determinada pelo modelo de contato rigidez

utilizado, se encontra com a equação 3.8 o incremento de força elástica cisalhante:

∆Fs_i = −Ks∆Us_i (3.8)

onde o incremento de força cisalhante elástica ∆Fs

i, é somado com o antigo vetor força

de cisalhamento existente no início da iteração. Obtém-se a nova força de contato de cisalhamento (GENG, 2010), conforme a equação:

Fs_i = Fs_j + ∆Fs_i. (3.9)

Para satisfazer as relações constitutivas de contato, os valores estimados de força de contato normal e de cisalhamento são ajustados. Após ocorrer estas correções, a força final do contato é transferida para as partículas de acordo com as equações:

F[a_i 1]← F[a_i 1]− Fi (3.10) F[a_i 2]← F[a_i 2]− Fi (3.11) M[a_i 1]← M[a_j 1]− eijkw [a1_] j (x [c] j − x [a1_] j )Fk (3.12) M[a_i 2]← M[a_j 2]− eijkw [a2_] j (x [c] j − x [a2_] j )Fk (3.13)

os valores de Fi, Mi e ωj representam respectivamente a força, os momentos aplicados

a uma partícula aj, e a velocidade angular da partícula. O símbolo da permutação eijk,

utilizado para determinar a força rotacional da partícula, é determinado pela equação:

eijk =         

0, se dois índices se coincidem 1, se i,j, k permuta em 1,2 e 3

−1, outro caso.

(3.14)

3.1.2 Lei de Movimento

Com a realização do cálculo da força do contato, em relação a cada partícula, é possível determinar o movimento das partículas, pois através dos vetores de forças resultantes que atuam na partícula, pode-se determinar o movimento de uma única partícula. O movimento translacional de um ponto na partícula e do movimento rotacional da própria, proporciona a dedução desse cálculo. Para descrever o movimento translacional,

(38)

existem alguns termos que podem ser utilizados, como a posição x, a velocidade ˙x e a aceleração ¨x, e o movimento rotacional, que envolve sua velocidade angular ωi e aceleração

angular ˙ωi (NEVES, 2009), (GENG, 2010) e (DONZÉ; MAGNIER, 1997). A seguinte

equação representa o cálculo do movimento translacional:

Fi = m(xi− g¨ i) (3.15)

o valor de Fi corresponde a força resultante de todas as forças externas atuantes na

partícula, e é considerado igual à massa m da partícula e gi a aceleração da gravidade.

Para expressar a rotação pode ser utilizada a equação, que envolve o momento resultante atuante na partícula Mi e o momento angular da partícula ˙Hi :

Mi = ˙Hi (3.16)

essa equação pode ser reduzida pela equação de Euler para o movimento, conforme apresentam as equações:

M1 = I1w˙1+ (I3− I2)w3w2 (3.17)

M2 = I2w˙2+ (I1− I3)w1w3 (3.18)

M3 = I3w˙3+ (I2 − I1)w2w1. (3.19)

Para calcular o momento de inércia para uma partícula esférica de raio R, com distribuição uniforme, no qual o centro de massa coincide com o centro da esfera. O sistema de eixos principais corresponde a um sistema de coordenadas preso ao centro de massa e com momentos de inércia iguais entre si, para uma partícula em que seu eixo está fora do plano, w1 = w2 = 0. A equação a seguir, apresenta o cálculo do momento de inércia para

uma partícula esférica:

I = 2 5mR

2 _(3.20)

com I correspondendo ao momento de inércia. Já em um sistema global para as equações

3.17,3.18e 3.19, o momento de inércia pode ser escrito conforme a equação (PINTO,2011) e (GENG,2010): Mi = I ˙wi = ( 2 5mR 2_{) ˙}_w i. (3.21)

(39)

As equações 3.15 e 3.21 são integradas, fazendo uso de diferenças finitas centrais, para cada passo de tempo ∆t. Considerando um intervalos de tempo de t ± n∆t₂ são realizados os cálculos dos valores de ˙xi e wi. Porém, os valores xi, ¨xi, ˙wi, Fi e ¨Mi são calculados em

intervalos primários de t ± n∆t. Os cálculos das acelerações ocorrem conforme as equações (PINTO, 2011), (NEVES, 2009) e (GENG, 2010):

¨ xi = 1 ∆t ˙x(t+ ∆t 2 ) i − ˙x (t−∆t₂ ) i (3.22) ˙ wi = 1 ∆t w(t+ ∆t 2 ) i − w (t−∆t₂ ) i . (3.23)

A partir dessas equações, é possível substituir elas nas equações 3.15 e3.21, assim encontrando as velocidades para o tempo t + n∆t₂ . Obtendo as equações:

˙x(t+ ∆t 2 ) i = ˙x (t−∆t₂ ) i +   F_i(t) m + gi  ∆t (3.24) w(t+ ∆t 2 ) i = w (t−∆t₂ ) i +   M_i(t) I  ∆t (3.25)

assim é possível a atualização da posição do centro da partícula através da velocidade encontrada nas equações 3.24 e3.25. A determinação da posição da partícula é realizada pela equação:

x(t+∆t)_i = x(t)_i + ˙x(t+ ∆t

2 )

i ∆t. (3.26)

3.1.3 Modelo de Rigidez de Contato

Através da Lei Força - Deslocamento pode-se encontrar a rigidez de contato que fornece o deslocamento relativo. Esse modelo de rigidez pode ser implementado pelo modelo linear, ou pelo modelo de Hertz-Mindlin.

O modelo utilizado foi de rigidez de contato linear, o qual atribui a cada partícula, uma rigidez normal e uma rigidez cisalhante considerando que a rigidez entre dois corpos atua em série (GENG, 2010). Levando em consideração isso, a rigidez normal e rigidez cisalhante, entre dois corpos A e B, são fornecidas respectivamente, pelas equação a seguir, nas quais os valores sobrescritos de A e B indicam as duas entidades em contato:

Kn= K

[A] n · Kn[B]

Kn[A]+ Kn[B]