EDOs2009a

(1)

(2)

EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS, aulas te´

oricas (resumo)

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade de Lisboa, 2009

1 Introdu¸

c˜

ao, revis˜

ao

Nesta aula recordamos exemplos simples de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais e introduziremos algumas ideias que terão desenvolvimento ao longo do curso.

Sempre que falamos de uma “solu¸cão”de alguma equa¸cão diferencial subentendemos que se trata de uma fun¸c˜_{ao definida num intervalo de R que satisfaz a referida equa¸cão.}

Exemplo 1.1 O problema de valor inicial (1.1) y0 = y2, y(0) = y0

tem a (´unica) solu¸c˜ao

y = y0 1 − xy0

como facilmente se vê usando “separa¸cão de variáveis”. Note-se que, se y0 6= 0, o dom´ınio da

solu¸c˜ao ´e um intervalo com um extremo finito (qual?).

Exemplo 1.2 O problema (1.2) y0 =p|y|, y(0) = 0 tem as solu¸c˜oes positivas

y =(x + c)

2

4 em (−c, +∞) e as solu¸c˜oes negativas

y = −(x + c)

2

4

em (−∞, c), onde c é um número real qualquer. Assim, por exemplo, também é solu¸cão a seguinte fun¸cão y(x) =      x2 4 x ≥ 0 0, x ∈ [−5, 0] −(x+5)₄ 2 x ≤ −5

(3)

Exemplo 1.3 O problema de valor inicial para uma equa¸cão geral de variáveis separáveis (onde f e g são cont´ınuas em intervalos dados)

(1.3) y0 = f (x)g(y), y(ξ) = η

tem solu¸c˜oes y(x) definidas implicitamente por

H(y) = F (x)

onde H e F são as primitivas de 1/g e f , respectivamente, que se anulam em η e ξ. Se g(η) = 0, há uma solu¸cão constante y ≡ η; e se g 6= 0 (digamos, g > 0 para fixar ideias) num intervalo do tipo [η − δ, η), então o problema

(1.4) y0 = f (x)g(y), y( ¯ξ) = η − δ tem a solu¸c˜ao definida implicitamente por

Z y(x) η−δ dy g(y) = Z x ¯ ξ f (t) dt

e esta solu¸cão não tomará o valor η desde que Rη

η−δ dy g(y)= ∞.

Exemplo 1.4 Podemos resolver a equa¸cão y0 = y(1 − y) explicitamente, mas podemos antever o comportamento das solu¸cões. Mais geralmente, podemos fazê-lo para a equa¸cão y0 = f (y) onde f ´

e uma fun¸c˜ao real cont´ınua com dois zeros dados a < b.

Exemplo 1.5 A equa¸c˜ao y0 = f (x, y) diz-se homog´enea se o 2o _{membro pode ser expresso como}

fun¸cão unicamente de y_x. A substitui¸cão y = vx conduz então a outra equa¸cão diferencial para a fun¸cão incógnita v = v(x) que tem variáveis separáveis.

Exemplo 1.6 A equa¸c˜ao de Bernoulli y0 = a(x) + b(x)yn _{com n 6= 0, 1 ´}_{e transform´}_{avel numa}

equa¸c˜ao linear com a substitui¸c˜ao v = y1−n_{. A nova fun¸}_c˜_{ao inc´}_{ognita ´}_{e v = v(x).}

Exemplo 1.7 Uma equa¸c˜ao diferencial de 1a _{ordem escrita simbolicamente na forma}

g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0 (ex)

(onde g e h são cont´ınuas num dom´ınio dado do plano) diz-se exacta se há uma fun¸cão F de classe C1 tal que ∂F_∂x = g e ∂F_∂y = h. As solu¸cões (y(x)) são então definidas implicitamente por F (x, y) = 0. Uma equa¸cão escrita na forma (ex), não sendo exacta, por vezes pode transformar-se noutra equivalente, exacta, multiplicando g e h por uma certa fun¸cão não nula (”factor integrante”). Exemplo 1.8 O sistema de 1a _ordem

(1.5) (

x0= h(x, y) y0 = −g(x, y)

diz-se um sistema Hamiltoniano se h´a uma fun¸c˜ao F de classe C1 _{tal que} ∂F ∂x = g e

∂F

∂y = h. As

(4)

Exemplo 1.9 Um caso particular importante é o da equa¸cão autónoma de 2a _{ordem (que serve}

de modelo a muitos problemas de dinˆamica com um grau de liberdade)

u00+ v(u) = 0 (a)

onde V ´e de classe C1 _{num intervalo dado. A equa¸}_c˜_{ao reduz-se ao sistema equivalente}

(1.6) (

u0= y y0 = −v(u)

e portanto, com F (u, y) = V (u) +y₂2, onde V é uma primitiva de v, tem-se F (u(t), u0(t)) = const para qualquer solu¸cão u(t). também se chega rapidamente a esta conclusão multiplicando a equa¸cão por u0_{(t) e primitivando. `}_{A fun¸}_c˜_{ao F chamamos ”energia”e dizemos que o fen´}_{omeno a que (a)}

serve de modelo tem ”conserva¸c˜ao de energia”.

Exemplo 1.10 Os sistemas lineares homog´eneos de 2a _{ordem e coeficientes (reais) constantes, no}

plano, s˜ao equivalentes a um do tipo

y0 = Ay onde a matriz A (2x2) ´e a 0 0 b ou a 1 0 a ou a −b b a

(explicaremos porquˆe).

No 1o caso, as solu¸cões x = ceat, y = debt têm como trajectórias no plano (x, y) curvas do tipo ya _{= k x}b _{ou os semi-eixos coordenados. Observaremos o significado do seu comportamento perto}

da origem, de acordo com a rela¸c˜ao entre a e b e o sinal destes n´umeros.

No 2o _{caso, a solu¸}_c˜_{ao geral ´}_{e (x, y) = (ce}at_{+ dte}at_{, de}at_{). A solu¸}_c˜_{ao que passa em (0, k) no}

instante t = 0 é x = ty, at = lny_k, e portanto a equa¸cão da sua trajectória é ax = y lny_k. Uma vez mais, observaremos o comportamento das solu¸cões perto da origem.

No 3o_{caso, h´}_{a duas solu¸}_c˜_{oes independentes (x, y) = e}at_{(cos(bt), sin(bt)) e (x, y) = e}at_{(− sin(bt), cos(bt))}

(neste c´alculo recordaremos a exponencial de matriz; ver o exerc´ıcio 7.7), sendo as traject´orias c´ırculos ou espirais em torno da origem.

Exemplo 1.11 A determina¸cão das solu¸cões monótonas de y00= f (y, y0) pode fazer-se através da resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial de 1a ordem, em que a incógnita é a nova fun¸cão ϕ tal que y0= ϕ(y), o que nos conduz a

dϕ dy =

f (y, ϕ) ϕ .

(5)

AP ÊNDICE: Redu¸cão de uma matriz real 2x2 à forma canónica real

Seja A uma matriz real 2x2. Se A tem valores próprios reais a e b, com a 6= b, os correspondentes vectores próprios ~u, ~v formam uma base do plano. A aplica¸cão linear representada por A tem, na base {~u, ~v} a nova matriz X =

a 0 0 b

e portanto há uma matriz invert´ıvel P (matriz de mudan¸ca de base) tal que P−1AP = X. Mesmo que os valores próprios se reduzam a um só (a = b) podem existir dois vectores próprios independentes (caso em que todos os vectores são próprios, já que estamos em dimensão 2) e nesse caso vale a mesma conclusão.

Vejamos agora o que se passa quando a = b e há apenas um subespa¸co unidimensional com vectores próprios, gerado, digamos, por ~u. Estamos no caso em que a equa¸cão det(A − λI) = 0 tem apenas a solu¸cão λ = a e por isso

det(A − λI) = (λ − a)2. (a)

Proposi¸c˜ao 1.1 Seja B uma matriz 2x2 tal que det(B − λI) = λ2_{. Ent˜}_{ao B}2_{= 0.}

Demonstra¸c˜ao. Simples exerc´ıcio de c´alculo.

Para a matriz B nas condi¸cões da proposi¸cão, existe ~u 6= 0 tal que B~u = 0. Suponhamos que B 6= 0, isto é que o núcleo de B é o subespa¸co unidimensional gerado por ~u. Vamos mostrar que: Proposi¸cão 1.2 Nestas condi¸cões existe um vector ~w tal que B ~w = ~u.

Demonstra¸cão. Consideremos uma base do plano {~u, ~v} que inclui ~u. Existem números x e y tais que B~v = x~u + y~v e, aplicando B a ambos os membros, resulta 0 = yB~v. Como, pela nossa hipótese, B~v 6= 0, temos y = 0 e basta então tomar ~w = (1/x)~v.

Voltando a (a), concluimos (considerando B = A − aI)que existe um vector ~w tal que (A − aI) ~w = ~u. Assim, na base {~u, ~w} a aplica¸c˜ao linear de matriz A ´e representada por

a 1 0 a

. Finalmente, consideremos o caso em que A tem valores próprios não reais (complexos conjuga-dos). Considerando a extensão natural de A (como aplica¸c˜_{ao linear) a C}2 _{podemos ent˜}_{ao afirmar}

que existem um complexo x+iy e um vector ~u+i~v (~u, ~_{v ∈ R}2_{) tais que A(~}_{u, +i~}_{v) = (x+iy)(~}_u+i~_v).

´

E um exerc´ıcio simples reconhecer que ~u, ~v s˜_{ao R-linearmente independentes. Ent˜ao, como} A~u = x~u − y~v, A~v = y~u + x~v

concluimos que, na base {~u, ~v} a aplica¸c˜ao linear de matriz A tem a forma

a −b

b a

.

(6)

2 Modelos matem´

aticos onde intervˆ

em equa¸

c˜

oes

diferen-ciais ordin´

arias de tipo simples

A. Velocidade de escape

Um proj´ectil de massa m ´e lan¸cado da Terra verticalmente com velocidade inicial v0; a sua

velocidade v(t) é fun¸cão do tempo e, de acordo com a lei de Newton, satisfaz a equa¸cão diferencial dv

dt = − gR2

r2

onde r (fun¸cão do tempo) é a distância do projéctil ao centro da Terra e R o raio da Terra, e g = GM/R2_{, sendo G a constante de gravita¸}_c˜_{ao e M a massa da Terra. Como v =} dr

dt obtemos a

equa¸c˜ao diferencial para v como fun¸c˜ao de r vdv dr = − gR2 r2 . Portanto, v2= 2gR 2 r + v 2 0− 2gR. (a)

A condi¸c˜ao para que v se mantenha sempre positiva ´e v2₀− 2gR ≥ 0. Como g = 9.81m/seg2_{R = 6370km, tem-se v}

0≥ 11.18km/seg.

A equa¸cão (a) é válida para outro corpo esférico qualquer. Como, de acordo com a teoria da relatividade, qualquer velocidade não pode exceder a velocidade c da luz, deduzimos a estimativa para que um planeta de massa M admita velocidade de escape:

R > 2GM c2

Este minorante do raio chama-se n´umero de Schwarzschild (nome do f´ısico alem˜ao que primeiro estudou as propriedades dos buracos negros).

B. Fluxo de misturas

Um reservatório de grandes dimensões contém inicialmente 1000 L de água. No instante t = 0 come¸ca a receber uma solu¸cão de sal com a concentra¸cão de 1 kg/L e ao ritmo constante de 6 L/min. A solu¸cão está constantemente a ser homogeneizada e sai do reservatório à razão de 5 L/min.

Pretende-se determinar a concentra¸cão de sal no reservatório em fun¸cão do tempo.

Seja x(t) a massa de sal no reservatório em cada instante t ≥ 0. A razão à qual o sal sai do reservatório, atendendo a que o volume total de fluido no reservtório ao fim de t minutos é, em Litros, 1000 + (6 − 5)t = 1000 + t, é, em kg/min:

5 x(t) 1000 + t.

(7)

Assim, x(t) satisfar´a o problema de valor inicial dx

dt = 6 − 5 x(t)

1000 + t, x(0) = 0. C. Modelos populacionais simples

Consideremos uma popula¸cão (de bactérias, por exemplo), que se reproduzem por divisão celular, de modo que a taxa de crescimento é proporcional ao número de indiv´ıduos presentes em cada instante; para simplificar supomos que há condi¸cões ambientais, no per´ıodo em causa, para garantir que a taxa de mortalidade é zero. O modelo para a evolu¸cão de uma tal popula¸cão p(t) é

dp

dt = kp, p(0) = p0

(modelo Malthusiano) onde k é uma constante positiva. Se houver a considerar taxa de mortalidade devida apenas a causas naturais, a equa¸cão é formalmente a mesma, onde k = k1− k2corresponde

`

a diferen¸ca das duas taxas.

Um outro modelo considera outras causas de mortalidade devidas a falta de recursos ou com-peti¸cão. Como numa popula¸cão de dimensão p há p(p − 1)/2 interaçcões, assume-se então que a taxa de mortalidade é proporcional a este número, o que conduz à equa¸cão do modelo log´ıstico

dp

dt = ap − bp

2_, _{p(0) = p} 0.

D. Evolu¸c˜ao da temperatura em ambiente restrito, em fun¸c˜ao da temperatura exterior

De acordo com a lei de Newton do arrefecimento a temperatura num edif´ıcio tem uma taxa de varia¸cão proporcional à diferen¸ca entre as temperaturas exterior e a que se regista no próprio edif´ıcio, devendo contar-se ainda com efeitos adicionais devidos a actividades no interior e ao efeito de aquecimento ou arrefecimento artificiais. Assim, se T (t) é a temperatura no edif´ıcio, E(t) a temperatura exterior, e H(t) a taxa resultante de haver a considerar efeitos adicionais, a equa¸cão que traduz a evolu¸cão da temperatura é

dT

dt = k(E(t) − T (t)) + H(t). Notemos que H pode tomar valores positivos ou negativos.

E. Dinˆamica de uma part´ıcula

A segunda lei de Newton estabelece que a posi¸c˜ao x(t) de uma part´ıcula em movimento satisfaz a equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem

mx00= F (t, x, x0) onde m ´e a massa da part´ıcula e F a for¸ca que lhe est´a aplicada.

Consideremos uma part´ıcula de massa m que se desloca numa dada direçcão por açcão de uma for¸ca exterior F (t) variável com o tempo e que está sujeita a uma mola elástica (Figura 1). Pelo menos para desloca¸cões de amplitude não muito grande, verifica-se experimentalmente que a

(8)

for¸ca devida à energia da mola é proporcional à desloca¸cão x(t) da part´ıcula. Assim, para muitos sistemas deste tipo não é disparatado utilizar o modelo que corresponde à equa¸cão diferencial

mx00= −kx + F (t).

Aqui k > 0, porque a reaçcão da mola é contrária ao sentido da desloca¸cão. Pode haver necessidade de juntar outro termo se, por exemplo, houver amortecimento causado por atrito ou imersão do sistema num l´ıquido viscoso. Nessa altura, é comum admitir que a for¸ca correspondente actua de modo proporcional à velocidade; a equa¸cão que modeliza o fenómeno seria então

mx00+ cx0+ kx = F (t) com k > 0 e c > 0.

Outro modelo particularmente importante é o do pêndulo simples, que é uma massa m suspensa de um ponto fixado O por um cabo r´ıgido com massa desprezável e comprimento l (Fig. 2). Representaremos por ~e um vector unitário com a direçcão da for¸ca grav´ıtica que actua a part´ıcula, e por θ o ângulo, variável com o tempo, do cabo com e. A partir da segunda lei de Newton escrita na sua forma mais geral (vectorial),

~

F = md~v dt

obtemos, fazendo o produto externo com o vector ~r que corresponde ao cabo: m~r ×d~v dt = mg~r × ~e. Como ~r × d~v dt = d dt(~r × ~v), |~v| = l dθ

dt e ~r × ~e ´e um vector de m´odulo l sin θ, tendo ~r × ~e e ~r × d~v dt

sentidos contr´arios, obtemos a equa¸c˜ao diferencial para θ d2_θ

dt2 +

g

l sin θ = 0. O modelo predador-presa de Lotka-Volterra

Consideremos duas espécies, com popula¸cões: x(t) (presa) e y(t) (predador). Assumimos que, havendo recursos de alimenta¸cão dispon´ıveis e ausência de predadores, a espécie presa evolui com crescimento exponencial (taxa de crescimento, que é a diferen¸ca entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade, positiva), mas esta taxa é afectada pela presen¸ca de predadores podendo tornar-se negativa. A espécie predador, ao contrário, por depender da outra como recurso alimentar, tem taxa de crescimento negativa na ausência de presas, mas esta taxa aumenta na presen¸ca delas. Assim, um modelo para a evolu¸cão de x e y com o tempo é dado pelo sistema de primeira ordem

(2.1) (

x0= x(a − by) y0 = y(−c + dx)

onde a, b, c, d são constantes positivas. Claro que apenas nos interessam solu¸cões com valores não negativos e é interessante observar (aplicando um argumento simples de unicidade) que qualquer solu¸cão (x(t), y(t)) com um valor inicial (x(t0), y(t0)) no 1oquadrante mantém-se no 1oquadrante

∀t ≥ t0.

Apesar de (2.1) não ser um sistema Hamiltoniano, tem uma lei de conserva¸cão que permite determinar as trajectórias das solu¸cões no plano (x, y). Efectivamente, as solu¸cões de (2.1) são obviamente solu¸cões de

(9)

e esta equa¸c˜ao tem, como imediatamente se reconhece, o factor integrante _xy1. Logo, com F (x, y) = c ln x + a ln y − dx − by

resulta, para qualquer solu¸c˜ao (x(t), y(t)) de (2.1) existe k ∈ R: F (x(t), y(t)) = k.

Daqui concluimos imediatamente que as solu¸cões são limitadas (e têm dom´ınio R, por razões que explicitaremos). Há uma solu¸cão positiva constante, x0 ≡ c_d, y0 ≡ a_b. As trajectórias

corre-spondentes às solu¸cões não constantes são curvas de Jordan que têm este ponto no seu interior. Trata-se, portanto, de solu¸cões periódicas, como também justificaremos.

(10)

3 An´

alise das solu¸

c˜

oes da equa¸

c˜

ao do pˆ

endulo simples

Comecemos por apresentar dois resultados de carácter geral sobre prolongamento de certas solu¸cões de equa¸cões diferenciais.

Proposi¸cão 3.1 Seja f uma fun¸cão real cont´ınua e y(t) uma solu¸cão de y00 = f (y) definida em [0, β] tal que y0(β) = 0. Então y(t) prolonga-se a [0, 2β] como solu¸cão da mesma equa¸cão, simétrica a respeito da recta t = β.

Demonstra¸c˜ao: Basta definir z(t) = y(2β − t) se β ≤ t ≤ 2β; facilmente se verifica (exerc´ıcio) que a nova fun¸c˜ao

w(t) = (

u(t), 0 ≤ t ≤ β z(t), β ≤ t ≤ 2β ´

e de classe C2 _{e solu¸}_c˜_{ao de y}00_{= f (y) em [0, 2β].}

Proposi¸c˜_{ao 3.2 Seja f : D → R}n _{uma fun¸}_c˜

ao cont´ınua no dom´ınio D ⊂ Rn _{e y(t) uma solu¸}_c˜_ao

do sistema y0= f (y) em [0, β] tal que y(0) = y(β). Então y(t) tem extensão periódica com per´ıodo β que ainda é solu¸cão do sistema.

Demonstra¸cão: Que y(t) tem extensão periódica de per´ıodo β é trivial: para definir tal extensão a R come¸ca-se por definir em cada intervalo [nβ, (n + 1)β] (n ∈ Z) a fun¸cão

yn(t) = y(t − nβ), t ∈ [nβ, (n + 1)β];

em seguida toma-se a fun¸cão Y (t) cuja restri¸cão a cada intervalo [nβ, (n + 1)β] é precisamente yn.

Facilmente se conclui que Y est´a bem definida, ´e de classe C1_{(isto ´}_{e, tem derivadas nos pontos da}

forma nβ) e satisfaz a equa¸c˜ao diferencial.

Consideremos a equa¸c˜ao do pˆendulo escrita na forma

u00+ a sin u = 0. (p)

Como já vimos, multiplicando por u0 conclui-se que qualquer solu¸cão de (p) verifica a lei de con-serva¸cão

u02

2 + a(1 − cos u) = K

onde K é uma constante adequada, que podemos identificar se conhecermos, por exemplo, condi¸cões iniciais u(t0), u0(t0) num instante t0. Se pusermos, para abreviar a nota¸cão

V (u) = 2a(1 − cos u)

ent˜ao a equa¸c˜ao anterior reescreve-se, com um novo significado de K:

u02+ V (u) = K. (1)

Observamos imediatamente que em (1) é necessariamente K ≥ 0 e que V (u) ≤ K. Dado que V tem máximo 4a e atendendo ao comportamento de V (fig. 3) concluimos também que, se 0 < K < 4a, então a solu¸cão correspondente, se tomar, por exemplo, o valor 0, só pode tomar valores no intervalo [−m, m] onde m ∈ (0, π) e V (m) = K.

(11)

O caso K = 0. Dá-nos em (1) as solu¸cões constantes u ≡ 0, e de um modo geral u ≡ 2nπ com n inteiro... (que representam a mesma solu¸cão “f´ısica”: o pêndulo imóvel na posi¸cão de repouso “mais baixa”).

O caso 0 < K < 4a. Vamos mostrar que as solu¸cões com tais valores de K são periódicas e daremos uma expressão para o respectivo per´ıodo. Procuremos condi¸cões iniciais que produzam a solu¸cão de (1): consideremos por exemplo a solu¸cão do PVI u(0) = 0, u0(0) =√K. Ponhamos V (m) = K (com m ∈ (0, π)) como há pouco.

Facto 1: A solu¸c˜ao tem derivada positiva em (−α, α), onde α =

Z m

0

ds pV (m) − V (s).

Demonstra¸c˜ao: A solu¸c˜ao verifica (1) e por isso, pelo menos em alguma vizinhan¸ca de zero podemos resolver em ordem a u0 escolhendo a raiz positiva:

u0=pK − V (u) (2)

Observando que (2) tem variáveis separáveis, podemos proceder por primitiva¸cão, como recordámos no in´ıcio do curso:

Z u

0

ds

pK − V (s) = t + c (3)

onde c ´e uma constante, e como u = 0 corresponde a t = 0 vˆe-se que c = 0. Temos, pois, Z u

0

ds

pK − V (s)= t, −m < u < m (4)

Observemos em seguida que existe o n´umero real1 α =

Z m

0

ds

pV (m) − V (s). (5)

Por conseguinte, a solu¸cão u(t), definida implicitamente por (4), está definida em (−α, α) mantendo-se válida neste intervalo a equa¸cão (2).

Facto 2: A solu¸cão prolonga-se como fun¸cão cont´ınua, e como solu¸cão, ao intervalo [−α, α]; sendo m = u(α).

Demonstra¸cão: Que u(t) se prolonga continuamente com o valor indicado é trivial pela defini¸cão de integral impróprio. Da equa¸cão (2) resulta que limt→αu(t) = 0 e por isso existe mesmo u0(α) =

0. (Exerc´ıcio simples, com a regra de Cauchy).

Como estamos em presen¸ca de uma simetria (V ´e par) imediatamente se reconhece que u(t) ´e ´ımpar e em particular

u(±α) = ±m, u0(±α) = 0. (6)

1_{De facto, o integral converge porque, em virtude de ser V}0_{(m) > 0, a integranda ´}_{e majorada, numa}

vizinhan¸ca esquerda de m, por uma fun¸c˜ao do tipo c/√m − u. De lims→mV (m)−V (s)_m−s = V0(m) deduz-se

lims→m √ V (m)−V (s) √ m−s =pV 0_{(m) e da´ı}_√ 1 V (m)−V (s)≤ 2 √

(12)

Derivando (2) em ordem a t reconhece-se que u(t) é solu¸cão de (p) em (−α, α) e depois, com o argumento de há pouco que envolve a regra de Cauchy, concluimos que na verdade u é C2 _em

[−α, α] e solu¸c˜ao de (p) neste intervalo.

Facto 3: u é prolongável ao intervalo [−α, 3α] de modo que o seu gráfico fique simétrico em rela¸cão à vertical t = α e u é ainda solu¸cão de (p).

Demonstra¸cão. Esta afirma¸cão resulta da Proposi¸cão 3.1. Basta definir a nova fun¸cão

y(t) = (

u(t), −α ≤ t ≤ α u(2α − t), α ≤ t ≤ 3α

A solu¸c˜ao assim estendida, que continuaremos a representar por u(t), tem agora a propriedade u(−α) = u(3α), u0(−α) = u0(3α).

Facto 4: u(t) é prolong´_{avel a R como fun¸cão de per´ıodo 4α que é solu¸cão de (p).}

Demonstra¸cão: Esta afirma¸cão resulta da proposi¸cão 3.2. Por exemplo, no intervalo [3α, 7α] a expresão anal´ıtica do prolongamento é u(t − 4α), etc.

Estimativas do per´ıodo: Retomemos uma traject´oria (1) com 0 < K < 4a. Como vimos, o per´ıodo ´e dado por

T = 4 Z m

0

du pV (m) − V (u).

Notemos que V (0) = V0(0) = 0 e V00(0) = 2a > 0. Ent˜ao, dado existe δ tal que 2a − ≤ V00(s) ≤ 2a + if 0 ≤ s ≤ δ, e como V (m − V (u) = Z m u dt Z t 0 V00(s) ds obtemos (a − 2)(m 2_{− u}2_{) ≤ V (m − V (u) ≤ (a +} 2)(m 2_{− u}2_{), 0 ≤ u < m ≤ δ.} Concluimos 4 Z m 0 du p(a + 2)(m2− u2) ≤ T ≤ 4 Z m 0 du p(a − 2)(m2− u2) e portanto lim m→0T = 2π/ √ a.

Nota 1. Os cálculos para demonstrar o Facto 1 podem ser feitos, alternativamente, de modo ligeiramente diferente: podemos resolver (2) resolvendo primeiro a equa¸cão diferencial para a fun¸cão inversa:

dt du =

1

pK − V (u), 0 ≤ u < m. (7)

que se resolve por simples primitiva¸c˜ao: t = t(u) =

Z u

0

ds

(13)

´

E fácil verificar que a fun¸cão u(t), inversa da que é dada por (8), verifica efectivamente (1) em [−α, α], extremo direito inclu´ıdo! Em particular:

u(α) = m, u0(α) = 0. (9)

Nota 2. Os restante racioc´ınio poderia também ser constru´ıdo repetindo cálculos análogos ao do Facto 1. Com efeito, supondo provados os Factos 1 e 2, e como u00(α) = −a sin u(α) = −a sin m < 0, temos pelo menos numa vizinhan¸ca direita de α,

u0= −pK − V (u). (10)

De (9) e do teorema de unicidade resulta

u(t) = u(2α − t), α ≤ t ≤ 2α. Tem-se portanto

u(2α) = 0, u0(2α) = −√K. (11)

Utilizando ainda (10) e o mesmo cálculo que conduziu a (8), concluimos que u(t) é prolongável pelo menos até t = 3α, com

u(3α) = −m, u0(3α) = 0 (12)

porque o integral que surge no cálculo do intervalo de “tempo”necessário para que a solu¸cão passe dos valores (11) aos valores (12) é exactamente igual ao que já surgiu em (8).

Finalmente, partindo desta condi¸cão inicial, e porque pela unicidade se deve ter u(t) = u(4α − t), 3α ≤ t ≤ 4α, reconhecemos que a solu¸cão é na verdade prolongável até t = 4α e que

u(4α) = 0, u0(4α) =√K. Conclu´ımos que

u(4α) = u(0), u0(4α) = u0(0),

ou seja, que a trajectória da curva t 7→ (u(t), u0(t)) volta ao ponto de partida após o tempo 4α. Nota 3. Estes argumentos aplicam-se, mais geralmente, a equa¸cões redut´ıveis à forma (1), em que V é uma fun¸cão C1 _{que n˜}_{ao precisa de ser par e tal que}

{x| V (x) < K} = (n, m)

com n < 0 < m, V (n) = V (m) = K e V0(n) < 0), V0(m) > 0. Também neste caso se constrói uma solu¸cão periódica, não necessariamente ´ımpar.

O caso K > 4a. Vamos mostrar que neste caso a solu¸cão é ilimitada e tem derivada periódica.

Por (1), a derivada de u nunca se anula. Então é sempre positiva ou sempre negativa. Para fixar ideias, suponhamos que é sempre positiva (o tratamento do outro caso é análogo). Resulta que a equa¸cão pode escrever-se na forma equivalente (2) e em particular

0 < δ :=√K − 4a < u0(t) <√_{K, ∀t ∈ R.} Integrando obtemos

(14)

Em particular,

lim

t→−∞u(t) = −∞, t→+∞lim u(t) = +∞

e u ´e estritamente crescente e sobrejectiva. Em particular, existe um n´umero T (dependente de K, claro) tal que

u(T ) = 2π. Vamos ent˜ao mostrar que

u(t + T ) = u(t) + 2π ∀t ∈ R. (13)

Na verdade, para t = 0 esta igualdade é verdadeira (porque u(0) = 0). E notando que ambos os membros representam solu¸cões de (2) (o primeiro porque a equa¸cão é autónoma; o segundo porque V tem per´ıodo 2π) conclu´ımos, invocando o teorema de existência e unicidade para o problema de valor inicial, que de facto (13) se verifica. E de (13) resulta logo que u0 tem per´ıodo T .

O caso K = 4a. Neste caso a solu¸cão ou é constante ou é estritamente crescente e tem-se

lim

t→−∞u(t) = −π, t→+∞lim u(t) = +π

ou ´e estritamente decrescente e tem-se lim

t→−∞u(t) = π, t→+∞lim u(t) = −π.

Sendo K = 4a podemos ter u ≡ 2(n + 1)π, com n ∈ Z e evidentemente u0≡ 0; ou então u não é constante. Suponhamos, para fixar ideias, que u(0) = 0, u0(0) =√4a. Então u0é novamente dada por (2) e portanto u é dada implicitamente por (4), onde agora m = π. Ora, usando um critério de compara¸cão como atrás, verificamos que

Z π

0

ds

pV (π) − V (s) = +∞

pelo que a solu¸cão u(t) é efectivamente definida por (4) para todo o t real e a afirma¸cão sobre os limites é correcta.

Uma solu¸c˜ao deste tipo diz-se heterocl´ınica porque “liga”os equil´ıbrios ±π.

Nota. E ´´ util estudar as traject´orias das curvas t → (u(t), u0_{(t)) no plano (u, u}0_{) (plano}

de fases). As equa¸cões destas curvas são as da forma (1); por¸cões delas são gráficos da fun¸cão com expressão designatória (2) onde u é vista como variável independente e u0 como a variável dependente. As solu¸cões periódicas correspondem então a curvas fechadas; o caso K > 4a dá o gráfico de uma fun¸cão periódica; as heterocl´ınicas são curvas que ficam num dos semiplanos u0 > 0 ou u0< 0 e ligam (π, 0) a (−π, 0).

(15)

4 Problemas de existˆ

encia e unicidade. Extens˜

ao das solu¸

c˜

oes.

Dependˆ

encia de condi¸

c˜

oes iniciais e parˆ

ametros

Lemma 4.1 Se h é uma fun¸cão diferenciável em [a, b] e existe uma constante K ≥ 0 tal que h0(t) ≤ Kh(t) ∀t ∈ [a, b]

ent˜ao

h(t) ≤ h(a)eK(t−a) ∀t ∈ [a, b]. Demonstra¸c˜ao. Multiplicar por e−Kt_...

Come¸camos por considerar o problema de valor inicial

y0 = f (x, y), y(x0) = y0 (P V I)

Suponhamos que f ´_{e cont´ınua numa faixa I × R, x}0∈ I, y0∈ R, e ainda: existe L > 0 tal que

f (x, y) − f (x, ¯y) ≤ L(y − ¯y), ∀x ∈ I, ∀y ≥ ¯y ≥ y0 (1)

(condi¸c˜ao de Lipschitz unilateral).

Proposi¸cão 4.1 Sejam y(x) e z(x) duas solu¸cões de y0 = f (x, y) em I e suponha-se que f satisfaz a condi¸cão de Lipschitz unilateral (1). Então

|y(x) − z(x)| ≤ eL(x−x0)_|y(x

0) − z(x0)|, ∀x ≥ x0.

Demonstra¸c˜ao. Considerar a fun¸c˜ao h(x) = (y(x) − z(x))2 _{e aplicar o Lema.}

Proposi¸cão 4.2 Sejam y(x) e z(x) duas solu¸cões de y0= f (x, y) em I mas suponha-se agora que f satisfaz a condi¸cão de Lipschitz

|f (x, y) − f (x, ¯y)| ≤ L|y − ¯y|, ∀x ∈ I, ∀y, ¯_{y ∈ R.} (2) Ent˜ao

|y(x) − z(x)| ≤ eL|x−x0|_|y(x

0) − z(x0)|, ∀x ∈ I.

Proposi¸cão 4.3 Sob a condi¸cão (1), o problema (PVI) tem no máximo uma solu¸cão em cada intervalo da forma [x0, x0+ δ] ∩ I.

Proposi¸cão 4.4 Sob a condi¸cão (2), o problema (PVI) tem no máximo uma solu¸cão em cada intervalo da forma [x0− δ, x0+ δ] ∩ I.

Recordemos que a solu¸c˜ao de (PVI), pelo menos num intervalo [a, b], com a ≤ x0≤ b, no caso

em que se verifica a condi¸cão de Lipschitz (2), pode ser determinada por aproxima¸cões sucessivas; mais precisamente, como limite do método iterativo

yn+1= T yn; T y(x) = y0+

Z x

x0

(16)

O operador T aplica, obviamente, o espa¸co de Banach C[a, b] em si pr´oprio e, definindo a norma (equivalente)

kyk = sup

x∈[a,b]

e−L0|x−x0|_|y(x)|

(onde fixámos L0 > L) resulta que T é uma contraçcão de C[a, b]. (Explicaremos porquê.) O teorema das contraçcões garante então a existência de um (único) ponto fixo que é limite do referido método iterativo.

Quando f est´a definida e ´_{e cont´ınua num aberto D ⊂ R}2 _{e ´}_{e apenas localmente Lipschitziana,}

isto é, para cada rectângulo compacto I × J ⊂ D existe L > 0 verificando a estimativa (2) ∀x ∈ I, y, ¯y ∈ J , o método iterativo ainda produz uma solu¸cão de (PVI) mas apenas numa vizinhan¸ca de x0convenientemente pequena. Com efeito: escolha-se a vizinhan¸ca compacta I × J

de (x0, y0), (digamos que J = [y0− β, y0+ β]), estenda-se f |I×J ao dom´ınio I × R (explicaremos

como) de modo que obtemos uma fun¸cão ˜f com a constante de Lipschitz L, e limitada. O método iterativo funciona para ˜f e produz uma solu¸cão ˜y(x) de ˜y0= ˜f (x, ˜y(x)) em I. Com M := sup ˜f , e definindo α > 0 de modo que α < β/M , imediatamente se comprova que tal solu¸cão, restringida a [x0− α, x0+ α] é solu¸cão da equa¸cão original, visto que |˜y(x) − y0| ≤ |

Rx

x0

˜

f (s, ˜y(s)) ds| ≤ M β/M se |x − x0| ≤ α.

Agora olharemos para a equa¸c˜ao que surge em (PVI) como sendo vectorial (sistema de primeira ordem), isto ´_{e, y ∈ R}n e f sup˜_{oe-se definida e cont´ınua num aberto D ⊂ R}n+1.

Proposi¸cão 4.5 Se y(x) é solu¸cão de y0 = f (x, y) definida em [x0, x1) e existe um compacto

C ⊂ D tal que o gráfico de y está contido em C, então y é prolongável a [x0, x1] como solu¸cão da

equa¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao. Como M = sup_Cf < +∞, o crit´erio de Cauchy implica que lim_x→x− 1 y(x)

existe... chamemos-lhe y1. Prolongando y(x) com o valor y1 em x = x1 obtemos uma fun¸c˜ao

diferenci´avel em x1 (regra de Cauchy) e imediatamente se verifica (por passagem ao limite) que

satisfaz a equa¸c˜ao diferencial em [x0, x1].

Teorema 4.1 Seja y(x) uma solu¸cão de y0 = f (x, y) definida num intervalo I que não admite nenhum prolongamento como solu¸cão. (Uma tal solu¸cão diz-se não prolongável.) Seja C um compacto contido em D. Então existe T ∈ I tal que ∀t > T , t ∈ I tem-se (t, y(t)) 6∈ C.

Demonstra¸c˜_{ao. Claro que temos apenas de considerar o caso I = (a, b) com b ∈ R.} Consideremos a vizinhan¸ca Cε= {z ∈ Rn+1| dist(z, C) ≤ ε} com ε > 0 tal que Cε⊂ D.

Dado c ∈ I, pela prop. anterior o gráfico de y|[c,b) não está contido em C nem em Cε. Se não

existisse T como na afirma¸cão, então construir´ıamos uma sucessão

t1< t2< t3< t4< · · · , tn→ b (a)

com a propriedade (usando as no¸c˜oes de sup e inf...):

(17)

Ponhamos M = sup_C

ε\C|f |. Ter´ıamos

ε ≤ |y(t2i) − y(t2i−1)| =

Z t2i

t2i−1

|f (s, y(s))| ds ≤ M (t2i− t2i−1)

que implica que t2i− t2i−1 n˜ao tende para zero e portanto contradiz (a).

Claro que são válidos resultados análogos para o extremo esquerdo dos intervalos onde as solu¸cões estão definidas.

Corol´_{ario 4.2 Se D = I × R}n e y(x) é solu¸cão não prolongável com dom´ınio (a, b) e b < sup I, então

lim

x→b−|y(x)| = +∞.

H´a resultado an´alogo para o extremo a.

Corol´_{ario 4.3 Se D = I × R}n _{e existem fun¸}_c˜

oes cont´ınuas h, j : I → R tais que |f (x, y)| ≤ h(x)|y| + j(x), ∀(x, y) ∈ D

então qualquer solu¸cão não prolongável de y0= f (x, y) tem dom´ınio I.

Vamos agora considerar problemas de valor inicial mais gerais para sistemas que dependem de parˆametros:

y0 = f (x, y, µ) onde y ´_{e entendido como um vector de R}n_{e f est´}

a definida num conjunto D ×Rm

onde D ⊂ Rn+1_´_e

aberto; as vari´_{aveis µ ∈ R}m_{representam parˆ}_{ametros. Suporemos que f ´}_{e localmente Lipschitziana}

relativamente a y, o que significa que ∀(x0, y0) ∈ D h´a um “rectˆangulo”R = [x0−α, x0+α]×B(y0, ρ)

e existe L > 0 tal que

|f (x, y, µ) − f (x, ¯y, µ)| ≤ L|y − ¯y|, ∀(x, y), (x, ¯_{y) ∈ R, ∀µ ∈ R}m_. ₍₃₎

Como sabemos, encontrar solu¸cão do problema de valor inicial y0= f (x, y, µ), y(α) = β no intervalo J é equivalente a resolver a equa¸cão integral

y(x) = β + Z x

α

f (t, y(t), µ) dt ∀x ∈ J.

Na verdade, vamos agora ocupar-nos do seguinte problema de equa¸c˜oes integrais at´e um pouco mais gerais:

(18)

y(x, µ) = g(x, µ) + Z x

α(µ)

f (x, t, y(t, µ), µ) dt ∀x ∈ J. (EI) Aqui suporemos que:

(H) J = [a, b], K ⊂ Rmcompacto, g : J × K → Rn, α : K → J , f : J × J × Rn× K → Rn _s˜_ao

cont´ınuas, e f ´e Lipschitziana na vari´_{avel de R}n: existe L > 0 tal que

|f (x, t, y, µ) − f (x, t, ¯y, µ)| ≤ L|y − ¯y|, ∀x, t ∈ J, y, ¯y ∈ Rn, ∀µ ∈ K. (4) Teorema 4.4 Sob a hipótese (H), a equa¸cão integral (4) tem uma única solu¸cão ∀µ ∈ K e a solu¸cão, y(x, µ), é cont´ınua em J × K.

Demonstra¸c˜ao. Consideramos no espa¸_{co de Banach C(J × K, R}n_{) a norma (equivalente)}

kuk = sup

(x,µ)∈J ×K

|u(x, µ)|e−L0|x−α(µ)|

Vê-se então facilmente que, chamando T (y) à fun¸cão (de x e µ) dada pelo 2o_{membro de (EI), fica}

definido um operador T : C(J × K, Rn

) → C(J × K, Rn_{) que ´}_{e contrac¸}_c˜_{ao. Uma solu¸}_c˜_{ao de (EI) ´}_e

o mesmo que um ponto fixo de T . Portanto o resultado é consequência imediata do teorema das contraçcões.

De modo mais dirigido aos resultados que pretendemos, podemos considerar a solu¸cão de uma equa¸cão integral dependente do parâmetro

λ = (α, β, µ) ∈ J × Rn× K :

y(x, λ) = β + Z x

α

f (t, y(t, λ), µ) dt ∀x ∈ J. (EI0) com a hip´otese

(H0_{) J = [a, b], K ⊂ R}m

compacto, f : J × Rn

× K → Rn _s˜_{ao cont´ınuas, e f ´}_{e Lipschitziana na}

vari´_{avel de R}n_.

Com a mesma técnica obtém-se então

Teorema 4.5 Sob a hipótese (H0), a equa¸cão integral (EI’) tem uma única solu¸cão ∀α ∈ J, β ∈ Rn, µ ∈ K e a solu¸cão, y(x, λ), é cont´ınua em J × J × Rn× K.

Ideia da demonstra¸c˜_{ao: para cada compacto C ⊂ R}n, aplicar o teorema das contrac¸c˜oes em C(J × J × C × K).

Para estudar a diferenciabilidade da solu¸cão em rela¸cão aos parâmetros acrescentaremos, na-turalmente, a hipótese

(19)

(H00) f tem derivadas parciais cont´ınuas em rela¸cão às variáveis y, µ.

Consideremos, por exemplo, a diferenciabilidade em rela¸cão ao valor inicial β. Podemos então “congelar”os valores dos parâmetros µ esquecendo a dependência destes parãmetros e consideramos simplesmente o problema

y(x, β) = β + Z x

α

f (t, y(t, β)) dt ∀x ∈ J. (EI00)

Teorema 4.6 Sob as hipóteses (H0) − (H00), a solu¸cão y(x, β) da equa¸cão integral (EI”) é dife-renciável em rela¸cão às variáveis β; e, pondo

z = ∂y ∂βi

então a fun¸cão vectorial z é a solu¸cão do problema z(x) = qi+

Z x

α

D f (t, y(t, β))z(t) dt (d)

onde qi é a coluna-i da matriz identidade e Df representa a matriz jacobiana de f em rela¸cão às

vari´aveis y.

Demonstra¸c˜ao. A derivada ser´a calculada num ponto β0= (β0,1, · · · , β0,n) a que corresponde a

solu¸cão bem determinada y(x, β0) de (EI”), mas para não sobrecarregar a nota¸cão omitiremos o

´ındice 0, esperando que os c´alculos fiquem claros.

Representemos por T (y) a fun¸c˜ao dada pelo segundo membro de (EI”) e por S(y, z) a que ´e representada pelo 2o _{membro de (d). Fixada uma vizinhan¸}_{ca compacta B do ponto β}

0, sabemos

que T é contraçcão de C(J × B) e, para cada y ∈ C(J × B), R := S(y, ·) é-o também. Fixamos agora y como o ponto fixo de T . Partindo de uma fun¸cão inicial u0∈ C(J × B) mas que seja de

classe C1_{(por exemplo, uma constante), e de z}

0= ∂u∂β0i, o m´etodo iterativo

uk+1= T (uk), zk+1= S(uk, zk) k = 0, 1, 2, · · ·

produz duas sucess˜oes das quais sabemos

uk → y, y = T (y) ∂uk ∂βi = zk. (e) Al´em disso zk+1= R(zk) + S(uk, zk) − S(y, zk)

pelo que, da express˜ao de S resulta

kzk+1− R(zk)k ≤ akkzkk, ak→ 0.

Logo, sendo z o ponto fixo de R,

kzk+1− zk ≤ kR(zk) − R(z)k + akkzkk

e finalmente, sendo γ ∈ (0, 1) a constante de contrac¸c˜ao

(20)

donde se conclui (fácil, mas não demasiado) zk → z. Por um teorema clássico da convergência

uniforme e usando (e) obtemos _∂β∂y

i = z, que ´e o que se pretendia mostrar.

De modo inteiramente análogo, considerando apenas a vari¸cão relativa aos µ, se demonstra: Teorema 4.7 Sob as hipóteses (H0) − (H00), a solu¸cão y(x, µ) da equa¸cão integral (EI’) é dife-renciável em rela¸cão às variáveis µ; e, pondo

w = ∂y ∂µi

então a fun¸cão vectorial w é a solu¸cão do problema w(x) =

Z x

α

(D f (t, y(t, µ))w(t) + fµi(t, y(t, µ))) dt

onde Df representa a matriz jacobiana de f em rela¸cão às variáveis y e fµi representa a derivada

de f em ordem a µi.

Observa¸c˜ao A demonstra¸c˜ao segue os passos da anterior, mas em vez da estimativa kzk+1− R(zk)k ≤ akkzkk, ak→ 0

temos neste caso

kzk+1− R(zk)k ≤ akkzkk + bk, ak → 0, bk → 0.

Em termos de equa¸cões diferenciais os teoremas anteriores dizem-nos que: Teorema 4.8 Sob as hipóteses (H0) − (H00), a solu¸cão y(x, β) do problema

y0= f (x, y), y(α) = β ´

e diferenciável em rela¸cão às variáveis β; e, pondo z = ∂y

∂βi

(que se supõe calculada num ponto β0) então a fun¸cão vectorial z é a solu¸cão do problema linear

z0= Df (x, y(x))z, z(α) = qi

vari´aveis y (calculada na solu¸c˜ao y(x) que corresponde a β0).

Teorema 4.9 Sob as hip´oteses (H0) − (H00), a solu¸c˜ao y(x, µ) do problema y0= f (x, y, µ), y(α) = β

´

e diferenciável em rela¸cão às variáveis µ; e, pondo w = ∂y

(21)

(que se supõe calculada num ponto µ0) então a fun¸cão vectorial w é a solu¸cão do problema linear

w0 = (D f (t, y(t, µ))w + fµi(t, y(t, µ)), w(α) = 0

onde Df representa a matriz jacobiana de f em rela¸cão às variáveis y e fµi representa a derivada

de f em ordem a µi (tudo calculado na fun¸c˜ao y(x) que corresponde ao valor µ0 do parˆametro).

Nos teoremas anteriores trabalhamos com uma fun¸c˜_{ao f definida num produto I × R}n e glo-balmente Lipschitziana com constante L. Assim, a solu¸cão da equa¸cão surge definida no maior dom´ınio poss´ıvel para a variável independente e para os parâmetros. Vamos agora ver como tratar o caso geral, considerando o caso em que f tem como dom´ınio um aberto D onde é cont´ınua e C1 relativamente às vari´_{aveis y ∈ R}n.

Examinemos, por exemplo, a dependência das solu¸cões relativamente ao valor inicial β. Seja y0(x) a solu¸cão do PVI y0 = f (x, y), y(α) = β0e admitamos que o intervalo J = [a, b] está

inclu´ıdo no seu dom´ınio. O próximo teorema diz em particular que para valores iniciais próximos de β0 a solu¸cão do correspondente PVI está definida pelo menos em J e depende continuamente e

diferenciavelmente da condi¸c˜ao inicial:

Teorema 4.10 Consideremos a faixa S = {(x, y) ∈ J × Rn| |y − y0(x)| ≤ }. Ent˜ao, se ´e

suficientemente pequeno e (τ, β) ∈ S, a solu¸c˜ao do problema

y0 = f (x, y), y(τ ) = β (f )

está definida também em J ; esta solu¸cão y(x, τ, β) é cont´ınua no conjunto das variáveis e dife-renciável em ordem às variáveis β; pondo

z = ∂y ∂βi

(que se supõe calculada no ponto β0) então a fun¸cão vectorial z é a solu¸cão do problema linear

z0= Df (x, y0(x))z, z(α) = qi

vari´aveis y (calculada na solu¸c˜ao y0(x) que corresponde a β0).

Observa¸cão: y é também diferenciável em rela¸cão a τ e não custa calcular a derivada (como nos outros casos, a partir de uma equa¸cão integral).

Demonstra¸cão. Como o gráfico de y0 é compacto e D é aberto, S2 ⊂ D para pequeno, que

fixamos. Fixemos h ∈ C1

(R) tal que 1 ≥ h(t) ≥ 0 ∀t, h = 1 em [0, 2_{] e h = 0 em [4}2_{, ∞). A}

fun¸c˜ao

F (x, y) = f (x, y0(x) + h(|y − y0(x)|2)(y − y0(x)))

est´_{a bem definida em J × R}n_{, ´}_{e cont´ınua e ´}_{e C}1_{nas vari´}_{aveis y; na verdade, como a sua derivada}

parcial em ordem a yi´e n X j=1 ∂f ∂yj

(22)

reconhecemos que esta derivada ´_{e limitada em J × R}n_{, pois no seu c´}_{alculo s´}_{o intervˆ}_{em valores dos} ∂f

∂yj no compacto S2. Portanto F ´e Lipschitziana na faixa J × R

n_{. Em virtude do teorema 4.6, o}

problema

y0= F (x, y), y(τ ) = β (F )

tem solu¸cão em J . Representemos por Φ(x, τ, β) esta solu¸cão: sabemos que está bem definida e é cont´ınua em J × J × Rn_.

Por um argumento de compacidade (extrair sucess˜oes convergentes por ex...) prova-se: ∀δ > 0 ∃η > 0 |β − y0(τ )| ≤ η =⇒ |Φ(x, τ, β) − Φ(x, τ, y0(τ ))| ≤ δ

(na implica¸c˜ao est´a subentendido ∀τ, x ∈ J ).

Como (por defini¸c˜ao de Φ) Φ(x, τ, y0(τ )) = y0(x) isto quer dizer que para δ ≤ 2, e com tal

escolha de η, o gráfico da solu¸cão x 7→ Φ(x, τ, β) está contido em S, onde F coincide com f . Se

representarmos por y(x, τ, β) a solu¸cão do problema original (f) sempre que ela existe, podemos pois concluir: para estes valores de η e β, y(x, τ, β) existe e coincide com Φ(x, τ, β). Logo, y tem as mesmas propriedades de regularidade (continuidade, diferenciabilidade) que Φ. E, já que as derivadas parciais de F coincidem com as de f nos pontos (x, y0(x)), a demonstra¸cão fica então

concluida.

Corolário 4.11 Consideremos a solu¸cão y(x, τ, β) de (f ), entendendo-se como não prolongável (como fun¸cão de x). Então o seu dom´ınio ´_{e um aberto de R}n+2_.

.

Outra questão interessante que resulta do que vimos é o comportamento dos extremos do intervalo onde a solu¸cão não prolongável está definida: se o intervalo de defini¸cão de x 7→ y(x, τ, β) for (a(τ, β), b(τ, β)) podemos afirmar:

Corol´ario 4.12

b(τ, β)) ≤ lim inf

(τk,βk)→(τ,β)

b(τk, βk)

a(τ, β)) ≥ lim sup

(τk,βk)→(τ,β)

a(τk, βk)

.

Pode demonstrar-se um teorema análogo para a dependência das solu¸cões relativamente a parâmetros µ que surgem no segundo membro da equa¸cão.

(23)

5 Apˆ

endice: Norma de matriz

Dada uma matriz A = [aij] (m × n), chama-se norma de A ao m´aximo das normas das imagens

por A de vectores da bola unit´_{aria de R}n_:

|A| = max

|u|≤1|Au| (1)

Proposi¸c˜ao 5.1 Tem-se

|Az| ≤ |A||z|, ∀z ∈ Rn_.

Demonstra¸cão. Para z 6= 0, tem-se, por defini¸cão de |A|, |A(z/|z|)| ≤ |A|, donde a desigualdade. Se z = 0 ambos os membros são nulos.

Proposi¸c˜ao 5.2 Tem-se (mn)−1/2( X 1≤i≤m, 1≤j≤n a2_ij)1/2≤ |A| ≤ ( X 1≤i≤m, 1≤j≤n a2_ij)1/2.

Demonstra¸c˜_{ao. Segunda desigualdade: Dado qualquer vector u ∈ R}n, a componente-i de Au ´e o produto interno do vector li= (ai1, · · · , ain) com u. Assim, aplicando Cauchy-Schwarz no seguinte

c´alculo em que kuk ≤ 1, |Au|2= m X i=1 (li· u)2≤ m X i=1 (|li|2|u|2) ≤ m X i=1 |li|2= m X i=1 n X j=1 a2_ij.

Primeira desigualdade: Seja M = max1≤i≤m, 1≤j≤n|aij|. Obviamente

X

1≤i≤m, 1≤j≤n

a2_ij ≤ mnM2_. ₍₂₎

Por outro lado, escolhendo os ´ındices i, j tais que M = |aij|, e considerando o vector ej da base

can´onica, a componente i de Aej´e precisamente aij. Logo, |Aej| ≥ M , e como |A| ≥ |Aej|, resulta,

utilizando (2), |A| ≥ M ≥ (mn)−1/2(P

1≤i≤m, 1≤j≤na2ij)1/2, como se pretendia.

Exemplo: c´alculo de uma norma de matriz. Seja A =

0 1

1 −1

Para cada vector u = (x, y) tem-se |Au|2 = x2+ y2− 2xy. Temos entãao de determinar o máximo de x2+ y2− 2xy sob a condi¸cão x2+ y2≤ 1. Como o único ponto cr´ıtico de x2+ y2− 2xy no interior da bola unitária é (0, 0) e a´ı o valor da fun¸cão é 0, não é a´ı que o máximo é atingido. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vemos que o máximo será atingido num ponto (x, y) tal que x2_{+ y}2_{= 1 e existe λ de modo que}

x − y + 2λx = 0, 2y − x + λy = 0 (3)

Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por x, a segunda por y e adicionando, obtemos x2− 2xy + 2y2+ λ = 0

pelo que o máximo procurado é −λ. Para que o sistema (3) tenha solu¸cões não triviais (as que procuramos) é necessário e suficiente que o seu determinante seja nulo: λ2_{+ λ − 1 = 0. Portanto}

o valor máximo procurado é (1 +√5)/2. A norma da matriz é q

(24)

6 Um exemplo de aplica¸

c˜

ao: solu¸

c˜

ao peri´

odica de uma equa¸

c˜

ao

de primeira ordem n˜

ao aut´

onoma

Consideremos a equa¸c˜ao (escalar)

y0= h(t)y − y3 (1)

sob a hip´otese seguinte:

(A) h ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, positiva, de per´ıodo T > 0. ´

E óbvio que (1) tem a solu¸cão periódica trivial y ≡ 0. No entanto vamos poder demonstrar: Proposi¸cão 6.1 Sob a hipótese (A), (1) tem pelo menos uma solu¸cão positiva com per´ıodo T . Demonstra¸cão. Vamos considerar a aplica¸cão P : β 7→ y(T, β) onde y(·, β) é a solu¸cão de (1) que satisfaz a condi¸cão inicial y(0, β) = β. É claro que P (0) = 0 e que o dom´ınio desta solu¸cão depende de β, em princ´ıpio, mas vamos ver que para os valores com os quais vamos trabalhar o dom´ınio estende-se na verdade até +∞, por isso o cálculo em T estará permitido.

Como h ´e limitada, digamos |h| ≤ M , podemos fixar d > 0 tal que h(t)d − d3 _{< 0 ∀t > 0.}

Então, se β ≤ d, a solu¸cão y(·, β) não pode atingir o valor d para t > 0, pois no primeiro instante t0> 0 com y(t0, β) = d ter-se-ia y0(to, β) ≥ 0.

Por outro lado, provaremos a seguir que P0(0) > 1, o que permite afirmar que existe c > 0 suficientemente pequeno tal que P (c) > c; y(·, c) tem de se manter positiva (por unicidade) e abaixo de d; logo, se β ∈ [c, d] y(·, β) está definida em [0, +∞) e P aplica [c, d] em si próprio. Pelo teorema de Bolzano existe β ∈ [c, d] tal que P (β) = β, ou y(T, β) = y(0, β). Pelo argumento do exerc´ıcio 5.4 y é periódica com per´ıodo T .

Calculemos então P0(0). Temos P0(β) = _∂β∂y(T, β) e z = ∂y_∂β é, como fun¸cão de t, solu¸cão de z0 = (h(t) − 3y(t, β)2)z, z(0) = 1.

Como pretendemos P0(0), temos y(·, 0) ≡ 0 e a equa¸c˜ao que nos interessa ´e z0= h(t)z, z(0) = 1.

A solu¸cão é z(t) = eR0th(s) ds e, já que h > 0, vem z(T ) > 1, o que conclui a demonstra¸cão.

O significado de P0(0) > 1, para a solu¸cão nula, é que esta é “instável”: Solu¸cões com valores iniciais arbitrariamente próximos de zero tendem a afastar-se desta solu¸cão.

Por outro lado, a solu¸cão cuja existência acabamos de demonstrar é “estável”e isso está rela-cionado com o facto de ser P0(β) > 1. Na verdade, pelos cálculos anteriores, P0(β) = z(T ) = eR0T(h(s)−3y(s,β)

2_{) ds}

. Podemos calcular RT

0 y(s, β)

2_{ds mesmo sem a express˜}_{ao expl´ıcita da solu¸}_c˜_ao

y:

y0(t, β)

y(t, β) = h(t) − y(t, β)

2

e integrando e usando a periodicidade, Z T 0 y(t, β)2dt = Z T 0 h(s) ds. Logo, P0(β) = e−2R0Ty(s,β) 2_ds .

(25)

7 Sistemas lineares (revis˜

ao)

Consideramos nesta seçcão sistemas de equa¸cões diferenciais lineares de 1a_{ordem, isto ´}_{e, da forma}

(7.1) y0 = A(x)y + b(x)

onde A(x) ´e uma matriz n×n e b(x) uma fun¸c˜_{ao com valores em R}n_{, ambas cont´ınuas num intervalo}

I. (Dizer que x 7→ A(x) é cont´ınua equivale a dizer que as fun¸cões reais x 7→ aij(x) são cont´ınuas

para i, j = 1, · · · , n, ou equivalentemente, em virtude do apˆendice anterior, limx→x0|A(x) −

A(x0)| = 0).

Como

|A(x)y − A(x)¯y| ≤ |A(x)||y − ¯y|

e |A(x)| tem máximo em qualquer compacto⊂ I, os resultados da seçcão anterior permitem-nos dizer:

Teorema 7.1 Dados α ∈ I e β ∈ Rn _{problema de valor inicial y}0 _{= A(x)y + b(x),} _{y(α) = β}

tem uma e uma só solu¸cão definida em todo o intervalo I. Esta solu¸cão, que representaremos por y(x, α, β) é cont´ınua e na verdade de classe C1 _{no conjunto das vari´}_{aveis; por exemplo, z =} ∂y

∂βi ´e

a solu¸c˜ao do problema

z0= A(x)z z(α) = qi.

Além disso, em qualquer intervalo compacto J ⊂ I a solu¸cão y(·, α, β) é o limite uniforme em J da sucessão de iteradas

yk+1(x) = β +

Z x

α

[A(t)yk(t) + b(t)] dt

iniciado com uma fun¸c˜ao arbitr´aria y0∈ C(J ).

Seja S o conjunto das solu¸c˜oes do sitema homog´eneo

y0 = A(x)y (h)

em I. ´E um subconjunto do espa¸co vectorial das fun¸c˜_{oes (com valores em R}n_{) definidas em I.}

Imediatamente se reconhece que S é ele próprio espa¸co vectorial (verifica¸cões triviais) e, fixado α, a aplica¸cão

β 7→ y(·, α, β) : Rn→ S ´

e isomorfismo de espa¸cos vectoriais. Este facto é simples mas não banal: está envolvido o teorema de existência e unicidade que acabamos de enunciar. Observe-se em particular que

y(·, α, 0) ≡ 0 e que podemos afirmar:

Teorema 7.2 S ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao n.

A par de sistemas, podemos considerar equa¸c˜oes lineares de ordem n na forma normal: u(n)+ an−1(x)u(n−1)+ · · · + a1(x)u0+ a0(x)u = f (x)

(26)

(onde a inc´ognita u tem valores reais) as quais se reduzem a um sistema da forma (7.1), com a substitui¸c˜ao y1= u: (7.2)                y10 = y2 y₂0 = y3 · · · y_n−10 = yn

yn0 = −a0(x)y1− · · · − an−1(x)yn+ f (x)

Os resultados obtidos para o sistema convertem-se imediatamente em resultados para a equa¸cão, uma vez que há uma correspondência bijectiva entre solu¸cões u desta e solu¸cões (u, u0, · · · , un−1₎

daquele.

Dadas n solu¸c˜oes y1, · · · , yn de (h), abreviamos as n equa¸c˜oes y0i = A(t)yi introduzindo a

matriz

Y (x) = [y1(x), · · · yn(x)]

(que tem a fun¸c˜ao vectorial yi(x) na coluna-i): e podemos escrever, pela defini¸c˜ao de produto de

matrizes,

Y0= A(x)Y.

Diremos que Y ´e matriz fundamental de (h) se as suas colunas constituem uma base de S. Do teorema anterior resulta

Corolário 7.3 Y é matriz fundamental de S se, e só se, os vectores yi(α) constituem uma base

de Rn_.

Em particular, podemos fixar a matriz fundamental tal que yi(α) é a base canónica qi, isto é:

Y (α) = I. Dizemos ent˜ao que se trata da matriz especial de (h) relativa ao ponto α e representamo-la por

X(x, α)

para indicar a dependência de α. Assim, X(x, α) é a solu¸cão do problema matricial de valor inicial X0= A(x)X, X(α, α) = I.

Se C é uma matriz constante, e Y (x) é fundamental, Y (t)C é ainda matriz de solu¸cões de (h): basta observar que a sua coluna-(i) é combina¸cão linear das de Y (t), com coeficientes iguais aos da coluna-(i) de C. Reciprocamente, se Z(x) é outra fundamental, existe uma matriz constante C tal que

Z(x) = Y (x)C. Com efeito, verifica-se imediatamente que

(Y−1Z)0= Y−1Z0− Y−1Y0Y−1Z = Y−1AZ − Y−1AY Y−1Z = 0. Em particular temos, ∀x, α, ¯α ∈ I:

X(x, ¯α) = X(x, α)X(α, ¯α)

(27)

Proposi¸c˜ao 7.1 A solu¸c˜ao do problema de valor inicial y0= A(x)y, y(α) = β ´

e dada por y(x) = X(x, α)β.

Quando a matriz A(x) é uma matriz constante A, o sistema é autónomo e podemos fixar α = 0 sem perda de generalidade. As aproxima¸cões sucessivas

yk

dadas no teorema 6.1 calculam-se facilmente, partindo de y0≡ β, por indu¸c˜ao:

yk(x) = β + Axβ +

A2x2

2! β + · · · + Akxk

k! β Podemos então concluir que a solu¸cão é

y(x) = lim k→∞[I + Ax + A2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! ]β.

A convergência é uniforme relativamente a β nos compactos, e por isso podemos mesmo dizer que existe o limite da sucessão de matrizes

lim k→∞[I + Ax + A2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! ]

que, como j´a sabemos, se chama exponencial de Ax e se representa por eAx_:

eAx= I + Ax +A 2_x2 2! + · · · + Ak_xk k! + · · · = ∞ X k=0 Ak_xk k! .

Dada uma matriz Y (x) cujas colunas são solu¸cões de (h), chamamos Wronskiano dessa matriz ao seu determinante W (x). Utilizando a regra de deriva¸cão do produto prova-se:

Proposi¸c˜ao 7.2

W (x) = W (x0)e Rx

x0tr A(t) dt_, _{∀x, x}₀_{∈ I}

onde tr designa o tra¸co de matriz.

Recordemos finalmente a f´ormula de varia¸c˜ao das constantes:

Proposi¸c˜ao 7.3 Sendo X(x) a matriz especial de (h) em α, a solu¸c˜ao do problema y0 = A(x)y + b(x), y(α) = β ´ e ¯ y(x) = X(x)β + Z x α X(x)X(t)−1b(t) dt.

(28)

No caso de coeficientes constantes, v´arias t´ecnicas para calcular eAx_{permitem obter a express˜}_ao

expl´ıcita das solu¸c˜oes de (h).

Vamos referir uma maneira de obter as solu¸cões que, em vez de usar a forma canónica de Jordan, utiliza em alternativa o seguinte resultado de Álgebra linear: se a matriz A tem os valores próprios distintos λj, j = 1, · · · , k, com as respectivas multiplicidades algébricas nj, então o espa¸co

n-dimensional decompõe-se em soma directa de núcleos de potências das A − λj:

Rn(Cn) = N (A − λ1)p1⊕ · · · ⊕ N (A − λk)pk, pj≤ nj, dim N (A − λj)pj = nj.

Assim, mesmo que não exista uma base de vectores próprios de A, todo o vector do espa¸co, β, se decompõe numa soma de k “vectores próprios generalizados”:

β = β1+ · · · + βk, βj ∈ N (A − λj)pj.

Ent˜ao eAx_{β =}Pk

j=1e Ax_β

j e cada parcela tem o aspecto

eAxβj= eλjxe(A−λjI)xβj = eλjx[ pj−1 X i=0 xi_{(A − λ} jI)i i! ]βj.

Para a equa¸cão homogénea de ordem n pode fazer-se uma afirma¸cão mais expl´ıcita: conside-rando

u(n)+ an−1u(n−1)+ · · · + a1u0+ a0u = 0 (eh)

se as raizes do seu polinómio caracter´ıstico, λj, j = 1, · · · , k, têm as multiplicidades algébricas nj,

então há uma base de solu¸cões de (eh) formada por fun¸cões da forma xieλjx_{, i = 0, · · · , n}

j− 1, j = 1, · · · , k.

A express˜ao encontrada acima permite-nos:

1) observar que o sistema tem uma base de solu¸c˜oes da forma eλjx_(P

jl(x)), l = 1, · · · nj

onde cada Pjl(x) é um polinómio de grau < nj e cujos coeficientes são vectores do espa¸co

n−dimensional;

2) obter uma estimativa para a norma da matriz eAxem termos dos valores p´oprios de A, para x ≥ 0.

Com efeito, comecemos por observar que

Lemma 7.1 Existe uma constante K tal que para cada vector β e as suas projec¸c˜oes βj tem-se

|βj| ≤ K|β|.

Demonstra¸c˜_{ao. Basta considerar uma soma directa com duas parcelas C}n _{= M ⊕ N e a}

cor-respondente decomposi¸cão única para cada β = γ + δ. Em primeiro lugar notemos que cada subespa¸co é fechado, porque se {f1, · · · , fp} é base do ortogonal de M , então M é o conjunto dos

(29)

Se não existisse C > 0 tal que |γ| ≤ C|β| ∀β, então construir´ıamos uma sucessão βm= γm+ δm

tal que |γm| > m|βm|. Ent˜ao

1 m γm |γm| > βm |γm| ; βm |γm| = γm |γm| + δm |γm| .

Passando a uma subsucessão (porque a bola unitária é compacta) podemos supôr γm

|γm|

→ γ, |γ| = 1

e como tamb´em sabemos que βm

|γm| → 0 resulta que

δm

|γm| → −γ. Ent˜ao γ 6= 0 e γ ∈ M ∩ N , uma

contradi¸c˜ao.

Vamos ent˜ao estabelecer a estimativa.

Designemos D = maxj,i|(A − λjI)i| e p = max pj− 1. Temos

∃x0 ∀x ≥ x0 eρx(1 + x + · · · + xp) < eax

concluimos que, aumentando se necess´ario a constante C,

|eAx_{β| ≤ Ce}ax_{|β| ∀x ≥ 0.} _(∗)

Vejamos como a partir da mesma express˜ao se pode fazer o c´alculo da exponencial em alguns casos simples.

Exemplo: Seja A =−1 −4

9 6

. A tem um ´unico valor pr´oprio (λ = 5) de multiplicidade 2. Ent˜_{ao, como necessariamente R}2= N (A − 5)2_{, temos ∀β ∈ R}2

eAtβ = e5t[I + t(A − 5)]β, ou seja

eAt= e5t1 − 6t −4t 9t 1 + 6t

e a partir daqui podemos encontrar uma base de solu¸c˜oes do sistema y0= Ay, por exemplo eAtqi,

i = 1, 2: obtemos as fun¸c˜oes vectoriais e5t1 − 6t 9t , e5t −4t 1 + 6t .

(30)

Alternativamente, poder´ıamos ter encontrado um vector pr´oprio 2 −3 , em seguida um vector w tal que (A − 5)w = 2 −3 ; o que conduz a w = 0 −1/2

, e então, pondo estes dois no lugar de β na fórmula geral obtemos a base de solu¸cões

e5t 2 −3 , e5t t 2 −3 + 0 −1/2 .

Assim, a solu¸cão geral do sistema homogéneo com a matriz A é (usando por exemplo esta ´

ultima base)

x = 2ae5t+ 2bte5t, y = (−3a −1 2b)e

5t_{− 3bte}5t

onde a e b s˜ao constantes arbitr´arias. Imediatamente se reconhece que lim t→±∞ y(t) x(t) = limt→±∞ y0(t) x0_(t) = − 3 2.

Além disso, quando t → −∞ e x < 0 (isto é, b < 0) y(t)_x(t) tende para −3₂ por valores maiores, como se vê analisando o sinal de y(t)_x(t)+3₂. Isto mostra que, no esquema das trajectórias de solu¸cões no plano xy, as trajectórias ficam tangentes à recta 3x + 2y = 0 na origem e de modo tal que no 2o quadrante estão abaixo da recta e no 4o quadrante estão acima.

Exemplo: Seja A uma matriz 3 × 3 com um único valor próprio real λ. Da representa¸cão acima resulta que

R3= N (A − λ)3

visto que o valor de p que corresponde a λ ´e ≤ `a multiplicidade (3). Logo, para todo o vector β

eAxβ = eλx[ 2 X i=0 xi_{(A − λI)}i i! ]β.

Exemplo: Para a matriz A =

0 1

−1 −2d

onde 0 < d < 1, que tem valores pr´oprios λ = −d + ip e o seu conjugado ¯λ (onde p =√1 − d2_{), temos a decomposi¸}_c˜_ao

C2= N (A − λ) ⊕ N (A − ¯λ).

Como N (A − λ) é formado pelos vectores (u, v) tais que (d − ip)u = v e N (A − ¯λ) é formado pelos vectores (u, v) tais que (d + ip)u = v, a decomposi¸cão de um vector qualquer (x, y) para esta soma directa é x y = u v + s t com u = (d + ip)x − y 2ip , v = (d2+ p2)x − (d − ip)y 2ip , s = y − (d − ip)x 2ip , t = (d + ip)y − (d2+ p2)x 2ip .

Assim, conclui-se que eAt₌ e

−dt_{(cos pt +}d psin pt) 1 pe −dt_{sin pt} −1 pe −dt_{sin pt} _e−dt_{(cos pt −}d psin pt) !

(31)

Consideremos o sistema linear homog´eneo (h), com a matriz A(x) definida e cont´ınua em I = [a, ∞).

Dizemos que a solu¸cão trivial (isto é, zero) é estável, assintoticamente estável, ou instável, se, respectivamente:

todas as solu¸cões são limitadas em I; todas as solu¸cões têm limite 0 quando x → +∞; existe pelo menos uma solu¸cão não limitada.

Se X(x) é uma matriz especial no ponto a, e se zero é estável, então claro que há uma constante K > 0 tal que |X(x)| ≤ K ∀x ≥ a; qualquer solu¸cão y(x) satisfaz então |y(x)| = |X(x)β| ≤ K|β|; assim, se zero é estável qualquer solu¸cão toma valores arbitrariamente pequenos (em norma) desde que a sua condi¸cão inicial β seja suficientemente pequena.

Quando a matriz A é constante, o que observámos acima a respeito da forma das solu¸cões do sistema e a estimativa (*) permitem reconhecer imediatamente:

dizer que a origem é assintoticamente estável é o mesmo que dizer que todos os valores próprios de A têm partes reais negativas;

dizer que a origem é estável é o mesmo que dizer que todos os valores próprios de A têm partes reais ≤ 0 e se algum deles, λj, é imaginário puro, então correspondem-lhe nj vectores próprios

linearmente independentes, isto é, pj = 1 (de modo que na expressão de eAxβj os polinómios em

x s˜ao na realidade apenas vectores constantes);

dizer que a origem é instável significa que não se verifica nenhuma das condi¸cões anteriores, por outras palavras, ou há um valor próprio com parte real positiva ou ou algum deles, λj, tem parte

real nula mas não possui nj vectores próprios linearmente independentes (o respectivo pj é > 1).

8 Estabilidade: lineariza¸

c˜

ao

Dado um sistema de equa¸c˜oes de primeira ordem y0= f (t, y)

com f definida e cont´ınua em [0, +∞) × Rn_{, localmente Lipschitziana em ordem `}_{a vari´}

avel de Rn_,

e dada uma sua solu¸c˜ao y0(t) com dom´ınio [0, +∞),

- dizemos que esta solu¸cão é estável (relativamente a t = 0) se ∀ > 0 ∃ δ > 0 tal que |β − y0(0)| < δ ⇒ y(·, β) tem dom´ınio [0, +∞) e |y(t, β) − y0(t)| < ∀t ≥ 0.

- dizemos que esta solu¸cão é assintoticamente estável se é estável e além disso ∃δ > 0 tal que |β − y0(0)| < δ ⇒ lim

t→+∞|y(t, β) − y0(t)| = 0.

(32)

Observa¸cão. Suponhamos que há pelo menos uma solu¸cão definida em J = [a, b]. O argumento do teorema 4.10 mostra que as aplica¸cões

β 7→ y(b, a, β) e

γ 7→ y(a, b, γ)

s˜ao cont´ınuas; como s˜ao obviamente inversas uma da outra trata-se de homeomorfismos (entre conjuntos de “valores iniciais”’ em t = a e t = b, respectivamente).

Em particular, daqui concluimos que a defini¸c˜ao de estabilidade tal como a demos ´e equivalente `

a defini¸cão relativamente a b em que b > 0 é fixado mas arbitrário, isto é, podemos substituir o instante a que é referido o valor inicial por outro instante qualquer.

Vejamos por exemplo que se y0 é estável relativamente a b também o é relativamente a 0. Por

hip´otese ∀ > 0 ∃ δ > 0 tal que

|γ − y0(b)| < δ ⇒ |y(t, b, γ) − y0(t)| < ∀t ≥ b.

Mas em virtude da nossa observa¸c˜ao anterior e do teorema 4.10 existe η > 0 tal que |β − y0(0)| < η ⇒ |y(t, 0, β) − y0(t)| < min(δ, ) ∀t ∈ [0, b].

Como y(t, b, y(b, 0, β)) = y(t, 0, β) conclui-se que com este valor de η se realiza a condi¸c˜ao de estabilidade relativamente a t = 0.

Para um sistema linear

y0= A(t)y + b(t) ´

e imediato reconhecer que a estabilidade (assint.) de qualquer das suas solu¸cões equivale à estabili-dade (assint.) da solu¸cão 0 para o correspondente sistema homogéneo y0 _{= A(t)y e que a defini¸}_c˜_ao

de estabilidade que acabamos de introduzir é equivalente à que demos na parte final da seçcão anterior.

Vamos estudar a estabilidade da solu¸c˜ao nula para um sistema da forma

y0= Ay + g(t, y) (1)

onde

(H) A ´e matriz constante, g est´a definida e ´_{e cont´ınua em [0, +∞) × R}n_{, sendo localmente}

Lipschitziana em ordem `a vari´_{avel de R}n e tem-se lim

x→0

g(t, x) |x| = 0

uniformemente em t ≥ 0. (Em particular, g(t, 0) ≡ 0 e 0 ´e solu¸c˜ao de (1)!)

Teorema 8.1 (Estabilidade) Suponhamos que todos os valores próprios da matriz A têm parte real negativa. Então sob a hipótese (H) a solu¸cão nula de (1) é assintoticamente estável.

(33)

Demonstra¸cão. Sabemos que as solu¸cões de (1) têm a representa¸cão y(t, β) = eAtβ +

Z t

0

eA(t−s)g(s, y(s, β)) ds. Utilizaremos agora a estimativa, que demonstrámos na seçcão anterior,

|eAt_{β| ≤ Ce}−kt_{|β| ∀β ∈ R}n

onde, de acordo com a hip´otese, podemos fixar −k < 0 e, obviamente, C > 1. Em virtude de (H) existe δ tal que

|z| < δ ⇒ |g(t, z)| ≤ k

2C|z| ∀t ≥ 0. (∗)

Afirmamos ent˜ao:

|β| < < δ

2C ⇒ |y(t, β)| ≤ Ce

−kt

2 ∀t ≥ 0. (a)

Basta, evidentemente, demonstrar (a) para concluir. Ora, em virtude de (*), para todos os valores de t tais que |y(t, β)| < δ,

|y(t, β)| ≤ C|β|e−kt+ C Z t 0 e−k(t−s) k 2C|y(s, β)| ds, |y(t, β)|ekt_{≤ C|β| +}k 2 Z t 0 eks|y(s, β)| ds. Pela desigualdade de Gronwall, e porque estamos a considerar |β| < ,

|y(t, β)|ekt_{≤ Ce}kt 2

o que mostra que |y(t, β)| ≤ Ce−kt2 <δ

2. Assim, em qualquer intervalo onde y(·, β) esteja definida,

os valores desta solu¸cão mantêm-se efectivamente na bola de raio δ, legitimando a aplica¸cão da estimativa (*) nos cálculos; a consequência é que a solu¸cão existe em [0, ∞) e obtivemos (a).

Teorema 8.2 (Instabilidade) Suponhamos que a matriz A é não tem valores próprios no eixo imaginário e tem pelo menos um valor próprio com parte real positiva. Então, sob a hipótese (H), a solu¸cão nula de (1) é instável.

Demonstra¸cão. Vamos fazer a demonstra¸cão sob a hipótese suplementar (na prática não restri-tiva) seguinte: g(t, y) prolonga-se a [0, +∞) × Cn _{com as mesmas propriedades.}

Come¸camos por utilizar o seguinte resultado de Álgebra Linear (que detalharemos abaixo): a matriz A é triangulável, isto é, existe uma matriz (em geral complexa) invert´ıvel T tal que T−1AT = B é triangular superior (bij = 0 se i > j) e na diagonal aparecem os valores próprios de

A: λj, j = 1, · · · , n, com as poss´ıveis repeti¸cões. Além disso, dado > 0, podemos supôr |bij| <

se i < j.

Fazendo a mudan¸ca de vari´avel y = T z, como existem constantes c1, c2 tais que c1|z| ≤ |y| ≤

c2|z|, basta mostrar que a solu¸c˜ao nula do sistema

z0= Bz + T−1g(t, T z) (2)

´

e instável. Suponhamos então, de acordo com a hipótese, Reλi ≥ c > 0 para i = 1, · · · , k e

Reλi ≤ −c < 0 se i = k + 1, · · · , n. Dada uma solu¸c˜ao de (2), multiplicando as primeiras k